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15/03/12 Problemas de Campo electrico

Pro blemas de Fisica, BachilleratoTema: Campo electrico

Campo nuloTre s can=as en un cuadrado

Dos can=asEle ctros copioDisco can=adoAnillo can=ado

Tres vertices can=ados PAUElectron fremindose

Can=a en condensadoresCondensador plano

Can=a en movimientoRedistribucion de can=as

Dos condensadoresFue I7llentre placasDos can=as PAU

Un electron es lanzado con una velneidad de 2.106 m/s paralelamente a las line as de un campoelectrico uniforme de 5000 VIm. Determinar:

a) La distancia que ha recorrido el electron cuando su velocidad se ha reducido a 0'5.106 m/sb) La varlaelon de energia potencial que ha experimentado en ese recorrido.Solueien:

E Al tener el electron carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta alcampo electrico que le va frenando:

m.a=q.E ~ a=q.E/ma =1'6.10-19 . 5000 I 9'l.1O-31 =8'79.1014 mls2

Al ser la aceleracion constante, las ecuaciones del movimiento son:

perso.wanadoo.es/vicmarmor/efb_campoelec.htm


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15/03/12 Problemas de Campo electricov =vo - a. t ~ t = (vo - v) / a = (2.106 - 0'5.106) /8'79.1014 = 1'7.10-9 s

e = Yo . t - a. t2 12 = 2.106. 1'7.10-9 - 8'79.1014 . (1'7.10-9)2/2 = 0'0021 mLa diferencia de potencial entre dos puntos de un campo uniforme es:

VA - VB = E. d = 5 00 0 . 0 '0 02 1 = 10'5 Voltios

La variac ion de energia potencial sera:EPA - EPB = q. (VA - VB) = _1'6.10-19 . 10'5 = - 1'68.10-18 Julios

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P.A.U. Madrid Junio 2000Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en lospuntos (0,5) y (0,-5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.a) lin que punto del plano el campo electrieo es nulo?b) lCuaJ. es el trabajo necesario para llevar una carga unidaddesde el punto 0,0) al punto (-1,0)?Solueien:

/ v

. . . . . x segmento queune las cargas,segmento AB, el

campo no puede anularse pues los campos forman angulos distintos de 18 0 D. Solo puede anularse enA 1(x,O)

La suma de dosvectores da nulosi tienen el mismomodulo y formanentre sf 1800.Enlos puntossituados fuera del B



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15/03/12 Problemas de Campo electricoel segmento AB.Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto ala carga, para que los doscampos sean iguales y opuestos solo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso elorigen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analiticamente, consideremos un punto genericodel segmento de coordenadas (x,0) y determinemos xpara que el campo sea nulo:

Campo creado en P por la carga situada en A: E= K.q 1(5+x)2

Campo creado en P por la carga situada en B: E =K. q 1(5-x)2Los dos campos deben ser iguales en modulo para que su surna vectorial de campo nulo:

K. q 1(5+x)2 =K. q 1(5-x)2 - - - (5+x)2 = (5_x)2 - - - x = 0El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro del campo es igual al producto de la carga por ladiferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajocoincide con la d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser lascargas iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relacion a las cargas, iguales, lospotenciales son iguales y por tanto el trabajo es nulo:

VI =K. qA I rA + K. qB Ir B = 9.109 .2.10-3 .( 1 14 + 1 16) = 7'5.106 Voltios

V2 = K. qA I rA + K. qB Ir B = 9.109 .2.10-3 .( 1 16 + 1 14) = 7'5.106 Voltios

VI - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 = 0 - - - W = 0 JuliosI r a l p rin cip io



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Madrid Junio 2002

Problemas de Campo electrico

Se tienen tres cargas en los vertices de un triangulo equihitero cuyas coordenadas, expresadas encm, son:

A (0,2) , B (-..)3, -1) , C (..)3, -1)Se sabe que las cargas situadas en los puntos By C son iguales a 2 IlC Yque el campo electrico enel origen de coordenadas (centro del triangulo) es nulo. Determinar:a) El valor de la carga situada en el vertice Ab) El potencial en el origen de coordenadasSolueien:El campo electrico a una dis tancia r de una carga es :

E= [K.Q I ~].usiendo u el vector unitario en el sentido de la carga al puntoSi el triangulo es equilatero el centro del mismo equidista de losvertices, por 1 0 que el valor de res el mismo para las tres cargas. Almismo tiempo los sentidos de los tres campos en el centro deltriangulo forman 120.Si el campo total es nulo, si el centro equidista de los vertices y silos campos forman 120, las tres cargas deben ser iguales; por

tanto el valor de la carga situada en el vertice A es de + 2 IlCEl potencial en el centro del triangulo sera la suma de los potenciales creados por cada carga:

Vo = VO,A +VO,B +Vo,cEl potencial en un punto debido a una carga es una magnitud escalar de valor:

V=K.Q/rAl tener cada vertice la misma carga, al tener r el mismo valor para cada carga, se deduce que lospotenciales creados por cada carga son iguales y de valor:

VO,A =VO,B =Vo,e = K. Q I r= 9.109.2.10-6 10'02 = 900 000 VoltiosVo = 3 . 900000 = 2 700 000 Voltios

Nota: Con los datos de las coordenadas se puede deducir que el triangulo es equilatero y que elcentro del triangulo coincide con el centro de coordenadas, por 1 0 que estos datos son redundantes.

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Disponemos de dos condensadores de 3 y 5 microfaradios cargados a 500 y 700 voltiosrespectivamente. Permaneciendo cargados se unen las placas del mismo signo. Determinar la ddp.que se establecera y la carga de cada condensador.

vLa carga de cada condensador independiente es q = C. V

ql = Cj.V] = 3.500= 1500IlCq 2 =C2V2= 5.700= 3500 IlC

Al unir los dos condensadores por sus placas del mismosigno, 1acarga no desaparece ni contrarresta; 1acarga del condensador equiva1ente debe ser igua1alasuma de cargas:

q =ql +q2 = 1500+ 3500= 5000I lCLa capacidad equiva1ente del conjunto en para1elo es 1asuma:

La d.d.p. que aparecera entre las placas de este conjunto sera:V= q / C = 5000/ 8= 625Voltios

y la carga de cada condensador sera q = c.vq'l = 3. 625 = 1875 Il C q'2 = 5.625 = 3125 Il C

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Un condensador esbi formado por dos placas de superficies 120 cm2 y sometidas a una ddp. de 200wltios. Determinar que fuerza hay que hacer en cada placa para mantenerlas separadas 2 cm.



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15/03/12 Problemas de Campo electricoEl campo electrico en el interior del condensador se debe a las dos placasy su valores: E=al Pero el campo en la superficie de una placa s6lo se debe ala otra placa ysuvalores: E=al (2)

siendo:q carga de la placa 0 carga alrnacenada por el condensadora = q 1 8 densidad superficial de carga = 1/(4.n.k) constante dielectrica del medio entre las placas

La carga alrnacenada por el condensador es: q = C. ysiendo CIa capacidad del condensador: C = s .8 1 d

La fuerza que actua sobre una placa, debida a la otra, es:F = q. E= q. a 1 (2 ) = q2 1 ( 2 . 8. ) = (C.V)21(2 .8 . s) = ~ .82 .y2 I (d2.2. 8. s) = .8 .v2 I (2.d2)F = . 8 .y2 I (2.d2) = 8 .y2 I (8.n.k.d2)= 0'012.2002 I (8. rt, 9.199 .0'022)= 5 ' 3 . 10-6Newtons

I r a l p rin cip io

Determinar la relaci6n que existe entre las capacidades de dos condensadores si conectados en serietiene una capacidad cuatro veces menor que conectados en paralelo.

La capacidad equivalente de dos condensadores en paralelo es: ~ = Cl+ C2y en sene: c , = 1 I ( l/ Cl + 1 /C2)Sila capacidad en serie es cuatro veces menor que en paralelo, tenemos:



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15/03/12 Problemas de Campo electricoC1 =C2

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Calcular el campo y el potencial electrico producido por un anillo conductor de radio R cargado conuna carga Q, en un punto de su eje perpendicular.

dE Consideremos un elemento del anillo formado por un arcode apertura dB. El valor de ese arco sera:

z dL=R dSr y la carga que contiene sera:dq = Q. dLl(2.11.R) = Q. dS /(2.11)

El campo creado por este elemento de carga en un punto zdel eje perpendicular es:

dE = k. dq / ~ = k. Q. dB /(2.11.~)Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la direccion del eje zy otro perpendicularal anterior; esta ultima componente se anulara con la componente producida porun elemento de cargasituado en la posicion simetrica en el disco, por 10que solo interesa la componente en el eje z:

dEz = dE. sen a = [k. Q. dS /(2.11.~) ]. (z / r) = k. Q. z. dS /(2.11.~)El campo total producido por el anillo sera la integral respecto a S entre 0 y 2.11:

Ez = ) dEz = ) k. Q. z. dB /(2.11.~) = k. Q. z / ~ = k. Q. z / (~ +R2)3/2El potencial creado por el elemento de anillo sera:

dVz = k. dq /r = k. Q. dB /(2.11.r)El potencial total se 0btiene integrando la expresion anterior:

Vz = ) k. Q. dS /(2.11.r) = k. Q / r = k. Q / (~ +R2)1/2Ir al principio



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Un disco circular de radio R esta cargado uniformemente con una densidad de carga o C/m2.Determinar el campo electrico y el potencial en un punto del eje perpendicular.

dE Consideremos un elemento de superficie formado por unsector de apertura de de una corona circular de radios r y r +dr. El valor de esa superficie sera:

z u dS =r. d8 .dry la carga que contiene sera:

dq = cr. dS = cr. r. de .drEsta carga creara en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un campo electrico devalor:

dE=k. dq lu2

Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la direccion del eje zy otro perpendicularal anterior; esta ultima componente se anulara con la componente producida porun elemento de cargasituado en la posicion simetrica en el disco, por 1 0 que solo interesa la componente en el eje z:

dE.z= dE. sen a = (k. dq lu2 ). (z lu) = k. z. dq lu3 = k. z. cr. r. de .dr I(z:. +~)3/2El campo total sera la integral de la expresion anterior desde 0 a 2.TI,respecto a 8, y desde 0 a R ,respecto a la variable r:

E.z= J J dE.z = J J k. z. cr. r. de .dr I(~ +~)3/2 = k. z. cr.2.TI:.Jr. dr I(~ +~)3/2 = - TI:o;k. z. (z:.+~r1/2lO R

El potencial en el punto debido al elemento de carga es:

dVz = k. dq lu = k. cr. r. de .dr I (z:.+~)1/2el potencial total se obtendra integrando dos veces entre los mismos limites:

Vz = k. cr.2.TI:.Jr. dr I(z:. + ~)1/2 = k. cr.2.TI:[(~ + ~)1/2 lO R

I r a l p rin cip io



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Dos cargas de + 12 mC y -18 mC estan separadas 40 cm. Determinar en que punto del espacio elcampo es nulo.

B/. . . . . . . " 4A +q C -q-x

La suma de dos vectores da nulo si tienen elmismo modulo y forman entre sf 180". En lospuntos como B, C y D el campo no puedeanularse pues los campos forman angulosdistintos de 180. Solo puede anularse en el ejeque une las cargas y a derecha 0 izquierda de. . . .. . . . . . . . .. I - - - ~. . . . . . . . . . . . ._ . . . . . .- . . . .... elias, no entre elias. En elpunto Eno puede serE pues la carga negativa es mayor y genera uncampo todavia mayor por estar mas proxima alpunto.La unica posibilidad es en un puntocomo el A. En A los campos creados por lascargas son opuestos y valen:

E t -q= . 12.10-6/;'

E_q =k. 18.10-6/ (0'4 + x) 2Para que el campo total sea nulo los dos campos deben ser iguales en modulo:

~ 12/;' =18/(0'4 + x) 2 ~ x= 1'78mElcampo se anula a 1'78 mde la carga positiva.Ir al principio

En tres vertices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas eleetricas de +125 m C.Determinar el campo electrico en el cuarto vertlce y el trabajo necesario para trasladar una carga de-10 m C desde ese vertice al centro del cuadrado.El campo producido en D sera la suma vectorial de los campos creados por cada carga:

Elcampo resultante tendra la direccion y sentido de EBy valdra:



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15/03/12 Problemas de Campo electricoB a A. .~----------~..

oE= k. q. (1 12 + 2112) I a2 = 9.109. 125.10-6. (1 1 2 + 2112) 10'4 2 =

1'35.107 N ICE1trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es lacarga por la d.d.p. entre los puntos:

c El potencial en un punto es la suma de los potencia1es creadospor cada carga:V(D) = k q I a + k. q. la + k. q. l( a2 + a2 )1/2 = + k q. (2 + 1 I21 /2 ) I a

V(D) = 9.109. 125.10-6. (2 + 1 /2112) 10'4 = 7613738 VoltiosV(O)= 3. k. q. I( al 2 1/2 ) = 3.9.109.125.10-6.2112 I 0'4= 11932427Voltios

W = q' . (Y(O) - V(D)) = - 10.10-6. ( 11932427 -7613738) = 43'2 J

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Dos cargas electricas puntuales de +10 m C y -10 me estan separadas 10 cm. Determinar elcampo y potencial electrico en el punto medio de la recta que las une y en un punto equidis tante 10cm de las cargas.

En el punto C los campos creados por cada carga son iguales en modulo,direccion y sentido, hacia la carga negativa. E1campo total sera:

a E(C,+q) = E(C,-q) = k. q l(a/2)2E(C) = 2. k.q, 41 a2 = 8.9.109.10.10-6 10'1 2 = 7'2 N IC

El potencial sera:V(C) = k, q I (a/2) + k(-q) l(a/2) = 0 Voltios

El punto A y las cargas forman un triangulo equilatero. En el punto A, tambien por igualdad de datos,los m6dulos de los campos son igua1es y sus sentidos los del dibujo y e1campo total sera paralelo alarecta que une las cargas:

E(A,+q) = E(A,-q) = k.q la 2

El valor de E(A) resu1ta ser igual al campo creado por una carga por ser el triangulo equilatero:

E(A) = [E(A,+q)2 + E(A,-q)2 - 2. E(A,+q). E(A,-q).cos 60]1 /2



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15/03/12 Problemas de Campo electricoE(A) = k.q la2 = 9.109.10.10-6 10'12 = 9.109 N IC

YeA) = k. q la + k. (-q) la = 0 YoltiosIr al principio

Dos esferas de 25 gramos estan cargadas con identica carga eleetrica y cuelgan de dos hilosinextensibles y sin m as a de 80 cm de longitud, suspendidos del mismo punto. Los hilos forman 45con la vertical. Calcular la carga de cada esfera y la tension del hilo.

La fuerza F que separa las cargas se debe a la repulsionelectrostatica, pues ambas son del mismo signo.

T (J ax= 2. a. sen (q 12)

Si estan en equilibrio la suma de la fuerza electrostatica y el pesodebe tener la direccion de la cuerda:

tg (q 12 ) =F Ip ~ F=p.tg(q/2)k. q2 I x l - = mg. tg (q 12) ~ q2 = m g. ; .tg (q 12) I k

q =2.a.sen (q 12).[ m g ..tg (q 12) I k]1/2 =2.0'8. sen 45.[25.10-3.9'8 .tg45 19.109 ]1/2 = 5'9.10-6 C

F = 9.109 . (5'9.10-6)2 I (2.0'8.sen45)2 = 0'245 NLa tens ion del hilo sera:

T = R = pi cos(q 12) = 25.10-3 .9'8 I cos45 = 0'35 NIr al principio



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CA . - -H---- B

Problemas de Campo electricoCuatro condensadores iguales de 30 microfaradios se conectan segun lafigura adjunta. Determinar la capacidad equivalente del conjunto y la ddp. aque esta sometido y la carga que almacena cada condensador si conectamos lospuntos Ay B a una ddp. de 500 voltios.Solueion:

C2 y C3 estan en paralelo por 1 0 que su capacidad equivalente es:Cs = C2 + C3 = 30 + 30 = 60 m F

El resultado, Cs, esta en serie con CI, par 1 0 que la capacidad equivalente es:C6 = 1/( 1/ CI + 1 / c, )= 1/( 1/30 + 1 / 60) = 60/3 = 20 mF

El resultado, C6, esta en paralelo con C4 por 1 0 que la capacidad equivalentede to do el sistema sera:

C = C4 +C6 = 30 + 20 = 50 m FLa relacion entre la carga almacenada par un condensador y su d.d.p. es lacapacidad del condensador, es decir: Q = C. (VI - V2)La carga total almacenada por el sistema sera: Q = 50.500 = 25000 m CLas cargas almacenadas y la d.d ..p. en cada condensador seran:

Como CI YCs estan en serie cada uno almacena la misma carga que el condensador equivalente:

QI =Qs =Q6 = 10000mC

VA - VD = QI / CI = 10000/ 30 = 333'3 Voltios VD - VB = 500 - 333'3 = 166'7 Voltios

Q2 = C2(VD - VB) = 30.166'7 = 5000 mC

Ir al principioQ3 = C3(VD - VB) = 30.166'7 = 5000 mC

Entre dos placas planas exis te una diferencia de potencial de 15 V Yla intens idad del campoelectrico es 30 N IC.Determinar:a) La separacion entre las placas.



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15/03/12 Problemas de Campo electricob) La aceleracion que experimenta una particula de 5 gramos y carga +2'5.10-9 C situada entre lasplacas.c) La wriacion de la energia potencial al pasar la particula de una placa a la otra,De las defmiciones de Intensidad de campo y Diferencia de potencial entre dos puntos se infiere quela separacion d entre las placas es:

d = (VI -V2) / E= 15/ 30= 0'5mLa fuerza que experimenta una particula cargada situada en elinterior del condensador es:

F = q. E= 2'5.10-9 .30 = 7'5.10-8

y su aceleracion sera: a = F / m= 7'5.10-8/5.10-3 = 1'5.10-5m/s2Lavariacion de energia potencial si la particula fuera de una placa a la otra seria:

E p = q.(VI - V2)= 2'5.10-9 . 15= 3'75.10-8 JuliosIr al principio

Una particula de 2 gramos con carga electrica de + 50 me lleva una velocidad horizontal de 40 mlsen el instante en que entra entre las armaduras de un condensador, por su eje central. Elcondensador plano tiene sus armaduras paralelas ala superficie terrestre, suficientementeextensas, separadas 10 cm, la superior es la positiva, y sometidas a una ddp. de 500 Voltios.Determinar la trayectoria de la particula y el punto de impacto con la placa, si 10 hubiere.

+ + + + + + J+A + + + + + + El campo electrico unifonne que crea el condensador es:E= V / d = 500/01 = 5000N /e

x Este campo actua sobre la particula provo cando unaaceleracion de valor:

1 - k ae =F / m= q. E/ m= 50.10-6.5000/2.10-3 = 126 m/s2

hacia la placa negativa, placa inferior.Por tanto laparticula se ve sometida a la aceleracion de la gravedad y a la aceleracion electrostatica,siendo la aceleracion total vertical, hacia abajo, y de valor:

a = 9'8+ 125= 134'8 m/s2yLas ecuaciones del movimiento, tomando como origen de tiempos y coordenadas elpunto de entradaen el condensador, seran:

Yx =40 x=40. tperso.wanadoo.es/vicmarmor/efb_campoelec.htm


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15/03/12a = - 134'8y

Problemas de Campo electricoVy = - 134'8. t y = - Y z. 134'8. t2

ecuaciones que se corresponden a las de un movimiento parabolico, pues la trayectoria es:

y = - Y z. 134'8. t2 =- Y z. 134'8. (x/40)2 = - 0,042125. ;.Para determinar el punto de impacto con la placa basta imponer la condicion y = - 0'05 m

- 0'05 = - 0,042125.;' - - - x= (0'05 /0'042125)112 = 1'09 mIr al principio


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