Impuls Sustav Čestica

IMPULS I KOLIINA GIBANJA

Princip metode energija-rad korisna je za odreivanje promjene brzine estice za vrijeme zadanog pomaka.

Ukoliko je potrebno odrediti promjenu brzine estice za vrijeme zadnog vremenskog intervala, tada princip impulsa i koliine gibanja (momentuma) daje praktino znaenje analize.

Impuls sile je dinamika veliina koja opisuje djelovanje sile na esticu tijekom vremena.

Elementarni impuls sile definira se kao produkt sile F i elementarnog intervala vremena dt

=d dtI F

Integriranjem ovog izraza unutar nekog intervala vremena

(t1 t2), slijedi impuls sile I:

Impuls sile je vektor. Ako je F=konst., vektor impulsa ima pravac i smjer vektora sile.Jedinica za impuls sile je [Ns].

Vektorsku jednadbu za impuls sile mogue je rijeiti bez poznavanja zakona gibanja estice samo ako je sila ovisna o vremenu, tj.:

Vektor impulsa sile prikazuje se pomou komponenata u nekom koordinatnom sustavu.

2

1

=

t

t

dtI F

= ( )tF F

Impuls sile u npr. Descartesov koordinatnom sustavu jednak je trima skalarnim jednadbama:

gdje su Fx, Fy i Fz komponente sile F.

2

1

2

1

2

1

t

x x

t

t

y y

t

t

z z

t

I F dt

I F dt

I F dt

Za opisivanje gibanja estice ija je brzina poznata, koristi se dinamika veliina nazvana koliina gibanja (momentum).

Koliina gibanja p predstavlja produkt mase m i brzine v estice, tj.

Koliina gibanja je vektor, pravca i smjera kao i vektor brzine.

=m p v

Deriviranjem izraza za vektor koliine gibanja po vremenu, slijedi:

To je opi oblik Newtonovog II zakona. Dakle, derivacija vektora koliine gibanja po vremenu, jednaka je vektoru sile koja izaziva to gibanje (sila je jednaka stopi promjene koliine gibanja).

=d d

m mdt dt

p v a F

Mnoenjem izraza s dt i integriranjem unutar razmatranog intervala vremena (t1 t2), dobije se:

Ovo je zakon koliine gibanja (impulsa). On pokazuje da je promjena koliine gibanja estice u nekom intervalu vremena, jednaka impulsu sile koja djeluje na esticu u istom intervalu vremena.

2 2

1 1

2

1

2

1

2 1

2 1

p t

p t

t

t

t

t

d dt

dt

m m dt

p F I

p p F I

v v F I

Impuls sile jednak je

promjeni koliine gibanja tijela na koje djeluje ta

sila.

Zakon koliine gibanja npr. u Descartesovom koordinatnom sustavu jednak je trima skalarnim jednadbama:

Oigledno je da bez impulsa sile nema promjene brzine. Prema tome, ako je I = 0, tada vrijedi:

Taj izraz predstavlja zakon (princip) odranja koliine

gibanja.

2 1p p

2

1

2

1

2

1

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t

x x x x x

t

t

y y y y y

t

t

z z z z z

t

p p m m F dt

p p m m F dt

p p m m F dt

v v

v v

v v

MOMENT KOLIINE GIBANJA

Neka na estica mase m, koja se giba uzdu krivulje u prostoru, djeluje sila F. estica se nalazi u poloaju odreen vektorom poloaja r u odnosu na ishodite O koordinatnog sustava x, y, z.

Analogno statikom momentu sile za toku MO u dinamici se definira veliina koja se naziva moment koliine gibanja (ili kinetiki moment, momentum) za toku LO.

Vektor toga momenta za neku toku O, jednak je vektorskom (ex) produktu vektora poloaja r i vektora koliine gibanja p estice, tj.:

O x xm L r p r v

Vektor LO okomit je na ravninu u kojoj lee vektori r i p (meusobno zatvaraju kut ).

Veliina vektora momenta koliine gibanja estice za toku O u skalarnom obliku je:

a smjer mu je definiran je pravilom desne ruke.

Jedinica momenta koliine gibanja je [kgm2s-1= Nms].

Kako je koliina gibanja pogodna za opisivanje translacije estice, tako je moment koliine gibanja pogodan za opisivanje njene rotacije.

L r m v

Deriviranjem izraza za moment koliine gibanja za toku O, slijedi:

lan vxmv je jednak nuli poto je umnoak paralelnih vektora jednak nuli. Stoga je:

To je zakon momenta koliine gibanja. Iskazan rijeima on glasi: Derivacija momenta koliine gibanja estice po vremenu za neku toku, jednaka je momentu sile koja djeluje na esticu za istu toku.

O x x x x x xd d d

m m m m mdt dt dt

L r p r v r v r v v v r v

O Oxd

mdt

L r v M

Rezultantni moment oko

toke O svih sila koje djeluju na esticu jednak je derivaciji momentuma oko

toke O.

Izraz za zakon momenta koliine gibanja vrijedi i za bilo koju os koja prolazi kroz toku O. Tako npr. za os x, y i z, zapis ovog zakona glasi:

U posebnom sluaju kada je MO= 0 (nema momenta vanjskih sila za toku O), vrijedi:

To se dogaa ako je sila F = 0, odnosno kada se estica giba jednoliko pravocrtno ili ako vektori r i F lee na istom pravcu. Drugi sluaj jest kada sila F tijekom gibanja uvijek prolazi kroz nepominu toku O (tzv. centralno gibanje).

Ovaj izraz predstavlja zakon (princip) odranja momenta koliine gibanja.

O O O; ;x x y y zO O z Od d d

dt dt dt L M L M L M

O .d

konstdt

L

Kako bi se dobio utjecaj momenta na moment koliine gibanja estice tijekom odreenog intervala vremena potrebno je integrirati izraz za zakon momenta koliine gibanja u vremenu t1 do t2 kako slijedi:

gdje je (L0)2=r2mv2 i (L0)1=r1mv1. Kod rotacije estice,

umnoak momenta i vremena je odreen kao impuls.

Ovaj princip impulsa i momenta koliine gibanja kae kako je ukupni impuls na esticu mase m koja se rotacijski giba oko toke O jednak odgovarajuoj promjeni momenta koliine gibanja oko toke O.

02 2

01 1

2

1

0 O

0 O

0 0

0 2 0 1 0( ) ( )

L t

L t

t

t

dL r m v r F M dt

dt

dL M dt

dL M dt

L L M dt

Princip impulsa i koliine gibanja kod rotacije estice tijekom vremenskog intervala t1 do t2 po osima x, y , z dat je izrazima:

Kada je MO= 0 (nema momenta vanjskih sila za toku O), vrijedi: princip impulsa i koliine gibanja kod rotacije estice oko toke O tijekom vremenskog intervala t1 do t2 dat je izrazom:

koji predstavlja princip ouvanja momenta koliine gibanja.

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 1

2 1

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x x x

y y y

z z z

t t

O O O x

t t

t t

O O O y

t t

t t

O y O O z

t t

L L M dt F rdt

L L M dt F rdt

L L M dt F rdt

2 1( ) ( )O OL L

DINAMIKA SUSTAVA ESTICA

Sustav estica je skup meusobno povezanih estica kod kojih gibanje pojedine estice ovisi o gibanju svih ostalih estica.

Na svaku esticu mogu djelovati sile, kao posljedica djelovanja drugih tijela izvan

promatranog sustava. Te su sile za

promatrani sustav vanjske.

Na svaku od n estica sustava moe djelovati jedna takva vanjske sila Fi

kao rezultanta djelovanja drugih tijela

na tu esticu.

Prema principu izolacije svaku esticu moemo osloboditi veza s drugim esticama iz sustava.

Oslobaanjem estice mase mi pojedinih veza zamiljamo da na esticu umjesto veze djeluje sila ovisna o karakteru veze.

Unutar sustava moe svaka estica biti povezana sa svim ostalim esticama pa takvih veza moe biti n-1.

Oslobaanjem estice mi veze koja je povezuje sa esticom mj dobiva se sila Sij kao djelovanje estice mj na esticu mi.

Sile koje djeluju na esticu kao posljedica tih veza su unutarnje, koje su zajedno s rezultantnom vanjskom silom Fi mjerodavne

za gibanje estice mi.

Veze u sustavu estica mogu biti krute, elastine i kinematske.

Kada su sve veze krute, sustav estica se ponaa kao kruto tijelo.

Elastine veze ovise o meusobnom poloaju estica (npr. veza pomou opruge).

Kinematske veze uvjetuju odreeno gibanje jedne estice u odnosu na drugu.

Bez obzira na vrstu veze, unutarnje sile se prema III Newtonovom zakonu javljaju u parovima, tako da je sila Sij na

esticu mase mi, koja je posljedica veze s esticom mj, jednaka i suprotno usmjerena sili Sji na esticu mj od veze s esticom mi:

Za cijeli sustav tada vrijedi da je suma svih unutarnjih sila jednaka 0:

a takoer i zbroj momenata unutarnjih sila prema nekoj toki O jednak je nuli:

0iji j

S

0iji j

r S

ij ji S S

Parovi unutarnjih sila i parovi momenata unutarnjih sila prema istoj toki meusobno se ponitavaju.

Za idealno krute veze bit e rad sile Sij jednak po iznosu i suprotnog predznaka radu unutarnje sile Sji, dok jer rad

unutarnjih sila koje potjeu od veza s otporima (npr. priguenja) uvijek negativan.

Svaka estica u sustavu moe imati 3 stupnja slobode gibanja, pa za sustav od n estica ukupan broj stupnjeva slobode iznosi 3n.

Kinematske veze smanjuju broj stupnjeva slobode sustava, a izmeu pojedinih koordinata postoje jednadbe veze.

Osnovni zakoni sustava estica

1. Jednaba gibanja

Za svaku esticu u sustavu moe se napisati jednadba gibanja u kojoj je rezultanta svih sila koje djeluju na esticu (vanjske i unutranje) jednaka umnoku mase i ubrzanja. Za i-tu esticu mase mi, kojoj je ubrzanje ai druga derivacija vektora poloaja r ta jednadba u skalarnom obliku glasi:

a za sve estice zbrojene zajedno

i ij i

i

F S m r

i ij i

i i j i

F S m r

2. Zakon centra mase sustava estica

Centar masa sustava giba kao estica ukupne mase pod djelovanjem rezultantne sile svih vanjskih sila.

Iz statike je poznato da se centar masa, koji je u tehnikim problemima istovjetan s teitem; izraunava pomou izraza:

Pomou tog zakona mogue je promatrati gibanje sustava kao cjeline bez odreivanja gibanja pojedinih estica.

, ,i c i i c ii i i i

c

F r m F R r a m m

R m a

i i

ic

i

i

m r

rm

Rezultantna sila R ne mora prolaziti kroz centar C.

3. Zakon kinetike energije

Razlika ukupne kinetike energije sustava na kraju perioda gibanja (2) i na poetku jednaka je radu svih vanjskih i unutranjih sila sustava:

Kinetika energija i-estice:

Ukupna kinetika energija sustava estica:

2 1

22 2

2 1

12 2

k k

i i i ii i ij i

i i i i j

E E W

mv mvFdr S dr

2

2

i iki

mvE

2

2

i ik

i

mvE

4. Zakon o odranju mehanike energije

Zakon o odranja mehanike energije u opem obliku glasi jednako kao i kod estice:

Potencijalna energija suma je potencijalnih energija svih konzervativnih sila u sustavu bez obzira na to jesu li vanjske ili unutranje. U sluaju da su neke od sila nekonzervativne, npr. sila trenja, primjenjuje se isti izraz kao i kod estice:

pri emu je rad nekonzervatinlih sila WT suma radova nekonzervativnih sila u sustavu kako vanjskih tako i unutranjih.

2 1 2 1 0k k p pE E E E

2 1 2 1k k p p TE E E E W

5. Zakon koliine gibanja.

U ukupnom impulsu dolaze samo vanjske sile budui da je impuls svih unutranjih sila sustava jednak nuli.

Koliina gibanja i-estice:

Zakon koliine gibanja za i-esticu:

Vektorska suma koliina gibanja svih estica daje koliinu gibanja sustava u skalarnom obliku:

i i ip mv

2

1

2

1

2 1

2 1

t

i

i t

t

i

i t

p p Fdt

mv mv Fdt

i i

i

p mv

2 2

1 1

2 1

t t

i i i ij

i jt t

p p Fdt S dt

Derivacija koliine gibanja cijelog sustava jednaka je rezultantnoj sili svih vanjskih sila. To je drugi oblik zakona o

gibanju centra masa sustava estica

6. Zakon odranja koliine gibanja.

Kada je impuls vanjskih sila cijelog sustava jednak nuli (npr. nema vanjskih sila), pojedine estice mogu promijeniti brzine, ali samo tako da ukupna koliina gibanja ostaje nepromijenjena.

2 1p p

ii i i i i c c c

i i i

dvdpm m a m a ma a r

dt dt

dpR

dt

7. Zakon momenta koliine gibanja.

Derivacija kinetikog momenta sustava po vremenu jednaka momentu svih vanjskih sila s obzirom na toku O.

8. Zakon (princip) o odranju momenta koliine gibanja.

U sluaju kada je suma momenata vanjskih sila prema toki O jednaka nuli, kinetiki moment u sustavu ostaje tokom vremena nepromijenjen, tako da je:

2 1O OL L

O O

O O

x x x

x

i i i i i i ij

i i i j

i i

i

dm

dt

d

dt

L r r r F r S M

L r F M

9. Princip impulsa i momenta koliine gibanja:

2

1

2 1( ) ( )

t

O O O

t

L L M dt

PRIMJER:

Dva bloka povezana uetom, zanemarive mase, otputaju se iz stanja mirovanja. Masa bloka A je 40 kg, a bloka B 30 kg. Koeficijent trenja klizanja

izmeu podloge i bloka A je 0,15. Konop klizi preko glatke koloture ija se teina zanemaruje. Koja je njihova brzina kada se pomaknu za 0,4 m? Zadatak je potrebno rijeiti na dva naina i to:

a) razmatranjem svakog bloka kao zasebne estice,

b) razmatranjem oba bloka kao jednog sustava.

Poznato: mA=40 kg, mB=30 kg v1=0 m/s, s=0,4 m, =0,15 mm, =20.

mA

mB

s

s

12

Ukoliko se svaki blok oslobodi veza i razmatra kao zasebna estica, potrebno je nacrtati dva plana slobodnog tijela. Pri tome je potrebno paziti

kako se za obje estice mora pretpostaviti pozitivan smjer sila u smjeru gibanja po obje osi.

Prema planu slobodnog tijela za oba bloka, sila u uetu je S=SAB=-SBA. Budui da su blokovi A i B vezani uetom konstantne duine, ova kinematska veza (ogranienje) uvjetuju da se blokovi gibaju istom brzinom.

Poto se trai brzina, primijeniti e se zakon kinetike energije (metoda energija-rad). Sile koje vre rad kod bloka A su sila u uetu S, komponenta teine po osi x i sila trenja S. U tom sluaju zakon kinetike energije, tj. rad koji mijenja kinetiku energiju bloka A moe se napisati kao:

y x S

GA

20 TN

yx

S

GB

v2

v2

Poto se trai brzina, primijeniti e se zakon kinetike energije (metoda energija-rad). Sile koje vre rad kod bloka A su sila u uetu S, komponenta teine po osi x i sila trenja S. U tom sluaju zakon kinetike energije, tj. rad koji mijenja kinetiku energiju bloka A moe se napisati kao:

y x S

GA

20 TN

v22

1

2

1

2

1

2

1

( 2) ( 1) (1 2)

2 2

2 1

2

2

2

2

0,42

2

0

2

2

1 1

2 2

10 ( sin 20 )

2

1( sin 20 cos20) cos20

2

1sin 20 sin 20

2

10,4 0

2

A A Ak k

s

A A i

is

s

A

s

s

A A A

s

s

A A A

s

A

E E W

m v m v Fds

m v S G T ds

m v S m g m g ds T N G

m v S s s m g s m g

m v S

,4 sin 20 0,4 sin 20A Am g m g

Sile koje vre rad kod bloka B su sila u uetu S i teina GB. Stoga rad koji mijenja kinetiku energiju bloka B je:

yx

S

GB

v2

2

1

2

1

2

1

2

1

( 2) ( 1) (1 2)

2 2

2 1

2

2

2

2

0,42

2

0

2

2

1 1

2 2

10 ( )

2

1( )

2

1

2

10,4 0,4

2

k B k B B

s

B B i

is

s

B

s

s

B B

s

s

B B

s

B B

E E W

m v m v Fds

m v S G ds

m v m g S ds

m v m g s S s

m v m g S

Jednadbe zakona kinetike energije za blok A i B ine sustav jednadbi od dvije s dvije nepoznanice i to S i v2. Zbrajanjem ovih dviju jednadbi, radi eliminacije sile ueta S (suprotnog predznaka) moe se izraunati brzina v2:

2 2

2 2

2

2

2

2

2

2

1 10,4 0,4 sin 20 0,4 sin 20 0,4 0,4

2 2

1( ) 0,4 sin 20 0,4 sin 20

2

1(40 30) 0,4 40 9,81sin 20 0,4 0,15 40 9,81cos20 30 9,81 0,4

2

35 (40sin 20 0,15 40

A B A A B

A B A A B

m v m v S m g m g m g S

v m m m g m g m g

v

v

cos20 30)0,4 9,81

2,065 m/sv

b) Kada se oba bloka razmatraju kao jedan sustav, sila u uetu postaje unutranja sila, pa se stoga ne uzima u obzir. U tom sluaju svaki blok (estica) ima isti pomak, pa je rad unutranjih sila jednak ali suprotni kolinearni par i stoga se ne razmatra. Reakcije u leaju kolutore ne vre rad (nema pomaka).

y x

GA

20 TN

yx

GB

v2

v2

RxRy

Sukladno tome moe se napisati zakon kinetike energije za cijeli sustav kao:

y x

GA

20 TN

yx

GB

v2

v2

RxRy

2

1

2 2

1 1

2

1 1

2 1 (1 2)

2 2 22 2

2 1

2 2 2 2

2 2 1 1

0,42

2

0

1 1

2 2

1 1 1 1( sin 20 cos20)

2 2 2 2

1( ) 0 sin 20 cos20

2

k k

si i i

i i i

i i i s

s s

A B A B A A B

s s

s

A B A A B

s s

E E W

m v m v Fds

m v m v m v m v m g m g ds m gds

v m m s m g m g s m g s

2 0,4

0

2

2

2

2

1(40 30) 0,4 40 9,81sin 20 0,15 40 9,81 0,4cos20 30 9,81 0,4

2

35 (40 sin 20 0,15 40cos20 30)9,81 0,4

2,065 m/s

s

v

v

v

Ukoliko je potrebno izraunati silu u uetu S, tada je potrebno primijeniti II Newtonov zakon. Budui da su blokovi A i B vezani uetom konstantne duine, ova kinematska veza (ogranienje) uvjetuju da se blokovi imaju isto ubrzanje aA=aB=a.

U odabranom koordinatnom sustavu xy, jednadbe gibanja za blok A

iz ega slijedi

to daje

: sin 20

0 : cos20 0

x A x A x

y A y

F m a S m g T m a

F m a N m g

y x S

GA

20 TN

v2

sin 20

cos20

A A

A

S m g T m a

N m g

sin 20 cos20A AS m g m g m a

U odabranom koordinatnom sustavu xy, prema jednadbe gibanja za blok B glase:

Jednadbe:

imaju dvije nepoznanice i to S i a. Supstitucijom za a u drugoj jednadbi dobiva se:

to uvrtavanjem u prvu

Jednadbu daje:

0

:

x B x

y B y B B

F m a

F m a S m g m a

yx

S

GB

v2

sin 20 cos20A A AS m g m g m a

B BS m g m a

B

B

S m ga

m

sin 20 cos20

30 9,8140 9,81sin 20 0,15 40 9,81cos20 40

30

78,9 1,33( 294,3)

1,33 78,9 1,33 294,3

(1,33 1) 312,52

134,3 N

BA A A

B

S m gS m g m g m

m

SS

S S

S S

S

S

Izraunom sile u uetu, S ubrzanje je:

Uz poznatu ubrzanje moe se izraunati brzina u trenutku 0,4 s pomou izraza:

yx

S

GB

v22134,3 30 9,81

5,33 m/s30

B

B

S m ga

m

0 0 5,33 0,4 2,13 m/sv v a t

PRIMJER:

Opruga, nedeformirane duine 60 cm, spaja dva bloka mase 2 kg i 3 kg. U stanju mirovanja opruga je stisnuta za 20 cm. Ukoliko se sustav otpusti iz

stanja mirovanja, koja e biti brzina svakog bloka kada opruga postigne svoju normalnu duljinu. Opruga ima krutost od 12 N/m. Trenje podloge se

zanemaruje.

Poznato: mA=2 kg, mB=3 kg, v1=0 m/s, l=0,6 m, x1=0,2 m, c=12 N/m.

mA mB

k

l-x1

l1 1

2 2

Poto ista elastina sila opruge djeluje na oba bloka, ali u suprotnom smjeru, ukupni impuls na sustav obiju masa je jednak nuli.

Stoga, koliina gibanja dviju masa sauvana je po osi x (jednaka nuli), pa zakon o ouvanju koliine gibanja glasi:

Poto blokovi u poetku miruju, desni lan u gornjem izrazu je jednak nuli, pa stoga slijedi izraz:

mBmA

x

y

vA vB

Fe Fe

G

NN

G

2 1

2 2

2 1( ) ( )i i i ii i

p p

m v m v

0

2 3 0

3

2

A A B B

A B

A B

m v m v

v v

v v

Ovdje je potrebno napomenuti da kada se pie izraz za zakon o ouvanju koliine gibanja potrebno je smjer brzine odrediti u odnosu na isti referentni koordinatni sustav. Stoga, u ovom primjeru pretpostavlja se kako blok A giba

u lijevo (negativan smjer), a blok B u desno (pozitivan smjer).

Kako bi se odredila brzina blokova potrebno je koristiti dodatni izraz. Poto se u problemu trai brzina, primjeniti e se metoda energije-rad (zakon kinetike energije). U ovom sluaju rad opruge kod vraanja u njenu nerastegnutu duljinu jednak je promjeni kinetike energije obaju blokova (poetna kinetika energija jednaka je nuli-mirovanje), tj.:

mBmA

x

y

vA vB

Fe Fe

G

NN

G

2 1 (1 2)

2 (1 2)

222

12

2

2 2

2

1

0

2

1 1( ) ( )

2 2

k k

k

ie

i

A A B B e

E E W

E W

mvF dx

m v m v F dx

Ukupni rad elastine sile opruge je uz s2=x1=0,2 m:

Uvrtavanjem dobivenog ukupnog rada u izraz zakona kinetike energije dobije se:

Uvrtavanjem izraza za vA dobivenog iz zakona o odranju koliine gibanja dobiva se:

Uz izraunatu brzinu vB bloka B, brzina vA bloka A je:

2

1

2 2 2 0,2

(1 2)

01 1

2

(1 2)

2

12 0,20,24 J

2

s

s

s

c sW F dx c sds

W

2 2

2

1 1( ) ( ) 0,24

2 2A A B Bm v m v

mA mB

k

l-x1

l1 1

2 2

2 2

2 2

2

1 1( ( 1,5 )) ( ) 0,24

2 2

1 1(( 1,5 ) ) 0,24 ( )

2 2

1 10,5 0,24 (2 3) 2,26

2 2

3 m/s

A B B B

B B A B

B

B

m v m v

v v m m

v

v

3

1,5 (3) 4,5 m/s2

A Bv v

Documents

Impuls Sustav Čestica