IMAGEAMENTO DE RESISTIVIDADE ELÉTRICA A PARTIR DE … · Índice de Figuras 1.1 Esquema de indução eletromagnética em corpos ... ao passar por um o próximo a uma bússola que

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

IMAGEAMENTO DERESISTIVIDADE ELÉTRICA A

PARTIR DE DADOSELETROMAGNÉTICOS

MULTIFREQUÊNCIA, ARRANJOCOPLANAR HORIZONTAL

RICARDO LUIZ BARBALHO BARRETO

SALVADOR � BAHIAABRIL � 2010

Documento preparado com o sistema LATEX.

Documento elaborado com os recursos grá�cos e de informática do CPGG/UFBA

Imageamento de resistividade elétrica a partir de dadoseletromagnéticos multifrequência, arranjo coplanar horizontal

porRicardo Luiz Barbalho Barreto

Eng. Eletricista (Universidade Federal do Rio Grande do Norte � 1997)

Orientador: Prof. Dr. Hédison Kiuity Sato

DISSERTAÇÃO DE MESTRADOSubmetida em satisfação parcial dos requisitos ao grau de

MESTRE EM CIÊNCIASEM

GEOFÍSICAà

Câmara de Ensino de Pós-Graduação e Pesquisada

Universidade Federal da Bahia

Comissão Examinadora

Dr. Hédison Kiuity Sato (UFBA)

Dr. Olivar Antônio Lima de Lima (UFBA)

Dr. José Carlos Alves Pinheiro (MB)

Aprovada em 23 de abril de 2010

A presente pesquisa foi desenvolvida no Centro de Pesquisa em Geofísica e Geologia da UFBA,com recursos próprios, da CAPES, da CNPq, CTPETRO, ANP

B273 Barreto, Ricardo Luiz Barbalho,Imageamento de resistividade elétrica a partir de dados ele-

tromagnéticos multifrequência, arranjo coplanar horizontal / Ri-cardo Luiz Barbalho Barreto. � Salvador, 2010.

xxf.: il.

Orientador: Prof. Dr. Hédison Kiuity SatoDissertação (Mestrado) - Pós-Graduação em Geofísica. Insti-

tuto de Geociências da Universidade Federal da Bahia, 2010.

1. Prospecção - Métodos geofísicos. 2. Indução Eletromagné-tica. I. Sato, Hédison Kiuity. II. Universidade Federal da Bahia.Instituto de Geociências. III. Título.

550.838

A minha mãe, pelo exemplo decaráter e compaixão que sempre foie continua sendo em minha vida.

Resumo

O processo de interpretação de dados obtidos em lavantamentos eletromagnéticos é frequen-temente feito através da comparação com dados produzidos por modelos teóricos ou de escalareduzida. No intuito de contribuir para a interpretação desse tipo de levantamento, este tra-balho produz e analisa per�s de condutividade elétrica no plano xz através de simulaçõescomputacionais de um modelo geológico teórico composto por uma esfera condutora imersanum semiespaço in�nitamente resistivo sob um arranjo horizontal coplanar.

A metodologia empregada faz a inversão das impedâncias de acoplamento mútuo (Z/Z0)em condutividades aparentes (Dias, 1968) e as associa a um ponto de maior in�uência noplano xz (Sato, 1979), gerando uma grade de dados que permite, por sua vez, construiros per�s 2D. Para o processamento dos dados FDEM no arranjo adotado, foi necessárioreescrever a expressão de Z/Z0 como uma expansão em série de Taylor para reduzir erros noscálculos computacionais para pequenos valores do número de indução, resultado conseguidopara θ < 10−2, intervalo em que os erros são sempre menores que 1%.

A avaliação das coordenadas do ponto de maior in�uência em condições limítrofes (θ � 1

e θ � 1) con�rma a existência de uma linha limite com mergulho de 26,57◦, abaixo daqual não é possível observar as anomalias, e a necessidade de se ter números de induçãomuito altos quando o alvo é um corpo raso, o que implica em condições especí�cas, comofrequências maiores que 10 kHz, distâncias TX-RX muito grandes ou condutividades muitoaltas, o que, nas aplicações práticas dos métodos CSAMT, não é usual. Os per�s obtidosmostram também que a posição horizontal das imagens geradas por corpos mais profundossão deslocadas na direção contrária a do transmissor quando se associa a medição a umponto diretamente abaixo do receptor. Dessa forma, a correção horizontal utilizada, apesarde deslocar um pouco as imagens dos corpos mais rasos na direção do transmissor, produzresultados muito melhores para corpos mais profundos.

4

Abstract

The process of interpreting the data obtained from electromagnetic surveys is often madeby comparison with data produced by theoretical or reduced scale models. To contributeto the interpretation of this kind of survey, this work produces and evaluates eletrical con-ductivity pro�les in xz plane through computational simulations of a theoretical geologicalmodel consisting of a conducting sphere immersed in an in�nitely resistive half-space undera horizontal coplanar loops array.

The used methodology performs the inversion of mutual coupling impedances (Z/Z0) inapparent conductivities (Dias, 1968) and associates them to points of greatest in�uence inthe xz plane (Sato, 1979), creating a grid of data that produces a 2D pro�le. For FDEMdata processing under the adopted array, it was necessary to rewrite the expression Z/Z0

as an expansion in Taylor series to reduce errors in the computational calculations for smallnumber of induction, result accomplished for θ < 10−2, where errors are always lower than1%.

The evaluation of the coordinates of the point of greatest in�uence on limiting conditions(θ � 1 e θ � 1) con�rms the existence of a boundary line with a deep angle of 26.57◦, belowof which it is not possible observe anomalies, and the need to have induction numbersvery high when the target is a shallow body, which implies speci�c conditions, such asfrequencies above 10 kHz, distances TX-RX very large or very high conductivities, which inpractical applications of the CSAMT methods, is unusual. Pro�les obtained also show thatthe horizontal position of the deeper bodies images are displaced in the opposite direction ofthe transmitter when the measurement is associated to a point directly below the receiver.Thus, the horizontal correction proposed, although slightly o�set images of the shallowerbodies toward the transmitter, produces much better results for deeper bodies.

5

Índice

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Índice de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Índice de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Método Eletromagnético - Con�gurações e Modelos . . . . . . . . . . . 141.1 Con�gurações TX-RX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Formulação da con�guração HCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Modelo da esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Inversão de Dados Eletromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Ábacos de impedância de acoplamento mútuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Geração dos per�s de condutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Determinação do ponto de maior in�uência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Redução de erros numéricos para pequenos números de indução . . . . . . . 35

3 Per�s de condutividade 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1 Processamento dos dados FDEM para criação dos per�s de condutividade . . 413.2 Esfera a diferentes distâncias de TX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Esfera com diferentes profundidades e raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Esfera com raio constante e diferentes profundidades . . . . . . . . . . . . . 46

4 Conclusões e recomendações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6

Índice 7

Referências Bibliográ�cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Anexo I Códigos de programa e scripts usados no imageamento de dadosFDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53I.1 Programa para cálculo das trincas (xP , zP , σA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53I.2 Procedimento computacional para geração dos per�s de condutividade 2D . 54I.3 Procedimento computacional para desenhar os per�s de condutividade 2D . 55

Índice de Tabelas

2.1 Dados eletromagnéticos de uma esfera de raio 50m e condutividade de 10 S/m,a uma profundidade de 50m e 600m de distância do transmissor. . . . . . . 40

8

Índice de Figuras

1.1 Esquema de indução eletromagnética em corpos geológicos. Adaptada deGrant e West (1965). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Arranjos mais usuais nos métodos de indução eletromagnética. Adaptada deGrant e West (1965). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Per�l de impedância de acoplamento mútuo de uma esfera condutora no es-paço livre para a con�guração HCP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Ábaco para con�guração PERP sobre semiespaço homogêneo e isotrópico. . . 232.3 Ábaco para con�guração HCP fazendo uso do campo magnético total. . . . . 262.4 Ábaco para con�guração HCP fazendo uso do campo magnético secundário. 272.5 Obtenção dos pontos (θ, U) a partir das entradas dadas na tabela 2.1. . . . . 282.6 Curvas do parâmetro de polarização U em função da frequência para diferentes

distâncias x ao transmissor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Curvas do parâmetro de polarização U em função da distância ao transmissor

para diferentes frequências f ao transmissor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8 Razão r/δ do dipolo magnético vertical em função de θ para semiespaço ho-

mogêneo isotrópico. Figura adaptada de Sato (1979). . . . . . . . . . . . . . 312.9 Esquema para localização do ponto de maior in�uência. Figura adaptada de

Sato (1979). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.10 Esfera com centro a 3000m de TX, condutividade de 10 S/m, raio 250m e

profundidade variando de (a) 250m a (f) 1500m. . . . . . . . . . . . . . . . 342.11 Ábaco para con�guração HCP fazendo uso do campo magnético secundário

extendido para θ ≥ 10−5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.12 Comparação entre as partes real e imaginária de Z/Z0 obtidas pela equação 1.3

e pelo polinômio 2.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Per�l de condutividade elétrica para esfera de condutividade 10 S/m, raio eprofundidade do centro iguais a 40m e distâncias em relação a TX de (a)200m, (b) 400m, (c) 700m e (d) 900m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9

Índice de Figuras 10

3.2 Esfera com centro a 700m de TX, condutividade de 10 S/m, raio e profundi-dades iguais a (a) 40m, (b) 80m, (c) 120m e (d) 160m. . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Sobreposição dos pontos alocados no plano xz para geração do per�l de con-dutividade de uma esfera de raio 160m, profundidade de 160m e distância aotransmissor de 700m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Esfera com raio igual a 40m, condutividade de 10 S/m, a uma distância de800m em relação a TX e profundidades do centro iguais a (a) 40m, (b) 80m,(c) 120m e (d) 160m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Introdução

Desde a história antiga, os fenômenos magnéticos já vêm sendo observados na natureza.Há registros, por exemplo, de que Tales de Mileto, na Grécia, por volta do ano 600 AC,já observava que certo tipo de pedra, achada na cidade de Magnésia, era capaz de atrairoutros corpos metálicos. Até o século XVII, o conhecimento que se tinha do magnetismoera baseado em experimentos práticos, não havendo ainda nenhuma explicação teórica paraaqueles fenômenos. Apesar de eles serem montados muito mais com o caráter de admiraçãoe fascínio do que para aplicação prática no dia-a-dia, já se sabia à época como criar eletri-cidade atritando materiais diferentes e como armazená-la, usando uma espécie de capacitor,conhecido como garrafa de Leiden. No século XVIII, com os experimentos de maior interessecientí�co, como as máquinas que criavam eletricidade estática e a transmissão dessa eletrici-dade entre pontos distantes, começaram a surgir as primeiras fundamentações teóricas sobreos fenômenos elétricos e magnéticos, como a Lei de Coulomb, que explicava como aconteciaa interação entre cargas elétricas separadas. Mas até então, esses fenômenos eram tratadoscomo de natureza diferentes.

Foi em 1820 que o físico Hans Christian Oersted, em um experimento no qual umacorrente elétrica, ao passar por um �o próximo a uma bússola que apontava para o nortemagnético da Terra, fazia a agulha movimentar-se, veri�cou que há, sim, interação entreambos. Apesar de terem sido feitos vários outros estudos nos anos seguintes, como a Lei deAmpère em 1820, a Lei de Ohm em 1827 e a Lei da Indução de Faraday em 1831, foi só em1864 que James Clerk Maxwell juntou num conjunto de quatro equações todo o embasamentoteórico sobre o comportamento de campos elétricos e magnéticos, e a interação que existeentre eles.

A partir das Equações de Maxwell, um sem número de aplicações na área eletromag-nética começou a surgir, e não foi diferente na geofísica. No início do século XX (Zongee Hughes, 1991; Spies e Frischknecht, 1991), algumas empresas de exploração mineral jácomeçavam a fazer uso de técnicas eletromagnéticas para detectar corpos geológicos de altacondutividade. Na área de petróleo, métodos baseados em medição de transientes criadospor dipolos elétricos despertaram interesse na década de 30, mas estudos mais aprofundados

11

Introdução 12

sobre a sua teoria, que só surgiram na década de 50, mostraram alguns problemas em relaçãoa capacidade do método em produzir a resolução necessária para detectar individualmenteas re�exões devido a resistividade normalmente encontrada nas bacias sedimentares ondeestá o óleo. Até a década de 40, os métodos eletromagnéticos tiveram desenvolvimento naentão União Soviética e em alguns países ocidentais, mas em ritmo muito lento. Nesse meiotempo, estudos mais aprofundados eram feitos na busca de uma teoria mais diretamenteaplicável à geofísica e, em 1942, o romeno Sabba S. Stefanescu já apresentava soluções dasequações de Maxwell para problemas da geofísica de exploração. Nas décadas de 50 e 60,outros trabalhos foram publicados trazendo também a solução para problemas especí�cos,com diferentes fontes sobre vários modelos geológicos, como o que trata de bobinas sobreum semiespaço homogêneo (Wait, 1955) e o que trata da resposta de um meio estrati�cadopara campos eletromagnéticos (Wait, 1962), entre outros. Isso permitiu a criação de tabelase curvas teóricas para uso na interpretação de problemas geofísicos práticos.

Até então, na década de 60, os métodos eletromagnéticos baseavam-se em fontes naturais,como as atividades solares na ionosfera e as grandes tempestades, e dois dos principais eramo magnetotelúrico (MT) e o áudio-magnetotelúrico (AMT). O primeiro, trabalhava comfrequências muito baixas e tinham boa profundidade de exploração (na prática, algumascentenas de quilômetros). Porém, para que se pudesse ter boa qualidade nos dados medidos,já que esses sinais naturais são de baixa intensidade, o tempo de empilhamento usado chegavaa 10 horas, o que tornava a sondagem muito onerosa. O método AMT, trabalhando na faixade áudio-frequência 10Hz a 10 kHz, tem uma aquisição de dados mais rápida, porém aindapersistiam os problemas relacionados à constante mudança de localização dessas tempestadesque serviam como fonte. Era clara a necessidade de ummétodo que pudesse contar com fontesmais estáveis e de potências maiores.

Na década de 70, com a evolução da eletrônica, o uso de fontes arti�ciais começou a to-mar lugar nos métodos eletromagnéticos, como proposto por Goldstein e Strangway (1975).Surgia, a partir daí, o método conhecido como Controled Source Audio-frequency Magneto-Telluric (CSAMT), que passou a ser usado em larga escala nas sondagens eletromagnéticas.

No auxílio à interpretação dos dados eletromagnéticos obtidos em campo, Dias (1968)apresentou um método para se obter a condutividade aparente associada a uma determinadamedição através de curvas obtidas a partir das partes real e imaginária da impedância deacoplamento mútuo entre transmissor e receptor, as quais chamou de ábacos. Mais adiante,Sato (1979) apresentou uma forma de alocar no plano xz essa condutividade obtida para umacon�guração em que os eixos das bobinas transmissora e receptora são perpendiculares entresi, chamada de PERP. Outros arranjos também são usados nas sondagens eletromagnéticas,

Introdução 13

como o horizontal coplanar (HCP), que será utilizado neste trabalho. Alguns estudos com-parativos entre diversos arranjos mostraram que o HCP possui algumas boas características,como ter respostas mais fortes em profundidades maiores quando comparado com PERP ouo vertical coplanar�VCP (Frischknecht, 1967), e ser considerado melhor quando utilizadosobre um modelo de três camadas na detecção da camada intermediária, seja ela mais oumenos condutiva que a primeira (Sinha, 1973; Mallick e Verma, 1979; Verma e Mallick, 1979;Verma, 1980). O objetivo aqui é apresentar um procedimento computacional para criaçãode per�s de condutividade 2D que contribua na interpretação de um levantamento eletro-magnético e analisar o desempenho do método eletromagnético com esse arranjo através dasimulação de um modelo teórico.

Nesse intuito, o capítulo 1 apresenta uma breve explanação sobre o método eletromag-nético, como ele funciona e os principais arranjos usados nas sondagens eletromagnéticas,além dos modelos matemáticos que serão usados. No capítulo 2, explica-se como se dá o pro-cesso de inversão dos dados eletromagnéticos multifrequência em valores de condutividade,fazendo ainda uma aproximação para o tratamento de dados obtidos com pequenos núme-ros de indução, que será usada no capítulo 3, nas simulações realizadas através do modelomatemático de uma esfera condutora imersa em um semiespaço in�nitamente resistivo. Nocapítulo 4, apresentam-se as conclusões obtidas a partir das simulações feitas para o arranjoHCP.

1Método Eletromagnético - Con�guraçõese Modelos

Os métodos de sondagem eletromagnética com fontes arti�ciais são estruturados em tornode um conjunto transmissor-receptor montado sobre a região na qual se deseja fazer a sonda-gem, como ilustrado na �gura 1.1. No transmissor TX, é gerado um campo eletromagnéticovariável no tempo que se propaga pela subsuperfície e também pelo ar até o receptor RX. Aparcela que se propaga pela subsuperfície induz nos corpos geológicos uma corrente elétricaque, por sua vez, gera um outro campo eletromagnético que se propagará de volta à super-fície e será medido pelo receptor. A esse campo, damos o nome de campo secundário e aparcela do campo no receptor, como se todo o espaço fosse vácuo, é o campo primário. Ficaevidente que a informação de interesse na geofísica é o campo secundário, já que ele dependede características físicas e geométricas dos corpos geológicos em subsuperfície, como a con-dutividade elétrica, a permeabilidade magnética e a permissividade elétrica. Obviamente, ométodo (como todos os outros métodos de sondagem geofísica) só funciona adequadamentese houver um contraste dessas características, principalmente a condutividade, entre o corpogeológico que se busca e o meio onde ele está inserido. Caso contrário, sob a linha TX−RX,pouco poderá ser observado, pois os campos secundários, provenientes do corpo geológico edo meio onde ele está imerso, excitarão o receptor quase com a mesma intensidade.

1.1 Con�gurações TX-RX

Existem vários arranjos possíveis para o conjunto TX-RX e os mais usuais estão ilustradosna �gura 1.2. Em algumas dessas con�gurações, o receptor é incapaz de detectar o campo

14

Método Eletromagnético - Con�gurações e Modelos 15

Figura 1.1: Esquema de indução eletromagnética em corpos geológicos. Adaptadade Grant e West (1965).

primário devido a sua orientação em relação a este. São chamadas de arranjo de acoplamentonulo, como as PERP, NULL e Paralelo. Noutras, como na HCP e VCP, os receptores terãoa percepção máxima do campo primário. Nesses casos, um tratamento diferenciado deve serdado ao campo total medido pelo receptor uma vez que nele estará representado mais doque apenas o campo secundário.

A escolha do transmissor a ser usado numa sondagem eletromagnética deve observaros objetivos desta, principalmente a profundidade e distância que se deseja cobrir. Equi-pamentos de uso portátil, por exemplo, não possuiem energia su�ciente para penetraçõese alcances (distância TX-RX) de alguns milhares de metros. Daí a necessidade do uso degrandes transmissores que possam gerar campos fortes o su�ciente para que os campos se-cundários sejam mensuráveis. Ao mencionar-se grandes transmissores, refere-se a bobinasfeitas de �o condutor, usualmente dispostas de forma quadrada ou retangular na superfí-cie do terreno, com centenas de metros de lado. Tal imposição em sondagens profundas ede longa distância de�ne como mandatório o uso de transmissores horizontais (é inviávelmontar-se uma bobina vertical de 400 m de lado!), ou seja, o eixo da bobina transmissorae, consequentemente, o dipolo magnético que a representará serão sempre verticais. Issorestringe as con�gurações usadas nas grandes sondagens a HCP, PERP e NULL. Destas,este estudo será direcionado para a con�guração Horizontal Coplanar (HCP).


PERP

VCP

VCA

NULL

54, 7o

PARALELO

HCPTX RX

Figura 1.2: Arranjos mais usuais nos métodos de indução eletromagnética. Adap-tada de Grant e West (1965).

1.2 Formulação da con�guração HCP

De acordo com Spies e Frischknecht (1991), adotando distâncias TX-RX maiores que 5vezes o lado da bobina transmissora, a fonte em TX pode ser considerada como um dipolomagnético e Ward e Hohmann (1988) apresentam o desenvolvimento de expressões para ocálculo do campo magnético gerado por esse tipo de fonte orientada verticalmente. Como oarranjo utilizao será o HCP, apenas o componente vertical do campo gerado por esse dipolo éde interesse. Essas formulações são de grande importância pois permitem a geração de dadosnuméricos para a comparação com dados reais obtidos em campo e a consequente escolha deum modelo que melhor satisfaça a situação prática. Permitem também, o que é de grandeinteresse para este trabalho, testar procedimentos de processamento com dados arti�ciais everi�car se tais procedimentos são capazes de recriar os modelos teóricos a partir dos quaisos dados foram criados.

No domínio da frequência, em que os campos relacionam-se com seus pares no domíniodo tempo através da Transformada de Fourier, dada pelo par

F(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F(ω)eiωt dω

F(ω) =

∫ ∞

−∞F(t)e−iωt dt,

uma das formulações mais usadas na prática é a do modelo de camadas. Nela, o campomagnético na direção z gerado por um dipolo magnético vertical sobre um modelo de N


camadas é dado porHz =

m

4π

∫ ∞

0

[1 + rTE]λ3

u0

J0(λr)dλ , (1.1)

ondeHz é o campo magnético vertical total no receptor,m, o momento magnético do dipolo,r, a distância TX-RX,J0(.), a função de Bessel modi�cada de 1a espécie e ordem 0,rTE é o coe�ciente de re�exão no modo transversal elétrico, dado por (λ− u1) / (λ + u1),u1 = u1

u2 + u1 tanh(u1h1)

u1 + u2 tanh(u1h1),

uj = ujuj+1 + uj tanh(ujhj)

uj + uj+1 tanh(ujhj),

uN = uN ,uj = (λ2 − k2

j )1/2,

hj é a espessura da j-ésima camada, ekj é o número de onda da j-ésima camada, dado pela relação k2

j = ω2µjεj − iωµjσj.

Ward e Hohmann (1988) apresentam ainda um caso particular desse modelo de N ca-madas que será de grande importância para o nosso estudo. Fazendo N = 1 na equação 1.1,tem-se um modelo composto apenas do espaço livre sobre uma camada única de caracterís-ticas uniformes e espessura in�nita ou, simplesmente, um semiespaço homogêneo. O campomagnético vertical medido nesse modelo será:

Hz =m

2πk2r5

[9− (9 + 9ikr − 4k2r2 − ik3r3)e−ikr

]. (1.2)

Nessas formulações, a orientação do dipolo vertical no transmissor e do campo magnéticovertical medido no receptor está para baixo, isto é, os eixos tanto de TX quanto de RX

são orientados positivamente para baixo, o que é comumente adotado na geofísica atravésda orientação do eixo z positivo para baixo.

Como já mencionado, os campos calculados pelas equações 1.1 e 1.2 são compostos pelocampo secundário (via subsuperfície) Hs e pelo campo primário (direto do transmissor peloespaço livre) Hp. Fazendo uma normalização em Hz através do campo magnético primárioHp produzido por TX diretamente em RX, que na con�guração HCP terá valor −m/(4πr3)

(note o sinal menos indicando que no receptor, com o eixo z orientado positivamente parabaixo, o campo produzido por TX está para cima), a razão Hz/Hp nos dá a impedância deacoplamento mútuo entre TX e RX, um número adimensional e complexo. Tal impedânciaé a razão entre a impedância de acoplamento Z entre esses pontos através da subsuperfície eZ0, que é relativa aos mesmos pontos, mas através do espaço livre. Assim, para o semiespaço


homogêneo (equação 1.2), a impedância de acoplamento mútuo é

Z

Z0

=2

k2r2

[−9 + (9 + 9ikr − 4k2r2 − ik3r3)e−ikr

](1.3)

e já não depende mais de informações do transmissor (exceto pela frequência f que se fazpresente no número de onda k), o que é uma grande vantagem do método.

Se Hz = Hs + Hp, então Hz/Hp = Hs/Hp + 1, ou ainda Z/Z0 − 1 = Hs/Hp. Assim,descontada uma unidade real da impedância de acoplamento mútuo, o que resta é a razãoentre campo secundário, que é o que nos interessa, já que carrega consigo informações dasubsuperfície, e o campo primário medido no receptor, o que, de alguma forma, pode sermedido e conhecido. A equação 1.3, para esse caso, pode ser reescrita como

Z

Z0

− 1 =2

k2r2

[−k2r2

2− 9 +

(9 + 9ikr − 4k2r2 − ik3r3

)e−ikr

]. (1.4)

É importante também notar que, como Hp considerado em RX está sempre em fase como dipolo em TX, a existência de uma parte imaginária em Z/Z0 depende da fase de Hs.Se não houver defasagem temporal entre este e o campo injetado na subsuperfície por TX,então Hs é real puro e Z/Z0 também o será. As partes real e imaginária da impedância deacoplamento mútuo são também tratadas na geofísica como partes em fase e em quadratura.

1.3 Modelo da esfera

Existem alguns modelos eletromagnéticos teóricos com solução analítica. Entre eles, destaca-se o modelo da esfera condutora imersa num espaço in�nitamente resistivo sob a ação deum dipolo magnético oscilante. A solução para este modelo encontra-se em Grant e West(1965), Ward e Hohmann (1988) e Keller e Frischknecht (1966), entre outros.

Os autores baseiam-se no espalhamento do campo criado por um dipolo magnético demomento mTX numa direção qualquer. Esse momento, tomado em coordenadas esféricas,pode ser decomposto nos componentes mr, mθ e mφ, para os quais são encontrados os trêscomponentes do campo no receptor, H

(S)r , H

(S)θ e H

(S)φ . Para mr:

H(S)r = −mr

4πeiωt

∞∑j=1

(Xj + iYj)a2j+1

(rr0)j+2j(j + 1)Pj(cos θ),

H(S)θ = −mr

4πeiωt

∞∑j=1

(Xj + iYj)a2j+1

(rr0)j+2jP 1

j (cos θ), (1.5)

H(S)φ = 0.


Para mθ:

H(S)r =

mθ

4πeiωt

∞∑j=1

(Xj + iYj)a2j+1

(rr0)j+2jP 1

j (cos θ),

H(S)θ = −mθ

4πeiωt

∞∑j=1

(Xj + iYj)a2j+1

(rr0)j+2[j2Pj(cos θ)− j

j + 1cot θP 1

j (cos θ)], (1.6)

H(S)φ = 0.

Para mφ:

H(S)r = 0,

H(S)θ = 0, (1.7)

H(S)φ = −mφ

4πeiωt

∞∑j=1

(Xj + iYj)a2j+1

(rr0)j+2

j

j + 1csc θP 1

j (cos θ),

onder0 é a posição de TX,r, a posição de RX,θ, o ângulo entre r0 e r,a, o raio da esfera,j, a ordem do multipolo,Pj, o polinômio de Legendre de grau j e ordem 0,P 1

j , o polinômio associado de Legendre de grau j e ordem 1,Xj + iYj, a função resposta dada por

Xj + iYj =[µ0/2− (j + 1)µ]Ij+ 1

2(ka) + µ0kaI ′j+1/2(ka)

[µ0/2 + jµ]Ij+1/2(ka) + µ0kaI ′j+1/2(ka),

Ij+1/2(ka) é a função modi�cada de Bessel de 1a espécie e ordem j + 1/2, eI ′j+1/2(ka), a sua 1a derivada.

Agrupando-se as contribuições radiais, axiais e transversais de cada componente do di-polo magnético, chega-se ao campo magnético secundário (proveniente exclusivamente daesfera) na posição do receptor para qualquer orientação espacial que ele esteja. O desenvol-vimento da obtenção desse campo é apresentado por Urasaki (2007), que também escreveuuma subrotina, em linguagem Fortran, para o seu cálculo, conhecidos a geometria do modelo,os parâmetros geológicos da esfera (µ e σ) e as informações do dipolo magnético adotadocomo transmissor (momento e frequência de operação). Essa subrotina será usada adiantepara o ajuste do processo de imageamento de uma sondagem eletromagnética a partir dedados sintéticos gerados por ela.


Alguns cuidados precisaram ser adotados pois Grant e West (1965) usaram um sistemade coordenadas esféricas com origem no centro da esfera e, o mais importante, com o eixo z

orientado positivamente para cima e, como já mencionado, adotou-se o oposto neste trabalho.

2Inversão de Dados Eletromagnéticos

Numa sondagem eletromagnética, o dado obtido em campo pode ser o campo magnéticona posição do receptor, em seus componentes vertical, radial ou transversal, dependendo dacon�guração utilizada, ou, em alguns equipamentos mais atuais, pode ser a própria impe-dância de acoplamento mútuo. Esses dados são diretamente aplicáveis quando se pretendeutilizar comparações com modelos já conhecidos na busca daquele que melhor representa omodelo real existente no local de levantamento. Frischknecht et al. (1991) apresentam, porexemplo, resultados obtidos a partir do modelo matemático da esfera condutora. A �gura 2.1reproduzida a seguir simula diferentes condições desse modelo. Se, ao compará-las com ascurvas reais obtidas em campo, observa-se similaridade, é possível que o modelo real seja umcorpo geológico 3D em uma rocha encaixante altamente resistiva.

Essa metodologia de interpretação exige que se tenha um bom acervo de modelos ge-ológicos diferentes, para que se possa buscar entre eles um cujas curvas características deimpedância de acoplamento mútuo se assemelhe à curva que representa os dados reais. Mas,apesar de vários modelos possuírem modelagem analítica, como o da esfera, que utiliza-semais a frente, e outros vários possuírem respostas obtidas a partir de modelos em escalareduzida, é possível não achar-se dentro do nosso �banco de modelos� algum que bem seassemelhe ao do dado real.

2.1 Ábacos de impedância de acoplamento mútuo

A obtenção de curvas criadas a partir dos dados de campo que ilustrem o posicionamento e acaracterização dos corpos geológicos é um importante mecanismo facilitador da interpretação

21

Inversão de Dados Eletromagnéticos 22

-5.0-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.0

Parte

em

fase

(%)

-1.5 -1.2 -0.9 -0.6 -0.3 -0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5x/r

a/r=0.1

0.2

0.3

0.5

HCP — z/r=1.6, β=100

-20-18-16-14-12-10

-8-6-4-2024

Parte

em

qua

drat

ura

(%)

-1.5 -1.2 -0.9 -0.6 -0.3 -0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5x/r

a/r=0.1

0.2

0.3

0.5

HCP — z/r=1.6, β=100

Onde a é o raio da esfera, r, a distância TX-RX, z, a profundidade ao centro da esfera eβ(= σµ0ωa2) é o parâmetro de resposta, tomado constante e igual a 100.

Figura 2.1: Per�l de impedância de acoplamento mútuo de uma esfera condutorano espaço livre para a con�guração HCP.

desses dados. A idéia aqui é a obtenção de curvas de condutividade num per�l x × z

através do processamento de dados de impedância mútua de acoplamento registrados pelosequipamentos de medição.

Um procedimento para obtenção dessas imagens para dados eletromagnéticos no domínioda frequência (FDEM) foi proposto por Sato (1979), onde o autor faz uso de curvas criadasa partir das partes em fase e em quadratura da impedância de acoplamento mútuo (nocaso, para uma con�guração PERP) num semiespaço homogêneo, chamadas ábacos (vide�gura 2.2). O ábaco foi gerado por Dias (1968) para a con�guração PERP, e possibilitaa obtenção do número de indução e do parâmetro de polarização a partir das partes emfase e em quadratura da impedância de acoplamento mútuo. Esses parâmetros são obtidosanaliticamente a partir do argumento kr, no qual, dentro da aproximação quasi-estática, onúmero de onda k é dado por

k =√−iµσω, (2.1)

onde σ é a condutividade complexa (σ = σR + iσI). Sendo |σ| o seu valor absoluto, tem-seσ

|σ|=

σR

|σ|+ i

σI

|σ|(2.2)


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U = Im(σ) / |σ|

0.1

0.1

0.2

0.5

12

510

2050

100

θ=r(ω

µ|σ|

/2)1/

2

-1

-1

-0.9

-0.9

-0.8

-0.8-0.8-0.7

-0.7

-0.6

-0.6

-0.5

-0.5

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6-0.

5

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

-0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.3

0.3

0.4

0.4

0.50.6

0.70.80.9

0

0

0

parte

real

(+)

parte

real

(-)pa

rte im

ag(+

)pa

rte im

ag(-)

Figura

2.2:Á

baco

para

con�

guraçãoPE

RPsobres

emies

paço

homogêneo

eisotró

pico.


Tomando o valor absoluto da equação 2.2,

1 =

√(σR

|σ|

)2

+

(σI

|σ|

)2

σR

|σ|=

√1−

(σI

|σ|

)2

O termo σI/ |σ| é o chamado parâmetro de polarização U (Dias, 1968) e dá a medida doquanto a condutividade é complexa. A condutividade elétrica σ pode então ser escrita como

σ = |σ|(√

1− U2 + iU)

(2.3)

Substituindo 2.3 na equação 2.1, tem-se

k =√−iµ |σ|ω

√√1− U2 + iU (2.4)

Multiplicando k pela distância TX-RX e tomando o valor absoluto do resultado,

|kr| =∣∣∣r√−iµ |σ|ω

∣∣∣ ∣∣∣∣√√1− U2 + iU

∣∣∣∣= r

√µ |σ|ω

√|−i|

√∣∣∣√1− U2 + iU∣∣∣

= r√

µ |σ|ω

|kr| = r

√µ |σ|ω

2

√2 (2.5)

A expressão r√

µ |σ|ω/2 é o chamado número de indução1, denotado pela letra θ, um pa-râmetro adimensional que caracteriza a região na qual onde o campo eletromagnético sepropaga e a fonte que o gerou (lembrar que ω = 2πf), Assim,

θ = r

√µ |σ|ω

2. (2.6)

2.2 Geração dos per�s de condutividade

O procedimento para geração das curvas utiliza os valores da impedância de acoplamentomútuo para vários afastamentos TX-RX e várias frequências. Para cada um desses valo-res, são obtidos no ábaco, através da metodologia apresentada por Dias (1968), o θ e o U

correspondentes e, através da equação 2.6, calculado um valor de |σ|, que é chamado de1Alguns autores (como Zonge e Hughes (1991), por exemplo) consideram o número de indução como

sendo |kr|, diferindo da de�nição aqui adotada, e também por vários outros autores, apenas pelo fator√

2


condutividade aparente (σA). Essa condutividade é a que, em um semiespaço homogêneo,produziria o mesmo Z/Z0 obtido nas medições em campo. Para cada Z/Z0 medido, estáassociado no plano xz um ponto que mais in�uencia no seu valor. A esse ponto é atribuídoo valor de σA calculado e, repetido o procedimento para cada outros Z/Z0, medidos em no-vos espaçamentos r ou frequências f (o que signi�ca diferentes pontos de maior in�uência),forma-se uma grade de condutividades aparentes sobre o plano xz.

Vale lembrar que o ábaco utilizado na obtenção de θ e consequentemente σA dependeda con�guração fonte-receptor utilizada na sondagem. O ábaco mostrado na �gura 2.2,por exemplo, refere-se à con�guração PERP na obtenção dos valores de Z/Z0. Utilizar aimpedância de acoplamento mútuo através da equação 1.3, que representa a medida como campo total para a con�guração HCP, nos dá um outro ábaco diferente, mostrado na�gura 2.3. Ainda para a con�guração HCP e fazendo uso da equação

Z

Z0

− 1 =2

k2r2[−9− k2r2

2+ (9 + 9ikr − 4k2r2 − ik3r3)e−ikr], (2.7)

que representa a impedância de acoplamento obtida a partir apenas do campo secundário,gerou-se o ábaco mostrado na �gura 2.4.

Para ilustrar a utilização do ábaco para a obtenção de θ e U , apresenta-se na �gura 2.5o resultado de uma inversão feita a partir de dados sintéticos obtido no modelo matemáticoda esfera em semiespaço in�nitamente resistivo, com a esfera de raio 50m e condutividadede 10 S/m, a uma profundidade de 50m, estando a uma distância de 400m do transmissor.Os pontos numerados indicam onde foram encontradas as soluções (θ, U) para cada entradadada na tabela 2.1.

As �guras 2.6 e 2.7 mostram o comportamento do parâmetro de polarização para dis-tâncias �xas ao transmissor com frequências variando, e frequências �xas com as distânciasvariando, respectivamente. Fazendo uma analogia com circuitos elétricos, a impedânciade acoplamento Z assume características que vão do resistivo ao indutivivo à medida quefrequências ou distâncias ao transmissor variam. Por exemplo, na �gura 2.6(c), para umaposição horizontal �xa de 400m, ou seja, sobre a esfera, à medida que variamos a frequên-cia, o parâmetro de polarização passa de valores próximos a −1 para quase +1, ou seja, decaracterísticas indutivas a capacitivas, à medida que a frequência aumenta e as mediçõespassam a ser mais rasas e próximas da esfera.


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U = Im(σ)/|σ|

0.1

1110

100

θ =

r(µω

|σ|/2

)1/2

-0.4 -0.3 -0.2-0.1

-0.01

-0.01

-0.0

01

-0.001

0.00

1

0.001

0.01

0.10.2

0.30.40.50.6 0.7 0.8 0.91

1

-1 -0.9 -0.8-0.7

-0.6

-0.6

-0.5

-0.5

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.01

-0.0

1

-0.01

-0.01

-0.001

-0.0

01-0

.001

-0.001

0.001

0.00

1

0.01

0.01

0.01

0.1

0

0

0

0

parte

real

(+)

parte

imag

(-)pa

rte re

al(+

)pa

rte im

ag(-)

Figura

2.3:Á

baco

para

con�

guraçãoHC

Pfazend

ousodo

campo

magnétic

ototal.


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U = Im(σ)/|σ|

0.1

1110

100

θ =

r(µω

|σ|/2

)1/2

-1

-0.9-0.8

-0.7-0.6-0.5-0.4 -0.3 -0.2-0.1

-0.01 -0.001

-0.0

01

0.001

0.001

0.01

0.01

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.30.40.5

0.6

-1 -0.9 -0.8-0.7

-0.6

-0.6

-0.5

-0.5

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.01

-0.0

1

-0.01

-0.01

-0.001

-0.0

01-0

.001

-0.001

0.001

0.00

1

0.01

0.01

0.01

0.1

0

0

0

0

0

parte

real

(+)

parte

imag

(-)pa

rte re

al(+

)pa

rte im

ag(-)

Figura

2.4:Á

baco

para

con�

guraçãoHC

Pfazend

ousodo

campo

magnétic

osecund

ário.


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U = Im(σ)/|σ|

0.01

0.1

0.1

110

100

θ =

r(µω

|σ|/2

)1/2

-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 -0.001

-0.001

0.001

0.001

0.01

0.01

0.1

0.10.1

0.2

0.2

0.30.40.5

-1 -0.9 -0.8 -0.7

-0.6

-0.6

-0.5

-0.5

-0.4

-0.4

-0.3

-0.3

-0.2

-0.2

-0.2

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.01

-0.0

1

-0.01

-0.001

-0.0

01

-0.001

-0.001

0.001

0.00

1

0.001

0.01

0.01

0.01

0.1

0

0

0

0

parte

real

(+)

parte

imag

(-)pa

rte re

al(+

)pa

rte im

ag(-)

Figura

2.5:O

btençãodosp

ontos(

θ,U)a

partird

asentra

dasd

adas

natabela

2.1.


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

10-1 100100 101 102 103 104

Frequência (Hz)

(a) x = 200m

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

10-1 100100 101 102 103 104

Frequência (Hz)

(b) x = 300m

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

10-1 100100 101 102 103 104

Frequência (Hz)

(c) x = 400m

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

10-1 100100 101 102 103 104

Frequência (Hz)

(d) x = 500m

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

10-1 100100 101 102 103 104

Frequência (Hz)

(e) x = 600m

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

10-1 100100 101 102 103 104

Frequência (Hz)

(f) x = 700m

Dados obtidos a partir de uma esfera de raio 50m e condutividade de 10 S/m, a uma profun-didade de 50m e 400m do transmissor, para diferentes posições de RX.

Figura 2.6: Curvas do parâmetro de polarização U em função da frequência paradiferentes distâncias x ao transmissor.


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

0 200 400 600 800 1000 1200Distância TX-RX (m)

(a) f = 0, 1Hz

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

0 200 400 600 800 1000 1200Distância TX-RX (m)

(b) f = 1Hz

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

0 200 400 600 800 1000 1200Distância TX-RX (m)

(c) f = 10Hz

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

0 200 400 600 800 1000 1200Distância TX-RX (m)

(d) f = 100Hz

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

0 200 400 600 800 1000 1200Distância TX-RX (m)

(e) f = 1 kHz

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U

0 200 400 600 800 1000 1200Distância TX-RX (m)

(f) f = 10 kHz

Dados obtidos a partir de uma esfera de raio 50m e condutividade de 10 S/m, a uma profun-didade de 50m e 400m do transmissor, com RX diretamente sobre a esfera.

Figura 2.7: Curvas do parâmetro de polarização U em função da distância ao trans-missor para diferentes frequências f ao transmissor.


0

5

10

15

20

r/δ

0 5 10 15 20

θ = (ω µ0 σ / 2)1/2 r

Caso dipolar

Caso de onda plana (r / δ = θ)

Figura 2.8: Razão r/δ do dipolo magnético vertical em função de θ para semiespaçohomogêneo isotrópico. Figura adaptada de Sato (1979).

2.3 Determinação do ponto de maior in�uência

A escolha do ponto de maior in�uência foi apresentada por Sato (1979), tendo sido formuladapara o arranjo PERP. O autor criou um método grá�co em que esses pontos são localizadosgeometricamente, baseado no conceito do skin-depth dipolar (δ), ilustrado na �gura 2.8, quepode ser ajustada pela expressão

r

δ= θ − (θ − θ1) (θ − θ1) (θ − θ1)

θ1θ2θ3 − 1 + expαθ−βθ, (2.8)

onde θ1 = 1, 184, θ2 = 7, 051, θ3 = 8, 581, α = 0, 540 e β = 14, 973. Nesse método,com o conceito de atenuação da amplitude de onda eletromagnética de aproximadamente63 % do seu valor inicial após percorrida uma profundidade igual a δ, considera-se queos corpos geológicos podem ser induzidos a profundidades de até δ, pois, a partir daí, aonda não apresentará energia ainda mensurável no seu retorno à superfície, onde está oreceptor. Na �gura 2.9, pode-se ver a semirreta a delimitando a região de in�uência noplano xz e a semirreta b, considerada como a curva de in�uência média, passando pelospontos (r, δ/2) e acima da qual estarão posicionados todos os pontos de maior in�uência quesão utilizados para alocar cada valor de condutividade aparente no plano. Baseado nessemétodo de determinação do ponto de maior in�uência, pode-se escrever as coordenadas doponto P como

(XP , ZP ) =

(r − rδ2/4

r2 + δ2/4,

r2δ/2

r2 + δ2/4

). (2.9)


.

TX RX

δ/2

δ/2

r

b

aP

Figura 2.9: Esquema para localização do ponto de maior in�uência. Figura adap-tada de Sato (1979).

Avalia-se, então, o ponto de maior in�uência para os casos extremos de valores de θ

reescrevendo as coordenadas mostradas na equação 2.9 como

(XP , ZP ) =

(r − r

4r2/δ2 + 1,

δ/2

1 + 1/ (4r2/δ2)

).

A equação 2.8 mostra que, para θ � 1, a razão r/δ tende assintoticamente a 1 e tem-se omaior skin-depth proporcional possível (δ ≈ r). Nesse limite,

(XP , ZP ) =

(4

5r,

2

5r

),

o que mostra que a semirreta b da �gura 2.9 faz um ângulo de no máximo 26,57◦ com o eixox e a profundidade de exploração não dependerá da frequência usada e, sim, do afastamentor entre TX-RX.

Para θ � 1, a razão r/δ tende a θ, o que signi�ca que o skin-depht nessas condições émuito menor que o afastamento entre transmissor e receptor. Nesse outro extremo,

(XP , ZP ) =

(r,

δ

2

)=(r,

r

2θ

)e a in�uência da frequência agora se faz presente na profundidade de exploração através doskin-depth (ou de θ), já que agora pode-se considerar

δ =r

θ=

√2

µωσ.


Estes comportamentos limites (θ � 1 e θ � 1) encontram-se discutidos em Zonge e Hughes(1991).

De acordo com esse procedimento, em relação à coordenada horizontal da posição doponto de maior in�uência, pode-se veri�car que seu valor depende do número de indução,variando de 4/5r a r à medida que θ cresce. Quando se cria uma imagem fazendo XP = r, ouseja, todos os pontos estando diretamente abaixo do receptor, observa-se que, para os corposmais rasos, a posição horizontal da imagem coincide com a posição real do corpo, mas tendea se afastar na direção oposta à do transmissor à medida que ele torna-se mais profundo.Ou seja, para corpos condutores a grandes profundidades, como θ é normalmente pequeno, acorreção na sua posição horizontal a partir da posição abaixo do receptor, baseada no númerode indução, resultará em uma imagem mais próxima da posição real. Porém, para pequenasprofundidades, essa correção tende a colocar a imagem deslocada na direção do transmissor,mas, se as medições estiverem associadas a grandes números de indução, a correção tende aser pequena e a imagem se aproxima novamente da posição real.

O cálculo da profundidade de exploração para métodos eletromagnéticos vem sendoobjeto de estudo em vários trabalhos (Spies (1989, Spies e Frischknecht (1991), entre outros),mas de�ni-la com exatidão não é uma tarefa simples. Porém, é ponto comum em todaa literatura associar, de alguma forma, a profundidade de exploração ao skin-depth. Éimportante observar, porém, que o skin-depth dipolar dado pela equação 2.8 assume valoresque variam, por exemplo, de 50, 33m a 3000m, para (r = 3000m, f = 0, 1Hz e σ =

0, 01 S/m) e (r = 3000m, f = 10 kHz e σ = 10 S/m), respectivamente, com o número deindução, calculado para o δ menor, igual a 59, 61, enquanto que para o maior, é 0, 1885. Issomostra que, em uma sondagem eletromagnética, se tem-se medições nas quais θ é pequeno,pode-se localizar corpos geológicos a grandes profundidades. Porém, um corpo mais raso queproduza da mesma forma θ pequeno (tendo, por exemplo baixa condutividade), não poderáter sua imagem criada na profundidade correta, pois a profundidade associada a cada pontode maior in�uência será grande, acompanhando o skin-depth.

A �gura 2.10 ilustra esse comportamento, onde o corpo geológico, no caso uma esferacondutora, é colocado em profundidades cada vez mais rasas, o que torna θ maior (paraesses casos, θmax varia de 0, 21 a 7, 49 a medida que a esfera se aproxima da superfície), masnão faz com que o skin-depth seja pequeno o su�ciente para dar profundidades de exploraçãorasas. Como consequência, pode-se ver que todas as imagem criadas estão abaixo da suaposição real, tanto mais quanto mais raso está o corpo.


0

500

1000

1500

2000

2500

Prof

undi

dade

(m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(a) h = 250m

0

500

1000

1500

2000

2500

Prof

undi

dade

(m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(b) h = 500m

0

500

1000

1500

2000

2500

Prof

undi

dade

(m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(c) h = 750m

0

500

1000

1500

2000

2500

Prof

undi

dade

(m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Distância TX-RX (m)

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

σ (S/m)

(d) h = 1000m

0

500

1000

1500

2000

2500

Prof

undi

dade

(m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Distância TX-RX (m)

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

σ (S/m)

(e) h = 1250m

0

500

1000

1500

2000

2500

Prof

undi

dade

(m)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000Distância TX-RX (m)

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

σ (S/m)

(f) h = 1500m

Figura 2.10: Esfera com centro a 3000m de TX, condutividade de 10 S/m, raio250m e profundidade variando de (a) 250m a (f) 1500m.


2.4 Redução de erros numéricos para pequenos númerosde indução

Mesmo dentro da máxima precisão possível de se trabalhar nos cálculos computacionais,pode-se observar através da �gura 2.11 que o ábaco para θ < 10−2 não permite a inversãode Z/Z0 − 1 em σA. O procedimento computacional para a busca de θ dentro do ábacoescolhido foi feito através de um algoritmo criado por Sampaio e Sato (2000) que divide oábaco em células e busca, uma a uma, aquela na qual se encontra o ponto de intersecção dacurva em fase com a curva em quadratura. Para aquela faixa de θ, os valores dessas curvasgerados no ábaco são erros numéricos e fazem o algoritmo retornar valores inservíveis parao procedimento.

Isso signi�ca que, sem um tratamento diferenciado, o procedimento adotado para criaras curvas de condutividade não gerará dados con�áveis para pequenos valores de θ, ou seja,pequenos afastamentos r e baixas frequências f , principalmente se o meio é muito resistivo.

Mas com a grande disponibilidade de subrotinas computacionais para o cálculo numéricode raízes de polinômios, um outro procedimento foi adotado para obtenção do θ que seráusado para o cálculo da condutividade aparente σA.

A expansão em série de Taylor da equação 1.3 nos dá um polinômio de coe�cientescomplexos cujas raízes (também complexas) calculadas numericamente são soluções possíveispara o argumento kr e, consequentemente, o θ procurado.

Para isso, foi reescrita inicialmente a equação 1.3 com o produto ikr tratado como umargumento único, já que ele é comum em todas as parcelas e será também a variável a sercalculada pelo polinômio resultante da expansão em torno de um argumento qualquer ikr0.Assim,

Z

Z0

=2

(ikr)2 [9− (9 + 9ikr + 4 (ikr)2 + (ikr)3)e−ikr]

e

Z

Z0

(ikr)2

2= 9− (9 + 9ikr + 4 (ikr)2 + (ikr)3)e−ikr. (2.10)


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U = Im(σ)/|σ|

1e-0

50.

0001

0.00

010.

001

0.01

0.1

1θ

= r(µ

ω|σ

|/2)1/

2

-0.001-0

.000

1

-1e-

05

-1e-05

-1e-

06

-1e-06

-1e-

06

-1e-

07

-1e-07

-1e-

07

-1e-07

-1e-

08

-1e-08

-1e-

08

1e-0

8

1e-0

8

1e-0

8

1e-08

1e-08

1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-0

8

1e-0

8

1e-0

8

1e-0

8

1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-0

8

1e-0

7

1e-07

1e-07

1e-0

7

1e-0

7

1e-0

7

1e-0

7

1e-07

1e-0

7

1e-0

6

1e-06

1e-0

6 1e-0

6

1e-0

5

1e-05

0.000

1

0.001

0.01

0.1

-1e-

06

-1e-

06

-1e-

07

-1e-07

-1e-

07

-1e-

08

-1e-

08

-1e-

08

-1e-

08 -1e-

08

-1e-08

-1e-08

-1e-

08

1e-0

8

1e-08

1e-081e-0

8

1e-081e

-08

1e-0

8

1e-08

1e-08

1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-0

8

1e-0

8

1e-08

1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-08

1e-0

8

1e-0

81e

-08

1e-0

8

1e-0

8 1e-08

1e-0

8

1e-08

1e-0

7

1e-07

1e-07

1e-07

1e-0

7

1e-07

1e-0

7

1e-07

1e-0

7

1e-0

7

1e-07

1e-07

1e-07

1e-0

7

1e-0

7

1e-0

6

1e-06

1e-06

1e-0

6 1e-0

6

1e-0

6

1e-0

5

1e-05

1e-0

5 0.000

1

0.0001

0.0010.001

0.01

0.01

0

00

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

00

0

0 00

0

00

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

parte

real

(+)

parte

imag

(-)pa

rte re

al(+

)pa

rte im

ag(-)

Figura

2.11:

Ábacopara

con�

guraçãoHC

Pfazend

ousodo

campo

magnétic

osecund

ário

extend

idopara

θ≥

10−

5.


A expansão em série de Taylor do lado direito da equação 2.10 fornece

Z

Z0

(ikr)2

2= 9−

[9 + 9ikr0 + 4 (ikr0)

2 + (ikr0)3] e−ikr0

+[(

ikr0 + (ikr0)2 + (ikr0)

3) e−ikr0](ikr − ikr0)

+

[(1

2+

ikr0

2+ (ikr0)

2 − (ikr0)3

2

)e−ikr0

](ikr − ikr0)

2

+∞∑

j=3

(−1)je−ikr0

(j − 3)!

[1− 4 + 3ikr0

j − 2+

9 + 8ikr0 + 3(ikr0)2

(j − 1)(j − 2)− 9 + 9ikr0 + 4(ikr0)

2 + (ikr0)3

j(j − 1)(j − 2)

](ikr − ikr0)

j . (2.11)

O lado esquerdo da equação 2.10 pode ser reescrito como

Z

Z0

(ikr)2

2=

Z/Z0

2(ikr − ikr0)

2 +Z

Z0

ikr0 (ikr − ikr0) +Z/Z0

2(ikr0)

2 . (2.12)

Substituindo 2.12 em 2.11 e agrupando os termos ikr − ikr0 de mesmo grau, obtem-se opolinômio

9−[9 + 9ikr0 + 4 (ikr0)

2 + (ikr0)3] e−ikr0 − Z/Z0

2(ikr0)

2

+

[(ikr0 + (ikr0)

2 + (ikr0)3) e−ikr0 − Z

Z0

ikr0

](ikr − ikr0)

+

[(1

2+

ikr0

2+ (ikr0)

2 − (ikr0)3

2

)e−ikr0 − Z/Z0

2

](ikr − ikr0)

2

+∞∑

j=3

(−1)je−ikr0

(j − 3)!

[1− 4 + 3ikr0

j − 2+

9 + 8ikr0 + 3(ikr0)2

(j − 1)(j − 2)− 9 + 9ikr0 + 4(ikr0)

2 + (ikr0)3

j(j − 1)(j − 2)

](ikr − ikr0)

j = 0, (2.13)

do qual podem ser obtidas as raízes que, através da equação 2.5, permitirão o cálculo donúmero de indução e condutividade aparente nos diversos pontos do plano xz.

No intuito de se manusear pequenos números de indução sem os erros numéricos jámencionados, foi feita a expansão em torno de um θ0 = 0 que nos permite substituir aequação 1.3 para pequenos valores de θ. Neste caso, o polinômio apresentado em 2.13 reduz-se a

1− Z/Z0

2+

∞∑j=1

(−1)j

(j − 1)!

[1− 4

j+

9

(j + 1)j− 9

(j + 2)(j + 1)j

](ikr)j = 0. (2.14)

Como os coe�cientes de polinômio 2.13, devido ao fatorial no denominador, tendem azero com o aumento de j e essa expansão visa a inversão para valores de θ < 10−2, que é,pela equação 2.5, da mesma ordem de grandeza de ikr, desconsidera-se os termos de grau


igual ou superior a 3, pois, a partir daí, sua ordem de grandeza é sempre inferior a 10−10.Assim, o polinômio 2.14 reduz-se a

1− Z/Z0 +(ikr)2

4= 0. (2.15)

Com as equações 2.15 e 2.5, chega-se então a uma expressão para cálculo de θ, conhecidaa impedância de acoplamento mútuo, válida para θ < 10−2, qual seja

θ =√

2 |1− Z/Z0|. (2.16)

Uma comparação2 entre valores de Z/Z0 calculados através das equações 1.3 e 2.15, mostraque o erro para aquela faixa de valores de θ é sempre menor que 1%. A �gura 2.12 ilustraa signi�cativa redução dos erros numéricos, dentro da escala observada, para uma expansãocom o polinômio 2.14 truncado no terceiro termo.

2Essa comparação foi feita com o uso do software Mathematica, versão 4.2, que permitiu a avaliação daequação 1.3 com uma precisão bem maior que a obtida no programa feito em linguagem Fortran.


-1e-06

-5e-07

0

5e-07

1e-06

Real

(Z/Z

o)

10-10 10-910-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

θ

(a) Obtido pela equação 1.3.

-1e-06

-5e-07

0

5e-07

1e-06

Real

(Z/Z

o)

10-10 10-910-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

θ

(b) Obtido pelo polinômio 2.14.

-1e-06

-5e-07

0

5e-07

1e-06

Imag

(Z/Z

o)

10-10 10-910-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

θ

(c) Obtido pela equação 1.3.

-1e-06

-5e-07

0

5e-07

1e-06

Imag

(Z/Z

o)

10-10 10-910-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100

θ

(d) Obtido pelo polinômio 2.14.

Figura 2.12: Comparação entre as partes real e imaginária de Z/Z0 obtidas pelaequação 1.3 e pelo polinômio 2.14.


Ponto r (m) f (Hz) <(Z/Z0 − 1) =(Z/Z0 − 1) θ U

1 600 0.10 3.7898e-07 1.9865e-04 0.02015 0.015242 600 0.13 6.7392e-07 2.6490e-04 0.02329 0.024753 600 0.18 1.1984e-06 3.5324e-04 0.02699 0.025514 600 0.24 2.1311e-06 4.7105e-04 0.03120 0.025215 600 0.32 3.7896e-06 6.2815e-04 0.03610 0.034756 600 0.42 6.7388e-06 8.3763e-04 0.04186 0.035687 600 0.56 1.1983e-05 1.1169e-03 0.04847 0.044888 600 0.75 2.1307e-05 1.4893e-03 0.05612 0.047099 600 1.00 3.7883e-05 1.9857e-03 0.06519 0.0548910 600 1.33 6.7345e-05 2.6472e-03 0.07562 0.0563711 600 1.78 1.1969e-04 3.5283e-03 0.08792 0.0649412 600 2.37 2.1264e-04 4.7006e-03 0.10217 0.0679913 600 3.16 3.7748e-04 6.2580e-03 0.11900 0.0749114 600 4.22 6.6920e-04 8.3208e-03 0.13876 0.0751515 600 5.62 1.1836e-03 1.1038e-02 0.16169 0.0755116 600 7.50 2.0846e-03 1.4586e-02 0.18904 0.0747917 600 10.00 3.6450e-03 1.9141e-02 0.22116 0.0648718 600 13.34 6.2947e-03 2.4823e-02 0.25888 0.0448819 600 17.78 1.0648e-02 3.1566e-02 0.30298 0.0144320 600 23.71 1.7424e-02 3.8910e-02 0.35297 -0.0343321 600 31.62 2.7144e-02 4.5811e-02 0.40983 -0.0945922 600 42.17 3.9581e-02 5.0778e-02 0.47066 -0.1652223 600 56.23 5.3416e-02 5.2585e-02 0.53261 -0.2547024 600 74.99 6.6748e-02 5.1163e-02 0.59338 -0.3347525 600 100.00 7.8233e-02 4.7627e-02 0.64986 -0.4045126 600 133.35 8.7652e-02 4.3335e-02 0.70100 -0.4547627 600 177.83 9.5478e-02 3.9084e-02 0.74846 -0.4848528 600 237.14 1.0218e-01 3.5078e-02 0.79103 -0.4963229 600 316.23 1.0799e-01 3.1316e-02 0.82954 -0.5064030 600 421.70 1.1302e-01 2.7818e-02 0.86484 -0.5053931 600 562.34 1.1737e-01 2.4611e-02 0.89573 -0.5052332 600 749.89 1.2113e-01 2.1703e-02 0.92108 -0.5048033 600 1000.00 1.2438e-01 1.9087e-02 0.94313 -0.4951034 600 1333.52 1.2719e-01 1.6747e-02 0.96235 -0.4946435 600 1778.28 1.2963e-01 1.4666e-02 0.97990 -0.4853936 600 2371.37 1.3174e-01 1.2823e-02 0.99167 -0.4846537 600 3162.28 1.3356e-01 1.1196e-02 1.00457 -0.4752438 600 4216.97 1.3515e-01 9.7646e-03 1.01380 -0.4747939 600 5623.41 1.3651e-01 8.5074e-03 1.02137 -0.4675640 600 7498.94 1.3770e-01 7.4057e-03 1.03053 -0.4649741 600 10000.00 1.3873e-01 6.4421e-03 1.03652 -0.46482

Tabela 2.1: Dados eletromagnéticos de uma esfera de raio 50m e condutividade de10 S/m, a uma profundidade de 50m e 600m de distância do transmis-sor.

3Per�s de condutividade 2D

Como mencionado no Capítulo 2, o procedimento para criação das curvas de condutividadepassa pela inversão dos dados FDEM para a obtenção das condutividades aparentes σA, oque pode ser feito através dos ábacos, como apresentado em Dias (1968). O ábaco porém,na forma como já mostrada, apresenta problemas de precisão numérica nos cálculos compu-tacionais relacionados a pequenos números de indução, mesmo utilizando a maior precisãopossível nos programas em linguagem Fortran. A adoção das expansões em série de Taylorpara essa faixa de valores elimina tais problemas e permite a inversão dentro de uma faixamaior de θ. Vale salientar que a utilização dos ábacos para essa inversão continua sendonecessária, pois com a expansão feita em torno de um θ = 0, para valores mais afastadosdesse ponto, as séries de Taylor não possuem boa precisão. Ainda mais, fazer expansões emtorno de θ maiores é inviável, pois as variações das partes em fase e em quadratura de Z/Z0

para essa região são muito rápidas e exigiria a escolha de vários pontos em torno do qualseria feita uma expansão, aplicável apenas para uma região muito próxima daquele ponto.

Assim, para uma inversão mais precisa numa faixa maior de valores de θ, o procedimentoadotado fará uso combinado dos dois métodos, um voltado para pequenos valores do númerode indução e outro, para os demais.

3.1 Processamento dos dados FDEM para criação dosper�s de condutividade

O procedimento adotado consiste na escolha de um valor de θ abaixo do qual serão utilizadassoluções numéricas da expansão em Taylor para obtenção de σA e acima do qual será usada

41

Per�s de condutividade 2D 42

a inversão via ábaco. O ponto divisório entre os dois tipos de inversão deve ser escolhidoonde os erros numéricos da inversão via ábaco começam a ser signi�cativos. Com a precisãonumérica utilizada nas simulações feitas nesse trabalho, observa-se que esse ponto será bemescolhido em θ = 10−2, mas per�s obtidos com outros pontos também foram testados.

O início do processamento se dá com a leitura das partes real e imaginária de cadaentrada Z/Z0, cada uma delas associada ao um par (r, f), onde r é a distância TX-RX

e f a frequência de operação do transmissor. Na subrotina apresentada por Sampaio eSato (2000), são obtidos os valores correspondentes de θ para todas as entradas. Aquelesmenores ou iguais a 10−2 são descartados e seus valores recalculados através da expansãoem série de Taylor truncada no termo de ordem 3. Como mencionado no Capítulo 2, o errooriundo da aproximação da equação 1.3 pela equação 2.15 é menor que 1 % para valores deθ < 10−2, o que justi�ca a escolha dessa forma de inversão quando se tratar de númerosde indução pequenos. Tendo-se agora um número de indução aparente para cada entrada(r, f), calcula-se com o auxílio da equação 2.6 os respectivos valores de σA. As simulaçõesdo procedimento para geração dos per�s de condutividade foram realizadas com o auxílio domodelo matemático da esfera condutora imersa num espaço in�nitamente resistivo, utilizandoa subrotina em linguagem Fortran apresentada por Urasaki (2007). O procedimento deinversão foi aplicado aos dados sintéticos FDEM gerados pela esfera a várias distâncias xc

do seu centro em relação ao dipolo transmissor, profundidades h do centro em relação àsuperfície e raios a, e os per�s de condutividade 2D para cada uma dessas situações sãoapresentados a seguir.

3.2 Esfera a diferentes distâncias de TX

Para avaliar o comportamento do método eletromagnético com a con�guração HCP a me-dida que o corpo geológico se afasta do transmissor, foram criados quatro per�s onde osdados sintéticos foram obtidos para uma esfera de raio 40m, condutividade de 10 S/m, comcentro a uma profundidade também de 40m e diferentes afastamentos, conforme mostradona �gura 3.1.

Observa-se que, quanto mais próximo do transmissor o corpo geológico se encontra, maispróximo da posição real sua imagem é criada. À medida que o corpo se afasta, sua imagemaparece mais profunda e mais próxima do transmissor. Esse resultado coincide com o obtidoem Sato (1979), onde o autor usou a con�guração PERP.

Outro comportamento que se observa é a presença do limite abaixo do qual os corposnão podem ser detectados. Esse limite, como já mencionado, é representado por uma reta


0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(a) xc = 200m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(b) xc = 400m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(c) xc = 700m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(d) xc = 900m

Figura 3.1: Per�l de condutividade elétrica para esfera de condutividade 10 S/m,raio e profundidade do centro iguais a 40m e distâncias em relação aTX de (a) 200m, (b) 400m, (c) 700m e (d) 900m.

passando por TX mergulhando a uma inclinação de 26,57◦ em relação ao eixo x, oriunda dacondição de r/δ ≥ 1 e da utilização de δ/2 como profundidade máxima do ponto de maiorin�uência nas medições. Devido a essa condição, observa-se na �gura 3.1(a) que existe umcorte na imagem aproximadamente àquela inclinação. Nas outras três, com xc maior, o skin-depth também é maior e a imagem não é cortada pela linha limite. É importante observartambém que a imagem não possui forma perfeitamente circular, o que, provavelmente, sedeve ao método de triangulação de Delaunay usado pelo software GMT (Wessel e Smith,1991; Wessel e Smith, 1998) para traçar as curvas de contorno e o preenchimento em coresda imagem.


3.3 Esfera com diferentes profundidades e raios

Nesta seção, a esfera foi mantida a uma distância �xa do transmissor e foram feitos qua-tro per�s diferentes, mostrados na �gura 3.2, onde ela encontra-se cada vez maior e maisprofunda, de maneira que esteja sempre tangenciando a superfície.

Observa-se mais claramente nessas simulações o efeito da linha limite à 26,57◦, excetopela �gura 3.2(a), cuja esfera é pequena su�ciente para estar totalmente contida na região�visível� do plano xz. Ocorre que, para uma distância horizontal de 700m até o transmissor,que é a posição do centro da esfera, a maior profundidade detectável é 350m, e, por causa deum deslocamento em profundidade devido ao número de indução não ser grande o su�cientepara tornar o skin-depth menor, somado ao aumento do tamanho das esferas, as imagenscriadas nas �guras 3.2(b), 3.2(c) e 3.2(d) já estão parcialmente fora dessa região visível e,por isso, aparecem ceifadas em sua parte inferior. É possível observar também nas quatro�guras que o procedimento utilizado recria bem a dimensão do corpo. Ou seja, à medidaque se utiliza raio maior da esfera, sua imagem criada também apresentou dimensão maior.A �gura 3.3 mostra uma superposição da �gura 3.2(d), estendida até a distância horizontalde 2000m, com uma imagem que representa a localização de todos os pontos utilizadospara obtê-la. Até aproximadamente a posição x = 500m, vemos claramente a tendênciados pontos de serem alocados sobre a linha a 26,57◦, con�rmando que nessa região, onde onúmero de indução é pequeno por causa da grande distância para o corpo geológico condutore por causa da proximidade do transmissor, o efeito da frequência sobre a profundidade deinvestigação é praticamente nulo. Existem, de fato, em cada ponto sobre a linha mencionadaaté x = 250m, 40 pontos sobrepostos, representando as 40 diferentes frequências usadas nageração dos dados. Em 250 < x < 500m, o número de indução começa a crescer e o efeitoda frequência passa a ser mais perceptível. A partir de x > 540m, o receptor está passandosobre a esfera (lembrar que, nesse per�l, xc = 700m e a = 160m), tornando θ ainda maior eδ sensível à variação da frequência. Mesmo após o receptor não estar mais sobre a esfera (emx = 860m, o número de indução não reduz-se a valores pequenos como eram para x < 500m,pois, como a região enxergada pela sondagem está sempre entre o transmissor e o receptor,uma vez a esfera se encontrando entre eles, sua presença in�uenciará σA e, consequentemente,θ. É como se a condutividade aparente representasse uma proporção entre o tamanho daregião condutora e o tamanho de toda a região entre TX e RX. À medida que o tamanhoda esfera passa a ser desprezível perante toda a região, σA diminui e o número de induçãotenderá a diminuir. Porém, como, nesse momento, o receptor já estará muito distante dotransmissor fazendo r grande, θ será grande o su�ciente para que perceba-se que há in�uênciada frequência sobre δ e os pontos plotados não se sobrepõe mais, como ocorria antes.


0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(a) a = h = 40m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(b) a = h = 80m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(c) a = h = 120m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

(d) a = h = 160m

Figura 3.2: Esfera com centro a 700m de TX, condutividade de 10 S/m, raio eprofundidades iguais a (a) 40m, (b) 80m, (c) 120m e (d) 160m.

0

200

400

600

800

1000

Prof

undi

dade

(m)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000Distância TX-RX (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ (S/m)

Figura 3.3: Sobreposição dos pontos alocados no plano xz para geração do per�lde condutividade de uma esfera de raio 160m, profundidade de 160me distância ao transmissor de 700m.


0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(a) h = 40m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(b) h = 80m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(c) h = 120m

0

100

200

300

400

500

Prof

undi

dade

(m)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Distância TX-RX (m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

σ (S/m)

(d) h = 160m

Figura 3.4: Esfera com raio igual a 40m, condutividade de 10 S/m, a uma distânciade 800m em relação a TX e profundidades do centro iguais a (a) 40m,(b) 80m, (c) 120m e (d) 160m.

3.4 Esfera com raio constante e diferentes profundidades

Este ensaio foi feito variando agora apenas a profundidade do centro da esfera e mantendo-se constante sua distância horizontal em relação a TX e seu raio, e os per�s criados sãoapresentados na �gura 3.4. Aqui, diferentemente da situação mostrada na �gura 3.2, ondeeram detectadas porque também eram maiores, as esferas mais profundas passam a sermais insensíveis ao campo eletromagnético gerado pelo dipolo transmissor. Mesmo assim,apesar da distância de 800m, mesmo a esfera mais profunda tem uma anomalia registradana �gura 3.4(d). É importante observar que foi necessário alterar a escala de cores paramelhor visualização desse caso e, por isso, deve-se tomar cuidado ao se fazer comparaçõescom os demais casos anteriormente apresentados.

4Conclusões e recomendações

As simulações feitas neste trabalho, baseadas no modelo da esfera condutora imersa num se-miespaço in�nitamente resistivo, mostram que é possível a criação de per�s de condutividadeaparente, através das medições da impedância de acoplamento mútuo entre transmissor ereceptor, que reproduzam com boa �delidade a anomalia que se encontra em subsuperfície,como já apresentado em Sato (1979). Porém, a associação dos valores de condutividade auma determinada profundidade é a etapa mais discutível do processamento, pois a formacomumente adotada na maioria dos trabalhos emprega o skin-depth para determinação dessaprofundidade, o que torna muito difícil recriar imagens de corpos rasos sem que o númerode indução seja alto. Número de indução alto implica em algumas condições que não sãofacilmente obtidas, como frequências maiores que 10 kHz (o que não é usual nos métodosCSAMT), distâncias TX-RX muito grandes (na prática, não se consegue mais medir sinaiscom boa qualidade a partir de 10 km) ou condutividades muito altas. Outra di�culdade queo método apresenta aparece no limite de 26,57◦ dentro do qual as imagens serão desenhadas,o que di�culta a detecção de corpos a grandes profundidades quando estes estão próximosao transmissor.

Com relação ao posicionamento horizontal, se os pontos de maior in�uência forem colo-cados exatamente abaixo do transmissor, a imagem apresenta um deslocamento que a afastada sua posição verdadeira na direção contrária à do transmissor. Apesar desse procedimentogerar imagens horizontalmente mais bem posicionadas para corpos mais rasos, a utilizaçãoda correção baseada na �gura 2.9 é mais e�ciente para corpos mais profundos.

Para a inversão da impedância de acoplamento mútuo em condutividade aparente, autilização da expansão em série de Taylor da equação 2.7 tem grande importância quando os

47

Conclusões e recomendações 48

números de indução medidos são menores que 10−2. Sem esse tratamento, as medições emzonas, por exemplo, próximas ao transmissor e com baixa frequência teriam que ser descon-sideradas, pois sua inversão utilizando o ábaco apresentaria consideráveis erros numéricos.

Apesar de serem encontrados na literatura outras formas de cálculo da profundidadede exploração, o procedimento utilizado neste trabalho permitiu criar com razoável precisãono posicionamento as imagens de corpos condutores em meio resistivo, mesmo a grandesprofundidades e distâncias do transmissor, quando bem observadas as limitações apresenta-das para casos limítrofes, com θ � 1 e θ � 1. Quando longes dessas situações extremas,algumas simulações feitas recriaram também as feições circulares da esfera utilizada comomodelo teórico. Dessa forma, as medições de impedância de acoplamento mútuo no arranjoHCP apresentam boa aplicabilidade prática nos levantamentos eletromagnéticos, �cando suae�ciência dependendo da avaliação dos números de indução com os quais se trabalha, e seualcance, em distância e profundidade, dependendo da capacidade do transmissor utilizado.

Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Hédison Kiuity Sato, pelas sempre tempestivas orientações dadas em todo oprocesso de preparação desta dissertação, jamais me deixando sem resposta para qualquerdúvida que trouxesse.

Às Sras. Alcirlene Cruz da Fonseca e Zenilda do Carmo Conceição, pelo apoio nos trâmitesadministrativos pelos quais passei nesses 2 anos de aluno da UFBA.

Ao Sr. Joaquim Bon�m Lago, pela ajuda nos assuntos relativos à informática do CPGG.

À Marinha do Brasil, por ter permitido e apoiado a realização deste trabalho, enxergandoque é, e sempre será, necessário investir na preparação técnica de seu pessoal agora paraassumir novos desa�os pela frente.

À minha mulher, Gleice, por dividir comigo todos as sentimentos que tive nesses últimos 2anos, seja a angústia pela di�culdade em compreender algum assunto novo, seja a alegria detê-lo conseguido.

Aos meus pais, seu Paulo e dona Dalva, por terem sempre me guiado por caminhos segurosem minha vida. Saibam, onde estiverem, que tenho profundo orgulho de ser vosso �lho.

Ao meu �lho, Heitor, que, tendo apenas 3 anos de idade, não faz idéia do incentivo que medeu ao dizer todo dia de manhã: �Tchau, pai. Boa aula!�.

Acima de tudo, agradeço a Deus, por ter permitido que meu caminho um dia se cruzassecom o de todos esses que mencionei.

49

Referências Bibliográ�cas

Dias, C. A. (1968) A non-grounded method for measuring induced electrical polarizationand conductivity, Ph. D. Thesis, University of California, Berkeley.

Frischknecht, F. C. (1967) Fields about an oscillating magnetic dipolo over a two-layerearth, and application to ground and airborne electromagnetic surveys, Quarterly of theColorado school of mines, 62:1�326.

Frischknecht, F. C.; Labson, V. F.; Spies, B. R. e Anderson, W. L. (1991) Eletromagneticsounding, In: M. N. Nabighian, ed., Electromagnetic methods in applied geophysics, vol.2, Application, Parts A and B, pp. 105�270, Society of Exploration Geophysicists, Tulsa,Oklahoma.

Goldstein, M. A. e Strangway, D. W. (1975) Audio-frequency magnetotellurics with a groun-ded eletric dipole source, Geophysics, 40:669�683.

Grant, F. S. e West, G. F. (1965) Interpretation Theory in Applied Geophysics, McGraw-HillBook Company., USA.

Keller, G. V. e Frischknecht, F. C. (1966) Eletrical Methods in Geophysical Prospecting,Pergamon Press Inc., Bath, Great Britain.

Mallick, K. e Verma, R. K. (1979) Time-domain electromagnetic sounding � computationof multi-layer response and the problem of equivalence in interpretation, Geoph. Prosp.,27:137�155.

Sampaio, E. E. S. e Sato, H. K. (2000) Interpretation of spectral electromagnetic data forcupper and gold exploration in northeast bahia, brazil., In: Book of Abstracts, In: 15thWorkshop on Electromagnetic Induction in the Earth.

Sato, H. K. (1979) Método eletromagnético para interpretação de polarização induzida eresistividade, usando o protótipo de um sistema a multi-freqüência, Dissert. de Mestrado,Universidade Federal da Bahia, Salvador, Brasil.

Sinha, A. K. (1973) Comparison of airborne em coil systems placed over a multi-layer con-ducting earth, Geophysics, 38:894�919.

50

Referências Bibliográ�cas 51

Spies, B. R. (1989) Depth of investigation in electromagnetic sounding methods, Geophysics,54:872�887.

Spies, B. R. e Frischknecht, F. C. (1991) Eletromagnetic sounding, In: M. N. Nabighian,ed., Electromagnetic methods in applied geophysics, vol. 2, Application, Parts A and B,pp. 285�425, Society of Exploration Geophysicists, Tulsa, Oklahoma.

Urasaki, E. N. A. (2007) Indução eletromagnética multi-frequência de um modelo esféricocondutor e permeável no intervalo da aproximação quasi-estática, Rel. Téc., UniversidadeFederal da Bahia, Salvador, Brasil, Trabalho de graduação do curso de Geofísica.

Verma, R. K. (1980) Equivalence in electromagnetic (frequency) sounding, Geoph. Prosp.,28:776�791.

Verma, R. K. e Mallick, K. (1979) Detectability of intermediate conductive and resistivelayers by time-domain electromagnetic sounding, Geophysics, 44:1862�1878.

Wait, J. R. (1955) Mutual electromagnetic coupling of loops over a homogeneous ground,Geophysics, 20:630�637.

Wait, J. R. (1962) A note on the electromagnetic response of a strati�ed earth, Geophysics,27:382�385.

Ward, S. H. e Hohmann, G. W. (1988) Eletromagnetic theory for geophysical applications,In: M. N. Nabighian, ed., Electromagnetic methods in applied geophysics, vol. 1, Theory,pp. 131�311, Society of Exploration Geophysicists, Tulsa, Oklahoma.

Wessel, P. e Smith, W. H. F. (1991) Free software helps map and display data, EOS Trans.AGU, 72:441.

Wessel, P. e Smith, W. H. F. (1998) New, improved version of the generic mapping toolsreleased, EOS Trans. AGU, 79:579.

Zonge, K. L. e Hughes, L. J. (1991) Eletromagnetic sounding, In: M. N. Nabighian, ed.,Electromagnetic methods in applied geophysics, vol. 2, Application, Parts A and B, pp.713�809, Society of Exploration Geophysicists, Tulsa, Oklahoma.

AnexoICódigos de programa e scripts usados noimageamento de dados FDEM

I.1 Programa para cálculo das trincas (xP , zP , σA)

! Universidade Federal da Bahia! Centro de Pesquisa em Geologia e Geofísica - CPGG!! Programa para calcular condutividade aparente e as coordenadas do ponto de! maior influência a partir do número de indução theta obtido em um levantamento! eletromagnético no arranjo HCP.!! Dados de entrada:! r: distância TX-RX (m)! f: frequência (Hz)! zzor: parte real da impedância de acoplamento mútuo obtido com campo! secundário! zzoi: parte imaginária da impedância de acoplamento mútuo obtido com campo! secundário! theta: número de indução correspondente obtido da inversão de Z/Z0 - 1 no ábaco!! Dados de saída:! rp: posição horizontal do ponto de maior influência medida a partir! de TX (m)! zp: profundidade do ponto de maior influência (m)! sigma: condutividade aparente associada ao ponto (rp,zp) no plano xz!! Procedimento:! leitura dos valores r,f,zzor,zzoi,theta;! teste theta < 1E-2: se sim, calcula novo theta a partir de! Z/Z0 - 1 = zzor + i*zzoi;! calcula (rp,zp) com uso do shin-depth dipolar (delta); e! imprime rp,zp e sigma na standartoutput.!! Autor: Ricardo Luiz Barbalho Barreto!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

52

Códigos de programa e scripts usados no imageamento de dados FDEM 53

double precision sigma,mi,f,r,pi,theta,zzor,zzoi,delta_2, delta_22double complex ikrreal theta1,theta2,theta3,alfa,betaexternal taylorinteger rp,zppi = acos(-1.D0)mi = 4.D0*pi*1.D-7theta1=1.184theta2=7.051theta3=8.581alfa=0.540beta=14.973do while (.true.)

read(5,*,end=10000) r,f,zzor,zzoi,thetaif (theta.LE.1E-2) then

ikr = 2.D0*sqrt(cmplx(zzor,zzoi))if(real(-ikr).GT.0) ikr = -ikrtheta = abs(ikr)/sqrt(2.D0)

endifsigma = theta*theta/(r*r*mi*pi*f)delta_2 = r/(theta-(theta-theta1)*(theta-theta2)*

& (theta-theta3)/(theta1*theta2*theta3-1+exp(alfa*theta)-& beta*theta))/2.D0

delta_22 = delta_2*delta_2zp = r*r*delta_2/(r*r+delta_22)rp = r-r*delta_22/(r*r+delta_22)write(*,*)rp,zp,sigma

enddo10000 continue

stopend

I.2 Procedimento computacional para geração dos per�sde condutividade 2D

## Procedimento computacional para geração dos perfis de condutividade 2D, baseado# no modelo matemático da esfera condutora em meio resistivo.#all: secaoxyz.dat secao.psFC=gfortran## Gera arquivo executável "secao" que cria os dados sintéticos a partir do modelo# teórico e o executável para cálculo das coordenadas (x,z) e os valores de sigma# apararente#secao: secao.o$(FC) -o $@ $+invtheta: invtheta.o$(FC) -o $@ $+## Gera arquivos de dados contendo, na primeira linha, o nome do arquivos de dados# do ábaco que será utilizado (ab2nt***:cis, hcp, per), e nas demais, os pares# Re(Z/Zo-1) e Im(Z/Zo)#z_zo.dat: secao entrada.datecho "ab2nthcp" > z_zo.datsecao < entrada.dat >> z_zo.dat 2>/dev/null#


# Gera arquivo contendo theta correspondente para cada Z/Zo através do programa# ab2nt (Sampaio e Sato, 2000)#theta.dat: z_zo.datawk 'BEGIN{n=1} {if(n==1) {print;n=n+1} else {print $$3,$$4}}' z_zo.dat | \./ab2nt > theta.dat 2> /dev/null## Gera condutividade aparente a partir do arquivo theta.dat e z_zo e# armazena (x,y,z)=(r,f,sigma)#secaoxyz.dat: z_zo.dat theta.dat invthetatail -n +2 z_zo.dat|paste -d" " - theta.dat|awk '{print $$1,$$2,$$3,$$4, \$$7}' | ./invtheta > secaoxyz.dat## Gera perfil de condutividade em arquivo .ps usando o procedimento plotacor.sh#secao.ps: plotacor.sh secaoxyz.datplotacor.sh secaoxyz.dat

I.3 Procedimento computacional para desenhar os per�sde condutividade 2D

#!/bin/sh## Gera perfil de condutividade aparente para um conjunto de valores (x,z,sigma)# fornecido como entrada a este procedimento (~/plotacor.sh arquivo_x_z_sigma.dat)### Lê do arquivo entrada.dat A (raio da esfera), H (profundidade da esfera) e# X (distância a TX) para compor o nome do arquivo de saída .ps#A=àwk 'NR==10 {printf "%03d",$0}' entrada.dat`H=àwk 'NR==11 {printf "%03d",$0}' entrada.dat`X=àwk 'NR==12 {printf "%05d",$0}' entrada.dat | sed -e s/-//`LMAX=àwk 'NR==6 {printf $0}' entrada.dat`ZMAX=ècho "$LMAX/2"|bc`R=ècho "scale=4; $A/300"|bcòutfile=misto-2_Aècho "$A"`_Hècho "$H"`_X$X.ps## Ajusta parâmetros do GMT#rm -f .gtmcommands .gmtdefaultsgmtset PAPER_MEDIA a4+gmtset HEADER_FONT_SIZE 12 LABEL_FONT_SIZE 10 ANOT_FONT_SIZE 8## Cria paleta de cores no arquivo cores.cpt#makecpt -Chot -T0/10/.01 -I > cores.cpt## Cria imagem de acordo com cores.cpt#pscontour $1 -I -Ccores.cpt -JX8/-4 -R0/$LMAX/0/$ZMAX -K -P > $outfileecho "$X $H $R c"|psxy -JX8/-4 -R0/$LMAX/0/$ZMAX -S -W2/176/226/255 -O -K -P >> \$outfilepsbasemap -R0/$LMAX/0/$ZMAX -JX8/-4 -Ba500f250g250:"Dist\340ncia TX-RX (m)":\/a500f250g250:"Profundidade (m)":WesN -K -O -P >> $outfilepsscale -D4/-0.2/6c/0.25ch -Ccores.cpt -B1:"Condutividade (S/m)": -O -P >> $outfile#


# Correção de BoundingBox#truebb(){TRUEBB=`gs -dNOPAUSE -dBATCH -sDEVICE=bbox $1 2>&1|grep "%%BoundingBox"`#echo "O BoundingBox obtido com o comando gs -sDEVICE=bbox Ã c©: $TRUEBB"cat $outfile|sed -e "s/%%BoundingBox.*/$TRUEBB/"> $1.tempmv -f $1.temp $1}truebb $outfile

Documents

IMAGEAMENTO DE RESISTIVIDADE ELÉTRICA A PARTIR DE … · Índice de Figuras 1.1 Esquema de indução eletromagnética em corpos ... ao passar por um o próximo a uma bússola que