IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROL CON RESTRICCIONES PARA …

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IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROL CON RESTRICCIONES PARA EL

HELICÓPTERO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD DE QUANSER®

Trabajo de Grado Número 1619

FABIÁN ALFONSO MONTES TEHERÁN

JESSICA LILIANA VILLARREAL GRAJALES

DIRECTOR:

ING. DOLLY TATIANA MANRIQUE ESPÍNDOLA Ph.D.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C.

2

ABSTRACT

The present project designs and tests different control laws for the 2DOF helicopter of Quanser®

in order to include properly the plant constraints in the solution. To solve this problem, the model

of the plant is first obtained. Following, several control laws are designed and tested such as a

PID control, a state feedback control, and MPC control. Finally, the satisfaction of performance

requirements is verified and the proper control law is chosen. For the design of the control law

the mechanical and electrical constraints of the helicopter 2DOF of Quanser® must be included

in the solution of the control law. In addition, the closed loop response must satisfy the following

performance requirements: the settling time is required to be not bigger than 10 seconds, the

overshoot lower or equal to the 30% for a pulse train input signal with a maximum amplitude of

20 degrees for pitch and 100 degrees for yaw. The maximum allowed voltage for the frontal

motor is ±24V, and ±15V for the backwards motor. Additionally, the pitch angle is restricted

between -40,5° y 40,5°. The technical procedures developed in this project follow the standards

ANSI/ISA-88.00.01-2010.

3

CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 8

2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................................................... 9

2.1. Información general helicóptero Quanser® .............................................................................. 9

2.1.1. Modelo no lineal del helicóptero desarrollado por Quanser® .................................................. 9

2.1.2. Especificaciones del sistema y parámetros del modelo ..........................................................10

2.2. Estrategias de control .................................................................................................................11

2.2.1. Control LQR ...........................................................................................................................12

2.2.2. Control PID ............................................................................................................................12

2.2.3. Control por realimentación de estados ...................................................................................14

2.2.4. Control MPC ..........................................................................................................................16

3. OBJETIVOS DEL PROYECTO ..........................................................................................................22

4. DESARROLLO ...................................................................................................................................23

4.1. Modelo dinámico del sistema ....................................................................................................23

4.1.1. Linealización analítica del sistema .........................................................................................23

4.1.2. Análisis estabilidad .................................................................................................................25

4.1.3. Identificación de restricciones del sistema .............................................................................26

4.2. Estrategias convencionales de control y su relación con las restricciones del sistema .........26

4.2.1. Cálculo PID del sistema .........................................................................................................27

4.2.2.1. Antiwindup ....................................................................................................................30

4.2.2.2. RGA ....................................................................................................................................32

4.2.2.3. Matrices de desacople .........................................................................................................34

4.2.3. Cálculo de realimentación de estados del sistema ..................................................................35

4.2.4. Cálculo LQR ...........................................................................................................................38

4.2.5. Simulación de las técnicas convencionales de control ...........................................................39

4.3. Control con restricciones: MPC ................................................................................................48

4.3.2. Discretización del sistema lineal ............................................................................................48

4.3.3. Cálculo MPC ..........................................................................................................................48

4.3.4. Simulación del Control Predictivo MPC ................................................................................51

4.3.4.1. Simulación con el sistema lineal ....................................................................................51

4.3.4.2. Simulación del MPC explícito .......................................................................................55

4.3.4.3. Simulación del Control Predictivo basado en modelos no lineales NMPC ...................57

5. PROTOCOLO DE PRUEBAS .............................................................................................................60

5.2. Implementación ..........................................................................................................................60

4

5.3. Seguimiento de trayectoria ........................................................................................................61

5.3.2. PID..........................................................................................................................................61

5.3.3. Realimentación de estados .....................................................................................................63

5.3.4. LQR ........................................................................................................................................65

5.4. Rechazo a perturbaciones ..........................................................................................................66

5.4.2. PID..........................................................................................................................................66

5.4.3. Realimentación de estados .....................................................................................................67

5.4.4. LQR ........................................................................................................................................68

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS ..........................................................................................................69

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................................69

8. BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................................70

9. ANEXOS ..............................................................................................................................................71

5

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA 1. EXPERIMENTO DE HELICÓPTERO 2DOF QUANSER® [4]. ............................................................ 9 FIGURA 2. DIAGRAMA DE FUERZAS DE EMPUJE DEL SISTEMA DEL HELICÓPTERO [1] ....................... 10 FIGURA 3. DIAGRAMA DE BLOQUES DE REALIMENTACIÓN DE ESTADOS .............................................. 14 FIGURA 4. DIAGRAMA DE BLOQUES CON INCLUSIÓN DE INTEGRADOR ................................................. 16 FIGURA 5. ESTRUCTURA GENERAL MPC [2] ..................................................................................................... 17 FIGURA 6. DIAGRAMA DE BLOQUES DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA............................................. 27 FIGURA 7. DIAGRAMA DE BLOQUES CONTROLADOR PID EN MALLA CERRADA .................................. 30 FIGURA 8. BACK CALCULATION (TRACKING ANTIWINDUP) ...................................................................... 30 FIGURA 9. CONEXIÓN MATRICES DE DESACOPLE ......................................................................................... 34 FIGURA 10. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES SIN SATURADOR EN LA PLANTA

LINEAL PARA PITCH. ...................................................................................................................................... 39 FIGURA 11. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES SIN SATURADOR EN LA PLANTA

LINEAL PARA YAW. ........................................................................................................................................ 40 FIGURA 12. RESPUESTA ÁNGULO PITCH (LQR SIN COMPENSACIÓN) ....................................................... 41 FIGURA 13. SEÑAL DE CONTROL PID PARA MOTOR PITCH SIN SATURADOR EN LA PLANTA LINEAL

............................................................................................................................................................................. 41 FIGURA 14. SEÑAL DE CONTROL REALIMENTACIÓN DE ESTADOS PARA MOTOR PITCH SIN

SATURADOR EN LA PLANTA LINEAL ........................................................................................................ 41 FIGURA 15. SEÑAL DE CONTROL LQR PARA MOTOR PITCH SIN SATURADOR EN LA PLANTA

LINEAL ............................................................................................................................................................... 42 FIGURA 16. SEÑAL DE CONTROL PID PARA MOTOR YAW SIN SATURADOR EN LA PLANTA LINEAL

............................................................................................................................................................................. 42 FIGURA 17. SEÑAL DE CONTROL REALIMENTACIÓN DE ESTADOS PARA MOTOR YAW SIN

SATURADOR EN LA PLANTA LINEAL ........................................................................................................ 42 FIGURA 18. SEÑAL DE CONTROL LQR PARA MOTOR YAW SIN SATURADOR EN LA PLANTA LINEAL

............................................................................................................................................................................. 43 FIGURA 19. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES CON SATURADOR EN LA

PLANTA LINEAL PARA PITCH. ..................................................................................................................... 43 FIGURA 20. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES CON SATURADOR EN LA

PLANTA LINEAL PARA YAW. ....................................................................................................................... 43 FIGURA 21. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES EN PITCH CON RESTRICCIONES

MÁS PEQUEÑAS ............................................................................................................................................... 44 FIGURA 22. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES EN YAW CON RESTRICCIONES

MÁS PEQUEÑAS ............................................................................................................................................... 44 FIGURA 23. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES EN LA PLANTA NO LINEAL

PARA PITCH. ..................................................................................................................................................... 45 FIGURA 24. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES EN LA PLANTA NO LINEAL

PARA YAW. ....................................................................................................................................................... 45 FIGURA 25. SEÑAL DE CONTROL MOTOR PITCH PARA EL SISTEMA NO LINEAL (PID) ......................... 46 FIGURA 26. SEÑAL DE CONTROL MOTOR PITCH PARA EL SISTEMA NO LINEAL (REALIMENTACIÓN

DE ESTADOS) .................................................................................................................................................... 46 FIGURA 27. SEÑAL DE CONTROL MOTOR PITCH PARA EL SISTEMA NO LINEAL (LQR)........................ 46 FIGURA 28. SEÑAL DE CONTROL MOTOR YAW PARA EL SISTEMA NO LINEAL (PID) ........................... 47 FIGURA 29. SEÑAL DE CONTROL MOTOR YAW PARA EL SISTEMA NO LINEAL (REALIMENTACIÓN

DE ESTADOS) .................................................................................................................................................... 47 FIGURA 30. SEÑAL DE CONTROL MOTOR YAW PARA EL SISTEMA NO LINEAL (LQR) .......................... 47 FIGURA 31. VARIACIÓN MATRIZ DE PESO PARA LAS SALIDAS PARA 1 SEGUNDO. .............................. 49 FIGURA 32. VARIACIÓN MATRIZ DE PESO PARA LAS SALIDAS PARA 0.5 SEGUNDOS. ......................... 49 FIGURA 33. VARIACIÓN MATRIZ DE PESO PARA LAS SALIDAS PARA 0.1 SEGUNDOS. ......................... 50

6

FIGURA 34. VARIACIÓN MATRIZ DE PESO PARA LAS SALIDAS .................................................................. 50 FIGURA 35. COMPORTAMIENTO PITCH SIN SATURADOR PARA PLANTA LINEAL CON MPC .............. 51 FIGURA 36. COMPORTAMIENTO YAW SIN SATURADOR PARA PLANTA LINEAL CON MPC ................ 51 FIGURA 37. SEÑAL DE CONTROL PITCH PARA SISTEMA LINEAL CON MPC ............................................ 52 FIGURA 38. SEÑAL DE CONTROL YAW PARA SISTEMA LINEAL CON MPC .............................................. 52 FIGURA 39. COMPARACIÓN DIFERENTES REFERENCIAS PARA PITCH (MPC CON SISTEMA LINEAL)

............................................................................................................................................................................. 52 FIGURA 40. COMPARACIÓN SEÑALES DE CONTROL MOTOR PITCH PARA DIFERENTES

REFERENCIAS (MPC CON SISTEMA LINEAL) ............................................................................................ 53 FIGURA 41. COMPARACIÓN DIFERENTES REFERENCIAS PARA YAW (MPC CON SISTEMA LINEAL) . 53 FIGURA 42. COMPARACIÓN SEÑALES DE CONTROL MOTOR YAW PARA DIFERENTES REFERENCIAS

(MPC CON SISTEMA LINEAL) ....................................................................................................................... 53 FIGURA 43. COMPORTAMIENTO PITCH SIN SATURADOR PARA PLANTA NO LINEAL CON MPC ........ 54 FIGURA 44. COMPORTAMIENTO YAW SIN SATURADOR PARA PLANTA NO LINEAL CON MPC .......... 54 FIGURA 45. SEÑAL DE CONTROL PITCH PARA PLANTA NO LINEAL CON MPC ....................................... 55 FIGURA 46. SEÑAL DE CONTROL YAW PARA PLANTA NO LINEAL CON MPC ......................................... 55 FIGURA 47. COMPORTAMIENTO PITCH Y YAW EN PLANTA LINEAL CON MPC EXPLÍCITO ................ 56 FIGURA 48. SEÑAL DE CONTROL PITCH EN PLANTA LINEAL CON MPC EXPLÍCITO ............................. 56 FIGURA 49. SEÑAL DE CONTROL YAW EN PLANTA LINEAL CON MPC EXPLÍCITO ............................... 56 FIGURA 50. COMPORTAMIENTO PITCH EN PLANTA NO LINEAL CON MPC EXPLÍCITO ........................ 57 FIGURA 51. COMPORTAMIENTO YAW EN PLANTA NO LINEAL CON MPC EXPLÍCITO .......................... 57 FIGURA 52. COMPORTAMIENTO DE PITCH (LINEA ROJA) Y YAW (LINEA NEGRA) DEL SISTEMA NO

LINEAL CON NMPC. ........................................................................................................................................ 60 FIGURA 53. COMPARACIÓN RESPUESTA CONTROLADORES CONVENCIONALES Y NMPC .................. 60 FIGURA 54. RESPUESTA PITCH TIEMPO REAL VS SIMULACIÓN SISTEMA NO LINEAL (PID) ............... 61 FIGURA 55. RESPUESTA YAW TIEMPO REAL VS SIMULACIÓN SISTEMA NO LINEAL (PID) ................. 61 FIGURA 56. SEÑALES DE CONTROL PARA LA PLANTA REAL (PID) ............................................................ 62 FIGURA 57. SEGUIMIENTO REFERENCIA 15 GRADOS PITCH EN LA PLANTA REAL(PID) ..................... 62 FIGURA 58. SEGUIMIENTO REFERENCIA 20 GRADOS PITCH EN LA PLANTA REAL (PID) ..................... 63 FIGURA 59. SEGUIMIENTO REFERENCIA 0 GRADOS PITCH PARA PLANTA REAL (REALIMENTACIÓN

DE ESTADOS) .................................................................................................................................................... 63 FIGURA 60. SEGUIMIENTO REFERENCIA 0 GRADOS YAW PARA PLANTA REAL (REALIMENTACIÓN

DE ESTADOS) .................................................................................................................................................... 64 FIGURA 61. SEGUIMIENTO REFERENCIA 20 GRADOS PITCH PARA PLANTA REAL

(REALIMENTACIÓN DE ESTADOS) .............................................................................................................. 64 FIGURA 62. SEGUIMIENTO REFERENCIA 100 GRADOS YAW PARA PLANTA REAL

(REALIMENTACIÓN DE ESTADOS) .............................................................................................................. 64 FIGURA 63. SEGUIMIENTO REFERENCIA 0 GRADOS PITCH PARA PLANTA REAL (LQR) ....................... 65 FIGURA 64. SEGUIMIENTO REFERENCIA 0 GRADOS YAW PARA PLANTA REAL (LQR) ......................... 65 FIGURA 65. SEGUIMIENTO REFERENCIA 20 GRADOS PITCH PLANTA REAL (LQR) ................................ 66 FIGURA 66. SEGUIMIENTO REFERENCIA 100 GRADOS YAW PLANTA REAL (LQR) ................................... 66 FIGURA 67. PERTURBACIONES EN EL EJE DE PITCH PARA PID ................................................................... 67 FIGURA 68. PERTURBACIONES EN EL EJE DE YAW PARA PID ..................................................................... 67 FIGURA 69. PERTURBACIONES EN EL EJE DE PITCH PARA REALIMENTACIÓN DE ESTADOS ............. 67 FIGURA 70. PERTURBACIONES EN EL EJE DE YAW PARA REALIMENTACIÓN DE ESTADOS ............... 68 FIGURA 71. PERTURBACIONES EN EL EJE DE PITCH PARA LQR ................................................................. 68 FIGURA 72. PERTURBACIONES EN EL EJE DE YAW PARA LQR ................................................................... 68

7

ÍNDICE DE TABLAS

TABLA 1.ESPECIFICACIONES GENERALES DE LOS ACTUADORES Y PARÁMETROS DEL MODELO [1]

............................................................................................................................................................................. 10 TABLA 2. ESPECIFICACIONES DEL HELICÓPTERO Y PARÁMETROS DEL MODELO [1] .......................... 11 TABLA 3. RESTRICCIONES DEL SISTEMA [4] [11]. ............................................................................................ 26 TABLA 4.COMPARACIÓN PID, LQR Y REALIMENTACIÓN DE ESTADOS SIN SATURADOR EN LA

PLANTA LINEAL. ............................................................................................................................................. 40 TABLA 5. COMPARACIÓN PID, LQR Y REALIMENTACIÓN DE ESTADOS CON SATURADOR EN LA

PLANTA. ............................................................................................................................................................ 44 TABLA 7. COMPARACIÓN CONTROLADORES CONVENCIONALES CON RESTRICCIONES MÁS

PEQUEÑAS ........................................................................................................................................................ 44 TABLA 6. COMPARACIÓN PID, LQR Y REALIMENTACIÓN DE ESTADOS CON SATURADOR EN LA

PLANTA NO LINEAL ....................................................................................................................................... 45 TABLA 8. ÍNDICES DE DESEMPEÑO MPC SEGÚN VARIACIÓN MATRIZ DE PESO "Q" ............................. 50 TABLA 9. COMPORTAMIENTO ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA SISTEMA LINEAL CON MPC ............... 52 TABLA 9. ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA PITCH Y YAW PARA EL CONTROLADOR PID EN

IMPLEMENTACIÓN ......................................................................................................................................... 61 TABLA 10. ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA PITCH PARA EL CONTROLADOR PID EN

IMPLEMENTACIÓN ......................................................................................................................................... 62 TABLA 11. ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA PITCH Y YAW PARA REALIMENTACIÓN DE ESTADOS EN

IMPLEMENTACIÓN ......................................................................................................................................... 64 TABLA 12. ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA PITCH (20 GRADOS) Y YAW (100 GRADOS) PARA

REALIMENTACIÓN DE ESTADOS EN IMPLEMENTACIÓN ..................................................................... 64 TABLA 13. ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA PITCH Y YAW 0 GRADOS DE REFERENCIA PARA LQR EN

IMPLEMENTACIÓN ......................................................................................................................................... 65 TABLA 14. ÍNDICES DE DESEMPEÑO PARA PITCH (20 GRADOS) Y YAW (100 GRADOS) PARA LQR EN

IMPLEMENTACIÓN ......................................................................................................................................... 66

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1. INTRODUCCIÓN

La planta Helicóptero 2DOF de Quanser® (2 grados de libertad) es un sistema MIMO (Múltiples

entradas Múltiples salidas) no lineal, disponible en el laboratorio de control del Departamento de

Electrónica de la Pontificia Universidad Javeriana, cuyo estudio permite la aplicación de

conceptos a sistemas dinámicos con al menos dos ejes de rotación. Esta planta posee una gran

variedad de restricciones mecánicas y electricas, por ejemplo, los voltajes máximos de los

motores pitch y yaw, que en este caso son de ±24V y ±15V respectivamente [1], así como el

movimiento del ángulo de pitch que está restringido entre -40,5° y 40,5° [2]. Dichas restricciones

limitan el funcionamiento del mismo.

En la vida real, en el control de procesos químicos, robóticos, control de aeronaves, entre otros,

se requiere controlar diferentes variables físicas cómo la temperatura, presión, flujo, nivel etc.,

para poder lograr un propósito determinado [1]. Continuamente estos procesos están sujetos a

restricciones, que deben ser tenidas en cuenta. En este trabajo de grado se describe el diseño de

un controlador que incluya tales restricciones. Además, es comparado con estrategias de control

convencionales tales como PID (Proporcional Integral Derivativo) que no incluyen restricciones,

lo que hace necesario el uso de saturadores para no dañar los actuadores. Existe otro controlador

convencional conocido como LQR (Regulador Lineal Cuadrático) el cual busca minimizar el

error cuadrático medio del seguimiento de trayectoria. Sin embargo, al no tener en cuenta las

restricciones del sistema requiere igualmente saturadores para evitar daños en los motores. Esto

pone en riesgo la eficacia de la solución hallada por el controlador LQR y no permite que este

funcione de la manera esperada. Por lo tanto, se deben considerar técnicas de control que

permitan incluir restricciones como por ejemplo el MPC (Control Predictivo basado en Modelos).

Durante los últimos 40 años, la amplia popularidad del MPC dentro de la academia y

aplicaciones industriales ha motivado el desarrollo de técnicas robustas de MPC las cuales son

capaces de proporcionar controladores que garantizan la estabilidad, robustez, satisfacción de

restricciones y computación manejable para sistemas lineales y no lineales. Dentro de estas

restricciones que se encuentran en sistemas de control comunes y prácticos, encontramos las

limitaciones tanto físicas (por ejemplo, saturación de los actuadores) como tecnológicas (por

ejemplo, memoria, velocidad de procesamiento, entre otros) [2] [3].

Este texto está dividido en seis partes fundamentales: en el Capítulo 2 se presenta una base

teórica que proporcionará una comprensión clara de lo que se presenta a lo largo del trabajo de

grado; el Capítulo 3 consiste en la descripción de tanto el objetivo general como los específicos

del proyecto, así como también una síntesis de lo alcanzado en el proyecto durante su realización;

el Capítulo 4 presenta el desarrollo del trabajo de grado, donde se analiza el comportamiento de

la planta y cómo influye en el diseño de cada uno de los controladores y en los resultados

obtenidos a partir de ellos. El Capítulo 5 corresponde a la implementación en la planta real junto

con las siguientes pruebas: seguimiento de trayectoria y rechazo a perturbaciones. El Capítulo 6

presenta el análisis e interpretación de los resultados obtenidos a partir del desarrollo de los

controladores, evaluando el funcionamiento de cada uno de ellos. Finalmente, se presentan las

conclusiones derivadas del desarrollo del proyecto, así como las recomendaciones pertinentes que

permitirán un mejor rendimiento en futuros trabajos de grado relacionados con el tema a tratar en

el presente texto. Estas conclusiones se encuentran en el Capítulo 7.

9

2. MARCO TEÓRICO

En esta sección se introduce de forma general la dinámica del helicóptero, así como las

estrategias de control analizadas en este trabajo.

2.1. Información general helicóptero Quanser®

El experimento del Helicóptero 2DOF de Quanser®, consiste en un modelo de helicóptero

montado en una base fija con dos hélices que son accionados por motores DC (Ver Figura 1). La

hélice frontal controla la elevación de la nariz del helicóptero sobre el eje de cabeceo (pitch) y la

hélice trasera controla el movimiento de lado a lado del helicóptero sobre el eje de guiñada (yaw).

Los ángulos de pitch y yaw son medidos usando decodificadores de alta resolución [4] .

Figura 1. Experimento de Helicóptero 2DOF Quanser® [4].

2.1.1. Modelo no lineal del helicóptero desarrollado por Quanser®

Para el respectivo análisis de la cinemática de la planta, se procede a plantear las fuerzas de

empuje que actúan sobre los ejes coordenados de pitch y de yaw (Ver Figura 2) por medio del

método de Euler-LaGrange, obteniendo así las siguientes expresiones [4]:

10

Figura 2. Diagrama de fuerzas de empuje del sistema del helicóptero [1]

( )

( 1 )

( )

( 2 )

2.1.2. Especificaciones del sistema y parámetros del modelo

En la Tabla 1 y Tabla 2 se presentan los parámetros dados por el fabricante, correspondientes al

modelo que describe el comportamiento del helicóptero.

Tabla 1.Especificaciones generales de los actuadores y parámetros del modelo [1]

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN VALOR UNIDAD

Momento de inercia del rotor del motor de yaw

Constante de fuerza de empuje del motor/hélice de

pitch

1.037 N/V

Constante de fuerza de empuje del motor/hélice de

yaw

0.428 N/V

Constante de torque debido a la fuerza de empuje

actuando sobre el eje de pitch desde el motor/hélice

de pitch

0.204 N.m/V


actuando sobre el eje de yaw desde el motor/hélice

de yaw

0.072 N.m/V


actuando sobre el eje de pitch desde el motor/hélice

de yaw

0.0068 N.m/V

Constante de torque debido a la fuerza de empuje 0.0219 N.m/V

11

actuando sobre el eje de yaw desde el motor/hélice

de pitch

Voltaje motor pitch ±24 V

Votaje motor yaw ±15 V

Tabla 2. Especificaciones del Helicóptero y parámetros del modelo [1]

SÍMBOLO DESCRIPCIÓN VALOR UNIDAD

Viscosidad equivalente sobre el eje pitch 0.800 N/V

Viscosidad equivalente sobre el eje yaw 0.318 N/V

Masa total en movimiento del helicóptero 1.3872 Kg

Masa del motor de pitch 0.292 Kg

Masa del motor de yaw 0.128 Kg

Masa de la carcasa de la hélice 0.167 Kg

Masa de las hélices de pitch y yaw, protectores de

las hélices y motores

0.754 Kg

Masa en movimiento sobre el eje de pitch 0.633 Kg

Masa en movimiento sobre el eje de yaw 0.667 Kg

Longitud total del cuerpo del helicóptero 0.423 M

Longitud del centro de mesa a lo largo del cuerpo

del helicóptero desde el eje de pitch

0.186 M

Momento de inercia del cuerpo del helicóptero

sobre el eje de pitch

0.0123

Momento de inercia del cuerpo del helicóptero

sobre el eje de yaw

0.0129

Momento de inercia del frente del motor/protector

montado sobre el pivote de pitch

0.0178

Momento de inercia del frente del motor/protector

montado sobre el pivote de yaw

0.0084

Momento de inercia total sobre el pivote de pitch 0.0384

Momento de inercia total sobre el pivote de yaw 0.0432

2.2. Estrategias de control

Con el fin de identificar si las estrategias de control convencionales incluyen restricciones se

analizan a continuación los casos del controlador LQR, PID y Realimentación de estados, así

como la estrategia de control MPC.

12

2.2.1. Control LQR

La teoría de control óptimo se basa en operar un sistema dinámico a un costo mínimo. El caso

donde los sistemas dinámicos son descritos por un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales y

el costo por una función cuadrática, es conocido como problema LQ. El algoritmo de LQR

reduce la cantidad de trabajo realizada por sistemas de control por medio de la optimización del

controlador.

Para un sistema lineal en tiempo continuo definido en [ ] descrito por:

( 3 )

Con una función de costo definida como:

∫

( 4 )

La ley de control de realimentación que minimiza el valor del costo es:

( 5 )

Donde K está dado por:

( 6 )

Y P se encuentra resolviendo la ecuación diferencial en tiempo continuo de Riccatti:

( 7 )

Con condición de frontera:

( 8 )

2.2.2. Control PID

Un controlador PID (Proporcional Integrativo Derivativo) es un mecanismo de control genérico

sobre una realimentación de bucle cerrado, ampliamente usado en la industria para el control de

sistemas. El PID es un sistema al que le entra un error calculado a partir de la salida deseada

menos la salida obtenida y su salida es utilizada como entrada en el sistema que se quiere

controlar. El controlador intenta minimizar el error ajustando la entrada del sistema [5].

Si un proceso de segundo orden está dado por la función de transferencia G(s)

( 9 )

Se puede encontrar un controlador PID con función de transferencia C(s) dada por:

13

(

)

( 10 )

Siendo Kc, Ti y Td, tales que el polinomio característico del sistema en malla cerrada sea igual al

polinomio característico deseado.

Se debe tener en cuenta que el polinomio característico del sistema en malla cerrada se halla a

partir del cálculo de la función

, siendo Y(s) la salida del sistema y r(s) su

referencia.

Por otro lado, el polinomio característico deseado en malla cerrada se puede hallar a partir de los

indicadores de desempeño %OS deseado y tss deseado para una banda del 2% así:

( 11 )

√

( 12 )

( 13 )

Por ejemplo, si se desea que el polinomio característico deseado tenga la forma general:

( 14 )

Con:

√ ( 15.1)

( 15.2)

Entonces, el polinomio característico del sistema realimentado con el controlador tendrá la forma:

(

) (

)

( 16 )

Igualando (14) y (16), se obtiene que los parámetros requeridos del controlador son:

( 17 )

14

( 18 )

( 19 )

Con y según los valores deseados en malla cerrada en (11) y (12).

2.2.3. Control por realimentación de estados

La técnica de diseño empieza con la determinación de los polos en lazo cerrado deseados a partir

de la respuesta transitoria y/o las especificaciones de la respuesta en frecuencia, tales como

velocidad, razón de amortiguamiento, o ancho de banda, al igual que los requisitos en estado

estacionario. Supóngase que se decide que los polos en lazo cerrado deseados estén en , … . Seleccionando una matriz de ganancias apropiada para realimentación del

estado, es posible hacer que el sistema tenga los polos en lazo cerrado en las posiciones deseadas,

siempre y cuando el sistema original sea de estado completamente controlable [6].

Con el fin de investigar la condición requerida para colocar los polos en forma arbitraria en un

sistema de orden , se considera que el proceso está descrito por la ecuación siguiente [7]:

( 20 )

Donde es un vector de estado de dimensiones y es el control escalar. El control

mediante la realimentación del estado es:

Figura 3. Diagrama de bloques de realimentación de estados

( 21 )

Donde es una matriz de realimentación con elementos de ganancia constantes. Posteriormente,

se procede a sustituir la ecuación (21) en la (20) y se obtiene la representación del sistema en lazo

cerrado por medio de la siguiente expresión:

( 22 )

Para un sistema (A, B) completamente controlable (ver sección 4.1.2), existe una matriz que

puede dar un conjunto arbitrario de valores característicos de , es decir las raíces de

la ecuación característica:

15

| |

( 23 )

Dichas raíces se pueden ubicar de forma arbitraria, según un comportamiento deseado. Para

demostrar esto, se debe tener en cuenta que, si un sistema es completamente controlable, siempre

se puede representar en la forma canónica controlable (FCC). A continuación, se representan las

matrices A y B de la siguiente forma [7]:

[

]

( 24 )

[ ]

( 25 )

La matriz de ganancia de realimentación se expresa como:

[ ]

( 26 )

Donde son constantes reales. Entonces:

[

]

( 27 )

Los valores característicos de se encuentran a partir de la ecuación característica

siguiente [8]:

| |

( 28 )

Si el sistema no contiene polos en cero, entonces para garantizar que el error en estado

estacionario del sistema sea igual a cero, se procede a agregar un integrador con su respectiva

ganancia , quedando el sistema de la siguiente forma:

16

Figura 4. Diagrama de bloques con inclusión de integrador

A partir de este, se obtienen las siguientes ecuaciones:

( 29 )

( 30 )

( 31 )

Realizando las sustituciones respectivas, se obtiene la nueva representación en variables de

estado:

[ ]

( 32 )

( 33 )

En donde su representación matricial tiene la siguiente forma:

*

+ [

] [

]

( 34 )

Finalmente, al obtener la nueva matriz V, procedemos a igualar el polinomio característico

deseado con el nuevo polinomio característico | | para así obtener los valores de y .

2.2.4. Control MPC

El objetivo general del diseño del control predictivo basado en modelos es computar la

trayectoria de una variable futura manipulada para optimizar el comportamiento futuro de la

salida de la planta . La optimización es aplicada dentro de un número determinado de muestras

conocidas como horizontes. Existen dos tipos de horizontes, el horizonte de predicción y el

horizonte de control [8]. El horizonte de predicción representa el número de muestras para las

cuales se proyectará en el futuro la dinámica del sistema a partir de la muestra presente y el

modelo del sistema. El tamaño de cada muestra normalmente está dado por el tiempo de

muestreo [s]. De tal manera que un horizonte de predicción de tamaño p implica una predicción

V

17

a un tiempo de la muestra inicial. Por otro lado, el horizonte de control representa el

número de muestras tras las cuales se actualiza la medida de los estados, se recalcula la señal de

control y se aplica al sistema.

En la Figura 5 se puede apreciar la estructura general del MPC:

Figura 5. Estructura general MPC [2]

En primer lugar, el optimizador interactúa con el modelo del sistema por medio del envío de la

señal de control | ), para de esta manera conocer los estados futuros del sistema

| así como el error entre la salida | y la referencia | . Una vez la

salida optima es computada por el optimizador, la muestra es enviada a la planta.

Finalmente, las condiciones iniciales del modelo del sistema son actualizadas dependiendo de la

respuesta de la planta [8].

El término MPC se encuentra conformado por un amplio rango de métodos de control, los cuales

utilizan el modelo de la planta para obtener la acción de control por medio de la minimización de

la función objetivo.

El MPC presenta una serie de ventajas sobre otros métodos, entre los que se destacan los

siguientes:

- Los conceptos son muy intuitivos y al mismo tiempo el ajuste de control es relativamente fácil.

- Se puede utilizar para controlar una gran variedad de procesos, desde aquellos con la dinámica

relativamente simple hasta los más complejos (MIMO) dentro de los cuales se encuentran los

sistemas no lineales, de fase no mínima, o los inestables.

- La elección adecuada de la función de costo puede lograr la optimización de los diferentes

criterios de rendimiento, incluidas las limitaciones operativas en el proceso de diseño.

- Introduce un control anticipativo de manera natural para compensar el error por las

perturbaciones encontradas [2].

- Su mayor fortaleza es la forma intuitiva en la cual las restricciones pueden ser incorporadas

dentro de una formulación de un problema de control óptimo multivariable.

Así mismo, el MPC es una estrategia de control que ha sido ampliamente adoptada dentro de la

comunidad de control de procesos industriales e implementados exitosamente en diversas

aplicaciones.

De ahora en adelante el estado predicho | se notará simplemente como . Partiendo de la representación de espacio de estados futuros que se denotará como:

18

(35)

Debido al principio de receding horizon control, donde se requiere la información actual de la

planta para predecir y controlar, se ha asumido implícitamente que la entrada no puede

afectar la salida al mismo tiempo, por lo tanto la matriz D es cero.

(36)

Restando la información del estado anterior a ambos lados:

( ) ( )

(37)

Expresando y reorganizando:

(38)

(39)

Se obtiene la siguiente ecuación:

(40)

A continuación, se relaciona la información de los estados con las salidas por medio

de una nueva representación de variables de estados de la siguiente manera:

( ) (41)

(42)

[

] (43)

[

] *

+ [

] *

+ (44)

[ ] [

] (45)

La trayectoria de control futuro está dada por:

{ } (46)

Y la de estado futuro:

{ } (47)

Basado en el modelo de espacio de estados (20) se tiene:

(48)

19

Así mismo, para las salidas se tiene la siguiente expresión:

(49)

Se puede observar que todas las variables predichas se encuentran en función de y , por lo que se definen los vectores:

[

]

(50)

[

] (51)

Ahora, se relaciona con de la siguiente manera:

(52)

El objetivo del controlador es encontrar la mejor señal de control par minimizar el error entre

la referencia y la salida predicha. A partir de la ecuación (49) y (50), se obtiene la siguiente

expresión:

[

] (53)

Y de la relación de la ecuación (49) y (51), se obtiene:

[

]

(54)

Así entonces, se define la función de costo que refleja el objetivo de control, donde es la

trayectoria deseada, son las matrices de peso:

( ) ( )

(55)

20

Donde el primer término está vinculado al objetivo de minimizar el error entre la salida predicha

y la señal de referencia mientras que el segundo término refleja la consideración dada al tamaño

de ΔU cuando se hace que la función objetivo J sea lo más pequeña posible.

Luego de realizar el respectivo desarrollo de la ecuación (55), se obtiene la siguiente función

objetivo:

(56)

Teniendo en cuenta que se define como:

(57)

Y como:

(58)

A continuación, se establecen las restricciones para el control teniendo en cuenta las que

corresponden a las requeridas por la entrada (voltajes de motores) y las restricciones de los

estados (ángulos pitch y yaw).

En el caso de las restricciones del estado, la expresión es la siguiente: en donde

y corresponde a la siguiente matriz:

[

]

(59)

Así mismo, y está representado por la siguiente expresión:

[

]

(60)

Con como una matriz identidad, y como los límites superior e

inferior deseados para el error de seguimiento

Por otro lado, las restricciones para la entrada pueden escribirse de la siguiente manera:

21

(61)

Donde y , son dadas por las siguientes matrices:

[

]

(62)

[

]

(63)

Con como una matriz identidad y y como

[9].

22

3. OBJETIVOS DEL PROYECTO

El objetivo planteado al inicio de este proyecto es:

Diseñar un controlador para el helicóptero de Quanser de dos grados de libertad que incluya las

restricciones de la planta y permita controlarlo en diferentes puntos de operación.

Para cumplir con este objetivo era preciso cumplir con una serie de objetivos específicos:

1. Definir las restricciones tanto mecánicas como eléctricas del Helicóptero 2DOF de Quanser.

2. Identificar las estrategias de control que permitan incluir el problema de las restricciones del

Helicóptero 2DOF de Quanser.

3. Diseñar un control MPC para el helicóptero con un tiempo de establecimiento menor a 10

segundos y un sobrepico menor o igual a 30% para una entrada tipo tren de pulsos con amplitud

máxima de 20 grados para pitch y 100 grados para yaw.

4. Evaluar mediante simulación el controlador diseñado.

5. Comparar los criterios de desempeño en tiempo real del comportamiento del MPC (por ejemplo:

tiempo de subida y establecimiento, tiempo de cómputo, error en estado estacionario) con respecto

a la respuesta del LQR.

En este proyecto se obtuvo el modelo no lineal de la planta y se linealizó alrededor de un punto

de operación para facilidad en su uso. Se definieron las restricciones físicas y mecánicas del

sistema. Así mismo, se diseñaron los controladores convencionales vistos en el pregrado (PID,

LQR, Realimentación de estados), cumpliendo los índices de desempeño especificados en los

objetivos específicos. Se verificó que estos controladores no incluyen las restricciones del

sistema. Se diseñó un controlador predictivo basado en modelos, que a diferencia de los

anteriormente mencionados, incluye las restricciones en su cálculo, y permite controlar el sistema

en diferentes puntos de operación pues se basa en su modelo no lineal (NMPC). Se simularon las

respuestas de todos los controladores y se compararon las señales de voltaje con el fin de

demostrar que el NMPC es el único que respeta las limitaciones en este caso de voltaje.

23

4. DESARROLLO

A continuación, se presenta el desarrollo de cada una de las etapas que llevaron al cumplimiento

de los objetivos desde el planteamiento del modelo dinámico hasta la inclusión de las

restricciones en la ley de control.

4.1. Modelo dinámico del sistema

4.1.1. Linealización analítica del sistema

Debido a que la mayoría de herramientas para el análisis de sistemas y diseño de sistemas de

control requieren que el modelo sea lineal, es necesario entonces disponer de métodos para

linealizar modelos. Cuando un modelo es muy complejo matemáticamente es necesario recurrir a

técnicas como las representaciones en series infinitas como por ejemplo la expansión en serie de

Taylor como se indica en (64):

∑

|

(64)

Alrededor de un punto de operación se realiza una aproximación a la función usando los dos

primeros términos de la serie de Taylor:

[ ]

| [ ]

(65)

Las siguientes fórmulas corresponden a la dinámica del sistema no lineal del helicóptero:

(66)

(67)

Con el fin de proceder a realizar la linealización, se asume que el punto de operación del sistema

corresponde al punto de equilibrio del mismo ( ) donde todas sus variables, tanto de

posición como velocidad son nulas.

A partir de la linealización de las ecuaciones diferenciales y usando los parámetros del

helicóptero presentados en la Tabla 1 y 2 se obtiene el siguiente espacio de estados:

24

[

]

(68)

[

]

(69)

*

+ (70)

*

+ (71)

Reemplazando con los valores de dichos parámetros se tienen las siguientes matrices para el

sistema lineal:

[

] (72)

[

]

(73)

*

+ (74)

*

+ (75)

A continuación, se sustituyen las matrices en las respectivas ecuaciones de espacio estado:

(76)

[

] [

] [

] [

] [

] (77)

25

(78)

* + *

+ * + *

+ [

] (79)

Luego, se procedió con la obtención de las funciones de transferencia, teniendo en cuenta el

análisis tanto de las ecuaciones diferenciales como del espacio de estados en el dominio de la

frecuencia usando la fórmula:

(80)

Finalmente, las funciones de transferencia resultantes son:

(81)

(82)

(83)

(84)

Estas funciones de transferencia son de gran utilidad para verificar en el diseño del controlador

PID si este incluye o no las restricciones del helicóptero.

4.1.2. Análisis estabilidad

Para el primer polinomio característico de las ecuaciones (83) y (81) se obtienen los siguientes polos:

(85)

(86)

Por otro lado, para el segundo polinomio de las ecuaciones (82) y (84) se obtienen los siguientes polos:

(87)

(88)

26

Como se puede observar, uno de los polos del sistema tiene su parte real positiva, razón por la

cual se concluye que el sistema es inestable. En caso de que se tenga en cuenta la resolución

numérica de Matlab ( ), el sistema se puede considerar marginalmente

estable puesto que el polo (86) es próximo a cero.

Seguido a esto, se comprueba que el sistema sea observable y controlable con el fin de tener la

certeza de que el comportamiento del sistema pueda ser controlado a través de sus entradas y que

así mismo el comportamiento interno de este sea detectable en sus salidas. Para ello se obtienen

tanto la matriz de controlabilidad (CON) como la de observabilidad (OBS):

[

]

(89)

[ ]

(90)

Al calcular el rango de las matrices de controlabilidad y observabilidad por medio de Matlab,

se puede observar que es igual al número de estados del sistema que en este caso es 4, por lo cual

se demuestra que el sistema es Completamente Observable y Completamente Controlable.

4.1.3. Identificación de restricciones del sistema

Los controladores convencionales no tienen en cuenta las restricciones del sistema en su

solución, por lo cual requieren el uso de saturadores para evitar daños en los actuadores y se pone

en riesgo la eficacia de la solución hallada por el controlador y no permite que este funcione de la

manera esperada. Es por esto que se deben considerar técnicas de control que permitan incluir las

restricciones que comprenden el funcionamiento del sistema del helicóptero. Tabla 3. Restricciones del sistema [4] [11].

Variable Rango

Ángulo pitch -40.5° a 40.5°

Voltaje motor pitch -24 V a 24 V

Voltaje motor yaw -15 V a 15 V

4.2. Estrategias convencionales de control y su relación con las restricciones del sistema

Con el fin de identificar las estrategias de control que permiten incluir apropiadamente las

restricciones, se analizó primero el comportamiento de las estrategias de control vistas en los

cursos de pregrado tales como PID, realimentación de estados y LQR.

27

4.2.1. Cálculo PID del sistema

Hallando las funciones de transferencia por medio de superposición, se obtiene:

(91)

(92)

A partir de estas, se tiene el siguiente diagrama de bloques:

Figura 6. Diagrama de bloques de funciones de transferencia

A continuación, se diseñará el PID el cual será conectado a este sistema una vez finalizado.

En primer lugar, se procede a hallar el polinomio característico a partir de los índices de

desempeño esperados de la siguiente manera:

Aplicando la ecuación (12) y asumiendo como sobrepico un valor de 10%, se procede a despejar

de dicha ecuación a :

√

(93)

(94)

Ahora, por medio de la ecuación (11), sustituyendo el valor de obtenido y asumiendo un

, se calcula el valor de :

(95)

28

(96)

Es práctica usual asociar la ubicación de los polos dominantes del sistema de control con las

características dinámicas de la respuesta de acuerdo al valor deseado, suponiendo que esta es

similar a la de un sistema de segundo orden subamortiguado con ganancia unitaria de la forma, se

tiene:

(97)

A partir del cual se obtiene el polinomio deseado:

(98)

En este caso los polos del polinomio deseado son:

(99)

(100)

Para el diseño de los PID, se decidió implementar un PID paralelo puesto que permite ajustar los

valores de sus coeficientes de manera independiente y con mayor facilidad:

(101)

Para el cálculo del PID correspondiente a las funciones de transferencia

y

, se sustituye

la función

, junto con C(s) en la ecuación

, para así de esta manera obtener

el respectivo polinomio característico en malla cerrada como se puede observar en el Anexo

9.3.1:

( )

(102)

A continuación, se debe igualar el polinomio característico en malla cerrada (102) con el

polinomio deseado (98) para poder cumplir con el desempeño esperado. Sin embargo, para

realizar dicha igualación ambos polinomios deben ser del mismo orden por lo que le hace falta un

polo al polinomio deseado. En este caso, se escoge (s+10) como polo remanente ya que debe ser

por lo menos 10 veces la parte real del polo dominante (99) para que no afecte la respuesta del

sistema. Una vez agregado este polo se obtiene el siguiente polinomio deseado:

(103)

(104)

Igualando los polinomios término a término obtenemos:

29

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

A continuación, se desarrolla el mismo procedimiento para calcular el PID correspondiente a las

funciones de transferencia

y

y se vuelve a sustituir la respectiva función

en la

ecuación

, para así de esta manera obtener el respectivo polinomio característico

como se puede observar en el Anexo 9.3.2:

( )

(111)

Luego, se realiza la igualación término a término entre el polinomio deseado (98) y el polinomio

característico (111):

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

Finalmente, incluyendo los dos PID en el sistema de la Figura 7, se obtiene:

30

Figura 7. Diagrama de bloques controlador PID en malla cerrada

4.2.2.1. Antiwindup

Con el fin de reducir los efectos de la saturación en el cálculo de la señal de control, se

implementa un filtro antiwindup de la siguiente manera:

Figura 8. Back calculation (Tracking antiwindup)

En este fenómeno, la salida del integrador (en el controlador PID) es mayor que el nivel de

saturación por lo cual se recurre a este tipo de solución, en donde inicialmente:

(

∫ )

(118)

A continuación, se sustituye:

(

∫ )

(119)

31

Por:

( )

(120)

Donde es la constante de tiempo de seguimiento.

Una solución de diseño cumple la condición:

(121)

Para lo cual se debe tener en cuenta que:

√

(122)

A partir de la ecuación (118) se obtiene el tiempo de seguimiento según la ecuación (122) para

los dos controladores.

Para el PID correspondiente a las funciones de transferencia

y

:

(123)

Para el PID correspondiente a las funciones de transferencia

y

:

(124)

Obteniendo el siguiente resultado en la señal de entrada al sistema para el motor de pitch, en este

caso el más crítico:

32

Sin embargo, se puede visualizar que el comportamiento del antiwindup en la señal de entrada es

bastante similar al de la inclusión del saturador antes del actuador.

4.2.2.2. RGA

En caso de que se requiera conocer el aporte de la ganancia del numerador de cada una de las

funciones de transferencia del sistema como criterio para elegir cual función de transferencia se

debe elegir para diseñar el PID respectivo, se debe recurrir al método de RGA.

Para exponer la forma de evaluar la RGA, se usan las ecuaciones (91) y (92), teniendo en cuenta

que para este caso las funciones de transferencia se representarán de forma genérica como .

A continuación, se inicia con el análisis clásico de la RGA el cual se realiza en estado

estacionario:

(125)

Por lo tanto, el sistema original puede reescribirse como:

(126)

(127)

Si evaluamos el elemento (1,1) de la RGA:

(128)

donde

denota la ganancia con todos los lazos abiertos mientras que

denota la misma

ganancia, pero con el lazo 2 cerrado. Entonces:

(129)

Para evaluar el término

se debe mantener a en su set- point deseado, entonces:

(130)

Sustituyendo en (127), se obtiene la siguiente acción de control:

33

(131)

Sustituyendo en (126) se obtiene:

(

)

(132)

Esta ecuación representa el efecto de sobre cuando el lazo 2 está cerrado:

)

(133)

Donde:

(134)

Por lo tanto, los elementos del RGA están dados por las siguientes expresiones:

(135)

(136)

(137)

(138)

entonces la matriz de RGA ( estará dada por:

[

]

(139)

Para el caso específico del sistema del helicóptero, tendrá el siguiente valor:

34

(140)

Sustituyendo en la expresión de la matriz RGA ( ):

*

+

(141)

Siguiendo una de las reglas de RGA, donde se deben aparear variables de entrada/salida que

tengan elementos positivos de la RGA tan cercanos a 1 como sea posible, en este caso el mejor

apareamiento está dado por:

(142)

(143)

Con lo cual se demuestra que se eligieron las funciones de transferencia correctas para diseñar los

respectivos PID.

4.2.2.3. Matrices de desacople

Con el fin de brindar mayor estabilidad y robustez ante las perturbaciones internas, así como

reducir las interacciones de cada variable de entrada con las variables de salida, se halla una

matriz de desacople de acuerdo a las funciones de transferencia del sistema.

Figura 9. Conexión matrices de desacople

La matriz de desacople está dada por la siguiente forma:

35

(144)

(145)

[

]

(146)

4.2.3. Cálculo de realimentación de estados del sistema

A continuación, se procede a diseñar un controlador por realimentación de estados teniendo en

cuenta los índices de desempeño especificados en los objetivos del trabajo de grado.

Al ser 4 estados los que conforman al sistema, se agregan dos polos remanentes al polinomio

característico deseado (98), quedando de la siguiente forma:

(147)

(148)

Luego, se obtienen los siguientes polos deseados en malla cerrada:

(149)

(150)

(151)

(152)

Según la sección (Ver sección 2.2.3.), el polinomio característico debe ser igualado a la siguiente

expresión:

( )

(153)

A través del comando „place()‟ de Matlab®, se halla el valor de tal que controle el sistema

cumpliendo los índices de desempeño especificados por medio de la ubicación de polos. Sin

embargo, para la dinámica en cuestión esta configuración no garantiza que el error en estado

36

estable sea nulo, por lo tanto, es necesaria la inclusión de un integrador y una ganancia para que

se obtenga el comportamiento deseado.

Finalmente se obtienen los siguientes valores de K1 y K2:

*

+ (154)

[

]

(155)

Con el fin de poder implementar el controlador por realimentación de estados, se propone el uso

de un observador de estados puesto que no todos los estados son físicamente medibles, en este

caso, los únicos que se pueden medir a través de los encoder son las salidas (ángulo pitch y yaw).

La función del observador consiste en estimar los estados del sistema a partir de la información

de las entradas y las salidas.

Se considera un sistema LTI:

(156)

(157)

La salida del observador debe estimar los estados de la planta y el error de las salidas deben ser

incluidas en su cálculo.

(158)

(159)

Donde L es una matriz que busca que se cumpla el objetivo de forzar la convergencia de los

estados del observador a los del sistema y es un vector que contiene la estimación de los 4

estados.

Teniendo entonces, el error de los estados:

(160)

37

(161)

El diseño del observador se reduce a encontrar una matriz L tal que la respuesta en el tiempo del

observador sea más rápida que la respuesta del sistema de la planta en malla cerrada con

realimentación de estados.

Con ayuda de Matlab® se ingresan las matrices aumentadas del sistema:

[ ]

(162)

[ ]

(163)

Y a través del comando „place()‟ se halla la matriz L que satisface lo anteriormente mencionado

con los siguientes polos:

[ ]

Así entonces se hallan las matrices del observador de orden completo:

[

]

(164)

[

]

(165)

[

]

(166)

38

[

]

(167)

[

]

(168)

Quedando el siguiente diagrama de bloques con la conexión respectiva para el observador de

estados:

Donde K es el vector de realimentación del controlador.

4.2.4. Cálculo LQR

En primer lugar, se procede a diseñar un control PID para regular los ángulos de elevación del

helicóptero para las posiciones deseadas. Las ganancias del PID son computadas por medio del

algoritmo lineal cuadrático regular. El sistema de estados es incrementado de manera que se

incluyan las integrales de los estados de pitch y yaw [4]:

[

∫ ∫ ]

(169)

Usando la ley de realimentación , se tienen las matrices de peso:

39

[ ]

(170)

*

+

(171)

Y las matrices de espacio de estados (A, B) calculadas previamente.

Sabiendo que la ganancia del control es:

*

+

(172)

Se procede a realizar la minimización de la función de costo por medio el comando de Matlab®

LQR el cual aplica la siguiente expresión:

∫

(173)

Finalmente se obtiene la ganancia del control en términos de las ganancias del PID mencionadas

anteriormente[4]:

[

]

(174)

4.2.5. Simulación de las técnicas convencionales de control

En esta sección se prueban en simulación los controladores analizados para identificar cuál de

ellos permite la inclusión de las restricciones. Para esto, en primer lugar, se simula el caso de la

planta ideal sin saturadores con el fin de comprobar que se cumplan los índices de desempeño

deseados y se analizan las señales de control provenientes de cada uno. Para las simulaciones se

toman señales de referencia de 20 grados para pitch y 100 grados para yaw.

Figura 10. Comparación controladores convencionales sin saturador en la planta lineal para pitch.

40

Figura 11. Comparación controladores convencionales sin saturador en la planta lineal para yaw.

En la Figura 10 y 11 se puede observar que se cumplen los criterios de desempeño para el sistema

sin saturación, respetando el tiempo de establecimiento menor a 10 segundos y un sobrepico

menor a 30%, obteniendo los siguientes resultados:

Tabla 4.Comparación PID, LQR y Realimentación de estados sin saturador en la planta lineal.

Controlador Tiempo de establecimiento (s) Sobrepico (%)

PID 1 0.3

LQR 6.7 17.7

Realimentación de estados 3.9 19

Por otro lado, se puede observar que la respuesta del LQR tiene un leve adelanto frente a los otros

controladores (Ver Figura 10) y un error en estado estable, esto se debe a que el controlador LQR

del fabricante Quanser fue diseñado para sistemas no lineales y para implementación, por lo

cual presenta una compensación del torque gravitacional que se presenta en la planta real la cual

fuerza que el ángulo de pitch venza la fuerza de gravedad [4] y cuyo valor es:

(175)

41

Figura 12. Respuesta ángulo pitch (LQR sin compensación)

Además, se obtienen las siguientes señales de control:

Figura 13. Señal de control PID para motor pitch sin saturador en la planta lineal

Figura 14. Señal de control Realimentación de estados para motor pitch sin saturador en la planta lineal

42

Figura 15. Señal de control LQR para motor pitch sin saturador en la planta lineal

De la Figura 13 se puede apreciar que la señal de control para el motor de pitch proveniente del

controlador PID sobrepasa la restricción de los 24 V permitidos con lo cual se dañaría

inmediatamente el actuador.

Figura 16. Señal de control PID para motor yaw sin saturador en la planta lineal

Figura 17. Señal de control Realimentación de estados para motor yaw sin saturador en la planta lineal

43

Figura 18. Señal de control LQR para motor yaw sin saturador en la planta lineal

Como se observa en las Figuras 16-18, en el caso del motor yaw todas las señales de control se

saturan (superan los 15 V permitidos). Por tal motivo para dichos controladores es necesaria la

aplicación de saturadores para proteger los motores.

A continuación, se incluyen saturadores (según las restricciones del sistema), se ponen a prueba

nuevamente los controladores y se analiza su efecto en los índices de desempeño del sistema.

Figura 19. Comparación controladores convencionales con saturador en la planta lineal para pitch.

Figura 20. Comparación controladores convencionales con saturador en la planta lineal para yaw.

En las Figuras 19 y 20, se observa que el comportamiento en el controlador PID se retrasa

levemente por acción de los saturadores, es decir, se aprecia una respuesta más parecida a lo que

44

sucedería en la vida real puesto que los motores no pueden dar el voltaje que se pedía

inicialmente. Aunque varían muy poco, los índices de desempeño también se ven afectados.

Tabla 5. Comparación PID, LQR y Realimentación de estados con saturador en la planta.


PID 1 4.6

LQR 6.84 18.4

Realimentación de estados 3.9 20.8

Una forma de ilustrar mejor el efecto de las restricciones sobre el desempeño de los controladores

es asumir restricciones más estrictas como por ejemplo un rango de -9 V a 9 V para cada motor.

En este caso el desempeño de los controladores se verá afectado drásticamente. Aunque en este

trabajo se asumen solo las restricciones mecánicas y eléctricas dadas por el fabricante, a

continuación, se presentan las simulaciones de los controladores anteriormente mencionados con

restricciones más estrechas.

Figura 21. Comparación controladores convencionales en pitch con restricciones más pequeñas

Figura 22. Comparación controladores convencionales en yaw con restricciones más pequeñas

Tabla 6. Comparación controladores convencionales con restricciones más pequeñas


PID 4.4 6

LQR 6.97 20


45

En la Figura 21 y 22, se observa como efectivamente las restricciones más estrechas dañan los

índices de desempeño del comportamiento del sistema

A continuación, se simula el bloque del sistema que contiene las ecuaciones diferenciales que

definen la no linealidad de la planta junto con los controladores y las mismas referencias tanto

para pitch como para yaw.

Figura 23. Comparación controladores convencionales en la planta no lineal para pitch.

Figura 24. Comparación controladores convencionales en la planta no lineal para yaw.

De la Figura 23 y 24 se obtienen los siguientes índices de desempeño para el modelo no lineal del

sistema:

Tabla 7. Comparación PID, LQR y Realimentación de estados con saturador en la planta no lineal


PID 24.23 5.5

LQR 6.41 20


A partir de esta comparación, se puede verificar en primer lugar que el comportamiento del

controlador PID es bastante lento teniendo en cuenta el modelo no lineal, es decir, se espera que

este resultado sea el más similar al aplicado a la planta real del helicóptero, sin embargo, también

se aprecia que los índices de desempeño fueron afectados negativamente y no se cumplen los

especificados con anterioridad. El controlador LQR y por realimentación de estados cumplen la

46

tarea de seguimiento de referencia tanto para el ángulo pitch como para yaw, sin embargo, el

comportamiento de los controladores con el modelo no lineal se ve afectado debido a que se le

aplica una referencia muy alejada al punto de operación que se establece para el caso de la planta

linealizada (0, para todos los estados) con lo cual se afecta el seguimiento de trayectoria.

Posterior a esto se analiza el resultado de las señales de control por parte de todos los

controladores aplicados al sistema no lineal:

- Para el voltaje del motor de pitch

Figura 25. Señal de control motor pitch para el sistema no lineal (PID)

Figura 26. Señal de control motor pitch para el sistema no lineal (Realimentación de estados)

Figura 27. Señal de control motor pitch para el sistema no lineal (LQR)

- Para el motor de yaw:

47

Figura 28. Señal de control motor yaw para el sistema no lineal (PID)

Figura 29. Señal de control motor yaw para el sistema no lineal (Realimentación de estados)

Figura 30. Señal de control motor yaw para el sistema no lineal (LQR)

En las anteriores figuras se puede observar el mismo comportamiento en cuanto a la saturación de

los voltajes. Por lo tanto, se verifica que las estrategias de control convencionales tales como

PID, LQR y Realimentación de estados no permiten la inclusión de las restricciones y su

desempeño se ve afectado por las saturaciones de la planta.

Para garantizar que se cumplan los requerimientos de desempeño en malla cerrada a pesar de las

saturaciones del sistema, debe considerarse una estrategia de control alternativa a las

anteriormente mencionadas. Como es el caso del Control Predictivo MPC, el cual es una buena

opción para incluir satisfactoriamente las restricciones del sistema sin que se vea afectado el

desempeño del controlador.

48

4.3. Control con restricciones: MPC

A continuación, se desarrolla un MPC para verificar el efecto de las restricciones del sistema en

la planta y observar si mediante su aplicación se cumplen los índices de desempeños deseados.

4.3.2. Discretización del sistema lineal

Sabiendo que la ecuación linealizada del sistema en forma matricial es la siguiente:

(176)

[

] [

] [

] [

] [

]

(177)

Se procede a realizar el respectivo cambio de variable presentado en el Anexo 9.2 de manera que

se pueda discretizar el sistema de una manera más adecuada y continuar con el diseño del

controlador MPC.

Finalmente, las ecuaciones discretizadas por medio de este método quedan de la siguiente

manera:

(178)

(179)

( ) (180)

( ) (181)

4.3.3. Cálculo MPC

Para calcular cada una de estas matrices correspondientes al diseño del MPC (Capítulo 2, sección

2.4), se usa el toolbox Matlab® para MPC para realizarlo de manera más eficaz, mediante la

introducción de las respectivas matrices que modelan a la planta.

Con el fin de garantizar el logro de los índices de desempeño requeridos, se realizan un conjunto

de simulaciones con el sistema lineal para obtener la mejor respuesta frente a ellos y así poder

determinar los parámetros exactos para el controlador MPC que se implementará.

Primero, se busca un tiempo de muestreo que se encuentre en el rango permitido tanto por la

tarjeta de adquisición como por la respuesta del helicóptero para no perder información de los

transientes, esto es:

(182)

49

Siendo el menor de los tiempos de establecimiento para yaw y para pitch (18 segundos)

y el tiempo de muestreo de la tarjeta de adquisición Q4 igual a 60 ns [4].

De igual manera, se fija un horizonte predicción de 10 y un horizonte de control de 1, esto

quiere decir que el controlador tendrá un intervalo de tiempo de sobre el que se predice

la evolución de las salidas. Además, para encontrar el mejor compromiso para el tiempo de

muestreo entre los rangos permitidos, se realizan una serie de simulaciones con el objeto de fijar

los parámetros del controlador. A continuación, se realizan varias pruebas para hallar el mejor

compromiso entre los tiempos de muestreo y las ganancias P y Q del MPC.

Para las simulaciones se toman señales de referencia de 20 grados para pitch y 100 grados para

yaw.

- 1 segundo:

Figura 31. Variación matriz de peso para las salidas para 1 segundo.

- 0.5 segundos:

Figura 32. Variación matriz de peso para las salidas para 0.5 segundos.

- 0.1 segundos:

50

Figura 33. Variación matriz de peso para las salidas para 0.1 segundos.

De las anteriores gráficas se puede observar que la respuesta se acerca más a la esperada con un

tiempo de muestreo cada vez menor y unas matrices de peso más grandes en conjunto, sin

embargo, a partir de [10 10] el resultado es muy similar. Entonces, para un tiempo de muestreo

de 0.1 segundos se logra los índices de desempeño deseados con las matrices de peso [10 10], [10

0] y [100 100].

A continuación, la relación entre estas últimas mencionadas:

Figura 34. Variación matriz de peso para las salidas

Tabla 8. Índices de desempeño MPC según variación matriz de peso "Q"

Matriz de peso Tiempo de establecimiento (s) Sobrepico

[10 10] 3.2 1.22

[10 0] 2.9 0

[100 100] 1.9 0

Finalmente se escoge:

(183)

(184)

(185)

[ ] [ ] (186)

51

La matriz de peso P es escogida como [0,0] debido a que no se tiene en cuenta el seguimiento de

la diferencia de las entradas. Además, vale la pena destacar que las matrices P y Q son

interpretadas por el toolbox de Matlab como diagonales.

4.3.4. Simulación del Control Predictivo MPC

Para garantizar que se cumpla el objetivo de implementación de un controlador que incluya

restricciones, se simula en Matlab® las respuestas del controlador MPC excluyendo los

saturadores con el sistema lineal para comprobar que estas respetan los límites permitidos por los

motores. Este controlador fue implementado en Simulink usando el Toolbox MPC de Matlab®.

A continuación, se presentan los resultados obtenidos.

4.3.4.1. Simulación con el sistema lineal

Figura 35. Comportamiento pitch sin saturador para planta lineal con MPC

Figura 36. Comportamiento yaw sin saturador para planta lineal con MPC

En las Figuras 35 y 36, se puede apreciar que tanto el ángulo de pitch como el de yaw, siguen de

manera adecuada la referencia de 20 grados y 100 grados respectivamente. Por otro lado, cada

una de las respuestas para los ángulos cumple con los índices de desempeño esperados como se

observa a continuación:

52

Tabla 9. Comportamiento índices de desempeño para sistema lineal con MPC


MPC 3.25 6.1

Figura 37. Señal de control pitch para sistema lineal con MPC

Figura 38. Señal de control yaw para sistema lineal con MPC

Con el fin de demostrar que para cualquier referencia de pitch y yaw, los voltajes entregados por

las señales de control nunca exceden los límites permitidos, se realizan las siguientes

simulaciones con diferentes referencias para ambos ángulos.

Figura 39. Comparación diferentes referencias para pitch (MPC con sistema lineal)

Las señales de control obtenidas para el motor pitch son:

53

Figura 40. Comparación señales de control motor pitch para diferentes referencias (MPC con sistema lineal)

De igual manera para el ángulo yaw:

Figura 41. Comparación diferentes referencias para yaw (MPC con sistema lineal)

Las señales de control obtenidas para el motor de yaw son:

Figura 42. Comparación señales de control motor yaw para diferentes referencias (MPC con sistema lineal)

4.3.4.1.1. Sistema no lineal

Dado que el controlador MPC es altamente dependiente del modelo del sistema, las no

linealidades y las incertidumbres del modelo afectan su desempeño, sin embargo, para sistemas

con no linealidades es posible usar un MPC para controlar el sistema cerca del punto de

54

operación1. A continuación, se presentan los resultados de la simulación del controlador MPC

desarrollado usando el modelo no lineal de la planta. Las simulaciones fueron realizadas en los

puntos de operación de la linealización.

Figura 43. Comportamiento pitch sin saturador para planta no lineal con MPC

En la Figura 43 se puede observar que el ángulo de pitch no sigue la referencia deseada de 20

grados ya que este se acerca a casi -90 grados y por lo tanto no se considera una solución al

problema.

Figura 44. Comportamiento yaw sin saturador para planta no lineal con MPC

En la Figura 44, el ángulo de yaw se encuentra mucho más cerca de la referencia que pitch, sin

embargo, esto afecta a todo el sistema ya que los ángulos se encuentran acoplados, por lo tanto, si

uno de ellos no logra seguir la trayectoria deseada el otro tampoco lo podrá hacer de forma

adecuada. Los comportamientos obtenidos confirman la alta no linealidad del sistema.

1 Ver www.mathworks.com/help/mpc/examples/control-of-a-multi-input-multi-output-nonlinear-plant.html

55

Figura 45. Señal de control pitch para planta no lineal con MPC

Figura 46. Señal de control yaw para planta no lineal con MPC

Las señales de control tanto para pitch como para yaw se encuentran dentro de los límites de las

restricciones de los voltajes, estos no se saturan en ningún momento de nuevo debido a la

inclusión de restricciones del controlador basado en modelos.

4.3.4.2. Simulación del MPC explícito

La estrategia tradicional de MPC demanda un gran esfuerzo computacional ya que el problema

de optimización es resuelto para cada tiempo de muestreo. Para resolver dicha dificultad existe el

MPC explícito el cual permite el funcionamiento del controlador conectado a la planta (online) de

manera efectiva sin necesidad de resolver la optimización para cada muestra sino más bien por

una serie de rangos establecidos previamente [10]. El MPC explícito se considera en esta sección

con el objeto de aproximar los desarrollos para su implementación en tiempo real en la

plataforma QUARC® para controlar el helicóptero. A continuación, se presentan los resultados

obtenidos para un MPC explicito obtenido a partir del MPC implícito lineal desarrollado en las

secciones anteriores y sintetizado usando el Toolbox Explicit MPC de Matlab®. Este toolbox

genera automáticamente las regiones poliédricas que aproximan la estrategia de control MPC

implícita teniendo en cuenta las restricciones del sistema, el tiempo de muestreo, los horizontes

de predicción y control y las referencias de seguimiento deseadas. Este toolbox también genera el

bloque EXPLICIT MPC en Simulink de forma automática.

56

Figura 47. Comportamiento pitch y yaw en planta lineal con MPC explícito

Como se puede observar en la Figura 47, tanto pitch como yaw siguen de forma efectiva sus

respectivas referencias por medio del controlador explícito.

Figura 48. Señal de control pitch en planta lineal con MPC explícito

Figura 49. Señal de control yaw en planta lineal con MPC explícito

En las señales de control para el sistema lineal con el controlador explícito, no se encuentra

ningún tipo de saturación por parte de los motores, sin embargo, presentan un voltaje muy bajo

para poder encender los motores con la potencia suficiente como para obtener el comportamiento

deseado del helicóptero.

A continuación, se pone a prueba el controlador MPC explicito también con el sistema no lineal.

57

Figura 50. Comportamiento pitch en planta no lineal con MPC explícito

Figura 51. Comportamiento yaw en planta no lineal con MPC explícito

En las Figuras 50 y 51, los ángulos de pitch y yaw se encuentran muy lejos de su respectiva

referencia, por lo tanto el funcionamiento del controlador no está arrojando el comportamiento

esperado.

Al implementar la simulación del MPC explícito con el modelo no lineal, no se logra seguir las

referencias y tampoco controlarlo alrededor de los puntos de operación. Este resultado es un

resultado esperado según lo obtenido en la Sección 4.3.3.1.1, sin embargo permite comprender la

naturaleza del MPC explícito como una aproximación del MPC implícito.

4.3.4.3. Simulación del Control Predictivo basado en modelos no lineales NMPC

Puesto que no fue posible obtener la simulación del sistema no lineal por medio de los métodos

anteriores debido a la alta no linealidad del sistema, fenómeno acentuado por su dinámica

acoplada, se introduce el Control predictivo basado en modelos no lineales NMPC (Non-linear

MPC). Este controlador utiliza programación dinámica para resolver en cada instante de tiempo

un problema de optimización que incluye las no linealidades del sistema. El NMPC no solo

incluye apropiadamente las restricciones del sistema en la solución de la ley de control, sino que

también permite controlar un sistema lineal en cualquier punto de operación de su dinámica

(siempre y cuando el problema de optimización sea feasible), de tal manera que al no depender de

58

un modelo linealizado y de un solo punto de operación, se garantiza el seguimiento de múltiples

trayectorias con un solo controlador.

En esta sección, se presenta el desarrollo de un controlador NMPC para el helicoptero 2DOF de

Quanser ®. Este controlador se implementa usando el toolbox NMPC disponible en [12]. Este

toolbox se basa en el función „fmincon()‟ de Matlab® para resolver un problema de optimización

con restricciones. Este ejecuta el NMPC en malla cerrada para un número de iteraciones del

NMPC seleccionadas por el usuario („mpciterations‟). Además, provee una implementación

sencilla del algoritmo NMPC.

El toolbox está compuesto en primer lugar por un código global, llamado GLOBAL.m, el cual

ejecuta las siguientes funciones: runningcost.m, linearconstraints.m,system.m y nmpc.m. Se debe

tener en cuenta que el toolbox tiene otras funciones adicionales que no se tuvieron en cuenta en el

diseño del controlador puesto que las mismas solo tienen el objetivo de imprimir y graficar

simultáneamente.

A continuación, se describe cada una de las funciones:

- GLOBAL.m: es el código principal de la interfaz con el usuario, donde puede seleccionar

los parámetros del controlador como el horizonte de predicción (N), el número de

iteraciones (‘mpciterations’) , el tiempo de muestreo (T) y las condiciones iniciales

(xmeasure para los estados, u0 para las entradas y tmeasure para el tiempo). El horizonte

de control es seleccionado por defecto por el fabricante como 1.

- runningcost.m: evalúa la función de costo cuadrático para cada instante, la cual en este

caso esta descrita por ( ) ( ), ya que únicamente se desea

seguir la referencia. Así mismo, se especifica dentro de la función cuales son las señales

de referencia así como el valor de la matriz de peso Q. Finalmente, retorna el valor del

costo.

- linearconstraints.m: establece las restricciones lineales del control óptimo discretizado,

esto es particularmente útil para establecer las limitaciones de las entradas y las salidas.

La función devuelve las matrices requeridas por el usuario ya sea para desigualdades

(A,b) e igualdades (Aeq,beq), así como el límite superior e inferior (lb,ub) de cada

restricción. Para este caso, las matrices (A, b, Aeq y beq) fueron declaradas como

matrices vacías mientras que lb y ub contienen las restricciones del sistema. Esto se debe

a que el toolbox utiliza la función fmincon la cual encuentra el mínimo de una función

especificado de la siguiente manera:

{

(187)

- system.m: evalúa la ecuación diferencial no lineal discretizada y retorna el vector de

estados en el instante de tiempo siguiente.

59

- nmpc.m: computa la solución en malla cerrada para el problema del NMPC definido por

las funciones por las funciones anteriomente mencionadas. Esta función resuelve el

problema de optimización por medio de la función ‘fmincon()’.

Por medio de experimentación se varían los valores de horizonte de predicción y de la matriz Q

hasta obtener el comportamiento deseado, llegando así a los siguientes parámetros:

(188)

(189)

[

]

(190)

Dado que este toolbox recibe las ecuaciones del sistema no lineal (1) y (2) discretizadas, a

continuación, se procede a realizar la discretización por medio de la aproximación Forward de

Euler (Ver Anexo 9.4), esta aproximación permite discretizar ecuaciones diferenciales son

lineales, gracias a su naturaleza explicita [9].

A continuación, se observan las ecuaciones discretizadas de la planta no lineal:

(

( )

( ) ( ) ( )

)

(191)

(

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

)

( 192)

Se introducen apropiadamente ambas ecuaciones en el Toolbox NMPC disponible en [12], se

simula y se obtiene el siguiente comportamiento para los ángulos de pitch y yaw:

60

Figura 52. Comportamiento de pitch (linea roja) y yaw (linea negra) del sistema no lineal con NMPC.

Como se puede observar en la Figura 52, el ángulo de pitch llega a los 20 grados elegidos como

referencia así como también el ángulo de yaw sigue la trayectoria efectivamente de los 100

grados. Además, las señales de entrada no se saturan y se satisface el desempeño deseado.

A continuación, podemos observar una comparación entre las respuestas de los controladores

convencionales con la respuesta obtenida del NMPC para el caso de pitch puesto que es el más

crítico:

Figura 53. Comparación respuesta controladores convencionales y NMPC

5. PROTOCOLO DE PRUEBAS

Finalmente, se implementa en tiempo real con la planta para probar cada uno de los controladores

diseñados y verificar que se cumplan las especificaciones de diseño y se respeten las limitaciones

del sistema.

5.2. Implementación

Para el montaje del experimento del helicóptero, se debe tener en cuenta que los decodificadores

están conectados directamente sobre la tarjeta de adquisición de datos, lo cual proporciona la

realimentación necesaria para poder realizar el control de posición del helicóptero. La tarjeta de

61

adquisición Q4 sale con un voltaje que se amplifica y acciona los dos motores. El motor frontal

debe estar conectado a la UPM-2405 y el motor trasero debe conectarse a la UPM-1503 [13]. La

conexión en tiempo real desde Simulink con la tarjeta de adquisición de datos se hace usando la

aplicación en tiempo real QUARC® desarrollada por Quanser para Simulink.

5.3. Seguimiento de trayectoria

Por medio de esta prueba, se pretende observar y analizar de qué manera cada uno de los

controladores permiten que tanto el ángulo de pitch como de yaw siguen distintas de referencias

de entrada.

5.3.2. PID

Probando el controlador con una referencia de 5 grados para pitch y 0 para yaw, cercanos al

punto de operación (0 grados).

Figura 54. Respuesta pitch tiempo real VS simulación sistema no lineal (PID)

Figura 55. Respuesta yaw tiempo real VS simulación sistema no lineal (PID)

Tabla 10. Índices de desempeño para pitch y yaw para el controlador PID en implementación

Tiempo de establecimiento (s) Sobrepico (%)

40 10

En la Figura 54 se observa el comportamiento similar de la simulación de pitch con la respuesta

en tiempo real, se comprueba que el controlador en implementación es bastante lento con un

62

tiempo de establecimiento de 40 segundos. En el caso de yaw (Figura 55), también se observa

una respuesta parecida en cuanto a que yaw intenta moverse un poco en dirección de las

manecillas del reloj pero vuelve a su referencia de 0 grados.

Figura 56. Señales de control para la planta real (PID)

De la Figura 56, se observa el intento inicial del controlador por seguir la referencia con lo cual

alcanza a saturar el voltaje, sin embargo, vuelve a disminuir y por su lentitud aumenta poco a

poco hasta mantener en un voltaje fijo para sostener la salida igual a la referencia. Así mismo,

para el motor de yaw el voltaje efectivamente disminuye y se vuelve negativo con el fin de

devolver el helicóptero en este eje y conservar la posición en los 0 grados.

Ahora para referencias mayores se tiene:

Figura 57. Seguimiento referencia 15 grados pitch en la planta real(PID)

Tabla 11. Índices de desempeño para pitch para el controlador PID en implementación


28 13.3

63

Figura 58. Seguimiento referencia 20 grados pitch en la planta real (PID)

En la Figura 58 se observa que el controlador funciona apropiadamente e incluso el tiempo de

establecimiento disminuyó a 28 segundos, sin embargo, a partir de 20 grados de referencia

(Figura 55) el sistema se vuelve inestable. Por este motivo no fue posible implementar el

helicóptero con referencias mayores a estas.

5.3.3. Realimentación de estados

En este caso, se implementó el helicóptero desde su estado de reposo (pitch con -40.5º y yaw con

0º) y como referencia 0 grados para ambos ángulos (punto de equilibrio).

Figura 59. Seguimiento referencia 0 grados pitch para planta real (Realimentación de estados)

64

Figura 60. Seguimiento referencia 0 grados yaw para planta real (Realimentación de estados)

Tabla 12. Índices de desempeño para pitch y yaw para Realimentación de estados en implementación


12 5

Referencia de 20 grados para pitch y 100 grados para yaw:

Figura 61. Seguimiento referencia 20 grados pitch para planta real (Realimentación de estados)

Figura 62. Seguimiento referencia 100 grados yaw para planta real (Realimentación de estados)

Tabla 13. Índices de desempeño para pitch (20 grados) y yaw (100 grados) para Realimentación de estados en implementación

65


23 80

5.3.4. LQR

Igualmente, se implementó el helicóptero desde su estado de reposo con una referencia de 0

grados inicialmente para ambos ángulos.

Figura 63. Seguimiento referencia 0 grados pitch para planta real (LQR)

Figura 64. Seguimiento referencia 0 grados yaw para planta real (LQR)

Tabla 14. Índices de desempeño para pitch y yaw 0 grados de referencia para LQR en implementación


11 15

66

Referencia de 20 grados para pitch y 100 grados para yaw:

Figura 65. Seguimiento referencia 20 grados pitch planta real (LQR)

Figura 66. Seguimiento referencia 100 grados yaw planta real (LQR)

Tabla 15. Índices de desempeño para pitch (20 grados) y yaw (100 grados) para LQR en implementación


7 80

5.4. Rechazo a perturbaciones

Con el fin de garantizar que el error en estado estacionario siempre sea cero, se realiza la prueba

de rechazo a perturbaciones la cual depende únicamente de variables exógenas a la planta en

tiempo real, por ello el lazo de control debe poseer un ancho de banda y ganancia suficientes

como para rechazar dichas señales, de forma tal que se alcance el nivel de error precisado.

5.4.2. PID

Aplicando una referencia de 5.5 grados para pitch y 0 grados para yaw y así mismo una

perturbación manual en el eje del ángulo pitch y de yaw, luego de su estabilización se obtiene:

67

Figura 67. Perturbaciones en el eje de pitch para PID

Figura 68. Perturbaciones en el eje de yaw para PID

5.4.3. Realimentación de estados

Se implementó el helicóptero desde su estado de reposo con una referencia de 0 grados para

ambos ángulos y perturbaciones en ambos ejes, luego de su estabilización, se obtienen las

siguientes respuestas:

Figura 69. Perturbaciones en el eje de pitch para realimentación de estados

68

Figura 70. Perturbaciones en el eje de yaw para realimentación de estados

5.4.4. LQR

Se implementó el helicóptero desde su estado de reposo con una referencia de 0 grados para

ambos ángulos y perturbaciones en ambos ejes, luego de su estabilización:

Figura 71. Perturbaciones en el eje de pitch para LQR

Figura 72. Perturbaciones en el eje de yaw para LQR

69

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Para los controladores convencionales PID, LQR y Realimentación de estados, la inclusión de las

restricciones afecta directamente los índices de desempeño y no permite lograr el

comportamiento realmente deseado puesto que las señales de control se ven restringidas y en

algunos casos, como por ejemplo con el controlador PID, estas son del orden de 1000. Mientras

más “estrechas” o “relajadas” sean dichas restricciones, el resultado se va a ver aún más afectado.

Los resultados obtenidos para el desempeño del controlador PID se vieron muy afectados pues el

PID posee una gran dependencia del punto de linealización del sistema.

Le desempeño del MPC implícito se vio afectado al aplicarlo a la planta no lineal debido a la alta

no linealidad del sistema.

El NMPC permitió incluir las restricciones del sistema no lineal y seguir diversas trayectorias, o

puntos de operación, pues no depende de la linealización.

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

- La implementación del MPC requiere una gran esfuerzo computacional puesto que

calcula una solución por cada una de la muestras dependiendo del horizonte de

predicción, lo que lo hace muy difícil de manipular, por lo cual se decidió elegir como

alternativa a este el desarrollo de un MPC explícito que suple esta problemática al realizar

la conexión online.

- El comportamiento de los controladores con el modelo no lineal se ve afectado debido a

que se le aplica una referencia muy alejada al punto de operación que se establece para el

caso de la planta linealizada con lo cual se afecta el seguimiento de trayectoria.

- Se reconoció el modelo del sistema no lineal y se calculó un sistema lineal a partir de este,

alrededor de un punto de operación que define el comportamiento aproximado del mismo.

- Se pudo determinar la inestabilidad del sistema y a su vez su controlabilidad y

observabilidad, con lo cual se comprueba que el sistema se puede controlar a través de sus

entradas, las cuales también tienen un fuerte acoplamiento hacia cada una de las salidas.

- La identificación de restricciones del sistema nos permite delimitar el proyecto, para ello

fue necesario el diseño de controladores convencionales vistos en pregrado y con los

cuales se observa que no se incluyen dichas restricciones en ninguno de sus parámetros.

Por tal razón es indispensable la inclusión de saturadores en cada controlador para no

afectar el rendimiento o la vida útil de los motores para cada salida.

- Debido a la no linealidad del sistema no se pudo obtener el comportamiento deseado de

los ángulos de pitch y de yaw por medio del método del MPC implícito obtenido a partir

del modelo lineal del sistema, por lo cual se recurrió a un NMPC.

- El controlador PID posee una gran dependencia del punto de linealización del sistema.

- El NMPC permite incluir las restricciones del sistema no lineal y seguir diversas

trayectorias, o puntos de operación, pues no depende de la linealización.

- En la implementación, para cada uno de los controladores, los índices de desempeños se

pueden ver afectados por factores externos como el deterioro de las partes físicas del

helicóptero, lo que causa diferencias en el modelado matemático

- Es de gran importancia tener un completo entendimiento matemático sobre el cálculo de

cada uno de los controladores puesto que por medio de este se ve reflejada la verdadera

concepción de la ingeniería.

70

8. BIBLIOGRAFÍA

[1] E. C. V. González, D. M. Rivera, and E. J. Gómez, “Model and Observer-Based Controller

Design for a Quanser Helicopter with Two DOF,” in Robotics and Automotive Mechanics

Conference (CERMA), 2012.

[2] C. Bordons and C. Montero, “Basic Principles of MPC for Power Converters: Bridging the

Gap Between Theory and Practice,” Vol. 9 of IEEE Industrial Electronics Magazine,

Sevilla, pp. 31–43, 2015.

[3] C. Ekaputri and A. Syaichu-Rohman, “Implementation model predictive control (MPC)

algorithm-3 for inverted pendulum,” in Control and System Graduate Research

Colloquium (ICSGRC), 2012.

[4] Quanser, “2-DOF Helicopter Reference Manual.” .

[5] “CONTROL PID, METODOLOGÍA Y APLICACIONES.” [Online]. Available:

https://control-pid.wikispaces.com/.

[6] O. Katsuhiko, Ingeniería de Control Moderna, 5th ed. Pearson Educación S.A., 2010.

[7] B. C. Kuo, Sistemas de Control Automático, 7th ed. Prentice Hall, 1996.

[8] G. Montañez, “Implementation of a Model Based Predictive Control Algorithm in a

Digital System,” Pontificia Universidad Javeriana, 2014.

[9] T. Manrique, H. Malaise, M. Fiacchini, T. Chambrion, and G. Millerioux, “Model

Predictive Real-Time Controller for a Low-Consumption Electric Vehicle,” 2nd

International Symposium on Enviroment-Friendly Energies and Applications, 2012.

[10] S. Hovland, J. Gravdahl, and K. Willcox, “Explicit Model Predictive Control for Large-

Scale Systems via Model Reduction,” Trondheim.

[11] O. Kaynak and A. Aras, “Trajectory Tracking of a 2-DOF Helicopter System, using

Neuro-Fuzzy System with Parameterized Conjuctors,” in ASME International Conference

on Advanced Intelligent Mechatronics, 2014.

[12] L. Grune and J. Pannek, Non Linear Model Predictive Control. Springer, 2011.

[13] “GUÍA DE CONEXIÓN Y CONFIGURACIÓN DEL HELICÓPTERO 2-DOF.”

Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá.

71

9. ANEXOS

9.2. Linealización de la planta

|

|

(193)

|

|

(194)

(195)

|

|

(196)

(197)

|

| (199)

(200)

|

|

(201)

9.3. Discretización del sistema lineal

(202)

(203)

|

( )

|

(198)

72

(204)

(205)

(206)

(207)

De esta manera, se obtienen las siguientes ecuaciones del sistema matricial:

(208)

(209)

(210)

(211)

Posteriormente, se aplica el método de discretización de Backward:

(212)

9.4. Cálculo controlador PID

9.4.2. PID para funciones de transferencia

y

Sustituyendo a C(s) y

en la siguiente ecuación:

(213)

Obtenemos:

(

) (

)

(

) (

)

(214)

Luego de realizar toda la operación obtenemos el siguiente denominador:

( )

(215)

73

9.4.3. PID para funciones de transferencia

y

:

Sustituyendo a C(s) y

en la siguiente ecuación:

(216)

Obtenemos:

(

) (

)

(

) (

)

(217)

Luego de realizar toda la operación obtenemos el siguiente denominador:

( )

(218)

9.5. Discretización sistema no lineal

A continuación, se asigna a cada una de las variables de estado una variable con la cual se

trabajará para calcular la discretización del sistema no lineal:

(219)

(220)

(221)

(222)

Posteriormente, se procede a hallar una representación de las variables y basadas en las

expresiones anteriores de manera que se faciliten los cálculos a realizar:

(223)

(224)

Para continuar con el proceso de discretización, se iniciará con la Ecuación (222) para lo cual se

sustituyendo dicha expresión en la aproximación de forward de la siguiente forma:

(225)

(226)

74

Por otra parte, se tiene que:

( )

( ) ( ) ( )

(227)

Sabiendo que:

(228)

(229)

Entonces se obtiene la siguiente expresión sustituyendo la Ecuación (226) en la (228):

(

( )

( ) ( ) ( ) )

(230)

Haciendo , se obtiene la primera ecuación discretizada del sistema no lineal:

(

( )

( ) ( ) ( )

)

(231)

Del mismo modo, para calcular la segunda ecuación se realiza el mismo procedimiento

obteniendo la siguiente expresión:

( )

( )

( ) ( )

( )

(232)

Entonces sabiendo que se tiene la siguiente expresión de la aproximación forward:

(233)

Se sustituye

en la Ecuación (233) obteniendo:

75

(

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) )

(234)

Haciendo , se obtiene la segunda ecuación discretizada:

(

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

)

(235)

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