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Implementación de un modelo de valoración para un derivado
climático. Un aporte a la gestión del riesgo climático en
Colombia.
Hernán Darío Hernández Morales
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas, Maestría en Administración.
Bogotá, Colombia
2015
Implementación de un modelo de valoración para un derivado
climático. Un aporte a la gestión del riesgo climático en
Colombia.
Hernán Darío Hernández Morales
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Administrador de Empresas
Director (a):
Prof. Miguel Victor Chirinos Grados
Línea de Investigación:
Valoración de Instrumentos Financieros Derivados
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas, Maestría en Administración.
Bogotá, Colombia
2015
A mis padres
Resumen
El objetivo de esta investigación es presentar un modelo de valoración de derivados
financieros climáticos que, desde su planteamiento teórico y su aplicación al contexto
colombiano, constituya un elemento que posteriormente, con su aplicación, permita la
mejora en la gestión de riesgo climático en el país y, en consecuencia, la atención a los
distintos sectores que se ven afectados por sucesos climáticos adversos.
En la primera parte se exponen los principales elementos que configuran la gestión de
riesgo climático y los principales desarrollos en el área, los cuales son determinantes en
Colombia dada la participación del país en los mercados internacionales y por la robustez
propia del sector financiero.
En la segunda parte se desarrolla el proceso de valoración de derivados climáticos
partiendo de la confrontación de diferentes enfoques. A continuación, se desarrolla el
modelo propuesto por Alaton, Djehiche, & Stillberger (2002) aplicado a las ciudades de
Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio.
Palabras clave: Derivados climáticos, modelo de valoración, Modelo Ornstein-Uhlenbeck,
simulación de Monte Carlo
Abstract
The objective of this research is to present a pricing model for weather derivatives to, from
its theoretical approach and its application to the Colombian context, set one element that
allows the improve the climate risk management in the country and, consequently, the
attention to the various sectors affected by adverse weather events.
In the first part the main elements of climate risk management are exposed also the major
developments in this area, which are crucial in Colombia given the country's participation
in international markets and the robustness of the financial sector itself.
In the second part, the valuation process of weather derivatives are developed based on
the confrontation of different approaches. Then the proposed model by Alaton, Djehiche, &
Stillberger (2002) is applied to the cities of Bogota, Medellin, Cali and Villavicencio
Keywords: Weather derivatives, valuation model, Ornstein-Uhlenbeck model, Monte Carlo
simulation.
Contenido
Pág.
Resumen ......................................................................................................................... IV
Lista de figuras ............................................................................................................ VIII
Lista de tablas ................................................................................................................. 1
Introducción .................................................................................................................... 2
1. El clima y su impacto en la economía .................................................................... 5 1.1 Riesgo climático .............................................................................................. 6
1.1.1 Perspectivas y relación con Colombia. ................................................. 7 1.2 Cobertura de riesgos ....................................................................................... 9
1.2.1 Cobertura con derivados vs cobertura con seguros. ............................. 9 1.2.2 Beneficios de usar derivados climáticos. ............................................. 11
1.3 Derivados climáticos ..................................................................................... 11 1.3.1 Particularidades de los derivados climáticos. ...................................... 12 1.3.2 Variables climáticas e índices ............................................................. 13 1.3.3 Componentes de los derivados climáticos .......................................... 13 1.3.4 Ejemplo de un derivado con índices de temperatura (HDD/CDD) ....... 16 1.3.5 Ejemplo de un derivado de precipitación............................................. 18 1.3.6 Otros índices ...................................................................................... 18
1.4 Pagos para los derivados climáticos .............................................................. 20 1.4.1 Pagos para swaps .............................................................................. 20 1.4.2 Pagos para opciones de compra o call ............................................... 21 1.4.3 Pagos para opciones de venta o put ................................................... 22 1.4.4 Pagos para opciones exóticas (Collars, Straddles y Strangles) .......... 23
2. Valoración de derivados climáticos ..................................................................... 26 2.1 Análisis histórico ............................................................................................ 31
2.1.1 Análisis histórico para swaps .............................................................. 32 2.1.2 Análisis histórico para opciones .......................................................... 34
2.2 Modelo de temperatura según un proceso continuo ...................................... 34 2.2.1 Modelo Ornstein-Uhlenbeck................................................................ 36
3. Análisis de datos ................................................................................................... 39 3.1 Parámetros estadísticos ................................................................................ 40
3.1.1 Distribución de probabilidad ................................................................ 42
4. Modelación estadística de la temperatura promedio diaria ................................ 48 4.1 La media estacional ....................................................................................... 50 4.2 La velocidad de regresión a la media ............................................................. 53
5. Pronóstico del clima .............................................................................................. 59
6. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 68 6.1 Conclusiones ................................................................................................. 68 6.2 Recomendaciones ......................................................................................... 69
A. Anexo: Nombrar el anexo A de acuerdo con su contenido ................................. 71
Bibliografía .................................................................................................................... 77
Lista de figuras
Pág.
Figura 1: Grados diarios de calor (HDD) y grados diarios de frio (CDD) Fuente: (Müller &
Grandi, 2000) .................................................................................................................. 15
Figura 2: Métodos para estimar y modelar los índices de temperatura y los procesos de la
temperatura para valoración de derivados climáticos (Fuente: Alexandridis & Zapranis,
2012). ............................................................................................................................. 30
Figura 3: Temperatura promedio de las cuatro ciudades: Bogotá, Medellín, Cali y
Villavicencio (Fuente: Cálculos propios). ......................................................................... 40
Figura 4: Distribuciones empíricas de la temperatura promedio diaria en las cuatro
ciudades: Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio (Fuente: Cálculos propios). .................. 42
Figura 5: Media de la temperatura promedio diaria de las cuatro ciudades estudiadas:
Bogotá, Medellín Cali, Villavicencio (Fuente: Cálculos propios). ..................................... 43
Figura 6: Desviación estándar de la temperatura diaria promedio de las cuatro ciudades:
Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio (Fuente: Elaboración propia) ................................ 45
Figura 7: Temperatura promedio diaria de las cuatro ciudades: Bogotá, Medellín, Cali y
Villavicencio, desde 2009 hasta 2012 (Fuente: Cálculos propios). .................................. 49
Figura 8: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Bogotá (Fuente: Cálculos
propios). .......................................................................................................................... 52
Figura 9: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Medellín (Fuente: Cálculos
propios). .......................................................................................................................... 53
Figura 10: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Cali (Fuente: Cálculos
propios). .......................................................................................................................... 53
Figura 11: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Villavicencio (Fuente:
Cálculos propios). ........................................................................................................... 54
Figura 12: Trayectoria del modelo de Ornstein-Uhlenbeck de la ciudad de Villavicencio
(Fuente: Cálculos propios). ............................................................................................. 63
Lista de tablas
Pág. Tabla 1: Tenedores de riesgo climático y riesgo financiero. Fuente: Climetrix, Risk
Management Solutions Inc. .............................................................................................. 7
Tabla 2: Sistema para opciones de temperatura. Fuente: (Müller & Grandi, 2000) ......... 17
Tabla 3: Estadística descriptiva de la temperatura diaria promedio para el periodo de
1988 - 2013 .................................................................................................................... 41
Tabla 4: Matriz de correlación de la temperatura de las cinco ciudades (Fuente: Cálculos
propios) .......................................................................................................................... 47
Tabla 5: Parámetros estimados usando el Modelo de Alaton et al. (2002) para las cinco
ciudades estudiadas. K es la velocidad de regresión sobre la media, A es el intercepto, B
es la pendiente de la tendencia lineal, C es la amplitud del componente estacional y 𝜑 es
el ángulo referente al día de la máxima temperatura. (Fuente: Cálculos propios.) .......... 51
Tabla 6: Estimaciones de 𝜎 para la ciudad de Villavicencio, obtenidas de la estimación
por el método de variación cuadrática (4.21) y la ecuación de regresión (4.22) (Fuente:
Cálculos propios). ........................................................................................................... 57
Tabla 7: Estimaciones de 𝜎 para la ciudad de Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio,
calculados como el promedio de (4.21) y (4.22) (Fuente: Cálculos propios). .................. 57
Tabla 8: Parámetro de velocidad de regresión a la media (𝑎) estimados de (4.24) para las
cinco ciudades estudiadas (Fuente: Cálculos propios) ................................................... 58
Tabla 9: Especificaciones de una opción call HDD para la ciudad de Villavicencio. ....... 67
2
Introducción
Dado el enorme impacto que tiene el clima en la economía, existe un sin número de
actividades, como lo es la actividad agrícola, pesquera, ganadera, la construcción y la
producción energética; que están sujetas al riesgo climático, entendido como el posible
impacto económico no planificado derivado de las variaciones inesperadas del clima. En
respuesta a la necesidad de gestionar este riesgo, se han desarrollado múltiples
herramientas, desde la negociación por adelantado de cualquier tipo de bienes sujetos a
un precio que los blinde de cualquier cambio por efecto del clima, pasando por el tipo de
aseguramiento tradicional donde se busca recibir un pago en caso de que haya alguna
afectación significativa, hasta el uso de derivados climáticos que generen cobertura sobre
una amplia gama de sucesos adversos naturales.
En el contexto colombiano se ha visto un incremento en la ocurrencia de sucesos
climáticos adversos, los cuales están motivados por el incremento global de la temperatura
y el aumento en su variabilidad. Estos sucesos tienen mayor incidencia en el país dado
que los sectores que se pueden ver afectados por el clima, son los que mayor participación
tienen en la economía del país. Ejemplo de ello es que según el reporte del Producto
Interno Bruto Trimestral por Ramas de Actividad Económica, del Departamento
Administrativo Nacional de Estadística (DANE), al cierre de 2014, el sector de agricultura
y ganadería tenía una participación en el Producto Interno Bruto (PIB) de 6.1%, el de
suministro de electricidad de 3.47%, el de construcción de 7.14% y el de turismo 12%, con
lo cual el 36.3% de la generación del PIB recaía en sectores que dependen de la estabilidad
del comportamiento del clima.
El propósito principal del presente trabajo de investigación es desarrollar un modelo de
valoración de derivados climáticos aplicado al contexto colombiano. Este tipo de derivados
son contratos financieros que pueden ser estructurados sobre el comportamiento del clima,
3
a través de un subyacente que representa una variable climática directamente, por ejemplo
la temperatura, la precipitación, la velocidad de los vientos, entre otros, o un índice que
mida la variabilidad de alguna de estas variables climáticas, como es el caso de los índices
de calor o frio diarios (HDD o CDD, respectivamente por sus siglas en inglés) los cuales
miden el promedio en el que la temperatura sobrepasa o decae de un límite determinado.
Dado que los derivados suscritos con base en la temperatura son los más comunes, en
esta investigación serán el foco de atención. Sin embargo, el propósito del presente trabajo
también es describir teóricamente el conjunto de variables e instrumentos que conforman
la gestión del riesgo climático a través de derivados del mismo tipo.
El proceso de valoración es determinante en la definición de un derivado puesto que es a
través de este que se identifican las variables de interés y se modela su comportamiento,
para que a partir de dicho modelo se definan los distintos escenarios futuros y sus
afectaciones económicas, finalmente se buscará descontar esos distintos en un valor
presente que permita establecer el valor económico actual del comportamiento esperado
de la variable.
La valoración de los derivados climáticos no sigue el enfoque tradicional de la valoración
de otro tipo de derivados y esto es porque no se puede aplicar directamente la
aproximación por el modelo de Black-Scholes-Merton (BSM) (Merton, 1973) ya que el
subyacente de los derivados climáticos, por ejemplo la temperatura, no puede ser transado
en el mercado (R. Dischel, 2002). A raíz de lo anterior, se han desarrollado distintos
enfoques para adelantar este proceso de valoración, dentro de esta investigación se
reconocen principalmente tres, el Análisis Histórico (HBA, por sus siglas en ingles), el
modelamiento a través índices y el modelamiento del comportamiento de la temperatura.
Dentro de estos tres enfoques se hace énfasis en el último y dentro de este se selecciona
el método planteado por Alaton et al., (2002) para aplicarlo a las cuatro ciudades ya
mencionadas. En el Capítulo 1 se definen los conceptos básicos de la gestión del riesgo,
su impacto en Colombia y se profundiza en la gestión con derivados climáticos. En el
Capítulo 2, se presenta el desarrollo de los distintos enfoques en valoración de derivados
climáticos y se determina y describe cuál es el más adecuado para la esta investigación.
En el Capítulo 3, se presentan y analizan los datos estadísticos. En el Capítulo 4, se
presenta y se aplica el modelo de la temperatura a los datos antes presentados. En el
Capítulo 5, se realizan simulaciones para pronosticar el comportamiento de la temperatura
4
según el modelo ya descrito. Finalmente, en el Capítulo 6, se presenta un ejemplo de lo
que sería un derivado climático y sus elementos.
1. El clima y su impacto en la economía
El clima se define por los valores estadísticos de determinadas variables que se observan
en los componentes de la atmosfera en un momento específico, entre estos componentes
están la temperatura, la humedad, la presión atmosférica y las corrientes de vientos, entre
otros. Los valores más recurrentes de estas variables o patrones meteorológicos, junto con
los eventos atípicos periódicos y ciertas condiciones geográficas conforman el clima de
una región.
De esta forma, cada región está caracterizada por la ocurrencia de cierto tipo de eventos
naturales, los cuales están determinados por características propias del ambiente y de su
ecosistema, y generan distinto nivel de afectación; yendo desde los eventos climatológicos
que ocurren con cierta frecuencia y que no causan afectación, pasando por ciertos eventos
periódicos adversos frente a los cuales no se han desarrollado mecanismos de adaptación,
hasta llegar finalmente a los eventos, que por su magnitud, son del todo inesperados y
causan grandes pérdidas.
De este conjunto de sucesos, los eventos climatológicos adversos serán todos aquellos
sucesos climatológicos de origen natural o derivado de la actividad humana que al ocurrir
producen cambios desfavorables reflejados en la economía de un individuo, de una
organización, de un sector productivo o de una población causando desde una emergencia
a un desastre natural. Este tipo de eventos, que tienen algún grado de incertidumbre y
generan afectación parcial o total, son el foco de la gestión de riesgo climático. Dentro del
conjunto de sucesos climáticos adversos destacan ciclones tropicales, sequias,
inundaciones, olas de frio o calor, vendavales y tornados.
6
1.1 Riesgo climático
De la incertidumbre generada en el desempeño de las variables climáticas y en relación
con su impacto en las actividades económicas que puedan estar relacionadas, surge el
concepto de riesgo climático, este riesgo se presenta ante la posibilidad de ocurrencia de
cualquier acontecimiento natural adverso inesperado, causado por alguna fluctuación del
clima y para la cual se requiere cubrimiento (Diebold, 2007).
Con lo dicho anteriormente, se puede pensar que el impacto del clima en actividades
económicas puede ir desde la provocación de pequeños cambios en el ingreso, como es
el caso de la disminución en las ventas de un restaurante cuando hay una llovizna; hasta
grandes pérdidas provocadas por la ocurrencia de una inundación. A pesar de que en este
espectro de sucesos se pueden encontrar diferentes eventos de distinta afectación, todos
requerirán cierto nivel de cobertura dado que todos tienen algún impacto económico.
Las afectaciones generadas por eventos climatológicos adversos se presentan
especialmente en ciertos sectores productivos, actividades económicas, empresas u
organizaciones estructuradas alrededor de la explotación del suelo; entre estos, se
destacan los sectores energético y de hidrocarburos, la agricultura y productores de
alimentos, la ganadería, el sector del transporte.
La tabla 1 ilustra algunos elementos del riesgo climático y el sector al que afectan; como
se deduce de su análisis, existe una estrecha relación entre el riesgo climático y el riesgo
financiero, dado el impacto, ya descrito, de las variaciones climáticas en algún sector
económico afín.
7
Sector económico Variable climática Riesgo
Industria energética Temperatura Bajas ventas durante inviernos calurosos o veranos frescos
Consumidores de energía eléctrica
Temperatura Mayores costos por calefacción o ventilación en inviernos fríos y veranos calientes, respectivamente.
Productores de bebidas Temperatura Bajas ventas durante veranos frescos.
Compañías de materiales de construcción
Temperatura, precipitación, nevadas, entre otras
Bajas ventas durante inviernos severos como consecuencia del cierre o retraso en construcciones.
Compañías de construcción
Temperatura, precipitación, nevadas, entre otras
Retrasos en los cronogramas durante periodos de clima adverso.
Sitios turísticos con nevados
Nevadas Bajos ingresos durante inviernos con nevadas por debajo del promedio.
Industria agrícola Temperatura, precipitación, nevadas, entre otras
Pérdidas significativas en las cosechas debido a temperaturas extremas (ej.: heladas) e inundaciones.
Gobiernos municipales y locales
Precipitaciones, nevadas Alza en costos derivados de atender inundaciones o por remoción de nieve
Plantas hidroeléctricas Precipitaciones Bajos ingresos durante periodos de sequía.
Tabla 1: Tenedores de riesgo climático y riesgo financiero. Fuente: Climetrix, Risk Management Solutions Inc.
De manera general, cualquier organización está expuesta al riesgo climático tanto en sus
outputs como en sus inputs, respecto a sus outputs porque algún efecto adverso del clima
puede impedir que los clientes consuman los bienes de la organización, impactando los
ingresos; mientras que el efecto en los inputs, estaría dado por el aumento de los costos
derivados de algún acontecimiento climático desfavorable que aumente el valor de los
insumos (Campbell & Diebold, 2005).
1.1.1 Perspectivas y relación con Colombia.
A nivel mundial, la posibilidad de ocurrencia de este tipo de eventos adversos es cada vez
mayor ya que se ha evidenciado el avance en el proceso de cambio climático; es decir, un
cambio de clima atribuido directa o indirectamente a la actividad humana que altera la
8
composición de la atmósfera mundial y que se suma a la variabilidad natural del clima
observada durante períodos de tiempo comparables (Diebold, 2007; Naciones, 1992).
Colombia tiene gran vulnerabilidad a los eventos que pueda desencadenar el cambio
climático ya que, según el Programa de las Naciones Unidas para el desarrollo de las
Organizaciones Unidas, gran parte de la población se encuentra en partes altas de
cordilleras, que sufrirían problemas de escasez hídrica e inestabilidad de suelos, o en
zonas que están en el nivel del mar, que experimentarían inundaciones por el aumento en
el nivel del mar (Cote et al., 2010).
Esta vulnerabilidad la confirma el informe del Proyecto de la Segunda Comunicación de
Colombia ante la Convención Marco de las Naciones Unidas sobre el Cambio Climático,
el cual menciona, sobre datos del Departamento Nacional de Planeación, que “los eventos
relacionados con el clima, como son los deslizamientos e inundaciones para los años 1970
a 2000, alcanzaron daños estimados en US$ 2.227 millones, los cuales representaron
alrededor del 2,66% del PIB del año 2000. Esto sin tener en cuenta, que en la última
década 2000 - 2010, el país ha superado los niveles históricos de inundaciones en los
principales ríos, y que algunas regiones del país han sufrido los periodos más secos de los
últimos 30 años.” (Barba et al., 2010)
El Estado colombiano no es ajeno a esta problemática, ejemplo de esto es la creación de
del Sistema Nacional para la Prevención y Atención de Desastres (SNPAD) mediante la
Ley 46 de 1988 ((DNP), 2001), en la actualidad el sistema cuenta con el Plan Nacional
para la Prevención y Atención de Desastres (PNPAD) que busca incorporar la gestión
integral del riesgo como eje transversal fundamental del desarrollo fundamentado en la
inversión y no en el gasto.
En dicho contexto, donde se privilegia la inversión, se encuentran los dos documentos más
importantes que reflejan el interés del gobierno por disminuir el impacto de los eventos
9
adversos naturales; estos son el Plan Nacional de Desarrollo1 y el Plan Estratégico del
Ministerio de Hacienda y Crédito Público2 , ambos documentos especifican que el proceso
para alcanzar dicha disminución es a través de la creación de diversos métodos financieros
para la mitigación de los impactos económicos frente a eventos naturales riesgosos de
forma amplia y eficiente (Echeverry et al., 2012).
1.2 Cobertura de riesgos
En el panorama internacional, los riesgos derivados de la ocurrencia de eventos climáticos
adversos usualmente son manejados por medio de seguros y reaseguros, de manera
general, estos instrumentos se enfocan en el cubrimiento de eventos de baja probabilidad
de ocurrencia, pero alto impacto, como es el caso de inundaciones, incendios y derrumbes
agrupados, generalmente, bajo un seguro contra todo riesgo. Sin embargo, existe una
amplia gama de acontecimientos que, sin ser extremos, provocan afectos adversos.
1.2.1 Cobertura con derivados vs cobertura con seguros.
Dado que, en principio, los instrumentos de aseguramiento tradicional y los derivados
climáticos sirven para cubrirse de riesgos derivados de eventos climatológicos adversos,
es pertinente profundizar en sus diferencias.
De manera general, las organizaciones buscan cobertura de sucesos catastróficos dado
que estos responden por la totalidad de las pérdidas ocurridas específicamente durante el
evento; sin embargo, para sucesos de menor afectación, puede llegar a resultar más
oportuno el uso de un derivado climático que reduzca significativamente la volatilidad de
sus ingresos por periodos prolongados.
1 “Prosperidad para Todos 2010-2014” Ley 1450 de 2011 Art. 220 2 “Estrategias para consolidar la Ejecución del Plan Nacional para la Prevención y Atención de Desastres, en el corto y mediano plazo” Documento CONPES 3146 de 2001
10
Una de las diferencias esenciales es que con los derivados climáticos no existe la
necesidad de demostrar pérdidas para demostrar que se han conseguido las condiciones
contractuales para recibir compensación, mientras que con lo seguros sí se requiere con
la consecuente necesidad de iniciar un proceso de investigación y verificación que en
cualquier caso requiere recursos adicionales por parte del asegurador. Además, en dicho
proceso de verificación se requiere la intermediación de algún evaluador lo que, en
cualquier caso, añade un componente de subjetividad al proceso.
Una diferencia adicional es que los contratos de aseguramiento tradicional están pensados
para cubrir eventos que no son frecuentes pero que sí generan alta pérdida, más que
eventos con alta probabilidad de ocurrencia que tengan algún grado menor de afectación,
para este tipo de eventos se ajustan mejor los derivados climáticos porque se activan con
eventos que, por definición, están atados ocurrencias de una sola variable, el subyacente.
Es decir, mientras que los eventos catastróficos están dados por múltiples eventos,
relacionados a múltiples variables, como lo puede ser una inundación que se produjo por
elevados niveles de precipitación, baja calidad en la infraestructura y un deficiente
seguimiento control de las autoridades; también pueden ocurrir eventos climatológicos
adversos que sólo dependan de una variable climática, como lo puede llegar a ser la
anegación de un cultivo por el aumento en dos milímetros de lluvia, en cuyo caso estaría
medida únicamente por la variable de precipitación. En el primero de los casos, un contrato
de aseguramiento es adecuado porque define límites de cobertura para todo el conjunto
de variables que puedan estar relacionadas con el evento y, en consecuencia, establece
una remuneración adecuada en caso de que el suceso ocurriera. En el segundo caso, en
el que la magnitud del suceso es mucho menor, pero se presenta algún tipo de afectación,
es más pertinente el uso de un derivado dado que se concentra específicamente en el
desempeño de una variable climática definida como subyacente.
Adicionalmente, los contratos de aseguramiento tradicional sólo ofrecen la posibilidad de
cubrir riesgos sobre eventos predefinidos y, en cierta medida, estandarizados, puesto que,
como ya se indicó anteriormente, la cobertura la hacen sobre variables predefinidas por la
empresa aseguradora, es decir, la parte oferente. En cambio, los derivados climáticos
ofrecen una amplia gama de posibilidades dado que, en principio, la definición de uno de
estos contratos requiere que dos partes, una ofertante y otra demandante, estén
11
dispuestas a transar basadas en expectativas que comparativamente resultan inversas,
ejemplo de esto es la definición de una opción swap del clima.
1.2.2 Beneficios de usar derivados climáticos.
Específicamente, para una compañía que quiere reducir el impacto de los eventos
climatológicos en su negocio, es decir reducir la volatilidad de sus utilidades frente a estos
eventos, el uso de los derivados climáticos les puede resultar benéfico dado que al
asegurar dicha reducción en la volatilidad de los ingresos le puede generar reducciones
en la tasa de interés en la que usualmente presta dinero. Además, si la empresa se cotiza
en bolsa, esta misma reducción de la volatilidad puede generar menores cambios en el
precio de la acción y esta misma estabilidad en el precio puede llegar a generar
incrementos en el valor de la empresa. Finalmente, la baja volatilidad de las utilidades
reduce el riesgo de bancarrota (Stephen Jewson & Brix, 2005).
1.3 Derivados climáticos
Un derivado climático es un contrato entre dos partes en el cual se estipula un pago y la
forma en que este va a ser intercambiado de acuerdo a ciertas condiciones meteorológicas
durante un periodo de tiempo determinado (L Zeng, 2000).
Son instrumentos financieros, usualmente estructurados como swaps, futuros y opciones
compra (call) y venta (put), cuyos pagos dependen del comportamiento de un fundamental,
en este caso una medida de alguna variable climática para la cual se establecen niveles
atípicos extremos que al presentarse causarían un efecto adverso sobre el cual se
desearía cubrir el comprador del instrumento (Alaton et al., 2002), en este sentido, los
derivados climáticos le permiten manejar el riesgo a cualquier organización que se ve
afectada por cambios imprevistos en el clima, de la misma forma que se realiza la cobertura
de riesgo en los mercados financieros tradicionales, como lo es la gestión del riesgo de
tasa de interés, acciones y tasa de cambio, entre otros.
Dado que el pago de los derivados climáticos depende de un índice del clima, y no de la
pérdida que acarree un suceso climático adverso, es improbable que dicho pago compense
la totalidad de las pérdidas. La posibilidad de que se presente este tipo de diferencias se
12
llama riesgo base. En general, este riesgo es menor cuando la pérdida financiera está
altamente correlacionada con el clima y cuando los contratos se estructuran de tal manera
que tengan un tamaño y estructura, y estén basados en la ubicación óptima para realizar
el cubrimiento (Stephen Jewson & Brix, 2005).
1.3.1 Particularidades de los derivados climáticos.
Existen ciertas características de los derivados financieros que los separan de los
derivados financieros comunes, entre ellas resalta el hecho de que el subyacente no es un
objeto que se trance en el mercado spot (Campbell & Diebold, 2005). Estos instrumentos,
al estar atados a índices que representan variables climáticas, no dependen del
comportamiento de algún otro bien comercializable como pueden ser las acciones o los
commodities; al contrario, dependen de las observaciones del clima desde, por ejemplo,
estaciones meteorológicas especializadas.
Adicionalmente, este tipo de derivados provee cubrimiento frente a variaciones en
cantidades o volúmenes y no en precio (Campbell & Diebold, 2005), dado que la protección
que brindan los instrumentos está relacionada con cambios en el clima que en última
instancia terminan afectando la producción de determinado bien, es decir, este tipo de
derivados protege sobre cambios en la demanda de bienes derivados de cambios en el
clima. El uso de derivados climáticos complementa el uso de herramientas de gestión de
riesgo financiero, o aquella posibilidad de que se afecte la generación de cualquier flujo de
caja asociado, a través de futuros u otras opciones, los cuales sí se encargan de asegurar
un precio de compra/venta de antemano (Müller & Grandi, 2000).
Finalmente, otra característica que distingue a los derivados climáticos de los derivados
financieros en general es que su liquidez está limitada dado que el clima es un derivado
no estandarizado (Campbell & Diebold, 2005); esto a razón de que el subyacente está
definido por las variables meteorológicas específicas de cierta zona, por lo que no se
pueden estructurar un número ilimitado de contratos de una única manera, como sí se
puede hacer con el petróleo, a continuación se ejemplifican.
13
1.3.2 Variables climáticas e índices
Como se ha podido ver hasta el momento, el clima tiene distintos efectos sobre la actividad
económica. Con el fin de generar cobertura sobre los diferentes tipos de riesgo
mencionados, los derivados climáticos se fundamentan en una variedad de variables
climáticas. La variable que se usa más comúnmente es la temperatura ya sea su valor
medio, el máximo o el mínimo.
Adicional a la temperatura, el viento y la precipitación también son usadas como variables
climáticas subyacentes. Por ejemplo, el viento puede ser usado en el sector productor de
energía eólica, en caso de que se requiera protección contra bajos niveles de viento,
también podría usarse en el sector constructor, en el que las altas corrientes de vientos
afecten la producción; en este último punto, los derivados pueden llegar a reemplazar los
contratos de aseguramiento tradicionales, ya que se puede estructurar un derivado que
cubra sobre daños de vientos extremos (huracanes). La precipitación puede ser usada
para definir contratos derivados en el sector agrícola y en el sector hidroeléctrico.
El cubrimiento para cualquier otra variable climática, como es el caso de la caída de nieve,
las horas de sol, la temperatura del mar, entre otras, también es posible; sin embargo, se
requiere una fuente confiable y una medida precisa para que la estructura del derivado
pueda ser creada (Stephen Jewson & Brix, 2005).
1.3.3 Componentes de los derivados climáticos
Respecto a los componentes de los derivados, el subyacente de este tipo de contratos
puede estar definido por un indicador de días de calor o frio, temperatura mínima, media o
máxima, nivel de precipitaciones, humedad, entre otros. Esta flexibilidad que aporta el
poder definir un índice sobre cualquier variable climática permite desarrollar estructuras de
cobertura de riesgo climático sobre un sin número de eventos que estén relacionados con
el clima.
La mayoría de estos contratos están definidos sobre el subyacente del clima, más
específicamente, sobre un índice de niveles diarios de calor o frio (HDD o CDD por sus
siglas en ingles), en Estados Unidos y Europa estos indicadores están estandarizados
como una medida sobre la base de los 65° Fahrenheit o 18° Celsius ya que hay un
14
consenso sobre que ésta temperatura genera confort en las personas, de tal manera que,
si la temperatura ambiente está por encima o por debajo de este nivel, las personas
tenderán a ajustar la temperatura del termostato de sus casas para reajustar la
temperatura; por este motivo, los índices HDD y CDD también son usados como un
indicador del consumo de energía, ya que a mayor uso del termostato, mayor será el
consumo de energía.
Este índice de grados diarios es calculado como la diferencia absoluta entre la temperatura
de referencia (65°F o 18°C) y la temperatura media (y) de cada día. Posteriormente, los
grados diarios determinados de esta manera se suman sobre el periodo que se establece
el contrato (ver ilustración 1). Conforme a lo anterior, el HDD y el CDD son calculados
como max[65𝐹 − 𝑦, 0] y el max[𝑦 − 65𝐹, 0], respectivamente, donde 𝑦 es la temperatura
media diaria definida como la media aritmética de las temperaturas diarias máximas y
mínimas, según sea el caso (Melanie Cao & Wei, 2004).
Conforme a lo anterior, el valor de cada HDD es el número de grados en el que la
temperatura promedio está por debajo de la temperatura base, mientras que un CDD es el
número de grados en el que la temperatura promedio está sobre la temperatura base. Se
deduce que los HDD y los CDD nunca son negativos; además cuando la temperatura
promedio diaria es menor que los 18°C el índice HDD acumulará durante ese periodo
según la diferencia, mientras que si la temperatura media diaria es mayor que 18°C será
el CDD el que acumule.
15
Figura 1: Grados diarios de calor (HDD) y grados diarios de frio (CDD) Fuente: (Müller & Grandi, 2000)
Según (Melanie Cao & Wei, 2004) y (Richards, Manfredo, & Sanders, 2004), existen cinco
elementos básicos para un derivado climático, el primero, es la variable subyacente, que
como ya se explico es una variable climática representada por un índice de medición,
siendo lo más común la variable de temperatura diaria con su correspondiente índice de
niveles diarios de calor o frio. El segundo componente, es el periodo de medición sobre el
que se va a medir el índice, siendo normalmente un mes. El tercer componente, es la
estación meteorológica que brindar los datos de la variable climática, en el caso más
común, como ya se dijo, de la temperatura diaria. El cuarto componente será el tamaño
del tick, es decir, el monto asociado al movimiento de índice. Finalmente, el quinto
componente es el valor de referencia o strike del subyacente.
De forma similar, Jewson & Brix (2005) describen seis componentes básicos de un
derivado climático, adicional al tiempo de medición, la estación de medición del clima y la
variable climática del subyacente, añaden la función de pago, la cual describirá los flujos
de caja que se presentarán al final del periodo de cobertura a partir del comportamiento
del índice, y la prima donde, en algunos contratos, el demandante le deberá pagar al
ofertante del título. Finalmente, los autores mencionan que estos atributos pueden llegar a
ser reemplazados por un agente responsable de calcular el valor final de los distintos
índices o de estaciones alternas para prevenir el fallo de las que toman las mediciones,
esto con el fin de controlar el riesgo operativo asociado a la medición del índice climático
Definición de los grados diarios (HDD/CDD)
Tiempo (t) Temperatura en °F
65
Temperatura en °F
Tiempo (t)
Temperatura de referencia
CDD en verano
CDD en verano
16
y sus posibles efectos. Sin embargo, no es propósito de esta investigación profundizar en
los aspectos institucionales o legales de los derivados climáticos.
De forma genérica, un derivado climático puede formularse siguiendo los siguientes siete
parámetros (Lixin Zeng, 2000):
1. Definición del tipo de opción: Se deberá determinar si lo que se quiere es un swap,
en el que se intercambien flujos dados de forma fija a variable o viceversa, o una
opción call o put, en la que se establezcan niveles de strike para sobre los cuales
se produzca determinado pago.
2. Determinar el periodo del contrato, que deberá coincidir con el periodo en el que
se podrían presentar el evento climático adverso sobre el cual se quiere cubrir.
3. Determinar la estación climática de la cual se van a obtener los datos históricos de
la variable climática de interés, estos datos determinaran el valor del índice.
4. Definir el índice subyacente, el cual va a estar atado a la variable climática
seleccionada anteriormente.
5. Determinar el punto de strike si llega a ser una opción call/put o el índice de
ejecución si es un swap.
6. Fijar el valor del tick para un esquema de pago lineal o un pago fijo si el esquema
es binario.
7. Finalmente, y para el caso de una opción, se debe determinar la prima.
1.3.4 Ejemplo de un derivado con índices de temperatura (HDD/CDD)
Para ejemplificar el funcionamiento de un derivado climático básico con los cinco
elementos básicos expuestos inicialmente, supongamos que existen dos compañías, XYZ
está interesada en comprar un derivado climático, mientras que la compañía ABC, está
interesada en vender uno de estos títulos, de tal forma que ambas acuden al mercado over
the counter (OTC) para transar el título que, para este ejemplo, será una opción swap dado
que la empresa XYZ se ve afectada por los continuos cambios en la temperatura por lo
que decide pagar una tasa fija que en promedio se ajusta a sus necesidades, siendo esta
de 1.000 por el índice HDD (o grados de calor) sobre la temperatura media medida en
grados Fahrenheit, de la ciudad de Bogotá, por ejemplo; mientras que la compañía ABC
pronostica que va a haber algún comportamiento variable en la temperatura media de esta
misma ciudad que le pueda beneficiar por lo que decide pagar una tasa variable marcada
por el comportamiento del índice HDD. Adicionalmente, pactan que el valor del tick va a
ser de $5.000 y que el periodo de cobertura será enero.
17
Suponiendo que un día típico de enero llegara a registrar una temperatura media de 55°
se tendría que para ese día el HDD sería igual a max[65𝐹 − 55𝐹, 0]cuyo resultado sería
de 10 para ese día. De esta manera, para un mes con 30 días similares, se podría esperar
un valor acumulado del índice HDD fuera de 300 HDD por lo que el pago o prima para la
compañía XYZ al término es $5.000 x (300 – 1.000) = -$3’500.000.
De manera similar, una empresa podría estar interesada en una opción call que pague si
el índice esta sobre un valor strike predeterminado. Para este caso, suponiendo que
hubiera de nuevo dos compañías, la primera XYZ enfrenta pérdidas si la temperatura
desciende por debajo de un determinado límite, mientras que la compañía ABC tiene
ganancias cuando las temperaturas son demasiado bajas; de esta manera suscriben un
contrato de opción call, sobre la temperatura media medida en grados Fahrenheit para la
ciudad de Medellín, por ejemplo. De igual forma pactan que el valor del tick va a ser de
$5.000 por CDD (o índice de grados de frio) y que el valor de strike será 190 CDD.
En resumen, según el comportamiento del índice, la estructura de opciones sobre
temperatura es la siguiente:
Tipo de opción
Protección contra…
Se ejerce cuando Pago
HDD call …inviernos fríos HDD > valor de strike
Tick × (HDD – valor de strike)
HDD put …inviernos calurosos
HDD < valor de strike
Tick × (valor de strike – HDD)
CDD call …veranos calurosos
CDD > valor de strike
Tick × (CDD – valor de strike)
CDD put …veranos fríos CDD < valor de strike
Tick × (valor de strike – CDD)
Tabla 2: Sistema para opciones de temperatura. Fuente: (Müller & Grandi, 2000)
De manera tal que, si la función de pago de la opción es 𝑡𝑖𝑐𝑘 × max[0, 𝐶𝐷𝐷 − 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒] y
asumiendo que el comportamiento de la temperatura media en el mes hubiera alcanzado
un valor del índice CDD de 196, la opción se ejercería y se realizaría un pago de (196-190)
x $5.000 = $30.000.
De igual forma, un demandante podría buscar un strip de un contrato de CDD o HDD que
esté definido sobre periodos más extensos que los antes descritos, como toda una
18
temporada de invierno o verano, de esta forma podría cubrirse por periodos largos de
tiempo a partir de contratos de más corto periodo los cuales, llegado el momento, pueden
ser abiertos más fácilmente que un contrato de largo término, esta es la principal ventaja.
1.3.5 Ejemplo de un derivado de precipitación
Sin embargo, como ya se dijo, un derivado climático puede estar definido sobre otras
variables, aparte de la temperatura, como subyacente; en este sentido es conveniente
ejemplificar el funcionamiento de este tipo de contratos con una variable alterna a las ya
desarrolladas, tal es el caso de la precipitación.
Suponiendo que determinada empresa agrícola que se ve enfrentada a gastos
significativos en épocas de invierto excesivo, quisiera definir una opción de compra o call,
que le permitiera cubrir gastos cuando el invierno superara las contingencias con que
normalmente cuentan. Dado que es una opción call, el vendedor recibe una prima por parte
del comprador (la empresa agrícola) a cambio de que esta última reciba un pago si la
variable climática llega a estar por encima de algún valor predeterminado de strike al final
del contrato.
Asumiendo que la variable de interés fuera la precipitación, denotada por L, la cual medirá
la cantidad de lluvia sobre el tiempo de cobertura del contrato y definiendo además el valor
del strike, denotado por S, que sería el valor del gasto que excede lo previsto por la
empresa, junto con el valor del tick, o el valor del gasto adicional que generaría el nivel de
precipitaciones una vez ha cruzado el umbral previsto, denotado por k; de manera
genérica, se tendría que el valor del pago P del vendedor a la empresa agrícola si se
excede el umbral pactado al comienzo estaría dado por 𝑃 = 𝑘(𝐿 − 𝑆).
1.3.6 Otros índices
Junto con los índices diarios de temperatura también existen otros índices que, según el
contexto, serán más pertinentes a la hora de estructurar un derivado; tal es el caso de los
índices promedio de temperatura media, estos están definidos como la media de los
valores diarios de la temperatura promedio durante el periodo del contrato (Stephen
Jewson & Brix, 2005), asumiendo que la media de la temperatura promedio está dado por
�̅� se tiene,
19
�̅� =1
𝑁𝑑∑𝑇𝑖
𝑁𝑑
𝑖=1
De igual forma, existen los índices de temperatura media acumulada (CAT, por sus siglas
en ingles) el cual está definido como la suma de los promedios diarios de temperatura
sobre el periodo del contrato,
𝑥 =∑𝑇𝑖
𝑁𝑑
𝑖=1
Otro tipo de índices son los índices de eventos, los cuales están definidos como el número
de días en los que ocurre un determinado evento meteorológico dado el periodo del
contrato. Para este tipo de índices se puede definir como un evento, el momento en el que
la temperatura pase cierto umbral, con lo que el índice mostraría el número de días durante
el periodo del contrato, en el que la temperatura efectivamente sobrepaso ese límite.
Según Jewson & Brix (2005), existen dos maneras de clasificar los índices; la primera, si
los índices son separables aditivamente o no, esto aplica para los índices que están
compuestos por la suma de varios índices diarios; la segunda forma de clasificación se
presenta según los índices sean lineales o no, es decir, que el valor diario del índice sea
una función lineal de la variable climática diaria.
Para ejemplificar, los índices diarios son separables aditivamente pero no son lineales ya
que si la temperatura no llega a sobrepasar la línea base se presenta que, para el caso de
los HDDs
𝑥 =∑max(𝑇0 − 𝑇𝑖, 0)
𝑁𝑑
𝑖=1
f. (1-1)
=∑(𝑇0 − 𝑇𝑖)
𝑁𝑑
𝑖=1
= 𝑁𝑑𝑇0 −𝑁𝑑�̅� f. (1-2)
O, de manera equivalente, para los CDDs se presenta que siempre que la temperatura
esté por encima de los 18°C/65°F,
20
𝑥 = 𝑁𝑑�̅� − 𝑁𝑑𝑇0 f. (1-3)
Sin embargo, cuando los valores de la temperatura están por encima de los 18°C/65°F
para el caso de un HDD o por debajo para el caso de un CDD esa igualdad no se cumple.
Dentro de la misma clasificación, los índices CAT son separables aditivamente y lineales.
De manera similar, los índices de eventos son separables aditivamente pero no son
lineales.
Esta clasificación es importante dado que, si un índice es separable aditivamente, entonces
el valor esperado del índice es la suma de los valores esperados de los índices diarios, y
si son lineales, el valor esperado de un índice diario es una función lineal de los valores
esperados diarios de la variable climática. De tal forma que estos conceptos dentro del
análisis de los valores esperados de los índices.
1.4 Pagos para los derivados climáticos
Con miras a estructurar el contrato financiero, se usa el valor del índice de la variable
climática antes descrito como input de una función de pago. Dicha función describirá a qué
parte se le debe pagar y qué monto. Siguiendo los propuesto por Jewson & Brix (2005) se
desarrollarán las estructuras de pago para cada tipo de contrato que conforma el conjunto
de derivados climáticos. El análisis se hará desde el punto de vista del demandante del
contrato, el cual mantendrá una posición larga o de compra, la posición corta del oferente
del contrato estará dada exactamente por la estructura opuesta de la función de pagos que
se describirá.
1.4.1 Pagos para swaps
El pago (𝑝)para un contrato de tipo swap está dado por,
𝑝(𝑥) = {
−𝐿$si𝑥 < 𝐿1𝑇(𝑥 − 𝑆)si𝐿1 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿2
𝐿$si𝑥 > 𝐿2
f. (1-4)
21
Donde x es el índice, T es el valor del tick, S es el strike, 𝐿$ es el límite expresado en
términos de moneda y 𝐿1 y 𝐿2 son los límites expresados en unidades del índice. Dada la
relación 𝐿$ = 𝑇(𝑆 − 𝐿1) y 𝐿$ = 𝑇(𝐿2 − 𝑆), la función de pago se puede expresar como,
𝑝(𝑥) = max(−𝐿$,𝑚𝑖𝑛(𝑇(𝑥 − 𝑆), 𝐿$)) f. (1-5)
O como
𝑝(𝑥) = min(𝐿$,max(𝑇(𝑥 − 𝑆),−𝐿$)) f. (1-6)
De esta manera se definen los límites inferiores y superiores, en términos monetarios, para
un swap. Sin embargo, también es posible estructurar swaps sin límites financieros, de
forma tal que la función de pago es una función lineal del índice, dada por
𝑝(𝑥) = 𝑇(𝑥 − 𝑆) f. (1-7)
Los swaps no tienen prima, por lo que la ganancia o pérdida está dada por el pago. En
este tipo de contratos las contrapartes acuerdan el pago a la otra parte de acuerdo con el
clima en algún momento determinado del tiempo, de forma tal que una posición larga en
un swap estará asegurando contra altos valores del índice climático, de tal manera que el
comprador tendrá que pagar al vendedor por los bajos valores del índice que se llegaran
a presentar. Conforme a lo anterior, el demandante y el oferente de un contrato swap
estarían intercambiando riesgos.
Dado que un swap no tiene prima de pago, el valor de strike debe de establecerse en un
punto donde el pago esperado sea cercano a cero (Stephen Jewson & Brix, 2005), en
consecuencia, la valoración de un swap, antes de que sea negociado, consiste en
determinar el valor de strike y, después de que sea negociado, consistiría en calcular la
distribución de posibles egresos financieros.
El tamaño óptimo de la cobertura, definido como el nivel que minimiza la varianza del riesgo
básico, está dado por el coeficiente de regresión obtenido de la regresión de las ganancias
en el índice climático.
1.4.2 Pagos para opciones de compra o call
El pago (𝑝) de una posición larga en una opción de compra o call está dado por
22
𝑝(𝑥) = {
0si𝑥 < 𝑆𝑇(𝑥 − 𝑆)si𝑆 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝐿$si𝑥 > 𝐿 f. (1-8)
Donde 𝐿$ y L están relacionados por 𝐿$ = 𝑇(𝐿 − 𝑆)
De tal forma que la función de pago estará dada como
𝑝(𝑥) = min(𝐿$,max(𝑇(𝑥 − 𝑆), 0)) f. (1-9)
O como
𝑝(𝑥) = max(0,min(𝑇(𝑥 − 𝑆), 𝐿$)) f. (1-10)
Desde el punto de vista del demandante, se está protegiendo de altos valores del índice.
Al inicio del contrato el demandante paga al oferente una prima, mientras que al final del
contrato el oferente paga al demandante un monto dependiente del valor del índice.
Siempre que se presenten valores del índice bajos, no habrá pago; sin embargo, si el
comprador está protegiéndose, este resultado no lo afectará, dado que si está buscando
protección los bajos niveles del índice serán beneficiosos para su negocio. Para valores
del índice por encima del valor de strike, el oferente paga al demandante un monto que es
proporcional al exceso del strike y que se ve afectado por el valor del tick, como constante.
El valor del strike es definido entre cero y una desviación estándar sobre el valor estimado
del índice y el valor límite cerca de dos desviaciones estándar o como el valor histórico
más alto que haya presentado el índice. El beneficio total para el demandante de la opción
será igual al pago menos la prima.
La valoración de una opción call consiste en determinar el valor de la prima, una vez la
opción ha sido tranzada, la valoración consistirá en calcular la distribución de los posibles
egresos financieros futuros y de aspectos específicos de la distribución.
1.4.3 Pagos para opciones de venta o put
El pago (𝑝) de un contrato put está dado por
23
𝑝(𝑥) = {𝐿$si𝑥 < 𝐿
𝑇(𝑆 − 𝑥)si𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 𝑆0si𝑥 > 𝑆
f. (1-11)
Donde 𝐿$ y L está relacionado por 𝐿$ = 𝑇(𝑆 − 𝐿)
Conforme a lo expresado anteriormente, la función de pago estaría dada por
𝑝(𝑥) = min(𝐿$,𝑚𝑎𝑥(𝑇(𝑆 − 𝑥), 0)) f. (1-12)
O como
𝑝(𝑥) = max(0,𝑚𝑖𝑛(𝑇(𝑆 − 𝑥), 𝐿$)) f. (1-13)
Para el demandante, se estaría asegurando contra valores bajos del índice. En el inicio del
contrato el demandante paga una prima al oferente, mientras que al final del contrato este
último es quien paga al demandante un pago dependiente del valor del índice, de qué tanto
haya bajado respecto del índice y del valor del tick. De manera opuesta a la opción de
compra, si se presentan valores altos del índice, no habría tal pago. El valor del strike se
establece entre cero y una desviación estándar debajo del valor esperado estimado del
índice.
1.4.4 Pagos para opciones exóticas (Collars, Straddles y Strangles)
Una posición larga con un collar consiste en combinar una posición larga en una opción
call y una posición corta con una opción put, usualmente con diferentes valores de strike,
pero con el mismo tick y límite. Un collar tiene la función de pago dada por
𝑝(𝑥) =
{
−𝐿$si𝑥 < 𝐿1𝑇(𝑥 − 𝑆1)si𝐿1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑆10si𝑆1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑆2𝑇(𝑥 − 𝑆2)si𝑆2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿2
𝐿$si𝑥 > 𝐿2
f. (1-14)
Donde 𝐿$y𝐿2 están relacionado por 𝐿$ = 𝑇(𝐿2 − 𝑆2), mientras que 𝐿$ y 𝐿1 los están por
𝐿$ = 𝑇(𝐿1 − 𝑆1), todo lo anterior se resume así
𝑝(𝑥) = max(−𝐿$,𝑚𝑖𝑛(𝑇(𝑠 − 𝑆1),𝑚𝑎𝑥(0,𝑚𝑖𝑛(𝑇(𝑥 − 𝑆2), 𝐿$)))) f. (1-15)
24
La posición antes ilustrada provee cobertura contra valores altos del índice que sobrepasen
cierto umbral.
Una posición larga con stradlles consiste en combinar una posición larga en una opción
call y una posición larga en una opción put, con los mismos valores de strike, tick y limite.
Estos tienen la función de pago dada por
𝑝(𝑥) =
{
𝐿$si𝑥 < 𝐿1
𝑇(𝑆 − 𝑥)si𝐿1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑆
𝑇(𝑥 − 𝑆)si𝑆 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿2𝐿$si𝑥 > 𝐿2
f. (1-16)
Donde 𝐿$ y 𝐿1 están relacionados por 𝐿$ = 𝑇(𝑆 − 𝐿1), mientras que 𝐿$ y 𝐿1 están
relacionados por 𝐿$ = 𝑇(𝐿2 − 𝑆). Lo anterior se resume en
𝑝(𝑥) = min(𝐿$,𝑚𝑎𝑥(𝑇(𝑆 − 𝑥),𝑚𝑖𝑛(𝑇(𝑥 − 𝐾), 𝐿$))) f. (1-17)
Esta posición provee cobertura contra valores altos y bajos del índice a la vez y
normalmente es más costosa en términos de la prima dado que el demandante recibe un
pago por todos los valores del índice excepto para 𝑥 = 𝐾.
Una posición larga con strangles consiste en combinar una posición larga en una opción
call y una posición larga en una opción put, a diferencia de los straddles, el valor de los
strikes será diferente. La función de pago está dada por
𝑝(𝑥) =
{
𝐿$si𝑥 < 𝐿1𝑇(𝑆1 − 𝑥)si𝐿1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑆10si𝑆1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑆2𝑇(𝑥 − 𝑆2)si𝑆2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿2
𝐿$si𝑥 > 𝐿2
f. (1-18)
Donde 𝐿$ y 𝐿1 están relacionados por 𝐿$ = 𝑇(𝑆1 − 𝐿1), mientras que 𝐿$ y 𝐿2 están
relacionados por 𝐿$ = 𝑇(𝑆2 − 𝐿2). Lo cual se resume en
𝑝(𝑥) = min(𝐿$,max(𝑇(𝑆1 − 𝑥),max(0,min(𝑇(𝑥 − 𝐿), 𝐿$)))) f. (1-19)
25
Esta posición, al igual que los straddles, provee cubrimiento tanto para valores altos como
para valores bajos del índice, sin embargo, difiere del anterior instrumento en que en este
caso el pago sólo se realiza si el índice se mueve cierta distancia por lo que los costos son
inferiores a los del straddle.
26
2. Valoración de derivados climáticos
Como se mencionó anteriormente, la valoración de un derivado climático no sigue el
enfoque tradicional de la valoración de otro tipo de derivados y esto es porque no se puede
aplicar directamente la aproximación por el modelo de Black-Scholes-Merton (Merton,
1973) ya que el subyacente de los derivados climáticos, por ejemplo la temperatura, no
pueden ser transado en el mercado (R. Dischel, 2002).
Existen diversos métodos de valoración de derivados, los primeros de estos, como el
método actuarial o el análisis histórico o history burn analysis (HBA), se enfocan en
estudiar el comportamiento de la temperatura en algún periodo previo a la valoración y a
partir de esto estiman el valor, el principio será que la media descontada de los pagos
históricos será considerada como los pagos que se realizarían en el futuro, los cuales
conforman la función de pago del instrumento financiero. Sin embargo, estos métodos
tratan de modelar el comportamiento que tiene la temperatura.
Posteriormente han surgido otros métodos que tienden a modelar el índice
correspondiente al derivado que se quiere valorar, como ya se ha dicho, los principales
índices son los de calor o frio diario (Heating Degree Days o Cooling Degree Days, por su
siglas HDDs o CDDs, respectivamente), en este caso, se requiere el desarrollo de un
modelo diferente para cada uno de estos modelos. Por ejemplo Davis (2001) basa su
análisis en que los agentes del mercado de derivados climáticos no son representativos
dado que enfrentan riesgos específicos relacionados con el efecto que tiene el clima en
cada uno de sus negocios, a partir de esto, define que los agentes van a comprar o vender
derivados sólo si incrementa su utilidad y establece su modelo de valoración para
mercados incompletos. Geman & Leonardi (2005) aplican los enfoques históricos, actuarial
27
y estocástico para modelar los índices de temperatura de París, al respecto concluyen que
el análisis histórico es el de menor confianza y que la falta de liquidez del mercado de
derivados climáticos se refleja en las desviaciones estándar de cada uno de los modelos
evaluados.
La principal desventaja de este enfoque es que mucha de la información se pierde al
intentar calcular los índices de la temperatura a través de procesos cuyos parámetros
permanecen constantes en el tiempo, como es el caso de la media y la desviación típica;
es decir, procesos normales o lorgnormales (Jewson & Brix, 2005).
Sin embargo, el enfoque de valoración que ha atraído la atención de los investigadores
más representativos en el área de valoración de derivados climáticos es el que se propone
estimar un proceso de comportamiento de la temperatura con base en datos diarios de
esta. Frente al anterior enfoque que intenta modelar los índices, este es más robusto en
tanto no genera pérdidas en la información histórica. Jewson & Brix (2005) resumen sus
principales ventajas así:
Uso más completo de los datos históricos disponibles.
Representación más ajustada de la distribución de probabilidad del índice.
Uso consistente de un modelo para todos los contratos de una locación.
Fácil incorporación de pronósticos meteorológicos en el algoritmo de la valoración.
Sin embargo, la definición de este tipo de modelo, bajo este enfoque, no es fácil puesto
que, al asumir que las variables tienen un comportamiento estocástico, no sigue una serie
de parámetros preestablecidos y claramente estructurados debido a que los datos
históricos de temperatura muestran estacionalidad en la media, la varianza, en la
distribución y además presentan auto correlación. Por lo anterior, existe la posibilidad de
incurrir en errores en la valoración al determinar erróneamente los parámetros del modelo
(Jewson & Brix, 2005).
Es pertinente mencionar que un proceso estocástico se presenta en el caso en el que una
variable tiene valores que cambian con el paso del tiempo con cierto grado de
incertidumbre. En estos casos, no se trabaja con un único resultado como respuesta si no
28
que se desarrolla un proceso en el que, según el desarrollo del tiempo, permite describir
la incertidumbre con distribuciones de probabilidad las cuales indican los valores que
podría tomar cada una de las variables en un momento dado.
Los procesos estocásticos se pueden clasificar de dos formas dependiendo de cómo se
definan las variables que se están analizando, en este caso es la temperatura. Siendo así,
el primero de los enfoques en el análisis estocástico es aquel que hace uso de procesos
discretos para modelar la temperatura y se fundamentan en que los valores de la
temperatura, al ser discretos, permiten la aplicación de un proceso de modelación discreto
directamente (Moreno, 2000).
Respecto a los distintos aportes que han contribuido a este primer enfoque de análisis, Tol
(1997) usa un modelo generalizado autorregresivo de heterocedasticidad condicional
GARCH aplicado a la velocidad del viento para incorporar la volatilidad en esta variable
climática, concluyen que los modelos heterodasticos superan a los homocedásticos en sus
predicciones y nivel de ajuste y recomiendan el uso de modelos ARCH generalizados para
acompañar los pronósticos que se hagan del clima. Moreno (2000) compara modelos de
regresión a la media con modelos autorregresivos en la media y concluye que no deberían
usarse para simular procesos de temperatura porque la distribución del ruido, en ambos
modelos, no es homogénea en el tiempo. Franses, Neele, & Dijk (2001) usan un modelo
que caracteriza las series de tiempo, especialmente la varianza de los términos de error,
según un modelo generalizado autorregresivo condicionalmente heterodástico (GARCH),
con la particularidad de que es estacional en sus series de tiempo, con errores
heterodasticos asimétricos y condicionales, con esto demuestran que la temperatura de
Holanda tiene estacionalidad en la media y la varianza, además de asimetría en los valores
de la temperatura de una semana y la volatilidad de la presentada en la semana que la
precede. S Jewson & Caballero (2002) presentan un modelo estocástico multivariado
capaz de capturar procesos de memoria larga aplicable a múltiples estaciones de
29
observación3. Taylor & Buizza (2002) usan redes neuronales para generar un conjunto de
pronósticos en múltiples escenarios los cuales al ser promediados arrojan resultados más
acertados que los que normalmente se obtienen con los pronósticos con los que
usualmente se trabaja. Caballero, Jewson, & Brix (2002) demuestran que los modelos de
series de tiempo integradas fraccionalmente (ARFIMA)4 proveen un mecanismo de
valoración mucho más preciso que los modelos de autorregresión. Roustant & Laurent
(2003) usan un modelo ARMA para computar precios de futuros climáticos para las
ciudades de Paris y Chicago, en el proceso concluyen que si se presentan errores
estadísticos puede conllevar a una incertidumbre sustancial en el precio de los futuros. S.
Jewson & Caballero (2003) presentan un modelo no paramétrico que permite normalizar
el comportamiento de la temperatura y que captura la estacionalidad y la autocorrelación
propias de las anomalías que presentan la temperatura. M Cao, Li, & Wei (2004) realizan
una revisión del proceso de modelación y valoración de los derivados que sirve como
introducción para conocer el funcionamiento de los derivados climáticos.
Campbell & Diebold (2005) trabajan con un enfoque de series de tiempo no estructurales,
es decir, que no incluyen variables económicas para modelar la temperatura promedio
diaria. Svec & Stevenson (2007) realizan una revisión de varios modelos de series de
tiempo y estocásticos para valoración y los ajustan para pronosticar los valores de los
índices de calor o frio para la ciudad de Sídney, en Australia.
El segundo enfoque es el que modela directamente la temperatura aplicando un proceso
continuo, este se usa cuando la variable subyacente puede tomar cualquier valor. En este
enfoque usualmente se trabaja con procesos que toman la forma de regresión a la media,
es decir, que asumen que el comportamiento de la temperatura muestra un desempeño en
3 Se refiere a aquellos procesos que muestran cierta persistencia de las autocorrelaciones muestrales de series de tiempo estacionarias que decrecen a ritmo lento , pero finalmente convergen a cero, indicando que las innovaciones de dichas series tienen efectos transitorios pero perduran durante mucho tiempo (Pérez & Ruiz, 2002). 4 Los modelos autorregresivos tienen la capacidad de mostrar dependencias significativas entre periodos de tiempo distantes (de memoria larga) (Granger & Joyeux, 1980)
30
el que, a pesar de alcanzar valores altos y bajos, siempre retorna a un valor medio. A partir
de este supuesto se discretizan los valores de la temperatura, en función de estimar los
parámetros que se hayan asignado. Posteriormente, se valoraría la obligación al definir un
valor esperado sobre los pagos futuros descontados. Puesto que la función de pago una
única solución, es necesario realizar múltiples simulaciones, para lo cual se puede usar el
método de Monte Carlo, en cuyo caso el valor justo del derivado estará dado por el
promedio de todos los pagos simulados, descontados a la tasa de mercado adecuada.
La figura 2 describe los principales enfoques en el análisis de los derivados climáticos.
Figura 2: Métodos para estimar y modelar los índices de temperatura y los procesos de la temperatura para valoración de derivados climáticos (Fuente: Alexandridis & Zapranis, 2012).
Dado que en la presente investigación se realiza la valoración de un derivado climático
siguiendo el enfoque de modelar directamente la temperatura aplicando un proceso
continuo, más adelante se retoma este enfoque y se desarrolla en mayor detalle. Sin
embargo, no es el propósito del presente trabajo profundizar en todos los enfoques en
tanto no tengan una importancia directa con el proceso de valoración ya definido.
Valoración de derivados climáticos
Método Actuarial Análisis Histórico Modelación de la temperatura diaria
Proceso discreto
Modelos ARMA
Proceso continuo
Modelo de regresión a la media Ornstein-
Uhlembeck
Movimiento Browniano
Movimiento Browniano fraccional
Movimiento de Levy
Modelación del índice Métodos alternativos
Modelos basados en función de utilidad
Modelos basados en escenarios
31
En este punto de la investigación, es pertinente desarrollar el análisis histórico o HBA de
la valoración de derivados climáticos puesto que en el proceso se introducen conceptos
fundamentales que son transversales a los otros enfoques y su análisis llega a ser más
intuitivo, por lo que contextualiza al lector para el desarrollo posterior de la valoración
específica.
2.1 Análisis histórico
Una aproximación tradicional en la valoración de derivados climáticos es la que se enfoca
en determinar el precio por medio de simulaciones basadas en datos históricos, esta
aproximación es conocida como valoración histórica o, por sus siglas en inglés, HBA
(History Burn Analysis). Con este enfoque se sigue la premisa de evaluar un contrato a
partir de su comportamiento en periodos anteriores y tiene como principal ventaja que no
existe la necesidad de ajustar la distribución de la temperatura o de resolver ecuaciones
diferenciales estocásticas (Stephen Jewson & Brix, 2005, p. 78; Wang, Li, Li, Huang, & Liu,
2015).
Sin embargo, este método no es del todo acertado dado que las series de tiempo de la
temperatura no son estacionarios y contienen saltos y tendencias (Wang et al., 2015).
Además, al calcular el índice de temperatura diaria, como el caso de los HDDs, puede
generar perdida de información en eventos comunes y extremos.
A pesar de la deficiencia antes descrita, la aproximación de análisis histórico está
ampliamente extendida y por su practicidad se convierte en un buen punto de partida para
ilustrar la valoración de derivados climáticos de tal forma que, siguiendo lo propuesto por
(Stephen Jewson & Brix, 2005), se describirá brevemente el proceso de valoración para
swaps y opciones siguiendo esta aproximación, para después profundizar aún más en
otros enfoques más complejos.
Es pertinente señalar que los supuestos del análisis histórico son:
1. Las series de tiempo históricas del índice son estacionarias y estadísticamente
consistentes con el clima que va a presentarse durante el tiempo del contrato. Es
32
decir, los valores de la serie serán los mismos en cualquier instante de tiempo, así
como los parámetros estadísticos como la media y la varianza.
2. Los valores usados son independientes e idénticamente distribuidos.
3. El análisis histórico se realiza sobre información que debe ser depurada,
específicamente se deben remover los datos que no sean lógicos y se deben
agregar los faltantes, además se deben identificar los saltos abruptos en los datos
derivados de algún cambio estacional y se deben remover, finalmente se deberán
remover también las tendencias.
A continuación, se describe de forma general el proceso para valorar instrumentos
derivados tipo swaps u opciones desde el enfoque de análisis histórico; sin embargo, dado
que no está dentro de los propósitos de la presente investigación el ahondar en éste
enfoque, no se profundizará en el tema, únicamente se menciona para introducir nociones,
conceptos generales y algunos elementos sobre la valoración de derivados climáticos.
2.1.1 Análisis histórico para swaps
El precio justo para un swap será el nivel en el que el valor esperado del pago es cero o el
valor en el que la prima es igual (y opuesta) al pago esperado para un swap lineal, aquel
que no tiene límites financieros y para el que el pago es una función lineal del índice, está
dado por
𝐸(𝑝(𝑥)) = 𝐸(𝑇(𝑆 − 𝑥)))𝑇𝐸(𝑆 − 𝑥) = 𝐷(𝑆 − 𝐸(𝑥)) f. (2-1)
Se deduce que es igual a cero cuando 𝑆 = 𝐸(𝑥) sea nulo. Por lo que el precio justo del
strike, bajo el enfoque histórico, será el valor esperado del índice, es decir, el valor
esperado del índice y, en el caso en que la muestra histórica no sea ajustada5, seguirá una
5 Para el caso de una muestra de datos ajustada ya no aplica puesto que los grados de libertad de los datos son modificados, en este caso se puede usar el método de Monte Carlo (Stephen Jewson & Brix, 2005, p. 69).
33
distribución normal, con cuya media será la media desconocida del momento actual (µ) y
la desviación estándar será 𝜎𝑥
√𝑁𝑦, donde 𝜎𝑥 es la desviación estándar del momento actual.
En consecuencia, para determinar el precio justo se deben realizar dos operaciones;
primero, se deben determinar los valores ajustados históricos del índice, es decir, los
valores de la media que conforman el índice a los que se les aplica alguna tendencia
dependiendo de si esta es paramétrica o no paramétrica6. Posteriormente, se deben
calcular la media de los valores históricos del índice, este último será un estimado para el
índice esperado.
Se puede dar el caso en el que el swap este delimitado por dos bandas de precios (caps)
que, en teoría, sólo se verían excedidos si el clima es extremo. El precio justo para este
tipo de swaps puede ser determinado de la misma manera que un swap lineal; sin
embargo, para incorporar el efecto de los caps se debe cambiar el segundo paso del
proceso antes expuesto por otra operación en la que se calcule el strike que haga que el
valor del pago sea cero usando un proceso iterativo en el que se calcule el valor del strike
que haga que el valor esperado del pago sea cero7.
Habiendo calculado el precio justo del contrato se debe determinar cuál es el precio
apropiado del instrumento ya que si este es establecido en el valor justo del strike implicaría
que ninguna de las partes involucradas registraría pérdidas o ganancias en el largo plazo
y esto en algunas ocasiones no va a ser lo más apropiado; por ejemplo, en el caso en el
que una de las posiciones entienda que asume un nivel de riesgo superior a su contraparte
va a querer añadir un spread que le compense esta diferencia; en este caso, la adición de
ese riesgo se puede hacer añadiendo un porcentaje de la desviación estándar del índice
del swap.
6 Las técnicas paramétricas más comunes son: lineal, cuadrática y exponencial, mientras que las no paramétricas son: media móvil y regresión local (Stephen Jewson & Brix, 2005, p. 48). 7 En este caso, la distribución del índice no va a ser normal, tendrá sesgos, o la estructura del swap no será simétrica.
34
En última instancia, si ya se sabe el valor del strike del swap, se requerirá saber el pago
esperado o la distribución de los pagos, para lo cual hay que hacer dos operaciones
adicionales a las ya descritas. Se deberán calcular los pagos históricos del swap y,
finalmente, se deberá calcular la media de esos pagos.
2.1.2 Análisis histórico para opciones
Continuando con el análisis histórico aplicado a opciones, se deberá determinar el precio
justo, es decir el valor en el que las utilidades esperadas del contrato sean cero, en el caso
de las opciones esto se logra cuando el valor de la prima es de la misma magnitud (y
opuesta) al pago esperado, en ausencia de arbitraje.
Para calcular el precio justo o la prima justa se debe, en primera instancia, calcular los
pagos históricos de la opción, y a continuación se debe calcular la media estimada de esos
pagos históricos.
En línea con el enfoque del análisis histórico aplicado a swaps, en el caso de opciones
también habrán circunstancias en las que el precio justo no sea el más apropiado al cual
se deba tranzar el instrumento, puesto que siempre se podrá presentar el caso en el que
una de las partes interesadas busque algo adicional al cubrimiento que le ofrezca el
derivado, es decir, que le provea de un retorno adicional que no está contemplado en la
estructura original de la función de pagos planteada inicialmente. Para este caso el
vendedor de la opción podría esperar una recompensa por asumir el riesgo del pago y, en
esa misma medida, la prima sería más alta que el pago esperado. En este caso, similar al
tratamiento de los swaps, la carga de riesgo adicional se puede hacer al añadir un
porcentaje de la desviación estándar del pago del contrato.
2.2 Modelo de temperatura según un proceso continuo
A manera de introducción sobre la valoración de derivados climáticos, hasta el momento
se ha descrito someramente el proceso de valoración de derivados siguiendo un enfoque
de análisis histórico, en el que es necesario tener un conjunto de datos históricos
depurados, siguiendo la premisa de que el comportamiento del clima a futuro puede ser
explicado por desempeño que ha tenido históricamente.
35
Se ha señalado que uno de los principales problemas al usar el método histórico es que la
temperatura muestra componentes estacionarios, cíclicos y de tendencia a lo largo del
tiempo, además se ve afectada por fenómenos de duración prolongada que modifican su
comportamiento normal, tal es el caso del fenómeno del Niño (B. Dischel, 1999, vol. 12).
Además, al tratar de calcular los índices de temperatura directamente, como es el caso de
los HDDs, dado el proceso de limpieza de datos, puede dar como resultado pérdida
significativa de información en todo el conjunto de datos, incluyendo los más comunes y
los extremos.
En respuesta a lo anterior, recientemente se han desarrollado estudios que intentan
modelar el comportamiento de la temperatura directamente. En este análisis, los modelos
estimados sirven para derivar los índices correspondientes y valorar los activos.
En esta primera aproximación se sigue la premisa de que, dado que las observaciones
temporales son discretas, se puede aplicar un proceso discreto directamente para modelar
los instrumentos derivados. En relación con este enfoque, Moreno (2000) compara un
proceso discreto de regresión a la media con un proceso autorregresivo general AR(p), en
el cual afirma que la distribución de los residuales no es constante a lo largo del año, lo
que lo lleva a concluir que, a pesar de que la bondad de ajuste sea adecuada, estos
procesos no deberían usarse en la modelación directa de la temperatura, puesto que esta
no es homogénea en el tiempo.
Lucas (1978) sienta las bases del análisis del comportamiento estocástico de los precios
en equilibrio, Cao & Wei (2004) adaptan sus planteamientos con el objetivo de desarrollar
un marco teórico para derivados climáticos de temperatura y estudiar el precio de mercado
del riesgo al incluir al clima como otra fuente fundamental de incertidumbre en la economía.
A continuación, Campbell & Diebold (2005) expanden el modelo propuesto por Cao & Wei
(2004), al usar un modelo de series de Fourier con saltos autorregresivos para modelar la
media de la temperatura ajustada según la temporada. Finalmente, Svec & Stevenson
(2007) comparan varios modelos, los cuales son diferentes versiones del propuesto por
Campbell & Diebold (2005), al modelar y pronosticar la temperatura diaria promedio; como
resultado los autores concluyen que cada uno de los modelos analizados superan los
resultados del modelo original.
36
2.2.1 Modelo Ornstein-Uhlenbeck
Siguiendo el enfoque de aplicar un proceso que modele directamente la temperatura, R.
Dischel (1998) es uno de los primeros autores en proponer un modelo estocástico continuo
para explicar el comportamiento de la temperatura ya que, como se ha mencionado antes,
el modelo clásico de Black-Scholes-Merton no es aplicable directamente en la valoración
de derivados financieros. Dischel considera que es conveniente usar el proceso Ornstein-
Uhlenbeck, dado que la temperatura muestra un claro componente estacionario que se
caracteriza por el continuo retorno de sus diferentes valores a su media, es decir, por tener
oscilaciones alrededor de un valor central.
El proceso Ornstein-Uhlenbeck (Uhlenbeck & Ornstein, 1930) fue propuesto por Leonard
Ornstein y George Uhlenbeck como un tipo particular de proceso estocástico, el cual
cumple tres características, es estacionario puesto que su media, varianza y distribución
de probabilidad conjunta no cambian con el paso del tiempo, además es gaussiano o
normal, es decir que estará completamente determinado si se conoce la media y la función
de autocorrelación, finalmente es markoviano, ya que es un tipo de proceso estocástico
en el que se asume que el valor presente de la variable subyacente contiene toda la
información histórica de la misma. Esta última característica tiene implicaciones
importantes dado que al definir que los valores de la variable dependen únicamente de su
valor presente, los valores históricos de la variable llegan a ser irrelevantes para determinar
su comportamiento futuro, por lo que cualquier error o anomalía en el conjunto de datos
histórico se desestima.
Este modelo es considerado como no estacionario, dentro de una escala donde están los
modelos que pueden ser estacionarios (estacionarios en su media y varianza), los
semiestacionarios (estacionarios en varianza, pero no en media), y los no estacionarios
(no son estacionarios en media y varianza).
Siguiendo la misma línea de análisis, Dornier & Queruel (2000), con el mismo enfoque de
usar un modelo de regresión a la media, proponen un modelo autorregresivo de media
móvil (ARMA) más general que el AR(1) propuesto por R. Dischel (1998). Este mismo
37
modelo lo retoman Alaton et al., (2002) quienes le agregan estacionalidades en la media
usando un función sinusoide denotada por
𝑇𝑡𝑚 = 𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐶 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) f. (2-2)
Donde 𝑇𝑡𝑚 es la temperatura en el momento t, 𝜑 es el parámetro de fase que define el día
de la temperatura máxima y mínima, 𝜔 esta dado por 2𝜋/365, este parámetro es usado
por Moreno (2000) como ajuste a la función sinusoide, puesto que esta no se ajusta de
buena forma a la evolución asimétrica de la temperatura. 𝐵𝑡 es la tendencia lineal causada
por cambios en el ambiente cuyo impacto se asume de crecimiento constante, tal es el
caso del urbanismo o el calentamiento global. El parámetro C mide la amplitud de la
diferencia entre la temperatura promedio diaria máxima y mínima. Finalmente, t es la
medida del tiempo dado en días.
Consecuentemente, para encontrar los valores numéricos de las constantes, Alaton et al.,
(2002) plantea la función
𝑌𝑡 = 𝑎1 + 𝑎2𝑡 + 𝑎3 sin(𝜔𝑡) + 𝑎4cos(𝜔𝑡) f. (2-3)
La cual ajusta a la muestra de datos de temperatura usando el método de mínimos
cuadrados. Las dos ecuaciones anteriores están relacionadas por la siguiente así:
𝐴 = 𝑎1, f. (2-4)
𝐵 = 𝑎2, f. (2-5)
𝐶 = √𝑎32 + 𝑎4
2, f. (2-6)
𝜑 = arctan(𝑎4𝑎3) − 𝜋 f. (2-7)
Benth & Saltyte-Benth (2005) presentan un modelo más general que el de (Dornier &
Queruel, 2000) al usar un modelo AR(1) donde ajustan los datos al modelar las variaciones
en la temperatura diaria promedio a través de un proceso Ornstein-Uhlenbeck de regresión
38
a la media, donde el proceso de ruido8 es modelado por un proceso generalizado
hiperbólico de Levy9.
Zapranis & Alexandridis (2009) reemplazan el modelo AR(1) por modelos complejos, como
el de redes neuronales, con el fin de rectificar el rechazo de la hipótesis de normalidad que
producía el anterior modelo, sus resultados indican que, conforme el modelo se hace más
complejo, la parte del ruido se sitúa lejos de la distribución normal.
Dado que se le quiere dar un uso completo a los datos históricos, además de hacer una
estimación potencialmente más precisa y hacer una representación más ajustada de la
distribución de la temperatura, que lleve a una mejor determinación de los precios de los
derivados, en esta investigación se ha decidido modelar la temperatura directamente.
Conforme a lo anterior, y dado que la temperatura muestra un fuerte componente cíclico
en la presente investigación se desarrolla un proceso de regresión a la media, de tipo
Ornstein-Uhlenbeck, siguiendo lo propuesto por Alaton et al. (2002).
Dado lo anterior, el desarrollo de la valoración que sigue de aquí en adelante tiene los
siguientes parámetros:
Descripción y desarrollo estadístico de los datos históricos de la temperatura diaria
promedio.
Realización de las correcciones que se determinen necesarias.
Creación del modelo de pronóstico de la temperatura.
Cálculo del precio del derivado usando el método de Monte Carlo.
8 Se entiende por ruido o ruido blanco al proceso estocástico que se caracteriza por el hecho de que sus valores, en dos momentos del tiempo diferentes, no tengan correlación estadística (Diebold, 2006). 9El proceso de Lévy es un proceso estocástico que tiene incrementos estacionarios e independientes. Describe movimientos sucesivos aleatorios e independientes, estadísticamente idénticos sobre diferentes intervalos de tiempo. Ejemplo de este es el movimiento Browniano (Barndorff-Nielsen & Shephard, 2012).
39
3. Análisis de datos
El conjunto de datos consiste en observaciones de la temperatura media diaria (DAT, por
sus siglas en ingles) que, según información de la Ingeniera Meteoróloga, Ruth Leonor
Correa Amaya, equivale a la media de las temperaturas observadas en 24 instantes
equidistantes en el curso de un intervalo continuo de 24 horas, o como una combinación
de temperaturas observadas a instantes menos numerosos establecidos de manera que
su desviación sea la menor posible del valor de la media anteriormente definida, tomada
por las estaciones climatológicas del Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios
Ambientales (IDEAM) de Colombia ubicadas en la Universidad Nacional de Colombia sede
Bogotá, en el Municipio de Bello cerca de Medellín10, en la Universidad del Valle en Cali y
en la Universidad de los Llanos en Villavicencio, con un promedio de 8,690 observaciones
para cada una de las zonas mencionadas para un total del 34,756, con 3,204 datos
faltantes, en el periodo comprendido desde enero de 1988 hasta diciembre de 2014.
A pesar de que, como se mencionó anteriormente, el enfoque actual no requiere de una
serie histórica completa, se complementaron algunos de los datos de las estaciones
mencionadas debido a que algunas de ellas tenían muchos datos faltantes. En este caso
se siguió el enfoque de Dunis & Karalis (2003) que apoyan la selección de datos faltantes
10 La selección de datos del área de Medellín se relaciona con las observaciones tomadas de la estación meterologica del Municipio de Bello, Antioquia, porque no fue posible encontrar una estación dentro de la ciudad de Medellín que tuviera el recuento histórico establecido en el presente trabajo. Cabe destacar que esta relación se puede hacer puesto que la citada estación se encuentra a la misma altura que sus pares en Medellín (1,438 m.s.n.m) y se encuentran a una distancia de 10 kms.
40
de lugares cercanos a los seleccionados, dado que representan una buena aproximación
a los que se podrían tener si la base de datos estuviera completa.
La figura 3 muestra el comportamiento de la temperatura promedio diaria por cada una de
las ciudades estudiadas. Se evidencia un fuerte componente de variabilidad puesto que
los datos alcanzan valores altos y bajos con mucha frecuencia y de manera continua. Sin
embargo, no se aprecia ningún componente de estacionalidad, puesto que los valores
siguen, de forma general, una tendencia lateral de entre 20°C y 25 °C para las ciudades
de Medellín y Cali, de 10°C y 17°C para Bogotá y 25°C y 30°C para Villavicencio.
Figura 3: Temperatura promedio de las cuatro ciudades: Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio (Fuente: IDEAM. Elaboración: Cálculos propios).
3.1 Parámetros estadísticos
En función de observar mejor la dinámica de las observaciones, se analizan los parámetros
estadísticos (tabla 3). La media de la temperatura promedio en Bogotá es 14.9 °C y la
41
desviación estándar es 0.94, en Medellín es de 22.1°C y su desviación es de 1.41, en Cali
es de 24.5 °C y 1.37 y en Villavicencio es de 25.4 °C y 1.49, respectivamente, lo que
demuestra que la temperatura tiene mayor variación en las ciudades más calientes.
También se aprecia que la temperatura no tiene un rango de valores muy amplio, lo que
es característico de países en los que no hay temporadas marcadas puesto que no se
registran temperaturas de verano y de invierno. De forma general, los datos presentados
anteriormente demuestran que la temperatura es muy volátil, lo que dificulta la definición
de un modelo preciso y predictivo.
La mayoría de las ciudades analizadas, con excepción de Medellín, muestran levemente
simetría negativa. Adicionalmente, todas las ciudades presentan valores de kurtosis
cercanos a 3. El anterior análisis muestra que la distribución de la temperatura promedio
diaria es mesocúrtica11, donde la masa de distribución está ligeramente concentrada en la
cola derecha. Finalmente, el test de normalidad, Jarque-Bera, indica que, con excepción
de Villavicencio, los datos no siguen una distribución normal estricta, puesto que el valor
de la hipótesis nula es rechazada12.
Ciudad Mediana Media Varianza Desviación estándar
Rango Asimetría Kurtosis Jarque-Bera
P-Valor
Bogotá 14.9 14.909 0.88055 0.93838 8.5 -0.03706 3.2688 1 0.001
Medellín 22 22.092 1.9817 1.4077 8.6 0.088958 2.5972 1 0.001
Cali 24.7 24.551 1.8702 1.3676 10.8 -0.33692 2.9137 1 0.001
Villavicencio 25.4 25.377 2.2291 1.493 10.7 -0.04834 2.8627 0 0.021501 Tabla 3: Estadística descriptiva de la temperatura diaria promedio para el periodo de 1988 - 2013
11 Kurtosis: 𝐾 =𝐸(𝑥−𝜇)4
𝜎4 donde 𝜇 es la media de x, 𝜎 es la desviación estándar y 𝐸(𝑡) representa el
valor esperado de la cantidad (t). Por lo anterior, en el análisis de la kurtosis no se debe extraer el 3.
12 Test Jarque-Bera: 𝐽𝐵 =𝑛
6(𝑆2 +
(𝑘−3)2
4) donde n es el tamaño de la muestra, s es la simetría de la
muestra y k es la kurtosis (Jarque & Bera, 1987). Para el caso de esta investigación se usa la función de MATLAB, jbtest, la cual indica el rechazo de la hipótesis nula cuando es igual a uno, como es el caso del ejercicio investigativo. Además, se ha parametrizado el nivel de significancia en 1% y se observa que el p-valor es 0.001 lo que confirma el rechazo.
42
3.1.1 Distribución de probabilidad
Así mismo, la distribución de probabilidad empírica de la temperatura media diaria de las
ciudades colombianas analizadas se presenta en la figura 4. En el primer cuadrante, se
muestra que existe una concentración hacia los 15°C, sin embargo, esta concentración no
es uniforme puesto que continuamente se encuentran valores altos seguidos de valores
bajos. En el segundo cuadrante se presenta la distribución de la temperatura de Medellín
en la que se evidencia una concentración alrededor de los 22°C, en esta muestra también
se presenta el mismo comportamiento que en la señalada anteriormente puesto que no
hay continuidad en la concentración. En el tercer cuadrante, la concentración es más
uniforme y se da sobre los 24°C, se distinguen dos picos sobre los 25°C y 27°C; sin
embargo, por ser valores tan cercanos, estos no se pueden asociar con valores de verano
y de invierno. En el último histograma se observa una distribución normal, donde los
valores se agrupan alrededor de los 26 °C. Respecto de la estacionalidad, en ninguno de
los histogramas se muestran concentraciones distribuidas alrededor de dos o más valores
por lo que se puede inferir la ocurrencia de inviernos y veranos marcados.
Figura 4: Distribuciones empíricas de la temperatura promedio diaria en las cuatro ciudades: Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio (Fuente: Cálculos propios).
43
En función de entender de mejor manera la dinámica de la temperatura media diaria, se
estiman la media, la desviación estándar, la asimetría y la kurtosis. La media fue estimada
como
𝜇 =1
𝑁∑𝐴𝑖
𝑁
𝑖=1
f. (3-1)
Donde A es un vector de variables compuesto por N observaciones escalares.
En la figura 5 se presentan los valores medios por mes de cada una de las observaciones
del DAT en los años estudiados. Es claro que no existe un factor estacional definido sobre
dos puntos del año, lo que corrobora el hecho de que no se pueden identificar temporadas
de verano o invierno; al contrario, se observan comportamientos distintos para cada una
de las ciudades. Para el caso de Bogotá en promedio la temperatura mínima fue de 13.7°C
y la temperatura máxima de 14.5 °C, en Medellín las temperaturas con 21.3°C y 22.7°C,
respectivamente, en Cali 24°C y 25.4°C, respectivamente y en Villavicencio 24.1°C y
26.9°C, respectivamente.
Figura 5: Media de la temperatura promedio diaria de las cuatro ciudades estudiadas: Bogotá, Medellín Cali,
Villavicencio (Fuente: Cálculos propios).
44
Siguiendo con la desviación estándar, es la raíz cuadrada de la varianza, denotada por
𝑠 = √1
𝑁 − 1∑|𝐴𝑖 − 𝜇|
2
𝑁
𝑖=1
f. (3-2)
Donde A es un vector de variables conformado por N observaciones escalares, µ es la
media de A dada por
𝜇 =1
𝑁∑𝐴𝑖
𝑁
𝑖=1
f. (3-3)
En la figura 6 se presenta la desviación estándar de las cuatro ciudades analizadas, se
observa que los valores registrados en cada locación presentan valores altos en la primera
parte del año, sobre el quinto mes. Además, todas las ciudades presentan una disminución
hacia los últimos meses del año. Conforme a lo anterior se puede decir que, dado que en
Colombia la primera mitad del año está caracterizada por ser más calurosa y la última por
ser más fría, la variación de la temperatura se presenta primordialmente en temporadas
cálidas más que en momentos de frio.
45
Figura 6: Desviación estándar de la temperatura diaria promedio de las cuatro ciudades: Bogotá, Medellín,
Cali y Villavicencio (Fuente: Elaboración propia)
Continuando con la asimetría, esta es la medida de proporción de la data alrededor de la
media. Si la asimetría es negativa, indica que los datos están dispersos a la izquierda de
la media, si la asimetría es positiva, la dispersión se centrara más a la derecha. La
asimetría de una distribución normal estricta es cero. Esta medida está dada por
𝑠 =𝐸(𝑥 − 𝜇)3
𝜎3 f. (3-4)
Donde µ es la media de x, 𝜎 es la desviación estándar de x y E(t) representa el valor
esperado.
La tabla 3 revela que la asimetría en todos los periodos del año tiende a ser cero lo que
indica que la concentración de los valores está alrededor de su media, lo que implica que
la distribución de probabilidad es similar a una distribución normal.
46
Finalmente se analiza la correlación de la temperatura entre las diferentes ciudades ya
que, si se detecta un fuerte componente de correlación, se pueden usar los derivados
climáticos de las ciudades correlacionadas para gestionar el riesgo financiero y reducir el
riesgo base o estructural. Esta medida de correlación está dada por el coeficiente de
correlación de Pearson denotado por
𝜌(𝐴, 𝐵) =1
𝑁 − 1∑(
𝐴𝑖 − 𝜇𝐴𝜎𝐴
) (𝐵𝑖 − 𝜇𝐵𝜎𝐵
)
𝑁
𝑖=1
f. (3-5)
Donde 𝜇𝐴 y 𝜎𝐴 son la media y la desviación estándar de A, respectivamente, y 𝜇𝐵 y 𝜎𝐵 la
media y la desviación estándar de B. Alternativamente, se puede definir el coeficiente de
correlación en términos de la covarianza de A y B, así
𝜌(𝐴, 𝐵) =𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵)
𝜎𝐴𝜎𝐵 f. (3-6)
Así mismo, la matriz de coeficientes de dos variables aleatorias es la matriz de los
coeficientes de correlación de cada una de las combinaciones posibles entre las variables,
está dada por
𝑅 = (𝜌(𝐴, 𝐴) 𝜌(𝐴, 𝐵)
𝜌(𝐵, 𝐴) 𝜌(𝐵, 𝐵)) f. (3-7)
Dado que A y B, siempre van a estar perfectamente correlacionados consigo mismas, la
diagonal de la matriz es 1, de tal forma que se tiene
𝑅 = (1 𝜌(𝐴, 𝐵)
𝜌(𝐵, 𝐴) 1) f. (3-8)
En la tabla 4 se muestra la correlación de la temperatura entre las diferentes ciudades
estudiadas es bastante baja dado que, a pesar de su cercanía, por las diferencias de altitud
y la posición geográfica no presentan alguna relación.
47
Bogotá Medellín Cali Villavicencio
Bogotá 1 0.1749 0.1369 0.1282
Medellín 0.1749 1 0.5669 0.1066
Cali 0.1369 0.5669 1 0.1561
Villavicencio 0.1282 0.1066 0.1561 1 Tabla 4: Matriz de correlación de la temperatura de las cinco ciudades (Fuente: Cálculos propios)
48
4. Modelación estadística de la temperatura promedio diaria
Hasta el momento se han presentado distintas aproximaciones para modelar el
comportamiento del subyacente de los derivados climáticos, ya sea desde el análisis de
los índices de calor o frio diarios o desde el análisis del comportamiento de la temperatura
en sí misma. Conforme en lo anterior y basados en los siguientes supuestos sobre la DAT,
se seleccionó el modelo Gaussiano de Ornstein-Hulenbeck (O-U) de regresión a la media.
Sigue un ciclo predictivo.
Se mueve alrededor de una media estacional.
Se ve afectada por el calentamiento global, el urbanismo y otros fenómenos
antropogénicos.
Aparentemente presenta efectos autoregresivos.
La volatilidad es mayor en periodos fríos que en los calientes.
Como se muestra en la Figura 3, las temperaturas de cada ciudad muestran un ciclo
predictivo puesto que tienen una tendencia lateralizada muy fuerte compuesta por ciclos
muy cortos; además, en los años más recientes, es posible reconocer un patrón repetitivo
anual puesto que para cada ciudad la temperatura al principio de cada año parece tener
una tendencia ascendente y posteriormente desciende, por lo que también se puede
afirmar que hacia la mitad del año las temperaturas normalmente son más altas que a
principios y a finales de año (ver figura 7).
49
Figura 7: Temperatura promedio diaria de las cuatro ciudades: Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio, desde
2009 hasta 2012 (Fuente: Cálculos propios).
También es conocido que la temperatura tiene una forma de reversión sobre la media
puesto que, como ya se explicó anteriormente, sigue un comportamiento alcista o bajista
en torno a valores más o menos estables que conforman esa media de comportamiento.
Respecto de este punto se puede concluir que la temperatura se mueve alrededor de una
media variable de la cual no se puede desviar por periodos largos de tiempo, esto se puede
comprobar en la figuras 3, 5 y 6. Finalmente, en la figura 6 y siguiendo los propuesto por
Benth & Benth (2007) se muestra que la volatilidad aumenta en los periodos fríos y
disminuye en los cálidos.
Siguiendo lo propuesto por Alexandridis & Zapranis (2012), el modelo O-U que describe la
dinámica de la temperatura esta denotado por:
𝑑𝑇(𝑡) = 𝑑𝑆(𝑡) + 𝐾(𝑡)(𝑇(𝑡) − 𝑆(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎(𝑡)𝑑𝐵(𝑡) f. (4-1)
50
Donde T(t) es la temperatura diaria promedio, K es la velocidad de la reversión a la media,
S(t) es la función determinista de la tendencia y la estacionalidad, 𝜎(𝑡) es la volatilidad
diaria de las variaciones de la temperatura, y 𝐵(𝑡) es el proceso que describe el ruido.
Además, K(t) es una función variable en el tiempo que modela la velocidad de regresión a
la media, esto se debe a que se espera que en los momentos en los que la temperatura
este más lejos de su media (por ejemplo un día frío en una temporada cálida) la velocidad
de retorno a la media va a ser mayor, por lo tanto no constante.
4.1 La media estacional
Siguiendo lo propuesto por Alaton et al. (2002), se sigue una aproximación lineal para
modelar la media estacional, es decir, eliminar el componente estacional y la tendencia, a
través de una función sinusoide dada por
𝑇𝑡𝑚 = 𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐶sin (
2𝜋𝑡
365+ 𝜑), f. (4-2)
Donde A denota la amplitud de la función sinusoide, es decir, la diferencia entre la
temperatura mínima y máxima de la media. El parámetro 𝜑 sirve para calibrar la sinusoide,
puesto que a priori no se conoce el comportamiento de la temperatura para el primer
periodo.
Alternativamente el modelo para la media estacional se puede definir como
𝑌𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐sin (2𝜋𝑡
365) + 𝑑cos (
2𝜋𝑡
365), f. (4-3)
Siendo la relación de los parámetros,
𝐴 = 𝑎 f. (4-4)
𝐵 = 𝑏 f. (4-5)
𝐶 = √𝑐2 + 𝑑2 f. (4-6)
𝜑 = arctan(𝑑
𝑐) − 𝜋 f. (4-7)
51
De tal forma que, siguiendo el método de mínimos cuadrados, se encuentre el vector de
parámetros 𝜀 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4) que solucione
min𝜀 ||𝑌 − 𝑋||2
Donde Y es el vector con los parámetros y X es el vector con los datos.
Siguiendo lo descrito anteriormente, en la tabla 5 se encuentran los resultados del ajuste
de mínimos cuadrados para las ciudades de Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio.
Siguiendo lo definido por Alaton et al. (2002), A define el intercepto, B es la pendiente de
la tendencia lineal, C es la amplitud del componente estacional y 𝜑 es el ángulo del día de
la máxima temperatura.
Un examen detallado de esos resultados revela tendencias positivas en la ciudad de
Bogotá, Medellín y Cali, para el caso de Villavicencio la pendiente es negativa, sin
embargo, estas tendencias no están definidas claramente por valores significativos.
A=a B=b c d
𝐶
= √(𝑐2 + 𝑑2) 𝜑 = arctan (
𝑑
𝑐) − 𝜋
𝐾= 𝑎 − 1
Bogotá 13,97 0,0266 0,2804 -0,0370 0,2828 -1,2743 12,97
Medellín 21,88 0,0433 0,2170 -0,4151 0,4684 -1,3755 20,88
Cali 24,50 0,0109 -0,0087 -0,2208 0,2210 1,5257 23,50
Villavicencio 25,56 -0,0150 0,4170 0,9636 1,0500 -0,6932 24,56
Tabla 5: Parámetros estimados usando el Modelo de Alaton et al. (2002) para las cinco ciudades estudiadas. K es la velocidad de regresión sobre la media, A es el intercepto, B es la pendiente de la tendencia lineal, C es la amplitud del componente estacional y 𝜑 es el ángulo referente al día de la máxima temperatura. (Fuente:
Cálculos propios.)
A pesar de lo anterior, se describirá el proceso de valoración de derivados puesto que es
a través de este que se materializa la necesidad de haber modelado el comportamiento de
la temperatura. Hasta el momento, reemplazando los valores numéricos de los parámetros
de cada ciudad en el modelo descrito se tendría:
𝑇𝑏𝑜𝑔𝑡𝑚 = 13,97 + 2,666 ∗ 10−05𝑡 + 0,2828sin (
2𝜋𝑡
365− 1,2743), f. (4-8)
𝑇𝑚𝑒𝑑𝑡𝑚 = 21,88 + 4,334 ∗ 10−05𝑡 + 0,4684sin (
2𝜋𝑡
365− 1,3755), f. (4-9)
𝑇𝑐𝑎𝑙𝑡𝑚 = 24,50 + 1,092 ∗ 10−05𝑡 + 0,2210sin (
2𝜋𝑡
365+ 1,5257), f. (4-10)
52
𝑇𝑣𝑖𝑙𝑡𝑚 = 25,56 − 1,498 ∗ 10−05𝑡 + 1,05sin (
2𝜋𝑡
365− 0,6932), f. (4-11)
Donde 𝑇𝑏𝑜𝑔𝑡𝑚, 𝑇𝑚𝑒𝑑𝑡
𝑚, 𝑇𝑐𝑎𝑙𝑡𝑚 y 𝑇𝑣𝑖𝑙𝑡
𝑚 son la temperatura media promedio en el momento
t que se pronostica para Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio, respectivamente. En las
figuras 8, 9, 10 y 11 se presentan en un plot de cada una de las funciones antes expuestas,
así como de la temperatura media para cada periodo de cada una de las ciudades
estudiadas. Es claro que la bondad de ajuste, descrita por la línea de tendencia, es mayor
en Villavicencio; sin embargo, ninguna de las líneas de tendencia parece reflejar un nivel
explicativo importante.
Figura 8: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Bogotá (Fuente: Cálculos propios).
53
Figura 9: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Medellín (Fuente: Cálculos propios).
Figura 10: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Cali (Fuente: Cálculos propios).
54
Figura 11: Estimación de mínimos cuadrados para la ciudad de Villavicencio (Fuente: Cálculos propios).
4.2 Proceso estocástico en las variaciones de temperatura.
Siguiendo lo propuesto por (Alaton et al., 2002) y según lo mencionado anteriormente, las
temperaturas no siguen un proceso determinístico, al contrario, siguen un proceso
estocástico aleatorio, por lo cual es necesario agregar un componente de ruido al modelo
determinista antes descrito.
Al observar la figura 8, 9, 10 y 11, se puede establecer que, aunque la temperatura varia a
lo largo del año, dentro de cada mes esta variación se acerca a un valor constante. Por lo
anterior, se hace la suposición de que la variación (𝜎𝑡) es constante para cada mes en el
tiempo, así:
𝜎𝑡 = {
𝜎1, duranteenero,𝜎2, durantefebrero,
…𝜎12, durantediciembre.
55
Donde {𝜎𝑖}𝑖=112 son constantes positivas, de tal forma que el proceso del ruido está definido
por (𝜎𝑡𝑊𝑡, 𝑡 ≥ 0),
Conforme a lo anterior, la temperatura diaria promedio estaría modelada por la ecuación
diferencial estocástica:
𝑑𝑇𝑡 = 𝑎(𝑇𝑡𝑚 − 𝑇𝑡)𝑑𝑡 − 𝜎𝑡𝑑𝑊𝑡 f. (4-12)
Donde 𝑎 ∈ ℝ, determina la velocidad de regresión a la media. Sin embargo, hasta este
punto la temperatura promedio (𝑇𝑡𝑚) en esta ecuación no revierte a la media, por lo que es
necesario agregar el término
𝑑𝑇𝑡𝑚
𝑑𝑡= 𝐵 + 𝜔𝐶cos(𝜔𝑡 + 𝜑) f. (4-13)
Este término no es constante, puesto que la temperatura media es variable, por esto se
debe ajustar para que la media de la ecuación diferencial estocástica se ajuste a los
descrito por 𝑇𝑡𝑚. Por lo tanto, cuando 𝑇𝑠 = 𝑥 el modelo de la temperatura es:
𝑑𝑇𝑡 = {𝑑𝑇𝑡
𝑚
𝑑𝑡+ 𝑎(𝑇𝑡
𝑚 − 𝑇𝑡)}𝑑𝑡 − 𝜎𝑡𝑑𝑊𝑡 , 𝑡 > 𝑠 f. (4-14)
Cuya solución es:
𝑇𝑡 = (𝑥 − 𝑇𝑠𝑚)e−𝑎(𝑡−𝑠) + 𝑇𝑡
𝑚 +∫ e−𝑎(𝑡−𝑟)𝜎𝑟𝑑𝑊𝑟
𝑡
𝑠
f. (4-15)
Donde
𝑇𝑡𝑚 = 𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐶sin(𝜔𝑡 + 𝜑) f. (4-16)
4.3 Estimación de la desviación (𝝈)
A continuación se presentan dos estimadores de 𝜎, siguiendo lo propuesto por (Alaton et
al., 2002). Dado un mes 𝜇, con 𝑁𝜇 semanas, serán 𝑇𝐽 con j=1,…,𝑁𝜇 las temperaturas del
mes 𝜇. El primer estimador está basado lo propone Basawa & Rao (1980) como:
𝜎𝜇2 =
1
𝑁𝜇∑ (𝑇𝑗+1 − 𝑇𝑗)
2
𝑁𝜇−1
𝑗=0
f. (4-17)
56
El segundo estimador es propuesto por Brockwell & Davis (2013) para 𝜎𝜇 durante un mes
𝜇, esta dado por:
𝜎𝜇2 =
1
𝑁𝜇 − 2∑(�̃�𝑗 − �̂�𝑇𝑗−1
𝑚 − (1 − �̂�)𝑇𝑗−1)2
𝑁𝜇
𝑗=1
f. (4-18)
Donde
�̃�𝑗 = 𝑇𝑗 − (𝑇𝑗𝑚 − 𝑇𝑗−1
𝑚 ) f. (4-19)
4.3.1 Estimación del parámetro de regresión de la media
Para encontrar 𝜎𝜇 (4.22) se necesita estimar 𝑎 para lo cual se puede usar el método de
martingala13 propuesto por Bibby & Sørensen, (1995) el cual define que �̂�𝑛 es un estimador
eficiente de 𝑎, denotado por:
�̂�𝑛 = − ln(∑ 𝑌𝑖−1{𝑇𝑖 − 𝑇𝑖
𝑚}𝑛𝑖=1
∑ 𝑌𝑖−1{𝑇𝑖−1 − 𝑇𝑖−1𝑚 }𝑛
𝑖=1
) f. (4-20)
Donde
𝑌𝑖−1 =𝑇𝑖−1𝑚 − 𝑇𝑖−1
𝜎𝑖−12 , 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 f. (4-21)
4.3.2 Resultados de la estimación de los parámetros de 𝝈 y regresión a la media
Según lo definido en (4.21) y (4.22) los valores de estimación de los parámetros de 𝜎 son
presentados en la tabla (7) para la ciudad de Villavicencio y en la tabla (6), en este última
se toman los valores promedio de cada uno de los dos estimadores para cada ciudad
13 El movimiento browniano es un proceso de tipo martingala, es decir, es un modelo de juego justo, donde el conocimiento de eventos pasados no afecta ni predice el comportamiento de los eventos futuros.
57
analizada. La diferencia en cada uno de los valores presentados puede ser explicada
porque el terreno colombiano es muy accidentado y cada ciudad está en un ambiente muy
diferente, además el fenómeno del Niño cambia la tendencia normal de las temperaturas
y, por la misma ubicación dispar, afecta de forma diferente cada una de las ciudades.
Mes Estimación 1 Estimación 2 Promedio
Enero 0,5 0,55 0,525
Febrero 0,65 0,71 0,68
Marzo 0,8 0,85 0,825
Abril 0,64 0,6 0,62
Mayo 0,45 0,49 0,47
Junio 0,36 0,39 0,375
Julio 0,8 0,86 0,83
Agosto 1,5 1,45 1,475
Septiembre 0,78 0,73 0,755
Octubre 0,6 0,56 0,58
Noviembre 0,54 0,49 0,515
Diciembre 0,47 0,52 0,495 Tabla 6: Estimaciones de 𝜎 para la ciudad de Villavicencio, obtenidas de la estimación por el método de
variación cuadrática (4.21) y la ecuación de regresión (4.22) (Fuente: Cálculos propios).
Mes Bogotá Medellín Cali Villavicencio
Enero 0,5 0,536 0,489 0,525
Febrero 0,65 0,497 0,833 0,68
Marzo 0,8 0,424 1,201 0,825
Abril 0,64 0,548 0,712 0,62
Mayo 0,45 0,540 0,380 0,47
Junio 0,36 0,529 0,206 0,375
Julio 0,8 0,416 1,214 0,83
Agosto 1,5 1,636 1,339 1,475
Septiembre 0,78 0,504 1,031 0,755
Octubre 0,6 0,555 0,625 0,58
Noviembre 0,54 0,563 0,492 0,515
Diciembre 0,47 0,538 0,427 0,495 Tabla 7: Estimaciones de 𝜎 para la ciudad de Bogotá, Medellín, Cali y Villavicencio, calculados como el
promedio de (4.21) y (4.22) (Fuente: Cálculos propios).
Una vez estimados los parámetros de 𝜎 de las ciudades estudiadas se pueden calcular los
parámetros de regresión a la media 𝑎, los cuales se encuentran en la tabla 8; de esta tabla
se puede concluir que la velocidad con la que la temperatura regresa a la media es
diferente puesto que en algunas ciudades hay temporadas de invierno o frio más
marcadas, así como para otras hay temperaturas altas y bajas con mucha continuidad. Es
pertinente aclarar que, en los casos en los que se observan valores de 𝑎 significará que
en aquella ciudad los valores de la temperatura tardaran más en llegar más a los valores
medios, por lo que se puede inferir que también tendrá menos ciclos en un año.
58
Ciudad Parámetro 𝒂
Bogotá 0.160
Medellín 0.112
Cali 0.080
Villavicencio 0.104 Tabla 8: Parámetro de velocidad de regresión a la media (𝑎) estimados de (4.24) para las cinco ciudades
estudiadas (Fuente: Cálculos propios)
59
5. Pronóstico del clima
Los pronósticos del clima son parte fundamental de los derivados climáticos. Dado el
impacto que puede generar un evento climático adverso, el sector demandante de este
tipo de contratos (tal es el caso de las empresas o el gobierno) buscará determinar en qué
casos los eventos climáticos pueden llegar a ser imprevisibles y con qué frecuencia se
podrán presentar; por lo tanto, mecanismos confiables de seguimiento del clima y modelos
robustos de pronóstico, no solo impactan el seguimiento del clima como subyacente, sino
que también llevan a determinar con mayor exactitud cuando una organización requiere el
cubrimiento de este tipo de contratos y en qué proporción.
Adicionalmente, los pronósticos del clima también benefician a los ofertantes de los
derivados climáticos ya que permiten valorar los instrumentos y, en esa misma medida,
detectar oportunidades de arbitraje (Campbell & Diebold, 2005).
Dado que no hay posibilidad de recrear una cartera de inversión que replique los pagos de
un derivado climático, debido a la particularidad del subyacente, la única opción para
realizar la valoración de una de estas opciones es realizar un pronóstico sobre la variable
a la que esté atada el instrumento junto con una función de utilidad. Sin embargo, existen
diversas dificultades en el desarrollo de análisis estadísticos sobre este tema ya que gran
parte de los modelos suponen una situación de equilibrio la cual no se corresponde con el
comportamiento de los índices del clima, estos son no estacionarios ya que están
caracterizados por variaciones en el largo plazo, ciclos y tendencias (Platen & West, 2004).
Los pronósticos del clima pueden ser utilizados junto con los derivados climáticos de forma
complementaria, tal es el caso de cuando se usan los pronósticos para determinar el mejor
curso de acción que una empresa debe tomar respecto del clima, y el uso del derivado
para cubrir contra la posibilidad de que el pronóstico esté mal, en este caso el derivado
pagaría según el tamaño y la dirección que tomara el error del pronóstico. Un ejemplo de
esta técnica puede verse en la ganadería, donde se realiza cierta compra de varias
cabezas de ganado de acuerdo a un pronóstico del clima favorable; en este caso, si el
pronóstico del clima está errado, se producirían daños en los pastos que afectarían el
ganado, dificultando su crecimiento y, en última instancia, afectando el precio de venta por
60
kilo. Este riesgo en los ingresos puede ser cubierto usando un derivado climático que
pague de acuerdo al posible error que puede tener el pronóstico.
Otra forma de usar los derivados climáticos en conjunto con los pronósticos del clima es
cuando este último determina un curso de acción y se usa el derivado para protegerse ante
los costos generados de incurrir en lo que se ha pronosticado, en este caso ambos
instrumentos están alineados. Un ejemplo se presenta en una construcción, cuando se
requiere evacuar a todo el personal porque va a haber un huracán, en este caso, de llegar
a predecir el huracán, la empresa constructora podría estructurar un derivado sobre los
costos de dicha evacuación. En este caso el derivado estaría directamente estructurado
sobre el pronóstico del clima.
Con las limitaciones de predicción del modelo antes descritas, las bondades de los
pronósticos expuestas al inicio de la presente sección, la necesidad de continuar con el
propósito de la presente investigación, en función de desarrollar un mecanismo de
valoración de derivados climáticos, y siguiendo lo propuesto por Alexandridis & Zapranis
(2012), a continuación se detalla el proceso de pronóstico para las cuatro ciudades
estudiadas.
En función de desarrollar el pronóstico, el método de Montecarlo (MC) es aplicado. Hasta
el momento se ha tratado de modelar el comportamiento de la temperatura a través de una
ecuación diferencial estocástica, la cual se describe a través del modelo Ornstein-
Uhlenbeck aplicado por Alaton et al. (2002). En dicho proceso subyace la definición de que
el ruido está definido como un movimiento Browniano.
5.1 Método Monte Carlo para pronósticos del clima
Conforme a lo anterior, el proceso que se seguirá es el siguiente. Primero, se deben crear
múltiples escenarios para la evaluación futura de la temperatura, que para la presente
investigación se hará de los índices HDD y CDD, antes descritos. Segundo, se debe
estimar la media de cada uno de esos escenarios.
61
El método MC provee una estimación insesgada de los valores de la temperatura, ya que,
conforme el número de escenarios (N) aumenta, el error estándar de la estimación,
denotado por 1/√𝑁, decrece. En la presente investigación se van a crear 10.000
escenarios, donde cada uno representara el estado futuro de la temperatura, sobre un
periodo especifico en el tiempo. Sin embargo, es pertinente profundizar en la descripción
de este método aplicado, particularmente, a la valoración de opciones.
De manera general, el método MC es un método de simulación numérica que se usa para
la valoración de opciones que no puede ser valoradas por a través del método de Merton-
Black-Scholes, es decir, para los que no existen fórmulas cerradas. En el método MC se
simulan un conjunto amplio de procesos estocásticos, que por descontarse a la tasa libre
de riesgo, sitúa el proceso de valoración en un entorno de riesgo neutral.
Este método parte de la definición de que el comportamiento del activo subyacente sigue
un movimiento geométrico browniano, el cual está definido por:
𝑑𝑆𝑡𝑆𝑡
= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 f. (5-1)
Donde 𝑑𝑆𝑡 es la variación del subyacente S, en el instante dt, 𝜇 es la esperanza matemática
del rendimiento del subyacente o la tasa de retorno esperada, 𝜎 es su desviación estándar
o su volatilidad y 𝑑𝑊𝑡 es el proceso de Wiener. Conforme a la anterior ecuación, se puede
expresar la ecuación de MC, de la forma
𝑆𝑡 + 𝑑𝑆𝑡 = 𝑆𝑡 exp [(𝜇 −1
2𝜎2)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡] f. (5-2)
Para simular el proceso se debe plantear la ecuación anterior en tiempo discreto,
dividiendo el tiempo en intervalos ∆𝑡, obteniendo la siguiente ecuación:
𝑆𝑡 + ∆𝑆𝑡 = 𝑆𝑡 exp [(𝜇 −1
2𝜎2)𝑑𝑡 + 𝜎𝜖𝑡√∆𝑡] f. (5-3)
Donde ∆𝑆𝑡 es la medida de variación del precio del activo subyacente (S) en el intervalo
de tiempo elegido ∆𝑡 y 𝜖𝑡~𝑁[0,1] es el número aleatorio.
62
Conforme a lo dicho inicialmente, ∆𝑡 estará dado por la cantidad de escenarios (o saltos
temporales) que se quieran crear, de tal forma que entre mayor sea el número de
escenarios, menor será ese espacio; siendo así, un intervalo menor en ∆𝑡 hará más precisa
la simulación. Se ha definido que el número de simulaciones a realizar será de 10.000,
siguiendo lo recomendado por Fernández & Somalo (2006), quienes afirman que a partir
de esta cifra de escenarios los resultados son confiables.
Puesto que ya se estimaron los parámetros desconocidos del modelo (sección 4.2 y 4.3),
y a partir del modelo de la temperatura antes descrito,
𝑑𝑇𝑡 = {𝑑𝑇𝑡
𝑚
𝑑𝑡+ 𝑎(𝑇𝑡
𝑚 − 𝑇𝑡)}𝑑𝑡 − 𝜎𝑡𝑑𝑊𝑡 , 𝑡 > 𝑠 f. (5-4)
Se necesita encontrar una ecuación en tiempo discreto, la cual está dada por Dagpunar
(2007):
𝑇𝑡 = (𝑇𝑠 − 𝑇𝑠𝑚)e−𝑎(𝑡−𝑠) + 𝑇𝑡
𝑚 + 𝜎𝜇√1 − e−2𝑎(𝑡−𝑠)
2𝑎𝑊(𝑠,𝑡) f. (5-5)
Donde {𝑊(𝑠,𝑡)} son variables aleatorias en intervalos {(𝑠, 𝑡)}. Para simular el proceso O-U
en un intervalo ∆𝑡 se debe hacer de acuerdo a la ecuación
𝑇𝑡+1 = (𝑇𝑠 − 𝑇𝑠𝑚)e−𝑎∆𝑡 + 𝑇𝑡+1
𝑚 + 𝜎𝜇√1 − e−2𝑎∆𝑡
2𝑎𝜖𝑡
f. (5-6)
Donde 𝜖𝑡~𝑁(0,1), es el conjunto de 10.000 números normalmente distribuidos, generados
a través del algoritmo Zigurat14. Para la estimación se usaron los parámetros de la ciudad
de Villavicencio puesto que estos obtuvieron el mayor grado de significancia estadística.
14El algoritmo Zigurat es usado para generar valores desde un distribución de probabilidad monótono decreciente, que puede ser aplicado a distribuciones normales o, en genera, a distribuciones simétricas unimodales. La razón de su uso es que la función randn de MATLAB ® usa este algoritmo por defecto.
63
De esta manera, la simulación se presenta en la figura 12. Comparando esta simulación
con las temperaturas reales de esta ciudad presentadas en la figura 3 se observa que el
pronóstico representa una tendencia similar que los datos históricos puesto que al inicio
del periodo de análisis los datos tienden un pico pronunciado y de ahí en adelante
conservan una tendencia negativa, con particular énfasis en el último cuarto de la serie.
Figura 12: Trayectoria del modelo de Ornstein-Uhlenbeck de la ciudad de Villavicencio (Fuente: Cálculos
propios).
64
6. Valoración de un derivado climático.
Siendo claras las limitaciones sobre el nivel de significancia del modelo de la temperatura
promedio, es pertinente finalizar con el desarrollo del proceso de valoración dado que
representa la última etapa en el proceso de definición de un derivado climático. Al margen
de las observaciones hechas, es relevante exponer la totalidad del proceso porque este es
replicable para cualquier otro tipo de derivado de tipo exótico.
Siguiendo lo propuesto por Alaton et al. (2002), y dado que el mercado de derivados es de
tipo incompleto, puesto que el subyacente no es comerciable, se debe considerar un precio
de riesgo de mercado 𝜆, la cual mide el exceso de retorno por cada unidad de riesgo de
una inversión15, dado que no hay un mercado desarrollado para obtener los precios, se
asume que este valor es constante. Además, se asume que existe un activo libre de riesgo
con una tasa de interés constante r y un contrato que por cada grado Celsius paga una
unidad monetaria. De esta forma, bajo una medida martingala ℚ, caracterizada por un
precio de mercado 𝜆, el proceso del precio 𝑇𝑡 va a estar determinado por:
15 Usualmente, esta medida de riesgo se calcula con la razón de Sharpe (Sharpe, 1994), el cual está dado por
𝑆 =E[𝑅 − 𝑅𝑓]
𝜎
Donde R, es el rendimiento de la inversión, 𝑅𝑓 generalmente es el rendimiento de la tasa libre de
riesgo, E[𝑅 − 𝑅𝑓] es el valor esperado de la prima por riesgo de la inversión o el exceso del
rendimiento descontado la inversión de referencia y 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟[𝑅 − 𝑅𝑓] o la volatilidad de ese exceso
de inversión.
65
𝑑𝑇𝑡 = {𝑑𝑇𝑡
𝑚
𝑑𝑡+ 𝑎(𝑇𝑡
𝑚 − 𝑇𝑡) − 𝜆𝜎𝑡}𝑑𝑡 + 𝜎𝑡𝑑𝑉𝑡 f. (6-1)
Donde (𝑉𝑡, 𝑡 ≥ 0) es un proceso Wiener. El valor esperado y la varianza estarán dados
por:
𝐸ℚ[𝑇𝑡|𝐹𝑠] = (𝑇𝑠 − 𝑇𝑠𝑚)e−𝑎(𝑡−𝑠) + 𝑇𝑡
𝑚 −𝜆𝜎𝑖𝑎(1 − e−𝑎(𝑡−𝑠))
f. (6-2)
Var[𝑇𝑡|𝐹𝑠] =𝜎𝑖2
2𝑎(1 − e−2𝑎(𝑡−𝑠)) f. (6-3)
De acuerdo a lo anterior, para simular las trayectorias de la temperatura bajo una medida
de riesgo neutral se requiere agregar estos términos a las ecuaciones (5.5) y (5.6). De tal
forma que se sigue un proceso de tipo O-U en la medida de riesgo natural con 𝑡 > 𝑠,
denotado por:
𝑇𝑡 = (𝑇𝑠 − 𝑇𝑠𝑚)e−𝑎(𝑡−𝑠) + 𝑇𝑡
𝑚 −𝜆𝜎𝑖𝑎(1 − e−𝑎(𝑡−𝑠))
+ 𝜎𝜇√1 − e−2𝑎(𝑡−𝑠)
2𝑎𝑊(𝑠,𝑡)
f. (6-4)
Se sigue el mismo proceso de discretización aplicado en la sección anterior, con lo que se
obtiene:
𝑇𝑡+1 = (𝑇𝑠 − 𝑇𝑠𝑚)e−𝑎∆𝑡 + 𝑇𝑡+1
𝑚 −𝜆𝜎𝜇
𝑎(1 − e−𝑎∆𝑡) + 𝜎𝜇√
1 − e−2𝑎∆𝑡
2𝑎𝜖𝑡 f. (6-5)
Donde 𝜖𝑡~𝑁(0,1), y corresponde a 10.000 escenarios generados por el algoritmo Zigurat
que se ha venido trabajando.
6.1 Aplicación del modelo a una opción europea
Dado que no existe un mercado de derivados desarrollado donde se usa la temperatura
de algunas de las ciudades estudiadas, es necesario hacer ciertas suposiciones sobre
algunos parámetros, además del precio de mercado 𝜆. El nivel de la temperatura de
referencia 𝑇0, que como se había dicho inicialmente es de 18°C; un valor de strike 𝑆 de 30
66
HDD o índices de calor diarios, asumiendo de que en promedio en 30 días la temperatura
aumento 1°C y, si el periodo del contrato es de 30 días, se daría lugar a que se presentaran
30 HDD, por lo que una vez sobrepasado este nivel se tendría que calcular el valor de la
opción climática; la tasa libre de riesgo 𝑟 será 5%; además, se asume que el valor nominal
(𝛼) será de 1 por simplicidad16, el cual que representa la cantidad de dinero que el tenedor
o el comprador reciben por cada grado de acumulación semanal que se encuentre el índice
por encima del valor de strike.
Además de lo anterior, se asume que se va a valorar una opción de grados de calor diarios
(o HDD, por sus siglas en ingles). Según lo definido en las funciones (1.9) y (1.10) el pago
para una opción HDD está dado por:
𝑋 = 𝛼max{𝐻𝑛 − 𝐾, 0} f. (6-6)
Donde 𝛼 = 1 y
𝐻𝑛 =∑max{18 − 𝑇𝑡𝑖, 0}
𝑛
𝑖=1
f. (6-7)
En la tabla 9 se presentan los términos en los que se suscribiría la opción HDD.
16 Para hacer un cálculo más preciso de un valor adecuado del nominal se podría calcular, por ejemplo, la relación de afectación de un cultivo a cambios en el clima en algún periodo de tiempo determinado, a través de una regresión lineal que calcule la razón de cambio de los valores de producción del bien frente a la temperatura. De esta forma este valor podría tener la forma de 𝑥cantidaddeproducto Nivelesperiodicosdefrioocalor⁄ o, si se quisieran relacionar la afectación económica, 𝑥cantidaddedinerosujetoapérdida Nivelesperiodicosdefrioocalor⁄ .
67
Parámetro Opción HDD
Ciudad Villavicencio
Índice HDD
Tipo Call
Periodo Enero 2013
Tasa libre de riesgo 𝒓 5%
Nivel de referencia 𝑻𝟎 18°C
Strike 𝑺 12HDD
Nominal 𝜶 1/HDD
Tabla 9: Especificaciones de una opción call HDD para la ciudad de Villavicencio.
6.2 Resultados.
Para realizar el cálculo de la opción de compra se usó el método de simulación de Monte
Carlo debido a las limitaciones que tiene el método de BSM, antes definidas. Conforme a
lo anterior, el procedimiento de cálculo será calcular los resultados de la simulación (f. 6.5)
(ver anexos Valoración de derivados), a partir de los datos calculados se calcula el valor
del índice (f. 6.7) y a partir de este se calcula el valor la opción según su función de pago,
en este caso (f. 6.6). Conforme a lo anterior, y bajo los supuestos hechos el valor de la
opción estaría dado por
𝑋 = 𝛼max {∑𝑚𝑎𝑥{18 − 𝑇𝑡𝑖, 0}
𝑛
𝑖=1
− 𝐾, 0}
f. (6-8)
El cual depende a su vez de los valores de (f 6.5).
68
7. Conclusiones y recomendaciones
7.1 Conclusiones
Con el objetivo de proponer un mecanismo que asigne inmediata y eficientemente recursos
para cubrir los costos económicos de la ocurrencia de eventos climáticos adversos, en el
presente trabajo se han estudiado los principales aspectos de la gestión de riesgo climático
en el mundo y en Colombia, así como los principales mecanismos de cobertura y sus
distintas formas de aplicación.
Específicamente, se ha hecho énfasis en el desarrollo de los derivados climáticos como
instrumentos financieros que proveen una cobertura amplia y eficiente sobre distintos
sucesos climáticos aplicables a distintos sectores de la economía. Por este motivo, se ha
profundizado en la valoración de un derivado climático partiendo de las observaciones de
temperatura de cuatro ciudades colombianas, Bogotá, Cali, Medellín y Villavicencio; el fin
de desarrollar este proceso de valoración es proponer un derivado financiero teórico
aplicado al contexto colombiano que sirviera como herramienta de gestión del riesgo
climático.
En el proceso de desarrollo del derivado se presentaron los distintos subyacentes que
podía tener este instrumento, consecuentemente se determinó estudiar la temperatura
como subyacente dado que hay un gran conjunto de actividades económicas relacionadas
con su desempeño. En consecuencia, se presentaron las series de datos y se estudiaron
a través de diferentes estadísticos. El principal resultado de este análisis fue comprobar
que la temperatura sigue un proceso de regresión a la media, es decir que no se aleja por
trayectorias prolongadas de sus valores más comunes y que este mismo valor es
69
cambiante según la trayectoria del año, en un escenario que no está caracterizado por
tener estaciones plenamente definidas, como bien se puede esperar de los países que
están sobre la franja ecuatorial. Respecto de la temperatura, se decidió trabajar con la
temperatura media diaria dado que, por definición, esta incluye todos los cambios y
fluctuaciones de un día.
Derivado de los anteriores hallazgos, se desarrolló el estudio de los distintos enfoques para
modelar la temperatura y se determinó que aquel que trabaja directamente con las
observaciones es el más adecuado porque llega a definir directamente su comportamiento
aprovechando de mejor forma las observaciones históricas. De igual forma se sustenta
porqué es más apropiado seguir un enfoque continuo en su modelación, para lo cual se
empleó el proceso de Ornstein-Uhlenbeck propuesto por Alaton et al.(2002).
Con el fin de presentar el derivado climático teórico, se desarrollaron todos los pasos para
su definición dado el enfoque seleccionado, tales son la definición de un modelo de
comportamiento de la temperatura promedio, la realización de un pronóstico del clima a
partir de ese modelo y la valoración a partir del derivado y de la definición de algunos
parámetros para el tipo de opción seleccionada, que para este caso fue una opción
europea de compra. Al margen de los resultados adversos en el proceso de modelación,
se continuó con el proceso puesto que el fin último de la investigación es desarrollar toda
una metodología de valoración en pro de presentar un instrumento financiero.
De manera general, al concluir el proceso, se demuestra que es posible desarrollar un
instrumento financiero del tipo de un derivado climático, en el contexto colombiano, con las
ventajas ya expuestas, para mejorar la atención de eventos adversos en un país que es
proclive a los cambios en clima.
7.2 Recomendaciones
Como se ha enfatizado, la principal limitación en el desarrollo de esta investigación fue el
grado de ajuste que el modelo de la temperatura promedio diaria tenía sobre los datos, al
respecto se debe mencionar que añadiendo un proceso de suavizado de los datos se
podrían encontrar mejores resultados. Así mismo, en la sección 2.2 se describieron los
70
principales avances relacionados con el enfoque de modelación seleccionado, por tanto,
estos mismos desarrollos sirven como guía para futuras investigaciones que quieran
mejorar la descripción del comportamiento del clima.
De igual forma, en la sección 4 se estimaron los parámetros del modelo con un enfoque
lineal, con relación a este cálculo se debe mencionar que existen otros mecanismos más
robustos y exactos de cálculo descritos ampliamente en Alexandridis & Zapranis, (2012).
Además, se pueden seleccionar otro tipo de opciones para valorar, así mismo, se pueden
realizar supuestos más pertinentes al contexto actual, dado que en este trabajo la
determinación de los valores de la opción fue arbitraria. Por ejemplo, se podría analizar el
impacto que tiene el clima en la producción de cierto bien y a partir de esos cambios por
unidad de temperatura, determinar el valor del índice
71
A. Anexo: Códigos de MATLAB®
Graficas tipo plot:
BOG_y = datetime(BOG_fecha,'ConvertFrom','excel'); %BOG_y es la
temperatura de Bogotá
MED_y = datetime(MED_fecha,'ConvertFrom','excel'); %MED_y es la
temperatura de Medellín
CAL_y = datetime(CAL_fecha,'ConvertFrom','excel'); %CAL_y es la
temperatura de Cali
VIL_y = datetime(VIL_fecha,'ConvertFrom','excel'); %VIL_y es la
temperatura de Villavicencio
figure subplot(2,2,1) plot(BOG_y,BOG_tmed) title('Bogotá') xlabel('No de periodos') ylabel('Gº Celsius') subplot(2,2,2) plot(MED_y,MED_tmed) title('Medellín') xlabel('No de periodos') ylabel('Gº Celsius') subplot(2,2,3) plot(CAL_y,CAL_tmed) title('Cali') xlabel('No de periodos') ylabel('Gº Celsius') subplot(2,2,4) plot(VIL_y,VIL_tmed) title('Villavicencio') xlabel('No de periodos') ylabel('Gº Celsius') suptitle('Temperatura promedio diaria 1988-2012')
Histogramas:
figure
72
subplot(2,2,1) hist(BOG_tmed,50) title('Bogotá') subplot(2,2,2) hist(MED_tmed,50) title('Medellín') subplot(2,2,3) hist(CAL_tmed,50) title('Cali') subplot(2,2,4) hist(VIL_tmed,50) title('Villavicencio') suptitle('Histograma')
Estadísticos:
medtmed = nanmedian(MED_tmed);
mtmed = nanmean(MED_tmed); vartmed = nanvar(MED_tmed); stdtmed = nanstd(MED_tmed); rangetmed = range(MED_tmed); skwtmed = skewness (MED_tmed); krttmed = kurtosis (MED_tmed); [jb,pvalue]=jbtest(MED_tmed,0.01); T =
table(medtmed,mtmed,vartmed,stdtmed,rangetmed,skwtmed,krttmed,jb,pvalue)
Correlación:
X=[BOG_tmed MED_tmed CAL_tmed VIL_tmed]; covarianza=nancov(X) correlacion=corrcoef(X,'rows','pairwise')
Modelación de temperatura:
%usar curve fitting toolbox
function [fitresult, gof] = createFit(VIL_x, VIL_tmed) %CREATEFIT(VIL_X,VIL_TMED) % Create a fit. % % Data for 'BOG_fit1' fit: % X Input : VIL_x % Y Output: VIL_tmed % Output: % fitresult : a fit object representing the fit. % gof : structure with goodness-of fit info. % % See also FIT, CFIT, SFIT.
% Auto-generated by MATLAB on 10-Nov-2015 19:00:42
73
%% Fit: 'BOG_fit1'. [xData, yData] = prepareCurveData( VIL_x, VIL_tmed );
% Set up fittype and options. ft = fittype(
'a*(1)+b*(VIL_x)+c*(sin((2*pi*VIL_x)/365))+d*(cos((2*pi*VIL_x)/365))',
'independent', 'VIL_x', 'dependent', 'VIL_tmed' ); opts = fitoptions( 'Method', 'NonlinearLeastSquares' ); opts.Display = 'Off'; opts.StartPoint = [0.646313010111265 0.709364830858073 0.754686681982361
0.276025076998578];
% Fit model to data. [fitresult, gof] = fit( xData, yData, ft, opts );
% Plot fit with data. figure( 'Name', 'BOG_fit1' ); h = plot( fitresult, xData, yData ); legend( h, 'Temp. media vs. No. de Observaciones', 'Línea de Ajuste',
'Location', 'NorthEast' ); % Label axes xlabel 'No. de Observaciones' ylabel 'Temp. media' title 'Estimación de mínimos cuadrados para Villavicencio' grid on
Pronóstico del clima
%Hecho por Hernán Darío Hernández. Todos los derechos reservados
clc clear all close all filename= 'VIL_Tmed.xlsx'; T_t=xlsread(filename,'f2:f9491'); Tm_t=xlsread(filename,'l2:l9491'); a=0.0104; %Parámetro de velocidad de regresión a
la media sigma=0.0525; %Parámetro de desviación dt=1; %Longitud intervalo de tiempo N=9489; %Número de escenarios de simulación epsilon_t=randn(1,N); %Vector de números aleatorios t=1:dt:9489;
function [Ans]=FirstTerm(T_t,Tm_t,dt,a) k=exp(-a*dt); for i=1:length(T_t)-1 Ans(i)=(T_t(i)-Tm_t(i))*k; end
function [Tm_tPlus1]=SecondTerm(Tm_t) for i=1:length(Tm_t)-1 Tm_tPlus1(i)=Tm_t(i+1); end
74
function [Ans]=ThirdTerm(epsilon_t,sigma_micro,a,dt) aux1=sigma_micro*sqrt((exp(-a*dt))/(2*a)); Ans=aux1*epsilon_t;
[FT]=FirstTerm(T_t,Tm_t,dt,a); [ST]=SecondTerm(Tm_t); [TT]=ThirdTerm(epsilon_t,sigma,a,dt); MonteCarlo=FT(1:2000)+ST(1:2000)+TT(1:2000); plot(t(1:2000),MonteCarlo(1:2000)) xlabel('Tiempo') ylabel('Temperatura') title('Pronóstico de temperatura') grid on
Pronóstico del clima
%Hecho por Hernán Darío Hernández. Todos los derechos reservados
clc clear all close all filename= 'VIL_Tmed.xlsx'; T_t=xlsread(filename,'f2:f9491'); Tm_t=xlsread(filename,'l2:l9491'); a=0.0104; %Parámetro de velocidad de regresión a
la media sigma=0.0525; %Parámetro de desviación dt=1; %Longitud intervalo de tiempo N=9489; %Número de escenarios de simulación epsilon_t=randn(1,N); %Vector de números aleatorios tick=1000;K=12*omega;L= 1/omega %Valor del tick, nominal y strike
t=1:dt:9489;
lambda=0.01;
y=MonteCarlo;
y(1,:)=randn(1,N);
function [Ans]=FirstTerm(T_t,Tm_t,dt,a) k=exp(-a*dt); for i=1:length(T_t)-1 Ans(i)=(T_t(i)-Tm_t(i))*k; end
function [Tm_tPlus1]=SecondTerm(Tm_t) for i=1:length(Tm_t)-1 Tm_tPlus1(i)=Tm_t(i+1); end
function [Ans]=ThirdTerm(epsilon_t,sigma_micro,a,dt) aux1=(-sigma_micro*lambda)/a)* (1-exp(-a*dt))*sigma_micro*sqrt((exp(-
a*dt))/(2*a)); Ans=aux1*epsilon_t;
[FT]=FirstTerm(T_t,Tm_t,dt,a); [ST]=SecondTerm(Tm_t); [TT]=ThirdTerm(epsilon_t,sigma,a,dt); MonteCarlo=FT(1:2000)+ST(1:2000)+TT(1:2000); plot(t(1:2000),MonteCarlo(1:2000))
75
omega=sum(max(18-y,0));
payoff=tick*(max(0,K-omega)-max(0,L-omega));
P(j)=exp(r/12)+sum(payoff)/N
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