Se tiene una imagen la cual se proyecta sobre un arreglo de sensores de 12 X 10

A cada sensor individual se le llamara pixel

11 1

1 11 1

1 1 11 1 1

1 11 1

1

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 1 1 5 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 5 0 2 1 5 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 2 1 6 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 2 1 6 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 0 3 1 6 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 3 0 3 1 6 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 2 1 6 00 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 4 0 2 1 6 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 5 0 2 1 5 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 1 1 5 0

El sensor en el caso mas sencillo puede estar prendido o apagado

La imagen de la luna queda por lo tanto registrada en forma de pequeños cuadros, la imagen de la luna no es muy fiel a la verdadera imagen

Si un sensor puede estar prendido o apagado se pueden representar estos estados con un 1 o un 0

Si se tiene la capacidad de almacenar números la información que describe la imagen de la luna se puede comprimir y guardar en un formato comprimido

Si se tienen 6 ceros seguidos en una fila se puede escribir como 6,0 2,1 significa dos 1 seguidos

Una imagen en digita

l

Procesamiento de imágenes digitales

Primera parte

Tonatiuh Vázquez

Un poco de unos y ceros

Un 1 o un cero se denominan como un bit que es la pieza mas pequeña de información

Si se tienen 2 ceros o unos entonces se tienen dos bits

El numero máximo que se puede representar con 2 0 o unos es

00 Cero

01 Uno

10 Dos

11 tres

O bien se tienen 4 valores 0,1,2,3

Con 4 bits se puede representar hasta el número 15

bit 1 2 0 = 1 se tiene entonces 1+2+4+8 =15

bit 2 2 1 = 2

bit 3 2 2 = 4 A esto se le llama numeración binaria

bit4 2 3 = 8

8 bits hacen un Byte =255 en decimal

11 1

1 11 1

1 1 11 1 1

1 11 1

1

0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 00 0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 00 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 00 0 0 15 8 4 0 0 0 0 0 00 0 0 15 8 4 0 0 0 0 0 00 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0

Ahora si tenemos 15 números para representar a nuestra luna (un Byte) podemos asignar un número a un tono particular de gris

0 =

1= 5 = 9= 13=

2= 6= 10= 14=

3= 7= 11= 15=

4= 8= 12=

Nuestra luna representada en tonos de gris queda así

Hay una mejora en la calidad de la imagen

Tenemos mas colores para representarla, como la imagen esta representada por números estos se pueden manipular, se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir o bien se pueden realizar operaciones mas complejas

A esto se le conoce como mapa de bits o bien su acrónimo BMP

0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 10 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 17 4 2 2 2 2 2

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 17 4 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 17 4 2 2 2 2 2 2

0 0 0 15 8 4 0 0 0 0 0 0 2 2 2 17 10 6 2 2 2 2 2 2

0 0 0 15 8 4 0 0 0 0 0 0 2 2 2 17 10 6 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 17 4 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 17 4 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 17 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 10 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 15 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 15 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 15 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 15 10 6 2 2 2 2 2 2

2 2 2 15 10 6 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 15 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 15 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 15 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2

Ahora vamos a realizar una operación básica sumar, le vamos a sumar 2 a todo el arreglo

Podemos ver algunos 17 pero como nuestro número máximo es 15 el 17 se convierte en 15

Si convertimos estos números a imagen esta queda así

Aquí le restamos 2 a todo el arreglo

0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 6 0 1 8 5 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 5 0 1 15 1 2 5 0 0 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0 0 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0 0 0

0 0 0 15 8 4 0 0 0 0 0 0 3 0 1 15 1 8 1 4 6 0

0 0 0 15 8 4 0 0 0 0 0 0 3 0 1 15 1 8 1 4 6 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0 0 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0 0 0

0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 5 0 1 15 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 4 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 6 0 1 8 5 0 0 0

0 0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 5 0 1 15 1 2 5 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0

0 0 0 15 15 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 15 1 4 5 0

0 0 0 15 15 4 0 0 0 0 0 0 3 0 2 15 1 4 5 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0

0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 0 0 4 0 1 15 1 2 6 0

0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 5 0 1 15 6 0 0 0

0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 4 6 0 0 0

Podemos comprimir nuestra imagen y quedaría así

Para ahorrarnos espacio en el archivo algunos colores similares los podemos hacer iguales el problema es que se pierde información básica

Hay dos formas de compresión con perdida de información y sin perdida de información, por regla general entre mas se comprime un archivo mas información se pierde

Existen muchos algoritmos de compresión de imagen el visto aquí es el mas simple

Tres diferentes resoluciones

16 pixeles ancho

48 Pixeles ancho

150 Pixeles ancho

Formatos de compresión de imágenes

TIFF (Tagged Image File Format)

TIFF  es, en principio, un formato muy flexible con o sin pérdida. Los detalles del algoritmo de almacenamiento de la imagen se incluyen como parte del fichero. En la práctica, TIFF se usa casi exclusivamente como formato de almacenamiento de imágenes sin pérdidas y sin ninguna compresión. Consecuentemente, los archivos en este formato suelen ser muy grandes. Algunas veces se usan un algoritmo de compresión sin pérdidas llamado LZW, pero no siempre.

PNGPNG es también un formato de almacenamiento sin pérdida. Al contrario que ocurre con el formato TIFF puede comprimir la imagen. Además tal compresión es totalmente reversible y por tanto la imagen que se recupera es exacta a la original.

GIFGIF crea una tabla de 256 colores a partir de una de 16 millones. Si la imagen tiene menos de 256 colores, GIF puede almacenar la imagen sin pérdidas. Cuando la imagen contiene muchos colores, el software que crea el archivo GIF usa algún algoritmo para aproximar los colores de la imagen con una paleta limitada de 256 colores disponibles. Un buen algoritmo de este tipo, tratará de encontrar un conjunto óptimo de 256 colores. Algunas veces, GIF usa el color más cercano para representar cada píxel, y algunas veces usa un "error de difusión" para ajustar los colores de los píxeles vecinos y así corregir el error producido en cada píxel.GIF produce compresión de dos formas. Primero, reduce el número de colores de la imagen a 256 y por tanto, reduce el número de bits necesario por píxel.  Después, remplaza áreas de color uniforme  usando código de secuencias: en lugar de almacenar  "blanco, blanco, blanco, blanco, blanco" almacena "5 blanco"Por tanto, GIF es una compresión de imágenes sin pérdida sólo para imágenes de 256 colores o menos. Sin embargo, para una imagen de 16 millones de colores GIF puede "perder" el 99.998% de los colores.

JPGJPG es el método de compresión más adecuado para fotografías e imágenes de tonos continuos similares que contiene muchos colores. Permite obtener unos radios de compresión muy altos manteniendo a su vez una calidad en la imagen muy elevada. JPG analiza las imágenes y elimina la información que no es apreciable. JPG almacena imágenes de 16 millones de colores. Otro aspecto importante es que el método JPG permite distintos niveles de compresión. En niveles de compresión de imágenes moderado, es muy difícil discernir las diferencias de la imagen original. Programas de tratamiento de imágenes avanzados como Paint Shop Pro o Photoshop permiten ver la calidad de la imagen y el tamaña del fichero como una función de nivel de compresión, de esa forma, se puede elegir convenientemente la calidad y el tamaño del fichero deseado.

RAW, BMP, PSP, PSD, ...

RAW es la imagen de salida que ofrece algunas cámaras digitales. Aunque es un método sin pérdida, ofrece un factor de tres o cuatro menor que el formato TIFF de la misma imagen. La desventaja es que el método RAW no está estandarizado y cada marca tiene su propia versión de dicho método, por tanto, se debe usar el software de la cámara para poder visualizar las imágenes.

PSP, PSD son formatos usados en distintos programas básicos (Paint Shop Pro, Photoshop).

Imagen poco comprimida

Imagen comprimida fuertemente

Un poco sobre colores

El espectro visible se compone de una gama continua del rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta

Pero el ojo no es sensible a todos los colores solo es sensible a tres colores el azul rojo y verde y a partir de la intensidad de estos compone los demás colores

El formato que utilizan los diferentes dispositivos que manejan color es utilizar la combinación de estos tres colores

Cámaras de video

Televisores

Fotografía

Pantallas

Imagen Trinitron en monitores, LCD de pantalla y plasma

Para desplegar una imagen digital se requieren de tres números uno para cada color

Si para cada color utilizamos 4 bits por pixel tenemos

4 bits número máximo de posibles variaciones por color = 15

Número máximo de colores = 15 * 15 * 15 = 3375

Si para cada color utilizamos 6 bits por pixel tenemos 111111=63

El ojo humano puede distinguir bien aproximadamente 64 tonos de grises (El número cambia de fuente a fuente)

Se tienen en total 250047 colores

Si se tienen 16 bits para toda la gama de colores se tienen 65535 colores

Si se tienen 12 bits para todos los colores se tienen 2047 colores

Si se disponen de 8 bits (Byte) por cada color se tienen 255 tonos por cada color lo que da un total de 16581375 colores (16 millones y medio)

El formato mas usado es el de 8 bits por color o bien 3 bytes o mas conocido como 24 bits

Un poco mas sobre el color

Espacio de color CIE 1931 el modelo de color denominado CIE fue establecido en 1931 por la Comission Internacionale de l´Eclairage (CIE). Con el se definieron con precisión los tres colores primarios, a partir de los cuales pueden crearse todos los demás, mediante una representación axial en la que las distintas coordenadas representan a cada uno de los colores primarios "x" (rojo), "y" (verde), "z" (azul).

Este modelo acabo por transformarse en el CIE Yxy. De acuerdo con su formulación, todos los colores que tengan la misma luminosidad están en un mismo plano aproximadamente triangular. El eje horizontal "x" muestra la cantidad de rojo de los colores, y el eje vertical "y" la cantidad de verde. El eje "Y", que representa la luminosidad de los colores, solo puede mostrarse en una representación tridimensional.

En la versión CIE Lab de este modelo "L" representa la luminosidad, "a" oscila entre verde y rojo y "b" oscila entre azul y amarillo. La representación del modelo de color CIE Lab es tridimensional.

Tomado del Wikipedia

Espacio de color CIE 1931

Existen varios sub espacios de color los mas usados son

sRGB que es el que utilizan la gran mayoria de los monitores solo puede representar el 35 % de los colores (8 Bits)

Adobe que puede representar un 50 % del color

El ProRGB y el Gama amplia que pueden representar el 90% del color

El Cian Magenta Amarillo y Negro (CMYK)

Todos ellos están limitados y ninguno representa la totalidad de los colores

Solo algunos formatos de imagen de 16 bits pueden guardar información en gama amplia

Los formatos científicos guardan mas información pero ocupan mucho mas memoria

Los colores de esta zona no existen están fuera del espacio CIE

Queda claro que para representar todos los colores de la realidad necesito espacios mas grandes, esto se logra dividiendo el espectro en mas partes

La película fotográfica dividía típicamente el espectro en 4 partes con un rango mas amplio para cada color lo que la hace el medio mas óptimo para registrar el color

Es importante recalcar que si un dispositivo no tiene capacidad de registrar toda la gama de colores se perderá información

Tomado de las especificaciones técnicas del fujifilm pro 160

¿Cómo lee mi cámara el color?

Patrón Bayers aquí se montan filtros sobre cada pixel del CCD en un esquema rojo, verde rojo, verde azul verde, El procesador de la cámara hace magia matemática para sacar los colores de cada pixel, podemos intuir que la verdadera resolución es en realidad menor, mas algunos otros problemitas de calidad

Prisma dicroico aquí se divide la imagen en 3 colores primarios mediante un prisma, Le gusta mucho a los pro de la TV

Rueda de filtros es el único aceptado por un amateur de la astronomía black belt .

Para una astrofografía con valor científico se usan mas de 3 filtros

Un poco de mate

Regresión  Una función es una expresión que nos indica una relación de correspondencia

 

 

  

 

 

 Una función se puede expresar en términos matemáticos, la notación usada es:

 F( variable de interés ) = Expresión matemática que contiene a la variable de interés.

Una función nos indica que relación existen entre los miembros de los conjuntos

Ejemplos: Y=3X+36 puede ser expresado como Y=f(X) o bien f(X)=3X+36 El grado de una función es la potencia a la cual esta elevada la variable de interés F(X)=3X+36 Es una función de primer grado o lineal porque su representación en el plano cartesiano es una recta. F(X)=3X2+90 Es una función de Segundo grado o cuadrática su representación en el plano cartesiano es de una parábola. F(X)=3X3+100 Es una función de tercer grado o cúbica.

F(x)=X+1 si X=1 entonces F(x)=1+1=2 si X=2 entonces F(x)=2+1=3

 

 

 

 

Se puede ver que X puede tomar cualquier valor mientras que F(x) depende de los valores que tome X.

1

2

3

0 1 2 3

Expresión F(x)= 2.9 X + 1 Si X F(x) 0 1 1 3.9 2 6.8 3 9.7 4 12.6 5 15.5 6 18.4 7 21.3 8 24.2 9 27.1 10 30 11 32.9 12 35.8 13 38.7

2 Expresión F(X)= 0.3 X + 0 Si X= F(X) -6 10.8 -5 7.5 -4 4.8 -3 2.7 -2 1.2 -1 0.3 0 0 1 0.3 2 1.2 3 2.7 4 4.8 5 7.5 6 10.8

3 Expresión F(X)= 0.2 X + 0 Si X= F(X) -6 -43.2 -5 -25 -4 -12.8 -3 -5.4 -2 -1.6 -1 -0.2 0 0 1 0.2 2 1.6 3 5.4 4 12.8 5 25 6 43.2

Expresión F(X)= 2 * Ln(X) Ln(X) si X= F(X) 0.1 -4.61 0.6 -1.02 1.1 0.191 1.6 0.94 2.1 1.484 2.6 1.911 3.1 2.263 3.6 2.562 4.1 2.822 4.6 3.052 5.1 3.258 5.6 3.446 6.1 3.617

x Expresión F(X)= 1 e Si X= F(x) -6 0.002 -5 0.007 -4 0.018 -3 0.05 -2 0.135 -1 0.368 0 1 1 2.718 2 7.389 3 20.09 4 54.6 5 148.4 6 403.4

Si una función se puede graficar entonces de una gráfica se puede generar una función a esto se le conoce como regresión

Puede haber

Regresión lineal se toma un conjunto de datos que pueden aproximarse a una línea se le conoce como regresión lineal

Diagrama de dispersión

Una curva que se aproxima a una parábola es regresión cuadrática

Puede haber regresión cúbica, logarítmica bicúbica, exponencial o bien se puede aproximar una curva con una serie

1211 Rojo10 Verde9 Azul8 Punto Final coordenadas(11,10)765 Punto inicial coordenadas (3,3)43 Rojo2 Verde1 Azul0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Puntos para el rojo Linea recta entre el punto A y el punto BSe puede sacar la ecuación de la recta

3 3 para encontrar cualquier punto que este 11 10 Sobre esta tendencia

En este caso la componente del rojo

115250

115160215

2505050

12

C1

C2

C3

C4

0

50

100

150

200

250

Se puede usar la regresión para encontrar un color entre dos

puntos o bien para generar un gradiente, los algoritmos de

compresión como el JPG utilizan estos algoritmos para dar una

imagen suave, sin embargo existe perdida de información

Línea recta del cambio en rojo

graficada en los

tres ejes X Y Z

Ejemplo de una regresión utilizando IRISSe tiene una imagen y hay que quitarle la contaminación lumínica

Se utiliza el comando poner puntos

Pointon

Se ponen los puntos sobre los cuales se desea generar un cielo contaminado

Se escribe el comando del tipo de polinomio que se desea usar en este caso usamos uno de tercer grado o bien hacemos una regresión cúbica

Poly 3

Y luego generamos el cielo con esta regresión escribiendo el comando

Synthe

Obtenemos un patrón

del cielo

Con contaminación

Ojo hay que poner muchos puntos sin tocar estrellas u objetos celestes

Guardamos el cielo con el comando save

Save cielito

Abrimos la imagen anterior

Le restamos el cielo contaminado con el comando

Sub que tiene el siguiente formato

Sub (nombre del archivo y un número a partir del cual si se resta)

Sub cielito 0

Imagen final ya sin contaminación lumínica

Nótese que en unas orillas al no poner suficientes puntos hay algo de color

El punto de referencia del rojo se movió haciendo que los valores pequeños fueran ahora mas grandes esto se logra multiplicando los valores del rojo por un número

El comando en IRIS es WHITE ADJUSTMENT

Ojo no es lo mismo multiplicar toda la componente de rojo por un valor que agregarle un valor a todo el rojo

Distribuciones de frecuencias Una forma de organizar datos para mostrar la variación de dichos datos es mostrar las veces que

dicho valores de los datos se repiten, y a dicho recuento se le denomina distribución de frecuencias. Ejemplo se tienen los siguientes datos 1,3,2,5,2,3,2,1,5,4,3,4,2,5,1,5entonces se tienen :

12345

I I II I I II I II II I I I

34324

  Una distribución agrupada de frecuencias de un conjunto de observaciones consiste en una tabla de valores que muestra la frecuencia con que se repite cada uno de los valores que toma la variable, en grupos ordenados. sus componentes son: •·      Clase es el intervalo a lo largo de la escala de medición de cada grupo ordenado

•·      Frecuencia de una clase es el numero de observaciones cuyo valor pertenece a dicha clase

•·   Frecuencia relativa de una clase es el resultado de dividir su frecuencia por el numero total de observaciones. 

Histograma de frecuencias

0

2

4

6

8

0.55 1.47 2.39 3.309 4.229 5.149 6.069 6.988 7.908 8.828

Diagrama de barras

02468

Polígono de frecuencias

02468

0.55..

.

1.46..

.

2.38..

.

3.30..

.

4.22..

.

5.14..

.

6.06..

.

6.98..

.

7.90..

.

8.82..

.

Existen varios tipos de gráficas para representar una distribución de frecuencias.

El histograma de frecuencias: Los lados de la columnas representan los limites superior e inferior de su clase, y sus alturas son proporcionales a las a sus frecuencias, el valor central esta en el centro de la barra.

El diagrama de barras emplea barras en los valores centrales de las clases cuyas alturas son proporcionales a sus frecuencias

El Polígono de frecuencias consiste en una serie de segmentos que unen los puntos cuyas abscisas son los valores centrales de cada clase y cuyas ordenadas son proporcionales a sus frecuencias relativas.

Histograma de frecuencias acumuladas

0

10

20

30

40

50

60

0.55 1.47 2.39 3.31 4.23 5.15 6.07 6.99 7.91 8.83

Distribución Bimodal

02

46

8

1 3 5 7 9

11 13 15 17

Existen varios tipos de gráficas para representar una distribución de frecuencias.

 Una distribución de frecuencias acumuladas nos representa las frecuencias de los valores mayores o menores a los respectivos limites de clase.

 

 Las gráficas de distribución de

frecuencias permiten identificar el comportamiento de una característica, Identificar limites de especificaciones, actuaciones de un proceso o identificar problemas en un proceso. Como en este ejemplo en donde podemos identificar que existen dos tipos de poblaciones mezcladas.

 

Calculo de medias y medidas de dispersión

Existen dos tipos de medidas en estadística:

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Medidas de tendencia central:

   Media : En el lenguaje común la media se refiere generalmente al promedio.

 

X= 1/nxi desde i=1 hasta n también se designa con µ

 

Moda: Es el valor de la muestra que se repite mas veces.

 Mediana: Es el valor central se calcula con la formula numero observaciones /2+1/2

   

Medidas de dispersión:

 Amplitud: R= Xmax – Xmin

Desviación Tipo:

nXXi /2

Curva Normal 

Se pueden elaborar muchas curvas de frecuencia de muchas formas distintas, sin embargo la mas usada es la curva normal.

 

Algunos sinónimos para la curva normal son:

 

Ley normal

Curva normal de error

Curva de Gauss

Curva Daplaciana

Campana de Gauss

 

El área bajo la curva de la normal al igual que un histograma será la probabilidad.

 

La X (media) también se denomina con y la (desviación estándar) definen completamente a la normal esto es de gran ayuda para poder definir una distribución de frecuencias sin necesidad de elaborar un histograma.

Curva de la normal y su relación con y

3 2 2 3

+ - = 68.26%

+ - 2 = 95.46%

+ - 3 = 99.73% 

La curva de la normal es importante porque independientemente de la forma de la distribución de una población la distribución de los valores medios X´ de muestras de tamaño n (X1,X2,X3,…….Xk) tomadas de esa población tenderá a una distribución normal cuando n tienda a infinito. Este teorema se le conoce como el teorema del limite central.

 La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y variancia 1 se le llama distribución normal estándar.