Priprema 2.3.2010. Linearna funkcija 1.a

IME I PREZIME STUDENTICE

STUDIJSKI PROFIL Dipl. ing. mat., primijenjena matematika

JMBAG

ŠKOLA - VJEŽBAONICA 11. gimnazija

MENTORICA Dunja Barić

DATUM 2.3.2010.

RAZREDNI ODJEL 1.a

REDNI BROJ NASTAVNOG SATA 85

NASTAVNA CJELINA/TEMA Linearna funkcija

NASTAVNA JEDINICA Linearna funkcija. Sustavi jednadžbi.

Priprema 2.3.2010.2/13Linearna funkcija 1.a

1. GLAVNI CILJ NASTAVNOG SATA

Učenici će povezati linearnu funkciju s njezinim grafom (pravcem), uočiti značenje koeficijenta smjera i odsječka na y-osi, te naučiti odrediti nul-točku linearne funkcije.

2. OČEKIVANA UČENIČKA POSTIGNUĆA

a. temeljna znanja

Učenici će: - ponoviti definiciju eksplicitnog i implicitnog oblika jednadžbe pravca- definirati linearnu funkciju- moći definirati, izračunati nul-točku linearne funkcije i označiti je na grafu- opisati postupak za crtanje grafa linearne funkcije- analizirati nekoliko grafova linearne funkcije- zaključiti kako graf linearne funkcije ovisi o koeficijentu smjera i odsječku na y-osi - moći iz zadanih grafova formulirati linearnu funkciju koju prikazuju.

b. vještine i sposobnosti

Učenici će: - uvježbati postupak crtanja grafa linearne funkcije korištenjem geometrijskog pribora- razvijati sposobnost poopćavanja na temelju nekoliko konkretnih primjera- uvježbati i utvrditi postupak za određivanje nultočke linearne funkcije

c. vrijednosti i stavovi

Učenici će: - razvijati koncentraciju- razvijati sustavnost u radu- razvijati potrebu za točnosti, preciznosti i urednosti u radu

3. KORELACIJE UNUTAR MATEMATIKE I S DRUGIM NASTAVNIM PREDMETIMA

-grafovi fizikalnih veličina

4. TIP NASTAVNOG SATA

Sat obrade novog gradiva.

5. NASTAVNI OBLICI

Frontalna nastava. Individualni rad (listići).

6. NASTAVNE METODE

- prema izvorima znanja: predavačka metoda, heuristička metoda, metoda dijaloga, metoda demonstracije. - prema oblicima zaključivanja: metoda analize, metoda analogije i generalizacije.

2

Priprema 2.3.2010.3/13Linearna funkcija 1.a

7. NASTAVNA SREDSTVA

Radni listić sa zadacima za učenike koje sam izradila sama. (Prilažem ga u pripremi.)

Powerpoint prezentacija. (Prilažem s pripremom.)

Geogebra appleti za demonstraciju ovisnosti.

8. NASTAVNA POMAGALA

Ploča, kreda, računalo, LCD projektor. Geometrijski pribor (učenici).

9. LITERATURA ZA UČITELJICU

Dakić B., Elezović N. Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, 2.dio. Element, Zagreb, 2006.

.

3

Priprema 2.3.2010.4/13Linearna funkcija 1.a

MAKROPLAN (ARTIKULACIJA SATA)

1. UVODNI DIO SATA (5 minuta)

Sat započinjem pozdravom i upisivanjem sata.

Slijedi kronološki:

- ponavljanje prethodno naučenog (2 minute)

- povezivanje linearne jednadžbe i linearne funkcije (2 minute)

- pisanje naslova na ploču (1 minuta)

2. GLAVNI DIO SATA (30 minuta)

U glavnom dijelu sata učenici kroz primjere zaključuju o značenjima koeficijenata a i b.

Kronološki:

- definicija linearne funkcije (5 minuta)

- Primjer. linearna_funkcija.ggb (5 minuta)

- Primjer. rastuće.ggb (2 minute)

- Primjer. padajuće.ggb (2 minute)

- Primjer. koeficijent_b.ggb (4 minute)

- definicija rasta i pada linearne funkcije (4 minute)

- definicija nultočke (4 minute)

- zadatak (nultočke) (4 minute)

3. ZAVRŠNI DIO SATA (10 minuta)

U završnom dijelu sata ukratko ponavljamo što smo danas učili kroz radni listić koji sadrži zadatke kroz koje provjeravam ostvarenje cilja nastavnog sata.

4

Priprema 2.3.2010.5/13Linearna funkcija 1.a

MIKROPLAN (DIDAKTIČKI SCENARIO)

1. UVODNI DIO SATA

N: Dobar dan, ja sam Romana Domjančić i držat ću Vam današnji sat matematike. Nadam se dobroj suradnji.

U: Dobar dan!

N: Ponovimo, što smo zadnje učili iz matematike?

U: Linearnu jednadžbu (jednadžbu pravca).

N: Tako je. Pokušajte davati odgovore punim rečenicama. Kako zapisujemo jednadžbu pravca?

U: Naučili smo dva oblika jednadžbe pravca, eksplicitni i implicitni.

N: Točno, zapišimo to. Molim Vas ostavite jedan redak za naslov.

Implicitni Ax + By = C

obilik jednadžbe pravca

Eksplicitni y = ax + b

Sada isto to zapisujemo u obliku f(x) = ax + b kako bismo još jasnije naglasili vezu, odnosno zavisnost te govorimo o linearnoj funkciji. Upravo to je i naš današnji naslov: Linearna funkcija.

(Pišem naslov na ploču.)

2. GLAVNI DIO SATA

N: Pogledajmo sada definiciju linearne funkcije.

Razumijete li definiciju?

U: Da.

5

Priprema 2.3.2010.6/13Linearna funkcija 1.a

N: Objasnimo riječ pridruživanje.

U: Tu riječ ipak ne razumijemo.

N: Zamislite da imamo dva skupa brojeva, označimo ih s D i K, svaki skup sadrži neke brojeve, na primjer kao na slici.

Pogledajmo ovakvo pridruživanje:

x f(x)1 22 3-4 -30 1

Kako biste opisali ovo pridruživanje?

U: To je pridruživanje koje svakom broju pridružuje broj za jedan već od njega.

N: Točno. Važno je reći da pridruživanje svakom elementu iz D pridružuje točno jedan element iz K.

Biste li znali ovo pridruživanje, tj. funkciju zapisati formulom.

U: Ova funkcija zadana je formulom f(x) = x + 1

N: Sada kada smo razjasnili sve nejasnoće, zapišite definiciju linearne funkcije u vaše bilježnice.

Nastavljamo s upoznavanjem linearne funkcije. Promotrimo značenje koeficijenata a i b. Pogledajmo ovaj Geogebra applet koji sam izradila. Vidimo dva klizača kojima mijenjam koeficijente a i b u funkciji f(x) = ax + b. Što primjećujete?

U: Promjenom koeficijenta a graf funkcije, pravac mijenja svoj nagib.

N: To je točno. Može li mi netko to objasniti malo konkretnije?

U: Kada je a manji od nula onda pravac ide prema dolje.

N: U redu, to ćemo reći da pravac pada, odnosno da je funkcija padajuća. Jer s porastom vrijednosti argumenta x, funkcija pada. Suprotno, kada s porastom argumenta x i funkcija raste, reći ćemo da je funkcija rastuća. Za koje vrijednosti koeficijenta a funkcija raste?

U: Za sve a koji su veći od nula.

N: Tako je, baš zbog uočenih svojstava, koeficijent a zovemo koeficijentom smjera ili nagibom pravca, odnosno linearne funkcije.

6

Priprema 2.3.2010.7/13Linearna funkcija 1.a

Što primjećujete za koeficijent b?

U: Ovisno o koeficijentu b funkcija siječe y-os u drugoj točki.

N: Reci to malo preciznije. Znaš li možda kako zovemo koeficijent b?

U: b je odsječak pravca na y-osi i on označava y koordinatu točke koja je sjecište pravca i y-osi, a njena x koordinata je uvijek nula jer se nalazi na y-osi.

N: Odlično. Pogledajmo sada tri funkcije s pozitivnim nagibima i uočimo kako još nagib pravca ovisi o koeficijentu smjera.

(pokazujem Geogebra applet rastuće.ggb)

Recite mi svoja zapažanja.

U: Što je koeficijent smjera a veći pozitivan broj to je pravac strmiji.

N: Točno. Pogledajmo što je s padajućim funkcijama.

(pokazujem Geogebra applet padajuće.ggb)

U: Što je koeficijent smjera a veći broj to je pravac strmiji.

N: Je li ovo točno? Je li broj -5 veći od broja -1/3.

U: Nije.

N: Kako bi onda glasio pravilan zaključak?

U: Što je koeficijent smjera a veći po apsolutnoj vrijednosti to je pravac strmiji.

N: Tako je. Pogledajmo još jedan Geogebra applet za koeficijent b pa ćemo zapisati zaključke. Sve 3 funkcije imaju isti koeficijent smjera, pa se jako dobro vidi da koeficijent b označava upravo odsječak pravca na y-osi.

Zapišimo zaključke.

7

Priprema 2.3.2010.8/13Linearna funkcija 1.a

N: Uz linearnu funkciju veže se još jedan važan pojam, nultočka. Možete li mi svojim riječima reći što je nultočka?

U: Nultočka je točka u kojoj graf linearne funkcije siječe x-os.

N: Točno. Znate li kako bi odredili nultočku?

U: Ne.

N: Što vrijedi za nultočku, kolika je vrijednost funkcije u nultočki?

U: Vrijednost funkcije u nultočki je nula.

N: Tako je. Iz tog podatka možemo izračunati x koordinatu nultočke.

f(x) = 0

ax + b = 0

ax = -b

x= -b/a

Zapišite to u svoje bilježnice.

Vratimo se na primjere rastuće.ggb, padajuće.ggb, koeficijent_b.ggb i u svakom nađimo nultočku funkcije g.

U: Možemo li nultočku računati direktno iz te formule?

N: Možete, ali da ne pamtite još i tu formulu, nultočku uvijek možete dobiti iz podatka da je vrijednost funkcije u nultočki jednaka nula, tj.

f(x) = 0.

Neka nam netko dođe riješiti zadatak na ploču.

U: g(x) = x +2

g(x) = 0

x + 2 = 0

x = -2

8

Priprema 2.3.2010.9/13Linearna funkcija 1.a

N: Objasni nam malo što pišeš.

U: Vrijednost funkcije u nultočki je nula, pa izjednačavam s nulom. Kada riješim ovu jednostavnu linearnu jednadžbu, dobijem da je nultočka -2.

N: U redu. Koje su koordinate nultočke?

U: Koordinate su (-2, 0).

(Na isti način rješavamo i ostala dva primjera.)

3. ZAVRŠNI DIO SATA

N: Ponovimo što smo danas učili kroz listić. (Dijelim listiće sa zadacima.)

(Rješenja zadataka nakon 5 minuta čitamo i po potrebi dodatno objasnimo.)

N: Za domaću zadaću riješite zadatak 19 sa stranice 27 i Kutak plus sa stranice 21 u udžbeniku.

(Pišem na ploču domaću zadaću.)

Hvala Vam na suradnji! Doviđenja!

9

Priprema 2.3.2010.10/13Linearna funkcija 1.a

RADNI LISTIĆ 2.3.2010. 1.a

Primjer. Koji od danih grafova je graf linearne funkcije f(x)=-3x+2?

10

Priprema 2.3.2010.11/13Linearna funkcija 1.a

Zadatak. Kojim funkcijama pripadaju sljedeći grafovi?

11

Priprema 2.3.2010.12/13Linearna funkcija 1.a

PLAN PLOČE (lijeva ploča)

(pišem samo na lijevu ploču, jer desnu prekriva platno za projektor)

LINEARNA FUNKCIJA

Implicitni Ax + By = Coblik jednadžbe pravca

Eksplicitni y = ax + b

f(x) = ax + b

pridruživanje = funkcija = preslikavanje

f(x) = x + 1

f(x) = 0

ax + b = 0

ax = -b

x= -b/a

g(x) = x +2 g(x) = 0x + 2 = 0x = -2

g(x) = -2x + 1 -2x + 1 = 0x = -1/2

g(x) = 2x2x = 0x = 0

12

Priprema 2.3.2010.13/13Linearna funkcija 1.a

13