INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

INF3170 / INF4171Velkommen!

Syntaks og semantikkUtsagnslogikk

Andreas Nakkerud

20. august 2015

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Velkommen til INF3170 / INF4171

2 forelesninger per uke (tirsdag og torsdag)

1 gruppetime per uke (mandag)

Valgfritt (nesten) fordypningspensum for INF4171

Artikkelseminar

2 eller 3 obligatoriske innleveringer

Muntlig vs. skriftlig eksamen?

Følg med pa kursets nettsider!

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Syntaks og semantikk

Syntaks: Representasjon, koding.

Semantikk: Meningsinnhold.

Skillet kan være litt vanskelig i starten, fordi vi er sa vantmed i gjøre det intuitivt.Eksempel: symbolet 2 representerer antallet strekertegnet her ‖

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Koding av informasjon

00111000

56 (titallsystemet)’8’ (ASCII)

Syntaktisk manipulasjon00111010

gir forskjellige semantiske konsekvenser58 (titallsystemet)’:’ (ASCII)

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Eksempel: kurver

Syntaks: y = x2.(Kartesisk koordinatrepresentasjon.)

Semantikk: Parabolsk kurve (et av kjeglesnittene).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

5

10

15

20

25

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Eksempel: kurver

Hvor stort er det skraverte arealet?

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

5

10

15

20

25

Forslag til syntaks: A(x2, 2, 4).

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Eksempel: kurver

Fra matematikk (kalkulus) henter vi følgende syntaktiskeregler:

A(xn, a, b) = ·bn+1 − an+1

n + 1A(c · f (x), a, b

)= c · A

(f (x), a, b

)A(f (x) + g(x), a, b

)= A

(f (x), a, b

)+ A

(g(x), a, b

)Svar: A(x2, 2, 4) = 43−23

3= 56

3.

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Eksempel: kurver

Spørsmal: Hva er A(5x2 − 3x3 + 1

2x4, 2, 4

)?

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

5

10

15

20

25

30

35

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Eksempel: kurver

Vi bruker reglene og far

5 · A(x2, 2, 4)− 3 · A(x3, 2, 4) +1

2· A(x4, 2, 4).

Videre utregning gir oss

A(5x2 − 3x3 +

1

2x4, 2, 4

)=

188

15.

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Eksempel: kurver

Hva er poenget? Koding vs. betydning, syntaks vs.semantikk.

Vi forstar spørsmalet Hva er A(f , a, b)?, og vi forstarsvaret, som er et tall.

Vi kan til og med regne ut svaret, helt uten a forstaprosessen.

Hvordan vet vi da at prosessen gir rett svar?

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Utsagnslogikk

Definisjon (Sprak for utsagnslogikk)

Spraket for utsagnslogikk bruker et alfabet som bestar av

i. utsagnssymboler: p0, p1, . . .,

ii. konnektiver: ∧, ∨, →, ¬, ↔, ⊥ og

iii. tillegssymboler: (, ).

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Utsagnslogiske formler

Definisjon (Utsagnslogiske formler)

Mengden PROP av utsagnslogiske formler er den minstemengden X slik at

i. ⊥ ∈ X og pi ∈ X for alle i ≥ 0,

ii. hvis φ, ψ ∈ X , sa er ogsa (φ ∧ ψ) ∈ X , (φ ∨ ψ) ∈ X ,(φ→ ψ) ∈ X og (φ↔ ψ) ∈ X og

iii. hvis φ ∈ X , sa er ogsa (¬φ) ∈ X .

(p17 ∨ ⊥) ∈ PROP , ¬¬⊥ 6∈ PROP

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Genererende sekvens

Definisjon (Genererende sekvens)

En sekvens φ0, . . . , φn er en genererende sekvens for φdersom φn = φ og for alle i ≤ n, sa er det slik at

i. φi er atomær,

ii. φi = (φj�φk) for et valg av j , k < i eller

iii. φi = (¬φj) for et valg av j < i .

Theorem

PROP er mengden av utsagnslogiske uttrykk som hargenererende sekvenser.

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Delformler

Definisjon (Delformler)

Mengden av delformlene til φ, Sub(φ), er gitt ved

i. Sub(φ) = {φ} for atomære φ,

ii. Sub(φ�ψ) = Sub(φ) ∪ Sub(ψ) ∪ {(φ�ψ)}, og

iii. Sub((¬φ)) = Sub(φ) ∪ {(¬φ)}.

Sub((p0 → (p3 ∧ ⊥))

)= {(p0 → (p3 ∧ ⊥)), p0,

(p3 → ⊥), p3,⊥}

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Rang

Definisjon (Rang)

Rangen r(φ) til en preposisjon φ er gitt ved

r(φ) =

0, atomær φ

1 + max(r(φ1), r(φ2)), φ = (φ1�φ2)

1 + r(φ1), φ = (¬φ1)

r((p0 → (p3 ∧ ⊥))

)= 2

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Induksjon

Theorem (Induksjon)

La A være en egenskap. A holder for alle formler i PROPdersom

i. A holder ⊥ og for alle pi ,

ii. hvis A holder for φ og ψ, sa holder A for (φ�ψ) og

iii. hvis A holder for φ, sa holder A for (¬φ).

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Induksjon over rang

Theorem (Induksjon over rang)

Hvis for alle φ,

[A(ψ) for alle ψ med rang mindre enn r(φ)]⇒ A(φ),

da holder A for alle utsagn i PROP.

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Semantikk

Definisjon (Valuasjon)

En mapping v : PROP → {0, 1} er en valuasjon hvis

v(φ ∧ ψ) = min(v(φ), v(ψ))

v(φ ∨ ψ) = max(v(φ), v(ψ))

v(φ→ ψ) = 0 hviss v(φ) = 1 og v(ψ) = 0

v(φ↔ ψ) = 0 hviss v(φ) = v(ψ)

v(¬φ) = 1− v(φ)

v(⊥) = 0.

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Semantikk

Theorem

Hvis v er en mapping fra atomære utsagn til {0, 1}, slikat v(⊥) = 0, da finnes det en unik valuasjon [[·]]v , slik at[[φ]]v = v(φ) for atomære φ.

Lemma

Hvis v(pi) = v ′(pi) for alle pi som forekommer i φ ogv(⊥) = 0, da er [[φ]]v = [[φ]]v ′ .

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Semantikk

Definisjon (Tautologi)

i. φ er en tautologi hvis [[φ]]v = 1 for alle valuasjoner v ,

ii. |= φ er notasjon for at φ er en tautologi,

iii. dersom Γ ⊆ PROP , da skriver vi at Γ |= φ (φ er enlogisk konsekvens av Γ), dersom for alle v , hvis[[ψ]]v = 1 for alle ψ ∈ Γ, sa er [[φ]]v = 1.

Det er vanlig a skrive φ1, . . . , φn |= ψ i stedet for{φ1, . . . , φn} |= ψ.

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Substitusjon

Definisjon ((Atomær) substitusjon)

φ[ψ/pi ] =

{φ, hvis φ er atomær og φ 6= pi

ψ, hvis φ = pi

(φ1�φ2)[ψ/pi ] = (φ1[ψ/pi ]�φ2[ψ/pi ])

(¬φ)[ψ/pi ] = (¬φ[ψ/pi ]).

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Substitusjon

Theorem

Hvis |= φ1 ↔ φ2, og p er et atomært utsagn, da er detogsa slik at |= ψ[φ1/p]↔ ψ[φ2/p].

Lemma

i. [[φ1 ↔ φ2]] ≤ [[ψ[φ1/p]↔ ψ[φ2/p]]] og

ii. |= (φ1 ↔ φ2)→ (ψ[φ1/p]↔ ψ[φ2/p]).

INF3170 /INF4171

Andreas Nakkerud

Syntaks ogsemantikk

Koding avinformasjon

Utsagnslogikk

Delformler og rang

Induksjon

Semantikk

Substitusjon

Normalform

Normalform

Definisjon (Normalform)

La φij være atomære formler og negasjoner av atomæreformler (literaler). Hvis φ =

∧i≤n∨

j≤miφij , sa er φ pa

konjunktiv normalform. Hvis φ =∨

i≤n∧

j≤miφij , sa er φ

pa disjunktiv normalform.

Theorem

For enhver phi finnes det en konjunktiv normalform φ∧

og en disjunktiv normalform φ∨, slik at |= φ↔ φ∧ og|= φ↔ φ∨.