In molti problemi fisici, ingegneristici,probabilistici o economici, può

capitare che la soluzione cercata consista nel calcolo dell’area sottesa

da una funzione.

Occorre quindi calcolare un integrale definito

Possono sorgere le seguenti difficoltà:Non è possibile determinare una primitiva di

f(x) malgrado sia una funzione continua. L’individuazione della primitiva è

particolarmente laboriosa o presenta una forma assai complessa e poco pratica per il calcolo.

La funzione integranda è una funzione empirica e si conoscono solo alcuni punti rilevati sperimentalmente, oppure se ne conosce solo il grafico tracciato da opportuni strumenti.

In questi casi viene in aiuto l’ANALISI NUMERICA fornendo dei metodi per

ottenere:•Un valore approssimato dell’integrale da calcolare

•Una stima dell’errore commesso

L’integrazione numerica è una “procedura di calcolo approssimato degli integrali definiti” che ci permette di calcolare un integrale definito di una funzione f(x) in [a,b] quando non è possibile ricorrere alla formula di Newton Leibnitz

)()()( aFbFdxxfb

a

Quasi tutti questi metodi si basano sull’idea di dividere l’intervallo di

integrazione in intervalli più piccoli, stimare

l’integrale su ciascun intervallo sfruttando il

fatto che sono piccoli e risommare il contributo di tutti gli intervalli.

Quanti metodi ?!?

L’integrale definito di una f(x) in un intervallo chiuso [a,b] esprime l’ area racchiusa dal grafico di f(x), dall’asse delle x e dalle rette x = a e x = b (supponiamo f(x) >0),quindi si ricorre ad un metodo di calcolo approssimato dell’area sottesa da una funzione che approssima quella data e di cui si sa calcolare la primitiva. Possono verificarsi i tre casi:1. La funzione viene approssimata da una f(x) costante a

tratti,graficamente una funzione a scala (metodo dei RETTANGOLI)2. La funzione viene approssimata da una funzione di primo grado,

graficamente una spezzata (metodo dei TRAPEZI)3. La funzione viene approssimata da una funzione di secondo grado, graficamente una successione di parabole (metodo delle PARABOLE

)

METODO DEI RETTANGOLI y

y = f(x)

a=x1 x2 x3 …………….…… xn-1=b x

A = h * [ f(x0) + f(x1) +f (x2) +… + f(xn-1) ]

ProcedimentoSi suddivide l’intervallo [a,b] in n parti uguali L’ampiezza di ogni intervallo è h = (b-a)/n e viene detto passo d’integrazioneGli estremi di tali intervalli sono: x0= a, x1=a+h, x2=a+2h,… xi =a+ih, xn =a+nh=bSi definisce g(x) = f(xi ) ,valore assunto da f nell’estremo

sinistro dell’intervallo, per ogni x є [xi , xi+1],L’area sottesa da g(x) è l’area del plurirettangolo somma dei rettangoli ,di base h e altezza f(xi ), ciascuno

A = h * [ f(x0) + f(x1) +f (x2) +… + f(xn-1) ]

Una precisazione Si può definire altrimenti g(x) = f(xi+1 ) , valore

assunto da f nell’estremo destro dell’intervallo, per ogni x є [xi , xi+1],

L’area sottesa da g(x) è l’area del plurirettangolosomma dei rettangoli ,di base h e altezza f(xi+1 ) ciascuno

A = h * [ f(x1) + f(x2) +f (x3) +… + f(xn) ]

In definitiva, I=A= h*∑ f(xi)

Valutazione dell’errore Quando si esegue un calcolo approssimato, è

bene ridurre l’errore che si commette, cercando di evitare una suddivisione inappropriata, ad

esempio conviene scegliere n=2k ,o n=5k ,o n= 10k

per avere quozienti esatti.

Nel nostro caso si stima l’errore

)(''

2 max0

2

xfn

abE

nxxx

Il metodo dei trapezi consiste nel:

Suddividere l’intervallo di integrazione [a,b] in un certo numero n di parti uguali

Approssimare la funzione, in ciascun intervallino di suddivisione, con la retta che passa per i suoi punti estremi

Sommare le aree dei trapezi così individuati tutti di altezza h=(b-a)/n detto passo di integrazione

Graficamente per n=4:

a=x0 x1 x2 x3 X4=b

In formula:

3

01 )()(

2 iii xfxf

hI

L'approssimazione sarà tanto più buona quanto maggiore sarà il numero n di trapezi ovvero tanto più piccola sarà la distanza h

In generale:

1

01 )()(

2

n

iii xfxf

hI

Il metodo dei trapezi comporta un errore

)(''

12 max0

2

3

xfn

abE

nxxx

E’ esatto se la funzione è o una costante o lineare in x

Il metodo delle parabole

o di Cavalieri-Simpson

consiste nel:•Suddividere l’intervallo di integrazione [a,b] in un numero 2n di parti uguali ciascuno di ampiezza h

= (b-a)/2n•Tracciare il punto medio di ciascun intervallino di

suddivisione•Approssimare la funzione, in ciascun intervallino

di suddivisione, con la parabola che passa per i suoi punti estremi e per il suo punto medio

•Calcolare l’area della parte di piano sottesa da ciascuna parabola nel proprio intervallo

•Sommare le aree trovate

Una sequenza di calcoli che tralasciamo porta alla formula:

2242123120 ...2...43

1 nnn yyyyyyyyhI

Il metodo delle parabole comporta un errore

)(

2880)4(

4

5

max0

xfn

abE

nxxx

Nel caso di funzioni con andamento “molto regolare“ il metodo delle

parabole dà delle approssimazioni molto buone.

Vantaggi ed inconvenientiIl metodo è abbastanza semplice, perché i valori

degli “f(xi)” si possono calcolare analiticamente o dedurre dal grafico o dai valori in tabella se si tratta di funzioni empiriche.

Tanto maggiore è il numero n ,e quanto più è piccolo h, (n→∞,e h→0 ),tanto maggiore è l’approssimazione perché si riduce l’errore.

Otterremo espressioni approssimate riducendo l’errore se in luogo della funzione a scala sceglieremo curve che si avvicinino di più alla curva, con altri metodi.