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INESTABILIDAD NO CONSERVATIVA EN VIGAS CANTILEVER DE NANOTUBOS
DE CARBONO UTILIZANDO EL MÉTODO DE DISCRETIZACIÓN
POR CELDAS (CDM)
C. Ceraldi1, M. A. De Rosa2, M. Lippiello1 y H. D. Martin3
1Department of Structures for Engineering and Architecture, Via
Forno Vecchio 36, 80134 Naples, Italy, correo-e:
[email protected]
2School of Engineering, Viale dell’Ateneo Lucano 10, 85100
Potenza, Italy, correo-e: [email protected]
3Facultad Regional Reconquista UTN. Parque Industrial
Reconquista, (3560) Reconquista, Santa Fe, Argentina, correo-e:
[email protected]
RESUMEN
Basándose en la teoría de la elasticidad no local, en este
artículo se analiza la inestabilidad dinámica de nanotubos de
carbono de paredes simples (SWCNT) en una viga en voladizo con una
masa concentrada, ubicada en una posición genérica y sujeto a una
fuerza seguidora en el extremo libre. Teniendo en cuenta el efecto
de pequeña escala, la ecuación de movimiento gobernante se deriva
utilizando el principio variacional de Hamilton y las ecuaciones
gobernantes se resuelven numéricamente empleando el Método de
Discretización por Celdas (CDM), en el cual el nanotubo se reduce a
un conjunto de barras rígidas unidas por medio de restricciones
elásticas. El sistema discreto resultante tiene en cuenta los
efectos no locales, la posición de la masa agregada y la dirección
de la fuerza seguidora. Se realiza un análisis comparativo para
verificar la precisión y validez del método numérico propuesto. Se
muestran y discuten en detalle los efectos del parámetro no local y
la masa adimensional en la inestabilidad dinámica de SWCNT. Se
estudia el efecto de una fuerza seguidora sub-tangencial sobre la
estabilidad del nanotubo de carbono de pared simple en voladizo. En
el sistema no conservativo, se describen los esquemas evaluando
cargas con pequeñas variaciones. Se comparan, mediante ejemplos
numéricos, las cargas estáticas de pandeo y las frecuencias
naturales en las nanovigas. Finalmente, la validez del análisis
propuesto se confirma al comparar los resultados actuales con los
obtenidos de la literatura y enumerados en la bibliografía.
Palabras Claves: nanotubos de carbono, CDM, Inestabilidad.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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1. INTRODUCCIÓN
Las excelentes propiedades mecánicas, físicas y electrónicas de
los nanotubos de carbono (CNT)
han estimulado estudios intensivos en una variedad de campos de
la ciencia y la ingeniería desde
su primer descubrimiento en 1991 gracias al trabajo de Iijima
[1].
La literatura sobre las propiedades del material y el
comportamiento mecánico de los CNT es muy
rica y se han desarrollado dos enfoques teóricos principales,
basados en la dinámica molecular y la
mecánica del continuo. Aunque la teoría clásica del contínuo es
capaz de predecir el
comportamiento mecánico de las nanoestructuras, resultó ser
inadecuada, ya que se desprecian
los efectos de pequeño tamaño. Por lo tanto, es habitual la
adopción de la teoría de la elasticidad
no local, tal como fue desarrollada por Eringen en ([2], [3]).
Aplicando la teoría de Erigen, se han
escruto muchos artículos investigando las propiedades mecánicas
de los CNT. En particular, se
han implementado modelos elásticos de vigas para estudiar los
problemas estáticos y dinámicos,
como la flexión, el pandeo y las vibraciones libres de los
nanotubos de carbono, utilizando los
modelos de vigas de Euler-Bernoulli [4] y Timoshenko [5].
En el presente trabajo se estudia la inestabilidad dinámica no
local de un nanotubo de carbono de
paredes simples en voladizo con el agregado de una masa
concentrada, ubicada en una posición
genérica, y sujeta a una fuerza seguidora, en el extremo libre.
Las ecuaciones de movimiento
gobernantes se derivan utilizando el principio variacional de
Hamilton y luego se resuelven
numéricamente empleando el método de discretización por celdas
(CDM), que reduce el nanotubo
a un conjunto de barras rígidas unidas por medio de
restricciones elásticas. El sistema discreto
resultante tiene en cuenta los efectos no locales, la masa
añadida y la dirección de la fuerza de
seguidora. Se realiza un análisis comparativo para verificar la
precisión y validez del método
numérico propuesto. Se muestran y se discuten en detalle los
efectos del parámetro no local y la
masa adimensional en la inestabilidad dinámica de los SWCNT. Se
estudia el efecto de la fuerza
seguidora sub-tangencial en la viga cantilever sobre la
estabilidad de nanotubo de carbono de
paredes simples.
2. FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
2.1. Ecuaciones gobernantes de movimiento para la inestabilidad
dinámica del nanotubo de pared simple.
Se considera un nanotubo de carbono de paredes simples (SWCNT),
empotrado en el extremo
izquierdo y libre en el derecho, de longitud L. El nanotubo está
sujeto a una fuerza subtangencial p,
en el extremo libre, y que lleva una masa concentrada Mγ,
ubicada en una posición genérica, como
MarceSello
-
se muestra en la Figura 1. La dirección de la fuerza p está
especificada por ϵ ψ, en donde ϵ ψ
denota el ángulo entre el eje z y la dirección de la fuerza
subtangencial de compresión.
De acuerdo con el Principio de Hamilton, las ecuaciones de
movimiento del sistema se derivan de
la siguiente manera:
Figura 1. Geometría del nanotubo de carbono de pared simple
(SWCNT).
2 2
1 1
t t
t nct t
δT δE dt δW dt 0 (1) donde δ denota la variación, t es el
tiempo, T y E son las energías cinética y total potencial del
nanotubo, respectivamente, mientras que Wnc representa el
trabajo virtual no conservativo de la
carga aplicada. La energía cinética de la nanoestructura en
consideración se la puede expresar
como:
2 2 2
L
γ m0
v z,t v γL,t v γL, t1 1 1T ρA dz M J
2 t 2 t 2 z t
(2)
donde v z es el desplazamiento transversal del nanotubo, con la
coordenada espacial z a lo
largo del nanotubo, A es el área de la sección transversal, ρ la
densidad de masa de SWCNT,
γM denota la masa concentrada, en la abscisa z=γL , y mJ es la
inercia rotatoria de la masa
añadida. La energía potencial total tE asume la siguiente
forma:
22 2 2L L
2
t e 02 2 2
0 0
22 2L L2
0 2 2
0 0
v z,t v z,t v z,t1E L -P-V EI dz e ρA dz
2 z t z
v z,t v z,t v z,t1e dz p dz
z z 2 z
a
a p
(3)
es decir, tE es la suma de tres contribuciones diferentes: la
energía de deformación eL del
nanotubo, la energía potencial P de la fuerza inercial debido al
desplazamiento adicional y
finalmente la energía potencial V de la componente axial de la
fuerza seguidora p . En la
MarceSello
-
ecuación (3), E es el módulo de Young, I es el momento de
inercia de la sección transversal, 0e
es un parámetro de escala no local, que debe determinarse
experimentalmente para cada material,
y a es una longitud característica interna.
El trabajo virtual no conservativo de estos componentes
transversales se puede expresar como:
nc
v L,tδW p δv L,t
z
(4)
El parámetro define completamente el comportamiento dinámico del
sistema: para 0 se
reproduce el caso conservativo clásico de Euler, mientras que
para 1 el nanotubo está sujeto a
fuerzas puramente tangenciales (problema de Beck). Como varía en
el rango [0,1] las cargas
críticas se alcanzan debido a la inestabilidad.
Debido a que no es tan fácil obtener una solución analítica
exacta para ecuación (1), el presente
estudio se basa en una solución aproximada. Para el caso de
vibración libre lineal de un nanotubo,
los modos son armónicos en el tiempo. Por lo tanto, los términos
temporales y espaciales para la
deformación transversal se pueden escribir:
iωtv z,t v z e (5)
donde v (z) representa la amplitud en la función de forma de
vibración, i 1 y ω es la
frecuencia natural. Para encontrar la solución de la ecuación
(1), se aplica el método de
discretización por celdas (CDM) para resolver el problema del
valor propio.
2.2. Método de discretización por celdas (Cell-Discretization
Method CDM)
El método de discretización por celdas es un eficiente método
numérico para la solución de
ecuaciones diferenciales parciales lineales. El método ya ha
sido utilizado por los autores ([6], [7]) y
por Raithel y Franciosi [8] para diferentes problemas
estructurales. Recientemente, De Rosa y
Lippiello [9] han empleado el CDM para investigar el problema de
frecuencias libres de vibración de
los nanotubos de carbono coaxiales de pared doble (DWCNT) y en
[10] para analizar el análisis de
vibración libre del nanotubo de carbono de pared simple (SWCNT)
limitado en los extremos, con
restricciones traslacionales y elásticas, y con una masa
adjunta. En el presente documento, el
método se ha modificado adecuadamente para el problema
considerado. El nanotubo se reduce a
un conjunto de t barras rígidas, unidas por t+1 celdas
elásticas, en donde se concentran las masas
MarceSello
-
y tensiones (Figura 2). De esta forma, la estructura se reduce a
un sistema con un número finito de
grados de libertad (MDOF). Se supone que los parámetros de
Lagragianos son las rotaciones φi de
las barras rígidas, es decir, las coordenadas generalizadas del
sistema rígido-elástico. Todas las
posibles configuraciones son funciones del siguiente vector:
T
1 2φ ,φ ,...,φ ,...,φi tc (6)
165/5000
las componentes verticales de los desplazamientos nodales y las
rotaciones relativas entre las dos
caras de las celdas elásticas vienen dadas por las siguientes
expresiones:
i 1
1 i j
j 1
Lv 0, v φ , i 1,..., t 1
t
(7)
Figura 2. Sistema estructural del método de discretización por
celdas.
1 1 i i i-1 t+1ψ φ , ψ φ φ , ψ 0 (8)
Esto es posible escribirlo en forma matricial, siendo A la
matriz de desplazamientos y B la matriz
de rotaciones:
, =v Ac ψ Bc (9) Las matrices rectangulares A y B tienen t+1
filas y t columnas, cada entrada se puede calcular de
acuerdo con la Figura 2. La forma de la matriz A es:
t 1 i 1
ij
i 2 j 2
LA i
t
(10)
MarceSello
-
con A1j = 0, para j = 1, ..., t; mientras que la matriz B tiene
Bii = 1 y B(i + 1) i = -1, para i = 1, ..., t-1. De
acuerdo con la presente discretización, las componentes axiales
de los desplazamientos nodales
asumen la siguiente forma:
i 12
1 i j
i 1
1 Lw =0, w φ , i 1,..., t 1
2 t
(11)
En la forma matricial, los desplazamientos axiales de la celda t
+ 1 se convierten en:
t2 T
n+1 j
j 1
1 L 1w φ
2 t 2 lc D c (12)
donde Dl es la matriz diagonal de los términos L/t.
Sustituyendo las ecuaciones (7-8) y (11-12) en la ecuación (4),
la energía cinética debe expresarse
como función de las coordenadas lagrangianas de la siguiente
manera:
L
22 2
γ m γLγL0
1 1 1T ρA dz+ M J '
2 2 2 v v v (13)
o, en forma discretizada:
t 1
22 2
i i γ m γLγLi 1
1 1 1T m v + M v J φ
2 2 2
(14)
La masa se concentra en las celdas elásticas y está representada
por los siguientes términos de la
matriz diagonal:
i i-11 1 i t+1 t
L A A L Lmt ρA , mt ρ , mt ρA , i 2,..., t
2t 2 t 2t
(15)
y la ecuación (14) se convierte en:
T T t iγ γ iγ1
T δ δ2
c A m M A + J c (16)
donde iγδ es el delta de Kronecker, relativo a la masa
concentrada en la abscisa genérica γL , y la
matriz J representa la inercia rotacional de la masa añadida. El
trabajo virtual fL' de las fuerzas de
inercia debidas al desplazamiento adicional no local se puede
expresar como:
2L
T2 2 T0
f 0 t
0
eL' e ρA z dz t b
L
aa flv v Ac m Bc = c c (17)
Donde
2
T0
t
eb t
L
afl A m B (18)
MarceSello
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La energía de tensión se concentra en la celda elástica del
nanotubo y debe expresarse como
funciones de las coordenadas lagragianas de la siguiente
manera:
L t
T2 T T T
e i i f f t
i 10
1 1 1 1 1L EI z dz M ψ =-
2 2 2 2 2 v k Bc Bc c B k Bc = c k c (19)
donde kf es la matriz diagonal de rigidez y
T i i-1t f i i A i
E I I, M t ψ k ψ
2L
k B k B (20)
La energía potencial L"f de la fuerza de seguidora debido al
efecto no local está dada por:
L
T2 2 2 T T T
f 0 0 0
0
L e p dz p e =p e pa a a flv v Bc Bc c B Bc c k c (21)
con
Tfl
k B B (22)
El trabajo virtual LN de la carga axial conservativa se expresa
como
L
2 T
N
0
1 1L p v dz= p
2 2 c D cl (23)
y la energía de la carga axial no conservativa está dada
por:
Tnc t t+1
v L,tδW p δv L,t p δv p δ
z
nc
c k c (24)
donde knc es una matriz con t filas y t columnas, con knc t,
j=-1 para j= 1, …, t. La matriz de rigidez
global es:
t + p + p p fl ncK k k k Dl (25)
La matriz global de masas viene dada por:
- fl
M m b (26)
con T t iγ iγδ δ m A m M A J
La ecuación de Lagrange para el sistema discreto se expresa:
i
i i i
d T T L - + Q
dt
e
(27)
obteniendo
2 0 K M c (28)
MarceSello
-
donde ω es la frecuencia circular y c denota la forma modal o
vector propio. Una solución a este
sistema homogéneo de ecuaciones existe solo si el determinante
de la matriz del coeficiente se
establece igual a cero:
2det 0 K M c (29) donde ω2 son los valores propios o las
frecuencias naturales de la vibración.
3. Comparaciones numéricas y discusión.
A los fines de mostrar las potencialidades del enfoque propuesto
(CDM), se han realizado varios
ejemplos numéricos, utilizando un código general desarrollado en
Mathematica [11]. Los resultados
numéricos se ilustran y se comparan con los disponibles en la
literatura. En los análisis numéricos,
se evalúa la influencia del parámetro no local, la masa y la
posición de la masa añadida, y la fuerza
seguidora sobre el valor de frecuencia natural. Para la
conveniencia del análisis, también se
introducen los siguientes parámetros adimensionales:
2 4
1 04
1
0
ρA L
EI
(30)
donde Ω1 es el primer valor de frecuencia adimensional, A0 e I0
son el área de la sección
transversal y el momento de inercia, respectivamente, de un
nanotubo uniforme;
2γ 0
s
0 0
M e pLM , , P=
ρA L L EI
a (31)
Ms es la masa añadida adimensional, η es el parámetro no local y
P es el coeficiente adimensional
de la carga axial.
3.1 Modelo de validación
Un ejemplo numérico preliminar pretende comparar los resultados
presentes con los exactos
propuestos en [10] y nos referimos a los parámetros enumerados
en la Tabla 1 de [12]. Se
considera un nanotubo de carbono de pared simple en voladizo con
masa unida y fuerza de
seguimiento p = 0. Para dos valores diferentes del parámetro no
local η = [0,1] y para la masa
sumada no dimensional Ms, que varía en el rango [0,1], en la
Tabla 1 se presentan los valores de la
primera frecuencia no dimensional Ω1. Como se puede ver, los
resultados numéricos por el CDM,
obtenidos usando un número menor de céldas, es decir, t = 100,
están en perfecto acuerdo con los
exactos obtenidos en [10]. Además, de la Tabla 1, se puede ver
que el primer valor de frecuencia
natural adimensional disminuye con incrementos en el valor de la
masa concentrada Ms. También
se observa que Ω1 aumenta si el efecto no local η aumenta.
MarceSello
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3.2 Efecto de la masa añadida adimensional Ms y coeficiente de
relación de estrechamiento c en la primera frecuencia adimensional
Ω1 de un nanotubo no uniforme
En este ejemplo numérico, se investiga la influencia de la masa
adimensional adherida Ms y el
coeficiente adimensional c en la primera frecuencia del
nanotubo. Se considera un nanotubo no
uniforme fijado con sección transversal circular y que lleva una
masa concentrada Ms, colocada en
el extremo derecho del nanotubo, es decir, Ms = 0.5. Para
resolver este problema, se usan las
propiedades geométricas y físicas del nanotubo de [13]
asumiendo:
q q+2
0 0
z zA z A 1 c , I z I 1 c
L L
(32)
donde A0 e I0 representan el área de la sección transversal y el
momento de inercia del SWCNT en
el extremo izquierdo, para z = 0, respectivamente, y c que debe
satisfacer la desigualdad c > -1,
para evitar que los estrechamientos de nanotubos a cero entre
sus extremos.
Tabla 1. Comparación de la primera frecuencia adimensional 1
obtenida de la solución exacta
en [10] y con el método de discretización por celdas, para
P=0.
En la Tabla 2 se supone P = 0 y q = 1, mostrando la primera
frecuencia natural adimensional Ω1,
utilizando CDM, para diferentes valores de coeficiente de efecto
no local η y de relación de
estrechamiento c, es decir -0.5 y 0.5. De la Tabla 2, se puede
observar que los resultados
presentes están de acuerdo con los resultados dados por De Rosa
et al. en [13].
MarceSello
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Tabla 2. Primera frecuencia natural adimensional 1 variando el
efecto no local y el coeficiente
de variación de radio c, con Ms = 0.5 y q = 1.
3.3 Efecto de la fuerza no conservadora no dimensional p y
coeficiente no local η en la primera frecuencia no dimensional
Ω1
En el siguiente ejemplo numérico, se evalúa el efecto del
coeficiente η y la fuerza no conservativa
P en valor de la primera frecuencia adimensional Ω1. En la
Figura 3, las curvas de frecuencia-carga
se trazan para tres valores del parámetro η [0, 0.1, 0.2] y
manteniendo q = 1, P = 1 y Ms = 0,5. Las
tres curvas se refieren a diferentes valores del coeficiente
c.
Figura 3. Influencia de la fuerza no conservativa P en la primer
frecuencia adimensional
1 variando el efecto no local =0, 0.1 y 0.2.
4. CONCLUSIONES
En el presente trabajo, se estudia la inestabilidad dinámica no
local de un nanotubo de carbono de
pared simple en voladizo que lleva una masa concentrada, en una
posición genérica, y sujeta a
una fuerza de seguimiento, en el extremo derecho. De acuerdo con
las teorías de vigas de Eringen
y Euler-Bernoulli, la ecuación de movimiento se deriva
utilizando el enfoque variacional y
posteriormente se resuelve mediante el método de discretización
por celdas. Algunos ejemplos
numéricos muestran la efectividad del enfoque propuesto, incluso
a través de una comparación con
MarceSello
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los resultados en la literatura. Se discute la influencia del
parámetro no local, la masa añadida y el
coeficiente de relación de estrechamiento sobre la inestabilidad
dinámica de SWCNT.
4. REFERENCIAS
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354 (1991), 56–58.
[2] Eringen, A.C. On differential equations of non local
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[4] Ghannadpour, S.A.M., Mohammadi, B. and Fazilati, J. Bending
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of nonlocal Euler beams using Ritz method. Comp. Struct., 96
(2013), 5843–589.
[5] De Rosa, M.A. and Lippiello, M. Nonlocal Timoshenko
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nanotube with attached mass: An alternative hamiltonian
approach. Comp. Part B, 111 (2017),
409–418.
[6] Auciello, N.M. and Lippiello, M. Vibration analysis of
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”CDM” method. News in Engineering, 1 (1) (2013), ISSN: 1339–
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[7] De Rosa, M.A. and Lippiello, M. Natural vibration
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[8] Raithel, A. and Franciosi, C. Dynamic analysis of arches
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Struct. Eng., 110 (4) (1984), 847–858.
[9] De Rosa, M.A. and Lippiello, M. Free Vibration Analysis of
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Schmidt Based on Nonlocal Euler-Bernoulli Beam Theory. The
Scientific Worl J., 2014 (2014),
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[10] De Rosa, M.A. and Lippiello, M. Free vibration analysis of
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of nonlocal effect. Int. J. of Eng. and Inn. Tech. (IJEIT), 4(4)
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[11] Wolfram, S. The Mathematica 8., Cambridge University Press;
(2010).
[12] Mehdipour, I., Erfani-Moghadam, A. and Mehdipour, C.
Application of an electrostatically
actuated cantilevered carbon nanotube with an attached mass as a
bio-mass sensor. Curr. Appl.
Phys, 13 (2013), 1463–1469.
[13] De Rosa, M.A., Lippiello M., Babilio, E. and Ceraldi, C.
Exact dynamic stiffness matrix for
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Meth. in Eng., 40 (1997), 233–250.
MarceSello
