indici statistici -suport de curs

Statistic teoretic i economic

CAPITOLUL 9. INDICII STATISTICI Cuvinte cheie:

- indice cronologic - indice individual - indice de grup - indice agregat - indice al factorului cantitativ - indice al factorului calitativ (intensiv)

Indicii sunt o categorie de indicatori utilizai n caracterizarea oricror fenomene social-economice, deoarece reflect modificrile care au loc, precum i influena diferiilor factori care acioneaz asupra fenomenului studiat. Se poate spune c indicele sintetizeaz ntr-o expresie numeric nivelul relativ atins de caracteristica studiat n cadrul unui ansamblu de caracteristici prin care este definit fenomenul social-economic respectiv. n acelai timp, indicii se pot constitui ntr-o metod statistic de analiz n dinamic a evoluiei unui fenomen. De exemplu, cunoaterea unor informaii cum sunt: producia, profitul, cifra de afaceri i capitalul unei firme agricole nu sunt suficiente pentru aprecierea ritmurilor activitii desfurate de respectiva firm. Cu ajutorul indicilor se pot obine informaii suplimentare referitoare la dinamica activitii economice, precum i identificarea influenelor altor factori economici asupra acestor indicatori. ntr-un sens mai larg, indicii sunt mrimi relative cu ajutorul crora se evideniaz modificarea n timp a fenomenelor sociale i economice fa de o anumit perioad. Din punct de vedere cognitiv, indicii au urmtoarele funcii:

- exprim nivelul relativ al caracteristicii studiate pe un element sau pe o colectivitate de elemente, pentru a arta ct reprezint (de cte ori s-a modificat) nivelul analizat fa de cel de referin;

- n cazul unui sistem de variabile, legate printr-o relaie de multiplicare, indicii servesc i ca instrument de analiz factorial, dnd posibilitatea descompunerii pe factori de influen a variaiei unei caracteristici complexe. n acest caz, caracteristica complex trebuie s fie rezultatul prin multiplicare a cel puin unui factor extensiv i a unui factor intensiv.

n sens matematic, indicele statistic este un numr pur, care msoar variaiile relative ale unei mrimi ce reprezint caracteristica statistic (x), frecvena (f) sau fenomenul n tatalitatea sa (x f) ntre dou fraciuni de timp sau de spaiu.

9.1. Clasificarea indicilor.

Indicii se pot clasifica dup urmtoarle criterii: a) din punctul de vedere al destinaiei lor:


indici cronologici (indici ai dinamicii), atunci cnd se fac comparaii cu nivelul unei perioade trecute;

indici teritoriali, atunci cnd se compar dou uniti administrativ-teritoriale; indici de plan, atunci cnd se au n vedere relaii existente ntre unitile

economice, deci la nivel microeconomic (indicele sarcinii de plan, care se calculeaz ca raport ntre nivelul planificat fa de realizrile precedente, i indicele realizrii sau nerealizrii planului, cnd se raporteaz nivelul realizat la nivelul planificat); b) Din punctul de vederea al sferei de cuprindere:

indici individuali, atunci cnd ei exprim nivelul relativ al unui singur element al colectivitii i se noteaz cu i; de exemplu: 1) indicele individual al variabilei complexe:

00

11

0

10/1 fx

fxyy

i y == ;

2) indicele individual al factorului cantitativ:

0

10/1 f

fi f = ;

3) indicele individual al factorului calitativ:

0

10/1 x

xi x = .

Deoarece y = x f, variaia n timp sau spaiu a acestor caracteristici urmeaz relaia:

iy = ix if

indici de grup sau sintetici, care exprim nivelul relativ al ntregului ansamblu de

elemente i se noteaz cu I; de exemplu: - indicele de grup al volumului valoric (Iy); - indicele de grup al volumului fizic (Iq); - indicele de grup al preului (Ip); De asemenea indicii de grup verific sistemul Iy = Iq Ip. c) Din punctul de vedere al naturii elementelor colectivitii (indicii se

difereniaz ca metod de calcul): - n cazul unei colectiviti eterogene, indicii pot fi calculai ca:

indicii agregai, care recurg la o combinaie teoretic ca mijloc de izolare a influenei fiecrui factor explicativ;

indicii medii, care se formeaz ca medii aritmetice sau armonice ale indicilor individuali;


- n cazul unei colectiviti omogene, variaia factorului intensiv poate fi caracterizat printr-un sistem de indici calculai ca raport a dou medii. d) Din punctul de vedere al sistemului de ponderare:

indici cu pondere fix sau constant (Laspeyres - 18641):

=

00

01

xfxf

I fL

=

00

10

xfxf

I xL xL

fL

y III ;

indici cu pondere curent sau variabil (Paasche - 18742):

=

10

11

xfxf

I fp

=

01

11

xfxf

I xp xp

fp

y III ;

indici cu pondere combinat (ncruciat, mixt):

00

01

xfxf

I f =

=

01

11

xfxf

I x xfy III = ;

deci, n acest din urm caz, proprietatea de reversibilitate a factorilor se verific.

indici cu pondere ideal (Fisher 19223): i) n cazul factorului cantitativ:

fp

fL

fF IIxf

xfxfxf

I =

=

10

11

00

01 ;

ii) n cazul factorului calitativ:

xp

xL

xF IIxf

xfxfxf

I =

=

01

11

00

10 xFf

Fy III =

1 Etiene Laspeyres (1834 -1913), economist i statistician german, profesor la universitile din Basel, Riga, Karlsruhe i altele. n statistica preurilor a formulat, n 1864, un indice care i poart numele. Principalele sale lucrri sunt: HamburgerWarenpreise, 1851-1863 und die californischaustralischen Goldetfeckungen seit 1848; Die Berechnung einer mitttleren Warenpreissteigerung. 2 Herman Paasche (1851-1925), economist i statistician german, agent de burs la Hamburg n perioada formulrii variantei de indice de preuri cu pondere curent. Principalele lucrri: Ulber die Preisentwicklung der letzten Jahre nach den Hamburger Preisnoteierungen (1874); Studien uber die Natur der Gerdwertung und ihre praktische Bedeutung in den lotzten Jahrzehnten auf Grund statistischen Detaillmaterials entnommen der Stadt Halle a/S (1878). 3 Irving Fisher (1867-1947), economist i statistician din S.U.A., a descoperit nu mai puin de 352 de variante, formulnd i varianta: indicele geometric, care este cunoscut sub denumirea de indicele 353 sau indicele ideal, pentru c satisface toate testele de verificare, consemnate, de altfel, de acelai autor. Lucrrile principale: Mathematical Investigation in the Theoryof Value and Prices (1922); The Marking of Index Numbers (1922); The Best From of Index Number (1921).


e) Din punct de vedere al modului de alegere a bazei de raportare, indicii se mpart n:

indici cu baz fix, atunci cnd se face raportarea nivelului fiecrei perioade la nivelul unei anumite perioade considerat perioad de baz sau de comparare;

indici cu baz mobil, atunci cnd se face raportarea nivelului fiecrei perioade la nivelul perioadei anterioare.

Se observ c efectuarea calculului unui indice se face raportnd nivelul analizat, notat cu indicativul 1, la nivelul de baz, de comparaie, notat cu indicativul 0. 9.2. Probleme metodologice ale indicilor de grup.

Acest tip de probleme se refer la: alegerea bazei de rapoarte i a formulei de calcul, stabilirea sistemului de ponderare, cuprinderea fiecrui indice n sisteme coerente de informaii statistice.

Grupul de probleme poate fi soluionat dac satisfac o serie de teste (reguli) de verificare:

- reversibilitatea n timp: const n faptul c indicele calculat ca raport ntre nivelul perioadei curente i cel al perioadei de baz trebuie s fie o mrime invers a indicelui rezultat prin raportarea nivelului de baz la cel din perioada curent. Cu alte cuvinte, indicele anului b calculat cu baz n anul a reprezint o mrime invers a indicelui anului a calculat cu baza n anul b:

baab i

i/

/1=

Reversibilitatea trebuie s o ntlnim la toi indicii. Deci, ntre cele dou tipuri de

indici exist relaia:

1// = baab ii

- reversibilitatea factorilor: produsul indicilor factorilor trebuie s fie egal cu indicele variabilei complexe.

Dup aceast regul, dac se substituie factorii indicelui, produsul noilor indici nu se modific. Dac factorii x i f ii schimb locurile ntre ei, rezult c:

=

10

11)(0/1 fx

fxI xy devine

=

10

11)(0/1 xf

xfI xy

i respectiv:

=

00

10)(0/1 fx

fxI fy devine

=

00

10)(0/1 xf

xfI xy


Produsul noilor indici factoriali obinui este egal cu indicele general al variaiei fenomenului complex;

- tranzitivitatea: presupune obinerea indicelui cu baz fix prin nmulirea unui ir de indici cu baz mobil pentru peroada analizat. Fie:

i1/0, i2/1, i3/0, i4/3, i5/4,

indici cu baz mobil pe intervalul de timp (05); atunci indicele cu baz fix 5 fa de 0 va fi produsul acestor indici:

0/54

5

3

4

2

3

1

2

0

14/53/42/31/20/1 iy

yyy

yy

yy

yy

iiiii == ;

- circularitatea: verific indicii cu baz mobil prin intermediul probalilitii de trecere dintr-o baz de calcul n alta. Dac se consider anii a, b i c i se calculeaz indicele anului b n baz a i un indice pentru anul c, produsul lor trebuie s fie egal cu indicele anului c cu baz n anul a.

acncab iii /// = n acest caz:

1/// = cabcab iii De fapt, circularitatea este o extindere a testului reversibilitii n timp. Baza de raportare trebuie s fie astfel stabilit, nct s reflecte variaia real a fenomenului supus analizei. Aceasta nu trebuie s exprime un nivel de excepie al variaiei, ci un nivel obnuit, conform tendinei generale a evoluiei fenomenului respectiv. n situaia economiei de pia, alegerea bazei de calcul are o nsemntate deosebit n urmrirea fenomenelor, considernd faptul c ciclul economic cuprinde att faze de avnt, ct i faze de depresiune. n astfel de situaii, baza poate fi aleas ori o perioad de depresiune ori una de prosperitate, i deci indicii nu reflect corespunztor evoluia fenomenului respectiv. De asemenea, exist situaii cnd prin modul de alegere a perioadei de baz realitatea poate fi denaturat. Pentru a soluiona o asemenea problem exist dou posibiliti:

- calcularea unei medii a mrimilor din perioada unui ntreg ciclul economic; - schimbarea, relativ frecvent, a bazei de calcul. ns, schimbarea bazei de calcul necesit un volum de munc dublu i presupune

o discotinuitate, ceea ce mpiedic comparaia. Pentru a evita i aceast problem, Stanley Jevos i Alfred Marchall au propus construirea indicilor n lan continuu, metod care const n schimbarea autonom a bazei la fiecare calcul nou al indicelui.


n ceea ce privete formula de calcul, aceasta se alege n funcie de datele disponibile i de natura elementelor care compun clectivitatea se dorete a fi studiat. Astfel, exist posibilitateate alegerii indicilor agregai, indicilor medii de grup sau a indicilor obinui ca raport de medii.

Sistemul de ponderare a fost i continu s fie aspectul care, n teoria i practica statistic, a creat cele mai multe probleme. Aceasta este o problem-cheie a metodologiei de construire a indicilor statistici.

O baz tiinific a cptat aceast problem prin propunerea fcut de Etienne Laspeyres n 1864, statistician german (1834-1913), astfel aprnd n literatura statistic formula indicelui Laspeyres sau metoda lui Laspeyres.

Indicii agregai ai volumului fizic i ai preului sunt construii folosind ponderile la nivelul perioadei de baz. Astfel, s-a ajuns la relaiile:

=

00

0101 pq

pqI q/ i

=

00

100/1 pq

pqI p

Se observ c, n cazul primului indice, cel al cantitii (variabila cantitativ), s-a

utilizat ponderea (preul) din perioada de baz, iar n cazul celui de-al doilea indice, cel al preului (variabila calitativ), s-a utilizat ponderea (cantitatea) din perioada de baz. Acest tip de indice se mai numete i cu pondere constant sau fix.

n 1874, economistul german Hermann Paasche a produs un indice, folosind ponderile perioadei curente:

=

10

110/1 pq

pqI q i

=

01

110/1 pq

pqI p

In cazul indicelui cantitii (variabila cantitativ), acesta este ponderat cu preul

din perioada curent, iar n cazul indicelui preului (variabila calitativ), ponderea este cantitatea din perioada curent.

Acest tip de indice se mai numete i cu pondere variabil sau curent. ns, nici unul dintre aceti doi indici nu satisface o cerin important, i anume,

proprietatea de reversibilitate a factorilor. Formulele Laspeyres i Paasche nu alctuiesc un sistem comparabil de relaii de

calcul, deoarece produsul variaiei factorilor (IpIq) nu conduce la obinerea nivelului relativ al variabilei complex (Iv).

Un alt indice folosind ponderile din ambele perioade este indicele ideal al lui Fischer. Formula indicelui su este, de fapt, o medie geometric a formulelor lui Laspeyres i Paache:

=

01

11

00

100/1 qp

qpqpqp

I q i

=01

11

00

010/1 pq

pqqpqp

I p


Este considerat a fi un indice ideal datorit faptului c se ncadreaz n intervalul de variaie a valorilor celor doi indici calculai pe baza celor dou sisteme de ponderare. Deci, are puterea de compensare a tendinei de modificare a ponderilor folosite.

Dac indicii Laspeyres i Paasche au la baz media aritmetic, indicele Fischer folosete media geometric, fapt cu care au fost de acord i ali teoreticieni.

n cazul acestui indice se observ:

pF

qF

vp III =

Indicele Fischer se folosete la calcul indicilor teritoriali, n situaia comparrii mai multor ri: de exemplu, indicele consumului populaiei, unde preurile luate ca ponderi se refer la rile comparate.

Indicele prezint ns un dezavantaj destul mare, i anume, necesit cunoaterea separat a tuturor elementelor de calcul, precum i combinarea tuturor variabilelor posibile, mai ales n cazul n care sfera de cuprindere a colectivitii la care se refer indicii este foarte mare. Bineneles, indicii calculai dup aceste trei variante de ponderare nu dau aceleai rezultate. Avnd n vedere aceste neajunsuri, cercetrile cu continuat pentru gsirea unui indice mai bun ns pn n prezent nu s-au gsit dect noi formule de compromis.

Astfel, Y.F. Edgenworth4 a propus urmtorul indice:

)()(

010

0110/1

++=

qqpqqp

I p

Indicele cumuleaz cantitile din perioada de baz cu cele din perioada curent,

cumul folosit la studiul variaiei preului, adic variaiei calitative. ns, indicele are un dezavantaj, el nu poate fi utilizat dect pentru studiul variaiei variabilei calitative, deoarece ponderea (variabila calitativ) poate fi cumulat; n schimb, la studiul variabilei cantitative nu se poate aplica, deoarece factorii calitativi nu au sens s fie cumulai de la o perioad la alta.

O alt formul de compromis a fost propus de statisticianul polonez Jean Wisniewski, n sensul unui indice mediu, elaborat cu ajutorul calculului integral.

Unii statisticiani au propus un procedeu simplu i rapid, prin calcularea indicelui pe baza medianei.

De asemenea, un alt procedeu de ponderare este i cel propus de matematicianul i filosoful german Mortiz Wilhelm Drobisch:

=

0

00

1

11 :p

qpq

qpI

4 Francis Ysidor Edgeworth (1845-1926), statistician, matematician i economist englez. Profesor n economie la Oxford (1891) i la Londra. A fost influenat de concepia bayesian. A avut o important contribuie la teoria indicilor i la aplicarea statisticii matematice n economie; autor al unor lucrri fundamentale de teoria statisticii. Lucrri principale: On the Method of Ascertaining a Change in the Value of Gold (1883); Defence of Index-Numbers (1896); Metretica sau metodica de msurare a probabilitii i unitii (1887); Despre metodele statisticii (1885).


Este de menionat i formula statisticianului francez Lucien March:

=1

10

1

q

qpp

I

n istoria statisticii au fost nenumrate ncercri i propuneri de ponderare, cele

mai utilizate ns sunt cele de tip Laspeyres, Paasche i Fischer.

9.3. Descompunerea pe factori de influen a variaiei unui fenomen complex folosind metoda indicilor.

Explicarea cauzal a variaiei unui fenomen complex reprezint o funcie cognitiv important a indicilor. De exemplu, dac dorim s analizm influena volumului fizic (q) i a preurilor (p) asupra variaiei valorii produciei (v), sau influena productivitii muncii (w) i a numrului de ore-om cheltuite pentru producie (T) asupra produciei, putem utiliza indicii ca metod de separare i cuantificare a acestor influene.

Orice variaie a unui fenomen social-economic se poate studia att n mrimi absolute, ct i n mrimi relative.

Descompunerea pe factori a sporului absolut se numete i descompunere aritmetic sau analitic, iar descompunerea n mrime relativ se numete descompunere geometric. Descompunerea analitic se bazeaz pe relaia de adunare constnd n separarea modificrii totale n suma modificrilor absolute a factorilor supui cercetrii. Descompunerea geometric are la baz relaia de produs i const n descompunerea indicelui general n produsul indicilor factoriali.

Metoda substituirilor n lan

Aceast metod const n anihilarea, pe rnd, a cte unui factor de influen, meninndu-se variaia factorului supus analizei. n aceast idee se vor folosi sisteme de ponderare diferite, care fac ca produsul lor s fie egal cu indicele general.

Presupunem existena unui fenomen complex de tipul y = x f. Analizat n timp, acesta va fi:

=

00

110/1 fx

fxI y ,

unde x este factorul calitativ i f este factorul cantitativ. Corespunztor, descompunerea analitic va fi:

= 00110/1 fxfxy

Influena factorului calitativ se determin dup una dintre relaiile:


=

10

11)(0/1 fx

fxI xy sau

=

00

01)(0/1 fx

fxI xy ;

n acest caz, modificrile absolute vor avea urmtoarele relaii:

= 1011)( 0/1 fxfxxy sau = 0001)( 0/1 fxfxxy

Influena factorului cantitativ se determin opional dup una din urmtoarele relaii:

=

01

11)(0/1 fx

fxI fy sau

=

00

10)(0/1 fx

fxI fy

n acest caz, modificrile absolute vor avea urmtoarele relaii:

= 0111)( 0/1 fxfxfy sau = 0010)( 0/1 fxfxfy

Pentru a rspunde testelor de verificare:

)(0/1

)(0/10/1

fyxyy III = )(

0/1)(

0/10/1fyxyy = ,

va trebui s utilizm una dintre urmtoarele dou variante:

- varianta a:

=

00

110/1 fx

fxI y ; = 00110/1 fxfxy ;

=

10

11)(0/1 fx

fxI xy ; = 1011)( 0/1 fxfxxy ;

=

00

10)(0/1 fx

fxI fy ; = 0010)( 0/1 fxfxxy ;

- varianta b:

=

00

110/1 fx

fxI y ; = 00110/1 fxfxy ;


=

00

01)(0/1 fx

fxI xy ; = 0001)(0/1 fxfxxy ;

=

01

11)(0/1 fx

fxI fy ; = 0111)( 0/1 fxfxfy .

Se observ c ambele variante corespund testelor de verificare enunate mai sus.

Cele dou variante pornesc de la ipotezele: y1 > y0; x1 >x0; f1 > f0, deci vom avea i urmtoarele sporuri:

010/1 yy

y = ; 010/1 xxx = ; 010/1 fff = .

Prin urmare, sporul variabilei complexe y n funcie de factorul x va fi: - pentru varianta a:

=== xxy fxxffxfx 0/110111011)( 0/1 )( ;

- pentru varianta b:

=== xxy fxxffxfx 0/100100001)( 0/1 )( ,

iar sporul variabilei complexe y n funcie de factrul cantitativ f va fi:

ffy xffxfxfx 0/100100010)(

0/1 )( === ;

- pentru varianta b:

ffy xffxfxfx 0/110110111)(

0/1 )( === .

ns, din inegalitatea f1>f0 rezult c sporul factorului x n prima variant este mai mare dect n cea de-a doua variant cu produsul diferenei dintre ponderi i creterea variabilei calitative.

Dac analizm cel de-al doilea factor, sporul variaiei complexe y n funcie de factorul cantitativ f, rezult c influena este mai mare cu aceeai valoare, deoarece ponderea folosit x1 > x0 se multiplic pentru toat creterea factorului f. Cei mai muli statisticieni i economiti atribuie aceast diferen inlfuenei factorului calitativ, considernd faptul c modificarea acestuia este condiionat de modificararea factorului cantitativ i deci este justificat folosirea ponderii din perioada curent.

n general, dac substiuirea ncepe cu factorul calitativ, atunci, pe msur ce am luat n considerare un factor, el rmne n perioada de baz ca pondere, factorii neluai n calcul ns vor fi stabilii n perioada curent.


Astfel, pentru a evidenia mai clar aceast regul, presupunem un fenomen complex (y) influneat de trei factori (x factor calitativ, f i t factori cantitativi). sistemul de indici i descompunerea absolut vor fi:

=

000

1110/1 tfx

tfxI y = 0001110/1 tfxtfxy ;

=

110

111)(0/1 tfx

tfxI xy 110111

)(0/1 tfxtfxxy = ;

=

100

110)(0/1 tfx

tfxI fy = 100110)( 0/1 tfxtfxfy ;

=

000

100)(0/1 tfx

tfxI fy = 000100)( 0/1 tfxtfxty .

Metoda influenelor iozlate (MII) sau metda restului nedescompus (MRN) Aceast metod presupune modificarea unui factor, n situaia n care ceilali

rmn la nivelul perioadei de baz. Astfel, suma influenelor izolate ale celor doi factori nu este egal cu ntreaga modificare, rmnnd un rest (restul nedescompus) datorat interaciunii celor doi factori.

Deci, utiliznd aceast metod, descompunerea se va face n felul urmtor: - modificarea variabilei complexe:

=

00

110/1 fx

fxI y , respectiv = 00110/1 fxfxy ;

- modificarea factorului cantitativ:

=

00

10)(0/1 fx

fxI fy , respectiv = 0010)( fxfxfy ;

- modificarea factorului calitativ:

=

00

01)(0/1 fx

fxI xy , respectiv = 0001)( fxfxxy ;

- restul nedescompus:


=

00

01

10

11)(0/1 : fx

fxfxfx

I fxy , respectiv

+= 00011011)( fxfxfxfxfxy

Relaia dintre indici este:

)(0/1

)(0/1

)(0/10/1

fxyfyxyy IIII =

Restul nedescompus este necesar s fie repartizat pe cei doi factori de influem. De regul, repartizarea se face n funcie de ponderea influenei izolate a fiecrui factor n totalul celor dou influene izolate. Deci, se vor calcula coeficienii de realizare:

)()(

)(

xyfy

fyfk +

= i )()()(

xyfy

xyxk +

= ,

rezultnd: - influena total a factorului cantitativ:

)()()( fxykfy ffy += ;

- influena total a factorului calitativ:

)()()( fxykxy xxy +=

Metoda influenelor izolate ofer rezultate mai exacte dect metoda substituirilor

n lan, care atribuie ntreg sporul nedescompus factorului calitativ. MSL se utilizeaz numai n cazul n care factorul cantitativ se modific nesemnificativ i dac ponderea sa n restul nedescompus este foarte mic. 9.4. Indici calculai ca medie a indicilor individuali.

Practica economic a artat c nu ntotdeauna determinarea unor agregate de forma x0 f1 sau x1 f0 este posibil, pe de o parte, datorit unor cheltuieli suplimentare n stabilirea acestora i, pe de alt parte, datorit faptului c determinarea lor ar fi atunci cnd s-ar cunoate numai variabila complex (y), dar nu i, separat, variabila calitativ (x) i cea cantitativ (f). n acest caz, pentru determinarea indicilor agregai se apeleaz la indici ca medie (aritmetic sau ponderat) a indicilor individuali. Indicii rezultai vor fi egali cu cei agregai. Teoretic pot exista urmtoarele situaii:

se cunoate nivelul caracteristicii complexe n perioada de baz (y0 = f0 x0) i valorile factorului cantitativ n cele dou perioade (f0 i f1), deci i indicele individual (if):


=

00

100/1 fx

fxI f 01

0

1 fifff

i ff == ;

deci:

=00

000/1 fx

fxiI

ff ;

se cunoate nivelul caracteristicii complexe n perioada de baz (y0 = f0 x0) i valorile factorului calitativ (x0 i x1), deci i indicele individual (ix):

=

00

010/1 fx

fxI x 01

0

1 xixxx

i xx == ,

deci:

=

00

000/1 fx

fxiI

xx

se cunoate nivelul caracteristicii complexe n perioada curent (y1 = x1 f1)

i valorile factorului cantitativ n cele dou perioade (f0 i f1):

=

01

110/1 fx

fxI f 10

0

1 1 fi

fff

i ff == ,

deci:

=

11

110/1 1 fx

i

fxI

f

f

se cunoate nivelul caracteristicii complexe nperioada curent (y1 = x1 f1)

i valorile factorului calitativ n cele dou perioade de analiz (x0 i x1):

=

10

110/1 fx

fxI x 10

0

1 1 xi

xxx

i xx == ,

deci:


=

11

110/1 1 fx

i

fxI

x

x

Se observ c, n cazurile a) i b), indicii agregai au factorului cantitativ, respectiv calitativ, au fost calculai ca o medie aritmetic a indicilor individuali ponderai cu valoarea cunoscut x0 f0. n urmtoarele dou cazuri, c) i d), indicii agregai ai factorilor cantitativ i calitativ au fost determinai ca medii armonice ale indicilor individuali ponderai cu valoarea cunoscut x1 f1. Aceste variante devin eficiente atunci cnd sistemul informaional nu ne permite obinerea unui anumit tip de informaii, avnd posibilitatea nlocuirii lor cu date cunoscute, disponibile. 9.5. Indici calculai ca raport a dou medii. n practic apare deseori necesitatea de a calcula anumii indicatori calitativi la nivel de colectivitate general. n aceste condiii, indicatorii respectivi au un caracter de medie. n anumite cazuri, cnd factorul cantitativ nsumabil are o anumit structur (de exemplu, salariaii dintr-o filial a unei firme-mam), fenomenul complex oglindete influena schimbrii n timp a doi factori: variaia factorului calitativ i structura factorului cantitativ. Pentru a rezolva o astfel de problem, putem apela la calculul indicilor agregai ca raport a dou medii sau, altfel spus, la indicii valorilor medii. De exemplu, factorul calitativ (preul de vnzare, costul mediu, productivitatea muncii) poate fi reprezentat ca medie, la nivelul ntregii colectiviti, astfel:

== figxf

fxx 1

1

11 ,

unde ponderea factorului cantitativ este calculat astfel:

= iifi ff

g

Faptul c ponderea factorului cantitativ se determin pe baza nsumrii factorului cantitativ ne conduce la ideea c putem utiliza calculul indicelui agregat cu ajutorul raportului a dou medii numai atunci cnd factorul cantitativ este nsumabil. Dinamica variabilei calitative calculat ca raport a dou medii se face utiliznd sistemul de indici medii: indicele cu structur fix, indicele cu structur variabil i indicele de variaie a structurii:

- indicele cu structur fix:


=

1

10

1

11)( :f

fxf

fxI xxSF .

Acest indice exprim modificarea relativ a nivelului mediu n perioada curent fa de perioada de baz sub influena factorului calitativ. n acest caz, modificarea absolut a nivelului mediu al caracteristicii studiate se determin ca diferen ntre numrtorul i numitorul fiecrui indice:

== ffxxSF gxgxf

fxf

fx1010

1

10

1

11)( ;

- indicele cu structur variabil:

=

0

00

1

11)( :f

fxf

fxI xxSV .

Indicele exprim modificarea relativ a nivelului mediu n perioada curent fa de perioada de baz, lund n calcul att influena factorului calitativ, ct i a factorului cantitativ (de strructur). Modificarea absolut se determin dup relaia:

== fffxxSV gxgxf

fxf

fx0011

0

00

1

11),(

- indicele de variaie a structurii (modificare a stucturii):

=

0

00

1

10)( :f

fxf

fxI fxVS .

n acest caz, indicele reprezint influena factorului cantitativ asupra dinamicii valorii medii, iar determinarea modificrii absolute este:

== fffxVS gxgxf

fxf

fx0010

0

00

1

10)( .

Relaiile dintre aceti indici i respectiv, dintre modificrile absolute sunt:

VSSFSV III = ;

VSSFSV = .


9.6. Indicii teritoriali. n sens larg, putem spune c indicii teritoriali sunt mrimi relative de coordonare utilizate pentru compararea fenomenelor i proceselor economico-sociale de acelai fel i din aceeai unitate de timp, ns din uniti de spaiu diferite. Indicii teritoriali se construiesc pentru comparaiile economice i sociale la nivel internaional sau naional. Privitor la comparaiile teritoriale naionale, obiectul acestora l constituie: preul mediu, costul mediu, recolta medie la hectar, salariul mediu, productivitatea medie a muncii etc. Pentru construirea indicilor teritoriali trebuie soluionate urmtoarele probleme:

asigurarea comprabilitii coninutului indicatorilor analizai; alegerea bazei de comparare; alegerea fenomenului formulei de calcul i a sistemului de ponderare.

De exemplu, n cazul comparrii a dou uniti administrativ-teritoriale A i B, avem urmtoarele variante:

a) indici teriotriali individuali: - factorul calitativ (x):

A

BxAB

B

AxBA X

Xisau

XX

i == // ;

- factorul cantitativ (f):

A

BfAB

B

AfBA f

fisau

ff

i == // ;

- factorul complex (y = x f):

BB

AA

B

AyBA fX

fXyy

i ==/ sau AA

BB

A

ByAB fX

fXyy

i ==/ .

n cazul celor doi factori, calitativ i cantitativ, pe de o parte, i al celui complex,

pe de alt parte, ntre cele dou variante exist relaia de reversibilitatea n spaiu:

1// = x ABx BA ii 1// = f ABf Ba ii 1// = y ABy BA ii

b) indici teritoriali de grup: - forma agregat:

==

BB

AA

B

AyBA fX

fXyy

I / sau AA

BB

A

ByAB fX

fXyy

I ==

/ .


Principiul reversibilitii n spaiu nu este ntotdeauna respectat, mai ales n cazul indicilor de grup, deoarece apare elementul de ponderare sau frecven.

Astfel, avem urmtoarle sisteme de ponderare: - pentru factorul calitativ:

=

AB

AAxBA fX

fXI / ;

=

BB

BAxBA fX

fXI /

sau

=

BA

BBxAB fX

fXI / ;

=

AA

ABxAB fX

fXI / .

- pentru factorul cantitativ:

=

BA

AAfBA fX

fXI / ;

=

BB

ABfBA fX

fXI /

sau

=

AB

BBfAB fX

fXI / ;

=

AA

BAfAB fX

fXI / .

Pentru exemplificare s considerm o societate comercial de export-import care desface pe dou piee diferite, dou ri diferite A i B, mai multe produse, n cantitile i la preurile din tabelul urmtor:

Cantitate (+) Pre unitar ($/t) Volumul valoric al vnzrilor ($)

Denumire produs

qA qB pA pB QA QB Produs A 20 25 80 75 1600 1875 Produs B 80 60 50 60 4000 3600 Produs C 45 40 100 120 4500 4800 TOTAL 145 125 - - 10.100 10.275

Pentru a compara cele dou ri, de fapt cele dou piee, se va considera ca baz de raportare piaa rii B. Comparaia se poate face din urmtoarele puncte de vedere:

- din punctul de vedere al cantitilor vndute:

%11616,1125145

/ sauff

IB

AfBA ===


Acest rezultat arat c pe piaa A s-au vndut cu 16% mai multe tone de marf dect pe piaa B:

- din punct de vedere al preurilor:

%73,848473,0:/ saufQ

fQ

xx

IB

B

A

A

B

AxBA ===

Rezultatul arat c preul mediu pe piaa A a fost cu 15,27% mai mic dect

preul mediu pe piaa B. - din punctul de vedere al ncasrilor:

%29,989829,01027510100

/ sauQQ

IB

AQBA ===

Volumul valoric al tranzaciilor pe piaa A a fost cu 1,71% mai mic dect

volumul valoric al tranzaciilor pe piaa B. De remarcat, c i n aceast situaie se verific relaia:

x

BAf

BAQ

BA III /// =

8473,016,19829,0 =

Analiza teritorial efectuat cu aportul indicilor teritoriali, trebuie s opteze pentru acele relaii de calcul care servesc cel mai bine scopului propus i care sunt n msur s caracterizeze cel mai bine realitatea economico-social.


Probleme i aplicaii: 9.1. n exportul a trei produse se cunosc urmtoarele date comparative ale dou trimestre ale anului 1997:

(date convenionale) Denumire produs Indicii de preuri Volumul valoric (mild.lei)

Trim III Trim IV A B C

140 130 180

4 4 1

8 6 4

Se cere: 1. s se calculeze indicii individuali ai volumului valoric i ai volumului fizic; 2. s calculeze indicii de grup care caracterizeaz evoluia exportului celor trei produse; 3. s se msoare influena factorilor posibili asupra evoluiei volumului valoric al exportului la nivelul firmei. 9.2. Se cunosc urmtoarele date referitoare la producia de lactate realizat de fabrica de lactate Mioria-Lact din Bucureti:

(date convenionale) Produsul Unitate de

msur Cantitate (mii) Preuri (mii lei)

1996 1997 1996 1997 Lapte

Brnz topit Litru Buc.

25 8

20 12

3 5

4 7

Se cere: 1. s se fac analiza comparativ a indicilor de pre calculai dup relaiile Laspeyres, Paasche i Fisher; 2. s se decompun pe factori de influen creterea volumului valoric al vnzrilor de produse lactate. 9.3. Cheltuielile de consum ale unei familii prezint urmtoarele valori:

Grupa de produse

Cheltuieli lunare (mii lei) Indicele individual de

pre Per.baz Per.crt.

Alimentare Nealimentare

Servicii

350 100 80

400 170 160

330 250 300

Se cere: 1. s se calculeze indicele de grup al preului ca medie artimetic ponderat; 2. s se calculeze indicele de grup al preului ca medie armonic ponderat.

CAPITOLUL 99.1. Clasificarea indicilor9.2. Probleme metodologice ale indicilor de grup9.3. Descompunerea pe factori de influen a variaiei unui fenomen complexfolosind metoda indicilor9.4. Indici calculai ca medie a indicilor individuali9.5. Indici calculai ca raport a dou medii9.6. Indicii teritorialiProbleme i aplicaii

Documents

indici statistici -suport de curs