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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR

Facultad Multidisciplinaria de Occidente

Departamento de Matemticas

Asignatura:

Teora Combinatoria

Actividad:

Induccin Matemtica

Docente:

Licdo. Jaime Isaac Pea Meja

Equipo de Trabajo:

Murga Blanco, Luis Henry MB12026

Milla Delgado, Daniel MD12034

Fecha: Lunes 30 de Mayo del 2016

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El mtodo deductivo, muy usado en matemtica, obedece a la siguiente idea: A partir de un cierto

conjuntos de axiomas aceptados sin demostracin y de reglas lgicas no contradictorias, se deducen otros

enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lgicas".

Otro mtodo para demostrar resultados generales que dependen en algn sentido de los nmerosnaturales es conocido con el nombre de Induccin Matemtica. Esta dependencia de los nmeros

naturales significa: Se sabe que una determinada informacin es verdadera para algunos casos particulares

y surge la pregunta. Dicha informacin sigue siendo verdadera para los infinitos nmeros naturales

restante?

Existen muchas informaciones que slo son vlidas para un nmero infinito de casos y en

consecuencia son falsas para un nmero infinitos de situaciones. Sin embargo, podemos encontrar

proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas solo a partir de un cierto nmero natural , de ser as, latcnica que se desarrollara se llama Induccin Incompleta. Para demostrar que una proposicin , es verdadera; es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos delconjunto

. En el caso en que

, diremos que es una Induccin Completa.

Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicin essuficiente indicar un elemento particular de manera que sea falsa.A continuacin se presenta un contra ejemplo:

1er

Ejemplo.

Se vuelve un poco fcil comprobar que esta desigualdad es cierta para los valores que toma

. Sin embargo, para

no se cumple ya que

.

Podemos notar que en dicho ejemplo de poca complejidad muestra que una proposicin puede ser

verdadera para los primeros nmeros Naturales, sin embargo comprobamos que no se cumple para

nmeros Naturales ms grandes que 3.

2do

Ejemplo.

Podemos observar que al otorgarle los valores de 1, 2 y 3 a cumplen al ser divisibles por 5, pero alrealizar las operaciones asignndole el valor de 4 a

, nos daremos cuenta que no cumplir.

Principio de Induccin Matemtica

Una proposicin es verdadera para todos los valores de la variable si se cumplen lassiguientes condiciones:

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1)La proposicin es verdadera para o bien para resulta verdadera.2)Hiptesis de Induccin. Se supone que es verdadera, donde es un nmero Natural

cualquiera.

3)Tesis de Induccin. Se demuestra que para es verdadera, o tambin:

La tcnica de Induccin matemtica consiste en los tres pasos anteriormente mencionados. Si se necesita

demostrar la validez de una proposicin para todos los valores Naturales de entonces es suficienteque se cumplan los tres pasos anteriores.

Existen dos variantes tiles sobre el Principio de Induccin Matemtica que deben considerarse. En la

primera variante, a proposicin por demostrar involucra los Naturales no menores a un Natural fijo eneste caso el Principio de Induccin quedara as:

Determinar para que valores de es verdadera la Desigualdad: Al examinar los valores de se puede verificar que la desigualdad no se cumple, pero sicuando tomamos el si es posible cumplirla, por lo que podemos demostrar por el Mtodo deInduccin que para todos los valores de la desigualdad es verdadera.1

er Paso: Si , obtenemos el valor:

2do

Paso: (Deducimos la Hiptesis Inductiva) Se podra decir que la desigualdad es Verdadera para un cierto

valor de . 3

erPaso: Finalmente a partir de la Hiptesis Inductiva, se desea probar la Tesis dada por:

Al Multiplicar la desigualdad dada en la HI por 2, obtenemos

Transformando el segundo miembro de esta de desigualdad

Teniendo en cuenta que podemos deducir que

, Obteniendo lo que se requera demostrar (La Tesis antes planteada).

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1er

Ejemplo: Utilizando Induccin Matemtica para demostrar que es divisible entre 3.

1)Comprobamos si

2)Asumimos que , es Verdadera.

3)Predecir que cumple para , entonces:

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2do

Ejemplo:Demostrar por Induccin Matemtica que:

1)Verificar si cumple para

2)Asumimos que cumple para

3)Predecir que cumple para

4)Demostraremos que si cumple para , tambin cumple para :

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3er





4)Demostraremos que cumple para , tambin debe cumplir para :

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4to



2) Asumimos que cumple para

3)Predecir que cumple para n

4)Demostraremos que si cumple para , tambin deber cumplir para y cumple para :

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5to


1)Comprobamos si



4)Demostraremos que cumple para , entonces se cumple para

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6to

Ejemplo: Demuestre que para todo Natural

Demostracin: Sea se tiene que . La Proposicin Verdadera.

La Hiptesis de Induccin:

Tesis:

Sumando

a la izquierda de la Hiptesis Inductiva se tiene:

Al desarrollar obtendremos:

De esta forma damos por concluida la Demostracin.

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7to


1)Verificar si cumple para en el extremo izquierdo sustituyendo este valor en su n-esimotermino y tambin en su extremo derecho:



4)Demostraremos que cumple para , y cumple para :

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8er

Ejemplo: Demostrar que 2 es un factor de para todo entero positivo de n.

1)Demostrar que dado entero positivo cumple que 2 es factor de

, sustituyendo

en la expresin:

Verificamos que si es verdadero que 2 es factor de cuando 2)Asumimos que es verdadero (Esta ser nuestra Hiptesis)

;

3)Predecir que si cumple para (Esta ser nuestra Tesis)Sustituimos

4)Demostrar que si cumple para , tambin debe cumplir para

Sabemos que:

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9no





4)Demostraremos que si cumple para , tambin cumple para :

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10mo


Verificar si cumple para en el extremo izquierdo sustituyendo este valor en su n-esimo trmino ytambin en su extremo derecho:



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3)Demostraremos que cumple para

, y cumple para

:

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1)Comprobamos si



4)Demostraremos que cumple para , entonces se cumple para

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