Imre Lakatos - A Lógica do Descobrimento Matemático (Provas e refutações) I

5/14/2018 Imre Lakatos - A Lgica do Descobrimento Matemtico (Provas e refutaes) I

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ABC c la Relatividade, Be rt ra n d Ru ss el l (4." ed)Introducao a Filosofia da Matematica, Bert rand Russe llNumero: A Linguagem da Ciencia, Tobias DantzigA Evolucao da Fisica, A. Einstein e L. Infeld (3." ed)o Materialisrno Dialetico e as Ciencias da Natureza, K. Fatclieo,Perspectivas da Matemdtica, Hans, Freudenthalo Universe em que Vivemos, S ir Ja me s Je an sMatematica e Imaginacao, E. Kasner e J. Newman (2." ed)A Logica do Descobrimento Matematico, I. LakatosHomens e Molecules, N orm an M etz gerHeurls tica: A Cienda do Pensamento Criador,

(2." ed)A Origem da Terra, W . M . Smart

IMltE LAKATOS

.. A Loj(iea ...do Deseof ir imenfu,Matematico~~ovaseRefUta~o~s

Organizado porJOHN ,WOImALL e EUB ZAMAN.

,", .

Tra4uriiodeNATHANAEL C. CAIXEIROProfessor de Historia das ldeias Contemportineas

da Universidade Gama Filho.

QA7L192pp

, "DEDA~llS -Acsrvo ,~MeLogic.a do descobrimento matematico:

ZAHAR EDITORESRIO DE JANEIRO


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18 A LOOJCA DO DESCOBRIMENTO MATRMA.nCOmodo algum (a menos que mediante a experienota mis-tica) , au que nao podemos saber se atcaneamos isto OUaqullo, Nesse grande debate, em que os argumentos sao,por vezes, atualizados, a matemattea tern sido 0 orgu-Ihoso reduto do dogmatism 0, Sempre que 0 dogmatismomatemattco caia em "crise", vez por outra nova versaoproporcionava autehtico rigor efundamentos decisivos,com Isso restaurando a ilhagem da materna tic a autori-taria, infalivel e irrefutavel, "a. unica Cienciaque ateaqui aprouve a Deus conceder ahumanidade" (Hobbes[1651], p, 15)., Os :ceticos, em maiorla, resignararn-se aimpenetrabilidade dessa fortaleza da epistemologia dogma-tica. (I Urn desafio esta agora vencido.


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20 A LOGICA DO DESCQB~MENTO MATEMA.TICOIsso pode aplicar-se a qualquer poliedro. Outros tentamfalsear esta coniectura, tentando po-la a prova de muitosJPO~2-t5!Jfg!entes, com resuItado satisfat6rio. Os resultados-.~;;,ci:i ftf!~o_~gf!l :~conjectura, e sugerem que 'ela pode serprovada. E a esta altura - depots das fasespro'f)lemaeccmjectura - que entramos em sala.> 0 professor temcomo plano de aula precisamente oferecer uma proia.

......~--.,r~ .._........~ : : ; ; . ~ S O B ) Em nos sa ultima aula, chegamos a uma con-jectura referente aos poliedros, isto e, que para todos ospoliedros V - A + F = 2, em que V e 0 mimero devertices, A 0 mimero de arestas e F 0 numero de faces.Pusemo-la a prova por divers os metodos, Mas ainda naoa comprovamos, Alguem tera descoberto uma prova?ALUNO SIGMA: "Quanta a mim, devo admitir que nao fuicapaz ainda de vislumbrar uma prova rigorosa desse teo-termo "angulu8 8olidus" para os seus vertices em formate de pontas.Tem side recentemente admitido que a priorldade id o resultado cabe .a Descartes. A base para isso Ii um manuscri to de Descartes [c.1639] .copiado pOI" Leihniz, em Paris, do original em 1675-6, redescoberto e.publieado POI' Poucher de Careil em 1860, A prioridade nao deveser atribuida a Descartes sem restri~es. E certo que Descartesdeelara que 0 mimero de angulos planes igualff>,'~~ ...t2 il:,~4 em .que por 1 > lIe entende 0 mimero. de faces e pcii-"" 0 numero deangulos solidos. Certo e tambem que ele :deelara haver duas vezesmais ftngulos planos que arestas (latera). Essas declaracoes con-juntas , evidentemente, dao a formula de Euler. Mas Descartes naochegou a esse ponte, vlsto que pensava ainda em termos de angulos(planos e solidos) e faces, e nao fez uma alteraeao revolucionafiaeonseiente dos conceitos dev01'tices nao dimensionais, arestas nnidi- ..mensionais e faces bidimsnsionais como base necessaria e sufieientepara a plena caracterizacao topolcg'ica de pol iedros.2 Euler .tes tou a conjectura a fundo pelas conseqt iencias, Conferiu-apara prismas, plramides etc. Podia tel ' acrescentado que a Pl'OpO-siCao. de que existem apenas cinco corpos regulares vi tambem con-seqiiencia da conjectura, Outra eonsequencia suspei tada e a propo-si.;i1.oate .aqui corroborada de que quatro cores sao suficieates paracolorir urn mapa. _A fased e conjecturar e testar no caso de V - A + P = _7. .0-- ;e discutida em P61ya ([1954], vol. 1, as prrmeiras cinco secroes t,' .terceiro capitulo, pp. 35-41). Poly a parou nesse ponto, e nao tratda fase da _prova - embora, evldentemente ele observe a necessidadde u m a \ ) l e u . n s t f i5 ; i : /de "problemas a provar" ([1945], p. 144). NosS:idiscussaojIilicia onde Polya deixa a questfio, ..~

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rema ... Como, porem, a verdade dele ficou pateIiie::~~tantos casos, nao pede haver duvida de que ela vall;apara qualquer solido. Assim, a proposicao me parece satis-fatoriamente demonstrada." 3 Mas se 0 senhor tern umaprova., pOl' favor, apresente-a, . .PROFESSOR: De fato tenho uma, Consiste vd a segumtereflexao. Primeiro p~sso: Imaginemos que o. poliedro sejaoco, com uma superftcie feita deborracha fma, S~ .rem~-vermes uma das faces, podemosestender a superflcle res-tante no quadro-negro, sem rasga-la, As faces e arestasficado deformadas, as arestas poderao ficar curvas, masV e A nan seulterarfic,' de modo que se, e apenas se.V - A + F = 2 . para 0 poliedro original, V - A + F == 1 para essa estruturaplana lembra que removemosuma face. A Figura 1 mostra 0 desenho plano para a casode urn cubo. Segundo passe: agora, trtangulamos :r;~ssom-apa "'- que, na verdade, parece uma m~~a geogranco,Desenhamos diagon.ais (possivelm~x:te curvllme~,s) ~aqu_e,-les poligonos (possivelmente CU~~llllleOS)que Ja nao saotrlangulos (possivelmente curvtl ineos): Ao desenharmoscada diagonal, aumentamos tanto _A como F ~e u!ll. demodo que 0 total V - A + F nao se alterara (Fig. 2).\ 'IIliI!

Fig. 1

Terceiro passe: do desenho triangulado, retir~:nos ago~aos triangulos urn a um. Para remover ul? tnangulo nosou removemosuma aresta - com 0 que uma face ouuma aresta desaparecem (Fig: 3 (a) ), ou removemos duasarestas e urn vertice - com 0 que uma face, duas arestase urn vertice desaparecem (Fi~. 3(b. Desse .modo, ,seV - A + F =1ntes de 0 triangulo ser reI?ovldo, as.slIDcontinua depois que 0 triangulo for removido. No final3 Euler ([1758u], p. 119 e p. 124). Mais tarde, porern (1758b],ele 'Propos uma 'Prova.

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22 A LOGICA -n o DESCOBRIMENTO M.\TE.MATICOdesse processa temos urn tini t 'ae verdadeira ~ formula V _ c~ ri n;UIO. Para estecaso,_provamos nOSEaconjectura. 4 + - 1. Desse modo,ALUNO D~LTA: .t!gora 0 senhor -pode chama-Ia de teo-~=~ao se ve 0 que mais exista de conjectural no

III (a) Fig 3 (b)-,..,- '- _ . _ , - - -.-. ' - _ . ,- - - _ ' , - - " : - - ,, ~ ~ ~ ~ - ~ .A I: ; F 4 : . Tenho aI~uma duvtda, Percebo que essaexpenencia pode ser feita para urn cubo au para urntetraedro, m~s como posso saber que pod e r a ser feita paraqualqu_er polledro_? Par exeD?-plo, 0 senhor esta segura deque qualquer polzedro, tiepois de retirarmos uma de masfaces, poae ser esiicado planamente no quadro-negro? > -TeUho-- 'h duvld . , .i - - . -_ ,~: rx: l )n,>~s.-.Uy.l \ ,j ,a s,_q_p.t .g __ !Q_.p)Jm.el r .o '_. - l1~SSo,/

-- l_#~O~E:T~_:,,_\ 0 senhor esta s eg uro de qu e ao"Tftangularo mapaJeremos sempre uma nova face pam uma novaa~~1f . l 2~:ggbQ- ih lYJg~l&. ; J ll J . f l! l 1 (LJ~,Q_ , , (?gun .doasso.,JU,UNO GAMA.;.." 0 -nh - t "~ __J::.,,,,- .....- ....,._...____'_~: se or es a certo de que tui apenasduas aJ.ternatzvas - 0 desaparecimento de uma arestaau entiio ~duas arestas e um nertice - quando se reii-ram 08 t~tlngulos um a um 0 senhorLsm mesmo certezade que i icamo co;n. urn tunico triilngulo no final desseprocesso; ~ ! , ~ . p : h _ Q. g . l J : Y . ! C : ' l ? ~ , . .q )J .J I, nt .C L .. ao '" .t er ce in Lp as sQ ,. .- -~ - ,PROFESSOR: 1 1 ; claro, nao tenho certeaa, ': Essa .i~~ia de prova deeorre de Cauchy [1813a]., __A OPlI~H~Ode pelta. de que vessa prova determinou 0 "teorema"fora de duvida fm partrlhada POl'muitos matematicos no -seculo XIX,como POl' exe~plo Crelle [1826-7], 2, pp. 668-71, Matthiessen (-1863],p. 44?, Jo~quler~S [1890a] e {1890b]. Citando uma passagemcarac-t~ristlCa: Depors da prova de Cauchy, tornou-ss absolutamentefndu-bltu,:el que a e~ganterelat;ao V +: F = A + 2 aplica-ss 3! todosos tipoa de pcliedros, tal como Euler declarou em 1752. Em 1811;oda mcerteza, deve tel' desaparecido" (Jonqui?n'es [1890a], pp. 1.11-12).A turma e urn tanto avancada, Para Cauchy, Poinsot e muitosOu~l'~S ,excelentes matematlcos do seculo XIX, essas questoes naoexistiam,

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UMA FROYA 23/ A L ; i ) Mas, neste caso, estamos em SitUl:U;.O pior que'Rl!t'es! lEm vez de um~.g~:ll)iec~1.1m,t~mos"q.gor3.pelo l ! l .~P:Q~. tres! tE--osenhor'chama isto de "prova"! 'PROFESSOR: Reconheco que a nome tradicional de "prova"no icaso por mim dado pode, corretamente, ser conside-rado urn tanto enganador. Sou de parecer que ela na oestabeleee a verdade da coniectura.DELTA: Entao, para que serve ela? A seu ver, que e queuma prova matematica prova?PROFESSOR: Trata-se de uma questao sutilque tentarelresponder mats tarde. Ate Ia, proponho mantermos 0 ter-mo consagrado pelo tempo, aceitando "prova" como .umaexperiencia mental - au "semi-experiencia" =-que sugerea decomposic;iio da coniectura original em euboonseeturaoulemas, assim encaixamdo-a num corpo de conhecimentoposslvelmente multo distante:) Nossa "prova", par exem-plo, encaixou a conjecture original - sobre cristais, ou ,digamos, s6lidos - na teoria das folhas de borracha.Descartes ou Euler, pais da conjectura original, certa-mente nem sonharam com isto. 17 Expel'iencia mental (deiknymi) era 0 mais antigo lladraO de provamatematica, Prevaleceu no. matematica grega pre-euclidiana (d.A. SzabO [1958]). -,

Para matematicos antigos, era lugar-comum que conjecturas (ou"teoremas) precedam provas no. ordem heurtstiea, ISBO decorria daprecedeneia heuristiea -da "analise" em relaeao a "sintese". (Paraexcelente discussfio, veja-se Robinson [1936]). De acordo com Proclos," e. ~ . necessa.rio saber de antemao 0 que se procura" (Heath [1925],I, p. 129). "Eles dlziam que teorema e aquilo que e proposto coinvistas a demonstraeao da propria coisa proposta" ~ diz Pappus(ibid. I, p. 10). Os gregos nao pensavam muito em proposicoesque Ihes ocorziam no curse da dedueao, sabre as quais DaO tiveasemfeito suposieiies anteriormente. Chamavam-nas de POriBm08, corolarios,resultados casuais deeorrentes da prova de urn teorema ou da solu.:;i'lode um problema, resultados nao diretarnente procurados, mas queapareciam, como que por acaso, sem trabalho a mais constituindo,como' 0 diz Proclus, uma especie de fruta caida (ermwion) ou pre-sente. (kerdos) (ibid; I, p. 278) . Lemos no sumarto editorial deEllIel ' (1756-7) que teoremas ar'itmeticos "foram descobertos multoantes que sua verdade tivesse sido confirmada por rigidas demons-tl'ao;:5es". Tanto, 0 editor como Euler empregam para esse processode descoberta 0 termomoderno "iuduefio" em vez de a antiga "analise",(ibid,). A precedencia houristica do resultado sobre 0 argumento,do teorema sobre a prova, tern profundae raizes no folclore mate-maiko. Citemos algumas variaeoes sobre um tema conhecido: Diz-soque'Crfsipo escreveu a Eleantes: "Maude-me urn teorema e Jheaeharei as prOYM" (cf . Diogenes Lael'cio [c. 200], VII. 179). Diz-se


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23-em situat;ao pior quet,emQsago:ra, pe!o:rn.::!!9:s, ';--:rova"! .m~ tradicional de "prova'"cortetamente, ser cons-id~e-de parecer que ela nao1 t lA_ora, A ', ,y ela1 seu ver, que e que

quefU1 0 sutil que tentarei- C mho mantermos 0 ter-do "prova" comouma""0"'-"'",'" a" -que 81tgerel em subconiectura,corpo de conhecimentosa "nl'ova" par exem-No': _t' - ,- in g ! - sobre eristais, ou,., d4'8 folhas de borracha.co;, ectura original, cel'ta-

, ,Puis antigo padrao de ].:n:ova- lC~ , ,

t"cOIuum que conjecturtl-s (ou."jUgar""curist ica. Isso dccorJ-"ia daJ()ID relaciio a "sintese". (Para[~~Sfj] ). De aeordo com FroeIos,, se procura" (Heath (1925J,qu~ aquilo que e proposto com

C '~ proposta" ~' diz :pappUSCOlSJ,vam muito em propOsio;oe3eus':sobre as quais nlio ti"essemde po-riamos, coro1arioe:,urn teorema ou da f\olu.,;iiote proeurados, mas quetfubalhe a mais constituindo,}eJIl 'v;ta caida (e~aion~ o?- pre-' ; 1 0 Lf~os no aumarto edltonal dee s "foram deseobertos multo

, ~irmada por rigidas oemons-con~' , ' roc ss-;npregam para esse P cas: 0, _;.. em VBZde a antiga "3na.lise",.,;ao &,:sultado sobre 0 argllnl.ento,r'(?as r a izes no folclore mate-b A urn tema oonheeido: Diz-se11 0 y'''" ' " :1I:Lflnde-me urn., teorema e Ihep [c.200], VI I. 179). Diz-sc


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,24 A LOOICA DO DESCOBRlMENTd MATEMATICQ3. Critica "da .Proua Mediante Contra-Exemplos Locais,Mas tuio GlobaisPROFESSOR:Esta decomposigao, da, conjectura su~eridapela prova I~~breE.0v~Q.ersIL~!!11_y~~ara testageI9-t ;A de-composicao desaobra. a conjecturanuma---freiite maisampla, de modo que a nossa CI'i tica tem mais alvos. Temosagorapelo men os tres oportunidades para eontra-exem-plos em vez de apenas uma!GAMA: Ja exprlrni mel! desacordo quanta ao seu tercetrolema (isto e , que ao retirarmos trlangulos da redeque resultou do esticamento e subsequents triangula9a O ,temos apenas duas possibilidades: retiramos uma arestaau retiramos duas arestas e urn vertdcs). Suspeito quepossam surgir outros padroes quando retlrarmos urntriangulo,PROFESSOR:Suspeita nao e crttlca.GAMA; E contra-exempto, pOI' acaso, e critica?PROFESSOR:Certaments, As conjecturas desprezam desa-provacao e suspeita, mas nao podem ignorar contra.-exemplos.TETA (a parte): As conjecturas sao obviamente multodiferentes daqueles que as representam.GAMA: 1 ' , - - ]~~X.QJ?O~~_l!!!L__~~_~~~_~_:_~5:!:O..l?]2_jfrivial.omernosa estrutura '"tflangular resultante da execucao das duasprimeiras operacoes nurn' cubo (fig.' 2.). Ora, se retirar-mos urn triangulo de tientro- dessa estrutura, como pode-riamos retirar uma peca num jogo de quebra-cabega,retiro urn trtangulo sem retirar uma unica "aresta ou u r nque Gauss reclarnava : "H:i multo tempo tenho meus resultados; masnao sei airida como devo chegar a eles" (cf, Arber [1945J, p, 47)e Riemann: "Se eu tivesse s6 teoremas I Bern facilmente entao e~acharia as provas". (Cf.Holder [1924],' p, 487). Polya acentua :"Tern-se que super urn teorema maternatico antes de prova-lo"(,[1954], vol. 1, p. vi), 'o termo "semi-experimento" e ti rado do citado sumario editorialde Euler [1753], De aeordo com 0 editor: "Como devemos referiros numeros puramente ao intelecto, dificilmente podemos compreender-como observacdes e eemi-experimentos podem ser de valor na investi-gal:ao da natureza dos mimeros. Contudo, de fato,como mostrareicom muito boas razoes, as propriedades dos ntimeros conhecidas hojeforam descobertas, na maioria, pela observaear, ... "'~ (Tradu~ao dePolya : em seu [1954], I, p. 3e1e equlvoeadamsnta atribui a tita~aoa Euler},

PRO:VAE CdNTRA-ExEMPLOS LOCAlS 2 5vertlce. Assim tercerro lema e falso - e nao apenashocaso do c~bo, mas para todos os poliedros, ex?~too tetraedro, na- estrutura plana da qual todos os trian-gulos sao limites de trtangulos. Sua pro va, professo?>comprova o. teorema de Euler para 0 tetraedro. Mas lasabiamos que V - A + F = 2 para 0 tetraedro, entao'que e que ela comprova?PR01


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, l ! ; ~ rW '26 A LOGICA no DESCOBRlMENTO MATEMkrrcoque, em cada iase da operru;iio de retirada a remociio dequalquer triangulo Iimitroje segue urn. desses ptuiriiee. .:-.,_Voltando a minha ezperiencia mental, tudo 0 que temos ra raser e inserir Ulna tiniea palavra no terceiro passo, 1Isto e , que "da estrutura triangulada retlramos agora as \triangulos limitrofes um a urn". Voce concordani em que --.foi precise apenas uma insignificante observacao para cor-rigir a prova. 8 i

,GAMA: Nao acho que, sua observacao tenha sido tao Iinsignificante; de fato, ela foi muito engenhosa. Para Iesclarecer isso, mostrarei que ela e falsa. Tomemos de nova Ia estrutura plana do cubo e retiremos oito dos dez trian- .jgulos na ordem dada na fig. 4. Na remocao do oitavo:).triangulo, que e certamente um trlangulo lirnitrofe, reti-ramos duas arestase nenhum vertice - a que alteraV - A + .F em 1 . E ficamos .com as dois triangulos 9 e 10desligados.PROFESSOR:Bern, eu poderia salvar minha posieao dizen-do que eu queria dizer por triangulo limitrofe aquele cujaretirada nao desmonta a estrutura. Mas a' honestidadeintelectual me impede de fazer modificaefio sub-reptieta 'ern minha poslcao mediante sentencas Iniciadas com "eu---jqueria dizer ... ". De modo que admito agora que devosubstituir a segunda versao da operacao de retirada detriangulo par uma terceira versao: que retiramos os trlan-gules urn a urn de modo a que nao se altere V _ A + F~RAPA: De born grado, concordo ern que 0 lema corres-pondente a esta operacao e verdadeiro, a saber, se reti-rarmos os triangulos urn a Urn de modo. que V - A + Fnao se altere, entao V' - A + F nao se altera.PROFESSOR:Nao, 0 lema e que os triangulos em nossaestrutura podem ser de tal modo numerados que, aoretira-los na ordem certa, V - A + F nao se alteraraate que atinjamos 0 Ultimo triangulo,KAPA: Mas como se construiria esta ordem certa, se acasoela existe? 0 Sua primeira experlencia mental deu a' ins-S Lhulier, ao .cot-rigir de modo sgmelhante a prova de Eulm:; dizque lIe fez apenas uma "minima 6bservagao" ([1812-13a.], p. 179).o proprio Euler, contudo, desistiu da prova, visto que notou a difi-culdads mas nao pode fazer aquela "minima observaeao",n Cauchy pensava que a iastrucao para achar em cada estiigio urnhHingu.lo que possa ser retiradoou pela retirada de duns arestas

PROVA E CONT'RA-ExEMI>LOS LOCAlS 27

r!

trucao: retirar os trian~,,:llos em qual9-uer 0Ed~m. ~uaexpenencia mental modiflcada deu a instrucao: retirartriangulos liroitrofes em qualquer ordem, AgOl:a 0 senhordiz que temos de seguir .uma ordem determinada, maso senhal' nao diz qual seja a ordem, ~em se ela acasoexiste. Asslm, sua experiencia ment.al C~l po: terra. 0 se~rihor melhorou a analise da prova, isto e, a lista de}emaS,',mas a experlencia mental que 0 senhor chamou de provadesapareceu.RO:. S6 0 terceiro passo desapar~ceu. ,KAPA: AH~mdisso, a senhor tera melhorado 0 lema? Assuas duas primeiras vers6es simplespelo menos parecm;ntrivialmente verdadeiras antes de refutadas; ma,s a versaoextensa remendada nero mesmo parece plansivel. 0 se-nhor acredita realmente que ela resiste a refutacao? .PROFESSOR:Proposicoes "plausiveis" ou mesmo "trIVIal~mente verdadeiras" em geral Sao prontamente re~utadas.conjectures cornplicadas, implausiveis, amadurectdas nacritica, podem atingir a verdade, " .~ . E' que acontece mesmo que suas conjecturasOMEGA. h _ udercomplicadas" forero falsea_9.as,e entao 0 sen "or_nao p_substitui-las par outras nao falseada.s? Ou entao, se 0 senhor tuio conseguir melhorar mars 0 argumento porremendo local ?\O-senhor. teve exito. no caso d~}~;:_:_~~~~E~,. 1 --",_.-.........- ... l'K--g'lobal-'~g;6"'SttbstItUlr(') .lema=~,,;::-qu~3ac~~'_e;ec:se~.cr,.~enhor"~~~=::~~~:~?:~~~-~1!~~ximave'~7"'''~''"''-'~--''""''''''''.,.,"'--'-~'~~~-"~'.'.'.~""-"'" -".,;";R~~OR:=-Boa questao. Anotarei paratratarmos delaamanha,

1 -i1

Fig. s~. e trm vertice ou uma aresta pode SCI' trivinlme!lte executad~ pa~~qualquer poliedro [1813a], p. 79). Isto~ se~cl~hcIO!l~_C:O'~f'~l~~~aacidade de tmaginar um poliedro que nao seja OmeOIDOJCO

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1


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II.)I1

" _ U I i . l ii i i W i l l I . ; I i i ~ j ' i i i r m i i l I i _ . ' , I i f ii J i J l i1 i i li i Z t 5 i 1 i W i i ' r m . . i i i i~ - f f j j ' fi i i r - ii i 7 I 1 F . r . I P . I I 1 I 1 - ' I I ' T . 1 1 7 _ _ . . 1.. ' I i . . . . . . . . . . l l l l l l i l l ll l l i i i l i il i i i . . . ' i i ii " i I ii - - . _ . . . . _ . ' i i . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . _ . . . ; . . _ . . . . . . . . _ . _ . _ _ ."_J

. 28 A L6GICA 1)0 DESCOBR1lI1ENtd MATEJ\,(ATICO

4. Crit ica da Conjectura Median'te Contra-Exemplos. GlobaisALF~: Tenho urn contra-exemplo que talseara seu pri-metro lema - mas se trata 'tambem de contra-exemplopara a conjecture principal, isto e , sera tambem urncontra-exemplo global. 'PROFESSOR: ~ra bern! Multo interessante. Vejamo-Io.ALFA: Imagmernos urn solido determinado por u rn parde cubes - par de cubos, urn dos quais incluso no outromas que nao toea 0 outro (fig. 5). 0 cubo oco .falsei~? seu primeiro lema, porque, ao retirar uma face do cubom~erno, 0 poli'edro nao sera extensivel num plano. Nernadianta retirarmos uma face do cubo externo, Alern disso,para cada cubo V - A + F = 2; de modo que paraa eubo oco V _. A +.F = 4.PROFESSOR: lted 0 deveser uma superiicie: ele tern faces, arestas, vertices, podeser derormado, estendido num quadro-negro, e nada tern

- - ..~.-

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:t1 A D-eJinir;iio 1 OCOlTe pela primeira vez no seculo XVIII; p. ex."Da-f)e 0 nome de solido poliedral, au simplesmente poliedro, a qualquersolido ligado por pianos ou faces planas" (Legendre [1809], p. 160),Definicac semelhante ji dada por Euler ([1758(1.]. Euclides, emboradefinindo cubo, octaedro, pirilIde, prism a, nao define 0 termo genericopoliedro, 'mas as vezes. 0 emprega (p, ex. Livro XII, Segundo P~o-blema, Prop. 17). '


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30 A L6GJCA DO DESCOBRIMENTO MATEMkncoa ver com 6 conceito de "solido", Poliedro Ii uma sUper/i-cie que consiste de um. siste~oligonos,PROFESSOR: Chame a isso de ( 1 J e f , ~ J 1 2DEI,TA: Desse modo, 0 senhorTealthente nos mostrou doispoliedros ...;;:'_uas superficies, uma cornpletamente dentroda outra. Uma mulher com 0 filho no utero nao e contra--exemplo da tese de que os seres humanos tern umacabec;a. .

(a )Fig. 6

(b )

ALFA: Ora pols! Meu contra-exemplo gerou novo concertode _poliedro. Ou voce tern coragem de afirmar que parpolledro voce sempre entendeu uma superiicie?PROFESSOR: POI' ora, aceitemos a Det. -2 de Delta. Vocepode agora rerutar nossa conjectura se por poliedro enten-demos uma superficie? i :ALFA: Certaments, Tomemos dais tetraedros que tenhamuma aresta em comum (fig. 6 (a. On, tomemos doistetraedros que tenham urn vertica em comum (fig. 6 (b) ).Ambos esses gemeos estao ligados, ambos constituem uma12. Encontramos a De!inigfio 2 implicitamenta em urn dos ensaios deJonquieros lidos na Academia Prancesa contra os que preteridiamrefutar 0 teorema de Euler. Esses ensaios sao um tesourn de tecnicasanti-monstro -. Ele troveja contra 0 monstruoso par de cubos encaixadosde Lh-.;tlier: "~ss~ sistemaniio e realmente um poliedro, mas um. parde poliedros dlStmtos, cada qual independente do outro .. , Policdro,pelo menos d~ ponto de Vista elassico, s6 merece 0 nome Be, antesde tudo 0 mars, um ponto puder mover-sa continuainente sobre todaa sua superffcie; nao e 0 caso aqui.., Essas primeiras exceQoesde :r-~ulier podem, portanto, aer deseartadas" ([1890b J, p. 170), Bssadefmlr,;ao - comparada com a De!iniQao 1 - e multo bern aceita portopologistas analitlcos, que nao estao absolutamente Interessados nateollia dOBpoliedros como tais, mas apenas como auxiltares da teoriadas superficies. .

PROVA E CONTRA-ExEMPLOS GLOBAIS 31unica superficie. E voces podem conferir que para ambosV ~ A + F = 3.PROFESSOR: Contra-Exemplos 2a e 2b.13 .DELTA: Causa-me admiracao sua Imaginaefio doentla,mas e claro que eu nao quis dizer que qualquer sistemade poligonos seja urn poliedro, POI' po1iedro entendo urnsistema de poliganos disposto de tal modo que (1) exata-mente dais poligonos se encontrem em cada aresta e(2) seja possivel ir de dentro de, qualquer pol igoru! parao interior de qualquer outro polzgono por uma ina quejamais cruea quaiquer aresta num vertice: O ? seus. d0!:Sprimeiros gemeos serao excluidos pelo pnmeiro crtterfoem. minha defi:!J.i;J; e os segundos gemeos pelo segundocrlterlo. /"';--- -.PROFESSOR: DJif~.".. . , , ,ALFA: Admira-me sua patol6gica habilidade em mven-tar uma definicao apos outra como barricadas contEaa Ialsificacao de suas idelas insignif~cantes. Por qt:e naodefinir logo 0 poliedro como urn SIstema de poh,g~n9sque satisf_?,.I!!:~~equa~aoV - A + F = 2? Esta DefinieaoPerieita:': , . - ~\\~-''- KAPA: \1)ef. P,}I:;) _

i ALFA: ., .Ilquidaria a questa? de uma vez par ~odas. Naohaveria necessidade de investigar 0 assunto mais a fundo.DELTA: Mas nao existe no mundo urn s o teorema quenao possa ser falseado por monstros.. . _, _..I PROFESSOR: Sinto interrompe-los. Como VlIDOS, a refuta-j t:'\\ C;aomediante contra-exemplos depende do significado dos1il Os contra-exemplos 2a e 2b foram omitidos per Lhulier e des-cobertos pela primei:ra vez por Hessel ([1832], p. ~3). .14 A De!inir;fio 3 surg pela pr'imeiru vez para impedir totraedrosgemeos em Mobius ([1865], p, 32). Ell~ontramos essa perturbadoradefini1;ao reproduzid~ em al~uns mau,?al_:>.modernos do modo. usua~autoritar'io do "acredite se qmser"; a historm passada desse anhI?ollStro - que pelo menos 0 explicar ia -nao e eontada (p. ex. HIlberte Cohn-Vossen [1956], p. 290). . '. .15 A DeNrdr;fio P, de acordo com a qua! a eule:r!an~dade serra u!ll-!.I-caractertstlea definicional de poliedros, 01 pela prrmerra vez sugeridad.e fato por R. Baltzer: "Os poliedros comun~ sao .de fato chamados(segundo Hessel) de poliedros eulerianos. Serlo. .mals adeq;.tado .acha;:um nome especial para. poliedros niio autenb~o~ I (1!'nrugcnthche)([1862} vol. 2, p. 207). A referenda a Hessel e mfebz:.He,:;sel em-pregava 0 termo "euleriano" simplesmente como. al?revl.aQao parapoliedros para os quais a relaQao de Euler vale, dlstI llrumdo-se po-Iiedros njio-eulerianos ([1832J, p, 19). Para Def , P veja-se tambliIT,la citaQao de SchHifli na nota seguinte.


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,32 A LOGICA DO DESCOBRIMENTOMATEMA:fICOtermos em questao. Se urn contra-exemplo tiver que sercritiea objetiva, temos de concordar com 0 significadodos nossos termos, Podemos chegar a tal acordaao defi-nil' 0 termo onde a comunicacao falhar. Quanto a mlm,\ nao definl "poliedro". Presumi a. jamiliaruicuie com 0 con-\.ceito, isto e, a capacidade de distinguir alguma colsa que'e urn poliedro de uma eoisa que nao e poliedro -' 0 quealguns 16gicos chamam de conhecimento da extensacdoconcelto de paliedra. Aconteceu que a extensao do con-ceito nao era totalmente 6bvia: as de/inigoes silo tre-qiientemente propostas e discutidas quando surgem contra--exemplos. Sugiro que agora consideremos as defini


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34 A L6GJCA})O DESCOB:RIMENTO MATEMA.TICOgono .num plano - voce deve esticar as membros dele noespaco! 17DELTA: Voce se Im porta em m e dizer quale a area deurn pentagono estelado? Ou voce diria que alguns poli-gonos n a o tern area?GAMA: Nfio foi voce mesmo quem disse que urn poliedronada tern a vel' com a Ideia de solidez? Par que agorasugere que a Idela de poligono dev~ esta~' ligada a ide~ade area? Concord amos em que 0 polledro e uma superfic;efechada com arestas e vertices - entao .par que naoconcordar em que a paligono e simplesmente uma curvafechada com vertices? Mas se voce insiste na sua ideia,estou disposto a definir a area de u r n poligono estelado. 1817 Adisputa quanto a se o poligono deve ser definido de modo aineluir poligonos estelados ou na Q (De]: It ou Def. 4') e multo antiga,o argumento exposto em nosso diiilogo - que os pol igonos esteladosse torn am comuns quando metidos num espaeo de mais elevadasdimensdes - e um argumento topologieo moderno, mas muitos outrospodem ser expostos. Assim e que Poinset , ao defender os pol ignnosestelados argumentava com razdes tiradas da geometria ana~itica:": .' todas essas dlstlneoes (entre poltgonos estelados e poligonoscomuns) sao mais aparcntes do. que reais, e. desaparecern completB;-mente no tratamento analitico, no qual as diversas especies de poli-gonos sao perfeitamente inseparaveis. A aresta de urn poligono re-gular ccrresponde uma equacao com raizes reais, que simultaneamenteproduz as arestas de tcdos os poligonos regulares da :uesma ordem,Assim njio e possivel obter as arestas de um heptagono regularinscrito, sem, ao mesmo tempo, achar arestas de heptagonos da se-gunda e terceira especies. Inversamente, dada a aresta de urn hell"tagono regular, pode-se determinar 0 raio do circulo. no qual eI~ podeser inserito, mas ao faze-1o, encontraremos tres diferentes circuluscorrespondentes as tres sspecies de heptagonos que podem ser CO;lS-trutdos em dada aresta ; igualmente para outros poltgonos. Assim,temos razao em dar 0 nome de 'poligono' a essas novas figurasesteladas" ([1810], p. 26)., Schroder emprega ? argnrnento ~an~e~Iiano : "A extensao a ira~iies racionais do concerto forca origmaria-mente associ ado apenas com numeros inteiros ' foi lD;uito fecunda el_l1algebra; isso sugere que tentemos fazer a mesma corsa em geometrtasempre que a oportunidade se apresente .. ." ([1862] c . 'p . 56)., ~ : ' -seguida mostraque podemos achar uma mterpretacao geornebricapara 0 conceito de poligonos de p/q lados, ,?os p~ligonos est~Iados.18 A alega~aode Garna de que pode definir a area de poligonosestelados njio e engodo. Alguns dos que defsnderam 0 conce~to ma~samplo de poligono resolveram 0 problema expondo um e?llCelto matsample de area pol igonal, Hi um modo bastante 6bv:o de Iazeri s s e i no caso de poligonos estelados, Podemos tornar a area de u rnpoligono como a soma das areas dos triilngulos iS6sceles que unemo centro do circulo .inscrito ou circunscrito aos lades, Nesse caso,e clarocalgumaa "porc5es" do pol igono estelado serao contadas znais

\b 77

PROVA E CONTRA-ExEMPLOS GLOBAIS 35.IJ _i

PROFESSOR: Deixemos essa dlscussao por urn momento,e continuemos como antes. Consideremos as duas ulttmasdefinigoes juntas - Dei. 4 e Dej. 4', Alguem podera darcontra-exemplo para a nossa conjectura, que satisfaeaa ambas as defini!;6es de poUgonos?

Fig' , 9

I

jALFA: Tenho urn. Consideremos uma esirtdura-imaqem.como esta (fig. 9). Trata-se de um poliedro deacordo comquaisquer das definic;6es ate aqut propostas. Nao obstante,voces descobrirao, ao contar 08' vertices, arestas e faces,que V - A + F = O.PROFESSOR; Contra-exemplo 4. 19ALFA: "JI5S0 signif iea que e 0 fim de nossa conjectlI"r~./-:E realmente l ima pena, porque ela satisfazia a tantoscasas, Mas parece que perdemos nosso tempo.ALFA: Delta; estou espantado, Voce nab diz nada? Voc~ilao pode def'inir este novo contra-exemplo fora daexis-tencia? Eu pensavaque nao havia'hip6tesealguttla nomundo que vocs nao pudesse livrar de, falSeamentocom

Ii.I!

de uma vez. No caso de poHgonos irregulares em que nlio obtfvemosurn ponto distinto, podemos ainda tomar qualquar ponto como origeme tratar triangulos negativamente orientados como tendo area.s ne-gativas (Meister [1771J, p. 179); Surge - e isso POdOl certamenteser esperado como uma "area" - que a area assim definida naodependera da escolha da origem (Mobius [1827], p, 218). E clareque esta .em aberto a questao com os que pensam ter-se razao em cha-mal' o mimero produzido por esse caleulo uma "area"; embora os de-fensores . da definicao Meister-Mobius a charriassem "A d


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36 A L6GICA DO DIlSCOBRIMEN'fO MATEMATICOurn apropriado truque Ilngufstico. Rende-se agora? Oon-corda, finalrnente, em que nao existem poliedros nao--eulerianos? E incrivel! 'DELTA: _Voce deve realmente achar urn nome mais apro-priado para as suas pragas nao-eulertanas e nao nosenganar a todos chamando-os de "poliedros", Mas estou,aos poucos, perdendo interesse em seus monstros. Estoudesgostando de seus lamentaveis "poliedros", para as quaiso bela teorema de Euler nao se apliea. 20 Eu procuroordern e harmonia na matematlca, mas voce apenas pro-paga anarquia e caos.>' Nossas atitudes sao irreeonci-lliiveis.ALFA: 0que voce e , e urn tori fora de modal Voce culpaa maldieao dos anarquistas por prejudicar sua "ordem" e"harmonia", e"resolve" as dificuldades mediante reco-mendaeoes verbals.PROFESSOR: Oucamos a mais recente definicfio salvadora,ALFA: 0 senhor quer dizer 0 mals recente truque.Iinguis-tica, a mais recente reducao do conceito de "poliedro"!Delta dissolve problemas rears em vez de soluciona-Ios.DELTA: Eu nao retiueo coriceitos. Voce e que as amplia.Par exemplo, essa estrutura-lmagem nao e absolutamenteurn poliedro- autentico,AL]'A: Por que?DELTA: Tome um ponto arbltrario no "tUnel" - espacodeterminado pela estrutura. Estenda urn plano atravesdesse pori~o. Voce vera. que qualquer plano desses ternsempre dd'is diferentes cortes transversals, 0 que,determinana estrutura-imagem dois poIigonos distintos,completa-mente desligados urn do outro! (fig, 10).ALFA: E dai?-20 ' I'rata-se de parafrase de uma carta do escrito de Hermite aStieltjes: "Afasto-me com urn fremito de horror dessa Iastimavolpraga de funcoes que nao tern der'ivadas" ([1893 J) .2:1 "Pesquisas que l idam com... fun~oes violando leis que se es-peravam universais, f 'oram ccnsideradas quase como a prcpagaeao deanarquia e caos onde gel 'a l , ;OeS passadas procuraram ordem e har-monia" (Sales [1933], Prefacio ) . Sales menciona aqui as batalhasfebris entre antimonstros (como Hermite! ) e refutacionistas quecaracterizaram nas ultimas decadas do seculo XIX (e de fato prin-cip ios do seculo XX) 0 desenvolvlmento da moderna teoria da fUDcaoreal, "0ramo do.matematica que trata dos contra-exemplos" (Munroe[1953], Pref'acio) , A batalha igualmente feroz que grassou entre os .oponerites e protagcnistas da l6gica matematica modern a e teoria dosconjuntos foi ,uma continuacao direta disso. Vejam-se tambem notus24 e 25.

PRoVA E CONTRA-E:XEMPLOS GLOBAIS 37 1I

Fig. 10DELTA: No


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38 A LomcA DO DESC:OBRIMENTO M A TI!M:ATlCO(PROFESSOR: Esta pareee outra:tfll~i~ , desta vez defini-I C;aoimplicita. Chamemo-la de ei. 5.I ALFA: Uma serie de 'contra-exe pl s, uma serie de defi-\ nicoes conflitantes, definicoes que nao pretendem canter\,coisa alguma de novo, mas ser apenas novas revelacoes\da riqueza de urn antigo concerto, que parece tel' tantas

i clausulas "ocultas" quantos contra-exemplos ha. Para, todos os poliedros V - A + l!' = 2 parece tnabalavel, umaI , l lan.ti~a verdad~ :'eterna". E . curiosa p,ensar que .certa vez"exlstm uma hipotese maravilhosa, chela de desano e emo-Iltao. Agora, devido as magicas mudancas de sentido queII voces estao tazendo, ela se converteu numa eonvencao)

'1 pobre, uma especie de dogma desprezivel. (Deixa a sal.'a)d e aula),(DELTA: Nao posso compreender como urn [ovem compe-il tente como Alfa pode ~esperdir;ar seu ta~e~to apenascomI\apartesfora de proposlto. Ele parece gravido na gestagaoI /de .monstr,]osidades. Mas as monstruosidades nunca vao1 \, a frente, nero no mundo natural nem no mundo do pensa-Iimento. A evolucao sempre segue urn padrao harmoniosoL _ g ordenado.'GAMA: OS geneticistas podem facilmente refutar 0 quevoce disse. Voce nao ouviu dizer que as mutacoes queproduzem monstruosidades desempenham papel conside-ravel na macroevolucao? Eles chamam esses monstrosmutantes de "monstros esperancosos", Parece-me que O,Scontra-exemplos de Alfa, embora monstros, sao "monstrosesperancososv.w22 A De/'i,ni.J;iio 5 foi exposta pelo ineansavel antimonstro E. (leJonquisres para excluir 0 poliedro com urn tunel de Lhulisr (ostru-tura-imagemj : "Nem esse complexo poliedral e urn verdadeiro poliedrono sentidocomum dapaiavra, porque se tomamos qualquer planoatraves de urn ponto arbitrario dentro de um xlos tuneis que pass amdiretamente atraves do solido, 0 corte transversal resultant" sera com-posto de dois poligonos distintos cornpletamente dssligados um dooutro ; isso pode ocorrer com poliedros comuns para certas posi,,5e~;do plano de interseea, isto e , no caso de alguns polieriros conavos;mas nao para todos eles" ([1890b], pp. 170-1), F'ica-se imaginandose Jonquteres observou que essa sua Dejinifao 5 exclui tambem algunspoliedros esferoides concavos, ,..23 Nao devemos esquecer que aquilo que hoje aparece como urnmonstro sera amanha a origem de uma Iinha d,~ adaptaeao espe-cial. . Realcei ainda mais a importancia de mutaQoes 1'31'aS, masextremamente plenas de conseqtienciae afetando indices de processesembridnlcos decisivos que poderiam ensejar 0 que se pode denominar

I!~,

P,ROYAE CONTRA-EXEMPLOS GLOBATS 39DELTA: Seja 'como for, Alfa abandonou a luta. Nao tere-mos monstros agora.GAMA: .Eu tenho !JnLnovo-.monstro . .. .Ele_s_a.t i .~{i.z_f!_tmla .s~_


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t}I! GAMA: Acho que, se quisermos aBrend~_r alguma coi.$~\,,," 1J realmente a fund.g",t,!:Hl10Sue e~tuda-la n~o;~,llL~':.~Jgrm.a iii. J_ } - . i "'jli6rm.al,:~,te:glllar,-.llsllal,,m~,_ ~:!l_~~~i'fgp'_,('Wl.tl~o,_aAebr,e.,L'\:=~E_!t"paixao/ Se quiserem conhecer 0 corpo s~udavel, normal,\ estudem:::6.o quando anormal, quando estiver doente.Sequiserem conhecer as runcties, estudem suas singularida-des. Se quiserem conhecer os poliedros comuns, estudemseu aspecto Iouco, Assim e que se pode levar a analisematematica ate 0 amago da questaO.25 Mas, mesmo quebasicamente voce tivesse razao, nao percebe a ruttlidadedo seu metoda ad hOD? Se voce quiser tragal' uma Hnhalimite entre contra-exemplos e monstros, voce nao podefaze-Io aos arrancos.

PROFESSOR: Acho que devemos reeusar a estrategla deDelta para tratamento dos contra-exemplos globais, em-bora devamos congratular-nos com ele por sua habil exe-eueao. Poderiamos, com propriedade, rotular seu me-todo de metoda do aniimonstro. Empregando-o, podemoseliminar qualquer contra-exemplo para aconjectura origi-.nal par, as vezes, habeis redefinicfies do poliedro, massempre ad hoc, de seus termos definidores, ou dos termosdefinidores de seus term os definidores. Devemos,pon'lm,tratar os contra-exemplos com mais respeito, e naoexorclza-los obstinadamente, alcunhando-os de monstros.o principal engano de Delta e "talvez seu preconceitodogmatico na Interpretaeao da prova matematica: eleacha que uma prova necessariamente comprovao quese quer provar., Minha interpretacao de prova permltiraque seja "provada" uma falsa conjectura, isto e , que sejadecomposta em subconjecturas. Se a conjectura for faIsa,espero certamente que pelo menos uma das subconjecturas ,seja ralsa, Mas a decomposicao pode ser ainda interes->'sante! Nao m e perturbo se encontrar urn contra-exemplopara uma conjectura "provada"; estou ate mesmo dis-posto a "provar" uma falsa conjectural

40 A L6GICA' DO DESCOllRIMENTO MATEMATICO

erros no raclocinio de nossos antepassados, e nada mais se obtera delas'alem disso. 'Se a 16gica fosse 0 guia exclusive do professor, sera necessariocomeear com as funcoes mais gerais, isto e , com as mais bizarras.o iniciante e que teria de 5e haver com esse museu teratol6gico ... "(G. B. Halsted, Trad. autorizada, pp. 435-6). Poincare discute 0problema com respeito a situaeao na teoria das funcoes reais - I ', ' .mas isso nao faz qualquer diferenea,20 Parafrase de Denjoy ([1919], p. 21). J

FROVA R ONTRA-ExEMPI,OS GLOBAIS 41'\"Jt..

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TETA: Nao aeompanho voce.KAP~: Ele segue precisamente a Novo Testamento: "Jul-gai todas as coisas; retende 0 que e born" (1 'I'essaloni-censes, 5: 21).(0) Aperteicoumento da coniectura pelos meiodoe deantiexce


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42 A L6GIC,\uo'DESCODRlMENTO MATEMATICOSIGMA: " . , .Nao se deve contundir falsos teoremas comteoremas sujeitos a 'certa restricao." 26 Diz 0 proverbio:A exceciio coniirma a reqra.EPSILON (diriglndo-se a KAPA): Quem e esse maluco?Eledevia aprender urn pouco de l6giea.KAl'A (a EPSILON): E sabre triangulos planes nao-eucli-dianos.DELTA: Acho embaraccso ter que prever que nesta+dts-cussao AUa e eu deveremos provavelmente estar do mesmoIado. Ambos argumentamos com base na verdade ou falsi-dade de uma proposleao e diseordamos apenas quantoa se 0 teorema d e Euler, em particular, e verdadeiro-oufalso. Mas Sigma quer que admitamos uma terceira cate-goria de proposicces que sejam "em principia" verdadei-ras, mas "admitam excecoes em certos casas". Ooncordarcom uma coexistencia pacifica de teoremas e excecoe ssigniiica Iancar conrusao e caos em matematica.ALFA: D'accord.ETA, Eu nao pretendia interferir na brilhante argumen-tac:;aode Delta, mas acho agora que seria proveitoso se euresumidamente explicasse a hlstoria do meu desenvolvi-rnento intelectual. Em meus tempos escolares, tornei-me_ como voce diria - urn antimonstro, nao como defesacontra tipos Alfa,' mas como defesa contra tipos Sigma.Lembro-me de ter lido num peri6dico sobre 0 teorema deEuler: "Brilhantes matematicos apresentaram provasdavalidade geral do teorema. Contudo, ele padece de exce-


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:;)

I"44 A L6GICA DO DESCOBRIMENTO MATErlfATICOda conjectura original; rejeito-o, na medida em que run-clone como truque linguistfco para salvar "belos" teoremasmediante conceitos restritivos. Essas duas runcoes do me-toda de Delta devem ser man tidas separadas. Gosta,ria debatizar meu metoda, que e caracterizado,_~~la- primelradessas fungoes apenas, como "metoda ~~o':. Vouemprega-lo para determinar rigorosamente 0 dominic emque a conjectura de Euler prevalece,PROFESSOR: Que vern a ser 0 "dominio rigorosamente de-terminado" dos poliedros eulerianos que voce prometeu?Que e a sua "formula perfei ta"?BETA: Para todos os poliedros que tuio tern caouiasies(como 0 par de cubos encaixados) e tunets (como a estru-' tum imagem), V - A + F = 2.PROFESSOR: Tern certeza?BETA: Sim, tenho certeza.PROFESSOR: Que dizer dos tetraedros gemeos?BETA: Desculpe. Para todos oepoliedros que 000 tem. caoi-dades, ttineis ourestrutura muUip,la", V - A + F = 2: 30PROFESSOR: Percebo. Concordo com' sua pratlca de melho ..rar a conjectura em vez de imediatamente admiti-la ouabandona-Ia. Prefiro-a ao metodo antimonstro e ao de ren-digao. Nao obstante, tenho duas objecoes, Primelro, afirmaque e insustentavel sua alegacao de que 0 seu metodonaoapenas aperreicoa, mas "tarna perfeita" a conjectura, quea "faz rigorosamente correta", que "faz desapareceremtodas as incertezas".BETA: De fato?30 . Lhulier e Gergonne parecem tor estado seg1HOS de que a l ist a deLhulier enumerava tOdRS as exceeoes. Lemos na introdueao a essaparte do ensaio : "Facilmente nos conveceremos de que 0 Teoremade Euler e verdadeiro em geral, para todos as poliedros, sejamelesconvexos ou nso, exeeto naqueles -cesos que serao especificados ... "(Lhulier [1812-13a], T l, 177). Depois Iemos de novo no comentar iode Gergonne: "... as exce~oes especificudas que parece aerem asiiriicas que podem ocorrer ... " (Ibid., p, 188). Mas de fato Lhulieromitiu 0 tetraedro gemeo, ques6 foi ohsarvado vinte anos idepois porHessel ([1832]), 1 1 : digno de nota que alguns notaveds matematicos,inclusive matematinos com vivo interesse em metodologia como G01: -gonne, pudessem acreditar que era idoneo 0 metodo de antiexcecao.A crenea e semelhante a do "metodo de divisfio" em 16gica Indutiva,de acordo com a qual pode haver completa enumeracao de explicacdespossiveis de urn fenomeno, 6, portanto, se pudermos eliminar todas imenos urna pelo metcdo do experi-mentwm crlWis, e!ltao a ultima elcomprovada. 'f . I

j

PROVA E C O N T R A ~ E X E M P L O S GLOBAIS 45

--~--~------------~---------------------------------- .. ---- .. ----------------------~~----~~--~~ __~ __~ __2'"~__~ ---.~-.~

,. , PROFESSO_R: Voc~ deve admitir que cada nova versao desua conjectura e apenas uma eliminagao ad hoc de urncontra-exe~lplo que acabou de surgir. Quando depara comcubos encalxados~ voce exclui poliedros com caoidades. Seaeont.eee ~e voce obseryar uma estrutura-imagem, voceexclui poliedros com tuneis. Aprecio sua mente abertae observadora; notal' essas excecoes e multo bam masach,? que valeria a ~ena injetar algum metodo .n 'o seutat~lO cego de "excecoes''. E born admitir que "todos ospo~edros sao eulerlanos" e apenas uma conjectura. Mas.pOIq~e d~: status de t~orema que tambem nao seja con-Je_?tUl:1 tOdo~ as p,0l iedros sem cavidades, tuneis e quenao sejam eulerianos ? Como voce pode estar certo de tel'enurnerado t o d a s as excegoes? ,BETA; 0 senhor pade mencionar uma que eu nao tenhalevado emconta?ALFA: Que e que voce diz do meu ouri~ocacheiro';lGAMA; E 0 meu eilindro?' .PROFESSOR: Rao preciso nem mesrno de nova "excecao"concre~a_ .para meu argumento, Meu argumento era paraa posszbzlldade de outras excecoes.BETA: . '!:alvez 0 senhor tenha razao. Nao se deve mudarde pos~Qao.t?,da v~z que surge um_contra-ex._emplo. Nao sedeve_dizer: Se nao ocorrer exceeao do fenomeno, a. con-clus~o deve ser declarada de modo geral. Mas se acontecerdepots que apareca qualquer excegao a eonclusao deveser declarada a medida que ocorra." 3 i Vejamos. Primeiroadmitimos .q.ue para toaos os poliedros V - A + F = 2,porque verif icamos valer _para cubos, octaedros, pirfunidese pnsmas. Certamente nao podemos acei tar "este misera-vel ~odo de inferir do particular para 0 geral".32 Naoadmlra qu; surjam e~ceg6es; 0 surpreendente e que naoas descobrissemos multo antes. A meu ver isto se devea que nos ocupavamos excessivamente de poIiedros COTlrz:exo~. LOlfo que outros poliedros surgiram, nossas genera-llZago~snao mars prevaleceram. 33Assim, em vez de excluirexcecoes ur_na a uma, devemos tracar a linha limitrofe demane Ira d~sereta, ;mas ~egurarnente: Todos as poliedrosconvexos sao eulerianos. M'E espero que 0 senhor admita3.1 L Newton [1717], p. 880.82 '~bel [1826a]. Sua critic a parece dirigir-se contra 0 indutivismoeuleriano, .'38 1880 tamb~m. e paraf'raseado da citada carta, na qual Abel estavaocupado em ehmmar as excecoes aos "teoremas" gerais sabre funt;5es

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46 A LOGICA- DO DESCOBRIMENTOMATEMA:TICOque nada ha de conjectural quanta a isto: trata-se de amteorema.GAMA: E 0 meu cilindro? Ele e convexo!B.ETA: E uma piada!PROFESSOR: Esque c ;amos 0 cilindro por urn momenta.Podemos fazer alguma critica mesmo sem 0 cilindto. Nestanova versso modificada do metoda de exclusao de excecfies,que Beta vislumbrou tao agilmente em resposta_~~_mjnh_acx t t iC:~ 'a'retirad'it",unfii-'a"'um a:---fof - stibstitUfda" par, umaretlrada estrategica para urn dominio que se esperava se-guro para a conjecture, Voce esta agindo com prudencia,Mas estara tao a salvo quanta pensa? Voce ainda naotern garantia de que nfio havera exceeoes no interior desua fortaleza. Alem do mats, existe o perigo oposto. vocanao teria excluido demasiado radlcalmente, deixando nu-merosos poliedros eulerianos fora dos muros? Nossa con-jectura original podia ter sido urn exagero, mas, sua tese"aperfei ,oada" parece-me muito mais uma subestimativa:no entanto, voce nao pode estar segura de que tambemnao seja um exagero.Mas gostaria de expor tambem mlnha sequnda obje-gao: 0 seu argumento esquece a.prova: ao super a dominiode validade da conjectura, parece que voce nao precisa deprova alguma. Sem duvida, voce nao acredita que as provassejam redundantes?BETA: Nunca disse isso.e com isso estabelecer l'igor absolute. 0 tracho original (inclusivea citacao anterior) e este i"Em AmiHse Superior, pouquissimas pro-poaiefies sao comprovadas com rigor definitive. Acha-se em toda 'P(I,r~eo miscravel ,"wdo de in/enr do particular ao OeTal, e e milagre quetal processo leve s6 raramente ao que sao chamados paradoxes. E real-mente, mui to interessante procurar a razi io . A meu ver a razao deveencontrar-se no fato de que oe analistas tem-se ocupado sobretudo comfunr;5es que podem 8er expreesae como p'Togre8soes 9IJOmetricas. Logoq1,~eaparer;am ouira funr;5cs - 0 que, com eertes; e raramentil 0 01180- niio mais se prossegue e ate que se eomeca a tirnr falsas conelueoes,segue-se uma mulfidao infinita de erros, todos : amparando uns aosoutros ... " (it:Uicos mens) . Poinsot descobriu. que generalizaeoeaindutivas "em geral": causam transtornos na teoria dos polfedros:assim como r ia teoria dos mimeros : "As propriedades, em rmaioria,sao individuals e nfio obedecem a qualquer lei geral" ([ 1810] , ; 45).A curiosa carac terfstica dessa cautela quanto 11 , indueiio e que eladiminui sen eventual transtorno ante 0 fato de que 0 universe (defates, numeros, poliedros) realmente contem milagrosas exceeoes,

.PROVA E. CONTRA-EXEMPLOS GLOBAIS 47

JPROFESSOR: Ce:_to,voce. nao disse. Mas voce descobriu quenoss~ prova nao confirmava nossa conjectura origlnal.Conflrmara sua conjecture aperfeigoada? Respond a-me.BETA: Bern ... META: Maito obrigado, professor, par esse argumento,o en:bara~o de Beta mostra claramente a superioridadedo difamado. metoda antimonstro. Porque dizemos quea prova connrma 0 que pretendemos provar e nossa res-:posta ~ inequivoca. Nao perrnit imos que contra-exemplosImpertinentes destruam respeitaveis provas it vontademesmoq~e estejam disfareados como humildes "exce~6es"~BETA: Nao acho de modo algum embaracoso ter queelaborar, me~orar. e - 0 senhor ha de me desculpar _tornar per/elM minha metodologia sob 0 estimulo dacritica. Minha resposta e esta. Rejeito a conjectura origt-nal como falsa porque ha exceefies a ela. Rejeito tambem)a prova porque "as mesmas exceg6es sao excecdes pelb .me~os p~ra urn dos lemas. (Em sua terminologia Istoequlvaleria urn contra-exemplo global e necessariamentetambem umcontra-exempjn local.) Alfa se deteria nesteponto, visto que ~ refut~gao parece satisfazercompleta-men~e .suas necessidades mtelectuais. Mas eu prossigo. Aorestrlngir .adeq~ad~mente tanto a conjectura como a provaa o dominI? proprIo: eu torno perfeita a conjectura queagora sera. uerdadeira, e torno perfeita a prova baslca-mente sadia que agora sent rigorosa e obvlamente naomais conter~ lemas falsos. Vimos, por exernplo, que nemtodos as poliedros podem ser estendidos num plano depoisde se lhes retfrar uma face. Mas todos as poliedros conoe-IDS 0 podem. Com razao, posse chamar de teorema a mi-nha conjectura aperf 'eicoada e rigorosamente comprovada.Reafirmo; "Todos os poliedr08 conoexos s a o eulerianos". M

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34 Isso tambem tern muito a Vel.' com 0 metodo de Abel. Do mesmomodo, A~el restrtngia 0 dorninio de teoremas suspeitos sobra fUll, Muitos matematicos operosos fieam intrigados sobre o valor daprova, ja que elae nao provam, POl' urn lado, sabem pela experiencia

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4 8' A L6GICA DO DESCOIlRIMENTB :MATEMA:C1CO. . Para os poliedros convexos, todos as lemas serfio mantles-tamente verdadeiros e a prova, que nao era rigorosa emsua falsa genera1idade, sera rigorosa para 0 dominic res-trito de polledros convexos, Deste modo, professor, respondia sua questao, ..PROFESSOR: Entao as lemas, que pareciam manirestamen-te verdadeiros antes do aparecimento da excecao, pare-cerao de novo manifestamente verdadeiros ... ate 0 des-cobrimento da proxima excecao, Voce admite que, "todosos poliedros sao eulerianos" era uma suposicao: voceacabade -admitir que "todos os poliedros sem cavtdades e tuneissao eulerianos" era tambem suposlcao; por que nao admi-til' que "todos os poliedros convexos sao eulerianos" emais uma suposlcao"! _BETA: Agora nao se trata de "suposicao", mas ~._~Z n m b f7 ;Y r -- -- -- -- -- - -- -- -- -- -- . - . .- .- -- -- -- -- - - -- - - -- --- -'- -- - -- - -- -- -- -- -. -- -- -- --- -. _,. - -- --- -- -- -- - -PROFESSOR: Nao me agrada 0 seu pretencioso "vislum-bre". Respeito a suposicao consciente, porque ela decorredas melhores qualidades humanas: coragem .e modestta.EETA: Eu propus um teorema: "Tados os p6Tiedros~-corr:-vexes sao eulerian os." 0 senhor oferece apenas urn sermaocontra ele. Nao pode apresentar um contra-exemplo?PROFESSOR: Voce nao pode saber se tenho um contra--exemplo. Voce meihorou a conjectura original, mas naoque as provas sao faHveis, mas, por outro, sabem por sua endou-tr inar;ao dogmatiea que provas autsnticas devem ser inf'al'iveis . Mate-maticos aplicados em geral resolvem esse dilema mediante ,uJ?a ercnea,onvergonhada, mas firme, de que as provas dos matematieos purossao "completas" e asalm realmente provam, Os matematieos puros,porem, sabem melhor - eles tern respcito apenaapelas "provas CO~..:pletas" dos I6gicos. Se lhes perguntarem, porem, ~ uti lidade,. a funr;ao,de suas "provas ineompletas", quase todos ilcam perdidos. POL'exemplo, G. H. Hardy tern grande respeito palauxigencia dos lo?,?osde provas formais, mas quando quis caracteTizar prova matematica"com a qual nos os matematicos estamos familiarizados", felo doseguinte modo: "Falando rigorosamente, nao exis te 0 que se chamada prova matematica ; em ultima analise,. podemos, no maximo ques-tionar .. ,j provaa sao 0 que Littlewood e eu ehamamos de iolioe,enfeites retoricos para efeitos psicologicos, imagens a margem de urnsconferencia, artificios para esfimular a imaginacfio dos alunos"([19,28], p.1S). R. L. Wilder aeha que prova e "apenas urn pro-cesso d-eteste que aplieamos a sugestoes de nossa intulefio" ([1944],p. 318). G....P6lya observa;j que provas, n:esmo incompletas, es t;be"lecem conexoes entre ratos matemahcos e isto nos ajuda a manta-losna memoria: as provas proporcionam urn sistema mnemotecnico([1945}, pp. 190191).

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FROVA E CONTRAExEMPLOS -GLODAIS 49

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podealegar que a tornou perjeita e que atinglu perfeitorigor, em sua prova.BETA: ,.0senhor pode? .PROFESSOR: Nem eu posso. Mas acho que meu metodade melhorar conjecturas sera um aperfeicoamento do seu,porque estabelecerel uma unidade, uma verdadeira inte-racao entre provas e contra-exemplos.BETA: Estou pronto a aprender/(d) 0 metodo de ajuste do monstroRO: Professor, 0 senhor me permitiria umas palavras emaparte?PROFESSOR: Perfei tamen te oRO: 'Concordo em que devamos rejeitar 0 antirnonstro deDelta como enfoque metodo16gico _geral, porque ele real-mente nao toma os "monstros" a serio, Beta tambem naotoma suas "excecoes" a serio, porque simplesmente asarrola e retira-se para urn dominic segura. Assim, ambosesses metodos estao interessados apenas num campo Itmt-tado e privilegiado. Meu metodo nao pratica discrimi-nacao, Posso mostrar que, "num exame mais apurado, asexcecoes vern a tornar-se apenas aparentes e que a teore-r n a de Euler continua valido mesmo para as pretensasexcecoes".


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150 A L6mCA DO D.ESCOB:RIMENTOMATE~fATICOs~a. fantasia. ,~~ __e~iste~ __~ ~ ~ _ _ t ; E 9 ~ 2 . _ _m~.~p~'1Ljnt~/lLI;_~t:~S9~.s. ! ! 1 _ o , . ! l ~ t luosas:-Temos que expurgar nossas men-tes de, ~usoes eiiganaaoras; temos que aprender avere a ~eflmr corretamente 0 que vemos. Meu metodo e tera-peutlco: onde voce "ve" - erroneamente ~ urn contra--exemplo, ensi?o a recOJ?-I:ecer - corretamente _ urnexemplo. Eu ajusto sua visao monstruosa , , . 38ALFA: Professor, por favor, explique 0 seu metoda, antesque Ro nos faca uma lavagem cerebral. 39PROFESSOR: Deixemo-lo prosseguir.RO: Esse e 0 meu ponto de vista,GAMA: Voce poderia ampliar sua critica ao metodo deDelta? Voces dais exorcizaram "monstros" .. ,38 Nada e :uais carecterfstico de uma epistemologia dogmatica doque sua teo~HI do erro. Porque, se algumas verdades sao patentes,deve-se explicar como alguem se pode enganar sobre elas ; em outraspalavras, POl' que as ,:,erdades nao sao rnanifestas a todos. De acordocom sua teoria particular de erro, cada epistemologia dogmatic.toferece SUa te1'apeutica particular para purgar as mentes d~ err~Cf. Popper [1963a], Introdueao. .'lUI Poinsot deve ter pa.ssado POI' aIgum disttirbio mental certa epoca,en~re .1809 e ~858. FOl ele quem redescobriu os poliedrcs estelados.Pzirneiro, analisou-os do ponto de vista da euler'ianidade e declaronq,ue alguns de:ies, como 0 nosso pequeno dodecaedro estelado, nao sa ..tisfazem a for~ula de Euler ([1810]). Ora, esse meamo Poinsotdeclara cat;gOrIcamente em seu [1858J que a fOrmula de Euler( [181.0) "e. vel'da~eira !,iio s6 para poliedros convexos, mas paraqualquer poliedro, mclusIve poliedros estelados" (p. 67 _ Poinsotemprega o. termo p,0lyedres d'espece supr.ricure para poliedros es-telados) , A contradieao e ~bvia. Qual a explicacao? Que acontsceucom os contra-eX~mp~?B pohedrais e: '3telados? A chave e a primeirasent;nl(a do er:salO: Pode-se reduzir toda a teoria dos poliedros itteoria dos pohedros com faces triangulares." lsto e , Poinsot.Alfaestav~:onfuso : vir~u Poinsot-Ro: agora ele s6 ve t1'i..nglllos ondean~er~Olmente VIa, pohgonos estelados ; agora s o ve exemplos onde an-tellOlme?!e s6 Va eontra-exemplos. A autocnitiea tinhaque sersub-repticia, oculta,. porq~e' na tradil(1io cientifica nao hit 'Padl'oesdisponiveis paTa artieulacao de tars meias-voltas. F'ica-se imaginandoque se urn ~Ia ele deparassa com faces circundantes sera que asremterpretarJa com sua visao triangular? ., A mudanca de visao nem sempre opera no mesmo senti do. POI'exemplo, J, C. Becker. em seu [1869a] - f'ascinado psl a nova es-tru:tura conceptual de dominies simplesmente e multiplamente ligados(Riemann, [1851]) - admitiaipolfgonos com faces cireundantes, maspermm;eceu cego a pohgonos estelados (p, 66)., Cinco aDOS-depoisdesse livro :-- em que,_~lega tel:' dado solucso def' initlva do vproblema- ele ampliava sua vIsno. e reconheci~~ padroes poligonais e poliedraisestelados onde antes lIeVIa apenas trlangulos e poliedros triangulares([1874))~ . _

FROVA E CONTRA-ExEMPLOS GLOBATS

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RO: Delta ficou impressionado com as aluclnaedes quevoce engendrau. Ele concordou que 0 seu "ourlcocachef-ro" tern 12 faces, 30 arestas e 12 vertices e que e nan--euleriano. A tese dele e de que nem rnesmo se trata deum poliedro. Mas errou numa coisa e outra. 0 seu "ourico-cacheiro" e urn poliedro e e euleriano. Mas sua interpre-ta9.ao poliedral estelada era equivocada. Se voce nso seimporta, nao e a impressao de urn ourico numa mentepura e saudavel, mas sua impressao destorcida numamente enferma, contorcendo-se de dar. 40KAPA: Mas como e que voce pode distinguir mentessadlas de mentes enfermas, interpretacoes ractonais deinterpretacoes monstruosas? 41RO: 0 que me intriga e como voce pode confundir urnacom outra! ,SIGMA: Ro, voce realmente pensa que Alfa nunca obser-vou que seu "ourico" podia ser interpret ado como urnpoliedro triangular? E claro que podia. Mas urn examemais apurado revela que "esses triangulos sempre segrupam em cinco no mesmo plano e rodeiam urn penta-gono regular ocultando-se - como seu nucleo - pardetras de um angulo solido. Ora, as cinco triangulosregulares juntamente com seu micleo central - 0 penta-gono regular - constituem a que se chama 'pentagrama'que, de acordo com Teofrasto Paracelso, era 0 signa dasaude ... "4240 Isto e parte da teoria estoica do erro, atl'ibuida a Cr iaipo(cf. Aecio [c .150], IV. 12,4; tamMm Sexto Empirico [c .190},I~249), . De acordo com os est6icoB, 0 "ourieocacheiro" seria parte da rea-lidade e:xterna, que produz urna impressao na alma: a pharda8ia ou,visum. Urn sabio nao da assentimento acritico (8'Ipuw.tathesis onad.sensus) a uma phantasia a menos que eIa amadureea em ideiaclara e' dist inta (pha.n.ta.si.a katdepti/ce ou C01nprehensto), 0 que naopode acontecer se for, falsa. 0 sistema de ideias claras e dist.intasconstitui a eiencia (episteme). Em nosso caso, a impressao do "ourieo'na mente de Alfa seria a do dodecaedro estelado pequeno, enquantona mente de Ro seria a do hexacontaedro triangular. Ro alegar.iaque. a visiio poliedral estslada de Alfa talvez nao possa amadureccrem ideia clara e distinta, obviamente visto que ela desmentiria af6rmuhi '~comprovada" de Euler. Assfm, a interp retacao poliedrales telada falhar la e a "unica" alterriativa para ela, is to e , a interpre-ta~ao ti-ianguIar, se torn aria clara e distinta.11 Trata-se de uma cr'itica padriio cetica da alega~ao dos est6kos deque eles podem distinguir phantasia de phantasm katalepiike (p. ex.,Sexto Empirico [c.190], 1. 405).42 Kepler [1619}, Lib. II. Propositi" XXV!..

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54 Al,OGICA DO DESCOBRIMENTOMA1'ilMATICOPROFESSOR: Pode set que voce aroda nao tenha compreen-dido meu metoda. Mas 'vamos vel' a seu contra-exemplo,ALFA: Consideremos urn cuba com urn cuba menor emcima dele (fig. 12). Isto satisfaz todas as nossas deft-nlgoes - Dej, 1, 2, 3, P, 4, 4', 5 - e, portanto, e umpolledro autentico, E e "simples" no sentido de que podeser planificado. Assim, de acordo com a sua conjecturamodifieada, sua caracterfsttca Euler deve ser 2 _ Todavia,.ele tem 16 vertices, 24 arestas e 11 faces e sua caracteris-tica euleriana e Itt - 24 + 11 = 3. E urn contra-exemploglobal para a sua conjectura aperteicoada e, a prop6sito,tambem para a primeiro teorema "antiexcecao" de Beta.Esse poliedro, a despeito de nao ter cavldades, tuners ou"estrutura multipla", nao e euleriano.DELTA:Chamemos a esse cubo empenachado de Contra-exemplo 6. 44PROFESSOR: Voce falseou minha conjectura aperteieoada,mas nao destruiu meu metodo de apertelcoamento, Reexa-minarei a prova, e veremos por que ela fracassou quantoao seu poliedro. Deve haver outro lema false naprova.EETA: Naturalmente que ha. Sempre suspeitet do segun-do lema. Ele pressup5e que no processo de trlangulacao,desenhando uma nova aresta diagonal, 0 senhor sempre44 0 contra-exemplo 6 foi observado par Lhulier ([1812-13a),pa-gina 186)' Gergonne por uma vez admite a novidade de suadesc()-berta! M~s quase cinqiienta anos depois Poinsot nfio tinha ouvidofalar dela ([1858]), enquanto Matthiesen ([1863]) e, oi tenta aliosmais tarde, Jonquleres ([1890bJ) tratava-o como monstro, (Cf, notas89 e 48). Os pr'imeiros antiexecdes do seculo XIX arn?lavam-nocomo curiosidade junto com outras e)![ce~5es: "Como exemplo, e cos-tume mosbrar-nos o caso da piramide trilateral ligada a uma face.do tetraedro de modo que nenhurna das arestas da primeira coineldacom uma aresta do ultimo. 'Bastante eurioso esse caso em que temosV - A + F := 3' conforme anotaedo de meu colega. E isso _eIicer-rava 0 assunto" (Matthiessen [1863], p, 449). Os materna ticos .mo-demos tendem a esqueeer as faces eircundantes, que podern ser irre-Ievantes para a. classificacao de multiples, mas pede -tornar-se rele-vante em outros contextos, H. Steinhans diz ern sen [1960):"Dividamos 0 globo em :F ' paises (conaideruremos mares e oc~ano,scomo terra). Teremos entso V + F = A + 2, seja qual for a Sl-tuac;no politica" (p. 273). Mas fica-sa imaginando se Steinhaus des-truirla Bedim Ocidental au San Marino aimplesmente pnrque suaexistencia refuta 0 teorema de Euler. (Embora, naturalmente, e!epoesa evitar mares como 0 Baikal de eair inteiramente Dum palSno defini-los 'como lagos, visto tel' declarado que apenas mares eoceanos dezern ser considerados como terra.).

PROVA :E CONTRA-ExEMPLOS GLOEiAIS 5 5aumenta de um 0 numero de arestas e de faces. Issonachado, encontraremos uma face circundada (fig. 13 a),l~also. Se olharmos a rede plana do nosso poliedro empe-iro de faces (fig. 13 b): precisamos de urn aumento de:Nesse caso, nenhuma aresta diagonal aumentara 0 nume-i',duas arestas para aumentar 0 numero de faces para maisurn (fig. 13 (c)

~ (a )nb ) oc )

Fig. 13

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PROFESSOR: Meus parabens. Sem duvida, devo restringirainda mais nossa conjectura ...,BETA: Sei 0 que 0 senhor vai fazer. 0senhor dira que"Poliedros simples com faces triangulares sao eulerianos".Admitira a triangulacao sem discus sao ; voltara a tero lema de novo como condieao.PROFESSOR: Nao, voce esta ienganado. Antes de observaro seu equivoco concretamente, permit a-me ampliar meucomentario sabre 0 seu metodo antiexcecao. Quando vocerestringe sua conjectura a urn dominio "seguro", vocena o examina a prova adequadamente, e, de fato, naoprecisa raze - Io para a s seus objetivos. A declaraeao deque no seu dominic restrito todos as lemas serao verda-deir os, sejam quais forem, basta para os seus fins. Mas Jfnao basta para os meus. Eu elaboro 0 mesmisslmo lema ,',(que foi refutado pelo contra-exemplo dentro da conjectura, .!,de modo que tenho de depura-lo e formula-Io 0 mais riga- /' \ ~ f ; " , Jrosamente possivel, com base em cuidadosa analise da.prova. Desse modo, as Iemas refutados serao incorporados.3 , minha conjectura melhorada, 0 seu metodo nso a obri-ga a razer uma esmerada elaboraciio da p r l Y V a , . visto quea prova nao aparece em sua conjectura vmelhorada, talcomo aparece na minha, Agora volto a sua presente suges-tao. 0: lema que foi falseado pela face cireundante naoera - comoparece que voce pensa - que "totias as[aces sao triamqulares", mas que "qualquer face cortadapor uma aresta diagon_al tuiquire a forma de duas pecas",

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56 A L6GlCA DO DESCQBRIMENTO MATEMATICOEste lema e que converto em condicao. Chamando de"simplesmente ligadas" as faces que 0 aatlstazem,' possooferecer urn. segundo aperteicoamento a minha conjectu-ra original: ~'J'.~ra!:l)).~.p_qliedr:o--sim~sJom tod~-faees-si:~smente ligadas, V - A +-~" A: razaopara 0 seuequTvoco-estava---rro"--seU--met6ao-que nita Iheensinou .cuidadosa analise da prova, A analise da provae as vezes trivial, mas as vezes e realmente multo difieil.BETA: Entendo 0 que 0 senhor quer dizer. Eu tambemacrescentarla uma observaeao autacritiea aa seu comen-tarto, vista que e~e me parece revelar todo urn continuode atitudes antiexcecao. A pior simplesmente barra algu-mas excecoes .sem considerar absolutamente a prova. Daias mistificac.;:6es quando temos a prova numa mao e as.excecces na outra. Ao ver desses prlmltivos barradoresde excecoes, a prova e as excecoes exist em em dois com-partimentos eompletamente estanques. Outros podem "ago-ra observar que a prova s6 atuaraem dominio restrito,-e alegarao com Isso dissipar 0 mlsterio. Ma s suas "condl-goes" serao estranhas a ideia de prova. 45 Melhores bar-radores de exceefies olharao rapidamente para. a provae ganharao alguma inspiracao, como tive agora, para de-clarar as condicoes que determinam urn dominic seguro.Os melhores barradores de excecao fazem uma cuidadosaanalise da prova e, nesta base, dao uma delmeacao muitosutH da area proibida, De fato, 0 seu metodo e , quantaa isto, um caso l1mitador do metoda de barrar ex-, cecces .IOTA: e exibe a unidade dialetica fundamental de.prova e refutacces.

'I PROFESSOR: E;spero que ag_Q'!"~_!'Qg_Q_s_yQ_cJ~s-,per.c_eban:'L_que.._/ F ( I , . as provas, "multo em~6fa.P9ssam nao cO~J?~_~~~E-~I-t~-45 " a mem6ria de Lhulier consiste de duas partes muito dis-tintaa. Na primeira, 0 autor oferece uma prova original do teoremade Euler. Na segunda, sen objetivo e apontar as excecoes a quee8th sujeito 0 teorema" (eomentario editorial de Gergonnesobre 0ensaio de Lhulier em [181213a] de Lhulier, p. 172, grifos mens),M. Zacharias, em seu [1915-31], faz uma exposicao naocriticamas fidedigna dessa eompartlmentalizaeao: "No seculo XIX, geometras,alem de encontrar novas provas do teorema de Euler, empenharam-se em estabeleeer as excecoes td e que ele padece em certas condicoes,'I 'ais exceedes foram declaradas, por exemplo, por Poinsot, S. Lhulier,e F. Ch. Hessel tentou classif icar as excec;oes .. " (p. 1052). .

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Pnov A.ECONTRA-EXEMPLOSGLOBAIS 57

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mente ajudam ~__J-le.lho:r.a-:r:.--Ressa _ _Q!lject!lra/os barrado- \ \res de excec;6es melhoraram-na muito~-"-mas melhorar era. ;~independentade comprovar, NOBSO metodo melhora com-. ,Iprovando, Essa unidade intrinseca entre a "16gica do des-cobrimento" e a "Iogica da [ustiftcacao" e o aspecto maisImportante do metodo de incorporacao do lema.BETA: E naturalmente compreendo agora suas nigmati-cas observacoes anteriores sabre nao se perturbar por umaconjectura ser ao mesmo tempo "comprovada" e refutadae sabre sua disposlcao de "comprovar" inclusive uma falsaconjectura.KAPA (d partev: Mas por que chamar de "prova" 0 quede fato e uma "desprova"?PROFE~SOR:- Pensem bern, poucas pessoas estarao dispos- '-'.tas a partilhar desta atitude. Os matematicos, em maio-- ..ria, devido a dogmas heuristicos enraizados, sao lncapazesde dispor-se aornesmo tempo a comprovar e refutar umaconjectura. Eles a comprovam ou a refutam. AlE!m do.mais, sao especialrn,ente incapazes de melhorar conjectu-ras pela refutacao, quando acontece de .serem as suasconjecturas, Eles querem. melhorar suas coniecturas senireiutacoes; nunca pela reducdo da falsidade, mas pelomonotone acrescimo de erdade; assim, purgam elee 0 p r , 0 -gresso do conhecimento do horror dos eontra-exemptos.Este e talvez 0 pano de fundo do entoque dos melhoresharradores de excecoes: eles comecam "agindo com cau-tela" ao vislumbrar uma prova para 0 dominic "seguro",e eontinuam submetendo-a a uma investigacao inteira-mente critica, testando se utilizaram cada uma das con-dic;6es impostas. Do contrario, eles "agucam'


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158 AL6GICA DO Dr.SCOBRIMHNTO MATEMA..TICOdo lema! 47 Nada ha de heuristicamente impr6prio nesseprocesso que cornbina barragem de excecao provis6ria comsucesslva analise de prova ,e tncorporacao de lema.

(0 ) ( I I ) (c )Fig. 14. Tres ver soes da face circundante: (a) Jonquieres, (b) Mat-thiessen, (c) 0 "olho destreinado", '

BETA: E claro que esse processo nso abole a crittea; eleapenas a impele para 0 pano de fundo: em vez de cri-tdcar diretamente urn exagero, eles criticam uma subes-timativa.PROFESSOR: Estou encantado, Beta, de 0 ter persuadldo.Ro e .Delta, que e que voces dizem disso?RO: Quanto a mim, acho.vevtdentemente, que ocaso das"faces circundantes" e urn falso problema. Decorre de umamonstruosa interpretacao do que constituem as facese 'arestas dessa soldagem de dois cubos em urn ---.,...ue 0senhor chamou de "cubo empenachado".PROFESSOR: Explique.RO; 0 "cubo empenachado" e urn poliedro que consistede dois cubos soldados um ao outro. De acordo?PROFESSOR: Dlgamos que sim.no: Ora, 0 senhor interpretou mal a "soldagem". A "sol-dagem" consiste de arestas ligando as vertices do qua-'drado inferior do cuba pequeno aos vertices correspon-dentes do quadrado superior do cubo grande. Assim, nii.oha, absolutamente,"face circundante",BETA: A face circundante esta la! As arestas separadoras.de que voce fala e que nao existeml

. .47 Esse padrfio e essencialmente 0 mesmo exposto no claesico deP61ya e Szego [1927], p, vii: "Deve-se inspecionar cada prova paraver se de fato utilizamos todas as supcsicoes j deve-se tentar obtera mesma conaeqiiencia de monos suposic:6es... e nao se deve ficmsatisfeito ate que eontra-exemplos mostrem quo se chegou ao linritedas possibilidades,"

PROVA Ii CONTRA-EXEMPLOS GLOBAIS \~ 59RO : O. que elas estao e ocultas aos seus olhos destrei-nados.w ;'BETA: Voce espera que tomemos seu argumento a serio?6ue vejo e supersticao, mas as suas arestas "ocultas"serao realldade?no: Olhe para este cristal de sal. Voce diria que istoc urn cuba?BETA: Certamente.NO; Urn cuba tern 12 vertices; este aqui, tern?BETA: Sim, tern.lto: Mas neste eubo nao ha arestas absolutamente, Elasestao ocultas. Elas s6 aparecem na sua reconstrueao ra-clonal.'BETA: Pensarei no assunto. Uma coisa e clara. 0 profes-sor criticou minha vaidosa opinifio de que meu metoda1eva it certeza, e tambem por ter esquecido a prova. Essa-critlca aplica-se do mesmo modo ao seu "ajuste do mons-tro" como it mlnha "antiexcecao".PROFESSOR: Delta, que e que voce diz? Como voce exorci-zarla a face circundante?48 A "soldagem" de dois poliedros pelas arestas ocultas e argumentadapor Jonquieres ([1890b] pp. 171-2), que emprega antimonstros contracavidades e tunois mas ajustamento de monstros contra cubos empe-nachados e poliedros estelados. 0 primeiro a proper 0 emprego deajustagem de monstro em defesa do teorema de Euler foi Matthiessen[1863]. Ele adota 0 ajustamento de monstros consistentemente: ternexito em expor arestas e faces ocultas para .eselarecer tudo 0 que enfio-euleriano, inclusive poliedros com tuneis e cavidades.Enquantoa soldagem de J'onquieres e uma 'triangulaefio completa da face ci1-cundante, Matthiessen solda com economia, bracando apenas 0 mfnimonumaro de arestas que dividem a face em subfaces simplesmenteI igadas (fig. 14).Matthiessen e notavelmente eonfiante em seu metodo de torriarcontra-exemplos revoluetonarios em exemplos eulerian os burgueses bernajustados, Diz ele que "qualquer poliedro pode ser decomposto de modo, a que corrobore 0 teorema de Euler ... " Enumera as pretensas ex-'ce


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I\ !60 AL6GICA. DO DESCOBRIMENTO MATEMATICO

DELTA: IB~ !lao. 0 faria. \9..enhor converteu-me ~~_~.._~~gd~lJ So f ICO nnaglllandoporque-us-efihor i l a


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62 A L6GICA DO DESCOBRlMENTO MAIEMATICO

!.

Nossa conjectura ingenua era: "Todos os poliedros saoeulerianos, "o metoda de barragem de monstros defende essa con-jectura tngenua pela relnterpretacao de seus termos deurn modo que no fim temos urn teorema que barra mons-tros: "Todos os poliedros sao eulerianos." Mas a identi-dade das expressoes linguistlcas da conjectura ingenuacom 0 teorema barrador de monstros oculta, por tras dasmudancas sub-repticias no significado dos termos, urnaperteicoamen to essencial.o metodo de barrar excecfies introduziu urn elementoque e realmente extrinseco an argumento: a : convexidade.a teorema barrador de excecoes era: "Todns os polledrosconvexos sao eulerianos."o metodo de incorporar 0 lema baseava-se no argu-mento - isto e, na prova - e em nada mals, Ele vir-tualmente resumia al prooa 1W teorema de incorporagtiodo lema: "Todos os poliedros simples com faces simples-mente ligadas sao eulerianas."Isso mostra que (e agora empregamos 0 termo"provar" no sentido tradicionaI) niio comprouamos 0 quepretetuiemos comprooar. Portanto, nenhuma prova deveconcluir com as palavras: "Qwod erai iiemonstrasuium:" 53

:' BETA: -Dizem alguns que as teoremas precedem as provas! na ordem do descobrimento: "Tem-se que supor urn teo-/ rema matemattco antes de comprova-lo." Outros negam,~" isso, e alegam que a descobertadecorre da ideducao deconclusoes a partir de uma serie de premiss as e obser-'..va.;ao das premiss as interessantes - se tivermos sorte. bastante para achar alguma. au, para empregar uma.deliciosa metafora de urn amigo meu, alguns ctzem quea heuristic a ziper numa estrutura dedutiva vai de baixo

'i - a conelusao - ao topo - as premissas, 54 outros.dizem que ela vai do topo a parte inferior. Qual e a suaposicao?ALFA: Que a sua metarora e inaplicavel a heuristica.o descobrimento nao vai para cima ou para baixo, massegue urn caminho ern ziguezague: aguilhoado por contra-,53 Essa ultima frase e do interessante estudo de Alice Ambrose([1959] p. 438). , . IH Cf. Nota 7. A metafora do "fecho-eclair" foi inventada pOL'R. B. Braithwaite; porem ele fala apenas de "fer.hQs-eclai?" 16gicose epistemolcgiccs, mas n a o "heuriatlcos" ([1953], especialmente p!t.gina 352).

~" ANALISE J lA PROVA E CONTRA-ExEMPLOS GI,OBAIS .63exemplos, ele transitu da conjectura mgenua as ~remis-sas e depois volta de novo para desf~zer a ~onJAecturatngenua e substitui-Ia pelo teorema. Conjectura mgenua econtra-exemplos nao aparec~m na estrutura dedutl~a pl~-namente amadurectda: 0 ziguezague da descoberta naopode ser discernido no produto final.PROFESSOR: Muito bern, Acrescentemos uma obs~rvagaode cautela. 0 teorema nem sempre difere da eonjecturaingenua. Nao melhoramos necessa;i~~ente ao cornprovar.As provas aperteicoam quand? a Idel:3:d~ prova descobEe i r : ~ f (aspectos inesperados da conJectUl'~ mgenua que ent~oaparecem no teorema. Mas em teorias madura~ pede nao .acontecer .isso, E 0 caso, certamente, em teorias Joyen~.em crescimento. Essa interngacao de descoberta e [ustl-fic~ao, de aperfeigoamento e comprovacao, e sobretudocaracteristica das utimas. .KAPA (d parte): Teorias maduras p?de~. ser~rejuvenes-cidas. A descoberta sempre supera a Justi!ICag~o.SIGMA: Essa classlticacao corresponde a minhat Meuprtmeiro tipo de proposicoes era do tipo maduro, 0 ter-ceiro era do tipo em crescirnento... .GAMA (interrornpendo-o): 0 teorema e falso! Descobnurn contra-exemplo para ele.5. Oriiica da Analise tia Prova por contra-ExedmpRI~s QueSilo Globais, Mas Nao Locais. 0 Prob1Jema 0 ~gor.

. IiI!II'J1

I

(a) Antimonstro em defesa do teoremaGAMA: Acabei de descobrtr que meu Couira-exemplo .5 ,o cilindro refuta nao apenas a conjectura ingenua comotambem ~ teorema. Embora ele satlsraca a ambos oslemas, \nao e euIeriano. A" .,ALFA: 'Meu caro Gama, nao .s e torne excentnco. 0 cilm-dro era uma brincadeira, e nao urn contra-exemplo, Ne-nhum matematico serlo tamara 0 cilindro por urn poliedro,GAMA: POI' que voce nao protestou contra 0 meu Contra-exetnpto 3, 0 ouricocacheiro? Era menos "e~ceritrico" qu.emoo cilindrc? 55 Entao, naturalmente, voce estava criti-cando a eonjectura tngenua e admitiu refutacoes! Agora!l IS 0 onrieo e .0 cilindro ja foram estudados anteriol'mente.

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Imre Lakatos - A Lógica do Descobrimento Matemático (Provas e refutações) I