Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y … · puntos de calibración, los patrones a emplear y el número de reiteraciones de las medidas en cada punto de calibración

Incertidumbre de los resultados de medida:

calibraciones y medidas (P1).



Angel Mª Sánchez PérezLaboratorio de Metrología y Metrotecnia

LMM-ETSII-UPM

Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas

A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM

Parte 1 Diap. 2

Parte 1:Conceptos básicos



Parte 1 Diap. 3

MEDIDA DE UNA MAGNITUDMEDIDA DE UNA MAGNITUD

• Medir es comparar:– Mensurando

– Referencia de la misma clase (unidad)

• Clases de medida:– Diferencial o por comparación

– Absoluta o directa

• Sistema de medición:• Mensurando• Instrumento o sistema de medida• Operador• Magnitudes de influencia



Parte 1 Diap. 4

MAGNITUDES DE INFLUENCIA Y CONDICIONES DE REFERENCIAMAGNITUDES DE INFLUENCIA Y CONDICIONES DE REFERENCIA

• Magnitud de influencia: magnitud que no es el mensurando pero que tiene un efecto sobre el resultado de la medición. (VIM 2.7)

• Densidad de un cuerpo empuje

• Resistencia eléctrica de un conductor T

• λ láser en el aire P, T, H del aire

• Aceleración de un oscilador frecuencia

– Considerar las que resultan significativas en el orden de precisión con el que se mide el mensurando.



Parte 1 Diap. 5

• Longitud varilla acero 1 m en (20 ± 5) ◦C: el mensu-rando experimenta variaciones en ± 0,05 mm.

• Apreciación en resultado (1 mm) – el efecto de la temperatura es despreciable.

• Apreciación en resultado (0,01 mm) – se debe tener en cuenta la temperatura.

• Masa acero de 1 kg se mide por comparación con otra patrón de 1kg en el aire. Diferentes densidades suponen empujes distintos.

• Apreciación en resultado (1 g) – Difer. de densidades ≈ 10%, difer. de empujes despreciable.

• Apreciación en resultado (1 mg) – Difer. de densidades ≈ 10%, no pueden ignorarse empujes.

Ejemplos:



Parte 1 Diap. 6

• Condiciones de referencia, lo que supone– Especificar valores de magnitudes influencia.

– Trabajar con instrumentos adecuados.

– Mensurando suficientemente bien definido.

– Utilizar un modo operativo apropiado.

Para que el resultado de una medición sea representativo,es necesario establecer:



Parte 1 Diap. 7

• Si no se especificasen los valores de las magnitudes de influencia significativas. Por ejemplo, Se conviene que el valor resultante de la medida de un bloque patrón longitudinal debe referirse a 20 ºC pues aquél valor no sería metrológicamenteaceptable si no se indicase una temperatura de referencia.

• Si no se pudiese asegurar que la medida es trazable, lo que obliga a utilizar instrumentos calibrados. Por ejemplo, si el valor de una resistencia eléctrica se expresa en kΩ, debe poder asegurarse que el múltiplo empleado es lo suficientemente próximo a mil veces el ohmio que define el SI.

No tendría sentido la medida:

Ejemplos:



Parte 1 Diap. 8

• Si se pretendiese medir el mensurando más allá de su grado o nivel de definición, es decir, con una apreciación tal que la magnitud a medir no resulte uniforme. Por ejemplo, la medida de la temperatura de un recinto puede estar bien definida en el orden del kelvin pero no en el de las centésimas de kelvin, por lo que hay que convenir a qué se denomina “temperatura” de un mensurando en cada caso.

• Si no se prescribieran los modos y procedimientos que el operador debe tener presentes al manipular el mensurando y el instrumentopara obtener las medidas. Por ejemplo, si el operador efectúa la calibración de un instrumento, debe existir un procedimiento de calibración que, entre otras cosas, defina adecuadamente los puntos de calibración, los patrones a emplear y el número de reiteraciones de las medidas en cada punto de calibración.

Ejemplos:



Parte 1 Diap. 9

NATURALEZA ALEATORIA DE LAS MEDIDAS: DISPERSIÓN

NATURALEZA ALEATORIA DE LAS MEDIDAS: DISPERSIÓN

• Magnitudes de influencia bajo control– Sus valores están dentro de un intervalo alrededor

del de referencia, por ejemplo la temperatura en (20±2)°C,

– pero dichos valores no son constantes ni en el espacio ni en el tiempo, por lo que

• se produce dispersión de las medidas si la división de escala (E) es suficientemente pequeña, al afectar la variabilidad de las magnitudes de influencia al sistema instrumento-mensurando-operador.



Parte 1 Diap. 10

– Instrumento

– Mensurando

– Operador

• Medida naturaleza aleatoria

• Origen estadístico variabilidad no explicada

Otras causas de variabilidad (aunque las magnitudes

de influencia fuesen perfectamente estables).



Parte 1 Diap. 11

• El resultado de medida es una variable aleatoria quese caracteriza por:

Parámetro de centrado

Parámetro de dispersión

La división de escala del instrumento (E) puedeenmascarar la variabilidad.

Ej.: E=0,001 mm E=0,01mm78,854 78,8578,852 78,8578,853 78,85



Parte 1 Diap. 12

CORRECCIÓN DE LAS MEDIDASCORRECCIÓN DE LAS MEDIDAS

• Magnitudes de influencia fuera de control exigen aplicar correcciones a los valoresindicados o brutos.

• Correcciones• Incrementan complejidad, no siempre se conoce la

relación funcional entre el resultado y las magnitu-des de influencia.

• Ej.: caso de la barra λ′20 = λ′θ [1 + α (20 - θ )]

– Conocer α

– Medir y decidir θ de la barra



Parte 1 Diap. 13

Corregir supone efectuar o

utilizar medidas adicionales



Parte 1 Diap. 14

• Suponiendo que la longitud obtenida a θ °C no incorporala corrección de calibración, el resultado final es

λ20 = λ′20 + Cc = λ′θ [1 + α (20 - θ )] + Cc

• Se obtiene una relación funcional

λ20 = f (λ′θ, α, θ, Cc)

que responde a las hipótesis en el modelo adoptado, pero .....

Ej.: Longitud de la barra



Parte 1 Diap. 15

• Se relaciona funcionalmente con los resultadosde otras medidas

– La función f puede no ser expresable analíticamenteo no conocerse completamente.

),........,,( 21 Nxxxfy =

RESULTADO DE CUALQUIER MEDICIÓN

RESULTADO DE CUALQUIER MEDICIÓN



Parte 1 Diap. 16

• Medidas directas

• Instrumento con corrección global de calibración Cc

• Trabajando con unas condiciones de referenciaanálogas a las de calibración

y = x´ + cc

y es el resultado de la medida

x´ es el resultado bruto de la medida

cc es un estimador de Cc

CASO MÁS SIMPLECASO MÁS SIMPLE



Parte 1 Diap. 17

SIGNIFICADO FÍSICO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDASIGNIFICADO FÍSICO DE LA

INCERTIDUMBRE DE MEDIDA

• No es posible obtener valores exactos como resultado de las medidas

• Toda medida debe ser corregida al menos con la CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN



Parte 1 Diap. 18

MEDIDA(imperfecta)

CORRECCIONES MEDIDAS

BUCLE DE MEDIDA BUCLE DE MEDIDA

• La expresión de un resultado concreto exigeromper este bucle, por lo que siempre que-da sin corregir alguna corrección.



Parte 1 Diap. 19

CORRECCIONES

CORRECCIONESAPLICADAS

CORRECCIÓN RESIDUAL

INCERTIDUMBRE

La incertidumbre de la medida es una cotasuperior del valor de la corrección residual.



Parte 1 Diap. 20

– Valor hacia el que converge el resultado de una medida

– Es el que mejor caracteriza un mensurando

– No tiene existencia física real

(indeterminación natural)

• Su determinación requeriría

– MENSURANDO PERFECTO

– SISTEMA de MEDIDA PEFECTO

– o introducción de TODAS las CORRECCIONES

VALOR VERDADERO DE LA MAGNITUD MEDIDA



Parte 1 Diap. 21

– Es el valor que se obtiene cuando se decide interrumpir la aplicación de sucesivas correcciones

– Es el mejor valor que puede obtenerse con los medios disponibles

VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO OVALOR RESULTANTE DE LA MEDIDA



Parte 1 Diap. 22

• La incertidumbre de medida, U, es el valor de la semiamplitud de un intervalo alrededor del valor resultante de la medida (valor convencionalmente verdadero), y. Dicho intervalo representa una estimación ade-cuada de una zona de valores entre los cuales es “casi seguro” que se encuentre el valor verdadero del mensurando.

• Resultado de la medida: y ± U

INCERTIDUMBRE DE MEDIDA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA



Parte 1 Diap. 23

• La incertidumbre de medida es un parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando. (VIM 3.9)

¿Qué parámetro?¿Cómo se cuantifica?

¿Cómo se propaga?

Los planteamientos anteriores son congruentescon la definición de incertidumbre del VIM.

DEFINICIÓN VIM DEFINICIÓN VIM



Parte 1 Diap. 24

INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS


• La incertidumbre cualifica las medidas:

(17,015 ± 0,015) mm

(17,015 ± 0,025) mm

(17,015 ± 0,040) mm Med

idas

de

may

or c

alid

ad

¿Cuál es la calidad necesaria?



Parte 1 Diap. 25



• El valor de la incertidumbre es el primer índice de la calidad de una medida, que es tanto mayor cuanto menor es aquella.

• METROLOGÍA INDUSTRIAL– Las medidas no son un fin sino un medio para

conseguir otros fines.

– La aceptación de las medidas se decide a partir de la tolerancia previamente establecida.



Parte 1 Diap. 26

¿POR QUÉ HAY QUE CONOCERLA INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS?

• Porque se mide para verificar que se cumplen especificaciones que suelen concretarse en el establecimiento de zonas de valores admisi-bles acotados por valores límite (tolerancias), y los valores obtenidos en las medidas no son exactos.

¡Porque lo impone UNE-EN ISO/IEC 17025 ... !



Parte 1 Diap. 27

TOLERANCIATOLERANCIA

Tolerancia de una magnitud es el intervalo de valores en el que debe encontrarse dicha magnitud para que se acepte como válida.

FABRICACIÓN ARTESANAL

División del trabajo

FABRICACIÓN INDUSTRIAL

Intercambiabilidad

Normalización



Parte 1 Diap. 28

TOLERANCIA e INCERTIDUMBRETOLERANCIA e INCERTIDUMBRE

T

U U

y

U U

y

U U

y

Para verificar si una magnitud está dentro de toleranciahay que medir, siendo preciso considerar la incertidumbre.

Situaciones claras Situación dudosa

U U

y



Parte 1 Diap. 29

TOLERANCIA e INCERTIDUMBRETOLERANCIA e INCERTIDUMBRE

(tolerancia de verificación)

(tolerancia de especificación)MALASMALAS

BUENAS

U U

T

T-2U

DUDOSAS DUDOSAS

U U

102

3 ≤≤UTPara proceder así el intervalo de incertidumbre

debe ser varias veces menor que la tolerancia :

y



Parte 1 Diap. 30

• La incertidumbre estimada para el valor resul-tante de la medida debe satisfacer la relación anterior u otra equivalente, lo que constituye el criterio de calidad exigible a las medidas industriales.

– No es ajeno a los laboratorios de calibración pues, en ocasiones pueden tener que comprobar especi-ficaciones de patrones e instrumentos de medida, es decir, comprobar si determinadas medidas se en-cuentran dentro o fuera de tolerancia.



Parte 1 Diap. 31

• Se utiliza en:– Diseño de productos– Variables de procesos– Condiciones ambientales– Recepción de materiales– Ensayos– .......

Decidir si un valor está o no en tolerancia

Medir con lacalidad necesaria

ESPECIFICACIÓN POR TOLERANCIASESPECIFICACIÓN POR TOLERANCIAS



Parte 1 Diap. 32

RECOMENDACIONES DEL CIPMRECOMENDACIONES DEL CIPM

• Primera 1981

• Segunda 1986

• Componentes de incertidumbre en dos categorías

• TIPO A– Se estiman con procedimientos estadísticos sobre

los valores obtenidos al reiterar medidas de un mensurando

• TIPO B– Se aprecian por otros métodos



Parte 1 Diap. 33

• Ambos tipos de componentes deben cuantifi-carse mediante:– varianzas o cantidades equivalentes,

– debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia - en su caso - por las correspon-dientes covarianzas.

– La incertidumbre así determinada, puede multiplicarse por un factor superior a la unidad, al objeto de obtener una incer-tidumbre total mayor, pero a condición de indicar siempre el valor de dicho factor.



Parte 1 Diap. 34

• Propuesta inicial CIPM– Desechar que todas las distribuciones de resultados

de medida responden a ley normal.

– Trabajar con desviaciones típicas o varianzas.

– No identificar la incertidumbre con un intervalo de confianza sino con la desviación típica resultante (u).

U = ku– k = factor de incertidumbre, posteriormente, factor de

COBERTURA, RECUBRIMIENTO O INCLUSIÓN (ha-bitualmente entre 2 y 3).



Parte 1 Diap. 35

– El intervalo de semiamplitud U incluye una gran proporción p de la distribución de valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensu-rando, siendo p la probabilidad de cobertura o nivel de confianza.

– Precisamente, la relación aconsejada para los límites de la relación T/2U hay que entenderla planteada sobre una incertidumbre expandida en el sentido de EA, es decir, con nivel de confianza del 95%.

Situación actual



Parte 1 Diap. 36

– Resume conceptos fundamentales de la Guía ISO

(GUM).

– Establece que los laboratorios de calibración acreditados (ENAC en España) deben emitir sus certificados con

– Intervalo de incertidumbre expandida con probabilidad de cobertura o nivel de confianza del 95% (aproximadamente k = 2 para distribuciones normales).

EA-4/02



Parte 1 Diap. 37

ESTIMACIONES Y ESTIMADORES: RESULTADO DE LA MEDIDA

ESTIMACIONES Y ESTIMADORES: RESULTADO DE LA MEDIDA

• Condiciones de repetibilidad, supone efectuar las medidas:

• con el mismo método de medida,

• por el mismo observador,

• con el mismo instrumento,

• en el mismo lugar,

• con las mismas condiciones de utilización, y

• con pequeños intervalos de tiempo entre las medidas sucesivas.

Las indicaciones no son exactamente lasmismas, incluso después de corregidas.



Parte 1 Diap. 38

• Conjunto de las medidas corregidas, es una muestra poblacional de una distribución estadística cuya función de densidad f(X) es en general desconocida

• Si se introducen todas las correcciones significativas, los valores de la muestra se situarán en las proximidades del valor verdadero del mensurando:

• Media o esperanza matemática (μ) de X (parámetro de centrado)

• Desviación típica (σ) de X (parámetro de dispersión)



Parte 1 Diap. 39

Indicaciones

Frecuencias

X

f(X)

σ σ

μ



Parte 1 Diap. 40

∫+∞

∞−=>≡< dXXXfX )(μ

• Media o esperanza matemática

∫+∞

∞−−=≡ dXXfXXV )()()( 22 μσ

• Varianza

X

f(X)

σ σ

μ



Parte 1 Diap. 41

• Al desconocerse f(X) no resulta posible determinarlos por este camino.

– La estadística nos proporciona unos valores apro-ximados (estimadores) de dichos parámetros que pueden obtenerse a partir de cualquier muestra concreta de extensión (n) suficiente.



Parte 1 Diap. 42

Indicaciones

Estimadores más usados en metrología:

∑=

==≡n

iix

nxm

1

1μ̂

• Media aritmética

∑=

−−

==≡n

ii xx

nsV

1

222 )(1

1σ̂

• Varianza muestral

Frecuencias

s s

m

ESTIMADORESESTIMADORES



Parte 1 Diap. 43

• ¿Puede expresarse el resultado de la medida mediante m ± s ?– La media aritmética, m, es el mejor valor corregido

y por ello, en todas las áreas de la metrología, se acepta que el valor resultante de las medidas (valor convencionalmente verdadero) es la media aritmética de las indicaciones corregidas.

– La cuantificación de la incertidumbre del resultado mediante el parámetro de dispersión indicado (la desviación típica muestral s), es inapropiada por diferentes razones.



Parte 1 Diap. 44

nX

X

22 σσ =

– s es un estimador de la dispersión de la población de medidas

– El resultado no es una de esas medidas (es la media aritmética)

– El estimador media aritmética es otra variable estadística ( ), distinta de la que representa la población considerada ( ) pero relacionada con ella. Es sencillo deducir que la media de ( ) coincide con la de y que entre las varianzas de ambas variables existe la siguiente relación:

XX

XX

¿Por qué s no es la incertidumbre?¿Por qué s no es la incertidumbre?



Parte 1 Diap. 45

• Si se trabaja con los estimadores se utiliza:

• Se le llama normalmente componente de repetibilidad.

• Debe componerse con las restantes para obtener la incertidumbre típica resultante.

nssX =



Parte 1 Diap. 46

• Trazabilidad de un conjunto de medidas es la carac-terística que garantiza que todas ellas poseen una referencia común, por ejemplo, la realización de la unidad del SI en la que se expresa el resultado de cada medida.

• El Vocabulario Internacional de Metrología (VIM) recoge la siguiente definición:

• Trazabilidad es la propiedad del resultado de una medida o de un patrón que le permite relacionarlo con referencias deter-minadas, generalmente patrones nacionales o internacionales, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones todas ellas con incertidumbres determinadas (VIM 6.10)

• En la definición anterior interviene la incertidumbre.• Las comparaciones de la cadena de trazabilidad constituyen

calibraciones.

TRAZABILIDADTRAZABILIDAD



Parte 1 Diap. 47

– Es conveniente que los intervalos de incerti-dumbre indicados se correspondan con valores de incertidumbre expandida que confieran una segu-ridad similar a la caracterización de los correspon-dientes mensurandos

– La mejor forma de asegurar la trazabilidad de un sistema de medida:

– Medir con él un patron con trazabilidad (calibración)

– Corregir si se trabaja lejos de las condiciones de referencia



Parte 1 Diap. 48

CALIBRACIÓNCALIBRACIÓN

• Calibración es el conjunto de operaciones que establecen, en unas condiciones determinadas, la relación que existe entre los valores de una magnitud indicados por un instrumento o sistema de medida, o los valo-res representados por una medida materia-lizada o por un material de referencia, y los correspondientes valores de la magnitud realizados por patrones. (VIM 6.11)



Parte 1 Diap. 49

– Poner de manifiesto las discrepancias existentes entre el instrumento o patrón que se calibra (calibrando) y un elemento de referencia con características metrológicas suficientemente estables y conocidas.

– La información resultante de la calibración debe combinarse con otras para estimar la incer-tidumbre asignada a las medidas realizadas con el elemento calibrado.

Finalidad de la calibración



Parte 1 Diap. 50

ESQUEMA DE LA CALIBRACIÓNESQUEMA DE LA CALIBRACIÓN

• El resultado es el valor de una magnitud y su incertidumbre.

Patrón oinstrumento

de calibración

Patrón oinstrumento

a calibrar

Procedim.de

calibración

Resultado de la calibración



Parte 1 Diap. 51

CERTIFICADO DE CALIBRACIÓNCERTIFICADO DE CALIBRACIÓN

• El resultado de una calibración se recoge en un documento que suele denominarse certificado de calibración. El certificado puede ser:– De un patrón:

• Valor e incertidumbre resultante.

– De un instrumento:

• Corrección y su incertidumbre en los puntos de calibra-ción. Cualquier corrección considerada, incluso si su valor fuese nulo, introduce una componente de incerti--dumbre ya que se trataría de un cero “inexacto”.

• A veces, incertidumbre del instrumento o incertidumbre de uso pero no es recomendable y debería definirse.

– También puede incluirse conformidad o no a una especificación metrológica.



Parte 1 Diap. 52

Elemento

Resultado

Proc. Calibr.

Elemento

Resultado

Proc. Calibr.

Elemento

Resultado

Proc. Calibr.

CADENAS DE TRAZABILIDADCADENAS DE TRAZABILIDAD



Parte 1 Diap. 53

• La calibración:

• Establece la trazabilidad de los elementos de medida.

• Permite asignar incertidumbre final a los resultados de medida.

• A medida que se desciende por las cadenas de trazabilidad, alejándose del patrón primario, la incertidumbre de las correspondientes medidas va aumentando.

• Si los sucesivos intervalos de incertidumbre recubren los anteriores, todas las medidas resultan equivalentes.

OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓNOBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN



Parte 1 Diap. 54

• El calibrando ha de trabajar durante la calibración en la misma forma en que lo hace habitualmente.

• La incertidumbre de una medida depende del instrumento de medida, por lo que con dos instrumentos diferentes pueden asignarse diferentes incertidumbres a un mismo mensurando.

• La incertidumbre de una medida también depende del mensurando, por lo que al medir dos mensurandos diferentes con un mismo instrumento puede obtenerse igual valor para ambos pero distinta incertidumbre.

• La incertidumbre se predica de la medida de una magnitud por lo que no debería emplearse la expresión “incertidumbre del instrumento” o, si se utiliza – no recomendable-, explicar lo que significa.




Parte 1 Diap. 55

• Es importante limitar la longitud de las cadenas de trazabilidad y arrancar en su origen con la menor incertidumbre posible.

• Se realizan comparaciones que refuerzan “horizontalmente” la trazabilidad diseminada “verticalmente” mediante calibraciones.

• Las comparaciones son obligatorias para los laboratorios de calibración acreditados.




Parte 1 Diap. 56

MAGNITUDES DE ENTRADA Y SALIDA:FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

MAGNITUDES DE ENTRADA Y SALIDA:FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Directas

• Clases de medidas

Indirectas

– Directas Instrumento medida

– Indirectas magnitudes de entrada relación funcional magnitud de salida



Parte 1 Diap. 57

– Velocidad con un velocímetro.

– Superficie de un rectángulo con una cámara y un sistema de digitalización que de el resultado en unidades de superficie.

– Resistencia eléctrica con un polímetro.

Ejemplos de MEDIDAS DIRECTASEjemplos de MEDIDAS DIRECTAS



Parte 1 Diap. 58

– Velocidad media midiendo distancia y tiempo

– Superficie midiendo longitud de los lados

– Resistencia midiendo V e I

tLV =

21 LLA ⋅=

IVR =

Ejemplos de MEDIDAS INDIRECTASEjemplos de MEDIDAS INDIRECTAS



Parte 1 Diap. 59

– Cualquier medida puede expresarse mediante una relación funcional si se explicitan las correcciones aplicadas, pues siempre ha de existir al menos la corrección de calibración

Y : mensurando a determinar

(magnitud o variable de salida)

:

mensurandos que permiten obtenerlo

(magnitudes o variables de entrada)

f : función de transferencia o función modelo.

),....,,( 21 nXXXfY =

nXXX ,....,, 21

Función de transferencia o función modeloFunción de transferencia o función modelo



Parte 1 Diap. 60

MEDIDAS DIRECTASMEDIDAS DIRECTAS

),....,,( 21

1

nXXXfYXY

=≈ Lecturas

Magnitudes de influenciaconsideradas en el modelode correcciones (corr. cali-bración y otras).

L

x1

321CE1ˆ xxxccxyL ++≡++=≡

Corr. calibrac.

Corr. redondeo

Lectura



Parte 1 Diap. 61

MEDIDAS INDIRECTASMEDIDAS INDIRECTAS

),....,,,....,,(

),....,,(

121

21

nmm

m

XXXXXfY

XXXY

+=

Φ≈ Magnitudes que intervienen en Φ(ley física o geo-métrica).

Magnitudes de influenciaconsideradas en el modelode correcciones (corr. cali-bración y otras).



Parte 1 Diap. 62

MEDIDAS INDIRECTASMEDIDAS INDIRECTAS

I

V

A

VR

642

531

CIEI

CVEV

ˆˆ

ˆxxxxxx

ccIccV

yR++++

=++

++=≡

Lectura voltímetro

Lectura amperímetro

Corr. redondeo volt.

Corr. redondeo amp.

Corr. calibrac. volt.

Corr. calibrac. amp.IVR =



Parte 1 Diap. 63

– Caracteriza el procedimiento de medida y la forma de evaluar el resultado, es decir, el modelo de medición decidido.

– Representa el sistema:

• Mensurando

• Instrumento

• Operador-entorno

Función de transferencia o función modeloFunción de transferencia o función modelo



Parte 1 Diap. 64

• Modelo unidimensional de dilatación para correcciones térmicas

– Admisible para cuerpos esbeltos como barras y varillas.

– Inadecuado para la distancia entre los ejes de dos taladros del bloque de un motor.

• En general, la función modelo, f– Suele responder a una expresión analítica.

– Puede no ser explícita.

– Puede no ser expresable analíticamente (algoritmo).

ℓ20= ℓθ [1+α (20-θ)]

Ejemplo:



Parte 1 Diap. 65

• Algunas variables de la función modelo se estiman con valores de entrada que no influyen sobre el valor de salida o valor resultante (y). Por ejemplo, una corrección de valor nulo en una función modelo aditiva. Sin embargo, la incertidumbre de aquellas varia-bles siempre son positivas y pueden ser signi-ficativas por lo que deben mantenerse dichas variables en la función modelo.

• La función modelo se emplea para determinar el resultado (valor e incertidumbre).



Parte 1 Diap. 66

• A veces hay más de una variable de salida y por tanto varias funciones de transferencia (se suelen englobar en la matriz de transferencia). En cualquier caso:

• Objetivo que se persigue con un sistema de medida:– determinar razonablemente la función f, para

– obtener el valor que mejor caracteriza al mensurando y la incertidumbre de dicho valor.

• Para ello es necesario disponer de informaciones simi-lares para cada una de las magnitudes de entrada, ya sea midiéndolas, utilizando los resultados de las medi-das de otros o estimándolas adecuadamente.



Parte 1 Diap. 67

• Medida de una magnitud• Magnitudes de influencia• Correcciones• Incertidumbre de medida• Tolerancia• Recomendaciones CIPM• Resultado de la medida• Trazabilidad y calibración• Funciones modelo

• Medidas directas• Medidas indirectas

• Aclaraciones

Resumen de la Parte 1Resumen de la Parte 1



Parte 1 Diap. 68

Fin de la parte 1 (sesión 1)






LMM-ETSII-UPM



Parte 2 Diap. 2

Parte 2:Incertidumbre típica



Parte 2 Diap. 3

• El valor resultante de una medida (y) siempre depende de los valores de otras magnitudes (x1, x2 , …, xN) lo que se escribe mediante la relación funcional:

que es la función modelo o función de trans-ferencia.

• Si se mide la longitud de una pieza, su valor depende de la indicación del instrumento, de la corrección a introducir si la pieza no estuviese 20 ◦C, de las correcciones a aplicar al instrumento, etc.

• Cuando se determina la densidad de un cuerpo a partir de medidas previas de su masa y de su volumen, hay que consi-derar, al menos, dos variables.

),........,( 21 Nxxxfy =

MODELO DE MEDIDAMODELO DE MEDIDA



Parte 2 Diap. 4

• Como los valores (x1, x2 ,..., xN) no pueden determinarse exactamente, el valor resultante de la medida (y) tampoco es exacto y entran en juego las incertidumbres.

• Las incertidumbres de las variables de entrada (x1, x2 ,..., xN) y la función modelo permiten determinar la incertidumbre del valor resultante (y) según veremos.



Parte 2 Diap. 5

CUANTIFICACIÓN de la INCERTIDUMBRE TÍPICA de las VARIABLES de ENTRADA

CUANTIFICACIÓN de la INCERTIDUMBRE TÍPICA de las VARIABLES de ENTRADA

• Incertidumbre típica:– Se denomina incertidumbre típica de una cierta

variable a la desviación típica asociada a la misma, es decir, la incertidumbre típica es la incertidumbre correspondiente a una desviación típica.



Parte 2 Diap. 6

• La evaluación de la incertidumbre típica de las magnitudes de entrada se efectúa mediante

• Evaluación tipo A

• Evaluación tipo B



Parte 2 Diap. 7

Evaluación tipo AEvaluación tipo A

• Conjunto de n medidas independientes del mensurando (Xi) obtenidas en condiciones de repetibilidad. La varianza se estimamediante la varianza muestral de la media:

donde el valor estimado para Xi es

que es un estimador insesgado de la media de Xi, pudiéndose emplear también la letra minúscula, xi, para designar el valor de dicho estimador.

∑=

=n

jiji x

nx

1

1

∑=

−−

==n

jiij

ii xx

nnnxs

xs1

22

2 )()1(

1)()(



Parte 2 Diap. 8

– Cuando la desviación típica se determina de la forma indicada, el número de grados de libertad,

υ = n – 1 (en general υ = n – r) es una información importante para estimar la fiabilidad de la evaluación de dicha desviación típica y debe tenerse en cuenta que siempre debería ser

n ≥ 10

– No se recomienda usar las expresiones anteriores si

n < 5.



Parte 2 Diap. 9

• La evaluación tipo B de la incertidumbre típica asociada a una estimación (xi) de una variable de entrada (Xi) no se realiza mediante análisis estadístico de medidas de repetibilidad obtenidas en el proceso de la propia medición.

Evaluación tipo BEvaluación tipo B



Parte 2 Diap. 10

• En las evaluaciones tipo B las informaciones pueden proceder de muy diversas fuentes:

– Datos de certificados de calibración

– Valores adoptados de manuales técnicos o tablas de reconocida solvencia

– Datos de medidas previas

– Especificaciones fiables de fabricantes

– Conocimiento y experiencia con los mensurandos y los sistemas de medida implicados

– Valores recomendados asociados a la utilización de buenas prácticas de laboratorio

– Hipótesis sobre la clase de función de densidad de la variable Xi



Parte 2 Diap. 11

• Si el mensurando Xi– está bien definido,

– se encuentra en condiciones de control estadístico, conociéndose una buena estimaciónde su varianza poblacional sp

2,

la varianza de la medida, xi , es:

donde n es cualquier valor, incluso la unidad.

ns

xsxu ii

2p22 )()( ==

Ejemplos de evaluación tipo BEjemplos de evaluación tipo B



Parte 2 Diap. 12

• Ejemplo concreto del anterior:– Contribución de repetibilidad en la medida de BPL

(L≤ 0,1 m), con banco de E ≥ 0,01 μm.

– Antes de calibrar se comprueba repetibilidad de los palpadores con un solo BPL y diez contactostras uno de ajuste.

– Los diez valores se comparan con un histórico y se aceptan o rechazan según un criterio.

– Se estima sp con todos los datos (n>500).



Parte 2 Diap. 13

• Cuando se conoce un único valor de la variable de entrada, por ejemplo si:

– sólo se mide un vez (medida destructiva)

– el resultado se toma de documentación técnica (coef. dilatación)

– el resultado es facilitado por terceras personas (certifi-cado de calibración)

• Valor del mensurando, el valor único.

• Incertidumbre típica, la facilitada por la fuente (documentación o certificado) o, en su defecto, calculada en base a la experiencia.

Ejemplo de evaluación tipo BEjemplo de evaluación tipo B



Parte 2 Diap. 14

• Un (BPL) de calidad 00 lleva grabado el valor del coeficiente de dilatación lineal α = 11,6⋅10-6

K-1 pero no indica su incertidumbre que resulta necesaria.– El evaluador considera que la información es

suficientemente fiable para adoptar como incer-tidumbre típica la mitad del valor de la última cifra significativa grabada, es decir u(α)=0,05⋅10-6 K-1.

Ejemplos de evaluación tipo BEjemplos de evaluación tipo B



Parte 2 Diap. 15

• Determinación tipo B cuando se supone una distribuciónde probabilidad para la variable de entrada

– Si el mensurando responde a una distribución de probabilidad, la estimación del mismo es la media de dicha distribución y su desviación típica es la incertidumbre típica asociada.

– Distribuciones:– Normal

– Triangular

– Uniforme

– Algún tipo de beta.



Parte 2 Diap. 16

• Determinación tipo B cuando sólo se pueden estimar límites, inferior y superior para los valores de la variable de entrada

– Si sólo se conocen los límites• Superior a+

• Inferior a–

– Por ejemplo, tolerancia de una magnitud de influencia

– Redondeo de las indicaciones de un instrumento digital, etc.

puede asumirse una distribución uniforme o rectangular

)(21

−+ += aaxi22 )(

121)( −+ −= aaxu i



Parte 2 Diap. 17

a+a–

a+– a–

f(x)

x

23

22

2

)(121

3)(1)()()(

)(21

2)(11)(

−+−+

∞+

∞−

−+−+

−+

∞+

∞−−+

∞+

∞−

−=−

−=−=≡

+=−

−=

−==>≡<

+

−

∫

∫∫

aaxaa

dxxfxxV

aaaaaa

xdxaa

dxxxfx

a

a

μμσ

μ

Detalle del cálculo para distribución uniformeDetalle del cálculo para distribución uniforme



Parte 2 Diap. 18

• Si se trata de un intervalo de tolerancia de amplitud 2ΔTcentrado sobre el valor T0, es decir T0 ± ΔT, el resultado es

• La contribución del redondeo de las lecturas a E o a E/2, se trata de esta forma (ΔT=E/2 o ΔT=E/4)

Ejemplo: Voltímetro digital con E = 0,1 V• Cualquier indicación corresponde a un intervalo ± 0,05 V, por lo

que la incertidumbre típica por redondeo resulta igual a

• Si E es grande (poca resolución del instrumento) s ≈ 0, y tiene importancia la contribución de redondeo

( )22

31)( Txu i Δ=oi Tx =

305,0 V



Parte 2 Diap. 19

• No se puede medir.

• Está entre 20 °C y 21 °C .

• El sistema de control determina que sea más probable encontrar la temperatura cerca de los límites que en la zona central.

• Se adopta una variación senoidal de la temperatura sobre el centro del intervalo de temperatura, función del tiempo:

• Θ temperatura de la cámara.

• Θo temperatura correspondiente al

centro del intervalo (20,5 º C).

• θA amplitud del intervalo (0,5 ºC).

Incertidumbre de la temperatura de una cámaraIncertidumbre de la temperatura de una cámara



Parte 2 Diap. 20

– Haciendo θ = Θ - Θo se tiene:

– La función de densidad de θ puede obtenerse determinando la probabilidad de que la temperatura se sitúe en el entorno de un cierto punto a partir de su ley de variación temporal:

( )ϕωθθ += tsenA

)(cos2)(

A ϕωπθθθ

θπω

πωθθ

+====

tdddt

Tdtdf &

( )ϕωθ ++= tsenΘΘ Ao




Parte 2 Diap. 21

– La función de densidad resultante es:

con media: Θ = Θo

y desviación típica:

– Por consiguiente

• Valor estimado: 20,5 °C

• Incertidumbre: °C25,0

22A

1)(θθπ

θ−

=f

2Aθσ =

θ

f(θ)

0ˆ=θ




Parte 2 Diap. 22

INCERTIDUMBRE TÍPICA RESULTANTE: LEY de PROPAGACIÓN

INCERTIDUMBRE TÍPICA RESULTANTE: LEY de PROPAGACIÓN

– Se conocen los estimadores de las variables de entrada y sus incertidumbres típicas y se trata de obtener el valor y la incertidumbre de la variable de salida (resultado), conociendo la función modelo:

Utilizando minúsculas para los estimadores,

y admitiendo la linealización de la función en el entorno del punto de trabajo, se obtiene:

(1)

y promediando:

( )NXXXfY ,...,2,1=

( ) ( )∑=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+≈N

iii

xiN xX

XfxxxfY

i1

2,1 .,...,

iii xX >==< ˆμ̂



Parte 2 Diap. 23

– A partir de (1), se obtiene el valor resultante de la medida:

y recordando las definiciones de varianza y covarianza

se obtiene la ley de propagación de varianzas-covarianzas que permite estimar la varianza de Y, en la forma

(2)

donde u(xi, xj) estima la covarianza entre los valores resultantes de las variables de entrada Xi y Xj

),,(ˆ N,1 xxxfyY i ΛΛ==><∧

=μ

∑ ∑= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

≈==N

i

N

jji

xjxiy xxu

Xf

XfYVyuu

ji1 1

22 ),(..)(ˆ)(

( ) )(V),(cov 222 XXXXXXX =⟩⟩⟨−⟨=⟩⟨−⟩⟨=⟩⟩⟨⟨−⟩⟨== YXXYXYYX ),(cov),(cov



Parte 2 Diap. 24

• Notas:

– La media es un operador lineal pues, siendo a una constante:

– La varianza no es un operador lineal pues

⎭⎬⎫

⟩⟨=⟩⟨⟩⟨+⟩⟨=⟩+⟨

XaaXYXYX

( ) ( )( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⟩⟩⟨⟨−⟩⟨=

++=⟩+⟩⟨+⟨−⟩+⟨=+

)V()V),(cov2VV

V

222

2

XaaXaXXa(aXYXYX

YXYXYXYX



Parte 2 Diap. 25

• Si todas las variables de entrada son incorreladas, la expresión (2) se reduce a la ley de propagación de varianzas:

siendo ci los coeficientes de sensibilidad:

• Designando la ley de propagación de varianzas resulta:

∑∑==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=N

iii

N

ii

xi

xucxuXfyu

i1

22

1

22

2 )()()(

ii xXii X

fc=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

)()( iii xucyu =

∑=

=N

ii yuyu

1

22 )()(

LEY de PROPAGACIÓN de VARIANZASLEY de PROPAGACIÓN de VARIANZAS



Parte 2 Diap. 26

• La hipótesis de linealidad es admisible en la mayor parte de los casos.

• Si la estimación u(y) es anormalmente baja(punto de trabajo próximo a un extremorelativo de la función f ) hay que introducirtérminos de orden superior en el desarrollo de Taylor interviniendo los estimadores de loscoeficientes de asimetría y de curtosis.



Parte 2 Diap. 27

– Medida indirecta del área de una placa rectangular

– Conociendo , , y si ambos valoresson independientes, lo que podría ser inadmisiblesi se hubieran obtenido con el mismo instrumento, se tiene:

)(bub ± )(huh ±b

hbhA =

Ejemplos:



Parte 2 Diap. 28

bhfch

bfcbhA hb =

∂∂

==∂∂

=⇒=

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

)()(

)()(222

222

hubAu

buhAu

h

b )()()( 22222 hubbuhAu +=

)()()()()( 222

2

2

2

2

2

hwbwh

hub

buA

Au+=+=

)()()( 22 hwbwAw +=

A veces se emplea la incertidumbre relativa w(x)=u(x)/x

Ejemplos:



Parte 2 Diap. 29

)()( 2

1

22i

N

ii xwpyw ∑

=

=

• La expresión obtenida es un caso particular de funciones de transferenciadefinidas por un monomio de forma general:

el resultado es:

∏=

=N

i

piN

iXcXXXf1

21 ),....,,(

yxpx

xcpc

i

iN

i

pi

iii

i == ∏=1

1

)()()( 2222

2222

iii

iii xwpy

xxupyyu ==

Ejemplos:



Parte 2 Diap. 30

– La varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas. En este caso el modelo es Y=X1-X2 y pasando a los estimadores y=x1-x2

El mismo resultado que para la suma.

– Es un caso particular de función modelo combina-ción lineal de las variables de entrada

11 =c 12 −=c

)()( 11 xuyu = )()( 22 xuyu −=

)()()( 22

122 xuxuyu +=

Ejemplos:



Parte 2 Diap. 31

– Es decir

siendo indiferente el signo de las constantes pipues en la expresión final todas ellas intervienen al cuadrado.

∑=

=⇒=N

1iiiii pcxpy

∑=

=N

1)()(

iiii xupyu

∑∑==

==N

1

2N

1

222 )()()(i

ii

ii yuxupyu

Ejemplos:



Parte 2 Diap. 32

• Ejemplo:– 10 medidas con micrómetro de exteriores

E = 0,01 mm analógico

62,13 62,13 62,13 62,13 62,13

62,13 62,13 62,13 62,13 62,13

– Se desea determinar la contribución de incerti-dumbre típica asociada a la repetibilidad

• No puede deducirse que la contribución de repetibilidad sea nula pues las indicaciones sólo aseguran que el valor medido se encuentra en 62,13 mm ± 0,005 mm.

Contribución por redondeo de indicacionesContribución por redondeo de indicaciones



Parte 2 Diap. 33

– Modelo aplicable:X = lecturas redondeadas CE = corrección de escala

• Desconocida

• Se admite que se encuentra con toda seguridad en el intervalo ±E/2• Se considera que responde a una función de densidad uniforme de

media nula definida en ±E/2• En consecuencia cE = 0, resultando:

• En el ejemploxcxy E =+=

( )123

20)()()(22

222 EEcuxuyu E =+=+=

ECXY +=

mm003,01201,0

12)( ≈==

Eyu

Ejemplo:



Parte 2 Diap. 34

• El resultado de este modelo también suele aplicarse, por seguridad, a cualquier instrumento que presenta las indicaciones redondeadas (presentación numérica o digital) y aunque las medidas no resulten tan repetitivas. En las medidas con un cierto nivel de dispersión la contribución del redondeo suele ser despreciable.



Parte 2 Diap. 35

• Modelo de medida• Evaluaciones tipo A y B• Ejemplos de contribuciones individuales• Incertidumbre típica combinada: ley depropagación de varianzas: ejemplos

• Incertidumbres relativas: ejemplos• Aclaraciones




Parte 2 Diap. 36







LMM-ETSII-UPM



Parte 3 Diap. 2

Parte 3:Incertidumbre expandida



Parte 3 Diap. 3

• En las diapositivas siguientes se recoge un resumen de los criterios ENAC (Entidad Nacional de Acreditación) para el cálculo de las incertidumbres de medida tal y como se exige que lo hagan los laboratorios que acredita.

• Estos criterios se incluyen en el documento EA-4/02 (*), elaborado de acuerdo con la GUM (ISO y otros) pero aplicando algunas simplifi-caciones.

(*) Gratuito a través de internet, por ejemplo desde la página de ENAC.

RESUMEN ENACRESUMEN ENAC



Parte 3 Diap. 4

INCERTIDUMBRE EXPANDIDA Y PROBABILIDAD DE COBERTURAINCERTIDUMBRE EXPANDIDA Y PROBABILIDAD DE COBERTURA

• EA ha decidido que los laboratorios de calibración acreditados por las entidades miembros de EA, como ENAC, proporcionen una incertidumbre de medida expandida, U, obtenida multiplicando la incertidumbre típica, u(y), de la estimación del resultado por un factor de cobertura, k, es decir

U = k u(y)de forma que U se corresponda con un nivelde cobertura del 95%.



Parte 3 Diap. 5

• EA-4/02 distingue los siguientes casos para la función de distribución de la variable resultante, Y:– Asimilable a una normal

• con estimación de la incertidumbre típica suficiente-mente fiable, o

• con estimación de la incertidumbre típica no suficiente-mente fiable.

– No asimilable a una normal.



Parte 3 Diap. 6

DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO

Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA SUFICIEN-TEMENTE FIABLE

– Hipótesis de distribución normal no siempre es fácil de confirmar experimentalmente.

La distribución resultante puede suponerse normal cuando

• La variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), carac-terizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento. Por ejemplo, normales, unifor-mes, etc.,

• y las componentes de incertidumbre de cada una de ellas contribuyen a la incertidumbre típica del resultado con cantidades comparables.



Parte 3 Diap. 7

– La fiabilidad de u(y), se asocia con el número de grados de libertad efectivos. La fiabilidad de u(y) se considera suficiente:

• Si ninguna de las contribuciones tipo A empleadas en la determinación de u(y) se ha efectuado con menos de diez valores.

• Las estimaciones tipo B son seguras.

– Si se dan las dos condiciones anteriores [normalidad y fiabilidad de u(y)], debe utilizarse (k=2) para una incerti-dumbre expandida correspondiente a una probabilidad de cobertura del 95 %, aproximadamente.

• EA, señala que estas condiciones se satisfacen en la mayor parte de los casos que se presentan en el trabajo de calibración




Parte 3 Diap. 8

– La utilización de intervalos de incertidumbre con una probabilidad de cobertura aproximadamente igual es esencial para comparar los resultados de diferentes mediciones como, por ejemplo

• cuando se evalúan los resultados de una comparación entre laboratorios,

• cuando se comprueba el cumplimiento de una especificación o,

• cuando se establecen las incertidumbres del alcance de acreditación de un laboratorio de calibración




Parte 3 Diap. 9

Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA NO SUFI-CIENTEMENTE FIABLE

– Si no es factible • Incrementar el número de repeticiones en las

estimaciones tipo A con n<10• Ni sustituir éstas por evaluaciones tipo B

La solución es incrementar convenientemente el factor k para conseguir una probabilidad de cober-tura aproximadamente igual al 95 %.




Parte 3 Diap. 10

• Como la fiabilidad de la incertidumbre típica asignada al resultado depende de los gradosde libertad efectivos, se procede aplicando los siguientes criterios:

– Al estimar el número de grados de libertad efectivos, νef , del resultado u(y) hay que tener en cuenta:

• si algunas determinaciones tipo A se hacen con un número de grados de libertad ν = n-1 < 9, o

• si existen contribuciones de incertidumbre evaluadas tipo B




Parte 3 Diap. 11

• Las estimaciones tipo A se consideran con sus grados de libertad (ν = n-1 en modelos sencillos)

• Las estimaciones tipo B se admiten como muy seguras por lo que ν = ∞.

– EA-4/02 recomienda la fórmula de Welch-Satterthwaite para combinar los grados de libertad de cada variable y obtener el número de grados de libertad efectivos, νef.

∑=

=N

i i

i yuyu

1

4

4

ef )()(

ν

ν




Parte 3 Diap. 12

– A partir del número de grados de libertad efectivos se determina el factor de cobertura (k) con la tabla E-1 del documento EA-4/02 sobre la base de una distribución t evaluada para una probabilidad de cobertura del 95%, aproximadamente, redondean-do el valor del número de grados de libertad efectivos, νef, al entero más próximo por defecto.

2,002,052,132,282,372,432,522,652,873,314,5313,97k

∞50201087654321νef




Parte 3 Diap. 13

– Cuando alguna de las condiciones:

• Incertidumbre típica suficientemente fiable

• Distribución normal

no se satisface, el uso de k = 2, puede propor-cionar una probabilidad de cobertura inferior al 95%.



Parte 3 Diap. 14

HIPÓTESIS DE NORMALIDAD NO ASUMIBLEHIPÓTESIS DE NORMALIDAD NO ASUMIBLE

– Es necesario identificar una función de densidad que se adapte razonablemente a la variable de salida y con ella deberá obtenerse el valor de k que permita construir un intervalo de confianza del 95%, aproximadamente, a partir de la estimación u(y) de la incertidumbre típica del resultado.

– En el trabajo habitual de los laboratorios de calibración esta circunstancia no suele presentarse casi nunca, pero se indica a continuación una primera aproximación a este problema.



Parte 3 Diap. 15

Función de densidad de la suma de dos variables aleatorias (no está en EA-4/02)Función de densidad de la suma de dos variables aleatorias (no está en EA-4/02)

integral de convolución



Parte 3 Diap. 16

SUMA de contribuciones UNIFORMESSUMA de contribuciones UNIFORMES

a-a X1

-b bX2

a+ba-bYCuando X1 y X2 tienen la misma distribución uniforme,

la suma resulta triangular entre -2a y +2a.



Parte 3 Diap. 17

Simulación de f(Y) con Y=X1+X2Simulación de f(Y) con Y=X1+X2



Parte 3 Diap. 18

Simulación de f(Y) con Y=X1+X2Simulación de f(Y) con Y=X1+X2

Y

k = Uu

Y

UU

m

95 % 95% cobertura U



Parte 3 Diap. 19

EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDAEN LOS CERTIFICADOS DE CALIBRACIÓN

EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDAEN LOS CERTIFICADOS DE CALIBRACIÓN

• EA ha establecido la forma en la que debe expresarse la incertidumbre que se facilita en los certificados de calibración, de acuerdo con el procedimiento de cálculo adoptado según la clasificación que acabamos de ver.



Parte 3 Diap. 20

• Resultado de la medida en los certificados de calibración:– Estimación del mensurando, y

– Incertidumbre expandida asociada, U, en la forma (y ± U), con la correspondiente unidad SI.

– Además, debe añadirse una nota explicativa dependiente del procedimiento de estimación adoptado y que se recoge a continuación.



Parte 3 Diap. 21

• DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA SUFICIENTEMENTE FIABLE

Nota explicativa:– La incertidumbre de medida expandida facilitada se ha

obtenido multiplicando la desviación típica de la medida por el factor de cobertura k=2, que corresponde a una probabilidad de cobertura aproximada del 95% para una distribución normal. La incertidumbre típica de la medida se ha determinado de acuerdo con la publicación EA-4/02.



Parte 3 Diap. 22

• DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA NO SUFICIENTEMENTE FIABLE

Nota explicativa:– La incertidumbre de medida expandida facilitada se ha

obtenido multiplicando la desviación típica de la medida por el factor de cobertura k=XX, que corresponde a una probabilidad de cobertura aproximada del 95% para una distribución t con νef=XX grados de libertad efectivos. La incertidum-bre típica de la medida se ha determinado de acuerdo con la publicación EA-4/02.



Parte 3 Diap. 23

• HIPÓTESIS DE NORMALIDAD NO ASUMIBLE

– Aunque el documento EA-4/02 no indica el texto de la nota explicativa en este caso, puede deducirse que dicha nota debería ser similar a la del apartado inmediatamente anterior, pero especificando la distri-bución adoptada para obtener un intervalo de con-fianza del 95%, aproximadamente, a partir de la desviación típica estimada para el resultado de la medida.



Parte 3 Diap. 24

• REDONDEO DE LOS RESULTADOS

– EA-4/02 indica que el valor de la incertidumbre de medida debería darse con dos cifras significativas, como máximo.

– El valor numérico del resultado de la medida debería figura en su expresión final redondeado a la menor cifra significativa considerada en la incertidumbre expandida asignada al resultado de la medida.



Parte 3 Diap. 25

– Pueden emplearse las reglas habituales de redondeo de números recogidas en la norma ISO 31-0:1992, pero si el redondeo por defecto supusiese una reducción de la incertidumbre superior al 5%, se aplicará el redondeo por exceso

– EN LA PRÁCTICA:• Resultado final redondeado (a E o E/2 en medidas

directas).

• U redondeada igual que el resultado.

• Resultados intermedios, se trabaja con más cifras,

redondeando al obtener los valores finales.



Parte 3 Diap. 26

– Se mide un mensurando X1 • Instrumento E=0,1 mm• Resultado bruto indicado en la primera fila de la tabla. • Resultado final, Y

– Se obtiene aplicando tres correcciones aditivas, X2 , X3 y X4

– Y= X1+X2+X3+X4

Contribuciones xi (mm)

ui(y) (mm)

1 48,32 0,60 2 1,10 0,41 3 1,85 0,52 4 0,003 55 0,000 48

Resultado 51,273 55 0,893 59

Ejemplo:



Parte 3 Diap. 27

• La desviación típica resultante es:

• U ≈ 2 ⋅ 0,89359 = 1,78718 mm

• Resultado final: (51,3 ± 1,8) mm

• La incertidumbre de medida expandida facilitada se ha obtenido multiplicando la desviación típica de la medida por el factor de cobertura k=2, que corresponde a una probabilidad de cobertura aproxima-da del 95% para una distribución normal. La incertidumbre típica de la medida se ha determinado de acuerdo con la publicación EA-4/02.

mm 89359,0)()()()()( 24

23

22

21 ≈+++= yuyuyuyuyu

Ejemplo:



Parte 3 Diap. 28

Otras consideraciones sobre redondeosOtras consideraciones sobre redondeos

valores (mm)

Resultado redondeado 51,3 Resultado de cálculo 51,273 55

Diferencia 0,026 45 2•0,893 59 1,787 18 + 0,026 45

Incertidumbre inicial U=2u

1,813 63 Incertidumbre final 1,8



Parte 3 Diap. 29

Xi xi u(xi) Distri-bución hi ui(y)

X1 48,32 0,60 Normal 1 0,60 X2 1,10 0,41 Uniforme 1 0,41 X3 1,85 0,52 Normal 1 0,52 X4 0,003 55 0,000 48 Uniforme 1 0,000 48

Y 51,273 55 0,893 59

51,3-51,273 55

0,026 45

U=2u=2·0,893 59=1,787 18+0,026 451,813 63

51,3 ± 1,8

Ejemplo:



Parte 3 Diap. 30

• Redondeo de U por exceso

– Proporciona mayor seguridad.

– Equivalente a incrementar el factor de cobertura.

– Casos en los que los criterios de normalidad de la distribución o de fiabilidad de la desviación típica se satisfacen en condiciones límites, el redondeo ayuda a conseguir una probabilidad de cobertura de, aproximadamente, el 95%.



Parte 3 Diap. 31

Inventario de contribucionesInventario de contribuciones

0,044 60,893 5951,27355Y

0∞0,000 481Uniforme0,000 480,003 55X4

0,012 260,521Normal0,521,85X3

0∞0,411Uniforme0,411,10X2

0,032 440,601Normal0,6048,32X1

νiui(y)hiDistribuciónu(xi)xiXii

i yuν

)(4

Según EA-4/02 Ampliación AMSP



Parte 3 Diap. 32

Xi xi u(xi) Distri-bución hi ui(y) νi

X1 48,32 0,60 Normal 1 0,60 4 0,032 4

X2 1,10 0,41 Uniforme 1 0,41 ∞ 0

X3 1,85 0,52 Normal 1 0,52 6 0,012 2

X4 0,003 55 0,000 48 Uniforme 1 0,000 48 ∞ 0

Y 51,273 55 0,893 59 0,044 6

i

i yuν

)(4

3,146044,0

59893,0)(

)( 4

4

4

ef ≈==

∑i i

i yuyu

ν

ν 28,210ef =⇒= kν

51,3-51,273 55

0,026 45

U=2,28u=2,28·0,893 59=2,037 39+0,026 452,063 8451,3 ± 2,1



Parte 3 Diap. 33

0,044 60,893 5951,27355Y

0∞0,000 481Uniforme0,000 480,003 55X4

0,012 260,521Normal0,521,85X3

0∞0,411Uniforme0,411,10X2

0,032 440,601Normal0,6048,32X1

νiui(y)hiDistribuciónu(xi)xiXii

i yuν

)(4

Según EA-4/02 Ampliación AMSP



Parte 3 Diap. 34

14,3

valores (mm)

Resultado redondeado 51,3 Resultado de cálculo 51,273 55

Diferencia 0,026 45 2,28• 0,893 59 2,037 39 + 0,026 45

Incertidumbre inicial U=2,28u

2,063 84 Incertidumbre final 2,1

2,002,052,132,282,372,432,522,652,873,314,5313,97k

∞50201087654321νef

(51,3 ± 2,1) mm



Parte 3 Diap. 35


• Criterios ENAC (EA).• Inc. Expandida y probab. de cobertura (95%).• Distribución resultante normal.• Inc. típica suf. fiable → k=2.• Inc. típica no suf. fiable → k (Welch-Sattertwaite).• Distribución resultante no normal: convolución.• Otras técnicas.• Expresión de certificados de calibración.• Modelo de correcciones aditivas.• Redondeos.• Tablas de inventario de incertidumbre.• Aclaraciones.



Parte 3 Diap. 36


Calibración de un Medidor de

Desplazamientoscon M1CH

Calibración de un Medidor de

Desplazamientoscon M1CH

Jesús de Vicente y Oliva

Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH


1.2305

1.2303

Palpador Móvil M1CH

SensorPalpador

del sensor

Unidad deLectura del

SensorUnidad de

Lectura M1CH

Bancada M1CH

PalpadorFijo

M1CH

SoporteEspecial

CarroMóvil

IntroducciónIntroducción



Esquema GeneralEsquema General

• N puntos de calibración (uniformemente distribuidos)

• n series de medida (ascendentes)

• Se trabaja con las desviaciones d = xM1CH − xsensor

• Se realiza un “cero” simultáneo en los lectores de la M1CH y del sensor al comienzo

• Se comprueba la deriva del “cero” al finalizar la calibración



SENSOR

E = 0,0005 mm

C = 0 a 60 mm

M1CH(Referencia)

E = 0,0001 mm

C = 0 a 300 mm

1.2305

1.2303

Datos de los InstrumentosDatos de los Instrumentos



Fuentes de IncertidumbreFuentes de Incertidumbre

• Referencia (calibración M1CH)

• Repetibilidad

• Divisiones de Escala

• Desalineamiento sensor-M1CH

• Temperatura (Dilatación diferencial)

• Deriva del “cero”

• Otras



Lecturas de la M1CH ijx0 (mm) Lecturas del sensor ijx (mm)

0.0020 0.0010 0.0007 0.0004 0.0006 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 0.00055.9996 6.0001 5.9999 5.9990 6.0007 6.0000 6.0005 6.0005 5.9995 6.0010

12.0001 12.0011 11.9997 12.0001 12.0009 12.0000 12.0005 11.9995 12.0000 12.000518.0016 18.0009 18.0006 18.0012 18.0018 18.0010 18.0000 18.0000 18.0000 18.000524.0005 24.0011 24.0021 24.0021 24.0018 24.0000 24.0000 24.0010 24.0010 24.000530.0024 30.0022 30.0011 30.0024 30.0013 30.0010 30.0010 30.0000 30.0015 30.000536.0026 36.0015 36.0017 36.0010 36.0022 36.0010 36.0005 36.0005 36.0000 36.001042.0022 42.0030 42.0026 42.0010 42.0015 42.0010 42.0015 42.0010 41.9995 41.999548.0032 48.0020 48.0022 48.0023 48.0018 48.0005 47.9995 48.0000 48.0000 47.999554.0009 54.0027 54.0030 54.0011 54.0013 53.9995 54.0015 54.0015 53.9995 53.999560.0025 60.0020 60.0005 60.0018 60.0011 60.0010 60.0005 59.9995 60.0010 60.0000

Nº puntos de calibración N = 11Nº de repeticiones n = 5

CalibraciónCalibración



Campo de medida C = 0 a 60 mm

Nominal (mm) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

C. global Gc0 (μm) 0.0

+0.5 -0.4 +0.1 +0.6 +0.5 +1.4 +1.6 +1.2 +2.7 +1.4 +1.5+0.0 -0.4 +0.6 +0.9 +1.1 +1.2 +1.0 +1.5 +2.5 +1.2 +1.5+0.2 -0.6 +0.2 +0.6 +1.1 +1.1 +1.2 +1.6 +2.2 +1.5 +1.0+0.4 -0.5 +0.1 +1.2 +1.1 +0.9 +1.0 +1.5 +2.3 +1.6 +0.8

Diferencias (μm)

ijijij xxd −= 0

+0.1 -0.3 +0.4 +1.3 +1.3 +0.8 +1.2 +2.0 +2.3 +1.8 +1.1

V. Medio id (μm) +0.24 -0.44 +0.28 +0.92 +1.02 +1.08 +1.20 +1.56 +2.40 +1.50 +1.18

Repetibilidad is (μm) 0.21 0.11 0.22 0.33 0.30 0.24 0.24 0.29 0.20 0.22 0.31

Corrección ic (μm) +0.24 -0.44 +0.28 +0.92 +1.02 +1.08 +1.20 +1.56 +2.40 +1.50 +1.18

Evaluación de los Resultados de la CalibraciónEvaluación de los Resultados de la Calibración



L0

L

θ

( )221

00 1

cosθ+⋅≅

θ= L

LL

min 10=θmax

DesalineamientoDesalineamiento



α,T

Hipótesis: Dilatación Lineal

C5020SALA )º,( ±=T0

α0,T0

Dilatación DiferencialDilatación Diferencial

[ ] [ ])º()º( CTLCTL 201201 000 −α+⋅=−α+⋅



Deriva del “cero”Deriva del “cero”

α,T C5020SALA )º,( ±=T0

α0,T0

αB,TB

Una variación en la temperatura TB de la bancada durante la realización de la medida provoca un desplazamiento del “cero” de la medidora



Control de la deriva del “cero”Control de la deriva del “cero”

• Al final de la calibración se vuelve a “hacer cero” y se anota la lectura Z = | xsensor − xM1CH |

• Si Z supera un cierto valor máximo Zmax se considera que la deriva ha sido excesiva y debe repetirse la calibración

• Si Z es inferior a Zmax la acepta la calibración como correcta y la corrección por deriva del “cero” es inferior a Zmax

3)( maxZ

cu =DZDistribución Uniforme



DZ0DEDETA0G ccccccdn

cn

jiji ++++++= ∑

=1

1

Función ModeloFunción Modelo

Desviaciones

C. Global(M1CH)

C. por Alineamiento

C. por Temperatura

Correcciones porDivisión de Escala

Corrección porDeriva del Cero



Certificado de Calibración M1CHCertificado de Calibración M1CH



• No se conocen las correcciones de calibración local c0i(xi)

• No se conoce su incertidumbre

Se utilizará una corrección global nula c0G

m G μ+= 000 ,c

Ver Guía ISO-GUM F.2.4.5

Calibración M1CHCalibración M1CH



-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 50 100 150 200 250 300 350

Punto de Calibración (mm)

Corr

ecci

ón d

e Ca

libra

ción

(um

)

c0G = 0,0 μm U(c

0G)

U(c

0G)

U(c0G) = 2,0 μm

c0i

U(c0i)


U(c0i)




-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 50 100 150 200 250 300 350

Punto de Calibración (mm)

Cor

recc

ión

de C

alib

raci

ón (u

m)

U(c0G) = [ 1,0 + L(mm) / 300 ] μm




Se acepta que las correcciones de calibración de la M1CHverifican las especificaciones:

ctecUc =≤ )( GG 00

Por tanto, se supone que c0G se distribuye uniformementeentre ±U(c0G)

LBAcUc ⋅+=≤ )( GG 00ó

330

0ctecU

cu ==)(

)( GG ó

30LBA

cu⋅+

=)( G



∑=

=N

iis

Ns

1

21

RepetibilidadRepetibilidad



RepetibilidadRepetibilidad

m μ=

=++++++++++

=

== ∑=

25011

310220200290240240300330220110210

1

22222222222

1

2

,

,,,,,,,,,,,

N

iis

Ns



imax xc 02

21

A ⋅θ≤

0 imax xa 02

21 ⋅θ+=a−

imax x

acu 0

2

A 323⋅θ==)( ii xxcu 0

60

2

A 104232

180rad

min 601min10

⋅×=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

××= −,

º

º

)(

DesalineamientoDesalineamiento

L0

L

θ

L0

LLL

θ

( )221

00 1

cosθ+⋅≅

θ= L

LL

min 10=θmax



[ ] ixTTTc ⋅−⋅α−−Δ+⋅αΔ+α= )º()º()(T CC 2020

Coef. DilataciónSensor

TemperaturaSensor

Diferencia de αΔα = α0 − α

Diferencia de TΔT = T0 − T


α,T C5020SALA )º,( ±=T0

α0,T0

0

α0,T0

[ ] [ ])º()º( CTLCTL 201201 000 −α+⋅=−α+⋅

Acero : α ≈ 12×10−6 K−1



0=∂∂T

cT 0=α∂

∂ Tci

T xT

c ⋅α=Δ∂

∂0=

αΔ∂∂ Tc

)()()( Tuxu i Δ⋅⋅α=T c



Jesús de Vicente y OlivaHoras

T (º

C)

Azul: AireRojo: SensorVerde: M1CH

M1CH: τ = 4 horasSensor: τ = 30 min




19.5 20 20.5200400600800

10001200 Temperatura Ambiente

Media: 19,930 ºCDesviación Típica: 0,141 ºC

19.8 19.9 20 20.1 20.2200400600800

100012001400 Temperatura M1CH (τ = 4 horas)


19.8 19.9 20 20.1 20.2200400600800

10001200 Temperatura Sensor (τ = 30 min)


-0.2 -0.1 0 0.1 0.2200400600800

100012001400

Diferencia Media Sensor - M1CHMedia: -0,008 ºCDesviación Típica: 0,053 ºC




52 54 56 58 6019

19.4

19.8

20.2

20.6

21

Horas Horas

Azul: Aire Rojo: Sensor Verde: M1CHM1CH: τ = 4 horasSensor: τ = 30 min

T (º

C)




19 19.5 20 20.5 21100200300400500

Temperatura AmbienteMedia: 20,001 ºCDesviación Típica: 0,302 ºC

Temperatura M1CH (τ = 4 horas)Media: 19,996 ºCDesviación Típica: 0,058 ºC

Temperatura Sensor (τ = 30 min)Media: 20,001 ºCDesviación Típica: 0,226 ºC

Diferencia Media Sensor - M1CHMedia: 0,005 ºCDesviación Típica: 0,192 ºC

19.5 20 20.5

200400600

19 19.5 20 20.5 21

200

400

600

-0.8 -0.4 0 0.4 0.8100200300400500




Temperatura AmbienteMedia: 20,000 ºCDesviación Típica: 0,289 ºC

Temperatura M1CH Media: 20,000 ºCDesviación Típica: 0,289 ºC

Temperatura Sensor Media: 20,000 ºCDesviación Típica: 0,289 ºC

Diferencia Media Sensor - M1CHMedia: 0,005 ºCDesviación Típica: 0,409 ºC

20 20.519.5

20 20.519.5

20 20.519.5

0 +1-1




)()()( Tuxu i Δ⋅⋅α=T c

ii

imax

i

xx

xT

Tuxu

⋅×=⋅×⋅⋅=

=⋅α⋅Δ=Δ⋅⋅α=

−−− 616

T

1074K105116

K5026

2

,,º,

)()()(c

DistribuciónTriangular


Material: Acero α ≈ 11,5×10−6 K−1



EE/2

m 1403

2m 503DE μ=

μ== ,,

)(2E

cu

m 0303

2m 1030DE μ=

μ== ,,

)(2E0cu

División de EscalaDivisión de Escala



Deriva del “cero”Deriva del “cero”

• En el procedimiento de calibración se fija Zmax = 0,5 µm

• La lectura Z = xsensor – xM1CH obtenida al terminar la calibración ha sido Z = 0,3 µm

• Dado que |Z| ≤Zmax se acepta la calibración

m m DZ μ=

μ== 29,0

35,0

3)( maxZ

cu



E.:g.d.l.:C.S.:

Balance de IncertidumbresBalance de Incertidumbres

E.: Estimación de la magnitudg.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad



Balance de IncertidumbresBalance de Incertidumbres

0 10 20 30 40 50 600.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

X (mm)

u(c)

( μm

)

26622 )106,5(108,3)67,0()( iiki xxmucu ⋅×+⋅μ×+μ== −−∑ m



Grados de LibertadGrados de Libertad

42

4

4

4

4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅ν=

ν

=

ν

=ν

∑s

cusn

s

ns

cu

u

cuc ii

k k

k

ii

)()(

)(

]/[

)()()(

iteSatterthwa-Welch deFórmula 444 3444 21

74656250670445

42

m m

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μμ

⋅⋅≥ν,

,)( ic



Grados de Libertad y Factor de CoberturaGrados de Libertad y Factor de Cobertura

0 10 20 30 40 50 600.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 x 105

X (mm)

ν[u(

c)]

Factor de cobertura k (95%) :



• Más de 3 componentes

• Las componentes mas importantes están, mas o menos, equilibradas y provienen de distribuciones uniformes o normales.

Se acepta la validezdel Teorema Central del Límite

El número de g.d.l.

es elevado k = 2

Coeficiente de CoberturaCoeficiente de Cobertura

2662

2

106510836702 ),(,),(

)()(

ii

kii

xxm

ukcukcU

⋅×+⋅μ×+μ⋅=

⋅=⋅=

−−

∑m

Doc. EA-4/02



Incertidumbre ExpandidaIncertidumbre Expandida

26622 106510836702 ),(,),()()( iikii xxmukcukcU ⋅×+⋅μ×+μ⋅=⋅=⋅= −−∑ m

0 10 20 30 40 50 601.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

X (mm)

U(c

) (μm

)



RedondeoRedondeo

1. Se elige un número de cifras significativas que,como mucho, conduzan a dos cifras en la incertidumbre

2. Se redondea la corrección ci

3. Se halla la diferencia E ientre la ciredondeada y sin redondear

4. Se evalúa la suma |E i|+U(ci)

5. Se redondea al alza el resultado del apartado 4



Xi (mm) Ci (μm) U(Ci) (μm) Ci (μm) Ei (μm) U(Ci) (μm)0 0.24 1.34 0.2 0.04 1.46 -0.44 1.38 -0.4 -0.04 1.512 0.28 1.41 0.3 -0.02 1.518 0.92 1.45 0.9 0.02 1.524 1.02 1.49 1.0 0.02 1.630 1.08 1.54 1.1 -0.02 1.636 1.20 1.58 1.2 0.00 1.642 1.56 1.63 1.6 -0.04 1.748 2.40 1.68 2.4 0.00 1.754 1.50 1.73 1.5 0.00 1.860 1.18 1.78 1.2 -0.02 1.8

Sin Redondear Redondeo

ResultadosResultados



La calibración realizada se toma como calibración tipo

Las condiciones en las que se ha realizado dicha calibración son:– “Razonables”

– Óptimas

Capacidad Óptima de MedidaCapacidad Óptima de Medida

0 10 20 30 40 50 601.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

X (mm)

U(c

) (μm

)

U com= 1,4 μm + 0,007⋅x



Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor

Descripción del uso del sensor

El sensor se va a utilizar para medir el desplazamiento horizontal de una mesa XY de un microscopio o proyector de perfiles (de eje vertical).

Se usa en la calibración de patrones de trazos

Sobre cada trazo se realiza una única medida

Sensor

Lector




Lista de fuentes de incertidumbre:

• Referencia (calibración del sensor)

• Repetibilidad

• División de Escala

• Desalineamiento sensor - eje X

• Temperatura

• Deriva del “cero”

• Otras




DZDETAG cccccL +++++= l

Lectura Bruta

C. Global(Sensor)

C. por Alineamiento

C. por Temperatura

Corrección porDivisión de Escala

Corrección porDeriva del Cero

Función modelo:




-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

0 10 20 30 40 50 60

X (mm)

Corr

ecci

ones

de

Calib

raci

ón (u

m)

Corrección de calibración global nula :

U(cG) = [ 2,0 + L(mm) / 20 ] μm




Repetibilidad de las lecturas l :

La experiencia previa del laboratorio permite asegurar que, para el tipo de medidas consideradas, la repetibilidad estimada como una desviación típica están entre 0,2 y 0,3 µm

m 30 μ≤= ,)( su l




Alineamiento :

l⋅θ≤ 221

A maxc

0 l⋅θ+= 221maxaa−

l⋅θ

==323

2

Amax)(

acu ll ⋅×=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

××= −6

2

A 104232

180rad

min 601min 10

,º

º

)(cu

minutos 10=θmax



l⋅−⋅α−= )º(T C20Tc

Coef. DilataciónSensor

TemperaturaSensor

Sensor Acero : α ≈ 12×10−6 K−1

Patrón de Trazos Zerodur : ≈ 0Temperatura Sala : (20 ± 2) ºC


Temperatura :

l

l

l

⋅×=

⋅⋅×=

=⋅⋅α=

−

−−

6

16

10143K 2K1012

)()( T Tucu

Distribución Uniforme




EE/2

m 1403

2m 503DE μ=

μ== ,,

)(2E

cu

División de Escala :



• En el procedimiento de calibración se fija Zmax = 1,0 µm

• Se anota la lectura Z obtenida al regresar al primer trazo, despues de haber finalizado la calibración del patrón

• Si |Z| ≤Zmax se acepta la calibración. En caso contrario se repite la calibración.

m 5803m 01

3DZ μ=μ

== ,,

)( maxZcu


División de Escala :




E.: Estimación de la magnitudg.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad

Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S.Contribución a la

Incertidumbre

C. global Sensor Gc 3

1050m 2 6 l⋅×+μ − ∞ Uniforme 1

31050m 2 6 l⋅×+μ −

Lectura (Repetibilidad) l m 300 μ= ,s ∞ Normal 1 m 300 μ,

Desalineamiento Ac l⋅×= −6A 1042,)(cu ∞ Uniforme 1 l⋅× −61042,

Dilatación Diferencial Tc l⋅×= −6

T 1014 )(cu ∞ Uniforme 1 l⋅× −61014

División de Escala (sensor) DEc m DE μ= 140,)(cu ∞ Uniforme 1 m μ140,

Deriva del “cero” DZc m 580DZ μ= ,)(cu ∞ Uniforme 1 m 580 μ,

Corrección local l=L

Incertidumbre Combinada 222 ll ⋅+⋅+== ∑ cbauLu k)(



0 10 20 30 40 50 60

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

L (mm)

u(L)

( μm

)26622 10321067m 31 )(),()( ll ⋅×+⋅μ×+μ== −−∑ muLu k




2662

2

10321067m 312 )(),(

)(

ll ⋅×+⋅μ×+μ⋅=

=⋅=

−−

∑m

ukLu k





es infinito k = 2

Coeficientede

Cobertura

Coeficientede

CoberturaDoc. EA-4/02




0 10 20 30 40 50 602.5

3

3.5

4

4.5

5

L (mm)

U(L

) (μm

)

U(L) = [ 2,7 + L(mm) / 3

0 ] μm


Sistemas Interferométricos

Láser

Sistemas Interferométricos

Láser


Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Sistemas Interferométricos Láser


LÁSERLÁSER

• Alta monocromaticidad: capacidad para emitir luz de un sólo color

• Baja divergencia de haz: el haz luminoso es prácticamente un cilindro.

• Alto brillo

Light Amplification by Stimulated Emission of RadiationAmplificación de luz por emisión estimulada de radiación

Fuentes luminosas con unas propiedades muy

características:



Clasificación de los Sistemas LáserClasificación de los Sistemas Láser



Clasificación de los Sistemas Láser InterforométricosClasificación de los Sistemas Láser Interforométricos



“Micrómetros Láser”“Micrómetros Láser”



Alineamiento mediante LáserAlineamiento mediante Láser



DifractometríaDifractometría



Fotodiodo

Piezoeléctricos

Sensor Láser ConfocalSensor Láser Confocal



Fotodiodo

Piezoeléctricos

Sensor Láser ConfocalSensor Láser Confocal



I = I + I2

1 + I - II + I

2 D - D R Mmax min max min

max mincos π

λ⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

Inferferómetro de MichelsonInferferómetro de Michelson

Fuente de Luz MonocromáticaLáser

Contador (de franjas)



El Batido de FrecuenciasEl Batido de Frecuencias

I = I + I + I - II + I

2 f - f t + 2 1max min max min

max mincos[ ( )

21 π φ]⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

f2

f1 I

Fotodiodo| f2 – f1 |



Interferómetros Láser Comerciales HeterodinosInterferómetros Láser Comerciales Heterodinos

• La fuente luminosa es un emisor láser bifrecuencia que emite dos frecuencias polarizadas en direcciones perpendiculares.

• El separador de haz es especial: distingue las frecuencias en función de su diferente dirección de polarización.

• Se substituyen los espejos planos por reflectores en forma de "esquina de cubo" (triedros trirrectángulos).



Inferferómetro HeterodinoInferferómetro Heterodino



Ventajas de los Sistemas HeterodinosVentajas de los Sistemas Heterodinos

• En un sistema monofrecuencia no es posible distinguir el sentido del movimiento.– En un sistema bifrecuencia, cuando el reflector móvil se acerca

al separador Δf > 0 y (f2+ Δf-f1)> (f2-f1). Si se aleja Δf < 0 y (f2+ Δf-f1)< (f2-f1).

– El sistema bifrecuencia o heterodino permite distinguir y automáticamente tener en cuenta el sentido del movimiento.

• Al igual que la recepción de emisiones de radio de FM es menos sensible al ruido que en el caso de AM, análogamente los sistemas bifrecuencia son también menos sensibles al ruido que los monofrecuencia



Propiedades de los RetrorreflectoresPropiedades de los Retrorreflectores

1ª Propiedad: el haz reflejado es paralelo al incidente



2ª Propiedad: la línea paralela a ambos haces y equidistante de los dos (línea media) pasa por el origen O del ángulo recto.




3ª Propiedad: Al girar el retrorreflector sobre el punto O, la distancia recorrida por el haz desde el emisor hasta el detector permanece constante.




4ª Propiedad: al desplazarse el retrorreflector una longitud e perpendicularmente al haz incidente, el haz de retorno se desplaza 2e.




Ópticas Láser: DesplazamientosÓpticas Láser: Desplazamientos



Ópticas Láser: DesplazamientosÓpticas Láser: Desplazamientos



Interferómetro para Medidas AngularesInterferómetro para Medidas Angulares



Esquema de la Medición de PlanitudesEsquema de la Medición de Planitudes



Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud



V1, N00 V2, NJ0

V3, NI0 V4, NIJ

PCPC

i

j

NijNij

Hi

Vj

D2D1

ETIQUETA




ET IQ U ETA







V1 V2

V3 V4

PC

V1 V2

V3 V4

PCPC

Captador del DMDA







-4

-4

-4-4

-4

-4

-4

-4

-2

-2

-2-2

-2

-2

-2 -6

-6

-6-6

-6

0

0

00

0

0

0

2

2

2

2 2

2

2

4

4

4

-8

-8

-8

4

4

6

666

6

4

4

8

8

88

6-6

-6

10

-10

-10

8 10

12

10 12

-8

12

14

14

14

16

x (mm)

y (m

m)

Mapa de Cotas

0 100 200 300 400 500 600 700-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

Cot

as e

n m

icro

met

ros

-10

-5

0

5

10

15





(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (0) 16.4 12.0 9.5 7.3 4.1 0.1 -3.8 -5.1 -5.2 -4.1 -1.9 0.1 1.7 4.2 7.8 (1) 14.5 10.3 7.6 5.1 1.9 -1.4 -4.3 -5.5 -5.7 -4.7 -2.9 -1.0 0.8 3.9 8.0 (2) 10.1 2.8 -0.3 0.4 -0.2 -3.6 -5.7 -6.8 -6.5 -5.6 -4.0 -2.3 -0.1 3.5 8.4 (3) 4.4 -5.5 -6.7 -4.8 -2.5 -5.4 -7.2 -7.7 -7.0 -6.2 -4.5 -2.9 -0.5 3.4 8.8 (4) 3.4 -6.8 -7.7 -4.7 -4.4 -7.5 -8.5 -8.3 -7.4 -6.2 -4.5 -2.8 -0.2 3.8 9.6 (5) 7.6 -0.8 -2.2 -2.7 -6.3 -10.2 -10.7 -9.5 -7.6 -6.0 -4.2 -2.4 0.5 4.8 10.7 (6) 12.1 6.5 3.4 0.3 -4.7 -8.2 -9.6 -8.6 -5.7 -3.6 -2.0 -0.2 2.9 7.2 12.7 (7) 15.6 11.6 8.4 5.1 1.3 -2.7 -4.3 -3.5 -1.1 0.6 2.3 4.5 7.3 11.6 17.2 ETIQUETA

cotas en μm



Medida de Defectos de RectitudMedida de Defectos de Rectitud



Medida del Defecto de RectitudMedida del Defecto de Rectitud



Patrón Óptico de PerpendicularidadPatrón Óptico de Perpendicularidad



Medida del Defecto de PerpendicularidadMedida del Defecto de Perpendicularidad



Factores que afectana la incertidumbre

de los Sistemas Interferométricos Láser

Factores que afectana la incertidumbre

de los Sistemas Interferométricos Láser



• No son instrumentos completos (son un “kit” de componentes)

• La experencia del usuario es clave

• Límite teórico de incertidumbre muy bajo (10-7)

• Tecnología diferente al resto de los instrumentos de metrología dimensional

Características PrincipalesCaracterísticas Principales



Clasificación de las Fuentes de IncertidumbreClasificación de las Fuentes de Incertidumbre

• Asociadas al propio instrumento

• Asociadas a la realización práctica del instrumento (colocación de las ópticas sobre el elemento a calibrar)

• Asociadas a la dilatación del elemento a medir



Fuentes de Incertidumbre asociadas al interferómetro

Fuentes de Incertidumbre asociadas al interferómetro

• Contador de franjas de interferencia• Interpolación de las franjas de interferencia• Longitud de onda en el vacío• Medida del índice de refracción:

– Presión– Temperatura del aire– Humedad– Concentración de CO2

– Ecuación de Edlén

• División de Escala



Unidad LectoraUnidad Lectora



Medida de la Temperatura del AireMedida de la Temperatura del Aire



Medida de la Presión AtmosféricaMedida de la Presión Atmosférica



Medida de la Temperatura del MaterialMedida de la Temperatura del Material



Componentes de un Sistema Interferométrico LáserComponentes de un Sistema Interferométrico Láser



Incertidumbre contador ± 1 cuenta

Resolución natural λ/2 ó λ /4 (0,3 μm ó 0,16 μm)

Resolución incrementada entre λ /8 y λ /1024(entre 0,1 μm y 0,6 nm)

Contador de Franjas de InterferenciaContador de Franjas de Interferencia



Calibración de la Longitud de OndaCalibración de la Longitud de Onda

• Si se utiliza el valor nominal de la longitud de onda en el vacío (disponiendo de un certificado de calibración que permite asegurar que cumple con especificaciones)

• Si se utiliza el valor certificado

• Coeficiente de sensibilidad

)()( 310 07

0 =λ⋅=λ − kU uniforme, dist.

07

0 10 λ⋅+λ −0λ0

70 10 λ⋅−λ −

)()( 2102 08

0 =λ⋅×=λ − kU nomral, dist.

0λ=λL

w



Interpolación de Franjas de InterferenciaInterpolación de Franjas de Interferencia

Los errores asociados a la interpolación de las franjas de interferencia son iguales o inferiores a ± 5 nm

)()( 35 == kcU uniforme, dist. nm I

nm5+0nm5−



n p T x xH O CO≅ f( , , , )2 2

Ecuación de Edlén

Sonda Desviación en la sonda

Desviación final

Presión 2 8, mm Hg 1 m / mμ

Temperatura 11, º C 1 m / mμ

Humedad 12% 0 1, m / mμ

CO2 670 ppm 0 1, m / mμ

Índice de RefracciónÍndice de Refracción

Incertidumbre de la Ec. Edlén ≤ 10−7



Sonda Incertidumbre de la sonda

Incertidumbre final

Presión 0 6, mm Hg 0 2, m / mμ

Temperatura 0 5, º C 0 5, m / mμ

Humedad 10% 0 1, m / mμ

CO2 400 ppm 0 1, m / mμ

Índice de RefracciónÍndice de Refracción

Valores Típicos



EE/2

m m E μ=

μ== 0030

32010

3,

,)(

2Ecu

División de EscalaDivisión de Escala



• Alineación del haz láser respecto del eje del desplazam iento

• Situación de las ópticas

• Errores de Abbé

• Cam inos ópticos no com pensados (“Dead-Path Errors“)

Realización práctica del interferómetroRealización práctica del interferómetro



θ⋅= cosLL0

Alineamiento: Errores de CosenoAlineamiento: Errores de Coseno



( )θ−⋅=θ⋅−=Δ coscos 1PP'PP'PP'L

2221

21111 θ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−−≅θ−=Δ

cosL

L

Alineamiento: Errores de CosenoAlineamiento: Errores de Coseno



AlineamientoAlineamiento

622

2

210350

30050

81

81

22

2−×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤θ

−≅Δ

,,

mm mm

L

eL

e

L

L MIN

MIN

mm 300=L

mm eMAX 50,=

310350 6 L

cu⋅×

=−,

)( AL



Colocación de las ÓpticasColocación de las Ópticas



Colocación de las ÓpticasColocación de las Ópticas



HIPÓTESIS:Rigidez de la bancadasuficientemente elevada

α ≅ 0

Situación de la Óptica FijaSituación de la Óptica Fija



Errores de AbbéErrores de Abbé



Con el fin de reducir al mínimo los errores producidos por los defectos en el guiado, el eje de medida del instrumento y

el eje de medida del mensurando deben ser coaxiales.

A EA≈ ⇒ ≈0 0

Principio de AbbéPrincipio de Abbé



Errores de AbbéErrores de Abbé

E AA MAX MAX mm sen10" = 2,4 m= + ⋅ ≅ ⋅sen γ μ50

342 m

ALμ

=,

)(cu



Caminos Ópticos No Compensados( “Dead-path Errors” )

Caminos Ópticos No Compensados( “Dead-path Errors” )



Mínimo Máximo Presión 700 2, mm Hg 700 9, mm Hg

Temperatura 20 1, º C 20 5, º C Humedad 46% 54%

Caminos Ópticos No CompensadosCaminos Ópticos No Compensados



Variación máxima

Coeficiente de influencia en el índice

de refracción Variación máxima en el

índice de refracción

ΔMAX ix( ) ∂ ∂n xi Δ ΔMAX i i MAX in n x x ( ) ( )= ⋅∂ ∂

Presión 0 7, mm Hg -17 Hgmm 1063 −×, 0 25 10 6, × -

Temperatura 0 4, º C -17 Cº 1029 −×, 0 37 10 6, × - Humedad relativa 8 % 8 5 10 9 1, × − − % 0 07 10 6, × -

ΔnMAX = × + × + × = ×− − − −0 25 10 0 37 10 0 07 10 0 69 106 6 6 6, , , ,

E D nD MAX MAX cm m= ⋅ = ⋅ × =−0

620 0 69 10 0 14Δ ( ) , , μ

Caminos Ópticos No CompensadosCaminos Ópticos No Compensados

3140 m

COμ

=,

)(cu



Desviaciones producidas en el punto 1000,000 mm de una regla de acero al variar su temperatura

Coeficiente de dilatación α = × −12 10 6 º C-1

Temperatura (ºC) Desviación (μm) 30,0 +120,0 25,0 +60,0 22,0 +24,0 21,0 +12,0 20,5 +6,0 20,2 +1,4 20,1 +1,2

Temperatura (ºC) Desviación (μm) 19,9 -1,2 19,8 -2,4 19,5 -6,0 19,0 -12,0 18,0 -24,0 15,0 -60,0 10,0 -120,0

Dilatación del MensurandoDilatación del Mensurando



( )[ ]RT TTLL −⋅α−⋅= 120

( )RTTT TTLLLc −⋅α⋅=−= 20

)()()( TUT

cU

ccU TTT

22

22

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+α⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂α∂

=

[ ] [ ]22 )()()()(

TUUTTL

cUR

T ⋅α+α⋅−=




( ) Cº 50020 ,, ±=SALAT

( ) -16 Cº 1001511 −×±=α ,, Cº 10,)( =TU )( 2=k

[ ] [ ] 22 )()()()(

TuuTTL

cuR

T ⋅α+α⋅−=

6

26

26

10630

1010511100120520

−

−−

×=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅×+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ×⋅−=

,

,,

,),(

)(

2K K

2K K 1-

1-

L

cu T





COOFABALTEICO 2

ccccccccxHTpnk

fLnA

++++++++

⋅λ

⋅=),,,(

1020

Conteode franjas

Longitud de ondaen el vacío

Factor deinterpolación presión

Temperatura del aire

Humedad Corrección por división de escala

Corrección por interpolación

Instrumento




COOFABALTEICO 2

ccccccccxHTpnk

fLnA

++++++++

⋅λ

⋅=),,,(

1020

Corrección por errores de Abbé

Corrección por alineamiento

Corrección por una incorrectacolocación de la Óptica Fija

Ópticas

Corrección por Caminos Ópticos no Compensados




COOFABALTEICO 2

ccccccccxHTpnk

fLnA

++++++++

⋅λ

⋅=),,,(

1020

Corrección por Dilatación del Mensurando



Incertidumbre asociada al InstrumentoIncertidumbre asociada al Instrumento

E.: Estimación de la magnitud g.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad

Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S. Contribución a la

Incertidumbre

Longitud de onda 0λ 3

10 07 λ⋅−

∞ Uniforme 0λL

L⋅× −610060,

Interpolación de las franjas de interferencia

Ic 3

5 nm ∞ Uniforme 1 m μ0030,

Presión p 2

60 mmHg ,)( =pu ∞ Normal

mmHg 8210 6

,

L− L⋅× −610210,

Temperatura del Aire AT

250 K ,

)( =Tu ∞ Normal K 11

10 6

,

L− L⋅× −610450,

Humedad H 2

%HR 10=)(Hu ∞ Normal

%HR121010 6L−×,

L⋅× −610080,

CO2 2COx

ppm

2CO 400=)(xu ∞ Uniforme ppm 670

1010 6L−×, L⋅× −610060,

Ecuación de Edlén nc

310 7−

∞ Uniforme L L⋅× −610060,

División de escala Ec

12010 m

Eμ

=,

)(cu ∞ Uniforme 1 m μ0030,

Incertidumbre asociada al instrumento Incertidumbre Combinada 2222 Lcauu k ⋅+== ∑ insinsins Lc

a

⋅×=

μ=−610520

0050

,

,

ins

ins m



Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S. Contribución a la Incertidumbre

Alineamiento ALc 3

10350 7 L⋅× −, ∞ Uniforme 1 L⋅× −610200,

Situación óptica fija OFc 0=)( OFcu ∞ Uniforme 1 0

Errores de Abbé ABc 3

42 m AB

μ=,


Caminos Ópticos No Compensados COc

3140 m CO

μ=,


Incertidumbre asociada a la

realización práctica del instrumento

Incertidumbre Combinada 2222 Lcauu k ⋅+== ∑ rprprp

Incertidumbre asociada a la realización práctica del Interferómetro

Incertidumbre asociada a la realización práctica del Interferómetro

E.: Estimación de la magnitud g.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad Lc

a

⋅×=

μ=−610200

41

,

,

rp

rp m



Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S. Contribución a la Incertidumbre

Dilatación del Mensurando Tc L⋅× −610630, ∞ Normal 1 L⋅× −610630,




)(][][)()( T2rp

2rp

2ins

2insT

2rp

2ins cuLcaLcacuuuLu 2222 +⋅++⋅+=++=

Incertidumbre de Uso del InterferómetroIncertidumbre de Uso del Interferómetro

26262262 106301020041105200050 ),(]),(),[(]),(),[()( LLLLu ⋅×+⋅×+μ+⋅×+μ= −−− m m

]),(),[()( 262 1084041 LLu ⋅×+μ= −m



]),(),[(

)()(

262 10840412 L

LukLU

⋅×+μ⋅=

=⋅=−m





es infinito k = 2

Doc. EA-4/02

Coeficiente de CoberturaCoeficiente de Cobertura

95% de Cobertura



Incertidumbre ExpandidaIncertidumbre Expandida

0 50 100 150 200 250 3002.74

2.76

2.78

2.8

2.82

2.84

2.86

L (mm)

U(L

) (μm

U(L) ≈ 3 μm



Otras fuentes de incertidumbreOtras fuentes de incertidumbre

• Repetibilidad del conjunto interferómetro-calibrando

• Deriva del cero del conjunto interferómetro-calibrando

Cuando el interferómetro láser se utiliza para calibrar otro instrumento, por ejemplo, una Máquina Medidora de Una Coordenada Horizontal (M1CH), es necesario considerar otras fuentes de incertidumbre asociadas al propio calibrando (M1CH) o al sistema conjunto interferómetro-calibrando:

Aplicaciones mecánicas en

calibración y medida

Aplicaciones mecánicas en

calibración y medida

Ponente: J. A. Madrona

Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida

Ponente: J. A. Madrona2

EJEMPLOS DE APLICACIONES EN METROLOGÍA MECÁNICA

EN LA CALIBRACIÓN Y USO DE:

1º UNA BALANZA MONOPLATO

2º UN MANÓMETRO

EJEMPLOS DE APLICACIONES EN METROLOGÍA MECÁNICA

EN LA CALIBRACIÓN Y USO DE:

1º UNA BALANZA MONOPLATO

2º UN MANÓMETRO



CALIBRACIÓN Y USO DE UNA BALANZA

MONOPLATO

CALIBRACIÓN Y USO DE UNA BALANZA

MONOPLATO



1. ENUNCIADO

2. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN

3. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN3.1. Patrón de calibración

3.2. Repetibilidad

3.3. Redondeo

3.4. Otras contribuciones no consideradas en este ejemplo

4. TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS

5. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO5.1. Corrección e incertidumbre global

5.2. Repetibilidad al medir

5.3. Redondeo

5.4 Excentricidad

5.5. Variación de temperatura

5.6. Otras contribuciones no consideradas en este ejemplo

6. RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA



• Calibración de una balanza monoplato,

SCI-M.01.05

• C= 210 g

• E=0,1 mg indicador digital,

• Calibración realizada por un laboratorio externo:

calibración “in situ”

• que será una periódica dentro de su Plan de Calibración,

ENUNCIADOENUNCIADO



• El propietario solicita que la calibración se realice para un uso de la balanza en el que:

– se ajusta la escala de la balanza previamente a su uso,con su masa interna

– se emplea con medidas absolutas,

– campo a calibrar: 100 mg a 200 g,en función del resto de balanzas y de la forma de los mensurandos



• Patrones: masas patrón de clase E2 según R111 (OIML)– se emplean con su valor nominal solo,

– juego reservado para calibraciones “in situ”, de un nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio externo,

con la deriva bien controlada

– juego hasta 200 g, con duplicados los múltiplos de 2x10n.

– certificado con:desviaciones al nominal en valor convencional según D48 (OIML),

incertidumbres

y clase (en lo referente a la desviación al nominal).



• Los valores de T para la desviación al nominal en la clase E2 según R111, son:

• la calibración se va a realizar en valor convencional según la D48.

• La temperatura de la sala durante la calibración:

19,5 ºC a 21 ºCcontrolada con termógrafo: Tmax - Tmin

Nominal 100mg 200mg 500mg 1g 2g 5g 10g 20g 50g 100g 200g

±T (mg) 0,016 0,020 0,025 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,1 0,16 0,3



• Finalmente, con los datos del certificado de calibración, el propietario determina la incertidumbre para el uso:– empleo con una sola medida

– para medir objetos de acero

– efecto de la temperatura para la variación máxima de ±3ºCmanual del fabricante: tc ≤ 1,5×10-6/K entre 10 ºC y 30 ºC

– no realizar correcciones de calibración

– efecto del descentramiento de cargas– se miden objetos con diversas formas



DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN


• Conforme a EURAMET/cg-18 y G-ENAC-13

• debe reproducir el empleo del instrumento a calibrar,

• uso con medidas absolutas ⇒procedimiento: medir masas patrón conocidas

• la calibración se va a realizar determinando:– la corrección de calibración, y– la incertidumbre de calibración.

• los parámetros metrológicos que se van a determinar en la calibración serán:– Repetibilidad– Corrección de calibración



• REPETIBILIDAD:– en 2 puntos:

• valores máximo y medio del campo calibrado:

100 g y 200 g– en cada uno: 10 repeticiones.

• CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN:– en 6 puntos:

• aprox. equidistantes

• incluyendo el mínimo y el máximo

• aprovechando los puntos de la repetibilidad:

100 mg, 2 g, 50 g, 100 g, 150 g y 200 g– en cada punto (excepto en los de repetibilidad) se realiza 1

medida (así se mide en el uso de la balanza).

– se siguen series crecientes, pasando por 0 entre cargas.



• Denominando:

lij = indicación de la balanza para la medida de la masa patrón, de orden j (j =1 a 10) en el punto i (i =1 a 2), para la repetibilidad

li = indicación de la balanza en el punto i (i =1 a 6), para la corrección de calibración,

mpi = valor de la masa patrón con nominal correspondiente al punto i,

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN




FUNCIÓN MODELOEl modelo de la corrección local:

Aplicando la ley de propagación de varianzas:

medidas) 10 de (puntosCE0EDmp0Ec ++−+=++= CLCMCCCC iiiEii pc

medida) 1 de (puntosCE0EDmppc0Ec ++−+=++= CLCMCCCC iiiEii

medida) (1)()()()()()( E02

E22

Dmp22

mpcE2

c22 cucuscuucucucu giiii ++++=+=

medidas) (10)()(10

)()()()( E02

E2

Dmp22

mpcE2

c22

2

cucuscuucucucu iiiii ++++=+=



ESTIMACIÓN DE CORRECCIONES Y CONTRIBUCIONES A LA INCERTIDUMBRE DE CALIBRACIÓN LOCAL

Corrección de calibración

–Valor del patrón indicado en su certificado, mpi

–Valor medio, li en el punto i para la determinación de la repetibilidad:

–Corrección de calibración, cci, en el punto i:

∑=

=10

1101

jiji ll

iii lc −= pc m (puntos de 10 medidas)

iii lc −= pmc (puntos de 1 medida)



• Entonces la contribución de incertidumbre por el Patrón de calibración umpi , se obtendrá con los criterios:

– Combinación de patrones:

– Si para constituir un nominal se emplean n masas patrón de un mismo juego ⇒ correlación total

– correlación total ⇒ composición de las incertidumbres típicas mediante una ley lineal:

∑=

=n

ji uu

1ijmpmp



– Empleo sin la desviación al nominal:

– contribución por emplearse las masas patrón con su valor nominal,

– se estima a partir de la tolerancia correspondiente a su clase:

±Ti en el nominal i

– se asocia una distribución de probabilidad rectangular:

3iT

iu =mpc



– Deriva:– por estar sometidas las masas a muchos desplazamientos y usos en

diversos ambientes

– se tiene bien controlada:masas incluidas en nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio (reciben calibraciones internas con un periodo de recalibración adecuado),

masas empleadas solo en la calibración de las balanzas.

– se controla que no supere un intervalo de la ±U certificada para la clase de la masa.

– se estima como corrección nula:

cDmpi = 0– se asocia una distribución rectangular en el intervalo de variación (±U).



– Se añade a la componente de la U de la masa patrón por su valor certificado.

– Como la U de las masas es igual a 1/3 de la tolerancia para la clase (según R111-OIML):

– Si las masas fueran del nivel de referencia de un laboratorio sin calibración interna:

esta componente alcanzaría un valor más elevado,

y debería estar estimada por recalibraciones con periodicidad corta y/o por controles entre calibraciones

3333/

322)(

⋅==

⋅⋅

= iiiDmpi

TTUcu



– Calidad de los patrones:

– La U de los patrones se debe encontrar dentro de un intervalo tal que por:

el extremo superior: no produzca una degradación inadmisible para la U final de calibración,

el extremo inferior: no aparezcan problemas de viabilidad tecnológica, coste, etc, de las masas.

– Según UNE EN 30012-1 (ISO 10012: 1992), la relación recomendable entre la tolerancia a verificar ±T y la Udel instrumento a emplear, es:

310TUT

≤≤



– Considerando:

T = máximo error permitido (EN 45501)

máximo error permitido = f(E) con valores:

desde E/2 en recepción con E alta,

a 3E en uso con E pequeña,

la relación anterior queda:

EUEEUE≤≤⇒

⋅≤≤

⋅203

3105,0



– Por otra vía, EN 45501 se establece que las Tm de los patrones no deben superar:

Tm ≤ T/3,

– y como según la R111 (OIML):U ≤ Tm/3

se puede obtener una nueva relación:

318333

335,0 EUEEUE

≤≤⇒⋅⋅

≤≤⋅⋅



– Comprobando la calidad de los patrones:

en el nominal más bajo, de 100 mg:

valor que entra en el intervalo

en el nominal más alto con varias masas, 150 g:

y en el nominal más alto, 200 g:

valores que no entran en los intervalos

51mg02,0

311

3mg016,02 2

22

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅EU

3mg3,0311

3mg16,0

3mg1,02 2

22

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅EU

7,3mg37,0311

3mg3,02 2

22

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

EU



– Habría que realizar la calibración:con la desviación al nominal de las masas

dentro de un plan interno con masas con menos deriva.

– En 200 g, empleando la masa con desviación al nominal y sin deriva:

U = Ecumple los límites de ISO 10012-1.

no se cumple EN 45501 con masas de clase tan alta (E2), luego esta norma no es para la calidad de estas balanzas.

– Así, para el actual nivel tecnológico de estos instrumentos, y para el ejemplo, se sube el límite superior de la relación:

EUE 418

≤≤



• Repetibilidad

– Como la desviación típica, si, en los dos puntos i para la determinación de la repetibilidad:

– sg es la desviación típica que se estima como global para toda la escala del instrumento, según el criterio:

sg = máx (si)

(entre los valores de los dos puntos de 10 medidas)

( )∑=

−−

=10

1

22

1101

jiiji lls



• Redondeo con carga en el plato– es la contribución debida a la expresión del resultado según un

múltiplo de E,

– se estima mediante una corrección nula, cE,

cE = 0

– su varianza se obtiene de la hipótesis de distribución uniforme en un intervalo ± E/2:

• Redondeo sin carga en el plato– es igual que la anterior

1212)2/(2)( 0

EEcu E =⋅

=

1212)2/(2)( EEcu E =

⋅=



• Otras contribuciones no consideradas

– La contribución por descentramiento que no aplica por ser fácil colocar el centro de gravedad de los patrones en el centro geométrico del plato,

– La contribución por variación de temperatura durante la calibración queda englobada en la repetibilidad (se va a analizar en la incertidumbre de uso),

– La contribución por el empuje del aire que resulta despreciable, al considerar que:

la corrección diferencial entre las masas patrón de calibración e interna para el ajuste previo de la escala no resulta significativa,

en todo caso quedaría englobada por la corrección de calibración,



INCERTIDUMBRE COMBINADA DE CALIBRACIÓN LOCAL

• Sustituyendo las expresiones para las contribuciones:

– en los puntos de 10 medidas para repetibilidad y corrección de calibración

– en los puntos de 1 medida para la corrección de calibración

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++== ∑

= 121210273)(

222222

4

1

222 EEsTTkcukU iii

qiqi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++== ∑

= 1212273)(

222

222

4

1

222 EEsTTkcukU gii

qiqi



Contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales

Magnitud

de entrada

Xq

Estimación

xq

Incertidumbre

típica

u(xq)

Distribución

de

probabilidad

Coeficiente

de

sensibilidad

cq

Contribución a la

incertidumbre

uq(cq)

Mpci mpci umpci Rectangular 1

3iT

CDmpi 0 u(cDmpi) Rectangular 1

33 ⋅iT

iL_

il_

X

sx Normal -1

Xsx−

CE 0 u(cE) Rectangular 1

32E

CE0 0 u(cE0) Rectangular 1

32E

Ci ∑=q

qi xc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2iq cuu

Incertidumbre expandida (U) U=k⋅u

Nota: como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente



Nominal (g) 0,1 2 50 100 150 200

umpci (mg) 0,009 0,023 0,058 0,087 0,144 0,173

u(cDmpci) (mg) 0,003 0,008 0,019 0,029 0,048 0,058 0,1000 2,0000 49,9998 100,0001 150,0002 200,0000

100,0000 200,0001

100,0001 200,0001

100,0002 200,0000

100,0000 199,9999

100,0001 199,9999

100,0000 200,0000

100,0001 200,0001

100,0000 200,0000

ijl

(g)

100,0002 199,9999

il (g) - - - 100,0001 - 200,0000

sj (mg) - - - 0,08 - 0,08

cci (mg) 0,0 0,0 +0,2 -0,1 -0,2 0,0

u(cci) (mg) 0,09 0,09 0,11 0,10 0,17 0,19

Ui (mg) 0,18 0,19 0,22 0,21 0,35 0,38

TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOSTOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS



Cálculo de las contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones

locales en un punto de 1 medida para la determinación de la corrección de calibración:

Magnitud de entrada

Xq

Estimación xq

Distribución de probabilidad

Coeficiente de sensibilidad

cq

Contribución a la incertidumbre

uq(ci) Mpci 50,0000 g Rectangular 1 0,058 mg

CDmpi 0 mg Rectangular 1 0,019 mg

Li 49,9998 g Normal -1 -0,080 mg

CE 0 mg Rectangular 1 0,029 mg

CE0 0 mg Rectangular 1 0,029 mg

Ci +0,2 mg Incertidumbre combinada (u) 0,11 mg

Incertidumbre expandida (U) 0,22 mg



Cálculo de las contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales en un punto de 10 medidas para la determinación de la repetibilidad y de la corrección de calibración:

Magnitud de entrada

Xq

Estimación xq


Coeficiente de sensibilidad

cq


uq(ci) Mpci 100,0000 g Rectangular 1 0,087 mg

CDmpi 0 mg Rectangular 1 0,029 mg

iL_

100,0001 g Normal -1 -0,025 mg

CE 0 mg Rectangular 1 0,029 mg

CE0 0 mg Rectangular 1 0,029 mg

Ci -0,1 mg Incertidumbre combinada (u) 0,10 mg




• Como factor de cobertura:

– generalmente se tomará k=2, para una probabilidad del 95%, (más de 2 términos en el balance y presentan contribuciones comparables: los dominantes no suponen más de un 60% del total)

– en los casos en los que resultara dominante una distribución rectangular se asociaría un factor de cobertura k=1,65 para una probabilidad del 95%.

– en los casos en los que resulten dominantes dos distribuciones rectangulares habría que realizar la convolución para determinar la forma de la distribución trapezoidal resultante.



– La obtención de Cc y U globales tiene mayor utilidad, por emplear un diferente nº de repeticiones según parámetro.

– El modelo, teniendo en cuenta cΔ la corrección residual que no se realiza al trabajar con valor global, las correcciones por temperatura, por excentricidad, así como las de redondeo de nuevo, será:

– Aplicando la ley de propagación de varianzas:

tempexc0c CCCCCCCC EErep ++++++= Δ

)()()()()()()()( temp2

exc2

E02

E2

rep22

c22 cucucucucucucucu ++++++= Δ

ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO




• Corrección global no nula:– Los valores de su estimador y de su contribución, se obtienen con

los criterios:

– El valor del estimador de cΔ debida a las correcciones residuales que no se realizan al trabajar con el valor global, y de su contribución u(cΔ), se obtienen con los criterios:

cΔ = 0

∑=

=6

1cc 6

1t

tcc

∑=

Δ −−

=6

1

2cc

2 )(16

1)(t

t cccu

∑=

=6

1

22 )(61)(

icic cucu



• Corrección de calibración nula:

– Para aplicaciones de este nivel metrológico, puede ser una buena práctica la incorporación de Cc a U, ya que como las Cc global y locales son lo suficientemente pequeñas, se le puede asignar valor nulo.

– Su estimador y el de su contribución se pueden obtener, mediante:

– El estimador de la corrección residual que no se aplica, y el de su contribución por este desajuste de escala se obtienen, mediante:

∑==6

1

2 )(61)(0 cicc cucuc

∑== ΔΔ

6

1

2

61)(0 ciccuc



– También se pueden obtener como:

Criterio éste que será el que finalmente se aplique

0=gc

( )[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=+=

maxmax

22222

maxmax 121227321

21)( ci

xiiciig cEE

XsTTcUcu



• Repetibilidad al medir:– Con la única lectura que se realiza al medir.

lR = l

• Redondeo con carga y sin carga en el plato:

– Como se analizó en las contribuciones a la incertidumbre de calibración local.

1)(

1)( máxig

repss

cu ==



• Excentricidad

– en 1 punto próximo a 1/3 del valor máximo del campo de medida (fijado por procedimiento), 70 g

– cargando el plato en 5 posiciones: 4 opuestas por parejas según las 2 diagonales, y la central.

– se estima con una corrección nula, cexc = 0

– su varianza se obtiene asociando una distribución rectangular al intervalo definido por la máxima desviación de una de las cuatro posiciones descentradas y la central:

( )12

)( max,exc

iexclcu

Δ=



69,999670,000370,000169,999469,9999

descentradas

(g)

central

(g)

Al colocar sobre el plato un objeto de una masa próxima a 70 g se obtienen para las cinco posiciones:

gcu12

9994,699999,69)( exc−

=

Y, entonces:



• Variación de temperatura– es la contribución asociada al cambio de temperatura,

– se estima por una corrección nula,

ctemp= 0

– su varianza se obtiene localmente a partir de considerar una distribución rectangular en el intervalo máximo de control de temperatura de la sala:

– y globalizando:

66

ctemp 106,2

12105,16

12)( −

−

⋅⋅=⋅⋅⋅

=⋅Δ⋅

= iii

i lltTlcu

( ) ( ) gllcu iitemp66

maxmax6 106,2200106,2106,2)( −−− ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=



• OTRAS CONTRIBUCIONES EN USO QUE EN ESTE EJEMPLO NO SE CONSIDERAN

Empuje del aire

– También se considera despreciable como en la calibración aunque si se tenga que determinar en algún empleo si los mensurandosno fueran de acero y en función de las densidades del mensurando y de la masa interna de ajuste.

– Se estimaría a partir de la medida indirecta que define la corrección, asociándole una distribución normal, función de las densidades del mensurando y de las masas de calibración asícomo de la densidad del aire.



• Fluencia, histéresis– No se presenta en el uso de esta balanza al medir objetos

solidos, se estimaría a partir de las diferencias entre series crecientes y decrecientes.

• Tarado– No se presenta en el uso de esta balanza al medir objetos

solidos, se estimaría a partir de la máxina diferencia de las pendientes del error entre puntos de calibración consecutivos.

• Desajuste por deriva– No se presenta en el uso de esta balanza por realizar ajustes

de escala antes de cada uso, se estimaría a partir de especificaciones del fabricante o variaciones entre calibraciones



• CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE USO

• Sustituyendo las expresiones de las distintas contribuciones:

- Con corrección no nula

- Con corrección nula

( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜

⎝⎛

⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ Δ

++++−

−+⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛

++⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

++=

−

== ∑∑

26

max

2

,

22261

2

2261

222

22

106,2

1212121161

121227361

i

máxiexcg

i

cci

i

xii l

lEEs

ccEE

XsTTkU

( ) ( )( ) ⎟⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜⎜

⎝⎛

⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ Δ

++++⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛

⎟⎟

⎠⎞

⎜⎜

⎝⎛

+⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

++++=

− 26

max

2

,

222

2

max

max

22222

22

106,2

1212121121227321

i

máxiexcg

ci

xii l

lEEs

cEE

XsTTkU



Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección no nula

Magnitud de entrada

Xq

Estimación

xq

Incertidumbre Típica

u(xq)

Distribución de

probabilidad

Coeficiente de

sensibilidadcq


uq(ci)

Cc 0 u(cc) Normal 1 ∑=

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

6

1

22222

121227361

i

xii EEXsTT (1)

CΔ 0 u(cΔ)

Normal 1 ( )∑

=

−−

6

1

2

161

tcci cc

Crep 0 u(crep)

Normal 1

1gs

CE 0 u(cE)

Rectangular 1

32E

CE0 0 u(cE0

Rectangular 1

32E

Cexc 0 u(cexc) Rectangular 1 ( )

12, máxiexclΔ

Ctemp 0 u(ctemp) Rectangular 1 ( ) 6

max 106,2 −⋅⋅il

C ∑=q

qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2

ii cuu

Incertidumbre expandida (U) U = k⋅u Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente



Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección nula

Magnitud de entrada

Xq

Estimación

xq

Incertidumbre Típica

u(xq)

Distribución de

probabilidad

Coeficiente de

sensibilidadcq


uq(ci)

Cc 0 u(cc) Normal 1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

maxmax

22222

121227321

cixii cEE

XsTT (1)

Crep 0 u(crep)

Normal 1

1gs

CE 0 u(cE)

Rectangular 1

32E

CE0 0 u(cE0

Rectangular 1

32E

Cexc 0 u(cexc) Rectangular 1 ( )

12, máxiexclΔ

Ctemp 0 u(c temp) Rectangular 1 ( ) 6

max 106,2 −⋅⋅il

C ∑=q

qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2

ii cuu




Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección no nula

Magnitud de

entrada

Xq

Estimación

xq


Coeficiente de

sensibilidad

cq

Contribución a la

incertidumbre

uq(ci)

Cc 0 Normal 1 0,267 mg

CΔ 0 Normal 1 0,121 mg

Crep 0

Normal 1 0,080 mg

CE 0

Rectangular 1 0,029 mg

CE 0


Cexc 0 Rectangular 1 0,144 mg

Ctemp 0 Rectangular 1 0,52 mg

C 0 Incertidumbre combinada (u) 0,621 mg




Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección nula

Magnitud de

entrada

Xq

Estimación

xq


Coeficiente de

sensibilidad

cq

Contribución a la

incertidumbre

uq(ci)

Cc 0 Normal 1 0,270 mg

Crep 0

Normal 1 0,080 mg

CE 0


CE 0


Cexc 0 Rectangular 1 0,144 mg

Ctemp 0 Rectangular 1 0,520 mg

C 0 Incertidumbre combinada (u) 0,61 mg




– Este valor se puede considerar alto para un nivel de cobertura del 95%, y se podría reducir:

disminuyendo el ΔT para las medidas en el uso,

realizando en el uso la Ct, para la T concreta que se tenga,

y disminuyendo la Ump en los puntos altos (150 g y 200 g) mediante su empleo con la desviación al nominal.

– No habría que olvidar que aún faltarían componentes que inevitablemente tendría que añadir el usuario, p.e.:

por la corrección por empuje del aire, en función de sus mensurandos habituales.

– Para este uso mejor emplear otra balanza más económica con 10E.



• Si la lectura de la balanza al colocar el objeto sobre su plato es de 128,352 2 g, el resultado final será:

128,352 2 g ± 0,001 2 g

RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA

RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA



CALIBRACIÓN Y USODE UN MANÓMETROCALIBRACIÓN Y USODE UN MANÓMETRO



1. ENUNCIADO2. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN3. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN

4.1. Corrección de calibración local4.1.1 . Presión medida por el manómetro patrón4.1.2 . Corrección de calibración del manómetro patrón

4.2. Error de histéresis4.3. Corrección por diferencia de alturas4.4. Variación de temperatura4.5. Redondeo

5. TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS.6. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO.7. RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO.



ENUNCIADOENUNCIADO• Calibración de un instrumento

mediante la medida simultánea con otro instrumento que actúa como patrón, de una presión generada externamente.

• Realizada por un laboratorio externo al propietario del mismo.

• Instrumento a calibrar: manómetro mecánico con cualquier tipo de sensor e indicador analógico, para medidas de presión relativa neumática.



• Del manómetro calibrando se sabe que:C =10 bar E = 0,05 bar

– se usa para medidas de presión creciente y decreciente.

– del manual del fabricante se conoce tc ≤ 200 Pa/K en el campo de 10 ºC a 30 ºC.

– es una calibración periódica dentro de su Plan de Calibración,

– se determinan características metrológicas del manómetro para emplearlas en su uso.

– campo a calibrar: 10% al 100% de la capacidad ( 1 bar a 10 bar).



• Del patrón de calibración se sabe que:– manómetro electrónico con sensor interno e indicaciones

en unidades de presión.C = 50 bar E = 1 mbar

– reservado para calibraciones a clientes, en un nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio externo.

– su campo de medida cubre el del calibrando.– de su certificado de calibración se extrae la información:

ccpi = -0,0015 bar + 5xPix10-4

Ucpi = 4 mbar + 1,6xPix10-3 (k=2)De 0,5 bar a 50 bar

• la U incluye contribuciones por el redondeo, por la influencia de T para la variación en la sala de calibración, y por su deriva

calibrado internamente para uso muy bien conocido• el campo calibrado cubre el campo a calibrar del calibrando• esa U cumple las relaciones con el calibrando recomendadas.



• De la calibración en sí se sabe que:– La variación de la temperatura durante misma ha sido de

ΔTc =19,5ºC a 21,5ºC.

– Se realiza un montaje con las tomas de los dos manómetros a la misma altura.

– Se comprueban las alturas de las dos tomas con un instrumento con Uh = 5 mm (k=2), y se conoce g = 9,80 ms-2.

– Se usa un generador auxiliar con un gas que admiten los dos manómetros (N2 con df=6kgm-3), y con un controlador capaz de estabilizar la presión adecuadamente para la calidad del calibrando.



• Del uso en sí se sabe que:– La variación de la temperatura prevista en sus diferentes

empleos de ΔTc = 20 ± 5ºC.

– Se realiza una medida.

– El manómetro se coloca a la altura del punto en el que se quiere conocer la presión.

– La deriva se tiene controlada de forma que entre calibraciones la corrección de calibración no varíe en más de ± 3E.





• como en su forma de empleo: medir las presiones generadas externamente simultáneamente con el manómetro patrón.

• fijando los puntos el manómetro a calibrar.

• se determinan: Cc y U locales, incluyendo algunas contribuciones del uso, para que el usuario aplique en la medida las Cc y cualquier otra contribución que le afecte.



• Los parámetros metrológicos a determinar:• repetibilidad• corrección de calibración• error de histéresis

• Repetibilidad:– 10 repeticiones en 2 puntos de los anteriores (valor máximo y

mitad del campo calibrado) realizando 4 series más (2 y 2 seguidas).

• Corrección de calibración e histéresis:– 6 series (3 crecientes y decrecientes seguidas), en 5 puntos

de calibración equidistantes en el campo a calibrar.





FUNCIÓN MODELO• El modelo para la corrección local de calibración:

• aplicando la ley de propagación de varianzas a dicha expresión se obtiene:

ETHici CCCCCC hi ++++= Δ

)()()()()()( E2

T22

Hi222 cucucucucucu hcii ++++= Δ



ESTIMACIÓN DE CORRECCIONES Y CONTRIBUCIONES A LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN

• Corrección de calibración:– el modelo para cada punto:

• el modelo para el valor de la presión patrón:

• de acuerdo con las condiciones de su calibración:

iici lpc −= p

EpDpiTpicpipcii ccccp ++++=pp

cTDEpipcii cp +=pp



– de esta forma, el modelo final resultante sería:

– aplicando la ley de propagación de varianzas:

icTDEpipcici lcp −+=c

)()()( cTDEp2

pc22

iici cupucu +=



• Presión medida por el manómetro patrón:– en los puntos de 10 repeticiones:

– en los puntos con 6 repeticiones:

∑=

==10

1101

jijipci ppp

10)( i

pcispu =

∑=

==6

161

jijipci ppp

( )∑=

−−

=10

1

22

1101

jiiji pps

6)(

6)( máxig

pciss

pu ==



• Corrección de calibración del manómetro patrón:ccTDEpi = ccpi

u(ccTDEpi ) = u(ccpi ) = ucpi

• en resumen, el modelo de la corrección local de calibración quedaría:

• aplicando la ley de propagación de varianzas:(puntos de 10 medidas)

(puntos de 6 medidas)

icpiii lcpc −+=_

10)(

22cpi

2 isucu i +=

6)(

22cpi

2 gi

sucu +=



• Error de histéresis:cHi = 0

• Corrección por diferencia de alturas:

12)( Hi

ipcu Δ=

0=Δ⋅⋅=Δ hgdc fh

222222222 )()()()()( hfdfgfhfh ugdughuhdugdcu ⋅⋅=⋅⋅Δ+⋅Δ⋅+⋅⋅=Δ



• Variación de temperatura:cT = 0

• Redondeo:cE = 0

12)( c

TtTcu c ⋅Δ

=

1232/)( E

EEcu ==



INCERTIDUMBRE COMBINADA DE CALIBRACIÓN LOCAL

• Luego la expresión para la incertidumbre resultado de esta calibración, sustituyendo las expresiones de cada una de sus contribuciones, será:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅Δ+⋅⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ++⋅=⋅= ∑ 121212

22c22

22cpi

22222 EtTugdp

XsukyukU c

hfi

qqi

x



Contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales

Magnitud

De entrada

Xq

Estimación

xq

Incertidumbre

típica

u(xq)

Distribución de

probabilidad

Coeficiente de

sensibilidad

Cq

Contribución a la

Incertidumbre

uq(ci)

Ppci ip

_

Xsx

Normal 1

Xsx (1)

ccpi ccpi u(ccpi)

Normal 1 u(ccpi)

CHi 0 u(cHi) Rectangular 1

12ipΔ

CΔh 0 u(cΔ) Normal gdf ⋅ ( ) hf ugd ⋅⋅

CT 0 u(cT) Rectangular 1

12ctTc ⋅Δ

CE 0 u(cE)

Rectangular 1

32⋅E

C ∑=q

qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2ii cuu




• Como factor de cobertura:

– generalmente se tomará k=2, para una probabilidad del 95%, (más de 2 términos en el balance y presentan contribuciones comparables: los dominantes no suponen más de un 60% del total)

– en los casos en los que resultara dominante una distribución rectangular se asociaría un factor de cobertura k=1,65 para una probabilidad del 95%.

– en los casos en los que resulten dominantes dos distribuciones rectangulares habría que realizar la convolución para determinar la forma de la distribución trapezoidal resultante.



0,05

Nominal (bar) 1 3 5 7 10

u(ccpi)(bar) 0,003 0,005 0,006 0,008 0,010

1,062 3,041 5,024 7,043 10,098

1,069 3,066 5,015 7,023 10,068

1,023 3,012 5,077 7,019 10,040

1,041 3,033 5,089 7,040 10,020

1,072 3,024 5,044 7,038 10,081

1,075 3,045 5,053 7,057 10,099

5,094 10,071

5,079 10,077

5,043 10,093

5,017 10,072

ppi (bar) 1,057 3,037 5,054 7,037 10,072

sci (bar) 0,030 0,030 0,030 0,025

cctdPi (bar) -0,001 0,000 0,001 0,002 0,003

cci (bar) 0,056 0,037 0,055 0,039 0,075

uci=S ci/√n (bar) 0,000 0,012 0,009 0,012 0,008

u(cHi) (bar) 0,005 0,007 0,008 0,006 0,009

u(CDh) (bar)

u(cT) (bar)

u(cE) (bar)

u(cci) (bar) 0,016 0,021 0,020 0,021 0,021

Ui (bar) 0,032 0,042 0,040 0,043 0,042

E (División de escala) (bar)

0,014

0,002

0,000

ppij (bar)

TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOSTOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS



Contribuciones a la incertidumbre combinada en

los puntos de 10 medidas para la repetibilidad

Magnitud

De entrada

Xq

Estimación

xq


Coeficiente de

sensibilidad

Cq

Contribución a la

Incertidumbre

uq(ci)

Ppci 10,072 bar Normal 1 0,008 bar

ccpi +0,003 bar Normal 1 0,010 bar

CHi 0 Rectangular 1 0,009 bar

CΔh 0 Normal 58,8 Pa/m 0,000 bar

CT 0 Rectangular 1 0,002 bar

CE 0 Rectangular 1

0,014 bar

C +0,075 bar, Incertidumbre combinada (u) 0,021 bar

Incertidumbre expandida (U) 0,042 bar



Contribuciones a la incertidumbre combinada en los

puntos de 6 medidas para la corrección de calibración

Magnitud

De entrada

Xq

Estimación

xq


Coeficiente de

sensibilidad

Cq

Contribución a la

Incertidumbre

uq(ci)

Ppci 3,037 bar Normal 1 0,012 bar

ccpi 0,000 bar Normal 1 0,005 bar

CHi 0 Rectangular 1 0,007 bar

CΔ 0 Normal 58,8 Pa/m 0,000 bar


CE 0 Rectangular 1

0,014 bar

C +0.037 bar Incertidumbre combinada (u) 0,021 bar




• Análisis del resultado en el certificado:– U en cada punto

– para k=2 (95% probabilidad)

– U razonable (máx ≅1 E ≅ 0,45% F.E.)

– Para usar esa U hay que aplicar C

– Podrían faltar otras contribuciones en el uso

– Parece que pide mejor emplear Cc = valor medio y no nula y trabajar con un valor global de U ya que no se degradaría mucho





– El modelo para empleo al medir con sería con las contribuciones del uso por:

– Corrección global

– Repetibilidad

– Redondeo

– Temperatura

– Deriva

– aplicando la ley de propagación de varianzas:

δccccccl tempErepgr ++++++= Δl

)()()()()()( 2temp

222g

22δcucucucuculu Erepr ++++=



• Corrección de calibración global que se aplica:

• Corrección residual que no se aplica:cΔ = 0

∑=

==6

1cig 6

1i

c ccc

∑=

=6

1

22 )(61)(

icig cucu

∑=

Δ −−

=6

1

2cci

2 )(16

1)(t

cccu



• Repetibilidad:lR = l

• Redondeo:cE = 0

1232/)( E

EEcu ==

1)(

1)( máxig

repss

cu ==



• Variación de temperatura:cT = 0

• Deriva:cδ = 0

1210002,0

12)( c

T⋅

=⋅Δ

=tTcu c

1205,06

126

12)( max ⋅

=⋅

==Ecu δ

δ



• Sustituyendo las expresiones de las distintas contribuciones:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅Δ

+++−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅Δ

+⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

++= ∑∑== 1212121

)(16

11212126

1 2max

2c

2212

1

2cc

6

1

22c22

22cpi

222 δtTEs

ccEtTugdpXsukU cg

tt

i

chf

ix



Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso

Magnitud

De entrada

Xq

Estim ación

xq

Incertidum bre

típica

u(xq)

Distribución de

probabilidad

Coeficiente de

sensibilidad

Cq

Contribución a la

Incertidum bre

uq(ci)

Cg cig cc

_=

u(cc)

Normal 1

( )∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅Δ

+⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ++

6

1

22c22

22cpi 1212126

1 2

i

chf

i EtTugdpXsu x (1)

CΔ 0 u(cΔ)

Normal 1

∑=

−−

6

1

2cc )(

161

tt cc

Crep 0

1gs

Normal 1

1gs

CE 0 u(cE)

Rectangular 1

32 ⋅E

CT 0 u(cT) Rectangular 1

12ctTc ⋅Δ

Cδ 0 u(cδ)

Rectangular 1

126 E⋅

C ∑=q

qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2ii cuu




Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso

Magnitud

De entrada

Xq

Estimación

xq


Coeficiente de

sensibilidad

Cq

Contribución a la

Incertidumbre

uq(ci)

CPpci + 0,05 bar Normal 1 0,021 bar

CΔ 0 Normal 1 0,015 bar

Crep 0 Normal 1 0,030 bar

CE 0 Rectangular 1 0,014 bar


Cδ 0 Rectangular 1

0,087 bar

C + 0,05 bar Incertidumbre combinada (u) 0,097 bar




• Si la lectura del manómetro para la presión en el punto de medida es de 18,35 bar el resultado final será:

18,35 bar +0,05 bar ± 0,20 bar =18,40 bar ± 0,20 bar

RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO

RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO

Documents

Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y … · puntos de calibración, los patrones a emplear y el número de reiteraciones de las medidas en cada punto de calibración