INERSIA

7/17/2019 INERSIA

http://slidepdf.com/reader/full/inersia-568e8c504e1bd 1/19

Bab 7.-Momen

Inersia

∫ ∫ == A yk daky M

22

Bagian atas balok tersebut mengalami tekanan dan bawahnya tertarik Momen M Sama

dengan : Jumlah semua dari gaya-gaya elemen ; ∆F ∆Mx=y. ∆F= .y! ∆" .

"#abila kita integralkan terhada# seluruh #enam#ang di #eroleh:

$ntegral ∫ dAky2

di kenal sebagai momen ke dua atau momen inersia dari penampang

balokterhadap sumbu x di tulis dengan Ix, yang besarnya mengalikan tiap elemen dA dengan koordinat

Jaraknya dari sumbu x dan mengintegerasikan terhadap penampang balok. Karena hasil kali y 2.dA

selalu positif maka, Ix juga selalu positif

Bila suatu balok di lenturkan secara murni, maka gaya-gaya dalam tiap bagian merupakan gaya-gaya terbagi

yang besarnya ∆F=ky. ∆A

7/17/2019 INERSIA


Defnisi Momen

Inersia I! adala" momen Inersia suatu bidang A ter"adap

sumbu #

Iy adala" momen inersia suatu bidang A ter"adap

sumbu $

dA y Ix .2

∫ = dan

∫= dA x Iy .2

7/17/2019 INERSIA


Momen Inersia

PolarMomen inersia polar adala" momen inersia yang ter%adi

pada penamp. silendris atau mengenai pemutaran suatupenampang.

dAr Ip .2∫ =%a#at di de&isinisikan :

%imana r = 'arak elemen d" ke titik (

M $nersia #olar suatu bidang da#at dihitung dari m.inersia$x dan $y)

bila integral-integral ini telah di ketahui

%engan mem#erhatikan *!=y!+x! %i da#at :

∫ ∫ ∫ +=+== dA xdA y y xdAr Ip 22222 )(.

Jadi : $#=$x+$y

7/17/2019 INERSIA


Cara

PendekatanMomen inersia suatu bidang dapat di tentukan agar cara pendekatan

yaitu dengan membagi-bagi ke dalam %umla" bidang yang lebi"

kecil&a', (emudia mengalikan bidang-bidang dengan %arak

kuadratnya &y)'.

Momen Inersia pendekatan I!=*a.y). conto"

$x=! ,a)y!+a!y!

!+ay!+a/y/

!+a0y0!1

arena ada ! sisi ,atas dan bawah x1

2uas a=a!=a=a/=a0

!.(=!( 3m!

$x=! ,!()4!+!(.5!+!(.0!+!(.!+!(.!1

$x= 66(( 3m/.

M. inersia sebenarnya suatu bidang

segi em#at:

433 67,6666)20).(10.(

12

1

12

1cmbh Ix ===

7/17/2019 INERSIA


+umus) I! dan Iy diturunkanaraIntegral

[ ] .3

1

..

3

03

22

3

bhb Ix

dy ybdA y Ix

h y

h

o

==

== ∫ ∫

Bagian ke3il d"=b.dy se'a'ar

Sb x ,lihat 7br1

Bagian ke3il d"=!89du

[ ]

4

04

0

3

0

22

2

22

)2(

4

r Ip

duu Ip

uduudAu Ip

r u

r

r

Π

=

Π=Π=

Π==

∫

∫ ∫

. $x M*"< *S7$>

terhada# "las-nya

!. $x 2$?7""?>

terhada# *usat-nya

7/17/2019 INERSIA


dybdAdA A y I x ...

2

=→= ∫ 2/

2/

32/

2/

2

.

3

1...

h

h

h

h

x y y I

bdyb−−

==

∫

+=

−−

=

88

.

3

1

22

..

3

13333

hh I b

hhb

x

h I b x

3

..12

1=$x terhada# titik #usatnya


. $x M*"< *S7$>

thd# <tk.*usat-nya

7/17/2019 INERSIA


∫ ∫ ∫ −=−== A

h h

dyh

b yb ydyh

b yh ydA y Ix0 0

3222 ).()(.

dyh

b yhdA

h

b yh ph yhb p

.)(

).(:)(:

−=

−=⇒−=

]

43

0

43

..43.4.3 hh

b

h

b

yh

b

y

b

Ix

h

−=−=

333

12

1

12

3

12

4bh

bhbh Ix =−=

$x∆ terhada# alasnya @@


/. $x S7$<$7">

thd# "las-nya

2ihat skets :

7/17/2019 INERSIA


( )

dyh

b yh

dA

hb yh ph yhb p

.

.

3

2

.:)3

2(: 32

−=

−=⇒−=

∫ ⇒=

A

dA y Ix 2

( ) ( )∫ ∫ − −

−=−

=h

h

h

h

h

bydy ybdy

h

yhb y Ix

32

31

32

31

32

323

22 ...


0. $x S7$<$7">

thd# <tk *usat-nya

2ihat skets :

7/17/2019 INERSIA


3

3

33

33

36

1

.78732

2187

78732

3645

78732

5832

324

15

243

18

bh Ix

bhbhbh

bhbh Ix

=

=−=−=

$x Segitiga terhada# <.B-nya @@

]

−

−−

−

−=−=− h

hbhb

h

hbhb

h

byby Ix

h

h 4

)(

3

)(

4

)(

3

)(

43

4

313

31

324

323

32

3243

32

3

2

3

1

−−−

−= 33

33

81

1.

4

1

27

1.

9

2324

16.

4

1

27

8..

9

2

hbhbhbhb

Ix

3333

324

1

324

2

324

16

243

16bhbhbhbh Ix ++−=

7/17/2019 INERSIA


Mencari I! dan Iy dgn eori /umbu/e%a%ar

$

#

yo

!o

dA

A ∆y

∆!

y 0∆y

! 0 ∆!

!

y

Momen $nersia Sb Ao = $xo

Momen $nersia Sb o = $yo

dA x IydandA y Ix A

o

A

o .. 22 ∫ ∫ ==

Maka ( ) dA y y Ix A

.2

∫ ∆+=

( ) }{ dA y y y y Ix A

..2 22∫ ∆+∆+=

∫ ∫ ∫ ∆+∆+= A A AdA ydA y ydA y Ix .)(..2.

22

1 a d i ( ) 2. y A Ix Ix o ∆+= ( ) 2. x A Iy Iy

o

∆+=Dan

/tatis momen A t"dp #o= 2

7/17/2019 INERSIA


Momen Inersia Bentuk 3eomaetrik4mum

7/17/2019 INERSIA


/umbu-/4MB4 4AMA 5 M.Inersia4AMAArtinya /epasang sumbu yang memberikan nilai M.Inersia yg

4tama.Apabila M.Inersia di"itung t"dp sb 4tama, maka "arganyamerupakan

"arga yg 6kstrim &maks atau Minimum' dandisebut,

7M8M69 I96+/IA 4AMA:./i;at <si;at/umbu4AMA

/b.4tama s aling tegak lurus satu samalainnya./etiap sb. /imetris merupakan sb. 4tama.

$=

c

$=

# =4 c

$=

# =4 c

$=

# =4 c

3br di atas ini /b.!-y dan /b u-> Merupakan sb.4tama

7/17/2019 INERSIA


Bagaimana (alau/I(4 ?

y

!

4ntuk /I(4

/b.!-y bukan /b. 4tamaetapi, /b u-> adala" /b.4tama

→ dlm hal ini , θ =450 pada penamp. Siku saja.

u>

θθ

┘

@694+49A9

+4M4/....??

7/17/2019 INERSIA


PenurunanRumus

θ θ sin y xCosu +=

θ θ sin x yCosv −=

Sumbu 9tama :"mati skets :

∫ ∫ ∫

=

==

ydA x Ixy

dA x IydandA y Ix

.

22

*roduk momen $nersia

9ntuk men3ari besaran-besaran terhada# sb 9 dan C

Maka da#at kita masukkan harga-harga u dan D ke

dalam rumus di sam#ing :

Besaran-besaran terhada# sbx dan sumbu y

7/17/2019 INERSIA


θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ

2sinsin..

.2sinsin

).sin.2sin(

)(

22

2222

2222

222

2

Ixy IyCos Ix Iu

ydA xdA xdA yCos Iu

dACos xy xCos y Iu

dACos y Iu

dAv Iu

−+=

−+=

−+=

=

=

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

Dengan cara yang sama didapat

θ θ θ 222 ... Sin IxySin IxCos Iy Iv ++=

)22()(sin)(sin 2222θ θ θ θ θ θ SinSin IxyCos IyCos Ix Iv Iu +−++++=+

Iy Ix Iv Iu +=+(ontrol

2

21212

2

21122

22

22

θ θ θ θ

θ θ θ θ

CosSinSinCos

CosCosCosCos

−=⇒−=

+=⇒−=$ngat umus:

7/17/2019 INERSIA


Selanjutnya

:

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

2222

22

2

22

2

2

2)2

21()

2

21(

IxySinCos Iy Ix Iy Ix

Iu

IxySin

IyCos Iy IxCos Ix

Iu

IxySinCos

IyCos

Ix Iu

−

−

+

+

=

−−++=

−−

++

=

Se3ara "nalog di da#at 'uga :

θ θ 2222

IxySinCos Iy Ix Iy Ix

Iv +

−−

+=

7/17/2019 INERSIA


Momen Inersia Iuv

=..??

θ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

22sin2

2

2

2

2

2

2

2sin

2

2)(.

)..(

))((..

2222

2222

IxySin A Iy Ix

Iuv

Ix

Sin

Iy

Sin

IxyCos

dA ydA xSin

dASinCos y x

dAYSin X CosSin yCosSin x yCos x

dA xSin yCos ySin xCosdAvu Iuv

+

−

=

+−=

+−−=

−+−=

−+==

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Selan'utnya - Momen $nersia utama di3ari dari :

( )

( )2

2

022

0

Iy Ix

Ixytg

IxyCosSin Iy Ix

d

dIv

−

−=

=−−

−

=

θ

θ θ

θ

( )

( )2

2

0222

0

Iy Ix

Ixytg

IxyCosSin Iy Ix

d

dIu

−

−=

=−−

−

=

θ

θ θ

θ

7/17/2019 INERSIA


1adi sudut yang memberikan

nilai"arga

Inersia utama adala" sudutdimana

)(

22

Iy Ix

Ixytg

−−

=θ

p

IxySindan

pCos

Iy Ix −=⇒⇒=−

θ θ 22 2

Maka dida#at umus :

( ) ( )

( ) 22

22

2

22

2

.2.22

2222

Ixy Iy Ix Ir Ix

Iext

p

Ixy Iy Ix Iext

P

Ixy Ixy

p

Iy Ix

Iy Ix Iy Ix Iextrem

IxySinCos Iy Ix Iy Ix Iu

Iy Ix

+

−±

+=

++

+=

−−

−−

++

=

−−++=

−

θ θ

7/17/2019 INERSIA


%engan Eatatan :. arga $xy da#at + atau G

!. Jika salah satu sb atau keduanya sb simetris) maka $xy=(

Produk Inersia :

∫ = ydA x Ixy .

Documents

INERSIA