INFERENCIA ESTADISTICA

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DISTRIBUCION DE MUESTREOINFERENCIA ESTADISTICA

1. OBTENCION DE CONCLUSIONES DE LOS DATOS

2. INTENTA MEDIR SU SIGNIFICACION

OBSERVANDO MUESTRA

ANALIZANDO MUESTRA

CONFIANZA

VERACIDAD

3. MEDIDAS FUNDAMENTALES

PARAMETRO No 2 DESVIACION TIPICA / ERROR TIPICO

PARAMETRO No 1: MEDIA

D.T. PARA POBLACION

D.T. PARA MUESTRAS S

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CALCULO DE PARAMETROSEJEMPLO

POBLACION S = {1, 3, 5, 7}

MEDIA ARITMETICA

4

DESVIACION MEDIA DM =

DESVIACION TIPICA

5VARIANZA

CALCULEMOS:


DISTRIBUCION NORMALEJEMPLO

En el examen parcial de estadística evaluado entre [0 ; 100] la media aritmética fue 72 y la desviación típica o estándar 15. Determinar la referencia tipificada (unidades de desviación típica) de los estudiantes que obtuvieron puntuaciones de:a. 60 b. 93 c. 72 d. 80

Recordar la formula de transformación de unidades tipificadas.

X = Vr nota

S = Desviación Típica

X = 60 S = 15

0.2119UNIDADES ESTANDARIZADAS

AREA

72

0

87

1

102

2

57

-1

117

3

42

-2

27

-3

P(Z<-0.8)

Se desea hallar A=0.2119 21.19%

Se desea hallar P(Z>-0.8)

1- P(Z>-0.8) A=0.7881

Se desea hallar P(-0.8<Z<1.4)

A=0.2119A=0.7073

A=0.9192


DISTRIBUCION NORMAL

Como se tiene que:X = Vr nota

S = Desviación Típica

72

0

87

1

102

2

57

-1

117

3

42

-2

27

-3

Para el ejercicio anterior se tiene que

DETERMINACION DE PUNTUACIONES CORRESPONDIENTES A Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS

S=15 Hallar las puntuaciones equivalentes a z

Z = 1.5

94.5 NOTA

Z = -1 57 NOTA

Cuando la nota es 60 tenemos que se cumple que

Limite de Perdida

P(Z<-0.8)

PIERDEN AREA 0.2119

P(Z>-0.8)

APRUEBAN AREA 0.7881


MEDIA MUESTRALCADA MUETRA DE TAMAÑO n QUE EXTRAEMOS DE UNA POBLACION ES UNA MEDIA

MUESTRA

n1

n2

nn

MEDIAS MUESTRALES

Si se consideran como valores de una

variable aleatoria

SE ESTUDIA SU DISTRIBUCION

MUESTRAL

SE LLAMA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

PROCEDIMIENTO

1. HALLAMOS MEDIA

2. DESVIACION MEDIA

3. DESVIACION TIPICA O ESTANDART POBLACIONAL

4. VARIANZA

D.M.


MEDIA MUESTRALCONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO 2

1. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE 2. CON REEMPLAZAMIENTO

1. Media Poblacional

2. Desviación Estándar Poblacional

PROBABILIDAD


MEDIA MUESTRALDISTRIBUCION DE LA PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL. GRAFICO

CADA MUESTRA DE TAMAÑO n EXTRAIDA DE UNA POBLACION PROPORCIONA

1. MEDIA

2. ERROR ESTANDAR DE LA MEDIA

SI LA POBLACION ES FINITA Y LA EXTRACION SIN

REPOSICION

LA DESVIACION TIPICA O ESTANDAR ES

N=Población

n=Muestra

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Dismedia2.png


MEDIA MUESTRALCONSIDERENSEN TODAS LAS MUESTRAS DE TAMAÑO n

1. MUESTREO TIPO 1. CON SUSTITUCION

1. Media Poblacional

2. Desviación Estándar Poblacional

3. Error Estándar de la Media

Desviación Estándar de todas las medias

Indica como varia la media muestral entre una y otra

PROBABILISTICO

NO PROBABILISTICO 2. SIN SUSTITUCION

2. CONDICION ELEMENTOS


MEDIA MUESTRALCARACTERISTICAS DE LA MEDIA

1. CADA MUESTRA DE TAMAÑO n QUE PODAMOS EXTRAER PROPORCIONA UNA MEDIA

2. CADA MEDIA SE PUEDE CONSIDERAR COMO VARIABLE ALEATORIA, PARA ESTUDIAR SU DISTRIBUCION

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

3. LA DISTRIBUCION SIGUE LA DISTRIBUCION NORMAL

4. SI LA DISTRIBUCION NO SIGUE UNA DISTRIBUCION NORMAL PERO n>30. APLICAMOS TEOREMA CENTRAL

DEL LIMITEEjemplo No 1

Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté comprendida entre 5 y 7.

POBLACION N(5,8;2,4)

TAMAÑO MUESTRAS n = 16

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA N(5,8;0,6)


MEDIA MUESTRALX = MEDIA DE LA MUESTRA

1. CALCULAMOS LA PROBABILIDAD

P(5£x£7)=P(-1.33£z£2)= P(z£2)-[1-

P(z£1.33)] = 0,8854

FORMULA DE TRANSFORMACION

1. HALLAMOS LOS Z. UNIDADES ESTANDARIZADASX = 5

X = 7

Z = -1.33

Z = 2

2. HALLAMOS LA PROBABILIDAD PARA Z EN LA TABLA DE U. ESTANDARIZADAS

Z = -1.33 P(z < -1.33) Z = 2P(z < 2)

0.0918 0.9772

0.8854

4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6

-3 -2 -1 0 1 2 3 Z=UNIDADES ESTANDARIZADAS

X= UNIDADES DE LA MUESTRA

0.0918 0.9772


DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIAEJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté por debajo de 7.2.

MEDIA POBLACIONAL = MEDIA MUESTRAL DESVIACION TIPICA ELEMENTOS MUESTRA

HALLAMOS ERROR ESTANDAR DE LA MUESTRA

HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2 2.33

4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.9893

EL 98.93% DE TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES CON UNA TAMAÑO DE n=16 TIENEN UNA MEDIA DE 7.2.

EL PROMEDIO DE LA NOTA DEL 98.93 DE LAS MUESTRAS TIENEN PROMEDIO INFERIOR A 7.2

P( <7.2 ) P( Z < 2.33 ) AREA = 0.9893


DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIAEJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar, si la muestra se varia a 100 estudiantes y esté por debajo de 7.2.

MEDIA POBLACIONAL = MEDIA MUESTRAL DESVIACION TIPICA ELEMENTOS MUESTRA

HALLAMOS ERROR ESTANDAR DE LA MUESTRA

HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2

4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5948

EL 59.48% DE TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES CON UNA TAMAÑO DE n=100 TIENEN UNA MEDIA DE 7.2.

EL PROMEDIO DE LA NOTA DEL 59.48% DE LAS MUESTRAS TIENEN PROMEDIO INFERIOR A 7.2

P( <7.2 ) P( Z < 0.24 ) AREA = 0.5948


DISTRIBUCION NORMALEJEMPLO: Con relación al ejercicio anterior, que se tiene que el valor del promedio de notas es 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que una nota tomada de un estudiante al azar por debajo de 7.2.

MEDIA POBLACIONAL = MEDIA MUESTRAL

DESVIACION TIPICA ELEMENTOS MUESTRA

HALLAMOS EL Z. UNIDADES ESTANDARIZADAS PARA 7.2

1 4.6 3.4 5.8 8.2 10.6 13

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.7190

EL 71.90% DE TODAS LAS NOTAS POSIBLES TIENEN UN VALOR DE 7.2.

P( <7.2 ) P( Z < 0.58 ) AREA = 0.7190

0.58

CONCLUSION COMPARATIVA

MUESTRA MUESTRAINDIVID

UAL

n=16 n=100

MEDIA 5,80 5,80 5,80D.T. 0,60 0,24 2,40

PORCEN 98,93 59,48 71,90

1. El 71.90% de todos los estudiantes obtuvo nota

inferior a 7.2

2. El 59.48% de las muestras con tamaño 100 tiene media inferior a 7.2.

3. El 98.93% de las muestras con tamaño 16 tienen media nferior a 7.2


DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONESCALCULO EXPERIMENTAL DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONES. CONSIDERESE LAS SIGUIENTES FIGURAS

CONSIDEREMOS TODAS LAS MUESTRAS TAMAÑO 2 POSIBLES QUE EXISTEN

SUSTITUCION

ALEATORIO SIMPLE

LA PROBABILIDAD p DE SACAR UN TRIANGULO EN LA MUESTRA X = No Éxitos

n = Tamaño de la muestra

TABLA DE FRECUENCIA DE

PROBABILIDAD DE SALIR UN

TRIANGULO

DISTRIBUCION MUESTRAL DE PROPORCIONES

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Imagen:Prop.png


DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONESCALCULEMOS LA ESPERANZA MATEMATICA O PROBABILIDAD DE SALIR TRIANGULO DEL TOTAL DE LAS MUESTRAS

EL NUMERO DE EXITOS X DE UNA MUESTRA TAMAÑO n, SE DISTRIBUYE DE FORMA BINOMIAL

B(n, p) p = Ocurrencia

q = No ocurrencia

p

q = 1 -p

MUESTRA

DESV TIPI

APROX A UNA DIS. NORMAL

Como MUESTRA

DESV TIPI

MEDIA VARIANZA


DISTRIBUCION MUESTRAL POR PROPORCIONESEJEMPLO: Si tiramos una moneda no cargada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras?

p = Ocurrencia = Caras = 0.5 q = No ocurrencia = 0.5 n = Elemento muestra = 100

LA DISTRIBUCION NORMAL DE PROPORCIONES SE DISTRIBUYE

N(0.5; 0.05)

N(p; ) Hallamos probabilidad

Hallamos Z

P( > 0.55) P( Z > 1)

0.30 0.40 0.45 0.5 0.55 0.60 0.65

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.8413

P( Z < 1)

1-P( Z <= 1)

1 - 0.84130.1587

P = 0.55


TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL1. MUESTRAS GRANDES n > 30

2. LA DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL ES UNA DISTRIBUCION NORMAL

LA MEDIA ES LA MISMA QUE LA DE LA VRIABLE

LA DESVIACION TIPICA DE LA MEDIA MUESTRAL SERA APROX EL ERROR ESTANDAR

UNA CONSECUENCIA DEL TEOREMA LA DISTRIBUCION DE LA VARIABLE ES UNA NORMAL

EJEMPLO: Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido doscientos paquetes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy esté entre 30 y 35 minutos?

LOS PARAMETROS DE DISTRIBUCION MUESTRAL SONLA MEDIA

DESVIACION ESTANDAR


TEOREMA DEL LIMITE CENTRALVARIABLE X = Tiempo de entrega Media Aritmética Población

Desviación Típica Población

Tamaño muestra n = 200Para la muestra

Media muestra

Desviación típica muestra

SE DEBE HALLAR

33.29 33.86 34.43 35 35.57 36.14 36.71

-3 -2 -1 0 1 2 3

A = 0.500

A = 0

A = 0.5


TEOREMA DEL LIMITE CENTRALb) ¿Cuál es la probabilidad de que, en total, para los doscientos paquetes hayan estado más de 115 horas?

Las 115 horas = 6.900 min

Las unidades tipificadas

33.29 33.86 34.43 35 35.57 36.14 36.71

-3 -2 -1 0 1 2 3

A = 0.1894

EL AREA SOMBREADA ES 1 –P(X<34.5)

A = 0.8106 A = 1 – 0.1894


TEOREMA DEL LIMITE CENTRALEJEMPLO: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale sello el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.

La media aritmética

35 40 45 50 55 6 0 65

-3 -2 -1 0 1 2 3

A = 0.9772

EL AREA SOMBREADA ES 1 –P(Z < 2.0)

A = 0.0228

A = 1 – 0.9772

100*0.5 = 50

La Desviación Típica de la muestra

n = 100

Las Unidades Tipificadas para X = 60

5

La probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.

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