Impacto de proyectiles

A, Castellanos, M, Martínez y M. Arias / Caracterización Dinámica de Materiales. Feb 2015

SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL IMPACTO DE UN PROYECTIL DE CABEZA PLANA SOBRE UNA PLACA DE ACERO AISI 4340 EMPLEANDO MÉTODOS DE

DISCRETIZACIÓN LAGRANGE-LAGRANGE Y LAGRANGE-SPH

RESUMEN

Este artículo describe mediante simulación numérica la perforación de una placa de Acero 4340 de 12 mm de espesor con un proyectil de una aleación de Tungsteno (3%Ni, 7%Fe) de punta plana de 10 mm de diámetro. La simulación numérica se realiza en el hidrocódigo de AutoDYN utilizando dos modelos constitutivos: Johnson Cook y Zerilli Armstrong. Las simulaciones se realizaron con métodos de discretización de Lagrange y SPH para cada modelo constitutivo. Se encontró una tendencia en los resultados para velocidades de impacto de 500m/s; adicionalmente, se logró obtener tendencias similares con respecto a la velocidad residual del proyectil con los métodos de discretización de Lagrange-Lagrange y Lagrange-SPH.

PALABRAS CLAVES: Zerilli Armstrong, Johnson Cook, perforación, proyectil, modelo constitutivo.

ALEJANDRO CASTELLANOS VARGASIngeniero Mecánico y QuímicoEstudiante de Maestría Ing. QuímicaUniversidad de los [email protected]

MAGALY MARTINEZ NIÑOIngeniera de materialesEstudiante de Maestría Ing. MecánicaUniversidad de los [email protected]

MAURICIO ARIAS VANEGASIngeniero MecánicoEstudiante de Maestría Ing. MecánicaUniversidad de los [email protected]

1. INTRODUCCIÓN

Estudios previos realizados por Borvik et al. [1], [2] han demostrado que existe una buena relación entre las simulaciones numéricas y resultados experimentales para análisis de penetración de placas de acero con proyectiles de diferentes tipos de puntas: plana, hemisférica y cónica.

Partiendo de la buena relación simulación-experimento obtenida por Borvik et al., se procede directamente a realizar un estudio, mediante una simulación numérica en ANSYS Workbench con el módulo de AutoDYN, del impacto de la penetración de una placa de Acero 4340 de 12 mm de espesor por un proyectil de aleación de Tungsteno (7%Ni, 3% Fe) de punta plana de 20 mm de diámetro.

Para la simulación se utilizaron dos modelos constitutivos: Johnson Cook (JC) y Zerilli Armstrong (ZA) para la placa objetivo, además de dos métodos de discretización: Lagrange-Lagrange, (LL) y Lagrange- Smoothed-Particle Hydrodynamics (SPH), (LS). Para el modelo de falla de la placa objetivo se utilizó el modelo de falla de Johnson Cook para Acero 4340.

El objetivo principal de este estudio es determinar el comportamiento de las curvas velocidad residual del proyectil con respeto a la velocidad inicial del mismo para

dos modelos constitutivos diferentes. Además, se desea evaluar si al variar el método de discretización dichas curvas presentan variaciones significativas entre un método y otro, así como la facilidad para la simulación del caso en estudio y las variables a considerar para cada método de discretización.

2. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA SIMULACIÓN

A continuación se presenta el diseño experimental y las características y condiciones de la simulación.

2.1. Diseño experimentalEl desarrollo de las simulaciones tiene como objetivo ver el comportamiento de una placa de acero ASIS 4340 al impacto de un proyectil de aleación de tungsteno de punta plana empleado simulación por hidrocódigo. Para esto se planteó un diseño experimental con tres factores (velocidad inicial, modelo constitutivo y método de discretización) cuyos niveles se presentan a continuación.

Velocidad inicial de proyectil(V o) 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450,

500 m/s.

Modelo constitutivo del material del objetivo Johnson-Cook.

mailto:[email protected]





Zerilli-Armstrong.

Método de discretización Lagrange-Lagrange. Lagrange-SPH.

Como variable respuesta se evalúa la velocidad residual del proyectil luego del impacto sobre el objetivo.

2.2. SoftwarePara el desarrollo de las simulaciones de impacto se usó el software ANSYS WorkBench® con su módulo AUTODYN.

2.3. Modelo computacionalPara las simulaciones de impacto se crearon dos modelos computacionales de acuerdo al método de discretización empleado. El primero modelo computacional (Lagrange- Lagrange) consiste en el proyectil y el objetivo, ambos discretizados con el método de Lagrange. Por otro lado, el segundo modelo computacional (Lagrange- SPH) consiste en el proyectil discretizado con el método de Lagrange y el objetivo con el método SPH.

A continuación se presenta una descripción detallada de los modelos computacionales implementados.

2.3.1. GeometríaEl modelo geométrico se compone de dos sólidos, el proyectil y el objetivo. Por un lado, el proyectil tiene una geometría cilíndrica con una longitud de 50 mm y un diámetro de 20 mm, y, presenta una punta plana. Por otro lado, el objetivo se representa como un disco de 12 mm de espesor y un diámetro de 200mm (ver Figura 1).

2.3.2. SimplificacionesPara establecer las simplificaciones del modelo se consideró las características geométricas de los sólidos modelados, que en este caso al tener características cilíndricas permite el uso de una condición de simetría axial, aplicada en el eje de revolución de los sólidos, que en el caso del proyectil y el objetivo se encuentra en el centro de sus caras (ver Figura 1). Con lo anterior se logró representar la geometría 3D a través de un modelo bidimensional, lo que se traduce en un menor tiempo de cómputo y una menor cantidad de elementos de discretización.

2.3.3. DiscretizaciónComo se mencionó anteriormente, se usaron dos modelos de discretización, Lagrange-Lagrange (LL) y Lagrange-SPH (LS). En el caso de la discretización con Lagrange usó una malla de elementos cuadriláteros fijos. Las características de discretización se presentan a continuación

Proyectil: El proyectil se discretizó con el método Lagrange para ambos modelos

constitutivos; sin embargo, para cada uno de éstos se definió una malla diferente. En el caso de Johnson-Cook se empleó una malla de 50 elementos en dirección I y 10 elementos en dirección J, obteniendo así una mallado de 500 elementos. Por otro lado, para el modelo de Zerilli-Armstrong se empleó una malla de 25 elementos en dirección I y 5 elementos en dirección J, lo que se representa una malla de 125 elementos.

Objetivo: El objetivo se discretizó usando dos métodos (Lagrange y SPH). En el primer caso se usó una técnica de refinación la cual consiste en crear el objetivo a partir de dos geometrías. La primera geometría se asocia a la región de impacto y tiene una dimensión de 12 mm en I y 15 mm en J; por otro lado, la segunda geometría se ubica encima de la primera y tiene dimensiones de 12 mm en I y 85 en J. Con el proceso anterior se puede aplicar un mallado diferente a cada geometría que compone el objetivo. En el caso de la primera geometría (zona de impacto) se aplicó una discretización de 20 elementos en I y 25 en J, obteniendo una malla de 500 elementos, cada uno de estos elementos mide 0.6x0.6 mm. Para la geometría dos se usó una discretización de 20 elementos en I y 100 en J, lo que representa una malla de 200 elementos, cada uno de éstos con dimensiones de 0.6x0.85 mm. Para el caso del método de discretización por SPH, la región que contiene a las partículas se definió de 12x100mm y se estableció un tamaño de partícula de 0.5mm, con lo que se obtuvo un total de 4765 elementos. Lo anterior se presenta en la Figura 1

2.3.4. UnionesDado que para el método de discretización Lagrange-Lagrange el objetivo se creó a partir de dos geometrías, éstas fueron unidas con la herramienta Join; la cual permite unir dos piezas independientes por medio de los nodos que están en contacto, con lo que se obtiene una única pieza.

2.3.5. Condiciones inicialesComo condiciones iniciales se estableció la velocidad del proyectil, la cual se definió en un rango de 100 a 500 m/s con un cambio de 50 m/s entre cada valor, de esta forma se realizaron simulaciones para 9 condiciones iniciales.

2.3.6. Condiciones de fronteraLa condición de frontera se definió en la dirección de impacto de la simulación, para la cual se estableció que la velocidad V x es igual a cero (0). Con lo anterior se modeló la sujeción del objetivo con una prensa o marco estático ubicado en su periferia. En el caso de


discretización LL la condición de frontera se aplicó en las dos caras del objetivo (nodos 1 y 21 en I), con un tamaño de 17 mm medido desde la periferia del disco representada por el rango de elementos de 81 a 101 en dirección J. Por otro lado, para el caso del método LS se estableció una región de condición de frontera delimitada

por los puntos 51 y 63 mm en dirección I y 80 a 100 mm en dirección J. Lo anterior se muestra en la Figura 1

Figura 1. Esquema modelo computacional, a. Lagrange-Lagrange, b. Lagrange-SPH

2.4. Modelos de los materiales usadosPara el desarrollo de la simulación se emplearon dos modelos constitutivos: Johnson Cook y Zerrilli Armstrong.

2.4.1. Modelo constitutivo de Johnson Cook Este modelo es empírico y relaciona el esfuerzo del material con su deformación, la tasa de deformación y la temperatura, representado con la siguiente ecuación [3]:

σ=[σ 0+B εn ][1+Cln( ε̇ε̇0 )]¿

Dónde σ 0 , n , m ,B y C son parámetros propios del material y T se establece como

T ¿=T−Tr

T m−T r(2)

2.4.2. Modelo constitutivo de Zerilli ArmstrongEs un modelo basado en una simplificación del mecanismo de dislocación que sufre un material, así como su estructura cristalina. Este modelo hace distinción entre las estructuras FCC y BCC representadas con las siguientes ecuaciones [4]:

FCC

σ=C0+C2 (ε )n exp [−C3T+C4 Tln ( ε̇ ) ](3)

BCC

σ=C0+C1 exp (−C3T +C4Tln ( ε̇ ) )+C5 ( ε )n(4 )

Donde C0 ,C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C5 y n son constantes del material.

2.4.3. Modelo de falla de Johnson CookEste modelo de falla permite establecer los efectos de impacto sobre el material objetivo asociados al daño acumulado y los procesos de deformación. Con el modelo de Johnson Cook es posible establecer la deformación de fractura dúctil de un material, este modelo se similar al modelo de plasticidad de Johnson Cook ya que se compone de 3 términos dependientes de la deformación, la tasa de deformación y la temperatura, y se define como [5]:

ε f =[ D1+ D2exp ( D3 σ ¿)] [1+D4 ln (|ε̇|) ] [1+D5 T¿ ](5)

Donde D1 , D2 , D3 ,D4 y D5 son constantes del material.

2.5. MaterialesComo materiales se usó aleación de tungsteno para el proyectil y acero AISI 4340 para el objetivo.

2.5.1. ProyectilLa aleación de tungsteno usada para el proyectil se denomina como aleación WNiFe clase 1, debido a su contenido de hierro (3%) y níquel (7%). En la Tabla 1 se presentan las propiedades físicas de esta aleación

Tabla 1. Propiedades físicas de la aleación WNiFe [3]

Dureza Densidad Calor Temperatura de


Rockwell [kg/m3] Especifico[J /kg K]

Fusión (K)

C-47 17000 134 1723

Este material se modeló únicamente con el modelo de Johnson Cook, en la Tabla 2 se muestran las constantes del material.

Tabla 2. Parámetros Johnson Cook de la aleación WNiFe [3]

σ 0 [MPa]

B [MPa] n C m

156 177 0.12 0.016 1

2.5.2. ObjetivoComo se mencionó previamente, el material usado para el objetivo fue acero AISI 4340. En la Tabla 3 se muestran las propiedades físicas del material.

Tabla 3. Propiedades físicas del acero AISI 4340 [3]

Dureza Rockwell

Densidad

[kg/m3]

Calor Especifico[J /kg K]

Temperatura de Fusión

(K)

C-30 7830 477 1793

Al tratarse del material del objetivo, el acero AISI 4340 se modeló con los modelos de Johnson-Cook y Zerill-Armstrong, para este último dado que el material presentan estructura cristalina BCC, se usa la Ecuación 4 en la Tabla 4 y Tabla 5 se presentan los parámetros del material para cada modelo.

Tabla 4. Parámetros Johnson Cook del acero AISI 4340 [3]

σ 0 [MPa]

B [MPa] n C m

792 510 0.26 0.014 1.03

Tabla 5. Parámetros Zerilli- Armstrong del acero AISI 4340 [6]

Co[MPa]

C1[MPa]

C2[MPa]

C3[1/K]

C 4[1/K]

C5[MPa]

n

89.9 2073.6 - 0.0015 4.85E-5 1029.4 0.531

Ya que en la simulación el objetivo será impactado, el acero AISI 4340 debe estar asociado a un modelo de falla, en la Tabla 6 se presentan los parámetros del modelo de falla de Johnson-Cook.

Tabla 6. Parámetros modelo de falla de Johnson-Cook del acero AISI 4340 [5]

D1 D2 D3 D4 D5

0.05 3.44 -2.12 0.002 0.61

Finalmente, para el método Lagrange-Lagrange se empleó erosión en términos de la deformación geométrica, que para el caso del modelo constitutivo de Johnson-Cook se definió en 1, mientras que para el modelo de Zerilli-Armstrong se estableció como 0.75.

3. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOSImplementando los modelos computacionales presentados previamente se realizaron 36 simulaciones correspondientes al diseño experimental (9 velocidades iniciales, 2 modelos constitutivos y 2 métodos de discretización). Como se mencionó anteriormente, la variable repuesta de la simulación corresponde a la velocidad residual del proyectil después del impacto, en las siguientes tablas se muestran los valores de velocidades iniciales y finales obtenidas en todas las simulaciones, así como el porcentaje de reducción de velocidad. En los casos donde la reducción de la velocidad es del 100% el proyectil no penetró el objetivo sino que rebotó en éste.

Tabla 7. Datos de velocidad modelo Johnson-Cook (LL)

V o[m /s ] V R[m /s] Reducción100 0.00 100 %150 0.00 100 %200 0.00 100 %250 103.92 58.43 %300 195.93 34.69 %350 242.01 30.85 %400 290.62 27.35 %450 323.23 28.17 %500 361.07 27.79 %

Tabla 8. Datos de velocidad modelo Zerilli-Armstrong (LL)

V o[m /s ] V R[m /s] Reducción100 0.00 100 %150 0.00 100 %200 0.00 100 %250 0.00 100 %300 0.00 100 %350 97.73 72.08 %


400 223.69 44.08 %450 279.76 37.83 %500 347.60 30.48 %

Tabla 9. Datos de velocidad modelo Johnson-Cook (LS)

V o[m /s ] V R[m /s] Reducción100 0.00 100 %150 0.00 100 %200 102.02 48.99 %250 156.75 37.30 %300 205.39 31. 54 %350 255.85 26.90 %400 297.06 25.73 %450 339.73 24.51 %500 376.70 24.66 %

Tabla 10. Datos de velocidad modelo Zerilli-Armstrong (LS)

V o[m /s ] V R[m /s] Reducción100 0.00 100 %150 0.00 100 %200 27.07 86.47 %250 133.42 46.63 %300 141.03 52.99 %350 210.76 39.78 %400 258.24 35.44 %450 295.27 34.38 %500 343.36 31.33 %

Implementando los modelos computacionales presentados previamente se realizaron 36 simulaciones En la Figura 2 se muestran los perfiles de velocidades iniciales contra velocidad residual. Adicionalmente, en la Figura 3 se presentan los valores porcentuales de reducción de velocidad.

Con respecto a los valores de velocidad residual se observa que los perfiles presentan un comportamiento similar. No obstante, para cada modelo y método de discretización la velocidad a la cual el proyectil penetra al objetivo es diferente; de esta forma para la simulación con Johnson-Cook con discretización Lagrange-Lagrange la penetración se da entre 200 y 250 m/s. Por otro lado, para la simulación con Johnson-Cook con discretización Lagrange-SPH y la simulación con Zerilli-Armstrong con

discretización Lagrange-SPH la penetración se da entre 150 y 200 m/s. Finalmente, para la simulación con Zerilli-Armstrong con discretización Lagrange-Lagrange la penetración se da entre 300 y 350 m/s

Figura 2. Perfiles de velocidad inicial contra impacto

Figura 3. Valores porcentuales de reducción de velocidad

En la Figura 3 se observa que para todas las simulaciones se el porcentaje de reducción de velocidad disminuye con el aumento de la velocidad del proyectil, esto se debe a que a mayores velocidades iniciales se presentan mayores energías de impacto sobre el material del objetivo, lo que resulta en una menor capacidad de absorber la energía asociada al proyectil y así mismo se reduce la variación en la velocidad del mismo.

Adicionalmente, en las curvas de porcentaje de reducción se evidencia una tendencia asociada a una velocidad de 500 m/s, para la cual se observa que las curvas tienden al valor de 30% de reducción; esto también se presenta en las curvas de velocidad residual, donde para el valor de velocidad inicial de 500 m/s la velocidad final del


proyectil tiende a un valor de 350 m/s. Lo anterior indica, que para cualquiera de los modelos usados y métodos de discretización implementados se espera que para velocidades altas (>500 m/s) se obtengan valores muy similares en la velocidad residual del proyectil.

La principal diferencia que se observa entre los modelos constitutivos de Johnson-Cook y Zerilli-Armstrong es la rigidez y tenacidad al impacto con la cual cada modelo representa al material. Lo anterior se observa en la Figura2 donde las curvas asociadas al modelo de Zerilli-Armstrong presentan una mayor cambio en la velocidad del proyectil, evidenciando valores más pequeños de la velocidad residual del mismo en comparación con las

curvas del modelo de Johnson-Cook. De esta forma, al modelar el material del objetivo con características más rígidas y con una mayor tenacidad al impacto, el modelo de Zerilli-Armstrong genera que las simulaciones de impacto tengan un porcentaje de reducción mayor en la velocidad del proyectil, dado que en este caso el material del objetivo tiene una mayor capacidad de absorber la energía asociada al proyectil de tungsteno.

a

b

c


Figura 4. Contornos de impacto esfuerzo de von Mises, velocidad inicial 400 m/s, a. Johnson-Cook (LL), b. Johnson-Cook (LS), c. Zerilli-Armstrong (LL), d. Zerilli Armtrong (LS)

Con respecto a los métodos de discretización se observó que la implementación Lagrange-SPH es más fácil que el método Lagrange-Lagrange, dado que en el primer caso no fue necesario el uso de erosión para el material del objetivo. Sin embargo, el método LS presenta el problema del tamaño de los elementos, dado que para obtener resultados más cercanos a la realidad el tamaño de las partículas debe ser muy pequeño, lo que representa un aumento en el tiempo de cómputo y problemas de licencia en las versiones académicas de ANSYS. Adicionalmente, es posible obtener comportamientos muy diferentes en las curvas de velocidad residual, esto se observa claramente en la curva para el modelo Zerilli-Armstrong (LS), en la cual para valores de 250 y 300 m/s de velocidad inicial la velocidad residual es muy parecida haciendo que en esa región la curva sea casi horizontal. No obstante, en el caso de modelo de Johnson-Cook el comportamiento de las curvas para ambos métodos de discretización fueron muy similares sobre todo para valores de velocidad inicial del proyectil mayores a 300 m/s.Con respecto a las gráficas de contorno (Ver Figura 4) se observa que para las simulaciones con LL los mayores esfuerzos se presentan cuando el proyectil está atravesando el objetivo, mientras que para las simulaciones con LS los mayores esfuerzos ocurren apenas el proyectil impacta al objetivo, luego de esto los esfuerzos más grandes se presentan en el material del objetivo.

Otra diferencia que se observa entre los métodos de discretización LL y LS es la manera como se deforma y falla el material del objetivo. Ya que en el caso LL la deformación es cerrada haciendo que la pieza impactada tenga una forma similar a la del proyectil, mientras que con el método LS la deformación y falla es abierta resultando en una pieza impactada con un tamaño mayor al proyectil.

4. NOMENCLATURA

σ : Esfuerzo [MPa]

ε : Deformación [-]

ε f : Deformación de fractura [-]

ε̇ : Tasa de deformación [s-1]

T : Temperatura [K]

T m: Temperatura de fusión [K]

T r: Temperatura de referencia [K]

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONESLos modelos constitutivos pueden representar de forma diferente la respuesta de un material, dado que define propiedades de impacto como rigidez y tenacidad al impacto.

Con los métodos de discretización Lagrange-Lagrange y Lagrange-SPH es posible modelar el impacto de un proyectil sobre una placa, obteniendo comportamientos similares en las curvas de velocidad residual; no obstante, los fundamentos implícitos en cada aproximación pueden afectar tanto cualitativamente como cuantitativamente los resultados obtenidos.

Se observó una tendencia en los resultados de las simulaciones para la velocidad de impacto de 500 m/s lo que sugiere que para velocidades superiores se pueden obtener velocidades residuales muy similares para todos los modelos implementados.

Como recomendación final se tiene la validación de los resultados de forma experimental con el fin de identificar con qué modelo constitutivo y con qué método de discretización se obtienen los valores más cercanos a la realidad.

6. REFERENCIAS[1] T. Børvik, O. S. Hopperstad, T. Berstad, and M.

Langseth, “Perforation of 12mm thick steel plates by 20mm diameter projectiles with flat, hemispherical

d


and conical noses: part II: numerical simulations,” Int. J. Impact Eng., vol. 27, no. 1, pp. 37–64, 2002.

[2] T. Børvik, M. Langseth, O. S. Hopperstad, and K. A. Malo, “Perforation of 12mm thick steel plates by 20mm diameter projectiles with flat, hemispherical and conical noses: part I: experimental study,” Int. J. Impact Eng., vol. 27, no. 1, pp. 19–35, 2002.

[3] M. A. Meyers, Dynamic Behavior of Materials. John Wiley & Sons, 1994.

[4] T. Özel and Y. Karpat, “Identification of constitutive material model parameters for high-strain rate metal cutting conditions using evolutionary computational algorithms,” Mater. Manuf. Process., vol. 22, no. 5, pp. 659–667, 2007.

[5] G. R. Johnson and W. H. Cook, “Fracture characteristics of three metals subjected to various strains, strain rates, temperatures and pressures,” Eng. Fract. Mech., vol. 21, no. 1, pp. 31–48, 1985.

[6] S. Tanimura, T. Tsuda, A. Abe, H. Hayashi, and N. Jones, “Comparison of rate-dependent constitutive models with experimental data,” Int. J. Impact Eng., vol. 69, pp. 104–113, 2014.

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