Inégalités : petit recueil

Thibaut Allemand

6 mars 2007

L'analyse, ce n'est que des inégalités...

Table des matières

1 Inégalités pour les enfants 1

1.1 Inégalité de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Quelques inégalités logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Théorème des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Inégalités pour les adolescents 7

2.1 Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Inégalité de Markov ou Bienaimé-Tchebytchev . . . . . . . . . . . 102.6 Inégalité de Young pour la convolution . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Inégalités pour adultes 13

3.1 Inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Injections de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Inégalité de Csiszár-Kullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Inégalité de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 17

1 Inégalités pour les enfants

1.1 Inégalité de Young

Il s'agit d'une inégalité assez élémentaire, mais souvent utile lorsqu'on doiteectuer des majorations nes et/ou astucieuses.

Théoreme 1.1. Soit 1 < p < +∞. Soit p′ tel que 1p + 1

p′ = 1 (i.e. p′ = pp−1).

Soient a, b ∈ (0,+∞). Alors

ab ≤ 1pap +

1p′bp′.

1

Démonstration. Il s'agit simplement d'utiliser la concavité du logarithme :

log(

1pap +

1p′bp′)≥ 1p

log ap +1p′

log bp′= log ab,

et on a le résultat voulu en passant à l'exponentielle.

Remarque 1. Un cas particulier très utilisé est le cas p = p′ = 2 ; on obtient

|ab| ≤ 12(a2 + b2).

Cette inégalité peut se généraliser de la manière suivante : si Φ : Rn →R ∪ +∞ est une fonction donnée, on dénit sa transformée de Legendre par

Φ∗(x) = supy∈Rn

((x|y)− Φ(y)) .

On a alors :∀x, y ∈ R, (x|y) ≤ Φ(x) + Φ∗(y).

On vérie aisément que si p ∈ [1,+∞[ et si Φ(x) = 1p |x|

p, alors Φ∗(y) = 1p′ |y|

p′ ,

où 1p + 1

p′ = 1, et on retrouve l'inégalité de la proposition précédente. D'autre

part, si Φ(x) = x log x − x, alors Φ∗(y) = ey, d'où on tire l'inégalité de Younglogarithmique

∀x, y ∈ R+, xy ≤ (x log x− x+ 1) + (ey − 1).

1.2 Quelques inégalités logarithmiques

Une première inégalité élémentaire :

Proposition 1.2. Soit z un réel strictement positif. Alors

log z ≤ z − 1.

Cette inégalité est graphiquement évidente, et sa démonstration repose sur laconcavité du logarithme : il est en-dessous de toutes ses tangentes, en particulierde la droite d'équation y = x − 1. A l'aide de cette inégalité, on démontrel'inégalité suivante :

Proposition 1.3. Soient deux réels x, y > 0. On a l'inégalité suivante :

x logx

y+ y − x ≥

(√x−√y

)2 ≥ 0.

Démonstration. L'inégalité qu'on veut montrer (celle de gauche, évidemment)est équivalente à l'inégalité suivante, en divisant par x :

logx

y+y

x− 1 ≥

(1−

√y

x

)2

,

qui est elle-même équivalente, en développant le membre de droite, à

logx

y≥ 2− 2

√y

x,

2

ou encore12

logy

x≤√y

x− 1,

i.e.

log√y

x≤√y

x− 1.

En posant z =√y

x, notre inégalité est donc équivalente à

log z ≤ z − 1,

qui est on ne peut plus vraie.

Montrons à présent une autre inégalité utilisant le logarithme.

Proposition 1.4. Soient x et y deux réels strictement positifs. Alors on a

(x− y)(log x− log y) ≥ (√x−√y)2.

Démonstration. En mettant y en facteur et en posant z = xy , il sut en fait de

montrer que pour tout z > 0, on a

(z − 1) log z ≥ (√z − 1)2.

Or, on a évidemmentz − 1 = (

√z − 1)(

√z + 1).

On doit donc montrer que(√z + 1) log z ≤ (

√z − 1) si z < 1

(√z + 1) log z ≥ (

√z − 1) si z > 1.

Or, si z < 1, on a

(√z + 1) log z ≤ 2 log z = log z2 ≤ z2 − 1 ≤

√z − 1.

Si z > 1, on pose φ(z) = (z + 1) log z2 − (z − 1), et on dérive :

φ′(z) = 2(log z + 1 +1z)− 1 = 2 log z +

2z> 0.

Donc φ est croissante, donc est toujours plus grande que sa valeur en 1 :

∀z > 1, φ(z) ≥ 0,

donc∀z > 1, φ(

√z) ≥ 0,

et on a montré le résultat.

Proposition 1.5. Pour tout réel x positif, on a

3(x− 1)2 ≤ (2x+ 4)(x log x− x+ 1).

3

Démonstration. On peut montrer ça en s'intéressant à la convexité des deuxfonctions. Mais nous allons utiliser ici la méthode barbare : l'étude de fonction.Soit donc

φ : x 7→ 3(x− 1)2 − (2x+ 4)(x log x− x+ 1).

Dérivons :

φ′(x) = 6(x− 1)− 2x log x+ 2x− 2− 2x log x− 4 log x= −4x log x+ 8x− 4 log x− 8= −4(x+ 1) log x+ 8(x− 1),

et

φ′′(x) = 4(1− 1x− log x)

= 4(1− 1x

+ log1x

)

≤ 4(1− 1x

+1x− 1)

≤ 0.

Ainsi, φ′ est décroissante. Or, on voit qu'elle s'annule en x = 1, donc elle estpositive pour x < 1 et négative pour x > 1. Par conséquent, φ est croissantepour x < 1 et décroissante pour x > 1. Comme φ(1) = 0, on obtient

∀x > 0, φ(x) ≤ 0,

ce qui est l'inégalité recherchée.

Proposition 1.6. Soit x un réel positif. On a alors

x log x− x+ 1 ≤ (x− 1)2.

Démonstration. Posons

φ(x) = x log x− x+ 1− (x− 1)2.

Calculons sa dérivée :φ′(x) = log x− 2(x− 1).

Allons un cran plus loin :

φ′′(x) =1x− 2.

Ainsi, φ′ est croissante sur [0, 12 ] et décroissante sur [ 12 ,+∞[. Elle vaut − log 2−1

en x = 12 , donc elle est négative sur [0,+∞[. On en conclut que φ est décrois-

sante, donc plus petite que sa valeur en 0, qui est 0, d'où l'inégalité recher-chée.

1.3 Théorème des accroissements nis

Le théorème des accroissements nis nous dit que la distance parcourueest inférieure à la vitesse maximale que multiplie le temps de parcours ; c'est dumoins comme ça qu'on peut le voir. On en donne ici une version plus générale. Onpeut encore augmenter la généralité en considérant des fonctions dénies sur unouvert d'un espace vectoriel normé, mais dans ce cas la démonstration se ramèneà étudier une fonction d'une variable réelle (on considère t 7→ f(a+ t(b− a))).

4

Théoreme 1.7. Soit F un espace vectoriel normé, soient a et b dans R, a < b.On suppose que les deux fonctions f : [a, b] → F et g : [a, b] → R sont continuessur [a, b] et dérivables à droite sur [a, b] \D où D est au plus dénombrable. Si,pour tout t ∈ [a, b] \D on a ‖f ′d(t)‖ ≤ g′d(t), alors

‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a).

Voici la version la plus couramment utilisée du théorème des accroissementsnis :

Corollaire 1.8. Soit f : [a, b] → F continue, où F est un espace vectorielnormé. On suppose que f est dérivable sur ]a,b[. Si, pour tout t ∈]a, b[ on a‖f ′(t)‖ ≤ k, pour un certain k ∈ R+, alors

‖f(b)− f(a)‖ ≤ k(b− a)

Démonstration. D, qui est au plus dénombrable, s'écrit D = d1, d2, d3, . . .avec di < di+1. Soit ε > 0. On considère E, l'ensemble des x ∈ [a, b] tels queφ(x) > 0, avec

φ(x) = ‖f(x)− f(a)‖ − g(x)− g(a)− ε(x− a)− ε∑di<x

12i.

On suppose que E n'est pas vide. φ est continue sur [a, b] \D et est continue àgauche en chaque di. E est donc un ouvert de [a, b] \D auquel il faut éventuel-lement rajouter quelque éléments de D. Notons x0 la borné inférieure de E. Onpeut armer que x0 > a, car pour x proche de a, φ(x) ≤ 0. On peut égalementdire que x0 /∈ E. En eet, dans ce cas, x0 ne pourrait être que l'un des di, maispar continuité à gauche, elle serait vraie pour un y < di. On a donc

‖f(x0)− f(a)‖ ≤ g(x0)− g(a) + ε(x0 − a) + ε∑

di<x0

12i. (1)

Enn, x0 6= b car E est un ouvert de [a, b] \ D éventuellement augmenté dequelques di et x0 n'est pas l'un des di.

Comme x0 /∈ D, on a ‖f ′d(x0)‖ ≤ g′d(x0). Donc, pour x susamment prochede x0 et x > x0, on a

1x− x0

‖f(x)− f(x0)‖ ≤1

x− x0(g(x)− g(x0)) + ε,

et donc‖f(x)− f(x0)‖ ≤ g(x)− g(x0) + ε(x− x0);

en aditionnant avec (1), on obtient que x /∈ E, ce qui contredit le fait quex0 = inf E. On en conclut que E = ∅ et on obtient l'inégalité recherché enfaisant tendre ε vers 0.

Remarque 2. On obtient le même résultat en remplaçant la dérivabilité à droitepar la dérivabilité à gauche (remplacer x par −x).

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1.4 Inégalité de Taylor-Lagrange

L'inégalité de Taylor-Lagrange nous permet de controler la façon dont lasérie de Taylor d'une fonction converge vers cette fonction. Elle est souventutilisée de manière astucieuse en consdérant des fonctions dont les premièresdérivées s'annulent en un point donné.

Théoreme 1.9. Soient a < b deux réels, soit f une fonction de classe Cn sur[a, b], à valeurs dans un espace vectoriel normé, n+ 1 fois dérivables sur ]a, b[.Alors

‖f(b)− Pf,a,n(b)‖ ≤ sup]a,b[

‖f (n+1)‖ · (b− a)n+1

(n+ 1)!

où

Pf,a,n(x) = f(a) +n∑

k=1

f (k)(a)k!

(x− a)k.

Démonstration. On dénit

g(x) = f(b)− Pf,x,n(b)

et

h(x) = − sup]a,b[

‖f (n+1)‖ · (b− x)n+1

(n+ 1)!.

On a alors, pour tout x ∈]a, b[,

g′(x) = −f ′(x)−n∑

k=1

f (k+1)(x)k!

(b− x)k +n∑

k=1

f (k)(x)(k − 1)!

(b− x)k−1

= −f ′(x)− f (n+1)(x)n!

(b− x)n + f ′(x)

= −f(n+1)(x)n!

(b− x)n

et

h′(x) = sup]a,b[

‖f (n+1)‖ · (b− x)n

n!.

On en déduit que, sur ]a, b[, ‖g′(x)‖ ≤ h′(x), et donc, d'après le théorème desaccroissements nis (théorème 1.7), ‖g(b) − g(a)‖ ≤ h(b) − h(a), ce qui estl'inégalité voulue puisque g(b) = h(b) = 0.

1.5 Inégalité de Cauchy-Schwarz

jNe pas confondre Schwarz avec le mathématicien Laurent Schwartz !On ne présente plus l'inégalité de Cauchy-Schwarz, qui est très générale, et

s'applique dans de très nombreuses situations.

Proposition 1.10. Soit V un espace vectoriel préhilbertien réel. On note (.|.)son produit scalaire et ‖x‖ =

√(x|x) la norme associée. Alors, si x, y ∈ V,

(x|y) ≤ ‖x‖ · ‖y‖,

avec égalité si et seulement si x et y sont liés.

6

Remarque 3. Cette inégalité entraine, par bilinéarité du produit scalaire et po-sitive homogénéité de la norme, en remplaçant x par −x, que

|(x|y)| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.

Dans le cas d'un espace préhilbertien complexe, c'est cette dernière inégalité quiest l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Démonstration. Soient x, y ∈ V. Pour tout λ ∈ R, on a

0 ≤ (x+ λy|x+ λy) = λ2‖y‖2 + 2λ(x|y) + ‖x‖2 := P (λ).

Le polynôme P , de degré 2, est toujours positif, donc a au plus une racine réelle.Ceci équivaut à dire que son discriminant réduit est négatif :

∆′ = (x|y)2 − ‖x‖2‖y‖2 ≤ 0,

ce qui fournit l'inégalité voulue. Il y a égalité si et seulement si P admet uneracine λ0, et donc x+ λ0y = 0.

2 Inégalités pour les adolescents

2.1 Lemme de Fatou

Le lemme de Fatou est un résultat assez naturel. Il dit que si on considèrela limite inférieure d'une suite de fonctions point par point avant d'intégrer,on obtient une quantité plus petite que si on intègre avant de considérer lalimite inférieure. C'est un résultat très utile, notamment lorsqu'on a une suitede fonctions qui converge presque partout mais pas dans L1, mais dont on saittout de même controler la suite des normes L1.

Théoreme 2.1. Soit X un espace mesuré, et soient fn : X → [0,+∞], n ∈ N,des fonctions mesurables positives. Alors∫

lim infn→+∞

fn ≤ lim infn→+∞

∫fn.

Démonstration. La preuve est basée sur le théorème de convergence monotone.Un bon cours de théorie de la mesure nous permettra de vérier que le théorèmede convergence monotone se démontre sans utiliser le lemme de Fatou.

On considère les fonctions gk = infn≥kfn (où la borne inférieure est prisepoint par point). La suite (gk)k est croissante (en k), et on peut donc appliquerle théorème de convergence monotone :∫

lim inf fn =∫

lim gn = lim∫gn = lim inf

∫gn ≤ lim inf

∫fn.

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2.2 Inégalité de Hölder

L'inégalité de Hölder est l'inégalité numéro 1 lorsqu'il s'agit de majorer desintégrales...

Théoreme 2.2. On travaille ici sur un ouvert Ω ⊂ RN quelconque, en dimen-sion N ∈ N∗ quelconque. Soient f ∈ Lp et g ∈ Lp′ , avec 1 ≤ p ≤ +∞ et1p + 1

p′ = 1. Alors fg ∈ L1 et∫|fg| ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lp′ .

Démonstration. La démonstration est claire si p = 1 ou si p = +∞. On sup-pose donc que 1 < p < +∞. On applique alors l'inégalité de Young (voire laproposition 1.1) :

|f(x)||g(x)| ≤ 1p|f(x)|p +

1p′|g(x)|p

′, p.p. x ∈ Ω.

Ainsi, fg ∈ L1, et ∫|fg| ≤ 1

p‖f‖p

Lp +1p′‖g‖p′

Lp′ .

En remplaçant alors f par λf (λ > 0), il vient

λ

∫|fg| ≤ λp

p‖f‖p

Lp +1p′‖g‖p′

Lp′ ,

soit ∫|fg| ≤ λp−1

p‖f‖p

Lp +1λp′

‖g‖p′

Lp′ := φ(λ). (2)

On cherche alors à minimiser le membre de droite en fonction de λ :

φ′(λ) = 0 ⇐ :p− 1p

λp−2‖f‖pLp −

1λ2p′

‖g‖p′

Lp′ = 0

⇐ :λp = ‖f‖−pLp ‖g‖p′

Lp′

⇐ :λ = ‖f‖−1Lp ‖g‖p/p′

Lp′ .

En insérant cette valeur de λ dans (2), et on a l'inégalité recherchée.

Autre démonstration. On note F =(∫fp)1/p

et G =(∫

gp′)1/p′

. On suppose

sans perte de généralité que F et G sont non nuls. L'inégalité de Young nouspermet d'armer que

|f(x)g(x)|FG

≤ 1p

f(x)p

F p+

1p′g(x)p′

Gp′.

En intégrant, on obtient

1FG

∫|fg| ≤ 1

p+

1p′

= 1,

d'où le résultat.

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Remarque 4. L'inégalité est toujours vraie si le membre de droite est inni. Onn'est donc pas obligé de supposer que f ∈ Lp et g ∈ Lp′ . De plus, ce résultat estvrai pour n'importe quel espace mesuré (X,µ) (où µ est une mesure positive).

Corollaire 2.3 (Inégalité d'interpolation). Soit f ∈ Lp ∩ Lq avec 1 ≤ p ≤ q ≤+∞. Alors f ∈ Lr pour tout p ≤ r ≤ q et

‖f‖Lr ≤ ‖f‖αLp‖f‖1−α

Lq où1r

=α

p+

1− α

q(0 ≤ α ≤ 1).

Démonstration. On écrit que

‖f‖rLr =

∫|f |r =

∫|f |αr|f |(1−α)r.

On applique ensuite l'inégalité de Hölder avec les coecients s = pαr et s′ =

q(1−α)r . Ces deux coecients sont plus grands que 1 et vérient 1

s + 1s′ = 1 car

1r = α

p + 1−αq . Et donc

‖f‖rLr ≤

(∫|f |p

)αrp(∫

|f |q) (1−α)r

q

,

ce qui montre le résultat annoncé.

2.3 Inégalité de Minkowski

Il s'agit de l'inégalité triangulaire pour les normes Lp, p ∈]1,+∞[.

Théoreme 2.4. Soit p ∈]1,+∞[, et soient f et g mesurables à valeurs réelles(éventuellement innies). Alors(∫

|f + g|p)1/p

≤(∫

|f |p)1/p

+(∫

|g|p)1/p

.

Démonstration. Si(∫|f + g|p

)1/p = +∞, alors par convexité de la puissance p,

on peut écrire que(

f+g2

)p

≤ fp

2 + gp

2 , et l'inégalité est vraie. On suppose donc

que(∫|f + g|p

)1/p< +∞. Soit p′ l'exposant conjugué de p, i.e. 1

p + 1p′ = 1.

L'inégalité de Hölder (proposition 2.2) nous permet d'écrire les deux inégalitéssuivantes : ∫

|f ||f + g|p−1 ≤(∫

|f |p)1/p(∫

|f + g|(p−1)p′)1/p′

et ∫|g||f + g|p−1 ≤

(∫|g|p)1/p(∫

|f + g|(p−1)p′)1/p′

.

Comme p′(p− 1) = p, il vient, en sommant ces deux inégalités :∫|f + g|p ≤

∫(|f |+ |g|)|f + g|p−1

≤(∫

|f + g|p)1−1/p

((∫|f |p

)1/p

+(∫

|g|p)1/p

)d'où l'inégalité annoncée.

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2.4 Inégalité de Jensen

Comment les fonctions convexes agissent-elles sur les intégrales ? C'est ceque nous dit l'inégalité de Jensen.

Théoreme 2.5. Soit (Ω,F , µ) un espace probabilisé. Soit f : Ω → R unefonction mesurable, et soit φ : R → R une fonction convexe. On suppose que fet φ f sont intégrables par rapport à dµ. Alors

φ

(∫fdµ

)≤∫

(φ f)dµ.

Démonstration. Comme φ est convexe, ses dérivées à droite et à gauche, notéesd−(x) et d+(x) existent et sont croissantes. On a de plus d−(x) ≤ d+(x).

Considérons x, y ∈ R. Si x < y, soit u tel que x < u < y. Alors la pente deφ entre x et u est plus petite que la pente entre u et y, ce qui s'écrit

φ(u)− φ(x)u− x

≤ φ(y)− φ(u)y − u

.

En faisant tendre u vers y, on obtient

φ(x) ≥ φ(y) + d−(y)(x− y)

car une fonction convexe est toujours continue. De même, si x > y, on montreque

φ(x) ≥ φ(y) + d+(y)(x− y).

Comme d− ≤ d+, on a dans tous les cas

φ(x) ≥ φ(y) + d−(y)(x− y).

En prenant x = f(z) et y =∫fdµ dans cette inégalité, on obtient

φ(f(z)) ≥ φ

(∫fdµ

)+ d−

(∫fdµ

)(f(z)−

∫fdµ

),

d'où, en intégrant, ∫(φ f)dµ ≥ φ

(∫fdµ

).

2.5 Inégalité de Markov ou Bienaimé-Tchebytchev

Une inégalité parfois utile, notamment en probabilités :

Théoreme 2.6. Soit f ∈ Lp(Rd), 1 ≤ p < +∞. On note λ la mesure deLebesgue sur Rd d'un ensemble. Soit µ > 0. Alors

λ(|f | ≥ µ) ≤‖f‖p

Lp

µp.

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Démonstration.

λ(|f | ≥ µ) =∫|f |≥µ

dx

≤∫|f |≥µ

|f(x)|p

µpdx

≤‖f‖p

Lp

µp.

2.6 Inégalité de Young pour la convolution

La convolution de deux fonctions f et g dénies sur Rn et à valeurs dans Rest dénie par

(f ? g)(x) =∫

Rn

f(x− y)g(y)dy =∫

Rn

f(y)g(x− y)dy.

On voit que le produit de convolution est bien déni et est mesurable parexemple lorsque f ∈ L1 et g ∈ L∞, ou lorsque f, g ∈ L2. En eet, on voitque

‖f ? g‖L∞ ≤ ‖f‖L1‖g‖L∞

et‖f ? g‖L∞ ≤ ‖f‖L2‖g‖L2 .

Mais on a aussi :

‖f ? g‖L1 =∫

Rn

|f ? g|(x)dx ≤∫

Rn

∫Rn

|f(x− y)||g(y)|dydx = ‖f‖L1‖g‖L1 .

L'inégalité de Young nous permet de généraliser ces inégalités à tous les espacesLp.

Théoreme 2.7. Soit (p, q, r) un triplet de réels supérieurs à 1 (éventuellementinnis) tels que

1 +1r

=1p

+1q.

Soit f ∈ Lp(Rn) et soit g ∈ Lq(Rn). Alors pour presque tout x de Rn, la fonction

Φ : y 7→ f(x− y)g(y)

est intégrable et la fonction f ? g dénie sur Rn en intégrant Φ par rapport à yappartient à Lr(Rn).

L'application (f, g) 7→ f ? g est bilinéaire continue de Lp ×Lq dans Lr et ona

‖f ? g‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

Démonstration. Nous avons vu le cas p = q = r = 1 plus haut. Le cas r = +∞,p et q exposants conjugués, se traite directement avec l'inégalité de Hölder. Onpeut donc supposer que 1 < r, r′ < +∞, où r′ est l'exposant conjugué de r, etque 1 ≤ p, q < +∞.

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La démonstration se base sur le fait suivant : si s ∈ [1,+∞], si s′ est sonconjugué, et si h ∈ Ls, alors

‖h‖Ls = sup‖φ‖

Ls′≤1

∣∣∣∣∫Rn

hφ

∣∣∣∣ .Soit donc φ une fonction de Lr′ , et soit

Iφ(f, g) =∫

Rn×Rn

|f(x− y)g(y)φ(x)|dxdy,

qu'on va majorer avec l'inégalité de Hölder. Cependant, nous allons être légère-ment astucieux : prenons α, β ∈]0, 1[ ; alors

Iφ =∫

Rn×Rn

|f(x− y)|1−α|g(y)|1−β |φ(x)||f(x− y)|α|g(y)|βdxdy.

On applique l'inégalité de Hölder avec la mesure dµ = |f(x− y)|α|g(y)|βdxdy :

Iφ(f, g) ≤ I1φ(f, g)

1r′ I2

φ(f, g)1r ,

avec

I1φ(f, g) =

∫Rn×Rn

|φ(x)|r′|f(x− y)|α|g(y)|βdxdy

I2φ(f, g) =

∫Rn×Rn

|f(x− y)|(1−α)r+α|g(y)|(1−β)r+βdxdy.

On choisit à présent les coecients α et β de manière à pouvoir majorer agréa-blement ces deux intégrales. On veut avoir

α

p+β

q= 1

pour majorer I1φ(f, g) en fonction de ‖f‖Lp et ‖g‖Lq , et

(1− α)r + α = p

(1− β)r + β = q

pour majorer I2φ(f, g) avec les mêmes quantités. Il sut pour avoir ces trois

relations de poser

α =r − p

r − 1, β =

r − q

r − 1,

qui dénissent bien des quantités de ]0, 1[. L'inégalité de Hölder entraine alorsque∫

Rn

|f(x− y)|α|g(y)|βdy ≤(∫

Rn

|f(x− y)|α×pα dy

)αp(∫

Rn

|g(y)|β×qβ

) βq

≤ ‖f‖αLp‖g‖β

Lq .

On en tire, par Fubini, que

I1φ(f, g)

1r′ ≤ ‖φ‖Lr′‖f‖

αr′Lp‖g‖

βr′Lq .

12

Toujours par Fubini, on trouve que

I2φ(f, g) =

∫Rn

|f(x)|pdx∫

Rn

|g(y)|qdy,

et doncI2φ(f, g)

1r = ‖f‖

pr

Lp‖g‖qr

Lq .

Ainsi, en regroupant, on a obtenu que

Iφ(f, g) ≤ ‖φ‖Lr′‖f‖αr′+

pr

Lp ‖g‖βr′+

qr

Lq .

Or, par dénition de α et β, on a

α

r′+p

r=β

r′+q

r= 1,

d'oùIφ(f, g) ≤ ‖φ‖Lr′‖f‖Lp‖g‖Lq .

On déduit d'abord de cette inégalité que la fonction (x, y) 7→ |f(x− y)g(y)φ(x)|est intégrable sur Rn × Rn. Par le théorème de Fubini, on a que pour presquetout x, la fonction y 7→ |φ(x)||f(x − y)g(y)| est intégrable, d'où en choisissantune famille dénombrable appropriée de φn, que pour presque tout x, la fonctiony 7→ |f(x − y)g(y)| est intégrable. On peut donc dénir f ? g par la formuleusuelle, et on a, par Fubini-Tonelli :∣∣∣∣∫

Rn

f ? g(x)φ(x)dx∣∣∣∣ ≤ ∫

Rn

(∫Rn

|f(x− y)g(y)|dy)|φ(x)|dx

= Iφ(f, g)≤ ‖φ‖Lr′‖f‖Lp‖g‖Lq .

On en déduit que f ? g ∈ Lr et que ‖f ? g‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq grâce au résultaténoncé au début de la démonstration.

3 Inégalités pour adultes

3.1 Inégalité de Poincaré

Soit Ω un ouvert de Rd. On rappelle que l'espace de Sobolev H1(Ω) estl'ensemble des fonctions de L2(Ω) dont la dérivée au sens des distributions estégalement dans L2(Ω). Sa norme naturelle est

‖ψ‖H1(Ω) =(‖ψ‖2L2 + ‖∇ψ‖2L2

) 12

où

‖∇ψ‖L2 =

(d∑

i=1

‖∂iψ‖2L2

) 12

.

L'espace H10 (Ω) est déni comme l'adhérence de D(Ω) (fonctions indéniment

diérentiables à support compact dans Ω) pour la norme deH1. Il est donc inclus

13

dans H1. Lorsque Ω est susamment régulier, on peut montrer que l'espaceH1

0 (Ω) est l'ensemble des fonctions de H1(Ω) s'annulant sur ∂Ω.L'inégalité de Poincaré arme qu'on peut controler la norme L2 d'une fonc-

tion de H10 (Ω) (où Ω est un ouvert borné) par la norme L2 de sa dérivée. Ainsi,

la norme naturelle de H10 devient

‖ψ‖H10

= ‖∇ψ‖L2 .

L'inégalité de Poincaré est en outre très souvent utilisée lorsqu'il s'agit de ma-jorer des intégrales faisant intervenir une fonction par une intégrale faisant in-tervenir sa dérivée.

Théoreme 3.1. Soit Ω un ouvert borné de Rd. Il existe une constante CΩ telleque

∀ϕ ∈ H10 (Ω), ‖ϕ‖L2 ≤ CΩ‖∇ϕ‖L2 .

Remarque 5. En regardant la démonstration, on s'aperçoit que l'inégalité dePoincaré est en vérité valide lorsque l'ouvert Ω est borné dans une seule

direction.

Démonstration. Soit R un réel strictement positif tel que Ω ⊂] − R,R[×Rd−1.On a alors, pour toute fonction test ϕ (i.e. ϕ ∈ D(Ω))

ϕ(x1, . . . , xd) =∫ x1

−R

∂ϕ

∂x1(y1, x2, · · · , xd)dy1.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz entraine que

|ϕ(x1, . . . , xd)|2 ≤ 2R∫ R

−R

| ∂ϕ∂x1

(y1, x2, · · · , xd)|2dy1.

En intégrant sur Ω, on obtient∫Ω

|ϕ(x1, . . . , xd)|2dx ≤ 2R∫

Ω

∫ R

−R

| ∂ϕ∂x1

(y1, x2, · · · , xd)|2dy1dx

≤ 4R2‖ ∂ϕ∂x1

‖2L2(Ω)

≤ 4R2‖∇ϕ‖2L2(Ω)

grâce au théorème de Fubini. On a donc l'inégalité voulue pour les fonctions deD(Ω), et, par densité, pour les fonctions de H1

0 (Ω).

Cette inégalité peut être généralisée. Soit Ω un ouvert de RN . NotonsW 1,p(Ω)l'espace des fonctions de Lp(Ω) dont la norme suivante est nie :

‖u‖W 1,p = (‖u‖pLp + ‖∇u‖p

Lp)1p < +∞.

On dénit ensuite W 1,p0 comme étant l'adhérence des fonctions indéniment

dérivables à support compact pour la norme de W 1,p. On a alors l'inégalité dePoincaré suivante :

14

Théoreme 3.2. Soit p ∈ [1,+∞[. Soit Ω un ouvert de RN borné dans unedirection ou de mesure nie. Alors il existe une constante C dépendant de Ω etp telle que

∀u ∈W 1,p0 (Ω), ‖u‖Lp ≤ ‖∇u‖Lp .

L'expression ‖∇u‖Lp est donc une norme sur W 1,p0 (Ω) équivalente à la norme

‖u‖W 1,p .

Une autre généralisation est l'inégalité de Poincaré-Wirtinger. Elle al'avantage d'être valable pour toutes les fonctions de W 1,p, et pas seulementcelles qui s'annulent au bord.

Théoreme 3.3. Soit Ω un ouvert de RN de classe C1 et de mesure nie, etsoit 1 ≤ p ≤ +∞. Alors il existe une constante C telle que

∀u ∈W 1,p(Ω), ‖u− 1|Ω|

∫Ω

u‖Lp ≤ ‖∇u‖Lp .

3.2 Injections de Sobolev

Les injections de Sobolev sont très utilisées lorsqu'on étudie les équations auxdérivées partielles. Elles fournissent des inégalités entre les normes des espacesde Sobolev et les normes Lp. Un exemple type très courant est : si Ω ⊂ R3, ilexiste une constante C telle que pour toute fonction u ∈ H1(Ω), on a

‖u‖L6(Ω) ≤ C‖u‖H1(Ω),

et donc, si u ∈ H10 (Ω),(∫

Ω

|u(x)|6dx)1/3

≤ C

∫Ω

|∇u(x)|2dx.

Donnons maintenant le cas général :

Théoreme 3.4. Soit Ω ⊂ RN un ouvert régulier (on peut avoir Ω = RN ).Soient s > 1 et p ∈ [1,+∞[. Alors

1. Si1p− s

N> 0, on a W s,p(Ω) → Lq(Ω) avec

1q

=1p− s

N,

2. Si1p− s

N= 0, on a W s,p(Ω) → Lq(Ω) pour tout q ∈ [p,+∞[ (mais pas

pour q = +∞ si p > 1),

3. Si1p− s

N< 0, on a W s,p(Ω) → L∞(Ω). Dans ce cas, si s− N

p> 0 n'est

pas un entier, alors W s,p(Ω) → Cl,β(Ω) où l = [s− Np ] et β = s− N

p − l.

Toutes ces injections sont continues.

Sans hypothèse de régularité sur Ω, les injections restent vraient locale-ment, i.e. dans tout ouvert compactement inclus dans Ω. En d'autres termes,on a W s,p(Ω) → Lq

loc(Ω), etc. Elles restent globalement vraies si on remplaceW s,p(Ω) par W s,p

0 (Ω). On pourra consulter le livre de Brézis Analyse fonction-nelle : Théorie et applications pour la démonstration.

15

3.3 Inégalité de Csiszár-Kullback

Cette inégalité nous permet de montrer que la convergence en entropie en-traine la convergence dans L1.

Théoreme 3.5. Soit Ω ⊂ RN mesurable, et soient f, g : Ω → R+ deux fonctionsmesurables positives. Alors :∫

Ω

(f log

f

g− f + g

)≥ K

(∫Ω

|f − g|)2

avec

K =3

2∫Ωf + 4

∫Ωg.

Démonstration. La démonstration repose sur la formule suivante :

∀u ∈ R+ 3(u− 1)2 ≤ (2u+ 4)(u log u− u+ 1).

En eet, on a :∫Ω

|f − g| =∫

Ω

√3|fg− 1| g√

3

≤∫

Ω

(2f

g+ 4)1/2(

f

glog

f

g− f

g+ 1)1/2

g√3

≤ 1√3

(∫Ω

(2f + 4g))1/2(∫

Ω

(f log

f

g− f + g

))1/2

.

Cette inégalité peut être généralisée à d'autres entropie, mais la fonction gdoit alors obligatoirement être la fonction qui réalise le minimum de l'entropie.

3.4 Inégalité de Nash

On rappelle que pour s ∈ R, l'espace de Sobolev homogène Hs(RN ) est

l'ensemble des distributions tempérées f telles que f ∈ L2loc(RN ) et dont la

norme suivante est nie :

‖f‖Hs(RN ) =(∫

RN

|ξ|2s|f(ξ)|2dξ) 1

2

.

L'espace de Sobolev inhomogène Hs(RN ) (celui dont on a l'habitude), quant

à lui, est l'ensemble des f tels que f ∈ L2loc(RN ), et f(ξ) ∈ L2(RN ; (1 + |ξ|2)s) ;

sa norme est

‖f‖Hs(RN ) =(∫

RN

(1 + |ξ|2)s|f(ξ)|2dξ) 1

2

.

On préfère utiliser l'espace inhomogène, puisqu'il a un lien avec les dérivéesfaibles, et puisque l'espace de Sobolev homogène n'est un espace de Banach quelorsque s < N

2 .L'inégalité de Nash nous dit que l'intersection d'un espace de Sobolev avec

L1 est incluse dans un autre espace de Sobolev d'exposant plus faible.

16

Théoreme 3.6. Soient f ∈ L1(RN ), N ∈ N∗, m > 0 et δ > 0. On suppose que‖f‖L1 = 1. Alors

‖f‖Hm ≤ C(m,N, δ)‖f‖Hm+δ ,

‖f‖Hm ≤ C(m,N, δ)‖f‖Hm+δ ,

avec

C(m,N, δ) =(

2δVN

) 2m+N4m+2N+4δ

(1

2m+N+

12δ

) 12

,

où VN est le volume de la boule unité de RN .

Démonstration. Commençons par la norme homogène. Comme ‖f‖L1 = 1, ona |f(ξ)| ≤ 1. Ainsi, si R > 0,

∫RN

|ξ|2m|f(ξ)|2dξ ≤∫|ξ|≤R

|ξ|2mdξ +∫|ξ|≥R

|ξ|2m|f(ξ)|2dξ

≤ VN

2m+NR2m+N +

1R2δ

∫|ξ|≥R

|ξ|2(m+δ)|f(ξ)|2dξ

≤ VN

2m+NR2m+N +

1R2δ

‖f‖2Hm+δ

:= g(R).

On cherche à présent à optimiser l'inégalité selon R :

g′(R0) = 0 ⇐ :VNR2m+N−10 =

2δR2δ+1

0

‖f‖2Hm+δ

⇐ :R2m+2δ+N0 =

2δVN

‖f‖2Hm+δ

⇐ :R0 =(

2δVN

‖f‖2Hm+δ

) 12m+2δ+N

.

On remplace dans g, et on obtient le résultat annoncé. Pour le cas inhomogène,il sut de remarquer que

|ξ|2δ(1 + |ξ|2)m =(|ξ|2)δ

(1 + |ξ|2)m ≤ (1 + |ξ|2)δ(1 + |ξ|2)m = (1 + |ξ|2)δ+m

et le tour est joué.

3.5 Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev

Voici une inégalité élaborée qui peut être utile :

Théoreme 3.7. On se place sur Rd. Soient 1 ≤ p, q < +∞ et 0 < α < d telsque

1p

+α

d= 1 +

1q.

Alors il existe une constante C > 0 telle que, pour tout f ∈ Lq(Rd),

‖ 1| . |α

? f‖Lp ≤ C‖f‖Lq .

17

Autrement dit

‖x 7→∫

Rd

1|x− y|α

f(y)dy‖Lp ≤ C‖f‖Lq .

Remarque 6. On résume cela en disant que la convolution se comporte comme sion avait 1

| . |d ∈ L1(Rd) (car en supposant cela, l'inégalité de Hardy-Littlewood-

Sobolev n'est autre qu'une inégalité de Young).

La démonstration de ce théorème est très technique, et nous ne la donne-rons pas ici. Remarquons seulement qu'elle repose sur le lemme suivant, dit dedécomposition atomique :

Lemme 3.8. Soit 1 ≤ p < +∞ et soit f ∈ Lp positive. Alors il existe unefamille de réels (ck)k∈Z, une famille de fonctions mesurables (fk)k∈Z et uneconstante C > 0 tels que

1. f =∑k∈Z

ckfk,

2. µ(Supp fk) ≤ 2k+1, où µ est la mesure de Lebesgue de Rd,

3. ‖fk‖L∞ ≤ 2−kp ,

4.∑k∈Z

cpk ≤ C‖f‖pLp .

Démonstration du lemme. D'après l'inégalité de Markov (voir la section 2.5),on a

µ(|f | ≥ λ) ≤‖f‖q

Lq

λq.

On peut donc dénir, pour tout k ∈ Z,

λk = infλ ∈ R | µ(f > λ) ≤ 2k.

On pose également

ck = 2kp λk

et

fk =1ck1λk+1<f≤λkf.

Les deux premiers points sont alors trivialement vériés. Pour le troisième, ona

‖fk‖L∞ ≤ λk

ck=

λk

2kp λk

= 2−kp .

Enn, pour le quatrième, on a, grâce au théorème de Fubini,∑k

cpk =∑

k

2kλpk

= p∑

k

2k

∫ +∞

0

1λ<λkλp−1dλ

= p

∫ +∞

0

∑k/ λ<λk

2k

λp−1dλ

≤ Cp

∫ +∞

0

λp−1µf > λdλ

= C‖f‖pLp .

(3)

18

19