32
Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Boşlukta Elektromanyetik Dalga

Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

Işığın Elektromanyetik Tanımlanması:

Boşlukta Elektromanyetik Dalga

Page 2: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 2

İçerik

• Maxwell denklemleri

• Boşlukta Maxwell denklemleri ve çözümleri

• Işığı oluşturan elektrik ve manyetik alanlar arasındaki ilişki

• Faz ve grup hızları

• Işığın kuantumluluğu

• EM dalga ile iletilen enerji

Page 3: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 3

Elektromanyetik Dalgalar-Maxwell Denklemleri

Maxwell denklemleri en genel olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir

o

ρ

ε∇ =

.E

0∇ =

.H

ot

µ∂

∇× = −∂

HE

ot

ε∂

∇× = +∂

EH J

Burada; E elektrik alan, H manyetik alan, ρ uzaysal yük yoğunluğu, J ise akım yoğunluğudurεo boş uzayın elektriksel, µo ise manyetik geçirgenliği olup sayısal değerleri

εo=8.85x10-12 F/m (Boş uzayın elektriksel geçirgenliği)µo=4πx10-9 H/m (Boş uzayın manyetik geçirgenliği)

J. C. Maxwell, elektrik ve manyetizmaya yönelik çalışmaları birleştirerek ışığın elektromanyetik tabiatlı olduğunu göstermiştir

Gauss Yasası- Elektrik

Gauss Yasası- Manyetik

Faraday Yasası

Amper Yasası∇× =

H J

Maxwell’in katkısı ile Amper Yasası

Page 4: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 4

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-1

Boşlukta J=0 (akım yoğunluğu), ρ=0 (yük yoğunluğu) olacağından Maxwell denklemleri

E ve H hem konumun hem de zamanın fonksiyonları olduğundan vektörel olarak en genel şekilde aşağıdaki gibi ifade edilebilir

E(x,y,z,t)=Ex(x,y,z,t)î+ Ey(x,y,z,t)ĵ + Ez(x,y,z,t)kH(x,y,z,t)=Hx(x,y,z,t)î+ Hy(x,y,z,t)ĵ + Hz(x,y,z,t)k

Burada 6 bileşen ( 3 E alan, 3 de H alan bileşeni) ve 4 değişken (3 konum (x,y,z) ve zaman (t) ) vardır

(1)

(2)

(3)

(4)

“..And God said ’Let there be light: and there was light’ ”

Eski Ahid. Yaradılış 1:3

0∇ =

.H

ot

µ∂

∇× = −∂

HE

ot

ε∂

∇× = +∂

EH J

o

ρ

ε∇ =

.E

ot

µ∂

∇× = −∂

HE

ot

ε∂

∇× =∂

EH

0∇ =

.H

0∇ =

.E

Page 5: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 5

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-2Bu denklemleri nasıl eş zamanlı olarak çözeriz?

3. denklemin dönüsünü (curl ) alıp, manyetik alan (curlH) yerine denklem (4)’yi koyarsak

( ) ( )o Ht

µ∂

∇× ∇× = − ∇×∂

E

0 0( )t t

µ ε ∂ ∂

∇× ∇× = − ∂ ∂

EE

2

0 0 2( )

tµ ε

∂∇× ∇× = −

EE

2( ) .( . )∇× ∇× = −∇ + ∇ ∇

E E E

22

0 0 2.( . )

tµ ε

∂−∇ + ∇ ∇ = −

EE E

22

0 0 2t

µ ε∂

∇ =∂

EE

Vektörel eşitlik

Boş uzayda ρ=0 olduğu için . 0∇ =

E

kullanıldığında

ot

µ∂

∇× = −∂

HE

0t

ε∂

∇× =∂

EH

(3)

(4)

Page 6: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 6

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-3

22

0 0 2

HH

tµ ε

∂∇ =

22

0 0 2t

µ ε∂

∇ =∂

EE

şeklinde yazabiliriz. Yukarıdaki denklem üç boyutta dalga denklemi formundadır.

Ödev 2.1: Manyatik alanın da dalga denklemini sağladığını gösteriniz!

smxxx

c /1099,2)1085,8).(104(

11 8

13700

===−−πεµ

Boş uzayda elektromanyetik dalganın (ışığın) yayılma hızı

* Işık hızı diğer hızlar gibi v ile değil de c ile gösterilir.Bu gösterim, latince “hızlı”anlamına gelen“celer”kelimesinden gelmektedir

2 2 2 2

2 2

1( )

y z c t

(x, y,z;t)(x, y,z;t)

∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

E+ + E

x

Dalganın ilerleme hızı ise c=1/(εoµo)1/2 ve değeri:

22

2 2

1

v t

∂ Φ∇ Φ =

Genel dalga Denklemi

(Boş uzayda

elektromanyetik

dalganın (ışığın)

yayılma hızı)

Page 7: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 7

Işık, Dünya’dan Ay’a 1.2 saniyede gitmektedir (Animasyon)

http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light

Işık Hızı

82,99 10 /c x m s=

Page 8: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 8

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-4

dalga denklemi formundadır

2

2

002

t∂

∂=∇

EE εµ

2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )z t z t

z v t

∂ Φ ∂ Φ=

∂ ∂

Burada, z dalganın ilerleyiş doğrultusunu, t zamanı, v ise dalganın yayılma hızınıgöstermektedir

Basitlik olması açısından üç boyutta verilen bu dalga denklemini bir boyut (z-doğrultusunda ilerleyen dalga) için yazarsak

22

0 0 2tµ ε

∂∇ =

HH

z,t

Φ (z,t)

v

22

2 2

1

v t

∂ Φ∇ Φ =

∂Bu denklemler

Bu denklemlerin çözümleri nedir?

( , , ; ) ,x y z t E HΦ =2

1o o

vε µ=Burada

22

2 2

1

v t

∂ Φ∇ Φ =

Φ (x,y,z;t) => Φ(z;t)

Page 9: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 9

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-5

Bu diferansiyel dalga denklemin en genel çözümü

Φ(z,t)=f(z-vt)+g(z+vt)

formunda olması durumunda dalga denkleminin çözümünü sağlar

2 2

2 2 2

1

z v t

∂ Φ ∂ Φ=

∂ ∂

f(z-vt)g(z+vt)

Ödev 2.2: Φ(z,t)=f(z-vt)+g(z+vt) çözümünün dalga denklemini sağladığını gösteriniz.

Page 10: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 10

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-5

v

Φ(z,t)

z, t

Yukarıdaki ifade bize argümanı (z±vt) olan herhangi bir f veya g fonksiyonunun dalga denklemini sağlayacağını söylemektedir (önemli olan f veya g’nin formu değil de argümanın (z±vt) şeklinde olması)

Örneğin aşağıdaki atma şekline sahip olan dalga x-ekseni boyunca v hızı ile ilerleyen dalga denklemini sağlayacaktır

( ) 3ln( ) vtf z vt z e−− =

fonksiyonu çözüm değildir çünkü (z-vt) ifadesi bu denklemde tam olarak (z-vt) şeklinde değildir!

Ancak,

2( )( , ) 3 z vtf z t e

− −=

Page 11: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 11

. 0∇ =

E

•Önemli Sonuç: E alanın yayılma doğrultusunda hiç bir bileşeni olmayacaktır, E alanı tümüyle z doğrultusuna dik bir düzlemde (xy-düzlemi) bulunacaktır

olması gerektiğinden 0yx zEE E

x y z

∂∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂

.E∇∇∇∇

( )( )0, 0yx

E z ctE z ct

x y

∂ −∂ −= =

∂ ∂E(z,t), x ve y’nin fonksiyonu olmadığından

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-7

( )0 0z

z

E z ctE

z

∂ −= ⇒ =

(1)

ve

E(z,t), z’nin fonksiyonu olduğundanolması gerekir

z

x

y

E1

c

y

E5

E2

E3

E4

E6Elektrik alan ilerleme yönü olan z-doğrultusuna dik yönde enlemesine (transverse) titreşim yapmaktadırYani ışık enlemesine bir dalgadır (TransverseElectric (TE))

Yayılma doğrultusunu z-yönünde seçersek yukarıdaki denklemin çözümlerinin

f(z-ct) =E(x,y,z,t)=E(z-ct)

Basitlik olsun diye yukarıdaki dalga denklemini tek boyutta çözelim

z

x

y

c

E(z,t) vektörel nicelik

Page 12: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 12

Özel duruma bakalım. Elektrik alanın x doğrultusunda (Ex ) olduğunu düşünelim ( Ey=0 (uygun koordinat sistemi seçerek bu koşulu sağlayabiliriz)

z

x

y

E

c

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-7

Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)]

t=0, z=0 da Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)]=0 ki bu özel durumu gösterdiğinden k(z-ct) terimine φ gibi bir faz açısı ekleyerek t=0 ve z=0 da dalganın sıfırdan farklı bir değer almasını sağlayabiliriz

Dalga denkleminin çözümünün şeklinde olduğunu düşünebiliriz

Dolayısı ile Maxwell denklemini sağlayan dalga denkleminin aradığımız çözümü

Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ] Ey=0 Ez=0

φ: faz açısı Eox: genlik k: dalga vektörü z: yayılma doğrultusu c: yayılma hızı

Burada k bir sabittir ve fiziksel olarak ne anlama geldiği sonra ayrıntılı olarak anlatılacaktır

Page 13: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 13

z

x

y

E

c

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-8

Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(r-ct)]

Bu durumda dalga denkleminin çözümünün

şeklinde olduğunu düşünebiliriz

Dalga denkleminin bu durumda çözümü

Ex(x’,y’,z’;t)=Eox’sin[k(z’-ct)+φ] Ey’=0, Ez’=0

φ: faz açısı Eox: genlik k: dalga vektörü z: yayılma doğrultusu c: yayılma hızı

z

x

y

E

c

z

y

E

c

z’

y’

xx’

Yayılma doğrultusunu özel bir doğrultu (z) değil de genel olduğu (r) duruma bakalım

Yayılma doğrultusu r Yayılma doğrultusu z

Yayılma doğrultusunun genel olduğu durumda eksen takımları yayılma ve elektrik alan doğrultusunda çakıştırılarak daha önce bulunan sonuç elde edilebilir

Page 14: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 14

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-9

z

x

y

E

c

Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ]

Bu dalganın uzaysal değişimine bakacak olursak (t=0)

λ

π2≡k

z

z1 z2

mesafet=0

kz1+φ=π/2Ardışıl iki maksimum noktaya karşı gelmektedir

kz2+φ=5π/2

k(z2-z1)=5π/2-π/2=2π

(z2-z1)=2π/k≡λ Dalgaboyu

k dalga vektörü

Ex(z,0)=Eoxsin[kz+φ]

Page 15: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 15

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-10

z

x

y

E

c

cc

ckT

λ

λ

π

ππ==≡

)2

(

22

t

t1 t2

zamanz=0

Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ]

Bu dalganın zaman içersindeki değişimine bakacak olursak (z=0)

ckt1-φ=π/2Ardışıl iki maksimum noktaya karşı gelmektedir.

ckt2-φ=5π/2

ck(t2-t1)=5π/2-π/2=2π(t2-t1)≡T PeriyotckT=2π

ν

1=T ωπν

ν

π≡=⇒=≡ 2

12ck

ckT

Periyot (T) bir tam salınım için geçen süredir. Birimi saniyedir. Frekans (v) ise birim zamandaki salınım sayısıdır ve birimi 1/saniye=Hertz (Hz) dir.

Frekans ile peryot arasındaki ilişkiAçısal frekans

ω=2πν

ω=açısal frekans (rad/s)

Optoelektronik teknolojisinde kullanılan optik dalganın frekansı 1013-1015 Hz

ν=frekans(1/s)

Ex(0,t)=Eoxsin[kct+φ]

Page 16: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 16

Boşlukta Elektromanyetik DalgaEx(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ]

λ

π2≡k

z

z1 z2

mesafet=0

Dalgaboyu

Dalga vektörü

t

t1 t2

zamanz=0

1

Tν≡

2T

ck

π≡ Periyot

2πν ω≡

ck

ωλν= = Frekans

Açısal Frekans

2

k

πλ≡

Dalga sayısı1k

λ≡

Ex(z,t)=Eoxsin[kz-ωt+φ]

Page 17: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 17

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-11

z

x

y

E k

Yukarıdaki çözümü yeni tanımladığımız nicelikler (dalga vektörü k ve açısal frekans ω) cinsinden yazarsak dalga denkleminin

çözümlerini herhangi bir k doğrultusunda ilerleyen en genel çözümler şeklinde yazabiliriz

λ

π2=k

2 ˆk kπ

λ=

k

Dalgaboyu (λ) yerine vektörel nicelik olan dalga vektörünü (k) tanımlayalım

büyüklüğü ==>

yönü ise ilerleme yönü veya faz hızının doğrultusundadır

(dalga sayısı)

Seçtiğimiz koordinat sistemi için k’yı yazarsak

sin( . )(r,t) k r tω φ= − +

oE E

Page 18: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 18

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-12

ot

µ∂

∇× = −∂

HE

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ( , )

0 0

xx o

x

EE z t

x y z z z t

E

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = − − = = −µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i j k

HE j j

H manyetik alanı için neler söylenebilir? E alanı ile ilişkisi nedir?

3. Maxwell denkleminden

22

0 0 2tµ ε

∂∇ =

EE

ˆsin( )oE kz t i= − +

E ω φ

sin( . )k r tω φ= − +

oE E

ˆ( ) cos( )o

o

Ek kz t

t

∂= − − +

Hjω φ

µ

ˆ ˆ( ) cos( ) ( )sin( )o o

o o

E Ekk kz t j dt kz t j

= − − + = − + ∫

H ω φ ω φµ ω µ

Basitlik açısından alan bileşeni x doğrultusunda ve +z yönünde ilerleyen dalgayıdüşünelim

1/ 2 ˆ ˆ( ) sin( ) sin( )oo o

o

E kz t j H kz t j= − + − +

H =ε

ω φ ω φµ

1/ 2

1

( )o o

ck

= =ω

ε µ

z

x

y

E

k

Page 19: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 19

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-13

sin( ) sin( )kz t kz t− + = − +ω φ ω φ

z

x

y

E

k

H

Dolayısı ile Ho, y-doğrultusunda olmak zorundadır

Elektrik ve manyetik alanın fazları aynı:

Genlik

Elektrik alan (E) +x doğrultusundaise manyetik alan (H) +y doğrultusundaolur

Yön

Büyüklük

1/ 2( )o o

o

oo

E

H= ≡

µη

ε

1/ 2( ) 120 377oo

o

µη π

ε= ≅ ≅ ΩBoş uzayın empedansı

ˆ+ j

1/ 2( )oo o

o

=

H Eε

µ

ˆsin( )oE kz t i= − +

E ω φ

Alanların oranı

1/ 2 ˆ( ) sin( )oo

o

E kz t j= − +

ω φµ

H, +y-yönünde

elektrik alan

manyetik alan

1/ 2( )oo o

o

=

H Eε

µ

( ) ( )o oE H=φ φ

Page 20: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 20

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-12

sin( . )(r,t) k r t= − +

oE E ω φ

( , ) sin( . )or t k r t= − +

H H ω φ

Genel Durum: Işık herkangi bir doğrultuda ilerliyor ise

z

x

y

E k

H

Elektrik alan (E), manyetik alan (H) ve dalga vektörü (k) birbirine diktir.

TEM (TransverseElectricMagnetic) dalga

o o× ∝

E H k

Page 21: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 21

Ödev 2.3: xz düzleminde hareket eden düzlem dalganın k dalga vektörü k=2i+j ise;

Buna göre

(a) Elektrik alan (E) ile k dalga vektörünün diklik koşlunu sağladığını,

(b) Manyetik alan (H) ile k dalga vektörünün diklik koşulunu sağladığını,

(c) E ve H’nin diklik koşulunu sağladığını gösteriniz.

Page 22: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 22

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-15

Elektromanyetik dalgayı oluşturan - Elektrik (E) ve manyetik (H) alan bileşenleri birbirlerine diktir-dalganın ilerleyiş yönü olan k vektörüne diktir. -Alan bileşenleri hem zaman içinde hem de konuma bağlı olarak periyodik bir değişim gösterir. Zaman içersindeki salınım ω, uzaysal konumdaki salınım ise k ile temsil edilir

k, t

E(t)

H(t)

z

x

y

E(z, t=0)

t

x

y

E(z=0, t)

λο

H(z, t=0)

H(z=0, t)

τ

Page 23: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 23

Boşlukta Elektromanyetik Dalga-15

( )i te

ω φ− += k.r

oE E

( )i te

−ω +φ= k.r

oEE

r

Dalga Denkleminin farklı gösterimi

Türetilen dalga denkleminin düzlemsel dalga çözümlerini daha şık bir şekilde kompleks gösterim kullanarak vektörel formda yazabiliriz.

Burada k, dalga vektörü, i ise karmaşık sayıdır.

z

x

y

E

k

B

z

x

y

E

k

B

z

x

y

Ek

B

Dalga Şekilleri

Düzlemsel dalgaKüresel Dalga

( )i te

ω φ− += k.r

oH H

( )i te ω φ− += k.r

oE E

sin( . )k r tω φ= − +

oE E

sin( . )k r tω φ= − +

oH H

Page 24: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 24

Grup ve Faz Hızı-1E(t) Taşıyıcı dalga

t

Bilgi sinyali

Modüle edilmiş dalga

t

t

B(t)

E(t).B(t)

kvg

ω∂=

Bilgi sinyali

Bilgi iletimi

vf

vg

Modüle edilmediği için bilgi iletmez!

fvk

ω=

Page 25: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 25

Grup ve Faz Hızı-2

υλ=

λ

π

πυ=

ω=

22

kvf

E1(t) Taşıyıcı dalga

z

Modüle edilmiş dalga

z

E2(t)

E(t).E(t)

E1(z,t)=Eocos[k1x-ω1t)]

kvg

ω∂=

E(z,t)=Eoz(z,t)Eosin[kfr-ωft)+φ]

vf

vg

E2(z,t)=Eocos[k2x-ω2t)]

E1(t)+E2(t)

+

=

vf

E(z,t)=2Eocos(kmx-ωmt)sin[kfx-ωft)+φ]

km=(1/2)(k1-k2)

ωm=(1/2)(ω1−ω2)

kf=(1/2)(k1+k2)

ωf=(1/2)(ω1+ω2)

z

z

λ1

λ2

Faz Hızı

Grup Hızı

E(z,t)=Eoz(z,t)Eosin[kfr-ωft)+φ]

vf

Page 26: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 26

Ödev 2.4: SI birim sisteminde verilen düzlemsel elektromanyetik dalgayı (ışığı) düşünelim

Ex=0, Ey=2cos[2πx1014(t-x/c)+π/2] , Ez=0

a) Bu dalganın frekansı, dalgaboyu, hareket doğrultusu, genliği, faz açısı ve polarizasyon doğrultusu nedir?

b) Bu dalganın manyetik alan (H) bileşeni için bir ifade türetin.

Page 27: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 27

Elektromanyetik Alanda Depo Edilen Enerji-1

2 2( ) 1 oEMEM o

oo o

u tc AS u c E E

A t

εε

µε µ

∆= = = =

2 21 1

2 2EM o ou E Hε µ= +

o o

o o

2 2

EM o o

µ εE = H H = E

ε µ

u = ε E = µ H

Elektrik ve Manyetik alanlarda depo edilen

Enerji Yoğunluğu (birim hacım başına enerji)

Elektromanyetik alan durumunda E ve H ilişkili olduğu için

Elektromanyetik enerji iletimini ifade edebilmek için birim yüzeyden birim zamanda iletilen enerjiyi simgeleyen S niceliği kullanılır Enerji akısı=|S|=enerji/(alan-zaman)

Elektromanyetik dalganın en önemli özelliklerinden biri de enerji taşıyabilmesidir

l=c∆t

SI birim sisteminde birimi W/m2 dir

1/ 2( ) 120 377oo

o

µη π

ε= ≅ ≅ Ω

2

o

ES

η=

Page 28: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 28

Elektromanyetik Alanda Depo Edilen Enerji-2

2

2cos ( )o

o

ES kr t

cω φ

µ= − +

Enerji akısı |S|=enerji/(alan-zaman)

ˆ

2

2 2o

o

o o

k

ε= = cε

µη

= × ⇒ = ×

=

o oS E H S E H

ES E E

Enerji aktarım yönü dalganın yayılma (k) yönündedir

S vektörüne Poynting vektör denir EM dalganın birim zamanda birim yüzeyden ilettiği enerji akısının ölçüsüdür

Düzlemsel dalgalar için |S|

Işık algılayıcılar (dedektörler), ışığın frekansı çok yüksek olduğu için (ω ≈ 1015 Hz) bu hıza ayak uyduramazlar. Gerçekte dedektörlerin algıladığı, bu kadar hızlı değişen ışık sinyalinin zaman ortalamasıdır

2 2

1.

2 2 2

o o

o o

o o

E ES E H I

cη µ= = = ≡

eski ismi Şiddet (Intensity) yeni ismi Parlaklık (Irradiance)

2

oS I c Eε= = 2

oS I c Hµ= =

<cos(kr-ωt+φ)>=1/2

cos( . )oE E k r tω φ= − +

1 ˆ)2

( Ik= × =

o oS E HZaman ortalaması

Page 29: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 29

Elektromanyetik Alanda Depo Edilen Enerji-3

Elektrik alan E, madde içindeki yüklere daha etkin şekilde kuvvet uygulayarak iş yapabildiği için EM dalgayı oluşturan E alanına optik alan denir ve optikte

2o EcIS ε==

Niceliği tercih edilir

Page 30: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 30

Elektromanyetik Dalga-Kesiklilik(Kuantumluluk)Şimdiye kadar elektromanyetik dalgayı, yani ışığı, klasik olarak inceledik

Elektrik alan EDalga vektörü k Açısal frekans ωParlaklık I

Elektromanyetik alanın kuantalanmışdır ve alan kuantasına “foton” denir

Durgun kütlesi m=0Momentum p=ħkEnerji Ε = ħωAkı I=foton sayısı/(m2-s)

Kuantum bakış açısından ışık

Klasik olarak ışığı tanımlamak için

I=Watt/m2=J/(m2-s)=I/ħω=foton sayısı/(m2-s)=parçacık akısı

Enerji=(Foton sayısı)x(foton enerjisi)=Nħω

k, t

E(t)

H(t)

ħω

Page 31: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 31

Özet-1

smxxx

c /1099,2)1085,8).(104(

11 8

13700

===−−πεµ

• Işık, elektromanyetik tabiatlıdır

• Işık, elektrik (E) alan ve manyetik (H) alanın özel olarak salınımından oluşmaktadır

• Bu alanlar her zaman hem birbirlerine dik, hem de yayılma doğrultusuna diktir

• Elektromanyetik dalganın boşluktaki hızı boşluğun εο ve µο değerlerine bağlıdır Boşluk için bu değer

• Işığı oluşturan elektrik (E) ve manyetik alanın (H) büyüklüğüne oranı boşluğun empedansına eşittir

1/ 2( ) 120 377o o

o

oo

E

H= ≡ ≅ ≅ Ω

µη π

ε

Page 32: Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Bo şlukta ... · Bo şlukta Elektromanyetik Dalga-1 Bo şlukta J=0 (akım yo ğunlu ğu) , ρ=0 (yük yo ğunlu ğu) olaca ğından Maxwell

© 2008 HSarı 32

Özet-2

• Faz hızı taşıyıcı dalganın, grup hızı ise modüle edilmiş dalganın(bilginin) hızıdır

• EM alan kuantalıdır ve kuanta birimine foton denir

• Işık, Poynting vektör ile verilen yön ve doğrultuda enerji taşır

• Dedektörler Poynting vektörün zaman ortalaması olan <|S|> değerini ölçerler bu da birim yüzey alanı başına düşen güç olan enerji akısıdır