INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação 5) Relações 5.1) Relações e Dígrafos 5.1) Relações e Dígrafos 5.2) Propriedades de Relações

INE5403 - Fundamentos de Matemática INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a ComputaçãoDiscreta para a Computação

5) Relações5) Relações

5.1) Relações e Dígrafos5.1) Relações e Dígrafos

5.2) Propriedades de Relações5.2) Propriedades de Relações

5.3) Relações de Equivalência5.3) Relações de Equivalência

5.4) Manipulação de Relações 5.4) Manipulação de Relações

5.5) Fecho de Relações5.5) Fecho de Relações

Combinação de relaçõesCombinação de relações

• ExemploExemplo: Seja A={1,2,3} e B={1,2,3,4}. As relações : Seja A={1,2,3} e B={1,2,3,4}. As relações RR11={(1,1),(2,2),(3,3)} e R={(1,1),(2,2),(3,3)} e R22={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)} ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)} podem ser combinadas para obter:podem ser combinadas para obter:

RR11RR22={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(3,3)}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(3,3)}

RR11RR22={(1,1)} ={(1,1)}

RR11-R-R22={(2,2),(3,3)}={(2,2),(3,3)}

RR22-R-R11={(1,2),(1,3),(1,4)}={(1,2),(1,3),(1,4)}

Manipulação de relações (operações)Manipulação de relações (operações)

• Note que, uma vez que relações de A para B são subconjuntos de Note que, uma vez que relações de A para B são subconjuntos de AAB, duas relações de A para B podem ser combinadas de todos B, duas relações de A para B podem ser combinadas de todos os modos em que se puder combinar dois conjuntos.os modos em que se puder combinar dois conjuntos.

• Com estas operações nós podemos modificar, combinar e Com estas operações nós podemos modificar, combinar e refinar relações existentes para produzir relações novas.refinar relações existentes para produzir relações novas.

• Da mesma forma que nós podemos manipular números Da mesma forma que nós podemos manipular números usando as regras da álgebra, podemos também definir usando as regras da álgebra, podemos também definir operações que nos permitam operar com relações.operações que nos permitam operar com relações.

Operações entre relaçõesOperações entre relações

• DefiniçãoDefinição: Sejam R e S duas relações de A em B. : Sejam R e S duas relações de A em B. Então as seguintes relações são definidas:Então as seguintes relações são definidas:

1) R: a 1) R: a relaçãorelação complementarcomplementar de R é definida como:de R é definida como:

(a,b)(a,b)R R (a,b) (a,b)RR

– NotaNota: A : A matriz da relação matriz da relação R é obtida a partir da matriz R é obtida a partir da matriz de R trocando-se todos os 0’s por 1’s e vice-versa:de R trocando-se todos os 0’s por 1’s e vice-versa:

RRMM


2) R2) RS: a S: a relaçãorelação intersecçãointersecção de R com S é definida como:de R com S é definida como:

(a,b)(a,b)RRS S (a,b) (a,b)R R (a,b) (a,b)SS

– NotaNota: M: MRRS S = M= MR R M MSS (operação matricial lógica “ (operação matricial lógica “” sobre as ” sobre as matrizes booleanas M matrizes booleanas MRR e M e MSS).).

3) R3) RS: a S: a relaçãorelação uniãounião de R com S é definida como:de R com S é definida como:

(a,b)(a,b)RRS S (a,b) (a,b)R R (a,b) (a,b)SS

– NotaNota: M: MRRS S = M= MR R M MSS (operação matricial lógica “ (operação matricial lógica “” sobre as ” sobre as matrizes booleanas M matrizes booleanas MRR e M e MSS).).


4) R4) R-1-1: a : a relaçãorelação inversainversa de R é definida por:de R é definida por:

(a,b)(a,b)RR-1-1 (b,a) (b,a)RR

– NotaNota: M: MRR-1-1 = (M= (MRR))TT (transposta da matriz M (transposta da matriz MRR))


• ExemploExemplo: Sejam A={1,2,3,4}, B={a,b,c} e R e S de A em B : Sejam A={1,2,3,4}, B={a,b,c} e R e S de A em B definidas por:definidas por:

R={(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,b),(4,a)}R={(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,b),(4,a)}S={(1,b),(2,c),(3,b),(4,b)}S={(1,b),(2,c),(3,b),(4,b)}

Computar a) RComputar a) R b) Rb) RSS c) R c) RSS d) Rd) R-1-1

• SoluçãoSolução: :

a) Aa) AB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c), (4,a),(4,b), (4,a),(4,b),

(4,c)}(4,c)} R={(1,c),(2,a),(3,a),(3,c),(4,b),(4,c)} R={(1,c),(2,a),(3,a),(3,c),(4,b),(4,c)}

b) Rb) RS={(1,b),(2,c),(3,b)} S={(1,b),(2,c),(3,b)}

c) Rc) RS={(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,b),(4,a),(4,b)}S={(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,b),(4,a),(4,b)}

d) Rd) R-1-1={(a,1),(b,1),(b,2),(c,2),(b,3),(a,4)}={(a,1),(b,1),(b,2),(c,2),(b,3),(a,4)}


001

010

110

011

MR

010

010

100

010

MS

110

101

001

100

MR

c) R={(1,c),(2,a),(3,a),(3,c),(4,b),(4,c)} c) R={(1,c),(2,a),(3,a),(3,c),(4,b),(4,c)}



Calcular: a) MCalcular: a) MRR b) M b) MSS c) M c) MRR d) M d) MRR-1-1 e) M e) MRRSS f) M f) MRRSS




((ContinuaçãoContinuação):):

d) Rd) R-1-1={(a,1),(b,1),(b,2),(c,2),(b,3),(a,4)}={(a,1),(b,1),(b,2),(c,2),(b,3),(a,4)}

e) Re) RS={(1,b),(2,c),(3,b)}S={(1,b),(2,c),(3,b)}

0010

0111

1001

MM TRR 1

000

010

100

010

010

010

100

010

001

010

110

011

MMM SRSR




((ContinuaçãoContinuação):):

f) Rf) RS={(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,b),(4,a),(4,b)}S={(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,b),(4,a),(4,b)}

011

010

110

011

010

010

100

010

001

010

110

011

MMM SRSR

Manipulação de relaçõesManipulação de relações

ProvaProva: os itens (b) e (d) são casos particulares de : os itens (b) e (d) são casos particulares de propriedades gerais de conjuntos.propriedades gerais de conjuntos.

(a) Suponha que R(a) Suponha que R S e seja (a,b)S e seja (a,b)RR-1-1,,

- então (b,a)- então (b,a)R (definição de RR (definição de R-1-1) )

- segue que, como R - segue que, como R S, (b,a) S, (b,a)SS

- como (b,a)- como (b,a)S, segue que (a,b)S, segue que (a,b)SS-1-1 (definição de S (definição de S-1-1) )

- portanto, R- portanto, R-1-1 S S-1-1

TeoremaTeorema: Suponha que R e S são relações de A em B.: Suponha que R e S são relações de A em B.

(a) Se R(a) Se R S, então RS, então R-1-1 S S-1-1

(b) Se R(b) Se R S, então S S, então S R R

(c) (R(c) (R S)S)-1-1 = R = R-1 -1 SS-1-1 e (R e (RS)S)-1 -1 = R= R-1 -1 SS-1-1

(d) (R(d) (R S) = RS) = R S e (RS e (R S) = RS) = R SS


Prova da 1ra parte do item (c)Prova da 1ra parte do item (c): :

(c) (R(c) (R S)S)-1-1 = R = R-1 -1 SS-1 -1 temos que provar que: temos que provar que: i) (R i) (R S) S)-1-1 R R-1 -1 S S-1-1

ii) R ii) R-1 -1 S S-1-1 (R (R S) S)-1-1

i) (Ri) (R S)S)-1-1 R R-1 -1 SS-1-1

- suponha que (a,b)- suponha que (a,b)(R (R S)S)-1-1. .

ii) Rii) R-1 -1 SS-1 -1 (R (R S)S)-1 -1 (converso)(converso)

- basta reverter os passos acima.- basta reverter os passos acima.

- então (b,a)- então (b,a)RRS S (b,a) (b,a)R e (b,a) R e (b,a) SS- isto significa que (a,b)- isto significa que (a,b)RR-1-1 e (a,b) e (a,b)SS-1-1

- de modo que (a,b)- de modo que (a,b)RR-1 -1 SS-1-1


• ExercícioExercício: Seja A=B={1,2,3} e: Seja A=B={1,2,3} e

S={(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}S={(1,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}T={(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}T={(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}

– Verifique o item (c) do teorema com S e TVerifique o item (c) do teorema com S e T

– Verifique o item (d) do teorema com S e TVerifique o item (d) do teorema com S e T

– NOTA:NOTA:

(c) (R(c) (R S)S)-1-1 = R = R-1 -1 SS-1-1 e (R e (RS)S)-1 -1 = R= R-1 -1 SS-1-1

(d) (R(d) (R S) = RS) = R S e (RS e (R S) = RS) = R SS


• Os teoremas a seguir mostram o efeito que as operações Os teoremas a seguir mostram o efeito que as operações têm sobre algumas das propriedades vistas.têm sobre algumas das propriedades vistas.

ExemploExemplo: Seja A={1,2,3} e sejam:: Seja A={1,2,3} e sejam: R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,3)}R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,3)}S={(1,1),(1,2),(2,2),(3,2),(3,3)}S={(1,1),(1,2),(2,2),(3,2),(3,3)}

(a) R(a) R-1-1={(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),(3,3)} ={(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),(3,3)} R e R R e R-1-1 são ambas reflexivas; são ambas reflexivas;

TeoremaTeorema: Sejam R e S relações sobre A. Então:: Sejam R e S relações sobre A. Então:

(a) Se R é reflexiva, então R(a) Se R é reflexiva, então R-1-1 também o é; também o é;

(b) R é reflexiva se e somente se R é irreflexiva;(b) R é reflexiva se e somente se R é irreflexiva;

(c) Se R e S são reflexivas, então R(c) Se R e S são reflexivas, então RS e RS e RS também o são.S também o são.

(b) R={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} é irreflexiva enquanto que R é reflexiva;(b) R={(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} é irreflexiva enquanto que R é reflexiva;

(c) R(c) RS={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)} e S={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)} e RRS={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,2),(3,3)} são ambas reflexivas.S={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(3,2),(3,3)} são ambas reflexivas.


TeoremaTeorema: Seja R uma relação sobre A. Então:: Seja R uma relação sobre A. Então:

(a) R é simétrica se e somente se R=R(a) R é simétrica se e somente se R=R-1-1;;

(b) R é antissimétrica se e somente se R(b) R é antissimétrica se e somente se RRR-1-1 ( (: rel. de igualdade);: rel. de igualdade);

(c) R é assimétrica se e somente se R(c) R é assimétrica se e somente se RRR-1-1==..

TeoremaTeorema: Sejam R e S relações sobre A.: Sejam R e S relações sobre A.

(a) Se R é simétrica, então R(a) Se R é simétrica, então R-1-1 e R também o são; e R também o são;

(b) Se R e S são simétricas, então R(b) Se R e S são simétricas, então RS e RS e RS também o são.S também o são.


ExemploExemplo: Seja A={1,2,3} e considere as relações simétricas:: Seja A={1,2,3} e considere as relações simétricas:

R={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}R={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}

(b) R(b) RS = {(1,1),(1,2),(2,1)}S = {(1,1),(1,2),(2,1)} R RS = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3)}S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3)} ambas simétricas ambas simétricas

(a) R(a) R-1-1={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3)}={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3)} R={(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} R={(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} ambas simétricas ambas simétricas


• ExercícioExercício: Seja A={1,2,3,4,5,6} e sejam as relações de : Seja A={1,2,3,4,5,6} e sejam as relações de equivalência sobre A seguintes:equivalência sobre A seguintes:

R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)}

S={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4),(4,6),S={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4),(4,6), (5,5),(6,4),(6,6)} (5,5),(6,4),(6,6)}

Compute a partição correspondente a RCompute a partição correspondente a RS.S.

Composição de relaçõesComposição de relações

DefiniçãoDefinição: :

• Suponha que A, B e C são conjuntos, que R é uma Suponha que A, B e C são conjuntos, que R é uma relação de A em B e que S é uma relação de B em C.relação de A em B e que S é uma relação de B em C.

• Então define-se a relação de Então define-se a relação de composiçãocomposição de R e S, escrita como de R e S, escrita como SS oo R, como segue:R, como segue:

– Se aSe aA e cA e cC, então (a,c)C, então (a,c)SS oo R se e somente se existir R se e somente se existir algum balgum bB tal que (a,b)B tal que (a,b)R e (b,c)R e (b,c)S. S.

– ““S em seguida a R” (primeiro R, depois S).S em seguida a R” (primeiro R, depois S).


A B C

R S

a b c

So

R


• ExemploExemplo: Sejam A={1,2,3,4} e as relações R e S : Sejam A={1,2,3,4} e as relações R e S sobre A definidas por:sobre A definidas por:

R={(1,2),(1,1),(1,3),(2,4),(3,2)}R={(1,2),(1,1),(1,3),(2,4),(3,2)}S={(1,4),(1,3),(2,3),(3,1),(4,1)}S={(1,4),(1,3),(2,3),(3,1),(4,1)}

– Como (1,2)Como (1,2)R e (2,3)R e (2,3)S, então temos que (1,3)S, então temos que (1,3) S S oo R.R.

– Também (1,1)Também (1,1)R e (1,4)R e (1,4)S, assim (1,4)S, assim (1,4) S S oo R.R.– Continuando com este processo, encontra-se que:Continuando com este processo, encontra-se que:

SS oo R={(1,4),(1,1),(1,3),(2,1),(3,3)}R={(1,4),(1,1),(1,3),(2,1),(3,3)}


• O resultado a seguir mostra como computar conjuntos O resultado a seguir mostra como computar conjuntos relativos para a composição de duas relações.relativos para a composição de duas relações.

• TeoremaTeorema: Sejam R uma relação de A em B e S uma : Sejam R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. Então, se Arelação de B em C. Então, se A11A, temos queA, temos que

(S(S oo R)(AR)(A11) = S(R(A) = S(R(A11))))

• Ver prova no livro: teorema 6, pág. 138.Ver prova no livro: teorema 6, pág. 138.


• TeoremaTeorema: Se R é uma relação de A em B e S é uma : Se R é uma relação de A em B e S é uma relação de B em C, então:relação de B em C, então:

MMSS oo RR = M = MRR M MSS

• Além disto, se |A|=m, |B|=n e |C|=p:Além disto, se |A|=m, |B|=n e |C|=p:

– MMRR tem ordem mxn tem ordem mxn

– MMSS tem ordem nxp tem ordem nxp

– MMSS oo RR tem ordem mxp tem ordem mxp


• ExemploExemplo: Seja A={a,b,c} e sejam R e S relações sobre : Seja A={a,b,c} e sejam R e S relações sobre A com matrizes:A com matrizes:

R = {(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}R = {(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}

S = {(a,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,c)}S = {(a,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,c)}

SS oo R = {(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b),(c,c)}R = {(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b),(c,c)}

– E a matriz da relação composta SE a matriz da relação composta S oo R é:R é:

010

111

101

MR

101

110

001

MS

SRRS MM

110

111

101

M


• ExercícioExercício: Refazer com matrizes o exemplo:: Refazer com matrizes o exemplo:

Sejam A={1,2,3,4} e as relações R e S sobre A Sejam A={1,2,3,4} e as relações R e S sobre A definidas por:definidas por:

R={(1,2),(1,1),(1,3),(2,4),(3,2)}R={(1,2),(1,1),(1,3),(2,4),(3,2)}S={(1,4),(1,3),(2,3),(3,1),(4,1)}S={(1,4),(1,3),(2,3),(3,1),(4,1)}

o que leva a:o que leva a:

SS oo R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(3,3)}R={(1,1),(1,3),(1,4),(2,1),(3,3)}


• TeoremaTeorema: Sejam A, B, C e D conjuntos e:: Sejam A, B, C e D conjuntos e:

– R uma relação de A em B, R uma relação de A em B,

– S uma relação de B em C, e S uma relação de B em C, e

– T uma relação de C em D.T uma relação de C em D.

Então:Então:

TT oo (S(S oo R) = (TR) = (T oo S)S) oo R R

• Prova no livro: teorema 7, pág. 140, usando matrizes.Prova no livro: teorema 7, pág. 140, usando matrizes.


• Em geral:Em geral: S S oo R R R R oo SS

• ExemploExemplo: Sejam:: Sejam:

A={a,b}A={a,b}

R={(a,a),(b,a),(b,b)}R={(a,a),(b,a),(b,b)}

S={(a,b),(b,a),(b,b)}S={(a,b),(b,a),(b,b)}

Então:Então:

SS oo R = {(a,b),(b,a),(b,b)}R = {(a,b),(b,a),(b,b)}

enquanto que:enquanto que:

RR oo S = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}S = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}


• TeoremaTeorema: Sejam A, B e C conjuntos, R uma relação de : Sejam A, B e C conjuntos, R uma relação de A em B e S uma relação de B em C. Então:A em B e S uma relação de B em C. Então:

(S(S oo R)R)-1-1 = R = R-1-1 oo SS-1-1

• ProvaProva: seja c: seja cC e aC e aA. A.

– Então (c,a)Então (c,a)(S(S oo R)R)-1-1 (a,c) (a,c) S S oo R ;R ;

– ou seja, se e somente se existe bou seja, se e somente se existe bB com (a,b)B com (a,b) R e R e (b,c)(b,c)S;S;

– isto é equivalente a ter (b,a)isto é equivalente a ter (b,a)RR-1-1 e (c,b) e (c,b)SS-1-1

– o que, pela definição de composição, significa queo que, pela definição de composição, significa que (c,a) (c,a) R R-1-1 oo SS-1-1


• ExercícioExercício: Seja A={1,2,3,4} e sejam: Seja A={1,2,3,4} e sejam

R={(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2)}R={(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2)}

S={(3,1),(4,4),(2,3),(2,4),(1,1),(1,4)}S={(3,1),(4,4),(2,3),(2,4),(1,1),(1,4)}

– Calcule RCalcule R oo R.R.

– Calcule SCalcule S oo R.R.

– Calcule RCalcule R oo S.S.

– Calcule SCalcule S oo S.S.

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