INELE DE POLINOAME

I.1. Construcţia inelului de polinoame într-o nedeterminată

Fie A un inel comutati şi unitar.

Se consideră şirurile f = (a0, a1, a2,…), pentru care

.

Fie A[X] mulţimea şirurilor de acest tip. Pe A[X] se definesc două operaţii –

adunarea şi înmulţirea – în raport cu care A[X] devine inel comutativ şi unitar.

Fie f, g A[X], adunarea se defineşte astfel:

f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2,…).

Evident, f + g are un număr finit de termeni nenuli .

Într-adevăr, cum

în acest caz, pentru , ak=0, bk=0, deci ak + bk = 0. Atunci f + g

este un element din A[X] şi deci este bine definită.

A[X] împreună cu adunarea formează grup abelian, deci adunarea are

proprietăţile:

- este asociativă

(f + g) + h = ((a0+b0, a1+b1, …)) + (c0, c1, c2,…) = ((a0+b0)+c0,

(a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2, …) = (a0+(b0+c0), a1+(b1+c1), a2+(b2+c2),

…) = f + (g + h)

- este comutativă (f + g) = (a0+b0, a1+b1, …)=( b0+a0, b1+a1, …)=(g+f)

- are element neutru

f = (a0, a1, a2,…) => f + 0A[X] = (a0+0, a1+0, a2+0,...) = (a0, a1, a2,...) = f

din comutativitate => 0A[X] + f = f

- opusul unui element

f + (-f) = (a0, a1, a2, …) + (-a0, -a1, -a2, …) = =(a0+(-

a0), a1+(-a1), a2+(-a2),…) = (0, 0, 0, …) = 0A[X]

Dar adunarea este comutativă => (-f) + f = 0A[X]

Înmulţirea în A[X] se defineşte astfel:

f · g = (a0 · b0, a0 · b1 + a1 · b0, a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0, ...) = (c0, c1, c2, ...) unde

Înmulţirea definită astfel este:

- asociativă

f ·(g ·h) = (f · g) · h

şi notăm

f · g = (d0, d1, d2,…) =>

notăm g · h = (d0’, d1’, d2’,...) =>

deci (f · g) · h=f · (g · h).

- comutativă

unde:

dar A este inel comutativ => f · g=g · f.

- are element neutru

(1, 0, 0, …) este element neutru faţă de înmulţire

f = (a0, a1, a2,…) => f · 1A[X] = (a0, a1, a2,...) · (1, 0, 0,...) = (a0 · 1, a0 · 0 +

a1 · 1, a0 · 0 + a1 · 0 + a2 · 1, ...) = (a0, a1, a2,...) = f

- înmulţirea este distributivă faţă de adunare:

f · (g + h) = f · g + f · h

(f + g) · h = f · h + g · h

Notăm: f = (a0, a1, a2,...) , g = (b0, b1, b2,...) şi h = (c0, c1, c2,...)

f · (g + h) = (a0, a1, a2,...)(b0+c0, b1+c1, b2+c2,...) =

=(a0(b0+c0), a0(b1+c1)+a1(b0+c0), a0(b2+c2)+a1(b1+c1)+a2(b0+c0),...) =

=(a0b0, a0b1+a1b0,...) + (a0c0, a0c1+a1c0,...) = f · g + f · h

Analog se demonstrează că (f + g) · h = f · h + g · h

Propoziţia 1.1.1. Dacă A este un inel unitar comutativ, atunci mulţimea A[X]

(a şirurilor de elemente din A, care au numai un număr finit de termeni nenuli)

împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus, este un inel

comutativ şi unitar.

Concluzie Tripletul (A,+, ·) este inel comutativ şi unitar. Elementele acestui

inel se numesc polinoame peste inelul A sau polinoame cu coeficienţi în A.

Dacă f = (a0, a1, a2, a3,...) este un polinom nenul şi dacă n este cel mai mare

număr natural cu proprietatea an ≠ 0 atunci n se numeşte gradul polinomului şi

se notează cu grad(f). Pentru polinomul nul nu se defineşte gradul.

Dacă grad(f) = n, atunci a0, a1, a2,..., an se numesc coeficienţii polinomului f.

Fie aplicaţia u:A -> A[X], definită prin u(a) = (a, 0, 0, ...)

(a, 0, 0, ...) = (b, 0, 0, ...) => a = b, rezultă că u este injectivă.

Mai mult, u este un morfism de inele:

Deoarece, după definiţie este evident că:

(a, 0, 0, …) + (a’, 0, 0, ...) = (a + a’, 0, 0, …) şi

(a, 0, 0,…) · (a’, 0, 0, …) = (a · a’, 0, 0,…).

Deci u este morfism injectiv. Astfel, putem identifica elementul a din A cu

imaginea sa prin u, adică cu polinomul (a’, 0, 0,…) din A[X] şi A se poate

considera un subinel al lui A[X].

Notăm: X = (0, 1, 0, ...) care se numeşte nedeterminata X

X2 =(0, 0, 1, …) şi, în general, pentru orice i natural nenul

Xi=(0, 0, …0, 1, 0, …)

Fie f un polinom de grad n ai cărui coeficienţi sunt a0, a1, a2, …, an, adică f =

(a0, a1, …, an, 0…). Folosind adunarea şi înmulţirea pe A[X] se obţine:

f = (a0, a1, a2, ……, an, 0, 0, …) = (a0, 0,…) + (0, a1, 0,…) + (0, 0, a2,…) + …+

(0, 0, …, an, 0,…) = (a0, 0, 0, …) + (a1, 0, 0, …) · (0, 1, 0, …) + (a2, 0, 0, …) ·

(0, 0, 1, 0, …) + … + (an, 0, 0, …) · (0, 0, …, 0, 1, 0, …)

După notaţiile făcute f se mai poate scrie: f = a0 + a1X1 + a2X2 + … + anXn

Inelul A[X] se numeşte inelul polinoamelor în nedeterminata X, cu

coeficienţi în inelul A şi se notează A[X].

grad(f + g) ≤ max(grad(f) , grad(g)) şi grad(f · g) ≤ grad(f) + grad(g),

pentru orice polinoame f şi g din A[X].

Dacă A este un domeniu de integritate, se poate înlocui a doua inegalitate

printr-o egalitate.

Propoziţia 1.1.2. Dacă A este un domeniu de integritate, atunci inelul de

polinoame A[X] este domeniu de integritate.

Demonstraţie Fie f şi g două polinoame din A[X]:

f = a0 + a1X1 + a2X2 + … + amXm , am ≠ 0

g = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bnXn , bn ≠ 0

atunci f · g = a0b0 + (a0b1 + a1b0) ·X + … + (am-1bn + ambn-1) ·Xm+n-1 + ambnXm+n

A fiind domeniu de integritate rezultă că ambn ≠ 0 şi, deci, f · g ≠ 0A[X].

În particular, pentru un corp K inelul polinoamelor de o nedeterminată cu

coeficienţi în K este inel integru.

Propoziţia 1.1.3. Fie A un domeniu de integritate şi A[X] inelul polinoamelor

într-o nedeterminată cu coeficienţi în A. Atunci elementele inversabile ale lui

A[X] coincid cu elementele inversabile ale inelului A.

Demonstraţie Fie inversabil în A, adică există astfel încât a · b = 1.

Această relaţie are loc şi în A[X] deci a este inversabil în A[X].

Invers, fie f un polinom din A[X] inversabil. Atunci există un polinom g

astfel încât f · g = 1 şi deci grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0 de unde grad(g) =

grad(f) = 0, adică . Deci, şi f inversabil în A.

În particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile sunt

polinoame de grad 0 şi numai acestea.

I.2. Funcţia polinomială asociată polinomului. Rădăcina unui polinom

Definiţia 1.2.1. Fie B un inel comutativ cu element unitate, A un subinel al lui

B şi

Se numeşte funcţie polinomială asociată polinomului f aplicaţia definită

astfel: .

Proprietăţi ale funcţiilor polinomiale:

Propoziţia 1.2.1. Dacă f şi g sunt două polinoame din A[X] şi , respectiv

funcţiile asociate lor, atunci şi , adică funcţiile ataşate

polinoamelor sumă, respectiv produs, sunt egale cu suma funcţiilor, respectiv

produsul funcţiilor ataşate celor două polinoame.

Demonstraţie Fie şi . Atunci şi

.

Din definiţia 1 şi din faptul că sunt elemente ale unui inel comutativ

rezultă: , deci , adică .

Avem de unde

adică

Propoziţia 1.2.2. Dacă notăm cu atunci aplicaţia φ:A[X] → Bf

definită prin φ(f)= este un morfism.

Demonstraţie şi

Conform teoremei de morfisme de la inel rezultă că φ(A[X]) este un inel.

Datorită morfismului rezultă că orice proprietate referitoare la polinoame

rămâne valabilă şi pentru funcţiile asociate lor.

Observaţie În general, morfismul nu este injectiv, fapt pentru care nu se poate

identifica polinomul cu funcţia asociată lui.

Exemplu: Fie B = A = Z3 şi ,

Evident, f ≠ g, dar φ(f) = φ(g) deoarece .

Definiţia 1.2.2. Elementul se numeşte rădăcină a polinomului

dacă .

Propoziţia 1.2.3. Fie K un corp comutativ şi Condiţia

necesară şi suficientă ca să fie o rădăcină a polinomului f este ca f să fie

divizibil prin polinomul g = X-a.

Demonstraţie Presupunem unic

determinate astfel încât unde:

r = 0 sau grad(r) = 0 =>

Dar deci g | f.

Reciproc g|f astfel încât f = (X-a)q =>

a rădăcină.

Observaţie Propoziţia 1.2.3. rămâne valabilă şi în cazul când în loc de K

considerăm un domeniu de integritate, deoarece coeficientul dominant al

polinomului g este inversabil.

Consecinţa 1.2.1. Fie K un corp comutativ şi

Dacă pentru i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n sunt „n” rădăcini distincte ale

polinomului f atunci există astfel încât: f = (X-a1)(X+a2) … (X+an)q.

Demonstraţie