Illustrazioni tridimensionalicon Sketch/LATEX/PSTricks/Tikz

nella didattica della Dinamica del Volo

A. De Marco

Sommario

In questo articolo viene mostrato come sia possibi-le utilizzare le potenzialità di LATEX e dei pacchettiPSTricks e Tikz nella produzione di illustrazioniavanzate. La creazione di disegni che rappresen-tino delle scene tridimensionali con indicazioni dicontenuto scientifico è di fatto possibile con LATEX.L’autore mostra in che modo si riesca a manipo-lare e disporre oggetti tridimensionali in una sce-na con il programma Sketch di Eugene Ressler edil suo intuitivo linguaggio di scripting, ottenendoun’output sotto forma di comandi PSTricks o Tikz.Il metodo di lavoro proposto permette di superarele limitazioni che gli utenti di un pacchetto comePSTricks, che pure possiede funzionalità di dise-gno tridimensionale relativamente avanzate, incon-trano ogni qual volta si accingono a voler disegna-re e manipolare scene tridimensionali contenentioggetti non semplici e non primitivi.

La didattica di una materia ingegneristica comela Dinamica del Volo è un campo in cui l’autoreopera ed al quale si riferiscono gli esempi concretiriportati nell’articolo.

Abstract

This article shows how the combination of LATEXwith the package PSTricks or with Tikz can beused to produce advanced, nice-looking illustra-tions. As a matter of fact, the creation of drawingsrepresenting three-dimensional scenes with scien-tific or non-trivial annotations is possible withLATEX. One of the goals of the article is introduc-ing the program Sketch, by Eugene Ressler, andhow one can manipulate and put in place objectsin a three-dimensional scene by means of its intu-itive scripting language. The output of Sketch is aset of PSTricks or Tikz commands that might beincluded by a master LATEX document to producethe final picture. The technique proposed here en-ables to go over the limitations encountered byPSTricks or Tikz users when it comes to repre-senting non-trivial three-dimensional scenes.

As a teacher of engineering subjects related toFlight Dynamics, I have reported some concreteexamples that may help to better understand thepotential of Sketch and of the workflow proposedin the article.

1 Introduzione

Il titolo dell’articolo non tragga in inganno il letto-re: non si vuole esporre un argomento di nicchia.Piuttosto si intende trattare un problema che sipresenta nei settori più svariati dell’ingegneria edelle scienze, quello della creazione di buone illu-strazioni tridimensionali ad alto contenuto tecnico.L’approccio è quello di presentare dei casi studiobasati su esperienze reali, fornendone i particola-ri implementativi, anziché impostare una discus-sione che replicherebbe quanto è già trattato neiriferimenti bibliografici.

Introduciamo, per cominciare, il contesto in cuiè nato gran parte del materiale di questa comu-nicazione. Al lettore basti sapere che l’oggetto distudio fondamentale della Dinamica del Volo at-mosferico è l’evoluzione dei velivoli in un dato si-stema di riferimento collegato alla Terra. Insiemeal moto dell’aeroplano vengono studiati tutti queifenomeni fisici che lo determinano. Tra questi rico-prono un’importanza particolare i fenomeni di na-tura aerodinamica ed ancor più il modo in cui essidipendono dalla configurazione architettonica delvelivolo e dalla condizione di volo. Da qui si comin-cia a comprendere la necessità in questo campo,e in particolare nella didattica di tali argomenti,di trovare modi efficaci di rappresentare dei con-cetti fisico-matematici legati al volo. L’esperienzadell’autore è che con l’ausilio di rappresentazionitridimensionali ben curate l’esposizione di molticoncetti si arricchisce in immediatezza visiva e di-venta enormemente più efficace. Ciò è vero nonsolo nella didattica ma anche in comunicazioni dicarattere squisitamente scientifico.

La Figura 1 mostra un primo esempio di illu-strazione utilizzata tipicamente nello studio dellaDinamica del Volo per introdurre alcuni elemen-ti di base. Qui si nota subito come la necessitàdi definire componenti di vettori – le componentiu, v e w della velocità V del baricentro G, quellep, q ed r della velocità angolare istantanea Ω, lecomponenti X, Y , Z ed L,M, N delle risultantidelle forze e dei momenti esterni – lungo gli assi diun riferimento standard solidale al velivolo (riferi-mento degli assi velivolo o body-fixed frame) richie-de naturalmente l’utilizzo di una rappresentazionetridimensionale.

Un secondo esempio di illustrazione è riportato

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

v (+), Y (+)

w (+), Z (+)

u (+), X (+)

q (+)M (+)

p (+)L (+)

r (+)N (+)

x

yz

G

hr

δr (+)∆N (−)

heδe (+)∆M (−)

haδa (+)∆L (−)

Figura 1: Esempio di definizione di alcune tra le principali grandezze fisiche collegate alla dinamica del volo di unvelivolo. Per conferire ai disegni l’aspetto di un’illustrazione d’altri tempi l’autore spesso usa una versione modificata delfont Informal Math della MicroPress Inc. (http://www.micropress-inc.com/).

in Figura 2. Da questa si può osservare come, inrelazione al fatto che il volo è un fenomeno squisi-tamente tridimensionale, si rendono spesso neces-sari dei disegni più o meno articolati se si voglio-no rappresentare in maniera efficace alcuni detta-gli teoricamente importanti. Quando un velivolopossiede un assetto di volo non simmetrico, Figu-ra 2(b), vi sono cioè un angolo d’attacco α e di de-rapata β entrambi non nulli, i contributi all’azioneaerodinamica totale di alcuni elementi architetto-nici del velivolo vanno evidenziati mediante l’usodi opportuni pedici (pedici “A”). Ad esempio: im-pennaggio verticale (Vertical tail, “V”), impennag-gio orizzontale (Horizontal tail, “H”), alettone si-nistro/destro (left/right aileron, “ail,r/l”), combi-nazione ala-fusoliera (Wing-Body, “WB”). La Di-namica del Volo è un esempio di quei campi incui l’uso di pedici multipli è molto praticato, alpunto che esistono precise convenzioni sull’uso del-le notazioni dettate da organismi internazionali. Idettagli a cui l’uso di pedici multipli si riferiscehanno ovviamente una corrispondenza di naturafisica. La Figura 2(b) mostra una soluzione grafi-ca che espone in un solo disegno un concetto chepure è espresso efficacemente da un appropriatomodello matematico. Si può scrivere per esempioche:

LA = LA,WB + LA,V + LA,ail,r + LA,ail,l (1)

Una formula come quella appena scritta per unostudente di ingegneria aerospaziale dovrebbe es-sere abbastanza consistente da fargli subito inter-pretare la quantità LA come la coppia di rollio dinatura aerodinamica (che tende a far ruotare l’ae-reo intorno all’asse della fusoliera). Gli addendi asecondo membro costituiscono dunque una sempli-ce sovrapposizione di effetti dovuti, rispettivamen-te, alla combinazione aerodinamica ala-fusoliera(LA,WB), all’impennaggio verticale di coda (LA,V)

ed ai due alettoni, destro e sinistro (LA,ail,r eLA,ail,l). Si potrebbe osservare a questo punto chela semplicità della formula (1) è superiore in im-mediatezza all’illustrazione di Figura 2(b). Ciò èovviamente vero se ci si sofferma al fatto che unagrandezza fisica – il primo membro della (1) – èdata semplicemente dalla sovrapposizione di piùcontributi – cioè la somma a secondo membro. Lapotenza di una illustrazione completa come quel-la in questione si rivela quando si vuole spingereil fruitore, lo studente o il collega ad esempio, aimmaginare da quali altre grandezze fisiche questiaddendi dipendono e, per ciascuno di essi, in chemisura. Dunque, non basta qui immaginare unasemplice somma ma bisogna immaginare ad esem-pio come cambiano i singoli effetti al variare del-l’angolo d’attacco o dell’angolo di derapata. Untale sforzo cognitivo richiede di immaginare unavariazione tridimensionale d’assetto del velivolo.Si vede allora come un’illustrazione tridimensio-nale ben concepita possa diventare un incredibileausilio, specialmente per i soggetti non dotati diapproccio “visuale” al ragionamento.

Per approfondimenti sulla Dinamica del Volo sirimanda a Etkin (1982), Schmidt (1998), Cal-cara (1988), Casarosa (2004), Mengali (2001).

L’elemento più rilevante delle figure richiamatesopra è costituito dalla vista assonometrica di unmodello di velivolo. Le illustrazioni sono state rea-lizzate con strumenti, per così dire “nativamente”3D. In altre parole, non si tratta di tradizionalischizzi piani che nascono dalla mano (digitale) diun illustratore, ma di rappresentazioni (proiezioni)in un piano di oggetti posti in una scena tridimen-sionale. Simili risultati visivi vengono ottenuti tipi-camente quando si effettua il rendering di una sce-na in applicazioni di computer grafica come Blen-der (Roosendaal, 2007) o di simili prodotti com-

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

Forza peso W

~Vorizzonte locale Spinta T

Resistenzaal moto D

Sostentamento L

w

u

α

α

αxb

yb

zb

G

piano di simmetria del velivolo(≡ piano verticale)

(a) Condizione di volo simmetrico, orizzontale, ad ali livellate

W

~V

orizzonte locale

TNp µT

MA,H

NA,ail

LA,ail,l

LA,ail,r

xB

yB

zB

G

LA,V

NA,V

MA,WB

NA,WB

LA,WB

YA

D

L

w

v

u

β

β

α

α

αxB

yB

zB

G

piano di simmetria del velivolo

(b) Condizione di volo non simmetrico, orizzontale, ad ali non livellate

Figura 2: Definizione di azioni esterne su di un velivolo. Esse comprendono la forza peso W e quelle di natura aerodinamicae propulsiva. In volo simmetrico (in alto) la situazione sembra molto più semplice di quella che si presenta per un velivoloin assetto di volo non simmetrico (in basso), quando vi sono un angolo d’attacco α e di derapata β entrambi non nulli.Nella seconda figura si sono evidenziati con opportuni pedici i contributi all’azione aerodinamica (A) totale di alcunielementi architettonici del velivolo.

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

merciali. Un fatto degno di nota è che le illustra-zioni ottenute con il metodo proposto in questoarticolo, grazie alla tecnologia Postscript e all’usci-ta di LATEX in formato PDF, sono intrinsecamentevettoriali.

Nei paragrafi seguenti si cercherà di raccoglieregli elementi che permettano al lettore di creare leproprie illustrazioni 3D e di aggiungervi comoda-mente il testo ed i simboli matematici desideratiattraverso gli usuali comandi LATEX.

2 Illustrazioni tridimensionaliCreare illustrazioni tridimensionali di buona qua-lità da utilizzare in pubblicazioni tecniche e scien-tifiche non è un compito banale. E ciò si intui-sce ovviamente dall’esame delle figure citate inprecedenza.

Dal punto di vista editoriale i disegni in que-stione possiedono delle caratteristiche importanti:(i) le annotazioni contengono testo, lettere grechee simboli matematici composti con LATEX – risul-teranno quindi perfettamente integrate con il re-sto di un eventuale documento composto in LATEXche le contenga; (ii) i disegni sono prodotti in for-ma vettoriale (formati EPS e PDF); (iii) le di-stanze, le proporzioni e gli angoli sono accurati evisivamente corretti.

2.1 La via di PSTricksPer la cronaca, nei suoi primi tentativi di crea-re disegni con simili caratteristiche l’autore hatentato la via di PSTricks (TUG Boat, 2007;Van Zandt, 2003). PSTricks rappresenta una col-lezione impressionante di macro per la creazione didisegni ed illustrazioni con TEX/LATEX. È sufficien-te visitare il sito di riferimento di questo pacchettoe consultare la galleria degli esempi per apprezzar-ne le potenzialità. PSTricks si dimostra uno stru-mento eccellente per illustrazioni bidimensionali.È possibile anche utilizzare alcune estensioni alpacchetto originale, come ad esempio i pacchettipst-3dplot e pst-3d, per creare semplici disegnitridimensionali.

Quando si intende rappresentare una scena tri-dimensionale non eccessivamente semplice è fon-damentale disporre di strumenti pratici che imple-mentino degli operatori matematici di trasforma-zione geometrica. Tra questi compaiono imman-cabilmente le matrici di rotazione, le trasforma-zioni di traslazione, di scalatura e deformazione.Di fatto, questi operatori non sono disponibili inPSTricks oppure sono implementati con funziona-lità limitate ad oggetti semplici in estensioni comepst-3dplot. PSTricks è un pacchetto basato suTEX e sul linguaggio Postscript e si può pensaredi estenderne le possibilità di manipolazione nelmondo 3D. Sebbene sia certamente possibile, ciòè anche estremamente difficile (almeno per i non“TEX guru”).

2.2 Il programma Sketch

Esiste fortunatamente uno strumento che permet-te di ottenere dei risultati avanzati e che al tem-po stesso si inserisce agilmente nel flusso di lavo-ro di produzione delle illustrazioni. Il suo nome èSketch.

Sketch è un programma scritto in linguaggio Cda Gene Ressler (Ressler, 2007a), multipiatta-forma e distribuito con licenza GPL. Si presen-ta come uno strumento leggero e semplice perla produzione di disegni 2D e 3D. L’autore diSketch dichiara nel manuale (Ressler, 2007b) diaverlo concepito per creare delle illustrazioni raf-finate, che contenessero in prevalenza annotazionimatematiche e che, quando incluse in documentiscientifici, non presentassero dettagli disomogeneiall’impostazione tipografica adottata.

I disegni con Sketch sono composti a partire daoggetti primitivi, come punti e linee, da superfi-ci definite per triangolazione ed eventualmente daoggetti testuali. Con opportuni comandi gli ogget-ti sono posti in una scena e quest’ultima vieneproiettata in un piano secondo le classiche regoledella prospettiva, in base ad un assegnato puntodi vista ed ad una data direzione di osservazionedella camera.

Sketch funziona come un comune compilatoreed è programmabile attraverso un linguaggio abba-stanza intuitivo. L’output generato può essere delcodice PSTricks o Tikz (Tantau, 2006a,b; Fau-ske, 2007a) da includere opportunamente in unambiente figure. Grazie ad un’apposita opzionedella riga di comando è anche possibile ottenerein uscita un sorgente compilabile direttamente daLATEX e produrre l’illustrazione desiderata in unasemplice catena di compilazioni.

L’algoritmo di composizione della scena di Sket-ch possiede due caratteristiche particolarmente ri-levanti: viene applicata per default la rimozionedegli oggetti nascosti – meglio nota come algorit-mo di hidden surface removal – ed esiste la possi-bilità di includere nei disegni delle annotazioni informa di comandi LATEX/PSTricks/Tikz, ancoratein una posizione qualsiasi della scena. Quest’ulti-ma caratteristica offre agli utenti LATEX degli ovvivantaggi.

Quando si scopre Sketch ci si rende conto diavere accesso a tutti quegli strumenti matematicie geometrici di cui si ha bisogno per la produzio-ne di disegni tridimensionali e che questi strumen-ti rendono molto più semplice e veloce il flussodi lavoro. Ad, esempio, in Sketch è così semplicecambiare il punto di vista ed ispezionare la scenache si può dire di avere a disposizione anche unostrumento di debug visuale dell’illustrazione.

È opinione dell’autore che i risultati ottenuticon Sketch ripaghino di gran lunga l’utente deltempo speso a studiarne uso e linguaggio.

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

3 Esempi introduttivi diprogrammazione in Sketch

Il materiale di questo paragrafo è ispirato in parteal manuale ufficiale di Sketch (Ressler, 2007b)ed in parte al tutorial su Sketch presente sul si-to web del norvegese Kjell Magne Fauske (Fau-ske, 2007b,c). Di quest’ultimo sarà istruttivo con-sultare, in particolare, la pagina dedicata ad unagalleria di esempi realizzati con il pacchetto Tikz(Fauske, 2007a).

3.1 Il ciclo di lavoroConsideriamo per cominciare una semplice sce-na tridimensionale costituita dalla piramide e dalsistema di assi cartesiani di Figura 3.

z

x

y

Figura 3: Una piramide con Sketch.

Per comporre questa semplice scena con Sket-ch basta scrivere un codice sorgente come quelloriportato nel listato seguente:

1 def pO (0 ,0 ,0) % " punto ", in origine2 def vK [0 ,0 ,1] % " vettore ", asse di rotazione3 def dx 2.3 % " scalare "4 def dy 2.55 def dz dx6

7 % definiamo un oggetto " drawable "8 def Axes 9 % punti sugli assi

10 def pX (dx ,0 ,0)11 def pY (0,dy ,0)12 def pZ (0,0, dz)13 % uniamo i punti14 line [ arrows =->, line width =.8 pt ]( pO )( pX)15 line [ arrows =->, line width =.8 pt ]( pO )( pY)16 line [ arrows =->, line width =.8 pt ]( pO )( pZ)17 % annotazioni : etichette degli assi18 special |19 \ path #1 node [ above ] $z$20 #2 node [ below ] $x$21 #3 node [ right ] $y$;|22 (pZ )( pX )( pY)23 24

25 % definiamo un secondo oggetto " drawable "26 def Pyramid 27 def p0 (0 ,0,2)28 def p1 (1.5 ,0 ,0)29 def n 430 % definiamo una " trasformazione "31 def tMyRotation rotate (360 / n, (pO), [vK ])32 % piramide come rotazione di una linea33 % intorno all ’ asse [vK] in n=4 passi34 % in gergo : uno " sweep "35 sweep [cull=false , fill =blue !20]36 n, [[ tMyRotation ]] line (p0)(p1)37 38

39 % infine definiamo una scena e40 % rendiamo visibile il tutto41

42 % collezione di oggetti " drawable "43 def Scene Pyramid Axes

44

45 def pEye (7 ,5 ,2) % punto di vista46 def pLookAt (0 ,0 ,0) % target camera47

48 % disegno della scena49 put view ( (pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1] ) 50 Scene 51

52 global language tikz

Se questo codice viene conservato in un fi-le, ad esempio pyramid.sk, e compilato con ilcomando:1

> sketch .exe pyramid .sk -o pyramid .tex

si otterrà in uscita il file pyramid.tex. Date le suedimensioni contenute, il suo listato viene riportatoqui di seguito integralmente:

1 \ begin tikzpicture [ join= round ]2 \ filldraw [ fill =blue !20]3 (0 ,1.897) - -(.849 ,.269) - -4 (1.189 , -.192) - -(0 ,1.897) - - cycle ;5 \ filldraw [ fill =blue !20]6 (0 ,1.897) - -( -1.189 ,.192) - -7 (.849 ,.269) - -(0 ,1.897) - - cycle ;8 \ filldraw [ fill =blue !20]9 (0 ,1.897) - -( -.849 , -.269) - -

10 ( -1.189 ,.192) - -(0 ,1.897) - - cycle ;11 \ draw [ arrows =-, line width =.8 pt]12 (0 ,0) - -(0 ,1.897);13 \ draw [ arrows =-, line width =.8 pt]14 (0 ,0) - -( -.849 , -.269);15 \ draw [ arrows =-, line width =.8 pt]16 (0 ,0) - -(1.189 , -.192);17 \ filldraw [ fill =blue !20]18 (0 ,1.897) - -(1.189 , -.192) - -19 ( -.849 , -.269) - -(0 ,1.897) - - cycle ;20 \ draw [ arrows =->, line width =.8 pt]21 (0 ,1.897) - -(0 ,2.182);22 \ draw [ arrows =->, line width =.8 pt]23 (1.189 , -.192) - -(1.981 , -.321);24 \ draw [ arrows =->, line width =.8 pt]25 ( -.849 , -.269) - -( -1.302 , -.413);26

27 \ path (0 ,2.182) node [ above ] $z$28 ( -1.302 , -.413) node [ below ] $x$29 (1.981 , -.321) node [ right ] $y$;30 \end tikzpicture

Esso contiene dei comandi Tikz, racchiusi in unambiente tikzpicture, necessari a generare il di-segno di Figura 3. In questo contesto non interessaentrare nei dettagli dei comandi Tikz, per i quali sirimanda alla documentazione, piuttosto importachiarire come vada utilizzato Sketch.

Se si predispone il seguente prototipo di fileprincipale di comandi LATEX:

1 \ documentclass [a4paper ,12 pt ] article 2 \ usepackage amsmath 3 \ usepackage tikz 4 \ usetikzlibrary %5 arrows ,snakes , backgrounds , patterns 6 \ begin document 7 \ pagestyle empty 8 \ vspace *\ fill 9 \ begin center

10 % ------------------11 %% SKETCH _ OUTPUT %%12 % ------------------

1. Si supponga di lavorare su piattaforma Windows inuna finestra di comandi DOS o, in alternativa, con una bashshell di Cygwin, o Linux, o Mac OS X.

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

13 \end center 14 \ vspace *\ fill 15 \end document

e lo si nomina, ad esempio, main_template.tex,con il comando

> sketch .exe -t main_template .tex \pyramid .sk -o main.tex

Sketch sostituirà la stringa %%SKETCH_OUTPUT%%con i comandi Tikz che generano il disegno el’utente dovrà semplicemente compilare il filemain.tex per ottenere l’uscita finale in formatoPostscript o PDF:

> pdflatex main> cp main .pdf pyramid .pdf

La Figura 4 presenta il flusso di lavoro diun utente che voglia creare un’illustrazione conSketch, LATEX ed i pacchetti PSTricks e Tikz.

3.2 Scopriamo la sintassi di SketchDall’esame del listato del file pyramid.sk si note-ranno molte delle caratteristiche del linguaggio diSketch. Per brevità si cercherà, ove è possibile, dispiegare il significato delle varie istruzioni con unanotazione matematica standard.

Come si intuisce dal nome, il comando def vie-ne usato per definire variabili, oggetti della scena,trasformazioni ed entità geometriche in generale.Tra le entità matematiche e geometriche fonda-mentali messe a disposizione da Sketch troviamole seguenti. Le grandezze scalari, ad esempio:def xA 2.0 def yA 0.0 def zA 0.0 % ← xA, yA, zAdef xB 4.5 def yB 0.0 def zB 2.0 % ← xB , yB , zB

I punti:def pO (0 ,0 ,0) % ← O ≡ (0, 0, 0)def pA (xA ,yA ,zA) % ← A ≡ (xA, yA, zA)def pB (xB ,yB ,zB) % ← B ≡ (xB , yB , zB)def pH (( pB)’x ,( pB)’y ,0.0) % ← H ≡ (xB , yB , 0)

I vettori:def vK [0 ,0 ,1] % ← 0 · ı+ 0 · ȷ+ 1 · kdef vAB [xB -xA ,yB -yA ,zB -zA]def vOB (pB)-(pO) % ← vOB = B −Odef pC (pA )+[0 ,2 ,0] % ← C = A+ 2ȷdef vAC (pC)-(pA) % ← vAC = C − A% prodotto vettorialedef vN_ABC [vAB ]*[ vAC] % ← vAB × vACdef vUnitN _ABC unit ([ vN_ABC ]) % ← versore nABC% proiezione sul piano xydef vNxy [ [ vUnitN _ABC]’x,

[ vUnitN _ABC]’y,0 ] % ← nxy · k ≡ 0

% centro del triangolodef pM0 ( (( pA)’x+( pB)’x+( pC)’x)/3 ,

(( pA)’y+( pB)’y+( pC)’y)/3 ,(( pA)’z+( pB)’z+( pC)’z)/3 )

% punto lungo la normaledef pM1 (pM 0)

+2.0*[ vUnitN _ABC] % ← M1 ≡M0 + 2nABC

Le trasformazioni:% rotazionedef tRot rotate (180 ,( pH ) ,[0 ,0 ,1])% traslazionedef tTransl translate (2*[1 ,0 ,0])% scaling

def sfz 0.8 def tScaleZ scale ([1.0 ,1.0 , sfz ])% roto - traslazionedef tMyT [[ tRot ]] then [[ tTransl ]]

Le istruzioni riportate sopra costituiranno un se-condo esempio di composizione di una scena. Esselasciano intuire la enorme potenzialità del simbo-lismo messo a disposizione dal linguaggio Sketch.Ciò che si vuole ottenere è il disegno di Figura 5.

Per quanto riguarda la designazione dei nomidelle variabili in Sketch, valgono le stesse regoledel linguaggio C. Lo stesso dicasi per le usuali ope-razioni aritmetiche tra grandezze scalari. Esisteanche la possibilità di usare le più comuni funzionimatematiche. Ad esempio:

% distanze tra punti , moduli di vettoridef dAH |( pH)-(pA )| % ← dAH = |H − A|def dBH |( pB)-(pH )|% funzioni trigonometrichedef alpha atan 2(dBH ,dAH) % gradidef dAB |dAH/cos( alpha )| % valore assoluto

% cos () accetta gradi

Per quanto riguarda i punti dello spazio di coor-dinate (x, y, z), questi saranno definiti con la nota-zione usuale che fa uso di parentesi tonde (vedi de-finizione di pO, pA, ecc.). I nomi di variabili di tipopunto saranno utilizzabili in successive operazioniracchiudendoli tra parentesi tonde (vedi l’uso di(pO), (pA), (pB), nelle definizioni di pH, vOB, pCecc.).

Per quanto riguarda i vettori, intesi come dire-zioni nello spazio, la loro definizione in Sketch saràsimile a quella dei punti ma farà uso delle parente-si quadre (vedi definizioni di vK e vAB). Un vettorepotrà anche essere definito come differenza tra duepunti (vedi definizioni di vOB, vAC, ecc.) ed, ana-logamente, un punto potrà essere definito comesomma di un altro punto e di un vettore, come sequest’ultimo fosse un vettore applicato (vedi defi-nizioni di pC e pM1). I nomi di variabili di tipo vet-tore saranno utilizzabili in successive operazioniracchiudendoli tra parentesi quadre (vedi [vAB],[vAC] nella definizione di vN_ABC). Se in una dataespressione una variabile vettore viene manipolatautilizzando le parentesi tonde anziché quadre, adesempio (vAB), Sketch segnalerà un errore. Ana-loga situazione si avrà per uno scorretto uso delleparentesi con le variabili punto.

Sia per le variabili di tipo punto che per quelledi tipo vettore esiste la possibilità di estrarne lecomponenti con gli operatori ’x, ’y, ’z (vedi ledefinizioni di pH, vNxy e pM0).

Per quanto riguarda le trasformazioni, esse sonoin generale costituite da rotazioni, traslazioni, sca-lature, e da loro combinazioni. Nel linguaggio diSketch queste trasformazioni vengono definite conuna sintassi molto intuitiva. Ad esempio, la defi-nizione di tRot lascia intendere che si tratta diuna rotazione – in notazione matematica: Trot,H,z– di 180 intorno ad un asse passante per il punto(pH) e parallelo al versore dell’asse z, [0,0,1]. Un

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

file .sk

• main template.tex

%%SKETCH OUTPUT%%

main.tex file .dviTEX file .ps

schermo

dvips

xdvi

file .pdf

stampante

ps2pdf

gs,gv

sketch[.exe]

pdfTEX (solo con Sketch+Tikz)

Figura 4: Il flusso di lavoro con Sketch e LATEX.

H

A

B

C

~nABC

x

y

z

Figura 5: Una scena composta con Sketch.

punto P2 ottenuto dal punto P1 attraverso questatrasformazione sarà dato dall’istruzione:def pP2 [[ tRot ]]*( pP 1) % ← P2 = Trot,H,z(P1)

Come si vede da questo esempio, una volta de-finite, le trasformazioni esse vengono riutilizzateracchiudendone il nome tra doppie parentesi qua-dre: [[tRot]]. L’esempio mostra anche che latrasformazione di un punto si ottiene attraversoun’opportuna operazione di moltiplicazione. Ciòcorrisponde al fatto che Sketch definisce una tra-sformazione come Trot,H,z attraverso un operatorematriciale di uno spazio di coordinate omogenee.

Le coordinate omogenee di un punto P ≡(x, y, z) dello spazio euclideo tridimensionale so-no date da una qualsiasi quaterna (ξ, η, ζ, w) dinumeri reali tali che: w = 0, x = ξ/w, y = η/w ez = ζ/w. Dunque, il punto espresso in coordinate(ξ, η, ζ, w) nello spazio ampliato è equivalente alpunto reale (ξ/w, η/w, ζ/w). I punti in coordinateomogenee con coordinata w nulla sono detti im-

propri, e non hanno nessun significato geometriconello spazio cartesiano, ma possono rappresenta-re un punto all’infinito, nella direzione del vettoretridimensionale (x, y, z). Le coordinate omogeneepermettono dunque di rappresentare punti all’infi-nito, e consentono di esprimere tutte le trasforma-zioni di coordinate in forma matriciale. L’insiemecostituito da tutte le quaterne non nulle forma unospazio proiettivo tridimensionale.

Le coordinate omogenee sono particolarmentevantaggiose in computer grafica per il fatto nonbanale che qualunque trasformazione affine è rap-presentabile con un prodotto tra matrici, ma loè anche la stessa proiezione prospettica. L’uso dicoordinate omogenee è particolarmente importan-te, perché implica che Sketch è in grado di operaretrasformazioni per proiezioni in prospettiva.

Le rimanenti trasformazioni sono anch’esse de-finite intuitivamente, vedi ad esempio la definizio-ne della traslazione tTransl di entità 2, parallela-mente all’asse x – in notazione matematica, unafunzione Ttrasl,x; o anche la scalatura, una ridu-zione dell’80%, della coordinata z definita cometScaleZ. Esiste inoltre la possibilità di definiredelle trasformazioni composte, cioè di definire del-le trasformazioni come sequenza di altre, comenel caso della trasformazione di roto-traslazionedefinita dalla variabile tMyT. La sequenza di tra-sformazioni viene ottenuta attraverso l’uso dellaparola chiave then.

Accanto agli oggetti definiti in una scena, Sket-ch offre la possibilità di inserire annotazioni co-stituite da vere e proprie finestre di comandiLATEX. Ciò è ottenuto mediante l’uso del comandospecial. Per esempio, un utente di PSTricks po-

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

trebbe pensare di utilizzare il comando \pscircleper ottenere un punto pieno di diametro 2pt incorrispondenza delle posizioni dei punti A, B e Cnella scena e contemporaneamente posizionare leetichette $A$, $B$ e $C$ con il comando \uput:special |

\ pscircle *[ fillcolor = black ]#12 pt\ uput 2 pt [ -90]0#1$ A$\ pscircle *[ fillcolor = black ]#22 pt\ uput 2 pt [ 0]0#2$ B$\ pscircle *[ fillcolor = black ]#32 pt\ uput 2 pt [ 90]0#3$ C$

|( pA )( pB )( pC)

Il comando special si comporta come una funzio-ne che accetta un numero variabile di parametridi tipo punto. I parametri in questo caso sono ipunti (pA), (pB) e (pC). Le loro coordinate tri-dimensionali riferite alla scena verranno trasfor-mate da Sketch in coordinate piane secondo rego-le prospettiche e sostituite nel testo del comandospecial racchiuso dai delimitatori |. . .| al postodelle stringhe #1, #2 e #3. Ciò consente di otte-nere delle annotazioni e in generale degli effettigrafici di basso livello in posizioni precise di undisegno, corrispondenti a punti dello spazio a tredimensioni. L’utente non è tenuto a conoscere laposizione finale sul piano del foglio delle variabi-li punto che intende passare al comando. Questacambierà infatti se verrà variata la posizione delpunto di osservazione o la direzione di osservazio-ne della camera (vedi comando view nel listatodel file pyramid.sk o più avanti).

Il comando special è un comando molto flessi-bile e permette di ottenere effetti grafici non ba-nali, combinando la potenza degli ambienti e deipacchetti LATEX e la possibilità di manipolare ac-curatamente punti della scena tridimensionale. Unesempio è costituito dal disegno della curva tridi-mensionale di Figura 13. Per via del fatto che laversione attuale di Sketch non permette di dise-gnare delle curve spaziali con un comando appo-sito, che accetti dei punti come argomenti, la tra-iettoria del velivolo è stata ottenuta in manieraartificiosa. Si è definito un insieme di punti lun-go la traiettoria, nella scena tridimensionale. Talipunti sono stati poi passati come argomenti ad uncomando special all’interno del quale si è provve-duto, con comadi PSTricks, a disegnare una curvapiana che unisse le proiezioni prospettiche nel pia-no del foglio dei punti della curva tridimensionale.Il risultato grafico, seppure approssimato, apparesoddisfacente.

3.3 Gerarchie di oggetti e trasformazioniVediamo ora come si applica una trasformazionecome tMyT agli oggetti della scena di Figura 5. Ilrisultato che vogliamo ottenere è un disegno comequello di Figura 6.

Per arrivare ad un uso elegante delle trasforma-zioni, vediamo come si può organizzare una gerar-chia di oggetti grafici e di annotazioni nel disegno

di Figura 5. Introduciamo il concetto di polygon.Nel disegno di partenza compaiono due superficipiane triangolari, una di vertici (A,B,C), l’altradi vertici (A,H,C). In Sketch, con uscita Tikz,questi due triangoli sono definiti come segue:def Triangle 1

% solo contorni , no riempimentodef stylecontour

[lay=over , line width =1.4pt , fill =none]polygon [ stylecontour ]( pA )( pB )( pC)% riempimento coloratodef stylefill

[ style =solid ,color =blue !50! gray !70]

polygon [ stylefill ]( pA )( pB )( pC)% cerchi pieni per ogni puntospecial |

\ fill [ style = solid ] #1 circle (2 pt );\ fill [ style = solid ] #2 circle (2 pt );\ fill [ style = solid ] #3 circle (2 pt );

|( pA )( pB )( pC)def Triangle 2

% riempimento , no contornidef stylefill

[ line width =0pt , style =solid ,color =gray !70]

polygon [ stylefill ]( pA )( pH )( pC)special |

\ fill [ style = solid ] #1 circle (2 pt );|( pH)% tratteggio BHspecial |

\ draw [-,dashed , line width =0.8 pt]#1 -- #2;

|( pB )( pH)

Le istruzioni precedenti definiscono i due og-getti grafici Triangle1 e Triangle2 contenentiil comando polygon. Quest’ultimo accetta delleopzioni tra parentesi quadre per il controllo delriempimento e dei contorni. Nel caso particolarele opzioni seguono la sintassi di Tikz, sono defini-te come stringhe di caratteri (vedi definizioni distylecontour e stylefill) e passate infine alcomando racchiuse da parentesi quadre (vedi adesempio polygon[stylefill](pA)(pB)(pC)). Ilcomando polygon definisce in questo caso una su-perficie triangolare piana che unisce i tre puntipassati come argomenti. Si rimanda al manuale diriferimento per approfondimenti sull’uso di questocomando.

I due triangoli rappresentano un esempio di og-getti “drawable”, nel gergo di Sketch, cioè di og-getti disegnabili. Al contrario, gli oggetti puntocome (pA), (pB), e così via, gli oggetti vettore ele trasformazioni definite sopra non sono entità di-segnabili. Per il meccanismo di composizione dellascena e di produzione del disegno finale sarà neces-sario che i due triangoli, dopo la loro definizione,siano posti nella scena con un’apposita sintassi. Ildisegno di oggetti drawable sarà ottenuto racchiu-dendone il nome tra parentesi graffe. Ad esempio,l’istruzione: Triangle 1 Triangle 2

permette di ottenere il disegno dei triangoli per

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

valori di default della posizione del punto di vistae dell’orientamento della camera. L’utente potràintervenire tanto sulla posizione dell’osservatoredella scena, tanto sulla direzione di osservazionecon una trasformazione apposita, view, in com-binazione con il comando put. Si potrà avere adesempio (vedi anche il listato di pyramid.sk):def pEye (2 ,2 ,0.7) % punto di vistadef pLookAt (0 ,0 ,0) % target camera% disegnoput view ( (pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1] )

Triangle 1 Triangle 2

Il comando put serve a produrre il disegno di og-getti drawable dopo avervi applicato una o più tra-sformazioni. Nell’esempio la trasformazione utiliz-zata è view, che accetta tre argomenti: un punto,(pEye), che identifica la posizione dell’obiettivodella camera, un secondo punto, (pLookAt), cheidentifica la posizione nella scena puntata dalla ca-mera, ed un vettore, nell’esempio [0,0,1], che in-dica la direzione verticale (si consulti il manualedi Sketch per i dettagli). Due possibili alternativedi uso di put in questo contesto sono date dagliesempi seguenti:put view ( (pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1] )

then [[ ScaleZ ]] Triangle 1 Triangle 2

oppureput view ( (pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1] )

put translate ([0 ,0 , -3]) Triangle 1

Triangle 2

in cui si vede che put accetta anche sequenze ditrasformazioni e che comandi put possono essereinnestati l’uno nell’altro per un maggiore controllodel posizionamento degli oggetti nella scena.

Sketch permette di costruire degli oggetti dra-wable come delle gerarchie, per composizione dialtri oggetti drawable. Se si intende disegnare sem-pre insieme i due triangoli Triangle1 e Triangle2basta definire un nuovo oggetto come segue:def Triangles

Triangle 1 Triangle 2 VecNormal 2 Triangle 1 % vettore normale

È interessante vedere a questo punto quali so-no gli effetti grafici di una trasformazione cometMyT definita in precedenza. Il risultato della roto-traslazione applicata ai triangoli ed al vettore defi-niti sopra come unico oggetto drawable Trianglesè mostrato in Figura 6.

Il disegno della nuova coppia di triangoli siotterrà semplicemente con l’istruzione seguente:% nuovo drawabledef NewTriangles [[ tMyT ]]* Triangles % disegnoput view ( (pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1] )

NewTriangles

A′

B′

C ′

H ′

~nA′B′C′

Ttrasl,x

Trot,H,z

H

~nABC

A

B

C

x

y

z

Figura 6: Una trasformazione che ruota e trasla i triangolidi Figura 5. Il punto di vista è stato cambiato (vedi sopra).

Un disegno completo come quello di Figura 6sarà prodotto dalle istruzioni:

% Scena : collezione di oggetti drawabledef Scene

Triangles Labels NewTriangles LabelsNew

% disegno della scenaput view ( (pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1] )

Scene % produci output per Tikzglobal language tikz

3.4 Operazioni di disegno cicliche

In Sketch esiste la possibilità di effettuare delleoperazioni di disegno ripetute. Le funzionalità didisegno cicliche di Sketch, sebbene attualmente li-mitate, si presentano comunque come degli stru-menti utili e snelli per particolari esigenze di di-segno. Il concetto che ne sta alla base è quellodi poter disegnare un certo numero di istanze diun oggetto drawable, ciascuna delle quali è ottenu-ta dalla precedente attraverso una trasformazioneprefissata. Il comando corrispondente è dato dallaparola chiave repeat e si rimanda il lettore al ma-nuale di riferimento per un approfondimento deidettagli.

Un comando simile a repeat, ma che permet-te di creare curve e superfici a partire da ogget-ti trasformati ripetutamente nello spazio, è datodal comando sweep. La Figura 7 presenta il dise-gno di una curva dello spazio detta elica. Essa sipuò ottenere componendo un moto di rotazione avelocità angolare costante del punto H0 intornoall’asse z con un moto di traslazione a velocità co-stante parallelo all’asse z. Il risultato è una curvala cui tangente ha una pendenza θ costante rispet-to al piano xy. La tangente della pendenza è dettapasso e viene tipicamente indicata con p = tan θ.

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

H0

θ

θH ′

0

Hz

H

x

y

z

O

Figura 7: Un’elica di asse z e passo p = tan θ.

La curva di Figura 7 si otterrà con i comandiseguenti:def pO (0 ,0 ,0) def pH0 (3 ,0 ,0)def vK [0 ,0 ,1]def Helix

% parametridef nsteps 180def angle _step (360+180)/ nstepsdef pitch _ angle 10def radius |( pH 0) -( pO )|def pitch radius * ( angle _step /57.3)

* sin( pitch _ angle )/ cos( pitch _ angle )def tHelix rotate ( angle _step ,(0 ,0 ,0) ,[ vK ])

then translate ( pitch *[ vK ])% elicasweep [ line width =2.8pt , color =red]

nsteps , [[ tHelix ]] (pH 0)% punto pieno in H0special |

\ fill [ style = solid ] #1 circle (2 pt );|( pH 0)% cerchio di base , z=0def BaseCircle

sweep [ line width =1.8pt , color =gray ,style = dashed ]

36,rotate (360/36 , (0 ,0 ,0) , [vK ])

(pH 0)

% commenta per non disegnare il cerchio BaseCircle

put view (( pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1])

Helix

L’istruzione sweep viene utilizzata sia per disegna-re l’elica che per disegnare la circonferenza tratteg-giata sul piano z = 0. Per usare questo comandobisogna specificare: (i) il numero di cicli di disegno(vedi nsteps), (ii) la trasformazione da applicareall’istanza precedente per ottenerne una corrente(vedi [[tHelix]]) e (iii) un oggetto generatore,nel nostro esempio un punto (vedi (pH0) nelladefinizione dell’elica e di BaseCircle).

Si osservi come il comando sweep sia stato utiliz-zato nel listato di pyramid.sk specificando una li-nea (vedi line(p0)(p1)) come oggetto generatore

ed ottenendo come risultato la superficie lateraledella piramide di Figura 3.

Un’ulteriore esempio di effetto grafico ottenutoper mezzo di un ciclo è costituito dalle annotazio-ni di Figura 7 che mostrano l’entità dell’angoloθ. Un’istruzione di sweep viene qui utilizzata perdisegnare gli archi di circonferenza che termina-no con una freccia. Se si considera, ad esempio, ilpunto H0, per applicare correttamente il coman-do sweep va definito un punto H ′0 lungo la rettaorizzontale uscente da H0. Il punto H ′0 diventa ilpunto generatore dello sweep e viene trasformatonel punto H ′′0 , appartenente alla tangente all’elicapassante per H0. In linguaggio Sketch si scriverà:% vettore lungo il raggiodef vR0 unit ( (pH 0) -( pO) )% vettore orizzontaledef vH0 unit ( [vR 0]*[ vK] )% punto H′0def pH 01 (pH 0)+3*[ vH 0]def tH 02 rotate ( pitch _angle ,( pH 01) ,[ vR 0])% punto H′′0 lungo la tangente all ’ elicadef pH 02 [[ tH 02]]*( pH 01)% arcosweep [ line width =1.8 pt , color =blue ,

style =solid , arrows =->]4, rotate ( pitch _ angle /4 ,( pH 0) ,[ vR 0])

( pH 01)% linee e punti con Tikzspecial |

\ draw [-,solid , line width =0.8 pt ]#1 -- #2;\ fill [ style = solid ] #1 circle (2 pt );\ fill [ style = solid ] #2 circle (2 pt );\ fill [ style = solid ] #3 circle (2 pt );\ draw [-,solid , line width =0.8 pt ]#1 -- #3;

|( pH 0)( pH 01)( pH 02)% simbolo θ con Tikzspecial |

\ path [ line width =0 pt ]#1to node [ node distance =0pt ,pos =0.4 ,

pin =[ pin distance =24pt ,pin edge = bend left ,blue , thick ]

-45:$\ theta$] #2;|( pH 01)( pH 02)

Per un punto H qualsiasi lungo l’elica, l’effetto vo-luto viene realizzato potendo comodamente otte-nere in Sketch un vettore dal prodotto vettorialedi altri due. Si costruiranno: un punto H ′ stac-candolo lungo una retta orizzontale uscente da He normale al raggio locale, ed un punto Hz pro-iettando H sull’asse. Osservando che i due vettoriH−Hz ed (H ′−H)×k sono paralleli, si potrà defi-nire un vettore da utilizzare nell’istruzione sweepcome asse di rotazione. Tale operazione avrà co-me centro il punto H e come punto generatore ilpunto H ′. L’effetto grafico voluto è mostrato inFigura 7.

4 Uso avanzato di SketchLe caratteristiche del linguaggio di composizionedi una scena messe a disposizione da Sketch sonotali da poter dire che le illustrazioni tridimensiona-li con esso ottenibili sono di fatto delle illustrazioniavanzate.

La possibilità di costruire delle superfici dellospazio come reticolati, cioè come insiemi di tasselli

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

triangolari, attraverso il comando polygon, l’algo-ritmo di hidden surface removal (anche noto comealgoritmo “del pittore”) e la possibilità di definiretrasformazioni di coordinate aprono la strada adun uso ancora più spinto di Sketch.

Un utente potrebbe pensare, ad esempio, di co-struire una collezione di modelli 3D e di utiliz-zarli a proprio uso e consumo. Sarà possibile cosìcomporre delle scene avanzate inserendovi uno opiù oggetti opportunamente disposti e corredatidi specifiche annotazioni, come avviene in molteillustrazioni tecniche. Alla luce di ciò, si pensi aipopolari formati grafici STL o OBJ, che descrivo-no superfici 3D come tassellazioni, e a tutti queimodelli tridimensionali liberamente scaricabili dainternet o creabili con programmi open source co-me Blender. Con queste idee in mente l’autore hacreato col tempo, a partire da modelli in formatoSTL, una libreria personale di modelli di velivoloin formato Sketch. Per fare ciò è bastato convertirele tassellazioni STL in istruzioni polygon median-te l’uso di un’apposito programma (De Marco,2007) basato sul software open source IVCon-TLdi John Burkardt (Burkardt, 2007).

A seconda dell’esigenza specifica, un dato mo-dello di velivolo può essere opportunamente com-posto e posizionato nella scena, una o più volte. Siveda a tal proposito la Figura 8.

Il semplice modello di aereo di Figura 8 è sta-to concepito per scopi didattici. Si distingue ladiversa colorazione di alcune parti architettoni-che: la fusoliera, il tettuccio, le ali (dorso e ven-tre), la deriva verticale, gli alettoni, la parte fissae la parte mobile (equilibratore) del piano di co-da orizzontale, il timone. Ciascuno di questi sotto-componenti risiede in un file separato, contenentegli appositi comandi polygon e viene richiamatoall’occorrenza con il comando input. Ad esempio:% polygon filesdef Aircraft _ Fuselage

def bodystyle [ line width =0pt ,style =solid , color =gray !70]

input small _ aircraft _fus.skdef Aircraft _ Canopy

def bodystyle [ line width =0pt ,style =solid , color = mylightblue !100! gray]

input small _ aircraft _ canopy .skdef Aircraft _Fin

def bodystyle [ line width =0pt ,style =solid , color = mydarkblue !40! gray]

input small _ aircraft _fin.sk% ...% The Aircraftdef Aircraft

% ... Aircraft _ Fuselage Aircraft _ Canopy Aircraft _Fin Aircraft _ HTail Aircraft _ WingsTop Aircraft _ WingsBottom % ----------------------------------------% Scommentare ed editare come si conviene% se si vogliono ruotare questi oggetti% ----------------------------------------% put

xy

z

(a)

xy

z

(b)

Figura 8: Un semplice modello tridimensionale di velivolocon Sketch.

% rotate ( 0, ( pElevatorHingeB ),% [ vElevatorAxis ] )

Aircraft _ Elevator % put % rotate ( -30, ( pRudderHingeA ),% [ vRudderAxis ] ) Rudder

Aircraft _ Rudder % put rotate ( -30, ( pAileronHingeRA ),% [ vAileronAxisR ] ) AileronR

Aircraft _ AileronR % put rotate ( -30, ( pAileronHingeLA ),% [ vAileronAxisL ] ) AileronL

Aircraft _ AileronL

Le definizioni riportate sopra si fondano sull’istru-zione input e sulla convenzione che ciascun filecontenente la descrizione di una superficie presen-ti i comandi polygon con un campo delle opzionifittizio del tipo [bodystyle]. Un esempio di filesmall_aircraft_elevator.sk è il seguente:% --------------------------------------------% SKETCH file : small _ aircraft _ fus .sk% Original data : small _ aircraft _ fus . stlpolygon [ bodystyle ]

( 9.050886 , -624.006042 , 41.119484 )( -0.105902 , -693.260681 , 43.389565 )( 240.739075 , -695.190979 , 43.000031 )

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

polygon [ bodystyle ]( 9.050886 , -624.006042 , 41.119484 )( 240.739075 , -695.190979 , 43.000031 )( 240.739075 , -624.028137 , 43.000027 )

% ...% ----------------------------------------- EOF

Il comando input, come in altri linguaggi, per-mette di includere comandi contenuti in un fi-le separato. Nell’esempio si è usata la possibi-lità di definire in Sketch delle variabili stringadi caratteri. La stringa bodystyle viene defini-ta localmente a ciascun oggetto (vedi ad esem-pio Aircraft_Fuselage) prima di richiamare icomandi del tipopolygon [ bodystyle ]( <p1>),( <p2>),(<p3>)

contenuti nel file esterno (vedi ad esempio ilframmento di file small_aircraft_fus.sk ripor-tato sopra). La variabile bodystyle ha campodi visibilità locale, cioè non risulra definita aldi fuori della definizione di un oggetto comeAircraft_Fuselage. Ciò permette di ridefinire ta-le variabile più volte, una per ciascun oggetto cheandrà a comporre l’oggetto drawable gerarchica-mente più importante: Aircraft. Sarà quest’ul-timo ad essere disegnato nella scena con un op-portuno comando put. Ad esempio, il disegno delvelivolo di Figura 8(b) si otterrà con comandi deltipo:put view (( pEye), ( pLookAt ), [0 ,0 ,1])

put rotate (90 ,(0 ,0 ,0) ,[1 ,0 ,0]) Aircraft

5 Piccola galleria di illustrazioniPer terminare con degli esempi, si presenta unapiccola galleria di illustrazioni realizzate con Sket-ch e sfruttando le caratteristiche sia di Tikz chedi PSTricks.

L’illustrazione di Figura 10 è stata creata permostrare le azioni esterne su un velivolo duranteuna virata. Si noti l’uso di trasparenze per mezzodi comandi Tikz e l’uso di frecce tridimensionalisia dritte che curve. Queste ultime sono state defi-nite analiticamente in Sketch e vengono utilizzatecon opportune impostazioni di colore e di fattoredi scala. Nell’esempio specifico le frecce aiutano acapire che la portanza L e la resistenza D aero-dinamiche del velivolo sono disposte in un pianoinclinato di ϕW sulla verticale locale.

L’illustrazione di Figura 11 è stata creata permostrare un caso particolare di evoluzione, l’evo-luzione di pull-up sostenuta fino a compiere uncosiddetto loop, durante la quale le storie tempo-rali degli angoli di Eulero del velivolo presentanodelle discontinuità. Le annotazioni e le colorazionisono state ottenute con PSTricks.

I disegni di Figura 12 sono stati anch’essi otte-nuti come quello precedente e rappresentano clas-siche illustrazioni in cui l’orientamento del velivolo

nello spazio, definito dagli angoli di Eulero, è vi-sualizzato per mezzo di una sospensione cardanica.Gli oggetti grafici sono stati modellati con un soft-ware CAD, esportati in formato STL e convertitiin poligoni in formato Sketch.

L’illustrazione di Figura 13 mostra un secondoesempio di evoluzione di volo. Come per la Figu-ra 11, il modello 3D del velivolo è quello presentatoin Figura 8. In questo esempio uno solo degli an-goli di Eulero, l’angolo detto di rollio ϕ, presentauna discontinuità nel tempo.

6 Vantaggi e svantaggi nell’uso diSketch

6.1 Osservazioni

L’uso di Sketch presenta vantaggi e svantaggi.Questi saranno più o meno sentiti a seconda deltipo di utente, del suo background culturale, del-la sua esperienza. Ad esempio alcuni potrebberomuovere la seguente osservazione: Quale vantaggiocomporta l’uso di Sketch rispetto all’ovvia alterna-tiva di poter realizzare con uno strumento di mo-dellazione tridimensionale delle viste prospettichein formato bitmap o vettoriale? Queste immaginipotrebbero essere importate ed annotate con codiceLATEX extra che consenta di collocare le scritte neipunti giusti (vedi Figura 9). Oppure, se le imma-gini sono vettoriali, si potrebbero inglobare in essedei frammenti di codice ad hoc da poter manipola-re con LATEX in fase di produzione del documentofinale.

Una simile osservazione vale per chi propone l’u-so di PSTricks e Tikz: Perché ci si dovrebbe ostina-re ad usare simili pacchetti quando esistono appli-cazioni commerciali e non2 con le quali poter pro-durre illustrazioni anche molto complesse? È unaquestione di “look and feel”, direbbero gli ameri-cani. Eppure, il sito web di PSTricks è uno dei piùvisitati e dei più attivi; lo si vede dall’evoluzioneche hanno avuto negli ultimi due anni le sezionidedicate agli esempi ed ai pacchetti collegati.

Figura 9: Esempio di immagine bitmap con annotazioniapposte nei punti giusti.

2. Ad esempio, Macromedia FreeHand, Adobe Illustra-tor, Corel Draw, Inkscape, XFig, WinFig.

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

Una risposta ragionevole alle osservazioni prece-denti è che ci sono diverse tipologie di utenti – avolte completamente opposte – e di volta in voltail metodo di lavoro più appropriato dipende anchedal carattere e dalla complessità dell’illustrazioneche si intende realizzare. Non trascurabile altresìè lo scopo al quale l’illustrazione è destinata: unapubblicazione, una monografia, una dispensa di-dattica informale, una presentazione, un rapportotecnico.

Per valutare le possibili situazioni di vantag-gio derivanti dall’uso di Sketch va tenuto presen-te che tale approccio è destinato ad utilizzatoridi LATEX/PSTricks/Tikz, cioè ad utenti che han-no sposato ed in alcuni casi si sono piegati ad unmetodo di lavoro non-WYSIWYG. In ogni casola produzione di un’illustrazione di buona qualitàsi concluderà al termine di un processo iterativodurante il quale saranno probabilmente necessa-rie diverse ricompilazioni prima di raggiungere unrisultato esteticamente soddisfacente.

La via delle annotazioni ad un’immagine genera-ta con strumenti esterni richiederà l’importazionedell’immagine bitmap, ad esempio nell’ambientepspicture di PSTricks. Questo metodo è di prati-co impiego e può avvalersi dell’uso di una griglia diriferimento temporanea opportunamente sovrap-posta all’immagine originale al fine di posizionarele annotazioni nei punti appropriati. Tale metodoè da preferirsi certamente se il numero delle anno-tazioni è contenuto e se esse si limitano a semplicisimboli o paragrafi. Esso diventa laborioso se l’illu-strazione che si intende realizzare dovesse contene-re molti simboli e l’indicazione di angoli, assi e ret-te di riferimento o di punti particolari in relazioneagli oggetti presenti nella scena (ad esempio il bari-centro di un velivolo oppure gli assi di cerniera del-le superfici aerodinamiche di governo). In tal casol’esperienza insegna che la realizzazione di annota-zioni grafiche ben proporzionate e visivamente cor-rette non è immediata e richiede quasi certamentepiù iterazioni di editing-stampa-ispezione.

Un discorso analogo vale per la manipolazionedi viste esportate in formato vettoriale, con an-notazioni inglobate e manipolabili a posteriori se-condo un dato protocollo. Anche in questo casosono inevitabili alcune iterazioni prima di arrivaread un risultato finale soddisfacente: almeno le di-mensioni e le posizioni effettive delle annotazionivanno controllate a valle della produzione finaledel documento.

Si tenga presente inoltre che spesso si dà perscontato l’uso di strumenti di modellazione tridi-mensionale. Tuttavia, se si vogliono valutare cor-rettamente i vantaggi di un dato metodo di lavo-ro per la produzione di illustrazioni, vanno cer-tamente considerati i costi ed i tempi di appren-dimento del software CAD che si intende usare.I costi nel caso di CAD commerciali sono alti. I

software di modellazione 3D non commerciali piùusati sono Blender e K-3D3: sebbene ancora nellafase pre-release, essi sono dotati di caratteristichefunzionali paragonabili a quelle di costose applica-zioni concorrenti. Tutti i CAD, commerciali e non,hanno comunque delle interfacce utente ricche difunzionalità ed a volte estremamente complesse.Quelle di Blender e K-3D sono poi note per esserenon del tutto convenzionali ed orientate ad uten-ti programmatori o esperti. Dunque, in ogni caso,i tempi di apprendimento di strumenti di model-lazione e manipolazione di scene tridimensionalisono senz’altro non brevi.

6.2 Aspetti del metodo di lavoro propostoL’uso di Sketch al contrario può essere appresoin tempi sorprendentemente brevi. Un utente me-diamente esperto, in possesso di nozioni di Geo-metria Analitica, grazie soprattutto all’intuitivitàdella sintassi ed agli ottimi esempi guidati fornitinel manuale d’uso, arriva ad apprendere il linguag-gio di Sketch ed a realizzare una prima illustrazio-ne di media complessità nel giro di 2 ore di lavoro.Uno studente universitario, già in grado di padro-neggiare l’uso di LATEX e dei programmi correlati,dovrebbe poter raggiungere lo stesso risultato inmezza giornata di lavoro.

Le figure 5, 6 e 7, concepite appositamente perquesto articolo, hanno richiesto all’autore un’oradi lavoro complessivo. Le due illustrazioni di Fi-gura 8, grazie alla piccola libreria messa a dispo-sizione da De Marco (2007), hanno richiesto 10minuti di lavoro. A giudizio dell’autore il tempomassimo impiegato per la preparazione di un’illu-strazione o di un grafico di buona qualità da inseri-re in un lavoro scientifico è accettabile se va dai 30ai 60 minuti. Se l’illustrazione deve essere inseritain un libro i tempi accettabili sono di un ordinedi grandezza superiore. Pertanto i tempi di lavororichiesti da Sketch sono molto bassi per illustra-zioni semplici, e mediamente bassi per illustrazio-ni di complessità superiore. Tuttavia se l’illustra-zione deve essere particolarmente ricca di oggettie di annotazioni o di effetti di shading, è preferi-bile scegliere un metodo alternativo o affidarsi aprofessionisti.

Per quanto riguarda la sostenibilità del ciclo dilavoro con Sketch e LATEX, sia gli utenti che fannouso di IDE (Integrated Development Environment)dedicati, come WinEdt4 o TexnicCenter5, sia quel-li che preferiscono usare editor generici e gestisco-no le compilazioni con un Makefile non dovreb-bero apportare sostanziali sconvolgimenti al loroparadigma di lavoro se non aggiungere un passodi compilazione in più (vedi Figura 4).

La fase fondamentale del lavoro con Sketch ècostituita dall’editing di codice sorgente nel suo

3. http://www.k-3d.org4. http://www.winedt.com5. http://www.texniccenter.org

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con Sketch e LATEX

Tabella 1: Alcuni dati sui tempi di compilazione. Si considerano due tipologie di illustrazione, una semplice ed unaalquanto complessa. Risultati ottenuti con un PC dotato di processore Pentium 4 a 3.2 GHz, 2 Gb di memoria RAM,Windows XP, MikTeX 2.6.

Figura 7sk→tex tex→dvi dvi→ps

tempi di calcolo (s) 0.015 2.23 0.31dimensioni output (Mb) 0.007 0.025 0.050

Figura 13sk→tex tex→dvi dvi→ps

tempi di calcolo (s) 0.38 8.31 4.56dimensioni output (Mb) 0.670 7.88 8.189

linguaggio di modellazione. In questa fase avereaccesso ad un editor con evidenziazione della sin-tassi personalizzabile diventa di fondamentale im-portanza. L’autore ha creato e messo a disposizio-ne il file sketch.vim nell’archivio skthings.zip(De Marco, 2007). Questo add-on permette agliutilizzatori di Vim6 di scrivere sorgenti in linguag-gio Sketch usufruendo del syntax highlighting siaper i costrutti specifici di Sketch che per quelli inlinguaggio LATEX inclusi nei frammenti special.

Per quanto riguarda i tempi di compilazione,questi dipendono dalla complessità della scena edal numero di elementi che compongono ciascunoggetto. La compilazione con Sketch è tipicamen-te molto veloce, anche nei casi in cui si richiededi rimuovere le facce nascoste nella rappresenta-zione di oggetti molto complessi. Meno veloce èla compilazione da parte di LATEX dell’output diSketch. Si riportano in Tabella 1 i tempi macchinarichiesti per produrre due illustrazioni di diversacomplessità.

In alcuni casi, quando il carico computazionale èappesantito dalla presenza nella scena di uno o piùoggetti di grandi dimensioni è necessario accresce-re la dimensione del buffer di memoria principaledi LATEX rispetto al valore di default. Per esem-pio, l’illustrazione di Figura 13 è stata ottenutapassando alla riga di comando di LATEX l’opzione-mem-max=9000000.

Nel manuale utente (Ressler, 2007b) si riportail risultato di un test estremo a cui Sketch è statosottoposto al fine di verificarne la robustezza e lavelocità di esecuzione. Ne risulta che la compila-zione del cosiddetto Stanford Bunny7, un model-lo tipicamente utilizzato per la verifica di algorit-mi di computer grafica, costituito da circa 70000triangoli, ha richiesto circa 6 secondi8. Una lar-ga parte del tempo di esecuzione è stata richiesta

6. http://www.vim.org7. http://www.cc.gatech.edu/~turk/bunny/bunny.

html8. Non è specificato il tipo di computer utilizzato per la

prova né il sistema operativo.

per la scrittura in output del codice LATEX mentrela rimenente è stata consumata dall’algoritmo dirimozione degli oggetti in secondo piano.

7 ConclusioniIn questo articolo si è presentato un possibile ap-proccio alla produzione di illustrazioni di eleva-ta qualità a scopo didattico, contenenti delle rap-presentazioni prospettiche di scene tridimensiona-li. Uno degli scopi dell’articolo è quello di intro-durre il programma Sketch, uno strumento relati-vamente recente ed ancora poco conosciuto nellacomunità di utilizzatori LATEX.

Mediante alcuni esempi guidati sono state pre-sentate le caratteristiche principali del linguag-gio di modellazione di Sketch nonché le suepotenzialità per la rappresentazione di scenecomplesse.

Infine sono stati discussi alcuni aspetti salientidel metodo di lavoro proposto: valutazione appros-simativa dei tempi di apprendimento, dimensionigestibili, tempi di calcolo.

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

R

W = mgzV

φW

xV

orizzontale

yV

ψW(t0) = 0

ψW

~V

xW(t0)

TyW(t0)

D

zW

L = nmg

w

u

α

α

α xB

yBzB

piano di simmetria del velivolo

Figura 10: Definizione delle azioni esterne su di un velivolo in un’evoluzione di virata corretta a quota costante. Sievidenziano alcuni dei diversi sistemi di riferimento standard: il riferimento verticale locale (V, local vertical), quello degliassi velivolo (B, body) e quello degli assi vento (W, wind).

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A. De MarcoUniversità degli Studi di Napoli“Federico II”Dipartimento di Ing. Aerospazialeagostino.demarco@unina.it

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con e LATEX

θ

xb

φ = 180

θ

ψ = 180

horizontal,ψ = 0

θ = −π2+,

ψ and φflip from180 to 0

θ = +π2−,

ψ and φflip from0 to 180

xbyb

zb

Figura 11: Un’illustrazione che mostra l’evoluzione di un velivolo detta pull-up. In un pull-up le storie temporali degliangoli di Eulero non sono continue.

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Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con e LATEX ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007

ψ

φ

θ

ze

yexe

~ψ

~φ~θ

xb

ybzb

(a) un orientamento generico

ψ

φ

θ = π2

ze

yexe

~ψ

~φ

~θ

xb

yb

zb

(b) l’assetto noto come gimbal lock in cui gli angoli di Eulero non sono definiti

Figura 12: Una classica illustrazione in cui l’orientamento del velivolo nello spazio, definito dagli angoli di Eulero, èvisualizzato per mezzo di una sospensione cardanica.

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ArsTEXnica Nº 4, Ottobre 2007 Illustrazioni 3D di Dinamica del Volo con e LATEX

ye

horizontal,

ψ=0

xe

Figura 13: Esempio di evoluzione lungo una traiettoria non piana e con storie temporali non banali degli angoli di Eulero.

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