Il trasporto di materiaPrincipi di Ingegneria Chimica Ambientale

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Considerazioni preliminari

Il nostro studio sarà limitato a:

• miscele binarie

• miscele diluite (ossia in cui la frazione molare di uno dei

due componenti sia minore del 10%)

• miscele con concentrazione media costante

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Il flusso di materiaIl flusso di materia jA, in una determinata direzione x, è la quantità di moli della specie chimica “A” (WA=portata molare in moli/s) che si propaga nella direzione x per unità superficie perpendicolare alla direzione x. Le unità di jA sono moli/m2s

WA [moli/s]

S [m2]

x

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Il flusso diffusivo di materiaIl flusso jA della specie chimica “A” che si propaga per diffusione all’interno di una specie chimica “B” è descritto dall’equazione di Fick: in ogni punto

il flusso molare è proporzionale al gradiente di concentrazione dCA/dx, diretto

nella direzione delle concentrazioni decrescenti. La costante di

proporzionalità fra jA e dCA/dx è una proprietà della miscela delle due specie e si chiama diffusività di A in B

CA

x

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In una lastra piana, a regime, se la specie chimica diffonde nella sola direzione dello spessore, il flusso molare entrante attraverso una superficie è uguale al flusso massico uscente attraverso l’altra superficie

x

CA1

CA2CA

jA1 jA2

Infatti, dal bilancio di materia, a regime

jA1 S1=jA2 S2

e siccome S1=S2

S2 [m2]S1 [m2]

jA1=jA2

questo risultato si può estendere ad ogni superficie perpendicolare a x

Il flusso diffusivo di materiaLastra piana, stato stazionario

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Inoltre, l’integrale dell’equazione di Fick fornisce

x

CA1

CA2T

d

A regime, siccome jA è costante con x, la concentrazione cambia linearmente con x

Consideriamo una lastra piana sottile (ossia di spessore d molto minore delle altre due dimensioni lineari) costituita da una specie chimica “B”

Supponiamo che le due superfici laterali siano mantenute a due concentrazioni diverse della specie chimica “A”: CA1>CA2

S

e quindi

la portata molare è direttamente proporzionale alla differenza di concentrazione, alla superficie e alla diffusività e inversamente proporzionale allo spessore

Il flusso diffusivo di materiaLastra piana, stato stazionario

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La diffusivitàLa diffusività si misura in m2/s

Per le diffusività in miscele binarie vale la seguente proprietà:

DAB=DBA

FaseOrdine di

grandezza [m2/s]

Gas 10-5-10-4

Liquido 10-11-10-9

Solido 10-16-10-11

Le diffusività sono più alte nei gas e più basse nei solidi e nei liquidi

Per la diffusività del sistema acqua-aria in fase gas, per T comprese fra 280K e 450K, vale la seguente relazione:

D in m2/sT in K

P in atm7

Il Coefficiente di Scambio di Materia

CA!

CAi

jA

Fluido

Fase !

jA

Consideriamo l’interfaccia fra una fase fluida in movimento ed un’altra fase (ad es. un altro fluido o un solido)

Se esiste una differenza di concentrazione nel fluido fra una posizione lontana dall’intefaccia (che si trova a CA!) e quella a contatto l’interfaccia (che si trova a CAi), si instaura un fusso molare (convettivo, perchè dovuto al moto del fluido) che attraversa l’interfaccia nella direzione che va dalla concentrazione più alta a quella più bassa. Tale flusso è funzione principalmente della differenza di concentrazione.In analogia a quanto fatto con la legge del raffreddamento di Newton si descrive il flusso molare che attraversa l’interfaccia come: jA=kc(CA!-CAi)che definisce il coefficiente di scambio di materia kc:

kc≡jA/(CA!-CAi) le unità di kc sono m/s

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Condizioni al contornoCA!

CAi

jA

Fluido

Fase !

jA

Osserv iamo che attraverso un’interfaccia (a differenza della temperatura) la concentrazione non è continua: sull’interaccia valgono le correlazioni di equilibrio.

Ad esempio: - Interfaccia solido-gas:la concentrazione in fase solida si può calcolare conoscendo la solubilità SA: CA

sol=SAPA (con PA=pressione parziale di A=P yA)- Interfaccia liquido-gas con frazione molare in fase liquida xA!0:la frazione molare in fase gas yA si può calcolare dalla legge di Henry: yA=xAHA(T)/P (e viceversa xA=yAP/HA(T))- Interfaccia liquido-gas con frazione molare in fase liquida xA!1:la frazione molare in fase gas si può calcolare dalla legge di Raoult: yA=xAPA

sat(T)/P ≅PAsat(T)/P (se xA≅1)

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Umidità relativaSi definisce umidità relativa " il rapporto

dove PA è la pressione parziale dell’acqua in ariae PA

sat è la tensione di vapore dell’acqua (che dipende dalla sola temperatura)

Ad ogni temperatura, quindi, l’umidità relativa fornisce una misura della pressione parziale di acqua nell’aria

Temperatura°C

Tensione di vaporePa

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Calcolo del coefficiente di scambio di materia

Come per il calore, anche per il trasporto di materia si utilizzano correlazioni basate numeri adimensionali.

Tale coefficiente dipende in maniera complessa dalla natura fisica del fluido, dalla sua temperatura, e dal

suo stato di moto, oltre che ovviamente dalla diffusività nel fluido della specie che diffonde.

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Principali numeri adimensionali per il trasporto convettivo

Ingegnere statunitense

Rappresenta il rapporto fra il flusso di materia che si realizza ad un’interfaccia e il flusso puramente diffusivo (molecolare). È l’analogo per la materia del numero di Nusselt

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Principali numeri adimensionali per il trasporto convettivo

Tiene in conto le proprietà fisiche del fluido, in particolare le proprietà di trasporto. Sostituisce il numero di Prandtl

Scienziato tedesco

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Principali numeri adimensionali per il trasporto convettivo

Ingegnere e fisico inglese

Tiene in conto lo stato di moto (U è la velocità media del fluido, L è una lunghezza caratteristica del solido).Si utilizza nella convezione forzata (in cui U è imposta dall’esterno)

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Principali numeri adimensionali per il trasporto convettivo

Ingegnere tedesco

Tiene in conto la convezione naturale attraverso la variazione di densità e la gravità

Se il gas è una miscela binaria di due specie chimiche (A e B) e si comporta come un gas ideale

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Analogia tra trasporto di calore e materia

Inoltre, le equazioni di Fourier e di Fick sono formalmente simili

Nel moto convettivo, ogni volume di fluido porta con sè la propria energia termica (entalpia) e la propria concentrazione di specie

chimica e quindi il meccanismo che porta una specie chimica da un fluido ad un’interfaccia è analogo al meccanismo di trasporto

termico convettivo

Queste osservazioni sono alla base dell’analogia fra trasporto di calore e di materia, che in termini pratici si usa come segue:

se il legame funzionale per la convezione forzata di calore è:

Nu=a Reb Prc

allora il legame funzionale per la convezione forzata di materia è:

Sh=a Reb Scc

dove a, b e c sono gli stessi coefficienti numerici

fissata la configurazione di scambio ad un’interfaccia

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Analogia tra trasporto di calore e materia

Se legame funzionale per la convezione naturale di calore è:

Nu=d Gre Prf

allora legame funzionale per la convezione naturale di materia è:

Sh=d Gre Scf

dove d, e ed f sono gli stessi coefficienti numerici

Allo stesso modo, fissata la configurazione di scambio all’interfaccia

Per ogni configurazione di trasporto convettivo ad un’interfaccia, se si dispone di una correlazione per lo scambio di calore che lega Nu a Re (o Gr) e Pr,

la stessa correlazione si può utilizzare per il trasporto di materia sostituendo Sh a Nu e Sc a Pr

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Analogia di Chilton-ColburnIn mancanza di correlazioni specifiche relative alla

configurazione in esame, vale la seguente correlazione generale

che significa dire

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Trasporto simultaneo di calore e materiaraffreddamento per evaporazione

Se un liquido lascia un corpo a causa di un trasporto convettivo di materia, l’evaporazione sottrae calore al

corpo stesso. Supponiamo di avere un corpo ricoperto da un sottile

strato di acqua, investito da una corrente di aria. La quantità di calore sottratta al corpo nell’unità di tempo vale

WA#HA

dove WA è la portata molare dell’acqua che lascia la superficie e

#HA è il calore latente di evaporazione (per unità di moli) dell’acqua alla temperatura della superficie stessa

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Trasporto simultaneo di calore e materiatemperatura di bulbo umido

Bulboumido

Bulbosecco

Aria umida

Tbulbo secco

Tbulbo umido

nel sistema in figura, due termometri vengono immersi in

una corrente di aria umida

Il bilancio di energia sul termometro secco fornisce

Tinf

Tbulbo secco=Tinf

Ossia il termometro secco legge la temperatura dell’aria che lo

investe

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Trasporto simultaneo di calore e materiatemperatura di bulbo umido

Il bilancio di energia sul termometro bagnato fornisce

Bulboumido

Bulbosecco

Aria umida

Tbulbo secco

Tbulbo umido

Tinf

kc(CAinf-CAi)#$ev+h(Tinf-Tbulbo umido)=0

e quindi

dove CAi è la concentrazione di acqua nell’aria all’interfaccia con il bulbo umido (concentrazione di saturazione a Tbulbo umido)CAinf è la concentrazione di acqua nell’aria che investe il termometro#$ev è il calore latente di evaporazione dell’acqua a Tbulbo umidokc è il coefficiente di scambio di materia h è il coefficiente di scambio termico

Il termometro umido legge una temperatura più bassa

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Trasporto simultaneo di calore e materiatemperatura di bulbo umido

Il bilancio di energia sul termometro bagnato fornisce

Bulboumido

Bulbosecco

Aria umida

Tbulbo secco

Tbulbo umido

Tinf

kc(CAinf-CAi)#$ev+h(Tinf-Tbulbo umido)=0

e quindi

Il termometro a bulbo umido e bulbo secco consente di valutare l’umidità dell’aria

Tbulbo secco=Tinf

Il bilancio di energia sul termometro secco fornisce

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