Inducció matemàtica versus raonament per “element genèric”

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES I ARGUMENTACIÓ

“Saber que és cert” versus “Saber per què és cert”

Vicenç FontUniversitat de Barcelona

Font, V y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. Educaço Matematica Pesquisa (en prensa).

Argument• Argument: una sèrie de raons articulades (premisses)

que s’aporten amb el propòsit de justificar o recolzar una altra (anomenada conclusió o tesi).

• Raó: és la proposició que s’addueix en favor d’una altra.• • Les dades són raons que neixen de l’observació.

• Les definicions, proposicions i procediments són raons que s’utilitzen com la garantia que justifica el pas de les dades a la conclusió.

• Les tesis es poden classificar de diferents formes: poden ser necessàries (afirmen que quelcom no pot ser d’una altra manera) o contingents. Poden ser a priori o a posteriori, etc.

Raonament versus argument• En què es distingeix un argument d’un raonament? • Ben sovint apareixen com a sinònims, però no tots els

raonaments són arguments. • Es diferencien pel seu àmbit d’influència. Raonem per a

nosaltres mateixos; argumentem per als altres. • Un argument és la manifestació pública d’un raonament,

la seva projecció social, • Argumentem perquè la nostra opinió pugui ser

compartida.• D’un raonament a un argument hi ha la mateixa distància

que va d’un pensament a la seva expressió oral. Encara que molt sovint els utilitzem com a sinònims, són coses distintes.

Opinió, explicació i argumentació

• Tot argument, per definició, està dirigit a l’objectiu de demostrar la veritat (conveniència) o falsedat d’una afirmació, per mitjà de proves convincents.

• Quan una afirmació no té sosteniment, és a dir no es recolza en premisses, no estem davant d’un argument. Pot expressar una opinió.

• L’objectiu d’un argument és provar una conclusió discutible, mentre que l’explicació pressuposa que no hi ha discrepància.

• Una altra diferència entre argumentació i explicació és que aquesta última no sempre es relaciona amb la “prova” (per exemple, se “explica” el que va passar, és a dir es fa una descripció)

Nivells de prova (demostració) en matemàtiques

• En l’evolució i desenvolupament de les teories matemàtiques cal considerar, com a mínim, tres estadis successius, corresponents a tres diferents nivells de precisió i rigor en el concepte de prova.

• En el primer estadi, anomenat intuïtiu o ingenu, es proven els enunciats de la teoria, però no es diu ni d´on part la prova ni quins són els procediments admissibles per a provar.

• En el segon estadi, anomenat axiomàtic, es determina el punt de partida de la prova, triant certs enunciats de la teoria com a axiomes i exigint que tots els altres siguin provats a partir d’ells, encara que segueix sense explicitar-se quins són els procediments o regles o mitjans de prova admissibles.

• En el tercer i últim estadi, anomenat formalitzat, el concepte de prova està completament precisat i explicitat, tant pel que fa al punt de partida de la prova com als mitjans de prova permesos.

• Hersh (1993) descriu la demostració en la pràctica real del matemàtic com «un argument convincent jutjat com a tal per jutges qualificats»

Demostració i validació• De manera general, es pot dir que una deducció o demostració (prova)

matemàtica és una successió coherent de passos que, prenent com verdader un conjunt de premisses anomenades hipòtesis, permet assegurar la “veritat” (“validesa”) d’una tesi.

• Aquests passos han d’estar fonamentats en l’aplicació de regles de deducció lògica, axiomes o teoremes anteriorment demostrats.

• Les demostracions (proves) matemàtiques són un tipus d’arguments.

• Com resultat de l’evolució del que s’entén per “veritat matemàtica” s’utilitza el terme “validació” com a sinònim de demostració (prova)

Abans:

La deducció des d’axiomes intuïtius és condició necessària i suficient de la veritat matemàtica

Ara:

Un enunciat és matemàticament “vàlid” si és deduïble d’un sistema d’axiomes no contradictori.

Forma estàndard

Sigui quina sigui la manera en què presentem o se’ns ofereix un argument, en molts casos és possible reconstruir-ho en un format que mostri amb claredat l’estructura lògica del raonament (p.e. segons l’esquema següent):

Tipus de demostració• Directa (constructiva) Es mostren les premisses que condueixen directament a la

conclusió

• Indirecta (p.e. per eliminació o por reducció al absurd) S és A o B o C

Però no és B ni és C Per tant, és A

Si no és A, hem d’acceptar que és no-A Si fora no-A, llavors es compliria no-B Però es compleix B Per tant, no pot ser no-A Per tant, és A

• Proves que proven versus proves que expliquen

1. Troba el major nombre possible de quadrats de qualsevol grandària que es poden formar en un tauler de 4x4 i en un de nxn.

Estratègia inicial. Buscar un exemple mes simple i trobar alguna regularitat

(aleatòriament , de manera sistemàtica, hàbilment)

1 1

1 x 1 2x2 3x3 4X4 TOTAL

4 1 5

9 4 1 14

16 9 4 1 30

Per a un tauler de 4 x 4 tenim:

1² + 2² + 3² + 4²

Per a un tauler de 8 x 8, serà:

1 ² + 2² + 3 ² + 4² + 5² + 6 ² + 7² + 8²

Per tant, en general: n

n1

2

• Generalització per inducció (empírica/incompleta)(sembla que és cert, però no sabem per què)Formulación de una conjectura

• Validació del resultat (argumentem a partir d’un element genèric).(sabem que és cert i per què ho és)

4 de (n-1) x (n-1)

De manera análoga es veu que n’hi ha 9 de (n-2) x (n-2).

Etc.

Un element concret però genèric

Un element genèric, però concretMason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1988)

Tot S és P (no existeix cap cas amb la propietat S que no presenti la propietat P).No s’han examinat tots els casos. Només un, però estem segurs de que el que diem per aquest cas es vàlid per a tots els casos

És una generalització a partir d’un cas particular.

Ha de ser un cas qualsevol, és a dir, no pot presentar diferències particulars que anul·lin la seva representativitat

AMPLIACIÓ DEL PROBLEMA

• Buscar una expressió que ens doni la suma dels quadrats dels primers números naturals

Demostració per inducció

n

n1

2

1) Conjetura sobre l’expressió de la suma

Es va provant amb valors de n petits (p.e. n<5) i s’observa que per a aquests valors es compleix:

Courant, R. y John, F. (1976). Introducción al cálculo y al análisis matemático, pp. 81-82

2) Demostració per inducció completa

I com es fa aquesta observació?

En la inducció completa, s’examinen tots els casos

Sabem que és cert, però no sabem perquè ho és

Alguns suggeriments visuals

???

Una segona solució (Mario Bunge) que ens informa sobre el per què la podem trobar a:

http://www.rinconmatematico.com

Volem saber per què és cert

Problema• Amb les peces de la figura:

a) Construeix un cub de 4x4 b) Descriu les peces que són necessàries

per a construir (de la mateixa manera) un cub de 5x5, un de 8x8 i un de nxn c) En el cas del cub nxn, puc construir les peces de color groc si tinc

cubs de 1x1?d) Demostra de 5 maneres diferents l’apartat anterior.

1 + 22 + 32 + 1·3 + 2·5 = 33

UNA DEMOSTRACIÓ DIFERENT

(nova? -> V. Font)

1 + 22 + 32 + 42 + 1·3 + 2·5 + 3·7 = 43

1 + 22 + 32 + 42 +….+ n2 + 1·3 + 2·5 + 3·7 + …. (n -1)(3+2(n-2)) = n3

1 + 22 + 32 + 42 +….+ n2 + 1·3 + 2·5 + 3·7 + ….2n2 -3n + 1 = n3

1 + 22 + 32 + 42 +….+ n2 = T 2·12 - 3·1 + 1

2·22 - 3·2 + 1

2·32 -3·3 + 1

………………

2T -3(n+1)n/2 + nT + 2T -3(n+1)n/2 + 2 = n3

2T + 4T - 3(n+1)n + 2n = 2n3

2T + 4T - 3n2 - 3n + 2n = 2n3

6T = 2n3 +3n2 + n

TRADUCCIÓ ENTRE LLENGUATGES

• Interpretació geomètrica del desenvolupament del cub d’un binomi

GEOMETRIA

• Descomposició d’un cub en poliedres

MATERIALS DIDÀCTICS

• Construcció d’un material didàctic per a la construcció d’un cub a partir d’altres poliedres

Demostració de Man-Keung Siu(Nelsen 1993)

Zack y Reid

http://publish.edu.uwo.ca/cmesg/cmesg00/VZTG.html

Martin Gardner i Dan Kalman independentment (Nelsen 1993)

Sidney H. Kung(Nelsen 1993)

Una altra demostració (Mario Barra)

1/2

1/3 1/6

n3

n2

n6

32

1+ 4 + 9 + 16 … Demostració visual (Mario Barra)

Actividad 1 A

Construye 3 piezas como la primera. Monta un cubo con ellas.Construye 6 como la segunda (B). Monta un cubo con ellas.Con dos piezas como la tercera, puedes montar claramente un cubo.

AB

C

Construye una pirámide de cartulina de 6x6 de base y 6 de altura Con la medida de la pirámide A anterior como primer término.

A

Actividad 3 Construye las piezas que ves con 36 mitades como la figura C

Y une además 6 piezas como la figura B

1

3

5

7

Coloca las escaleritas como se ve en la figura, apoyadas sobre la pirámide que habías construido de 6x6x6.En cada piso, queda hueco de trocitos como C

Si hay n pisos¿Cuántas piezas hay en total?

Ahora piensa en lo que hemos obtenido en general.

¿Cuantos cubitos unidad estamos viendo ?

La suma de pisos cuadrados de 1 a n

¿Qué número de piezas los ha formado?

2

Una pirámide de n x n x nTantas medias piezas de cubo como 1 +3+5--- o sea n2

Una pieza por piso de 1/6

¿Cuál es, entonces, la suma de los cuadrados?

EULER (1752): V+C = A+2

EL PROBLEMA DE LA REPRESENTATIVIDAD DE LOS ELEMENTOS GENÉRICOS

Lakatos (1978) muestra claramente el peligro de la argumentación con elementos genéricos

CAUCHY (1813): 1) QUITAR UNA CARA V+C = A+12) APLANAR3) TRIANGULAR4) ELIMINAR TRIÁNGULOS5) COMPROVAR V+C = A+1 EN EL TRIÁNGULO

LHUILIER (1812)EXCEPCIÓN AL TEOREMA DE EULER Y A LA DEMOSTRACIÓN DE CAUCHY

CUBO ENCAJADO EN OTRO. PUEDE CONSIDERARSE QUE EL CUBO INTERIOR PERFILA UN HUECO DENTRO DEL GRANDE1) NO SE CUMPLE EL TEOREMA DE EULER2) NO SE PUEDE SEGUIR EL PROCEDIMIENTO DE CAUCHY YA QUE AL QUITAR UNA CARA NO SE PUEDE EXTENDER SOBRE EL PLANO.

SI BIEN ESTE CASO CUMPLE LA DEFINICIÓN DE POLIEDRO QUE HABÍA DADO LEGENDRE (1794) (SÓLIDO CUYAS CARAS SON POLÍGONOS) ES UN CASO BASTANTE MÁS COMPLICADO DE LOS CASOS QUE SUGIRIERON EL TEOREMA DE EULER

SOLUCIÓN: MODIFICAR LA DEFINICIÓN DE POLIEDRO PARA EXCLUIR ESTE CASO.

NUEVA DEFINICIÓN DE POLIEDRO: UNA SUPERFICIE CON CARAS POLÍGONALES (JONQUIÈRES 1890)

Dificultades de los alumnos en el uso de elementos genéricos

(Contreras, Font, Luque y Ordóñez, 2005)

• Cuando en las prácticas matemáticas utilizamos una representación como un elemento genérico estamos actuando sobre un objeto particular, pero nos situamos en un "juego de lenguaje” en el que se entiende que nos interesan sus características generales y que prescindimos de los aspectos particulares.

• Para conocer los detalles sobre las características de este juego del lenguaje, y de las dificultades que tienen los alumnos para participar en él, es necesario el análisis de diálogos entre profesores y alumnos relacionados con el uso de elementos genéricos.

• La asimilación (o no) de las reglas de este juego de lenguaje es fundamental para que los alumnos puedan convivir con la complejidad semiótica asociada a las prácticas en las que interviene el elemento genérico.

• A continuación siguen dos diálogos en los que el profesor explica a los alumnos las reglas que rigen el uso del ejemplo genérico.

Diálogo 1 En este diálogo la profesora propone a los

alumnos que resuelvan la siguiente actividad de su libro de texto:

Ejercicio 14: Dada la función f(x)=ax+ b, demuestra que f ‘(x0)=a, independientemente del valor x0 considerado.

• Esta actividad se propone justo después de que la profesora haya explicado en clase un párrafo del libro de texto en el que se justifica que la derivada de la función constante f(x)=k es f ‘(x)=0 primero gráficamente, razonando sobre la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de la recta, y después calculando el límite de las tasas de variación media:

• Profesora: Lo vais a hacer de dos formas diferentes: gráficamente y utilizando límites. ¿De acuerdo? Venga, y después sale alguien a la pizarra a corregirlo. Mientras os voy repartiendo más material que después haremos servir, eh!, y así ya lo tenéis

• Alumno(Iván): Pero gráficamente, podemos... Eso es un ejemplo, si lo representamos gráficamente es un ejemplo...

• Profesora: (mientras hace gestos con la cabeza de que lo que dice el alumno es correcto y se acerca hacia él). Sí, Correcto!

• Iván: Y dice que x cero se considera...• Profesora: Sí, pero Iván, para poderlo justificar coges un

punto cualquiera de esta recta, cualquiera, y lo haces, y como esto lo podrías hacer con cualquier punto y con cualquier recta, sirve par justificarlo. ¿De acuerdo? Pero tienes razón, claro, para poderlo dibujar has de escoger un punto concreto y una recta concreta (mientras habla la profesora va repartiendo hojas a los alumnos).

• Diálogo 2

Después de que el profesor haya introducido en clases anteriores la derivada en un punto como

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

y justo después de haber introducido la función derivada como

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

• Consideremos finalmente la producción de la alumna que muestra cómo dicha alumna es consciente de las reglas de uso del elemento genérico ya que las toma en cuenta en su respuesta al cálculo de la función derivada.

A los alumnos se les había propuesto la siguiente tarea que tenían que realizar utilizando el programa Cabri:

A partir de la construcción propuesta los alumnos tenían que concluir primero que la traza que resultaba de mover el punto P era la parábola f(x) = x2 y que la recta PG era la recta tangente a esta función en el punto P.

También tenían que descubrir un invariante del tipo: en la parábola f(x) = x2 la recta tangente en P corta al eje de ordenadas en un punto tal que la longitud del segmento que tiene por extremos este punto y el origen de coordenadas es la ordenada de P.

• A continuación se les pidió que utilizaran esta propiedad para contestar la siguiente actividad:

Actividad

a) Si OF =a, justifica que GH =a, PF = a2 i PH = 2a2:

b) Utilizando que la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente, calcula f ´(a).

c) Demuestra que la derivada de la función f(x) = x2 es f ´(x) = 2x.

La respuesta de la alumna es:

“a) GH = a porque hay la misma distancia

PF = a2 porque la imagen de a en la función f(x) = x2 es a2

PH = 2a2 porque es el doble de FP.”

Observemos que, con la letra "p" minúscula, la alumna indica la pendiente de la recta tangente.

En la respuesta del apartado c), la igualdad "a = x" está expresando que el razonamiento de los apartados a) y b) son válidos para cualquier valor de a. Esto indica que la alumna ha entrado en el juego de lenguaje que regula el uso de elementos genéricos.

Referencias• Barra, M. (1986). Knowing how to prove. Actas CIEAEM 37, pp. 206-215.• Bunge, M. Prueba visual de la suma de los cuadrados de los naturales. http://

www.rinconmatematico.com• Contreras, A., Font, V., Luque, L. y Ordóñez, L. (2005). Algunas aplicaciones

de la teoría de las funciones semióticas a la didáctica del análisis infinitesimal. Recherches en Didactique des Mathématiques, 25(2), 151–186.

• Courant, R. y John, F. (1974). Introducción al cálculo y al análisis matemático. Tomos I y II. Limusa, México, 1976 y 1978

• Davis Ph. J. (1993). Visual Theorems. Educational Studies in Mathematics 24(4) 333-344.

• Font, V y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. Educaço Matematica Pesquisa (en prensa).

• Hanna, G. (1995) Challenges to the importance of proof, For the Learning of Mathematics, 15, 3, 42-49.

• Hersh, R. (1993). Proving is convincing and explaining. Educational Studies in Mathematics 24, pp. 389-399.

• Godino J.D y Recio A. M. (2001) Significados institucionales de la demostración. Implicaciones para la educación matemática. Enseñanza de las ciencias, 19 (3), 405-414.

• Lakatos, I.. (1978) Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Madrid: Alianza Editorial.

• Mason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1988). Pensar matemáticamente. M.E.C- Labor: Madrid.

• Nelsen, R. (1993). Proofs without words: Exercises in visual thinking. Washington, DC: Mathematical Association of America.

• Polya, G. (1954) Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton University Press, New Jersey.

• Thurston, W. P. (1994) On proof and progress in mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society. 30(2), 161-167. (Este artículo se reimprimió en For the learning of mathematics, 15, 1, 29-37 (1995).

• Zack, V. y Reid, D. A proof ought to explain: A classroom teacher-researcher, a mathematics educator, and three cohorts of fifth graders seek to make meaning of a non-obvious algebraic expression. http://publish.edu.uwo.ca/cmesg/cmesg00/VZTG.html