Indici temporali di un flusso di pagamenti

Indici temporali di un flusso di pagamenti

• Consideriamo una rendita costituita da n rate R1, R2, …, Rn non necessariamente costanti, con valuta t1, t2,…,tn.

• Vogliamo associare ad una rendita un indice temporale che sintetizzi la distribuzione delle rate nel tempo.

• Vita a scadenza: tn-t0

Scadenza media aritmetica

• È la media aritmetica delle scadenze ti ponderate con pesi dati dagli importi Ri delle rate

n

kk

n

kkk

R

tRt

1

1

n

kkn

kk

k tR

Rt

1

1

La scadenza media aritmetica non dipende né dal tasso di valutazione né dal regime di attualizzazione.

ESEMPIO

• La scadenza media aritmetica di una rendita così costituita:

(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6).

174,4130001150010000

613000411500210000

t

Scadenza media

• È definita come la scadenza z di un unico capitale W di importo pari alla somma delle rate in modo tale che il valore attuale di W, in un regime di sconto opportuno, coincida con il valore attuale della rendita.

)()()(11

kk

n

kk

n

kk tgRzgRzWg

In particolare, se il regime di sconto è quello composto,

kn

kk

zn

kk

z iRiRiW

)1()1()1(

11

Passando ai logaritmi otteniamo:

Scadenza media

• la scadenza media dipende: - dal regime di attualizzazione - dal tasso di valutazione usato.

i

iRRz

n

k

n

k

kkk

1ln

1lnln1 1

kn

kk

zn

kk iRiR )1(ln)1ln(ln

11

• Si dimostra che, per i regimi di sconto fin qui descritti, la scadenza media esiste sempre, è unica e risulta compresa tra la scadenza della prima e dell'ultima rata.

• Si dimostra inoltre che, nel regime a sconto commerciale, la scadenza media e la scadenza media aritmetica coincidono (DIM).

Scadenza media

Proprietà della scadenza media in regime composto

• La scadenza media è sempre inferiore alla corrispondente scadenza media aritmetica per qualunque valore positivo del tasso di interesse periodale i:

i

iRRz

n

k

n

k

kkk

1ln

1lnln1 1

0 itz

La scadenza media è funzione decrescente del tasso di interesse periodale i:

0di

dz

n

kkn

kk

k tR

Rt

1

1

• All’approssimarsi a 0 del tasso di interesse periodale i, la scadenza media tende a coincidere con la scadenza media aritmetica:

Proprietà della scadenza media in regime composto

tzi

0

lim

• All’aumentare del valore del tasso di interesse periodale i, la scadenza media tende a coincidere con la scadenza della prima rata:

1lim tzi

Esempio

• Si prevede di incassare Euro 500 tra un mese e Euro 800 tra due mesi. Qual è la scadenza media in regime composto al tasso annuo i = 8%?

• Il tasso da utilizzare è quello equivalente mensile i12 = 0.006434.

006434.01ln

))006434.01(800)006434.01(500ln(1300ln 21

z

z = 1.6146 mesi. La scadenza media z è un mese e 18 giorni.

Durata media finanziaria (duration)

• È una scadenza media aritmetica avente per pesi i valori attuali delle rate:

n

kkn

k

kk

kk tvR

vRD

1

1

Misura la distanza da t0 del baricentro della distribuzione temporale delle masse

ESEMPIO

• La duration di una rendita così costituita:

(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6), tasso interesse annuale 0,1

921,3)1,1(13000)1,1(11500)1,1(10000

6)1,1(130004)1,1(115002)1,1(10000642

642

d

Duration rendita rata costante

• La duration è indipendente dalla rata

1

1

kn

knkk

k

RvD t

Rv

Esempio

• Consideriamo le due rendite finanziariamente equivalenti (valore attuale = 110) e il fattore di sconto composto

1;110,0;10A 2;5,60,1;66B

ttg

1.01

1)(

909,0AD 4545.1BD

913.0Az 466.1Bz

917.0At 478.1Bt

Scadenza media aritmetica

n

kkn

kk

k tR

Rt

1

1

917,0120/)110(*1120/)10(*0 At

478,15,126/)5,60(*25,126/)66(*1 Bt

Scadenza media

i

iRRz

n

k

n

k

kkk

1ln

1lnln1 1

1ln120 ln(10 110(1 0.1) )

0.913ln 1 0.1Az

1 2ln126.5 ln(66(1 0.1) 60.5(1 0.1) )

1.466ln 1 0.1Bz

duration

n

kkn

k

kk

kk tvR

vRD

1

1

909,0110

1)1,1(110 1

Ad

4545,1110

2)1,1(5,601)1,1(66 21

Bd

Esercizi

• ACD: cap.5 es.5.10, cap. 10 es.10.16 punto a), es.10.18 punto a)

• BC: cap. 2 es.8,