CAPÍTULO

5Aplicaciones de ED de segundo orden

5.3 Circuitos eléctricos

Desde hace más de un siglo, la humanidad ha utilizado en su beneficio la energía eléctrica. Actualmenteusamos diferentes aparatos que la necesitan, baste recordar sólo los aparatos electrodomésticos que tene-mos en nuestras casas para reconocer que sin ellos nuestra vida sería diferente. La energía eléctrica setransmite de diversas formas, por ejemplo, la instalación eléctrica en nuestras casas transmite la energíapor medio de cables de cobre que forman diferentes circuitos. Estos circuitos son los más simples, peroen los aparatos electrónicos (teléfonos celulares, televisiones, etc.) aparecen elementos que almacenan ydistribuyen la energía de diversas formas. En esta sección se estudian los conceptos básicos de circuitos ylas ED que los modelan. Se inicia con los conceptos de campo eléctrico y diferencia de potencial.La energía eléctrica se transmite por diversos materiales llamados conductores; estos materiales tienen lapropiedad de que cargas eléctricas (electrones o iones positivos) libres circulan por ellos en direccionesaleatorias, como los átomos en un gas confinado, y sólo se mueven en una dirección preferencial cuando secoloca una fuente de voltaje o batería en los extremos del conductor (véase la siguiente figura). En principioesta fuente de voltaje produce una diferencia de potencial V que a su vez produce un campo eléctrico E

entre los extremos del conductor, lo que provoca que las cargas Q sean arrastradas en la dirección del campocon una fuerza que experimentalmente es F D QE . De forma simple, si la longitud del conductor es `,entonces el campo y la diferencia de potencial se relacionan mediante E D V=`, de donde la diferencia depotencial está dada por V D E` D F `=Q. Es decir, V se define como la energía necesaria para transportaruna distancia ` una carga unitaria. En el sistema MKSC [cuyas unidades son metro (m); kilogramo (kg);segundo (s) y coulomb (C)], la unidad del voltaje es el volt (V), que satisface

volt (V) = joule (J)/coulomb (C).

En conclusión, una fuente de voltaje es una fuente de energía eléctrica que provoca que se muevan cargassobre un conductor. Por comodidad, cuando se hable de potencial nos referiremos a lo que hemos llamadodiferencia de potencial.

1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

`

�

�

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� �

E

˙ Batería

I

A

Cuando se establece el campo eléctrico, las cargas ordenan su movimiento y circulan por el conductorestableciendo una corriente eléctrica I . Si una cantidad de carga dQ cruza una sección transversal delconductor en una fracción de tiempo dt , definimos la intensidad de corriente como:

I D

dQ

dt:

Como las cargas pueden ser positivas o negativas, es necesario establecer un signo convencional para ladirección de la corriente; la convención usual es seleccionar ésta como la dirección en que se moveríancargas negativas para un campo eléctrico dado E . Por ejemplo, en el caso de la figura anterior se puedeobservar que la dirección de la corriente se establece del polo negativo al polo positivo de la batería.Por otra parte, la unidad de la corriente en el sistema MKSC es el ampere (A); como las unidades de lacarga y del tiempo son coulombs (C) y segundos (s), respectivamente, tenemos, de acuerdo con la ecuaciónanterior,

ampere (A) D coulomb (C)/segundo (s).

Antes de estudiar propiamente los circuitos eléctricos, necesitamos describir los elementos básicos que losforman; éstos son el resistor, el capacitor y el inductor. Analicemos cada uno de ellos por separado.

Resistor

Un resistor es un dispositivo formado por un material conductor que disipa energía al paso de corrienteeléctrica. Si se aplica la misma diferencia de potencial V a los extremos de dos conductores de materialesdiferentes, por ejemplo, cobre y aluminio, con la misma geometría (forma y dimensiones), se producenintensidades de corriente I diferentes. La razón se debe a que existe una propiedad de los materiales quese conoce como la resistencia R, que se define experimentalmente por medio de

R D

V

I: (5.1)

Para el caso en que la corriente obtenida sea directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicadoI / V , la resistencia R será una constante; los materiales con esta propiedad se llaman materiales óhmicosya que satisfacen la ley de Ohm:

Ley de Ohm

La intensidad de la corriente eléctrica que circula por un conductor es directamente proporcional a la dife-rencial de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo.

I D

V

R:

5.3 Circuitos eléctricos 3

Observe que la expresión (5.1) se cumple siempre independientemente de que el material sea óhmico o no,sólo en el caso de que R sea una constante tendremos que el material cumple con la ley de Ohm. Desdeun punto de vista físico, la resistencia depende de las características geométricas del conductor y de unapropiedad llamada resistividad �. Por ejemplo, en el caso de un conductor cilíndrico como el de la figuraanterior, de longitud ` y área transversal A, se tiene que la resistencia aumenta directamente con la longitude inversamente con el área, es decir, la resistencia R satisface:

R D �`

A:

En el sistema MKSC, R tiene unidades de ohm (�/ y de, acuerdo con la expresión R D

V

I, el ohm se define

como

ohm (�) D volt (V)/ampere (A).

Otro fenómeno que afecta a las resistencias es el efecto Joule. Este efecto establece que una resistencia secalienta y disipa energía en forma de calor cuando se hace circular una corriente por ella. Para determinarla energía disipada, recordamos que la diferencia dU de energía en los extremos de un resistor es

dU D V dQ D VI dt:

De forma que la potencia, energía por unidad de tiempo es, entonces:

P D

dU

dtD VI D RI 2

D

V 2

R:

Ésta es la base del funcionamiento de las bombillas o focos que producen luz eléctrica. Estos dispositivosestán formados por una resistencia al vacío, que se calienta cuando se hace circular una corriente por ella yla energía se disipa en forma de luz.La unidad utilizada para la potencia es el watt (W), que se define simplemente como

watt (W) D volt (V)� ampere (A) D joule (J)/segundo (s).

Capacitor

Un capacitor es un dispositivo formado por dos conductores que almacena carga y energía potencial eléc-trica; dichos conductores pueden ser de geometrías arbitrarias, pero aquí consideraremos que son placasparalelas que se encuentran totalmente aisladas. Se dice que el capacitor está cargado cuando una de lasplacas tiene una carga Q y la otra placa una carga �Q, de tal manera que la carga total es cero. Para cargarun capacitor, basta con conectar los extremos de una batería a cada una de las placas que lo forman. Sobrelas placas se acumulan cargas de igual magnitud y opuestas. Experimentalmente se encuentra que la cargaQ depende directamente de la diferencia de potencial, Q / V , de tal manera que

Q D CV; (5.2)

donde C es una constante que recibe el nombre de capacitancia. Al igual que la resistencia, la capacitanciatambién depende de la geometría de las placas, aunque independientemente de la forma del capacitorsiempre se satisface la relación (5.2). En el sistema MKS, C tiene unidades de farad (F) y, de acuerdo con laexpresión anterior, el farad se define como

farad (F) D coulomb (C)/volt (V).

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias

En la práctica es usual utilizar el microfarad (1 �F = 10�6 F) y el picofarad (1 pF = 10�12 F).Por otra parte, cuando un capacitor se carga, de alguna forma, también se está almacenando energía; paraver que esto en efecto ocurre, consideremos un elemento diferencial de energía:

dU D V dQ D

Q

CdQ:

Si integramos esta relación, se obtiene la energía almacenada por un capacitor

U D

Q2

2CD

1

2CV 2: (5.3)

Inductor

Un inductor es un dispositivo que toma en cuenta el campo magnético generado por la corriente que circulapor un conductor. De acuerdo con la experiencia, cuando circula una corriente dependiente del tiempo porun inductor, se genera una diferencia de potencial (también llamada fuerza electromotriz) que depende

directamente de la rapidez de variación de la corriente, es decir, V /

dI

dt. La constante de proporcionalidad

entre estas dos cantidades es precisamente la inductancia L. Tenemos entonces que

V D LdI

dt: (5.4)

Al igual que en el caso de la resistencia y capacitancia, la inductancia es una cantidad que depende de lageometría del conductor. En el sistema MKS, L tiene unidades de henry (H) y de acuerdo con la expresiónanterior, el henry se define como

henry (H) D volt (V)� segundo (s)/ampere (A).

Al igual que los capacitores cargan energía de un campo eléctrico, los inductores cargan energía de uncampo magnético. La diferencia dU de energía en los extremos de un inductor es

dU D V dQ D LdI

dtI dt D LI dI:

Si integramos esta relación, se obtiene la energía almacenada por un inductor

U D

LI 2

2:

Como conclusión general podemos decir que, cuando circula una corriente por ellos, un resistor disipa RI 2

de energía por el efecto joule, que un capacitor almacena 1

2CV 2 de energía en forma de carga y que un

inductor almacena 1

2LI 2 de energía en forma de corriente.

En la figura siguiente se muestran las representaciones gráficas para resistores, capacitores, inductores yfuentes de voltaje que se utilizan comúnmente en los circuitos eléctricos.

R

C

L

V

�

Resistor R Capacitor C Inductor L

Fuente de voltajepara corriente

continua

Fuente de voltajepara corriente

alterna

Antes de empezar nuestro estudio de circuitos mediante ED, necesitamos presentar dos resultados, conoci-dos como leyes de Kirchhoff de voltaje y de corriente que serán útiles posteriormente.

5.3 Circuitos eléctricos 5

Ley de Kirchhoff de voltaje

La suma de las caídas de voltaje (diferencias de potencial), a través de los elementos de un circuito en unamalla simple (circuito cerrado sin cruces), es igual al voltaje (diferencia de potencial) aplicado.

V1

V2

V

V D V1 C V2

Esta ley de voltaje es una forma de expresar que la energía se conserva en una malla simple, es decir, quela energía proporcionada como voltaje (energía por unidad de carga) se puede disipar cuando pasa por unresistor o almacenar cuando pasa por un capacitor o un inductor, de suerte que la suma de estas energíases igual a la energía total proporcionada al circuito.

Ley de Kirchhoff de corriente

La corriente que entra a un nodo simple (punto donde convergen varias líneas de corriente) es igual a lasuma de todas las corrientes que salen de ese nodo.

i1 i2

i3

�

i3 D i1 C i2

Esta ley es una consecuencia de la conservación de la carga sobre un circuito. Es decir, si a un nodo llegauna carga Q en un intervalo de tiempo �t entonces esa misma carga debe distribuirse por todas las salidasdel nodo, de tal forma que la suma de toda la carga que entra al nodo sea igual a la suma de toda la cargaque sale del mismo.

Iniciemos ahora nuestro estudio de circuitos eléctricos. Hay dos tipos que nos interesen: los circuitos decorriente continua, donde la fuente de voltaje es tal que la corriente producida no cambia de dirección enel tiempo, y los circuitos de corriente alterna, donde la corriente cambia de dirección. Generalmente, enel primer caso, la fuente de voltaje produce una diferencia de potencial V constante en el tiempo. Unasituación común que ocurre en el segundo caso es cuando la fuente produce un potencial que cambiaperiódicamente de signo; podemos representar este potencial V mediante una función sinusoidal, es decir:V D V0 cos wt , donde V0 es la amplitud del voltaje y w es su frecuencia natural.