PP: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phức.

Nhận xét : Tính toán trên số phức, nhưng thật ra không khác gì với phép tính trên tập số thực mà bạn đã được học từ những ngày đầu tiên đến trường. Chỉ có điều, bạn hãy xem số phức là một kí hiệu mà .Bài 1: Tìm số phức cho bởi :

a) b) c)

d) e) f)

g) Bài 2: a) Giả sử . Tính

b) Cho . Tính và . Suy ra

ĐS: , , , , , ,

Bài 3: a) Chứng minh rằng nếu các số phức và đều có môđun bằng 1 thì số là số

thực. b) là 3 số phức có môđun bằng 1, so sánh môđun của hai số phức và

.Bài 4: Xét đa thức . Tính với ĐS:

.

Bài 5. Cho số phức . Tính các số phức sau:

Bài 6. Tính: a) ; b) ; c) ;d)

HD: a)

d) Ta có: . Mà

nên .

Bài 7:Tính giá trị của biểu thức sau:

HD: Ta có: ;

Và

Suy ra

(Tương tự)

1

Dạng1CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

Bài 8: Tính: .

Bài 9: Cho số phức . Tính giá trị của

Bài 10: Chứng minh rằng: .

Bài 11: Bằng phương pháp quy nạp cmr với mọi số nguyên m > 0, ta có:

Áp dụng tính :

Bài 12: Cho số phức thỏa mãn .Tính Đ/s: 1

Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a) b) c)

d) e)

Bài 2:

a) Cho hai số phức , . Xác định phần thực, phần ảo của số phức (TN2010-CB) Đ/s: Phần thực là -3; phần ảo là 8.b) Cho hai số phức , . Xác định phần thực, phần ảo của số phức (TN2010-NC) Đ/s: Phần thực là 26; phần ảo là 7.

Bài 3: Tìm phần ảo của số phức , biết

(ĐH2010A-CB) Đ/s: Phần ảo là .

(Tổng hợp một số đề thi ĐH-CĐ phần sau nữa)

Bài 4: Tìm phần thực của số phức , biết rằng thỏa mãn pt:

Đ/s: n = 3; phần thực là 8.

Loại 2: Tính mô đun của số phức

Bài 1: Tìm môđun của các số phức sau:

2

Dạng 2SỐ PHỨC VÀ THUỘC TÍNH CỦA NÓ

1. Xác định phần thực, phần ảo của số phức.2. Hãy biểu diễn hình học số phức3. Tính môđun của số phức4. Tìm số đối của số phức5. Tìm số phức liên hợp6. Tìm số phức nghịch đảo7. Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số phức.

a) ; b) ; c) .

Bài 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun của số phức

(ĐH2010A-NC) HD:

,

ĐS:

Bài 3: Tính môđun của số phức , biết .(ĐH2011A-NC) HD: Giả sử

ĐS:

Bài 4: Cho số phức thỏa mãn . Tính mô đun của .(CĐ2011-CB)HD:

ĐS: .Loại 3: Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số phức.

Bài 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn:

a) ; b) ; c) .

Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn:

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) .

3

Bài 3: Tìm số phức thỏa mãn và là số thuần ảo.(ĐH2010D-CB) Đ/s:

Bài 4: Tìm số phức thỏa mãn và .(ĐH2009B-CB) Đ/s:

Một số tập hợp điểm trong mp phức:

1) Đường thẳng: * song song hoặc trùng trục ảo Oy

* song song hoặc trùng trục thực Ox

*

2) Đường tròn: có tâm bán kính

3) Hình tròn: có tâm bán kính

4) Đường elip: 5) Đường hyperbol:

Loai 1: Số phức z thỏa mãn về độ dài (môđun), khi đó ta sử dụng công thức: Loại 2: Số phức z là số thực(thực âm hoặc thực dương), số ảo. Khi đó ta sử dụng kết quả sau:

a) Để z là số thực điều kiện là: y = 0.

b) Để z là số thực âm điều kiện là:

c) Để z là số thực dương điều kiện là:

d) Để z là số ảo điều kiện là: x = 0

Tập hợp là một đường thẳngBài 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) là số thực âm b) là số ảo

c) d) là số ảo

ĐS: a) Là trục ảo Oy trừ điểm gốc O b) Là hai đường thẳng .c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm

Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn từng đk sau:

a) b) ĐS: a) là đường thẳng b) là đường thẳng

Bài 3: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng điều kiện sau:

4

Dạng 3TẬP HỢP ĐIỂM

Câu hỏi thường là: “ Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn đk K”.Cách giải: * Gọi là số phức cần tìm.

* Từ giả thiết, tìm hệ thức giữa . Hệ thức này xác định một đường cong trong mặt phẳng phức (thực chất là mặt phẳng tọa độ Oxy).

a) b) c) d) là số thực.

e) f)

HD: a)

.Tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình Các phần còn lại làm tương tự.Đ/s: a) Là đường thẳng 6x + 8y = 25. b) Là trục thực Ox.

c) Là hai đường thẳng d) Là hai trục tọa độ bỏ đi điểm (0 ;1)

e) Là hai đường thẳng f) Là hai đường thẳng

Tập hợp là một đường trònBài1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn từng đk sau:

.HD: Giả sử

Ta có: , . Tập điểm biểu diễn là

đường tròn tâm , bán kính trong mặt phẳng phức.Bài 2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

.(ĐH2009D-CB)

Đ/s: đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R = 2.

Bài 3)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn: .

(ĐH2010B-CB) Đ/s: đường trònBài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

a) ; b)

Tập hợp là một hình trònBài 1: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

trong đó

Giải: ,

Điểm biểu diễn M có tọa độ:

(*). Thay vào (*) ta được

5

Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm (biểu diễn số phức ), bán kính .Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

a) ; b) ; c) ; d)Đ/s: a) Tập hợp là hình tròn tâm I(0;0), bán kính R = 1 b) Tập hợp là các điểm nằm trong đường tròn tâm I(0;0), bán kính R = 2 c) Tập hợp là hình tròn tâm I(1;0), bán kính R = 1 d) Tập hợp là các điểm nằm trong đường tròn tâm I(1;1), bán kính R = 1

Tập hợp là một hình vành khănBài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

HD: Với số phức z = x + yi , ta có:

Ta có: Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn

tâm O(0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2, kể cả các điểm nằm trên đường tròn tâm O, bán kính 2.Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

Đ/s: Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn tâm I(-1;1) bán kính lần lượt là 1 và 2, kể cả các điểm nằm trên đường tròn này.

Tập hợp là một đường ParabolBài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

Đ/s: Tập hợp điểm M thuộc Parabol

Tập hợp là một đường elípBài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

Giải: G/s số phức z = x + yi , suy ra M(x;y) biểu diễn số phức z.Ta có:

Cách 1: Đặt thì (*) Suy ra tập hợp điểm M là Elíp (E) có hai tiêu điểm là

Ta viết pt (E): Ta có:

Vậy (E): .

6

Cách 2: Ta có: , đặt .

Khi đó: PT trở thành: (chú ý là t-8 >0)

Cách 3 (Sai lầm) Ta có:

. Vậy tập hợp điểm là đg tròn

(Các thầy cô chú ý cho hs thấy là . Vì đã có học trò làm như trên)

Tập hợp là một đường HypebolBài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:

Đ/s: Tập hợp điểm M thuộc hai Hypebol

Tổng hợpBài 1: Xác định tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

là số thực dương.

ĐS: Là trục ảo Oy trừ đoạn AB với và .Bài 2:a) Trong mp phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức

. Hỏi trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào?b) Xét 3 điểm A, B, C của mp phức theo thứ tự biểu diễn 3 số phức thỏa mãn

. Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi

Giải: , , . Khi đó

a) Trọng tâm G của ABC có tọa độ .

Vậy G là biểu diễn số phức

b) A, B, C cùng nằm trên đường tròn tâm O (gốc hệ trục)ABC đều

Bài 3: Cho các số phức . Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức , , ,

, lần lượt bởi các điểm A, B, C, D, E.

HD:

7

Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn:

, với là số thực dương cho trước.

ĐS: * : * :

Bài 5: a) Cho số phức khác 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức sao cho ( là số thực cho trước) là một đường thẳng.

b) Tìm và trong câu a) để đường thẳng nói trên đi qua các điểm biểu diễn số 2 và .ĐS: a)

Bài 6: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn đồng thời

và .

ĐS: Bài 7: Cho hai số dương và . Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn .

Áp dụng với .Giải:

(1)

(2)

Từ hệ (1), (2) ta được: (*) và (**)

Từ (*) hoặc (**) ta có: . Đặt , chia hai vế cho :

ĐS: Tập điểm biểu diễn là elip

Bài 8: Cho hai số dương và . Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn .

Phương trình bậc nhấtPhương pháp Cách 1:Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức. Cách 2: Thực hiện các bước sau:

B1: G/s số phức cần tìm làB2: Thay z vào pt và sử dụng định nghĩa về sự bằng nhau của hai số phức để tìm a,

b.8

Dạng 4 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ẨN SỐ PHỨC

B3: Kết luận.Bài 1: Tìm nghiệm phức của phương trình

a) ;b) ;c) ;d) ;e)

Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai* Căn bậc hai của số phức

Bài1: Tìm căn bậc hai của nhưng số phức sau:a) ; b) ; c) ; d)

HD: a) Vì số nên có hai căn bậc hai là

b) G/s số phức cần tìm là là căn bậc hai của i, tức là ta có:

Vậy số phức i có hai căn bậc hai là .

Nhận xét: Phần b) ta có thể làm như sau sẽ gọn hơn nhiều

c) Cách 1:G/s số phức cần tìm là là căn bậc hai của 3 + 4i, tức là ta có:

Vậy số phức 3 + 4i có hai căn bậc hai là .

Cách 2: Ta phân tích:

Vậy số phức 3 + 4i có hai căn bậc hai là .Chú ý: Gv nên hướng hs biết phân tích khá làm theo cách 2 vì nó nhanh hơn nhiều so với cách 1.

d) Ta phân tích

Vậy số phức có hai căn bậc hai là .

9

Bài2: Tìm căn bậc hai của nhưng số phức sau:a) -4 ; b) 3-4i ; c) 2i ; d) -5+12i ; e) 8+6i ; f) 33- 56i ; g) -3+4i ; h)

* Phương trình bậc haiPhương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai.

Bài 1:Giải các phương trình sau:a) ; b)

Giải:a) Cách 1: Phương trình có nên nó có hai nghiệm phân biệt là

Cách 2:

b) Cách 1: Phương trình có nên nó có hai nghiệm phân biệt là

Cách 2:

Bài 2:Giải các phương trình sau:a) ; b)

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:a) b) c) d) e) f)

ĐS: a) b) c) d)

e) f)

Bài 4: Tìm m để phương trình: có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.Đ/s: m = 3+i; m = -3-i.Bài 5: Tìm các số thực b, c để pt: nhận số phức z = 1+i làm một nghiệm.Đ/s: b = -2; c = 2.Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi là số phức xác định bởi

. Tính môđun của .

HD: Pt có hai nghiệm phức là

Mà

Nếu

Nếu

Vậy Hệ phương trình ẩn số phức

10

Bài 1: Giải hệ pt:

Giải: Từ (2) ta có . Kết hợp với (1) ta có:

Khi đó ta có hệ pt:

Do đó là nghiệm của hện phương trình . Ta có

Vậy ta có hoặc

Bài 2: Giải các hệ pt sau:

a) b) c)

Phương trình bậc cao

Bài 1: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích . Sau đó giải phương

trình: b) Tìm các số thực a, b để có phân tích . Sau đó

giải phương trình:

ĐS: a) . Nghiệm: , b) . Nghiệm:

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) b) .

ĐS: a) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho : b)

Bài 3: Giải phương trình .

Giải:

Phương trình

Giải pt (*): Nghiệm của pt (*): ,

ĐS: 1, , .

Bài 4:Giải các phương trình sau:a) ; b) ; c) ; d) ;e) ; f)

Bài 5: Cho phương trình sau: a) Cmr pt(1) nhận một nghiệm thuần ảo.b) Giải pt (1).

Đ/s: 2i; -1- 2i; -1 + 2i.Bài 6: Giải các pt sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

11

a) ; b) ; c)

Loại 1: Dạng lượng giác của số phức

Bài 1: Cho . Viết dạng lượng giác của các số phức .

Giải: Ta có thể làm theo hai cách sau:

Cách 1: Với , ta có môđun ,

Acgumen thỏa mãn Chọn

Từ đó, suy ra . Khi đó:

*

*

*

*

Cách 2: Chúng ta có thể biến đổi trước rồi mới đưa về dạnh lương giác

Bài 2: Cho . Viết dạng lượng giác của các số phức

.

Giải: *

12

Dạng 5

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

*

*

* Nếu thì dạng lượng giác của là

Nếu thì dạng lượng giác của là

Bài 3: Viết các số phức sau ở dạng lượng giác:

a) b)

c) d)

ĐS: a) , ,

,

b) c)

d)

Bài 4: Cho hai số phức

a) Tìm dạng lượng giác của

b) Sử dụng kết quả câu a) tính

Bài 5:Viết dạng lượng giác của số phức z và căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau:

a) và Acgumen của iz là ; b) và Acgumen của là

c) và Acgumen của là ;

HD: a) G/s z = a +bi có môđun r và acgumen là , ta có:

;

Từ đó suy ra: và căn bậc hai của z là:

.

13

b) Đ/s:

c) Gọi là acgumen của z thì là acgumen của mà 1+i có một acgumen là nên

có một acgumen là .

Theo giả thiết ta có:

Do đó dạng lượng giác của z là:

Loại 2: Ứng dụng

Bài 1: Chứng minh các công thức: a)

b)

Giải: Xét , ta có: (1)

Mặt khác

(2)

Từ (1), (2) đpcm.

Bài 2: Tính .

Giải: Ta có

Bài 3: Tính giái trị biểu thức: Đ/s: A = -1.

Bài 4: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:

a) b) , biết

14

Bài 5: Tính tổng sau:

Bài 6: Tính tổng sau:

Giải: Ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Ta có

Mà

Suy ra:

Mặt khác:

Vậy

Cách 2: :Bằng phương pháp quy nạp dễ cm được với mọi số nguyên m > 0, ta có:

Do đó ta có khai triển sau:

Mặt khác:

Hoặc sử dụng dạng lượng giác như sau:

So sánh phần thực và phần ảo ta được

Bài 7: Tính các tổng sau:

a)

b)

CÁC ĐỀ THI TN VÀ ĐH-CĐ CÁC NĂM GẦN ĐÂY1) Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (TNTHPT 2006) Đ/s:

b) (TNTHPT 2007 lần 1) Đ/s:

15

c) (TNTHPT 2007 lần 2) Đ/s: d) (TNTHPT 2008 lần 2) Đ/s:

e) (TNTHPT 2009 CB) Đ/s:

f) (TNTHPT 2009 NC) Đ/s:

g) (TNGDTX 2010) Đ/s:

2) Tìm giá trị biểu thức

(TNTHPT 2008 lần 1) Đ/s: P = - 4.3) Cho hai số phức , . Xác định phần thực, phần ảo của số phức

(TN2010-CB) Đ/s: Phần thực là -3; phần ảo là 8.4)Cho hai số phức , . Xác định phần thực, phần ảo của số phức

(TN2010-NC) Đ/s: Phần thực là 26; phần ảo là 7.

5) Giải phương trình trên tập số phức

(TN2011-CB) Đ/s:

6) Giải phương trình trên tập số phức

(TN2011-NC) Đ/s:

7)Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .

(ĐH2009A-CB) Đ/s: A = 20 8)Tìm số phức thỏa mãn và .

(ĐH2009B-CB) Đ/s: 9)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện

.(ĐH2009D-CB) Đ/s: đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R = 2.

10)Cho số phức z thỏa mãn: Xác định phần thực và phần ảo

của z . CĐ 2009 – A,B,D – CB Đ/s: Phần thực là -2; phần ảo là 5.

11) Giải phương trình trên tập số phức:

CĐ 2009 – A,B,D – NC Đ/s: z = 1+2i;z = 3+i. 12)Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm phần thực và phần ảo của .

(CĐ2010ABD-CB) 13)Giải phương trình trên tập số phức.

(CĐ2010ABD-NC) Đ/s: Phần thực là -2; phần ảo là 5.

14)Tìm phần ảo của số phức , biết

(ĐH2010A-CB) Đ/s: Phần ảo là .

15)Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun của số phức

(ĐH2010A-NC) Đ/s:

16

16)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn: .

(ĐH2010B-CB) Đ/s: đường tròn

17)Tìm số phức thỏa mãn và là số thuần ảo.(ĐH2010D-CB) Đ/s:

18)Tìm tất cả các số phức , biết: .

(ĐH2011A-CB) ĐS: ,

19)Tính môđun của số phức , biết .

(ĐH2011A-NC) ĐS:

20)Tìm số phức , biết: .

(ĐH2011B-CB) ĐS:

21)Tìm phần thực và phần ảo của số phức .

(ĐH2011B-NC) ĐS: Phần thực , phần ảo 2

22)Tìm số phức , biết: .

(ĐH2011D-CB) ĐS:

23)Cho số phức thỏa mãn . Tính mô đun của .

(CĐ2011-CB) ĐS: .

24)Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .

(CĐ2011-NC) ĐS: Phần thực , phần ảo

17