Incontri di introduzione alla Relatività Generale parte.pdf · Incontri di introduzione alla Relatività Generale Seconda parte La Torre del Sole - 18 Novembre 2015 Dr. Andrea Castelli,

Incontri di introduzione alla Relatività Generale

Seconda parte La Torre del Sole - 18 Novembre 2015

Dr. Andrea Castelli, Ph.D.Università degli Studi di Bologna

Piano della presentazionePARTE SECONDA - 18 Novembre 2015

LA STRUTTURA DELLA RELATIVITA’ GENERALE

1. La gravitazione prima di Einstein

2. Il principio di equivalenza

3. Il principio di relatività generale

4. La geometria dello spazio-tempo: brevi e semplici accenni alle geometrie non euclidee e al calcolo tensoriale

5. Il principio di covarianza generale

Il contesto storico-scientificoLa Relatività Ristretta, unificando le leggi della meccanica e quelle dell’elettromagnetismo, aveva introdotto il concetto dell’uguaglianza della forma delle leggi della fisica per tutti gli osservatori inerziali.

Sono, però, escluse un gran numero di situazioni da questo quadro teorico: quelle in cui il sistema di riferimento è in moto accelerato.

Il cruccio che tormentava Einstein, negli anni immediatamente dopo il 1905, era il fatto che i sistemi che si muovono di moto accelerato non rientrassero nella generalizzazione operata dalla Relatività Ristretta.

Il contesto storico-scientifico

L’obiettivo di Einstein era quello di trovare una teoria che consentisse di scrivere le leggi fisiche nella medesima forma per qualsiasi sistema di riferimento, anche non inerziale, quindi in modo del tutto indipendente dallo stato di moto dell’osservatore.

Stimolato dalla lettura delle opere di Ernst Mach, Einstein cominciò a capire che il problema della gravitazione doveva essere legato all’inerzia e cominciò così a lavorare ad una generalizzazione della teoria della Relatività Ristretta ai sistemi di riferimento accelerati.

La gravitazione prima di Einstein

Newton aveva cercato di spiegare perché le cose cadono e i pianeti girano. Aveva immaginato una forza che attrae tutti i corpi l’uno verso l’altro e l’aveva chiamata forza di gravità.

Come facesse questa forza ad attrarre le cose da lontano, senza che ci fosse niente in mezzo, non era spiegato.

Newton aveva anche immaginato che i corpi si muovessero nello spazio e che lo spazio fosse un grande contenitore vuoto. Di cosa fosse fatto questo "spazio" contenitore del mondo, neppure se ne dava spiegazione.



Il modulo della forza con cui interagiscono due corpi qualsiasi dotati di massa è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della reciproca distanza.

La direzione lungo cui agisce la forza è quella della retta congiungente i centri di massa.

La forza gravitazionale è sempre attrattiva. La costante di gravitazione universale, indicata con G, esprime la proporzionalità tra le suddette grandezze ed è la medesima per qualsiasi coppia di corpi dotati di massa, ovunque si trovino nell’universo.

La gravitazione prima di EinsteinGrande successo sperimentale della teoria di Newton:

- accordo con i dati sperimentali sul moto dei pianeti;

- spiegazione della precessione degli equinozi (fenomeno noto fin dai tempi dei Greci);

- spiegazione del fenomeno delle maree;

- previsione e spiegazione di fenomeni nuovi: il moto di un pianeta è influenzato dall’attrazione gravitazionale esercitata dal Sole e, in misura minore, da tutti gli altri pianeti ⇒ orbite perturbate ⇒ variazione dei parametri orbitali.

La gravitazione prima di EinsteinDifficoltà della teoria di Newton:

- disaccordo con i dati sperimentali sulla precessione del perielio di Mercurio (Newton postulata l’esistenza di un altro pianeta);

- nessuna spiegazione circa la natura della gravità;

- paradosso cosmologico: come fanno le stelle fisse, anch’esse soggette alla gravità, a restare ferme in cielo?

- nuovo concetto di forza: non agisce per contatto, ma a distanza e istantaneamente attraverso lo spazio vuoto.

Gravitazione Universale VS Relatività Ristretta

La gravità di Newton è incompatibile con la Relatività Ristretta, poiché la trasmissione istantanea degli effetti gravitazionali tra i corpi viola il principio relativistico secondo cui nessun segnale può viaggiare più veloce della luce.

Serve quindi una teoria relativistica della gravitazione.

Inoltre, il principio di relatività speciale non includeva i moti accelerati.

Il moto di caduta dei gravi

Massa inerziale e massa gravitazionale

Massa inerziale: è la resistenza che un corpo oppone all’azione di ogni forza. E’ il fattore di proporzionalità tra forza applicata e accelerazione acquisita: F = mia

A parità di forza applicata, il corpo accelera con un’accelerazione inversamente proporzionale alla sua massa inerziale: a = F

mi

Massa gravitazionale: è la “carica” gravitazionale con la quale un corpo attrae e viene attratto da un altro secondo la legge della gravitazione universale di Newton.

Massa inerziale e massa gravitazionale

Non importa quanto i corpi siano massicci, né di quale materiale siano fatti: essi acquistano tutti la stessa accelerazione quando sono sottoposti alla medesima forza gravitazionale.

Se si osserva questo, vuol dire che per tutti i corpi massa inerziale e massa gravitazionale sono la stessa cosa.

Principio di equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale: mi = mg

“Il pensiero più felice della mia vita”

«Stavo seduto in poltrona all’Ufficio Brevetti a Berna quando, all’improvviso, mi ritrovai a pensare: 'se una persona cade liberamente, non avverte il proprio peso'. Rimasi stupefatto. Questo pensiero, così semplice, mi colpì profondamente e ne venni sospinto verso una teoria della gravitazione.»

Albert Einstein(in J. Ishiwara, Einstein Koēn-Roku. Tokyo-Tosho, Tokyo, 1977)

«[…] mi resi conto che tutti i fenomeni naturali potevano essere trattati in termini di Relatività Ristretta, ad eccezione della legge di gravitazione. Provai un profondo desiderio di comprendere le ragioni sottostanti […]»

Albert Einstein(in J. Ishiwara, Einstein Koēn-Roku. Tokyo-Tosho, Tokyo, 1977)

Il principio di equivalenza

In un ascensore immerso in un campo gravitazionale (fig. 1B) = nello spazio profondo a bordo di un’astronave in moto rettilineo uniformemente accelerato (fig. 2B).

In caduta libera in un campo gravitazionale uniforme (fig. 1A) = nello spazio profondo a bordo di un’astronave in moto rettilineo uniforme (fig. 2A).

Per un osservatore posto all’interno della cabina chiusa è impossibile discernere tra le due diverse situazioni rappresentate dalle figure 1 o 2, proprio per l’equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale.

Il principio di equivalenza

Gli effetti prodotti sui fenomeni fisici dalla presenza di un campo gravitazionale uniforme sono equivalenti (indistinguibili), almeno localmente, a quelli prodotti da un’opportuna accelerazione del sistema di riferimento.

E’ possibile allora stabilire quali sono le leggi del moto in un campo gravitazionale e quali effetti abbia un campo gravitazionale sulla struttura dello spaziotempo semplicemente studiando quello che accade in un sistema di riferimento opportunamente accelerato.

La deflessione della luceEinstein dimostra, usando il principio di equivalenza, che anche la luce deve essere deviata dalla gravità.

I n t e r v a l l i d i t e m p o trascorsi dall’emissione del raggio:

d

c,2d

c,3d

cNel frattempo il razzo si è mosso di:

s1 =1

2a

✓d

c

◆2

s2 =1

2a · 4

✓d

c

◆2

= 4s1

s3 =1

2a · 9

✓d

c

◆2

= 9s1

Il principio di relatività generalePr. Eq.: un sistema inerziale e uno in cui non si avverte alcun campo gravitazionale sono indistinguibili.

Se in un dato sistema accelerato inseriamo un campo gravitazionale la cui accelerazione è uguale a quella del sistema, tale sistema diventa indistinguibile, per chi è al suo interno, da un sistema inerziale.

Quando si include la gravità, non è più possibile fare distinzioni tra sistemi inerziali e non inerziali.

Il principio di relatività generaleIl Principio di Equivalenza impone allora una generalizzazione della RR.

Principio di relatività generale: le leggi della fisica devono essere espresse in una forma che sia identica per sistemi di coordinate dotati di uno stato di moto qualsiasi.

Decade il privilegio accordato dalla RR ai sistemi di riferimento inerziali.

Effetti della gravità sullo spazio-tempo

Osservatore APiattaforma ferma:

Piattaforma in rotazione:

Osservatore BPiattaforma ferma:

Piattaforma in rotazione:

C/d = ⇡

C/d > ⇡

C/d > ⇡

C/d = ⇡

In un qualsiasi sistema non inerziale non vale la geometria euclidea.


L’orologio 3 è fermo rispetto alle stelle fisse, quindi è inerziale.

Gli orologi 1 e 2 sono c o l l o c a t i s u u n a piattaforma rotante.

Gli orologi 1 e 3 restano sincronizzati, poiché in quiete uno rispetto all’altro.L’orologio 2 è in moto rispetto all’orologio 3 e quindi subisce la dilatazione del tempo e rimane indietro rispetto all’orologio 3. Per il Pr. Eq. possiamo pensare che l’orologio 1 si trovi in condizione di assenza di gravità, mentre l’orologio 2 in presenza di un campo gravitazionale.


Lo scorrere del tempo è quindi influenzato dalla presenza di un campo gravitazionale: la gravità rallenta il tempo.

Più è intenso il campo gravitazionale, maggiore è l’effetto di rallentamento.

L’orologio 2 rimane indietro rispetto all’orologio 1. Sempre in base al Pr. Eq., tale ritardo è imputabile alla gravitazione.

Le geometrie non euclidee

I 5 postulati di Euclide:

1) si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a ogni altro punto;

2) si può prolungare indefinitamente una retta;3) si può descrivere un cerchio con un raggio qualsiasi e un

centro qualsiasi;4) tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;

5) fissati nel piano un punto P ed una retta r, non passante per P, esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela alla retta data r.


Geometrie non euclidee: geometrie che, non accettando il V postulato, lo negano proponendo in alternativa i seguenti due postulati:

Va: non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad una retta r prefissata.

Vb: esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata r.

Per molti secoli i matematici si convinsero che il V postulato non fosse indipendente dagli altri, ma derivabile da essi. Numerosi furono i tentativi di dimostrarlo.

Le geometrie non euclideeGeometria ellittica (Riemann): costruita sostituendo il V postulato con Va.

Il piano - una qualunque superficie sferica.Il punto - una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica.La retta - una qualsiasi circonferenza massima (geodetica). Le geodetiche conservano la principale caratteristica delle rette, ovvero sono le linee più brevi che congiungono due punti dati.

Sulla superficie della sfera non esistono geodetiche che non si incontrano, quindi non esistono parallele.

La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.


Esempio comune di geometria ellittica: la sfera.


Geometria iperbolica (Bolyai-Lobacevskij): costruita sostituendo il V postulato con Vb.

Il piano - superficie interna ad un qualunque cerchio.Il punto - un qualsiasi punto interno al cerchio.La retta - una qualunque corda della circonferenza.

La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.


Esempio comune di geometria iperbolica: la sella.

Le geometrie non euclideeDa Euclide al modello meccanico di Newton dell'universo, lo spazio geometrico era concepito come caratterizzato da rette ed angoli retti e fondamentalmente uniforme in ogni suo punto.

Gauss fu il primo a riconoscere con chiarezza che solo con un’indagine sperimentale sullo spazio si poteva decidere quale fosse la geometria che meglio può descrivere l’Universo.

Egli dedusse che lo spazio fisico, almeno in regioni limitate, è euclideo oppure, se non lo è, la deviazione è così piccola da non poter essere rilevata con gli strumenti allora disponibili.

Tre notevolissimi risultati1) In un sistema di riferimento accelerato non vale più la geometria euclidea.

2) In un sistema di riferimento accelerato le coordinate spaziali perdono il loro significato metrico: non è più possibile misurare distanze e tempi indipendentemente dalla posizione dei regoli e degli orologi.

3) Dal punto di vista di un s i s t e m a d i r i f e r i m e n t o acce l e ra to, l o spaz io è incurvato (distorsione delle linee rette).

A B

Dalla piattaforma rotante alla gravitàGli effetti di curvatura dello spazio-tempo (sistema non inerziale della piattaforma rotante)

Principio di Equivalenza

devono sussistere anche in un campo gravitazionale.La presenza della gravità implica l’introduzione della curvatura dello spazio-tempo e di proprietà geometriche non euclidee.

Dalla gravità alla curvatura dello spazio-tempo

La gravità non è la causa della curvatura dello spazio-tempo, ma è la curvatura stessa dello spazio-tempo.

Nel quadro della RG, le masse non esercitano alcuna forza gravitazionale. La gravità non è più una forza.

La presenza di masse (e di altre forme di energia) determina la curvatura dello spazio-tempo che le circonda.

Verso una nuova matematica: le coordinate di Gauss

P (u4, v4)

Le coordinate gaussiane sono indipendenti dalla struttura dello spazio cui vengono riferite: sono solo “etichette”. Lo stesso vale in uno spazio-tempo a 4 dimensioni.

Il principio di covarianza generale

Per descrivere i fenomeni fisici, tutti i sistemi di coordinate gaussiane sono equivalenti.

Le leggi della Fisica devono avere la stessa forma rispetto a sistemi di riferimento arbitrari in cui si usano coordinate gaussiane.

Principio di covarianza generale: le equazioni della Fisica devono essere scritte in una forma che resti invariata quando si passa da un sistema di coordinate gaussiane a un altro.

I due problemi fondamentali da risolvere

1) Introdurre una nuova geometria dello spazio-tempo utilizzando coordinate “distorte”, del tutto generali e prive di significato fisico (coordinate gaussiane).

2) Formulare equazioni per il campo gravitazionale che risultino ugualmente valide in tutti i sistemi di questo tipo di coordinate.

Siamo alla metà di Agosto del 1912… ci vollero ancora tre anni e tre mesi per giungere alla completa risoluzione di questi due enormi problemi.

Verso una nuova matematica: l’elemento lineare

Come calcolare le distanze su una superficie curva?

L’elemento lineare fornisce la distanza tra due punti infinitamente vicini su una superficie curva.

Per mezzo dell’elemento lineare, Gauss definì i concetti di curvatura e di geodetica.

Curvatura: un numero che indica quanto una superficie si discosta dalla piattezza, ovvero dall’essere un piano.

Geodetica: linea più breve che unisce due punti su una superficie curva (meridiani ed equatore su una sfera).

Bernhard Riemann generalizzò poi i risultati di Gauss a spazi n-dimensionali (varietà n- dimensionali).

Verso una nuova matematica: i tensori

Funzione scalare: assegna un numero reale o complesso a ogni punto di uno spazio (es.: temperatura, energia).

Funzione vettoriale: assegna una multipla di numeri (componenti del vettore) a ogni punto di uno spazio (es.: velocità, accelerazione).

Un vettore è rappresentato da componenti. L’azione di un vettore è uguale alla somma delle azioni delle sue componenti.


Parte scalare: a = 10 passi, b = 5 passi, c = 8 passi

Parte vettoriale: i = vettore unitario che punta in avanti, j = vettore unitario che punta a dx, k = vettore unitario che punta in su.

V = 10 passi avanti+ 5 passi a dx+ 8 passi in su

V = ai+ bj + ck

Operazioni tra vettori: somma, prodotto interno e prodotto cartesiano.


U · V = ⌘

U ⇥ V = S

U + V = W

↵V = ↵V u = (↵V )u = �u

I vettori possono anche essere moltiplicati per degli scalari per ottenere nuovi vettori con diverso modulo ma uguale direzione.

Ma se volessimo cambiare sia il modulo che la direzione di un dato vettore?Serve un nuovo ente matematico: il tensore.


Un tensore è un oggetto matematico (un “blocco” di numeri) dotato di un insieme di funzioni (le componenti) che si trasformano, al variare delle coordinate, secondo precise leggi.

I vettori e gli scalari sono casi particolari di tensori.

Tijk


In uno spazio a n dimensioni un tensore di rango r ha nr

componenti.

Scalare: tensore di rango zero (1 componente - il modulo)Vettore: tensore di rango 1 (3 componenti - modulo e una direzione)Diade: tensore di rango 2 (32 = 9 componenti - modulo e due direzioni)Triade: tensore di rango 3 (33 = 27 componenti - modulo e tre direzioni)

Il prodotto interno di un vettore e di un tensore di rango 2 da’ come risultato un vettore con un nuovo modulo e una nuova direzione.


Ma perché per la Relatività Generale servono proprio i tensori?

Nonostante i tensori non siano invarianti rispetto a un cambiamento di coordinate, le relazioni tra tensori restano sempre le stesse per qualsiasi trasformazione di coordinate.

Perché i tensori consentono di scrivere equazioni generalmente covarianti rispetto a un qualsiasi cambiamento di coordinate.

Tutte le grandezze fisiche presenti in equazioni covarianti sono necessariamente rappresentate da tensori.

Verso una nuova matematica: la metricaRiemann introdusse poi un potente strumento: la metrica, ovvero la “regola” per trovare le distanze tra i punti di una data varietà (per calcolare l’elemento lineare in modo generale).

ds

2 = dx

2 + dy

2

Teorema di Pitagora per distanze infinitesime:

Distanza su una varietà generica bidimensionale con coordinate curvilinee x, y:

ds

2 = Adx

2 +Bdxdy + Cdy

2

I numeri A, B e C cambiano a seconda del punto considerato e dipendono dalle coordinate x e y.

Verso una nuova matematica: il tensore metrico

L’insieme dei coefficienti A, B e C forma il tensore metrico.

Il tensore metrico permette di definire un certo tipo di varietà e la sua geometria (distanze, geodetiche, curvatura, etc.).

Per descrivere la curvatura di varietà a più dimensioni sono necessari più parametri (6 in 3D… 20 in 4D).

L’insieme dei parametri che esprimono la curvatura di una varietà a più di due dimensioni si chiama tensore di curvatura.

Verso una nuova matematica: la derivata covariante

Le equazioni della fisica sono equazioni differenziali: contengono incrementi infinitesimi delle variabili e dei loro rapporti, ovvero delle derivate delle funzioni incognite.

Problema: la derivata di un tensore generalmente non è un tensore… .

Serve una nuova operazione di derivazione che consenta di conservare le proprietà della derivazione ordinaria e in grado di garantire l’invarianza delle relazioni differenziali tra grandezze.

Serve dunque un’operazione che converta tensori in tensori. Questa nuova operazioni si chiama derivata covariante.

FINE SECONDA PARTE

TESTI DI RIFERIMENTO

- F. Toscano (2004), Il genio e il gentiluomo. Einstein e il matematico italiano che salvò la teoria della Relatività Generale, Sironi Editore, Milano.

- R. DiSalle (2006), Capire lo spazio-tempo. Lo sviluppo filosofico della fisica da Newton a Einstein, Bollati Boringhieri, Torino.

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