Inferencia Estad´ıstica - personales.unican.espersonales.unican.es/gonzaleof/Itop/inferencia.pdf · Soluciones de Ejercicios. ... una variable aleatoria normal de media µ y

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ESTADISTICAInferencia Estadıstica

Alberto LucenoFrancisco J. Gonzalez

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Copyright c© 2000Actualizado el: 11 de noviembre de 2003 Version 2.00

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7. Inferencia EstadısticaSoluciones de Ejercicios

Seccion 7: Inferencia Estadıstica 3

7. Inferencia Estadıstica

Ejercicio 148. Se ha analizado un conjunto de n microprocesadoresy se encuentran x defectuosos.

1. No se conoce la probabilidad p de que uno cualquiera sea defec-tuoso. Estimar p por el metodo de los momentos.

2. No se conoce n, pero sı la probabilidad de ser defectuoso p.Estimar n por el metodo de los momentos.

Ejercicio 149. Los defectos en una placa fotografica siguen una dis-tribucion de Poisson Po(λ). Se estudian 7 placas encontrando 3, 5, 2,2, 1, 3 y 4 defectos, respectivamente. Calcular el estimador de maximaverosimilitud de λ.

Ejercicio 150. Si x1, x2, . . . , xn es una muestra aleatoria simple deuna variable aleatoria normal de media µ y varianza σ2, y consider-amos la cuasi-varianza muestral

s2 =∑n

i=1(xi − x)2

n− 1Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I


determinar E[s2].

Ejercicio 151. Una maquina automatica fabrica piezas, de las cualesse desea controlar su longitud X, que se sabe se distribuye de formaN(60; 1,52). Se extraen regularmente muestras de 9 piezas.

1. ¿Cual es la ley de probabilidad de X?

2. ¿En que intervalo (a, b) simetrico respecto de µ existe una prob-abilidad 0,95 de hallar X?

3. Para controlar la varianza σ2 se estudian los valores de la vari-able

S2 =9∑1

(Xi − X)2

¿cual es la ley de probabilidad de S2/σ2?

4. ¿Cual es la esperanza de S2? ¿Cual es su varianza?

5. En que intervalo (0, a) debe encontrarse S2 con una probabilidad0,95?

Toc JJ II J I Volver J Doc Doc I


Ejercicio 152. El diametro interior de un anillo de piston selecciona-do al azar es una variable aleatoria con media 12 cm y desviaciontıpica 0,04 cm.

1. Si x es el diametro medio de una muestra de n = 16, ¿dondeesta centrada la distribucion de x, y cual es la desviacion tıpicade la distribucion de x?

2. Contestar a las preguntas anteriores si n = 64.

3. Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, calcularP (11,99 ≤ x ≤ 12,01) cuando n = 16.

4. Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, ¿cual es ladistribucion de la cuasi-varianza muestral s2?

5. Hallar P (10−3 ≤ s2 ≤ 2 10−3).



Ejercicio 153. Cierto tipo de componentes electricas tienen una re-sistencia media de 200 Ω, con desviacion tıpica σ = 10 Ω. Se utilizan25 de ellas en un circuito:

1. Calcular la probabilidad de que la resistencia media de las 25componentes este entre 199 y 202 Ω.

2. Calcular la probabilidad de que la resistencia total de las 25componentes no supere lo 5100 Ω.

Ejercicio 154. Sea p la proporcion de fumadores en una poblacion.Entre 1000 personas elegidas al azar, hay 600 fumadores. Determinarun intervalo de confianza para p, con un nivel de confianza 0,95.

Ejercicio 155. La proporcion de escolares zurdos es p. En una mues-tra aleatoria de 100 escolares, hay 10 zurdos. Dar un intervalo deconfianza para p, con un nivel de confianza 0,95.



Ejercicio 156. Al examinar a 20000 madrilenos, se han obtenido lossiguientes resultados:

Grupo sanguıneo A B AB OPorcentaje 43,2 14,2 6 36,6

Determinar un intervalo de confianza, con un nivel de confianzadel 95,45 % para la proporcion p de personas con grupo sanguıneo deltipo O.

Ejercicio 157. Se quiere estimar la proporcion de zurdos en unapoblacion con una confianza del 95 % y una precision de 0,01.

1. ¿Cual debe ser el tamano de la muestra elegida?

2. Mediante un muestreo previo se estima que p ≈ 0,1. ¿Que tamanodebe tener la muestra si para calcularlo se utiliza la estimacionde p dada?

Ejercicio 158. Se quiere estimar la proporcion p de electores quevotaran al candidato polıtico A, con un nivel de confianza 0,9 y unaprecision de 0,05. ¿Que tamano debe tener la muestra?



Ejercicio 159. En una poblacion muy grande, se extrae al azar unamuestra de 100 votantes para conocer sus opiniones respecto de doscandidatos. De los individuos de la muestra, 55 apoyan al candidatoA y 45 apoyan al candidato B. Se pide:

1. Calcular un intervalo de confianza para la proporcion de votosa favor de cada candidato.

2. Calcular cual deberıa ser el tamano de la muestra para que unafraccion 0,55 de partidarios de A nos de una confianza del 95%de que este saldra elegido.

Ejercicio 160. La resistencia media de fractura de cierto tipo devidrio es de 1 kg/cm2 con una desviacion tıpica de 0,14 kg/cm2:

1. ¿Cual es la probabilidad de que la resistencia media de unamuestra de 100 piezas sea superior a 1,028 kg/cm2?

2. Construir un intervalo de confianza al nivel de confianza 95%para la media de la muestra x.



Ejercicio 161. Si la vida en horas de una bombilla electrica de 75watios se distribuye de forma normal, con desviacion tıpica σ = 5horas y elegimos una muestra aleatoria de 20 bombillas cuya vidamedia es de 1014 horas, se pide:

1. Construir un intervalo de confianza bilateral para la vida mediade las bombillas con un nivel de significacion del 0,05.

2. Construir un intervalo de confianza inferior para la vida mediade las bombillas con un nivel de significacion del 0,05.

3. Si queremos tener un nivel de confianza del 95% de que el erroren la estimacion de la vida media fuera menor que dos horas,¿que tamano de muestra elegirıamos?

Ejercicio 162. Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempode secado en promedio de una nueva pintura para interiores. Si en12 areas de prueba de igual tamano, el obtuvo un tiempo de secadomedio de 66,3 minutos y una cuasi-desviacion tıpica de 8,4, construirun intervalo de confianza con un nivel de significacion del 0,05.



Ejercicio 163. Las resistencias a fractura X, en kg/cm2, de unasplacas de acero fueron:

69,5; 71,9; 72,6; 73,3; 73,5; 75,5; 75,7; 75,8; 76,1; 76,2;77; 77,9; 78,1; 79,6; 79,7; 79,9; 80,1; 82,2; 83,7; 93,7

Calcular un intervalo de confianza para la desviacion tıpica σx dela distribucion de la resistencia a fractura al nivel de confianza 0,99.¿Es valido este intervalo, cualquiera que sea el tipo de distribucion dela variable aleatoria X?

Ejercicio 164. La longitud de los craneos de 10 esqueletos fosiles deuna especie de aves extinta tiene una media de 5.68 cm. y una cuasi-desviacion tıpica de 0.29 cm. Suponiendo que estas longitudes estandistribuidas de forma normal, obtener un intervalo de confianza al95 % de la longitud media de los craneos de esta especie de aves.

Ejercicio 165. Una empresa se dedica a la fabricacion de lamparasde radio y televisiones. Las de radio tienen una duracion media de2500 horas y una desviacion tıpica de 250 horas. Las de television unamedia de 2200 horas y 100 horas de desviacion. Se cogen 50 lamparas



de radio y 75 de television al azar. Se pide:

1. Distribucion muestral de la diferencia de medias.

2. Probabilidad de que la diferencia de medias este comprendidaentre 250 y 400.

3. Probabilidad de que la duracion media de las lamparas de radiono sea superior en mas de 200 horas a la duracion media de laslamparas de television.

Ejercicio 166. Se estan probando dos composiciones diferentes degasolina sin plomo para determinar sus octanajes. La varianza deloctanaje para la composicion 1 es σ2

1 = 1,5 y para la composicion 2 esσ2

2 = 1,5. Se extraen sendas muestras aleatorias de tamano n1 = 15y n2 = 20, y se miden los octanajes medios respectivos, x1 = 89,6 yx2 = 92,5. Construir un intervalo de confianza al 95 % para estimar ladiferencia de los octanajes medios de las dos composiciones de gasolinasin plomo.



Ejercicio 167. Se tomaron muestras aleatorias de tamano 20 de dospoblaciones independientes. Las medias y las desviaciones tıpicas delas muestras fueron x1 = 22, x2 = 21,5, s1 = 1,8 y s2 = 1,5. Suponien-do que σ2

1 = σ22 construir un intervalo de confianza al nivel de confi-

anza 95 % para µ1 − µ2.

Ejercicio 168. Las capacidades de produccion de calor del carbonextraıdo de dos minas se estudian con dos muestras:

MinaA 8500 8330 8480 7960 8030MinaB 7710 7890 7920 8270 7860

Suponiendo que los datos constituyen muestras aleatorias indepen-dientes tomadas de poblaciones con varianzas iguales, construir un in-tervalo de confianza al nivel 95 % para la diferencia entre el promedioreal de las capacidades de produccion de calor del carbon extraıdo deambas minas.

Ejercicio 169. Se lleva a cabo un estudio para determinar la pro-porcion de casas que poseen al menos dos aparatos de television. ¿Deque tamano debe ser la muestra si se desea tener una confianza del



99 % de que el error al estimar esta proporcion sea menor que 0,01?

Ejercicio 170. Un tecnico en computadoras esta investigando la efi-cacia de dos lenguajes de diseno diferentes en el mejoramiento detareas de programacion. A 12 programadores expertos, familiarizadoscon ambos lenguajes, se les pide que codifiquen una funcion estandaren ambos lenguajes, y se registra el tiempo en minutos que amboscodigos emplean en su ejecucion. Los tiempos se muestran en la tabla

programador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12lenguaje 1 17 16 21 14 18 24 16 14 21 23 13 18lenguaje 2 18 14 19 11 23 21 12 13 19 24 15 20

Encontrar un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia en lostiempos de codificacion medios. ¿Hay alguna indicacion de que unode los lenguajes de diseno sea preferible?.

Ejercicio 171. Un medico dice poseer un metodo para determinar elsexo de los ninos un mes antes de su nacimiento con una efectividad del80 %. Para probar esta afirmacion se utiliza el siguiente procedimiento.



Se le dejan hacer 14 predicciones. Si el numero de exitos X es al menosde 11, se acepta su metodo y en caso contrario no se acepta. ¿Cual esla probabilidad de que

1. se acepte su metodo siendo malo?.

2. se rechace su metodo siendo bueno?.

3. ¿parece justo este procedimiento?

Ejercicio 172. Un grafologo busca empleo. Con el fin de verificarsu cualificacion, se le entregan 10 pares de muestras de escrituras.Cada par contiene la escritura de un medico y de un abogado. Se lecontratara si identifica correctamente por lo menos 8 de los 10 pares.Sea p su probabilidad de exito. Se pide:

1. ¿Cual es la probabilidad L(p) de que sea contratado?.

2. Determinar L(p) para p = 0,5 y p = 0,85.



Ejercicio 173. Se dispone de una moneda cuyo aspecto no es simetri-co. Se quiere contrastar si es regular, es decir, si p = 1/2. Se lanzala moneda 1000 veces y se obtiene 550 veces “cruz”. ¿Que podemosdecidir?

Ejercicio 174. En la experiencia de la “moneda regular”, se ha obtenido530 veces “cruz”. ¿Es significativo este resultado en contra de lahipotesis de que la moneda es regular para un nivel de significacion5 %?

Ejercicio 175. Al lanzar un dado 600 veces se obtienen 120 “seises”.¿Es significativo este resultado en contra de la hipotesis de que el dadoes regular para un nivel de significacion 5 %?

Ejercicio 176. Cierta enfermedad es mortal en el 10 % de los casos.De doscientos mineros afectados por dicha enfermedad, se mueren 29.¿Significa esto que los mineros son mas vulnerables a la citada enfer-medad? ¿Cual es la probabilidad de obtener, al azar, una desviaciontan grande?



Ejercicio 178. Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueronobtenidos en un experimento disenado para estimar la posible diferen-cia sistematica entre los rendimientos obtenidos en un proceso quımicocon dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B.

Dıa Catalizador A Catalizador B1 81,31 81,012 77,40 77,573 80,89 74,724 82,15 81,735 79,25 74,606 80,77 78,687 81,19 78,808 79,86 81,17

Se teme que el rendimiento pueda variar de unos dıas a otros de-pendiendo de factores que no pueden controlarse. Por ello, se eligieron8 dıas diferentes y en cada uno de dichos dıas se realizo el proceso unavez con el catalizador A y otra vez con el catalizador B. El orden enque se usaron los catalizadores A y B se eligio al azar cada dıa.



Sean µA y σ2A la media y la varianza poblacionales de los rendimien-

tos obtenidos con el catalizador A. Analogamente, sean µB y σ2B la

media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos conel catalizador B.

Se pide:

1. Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y medi-ante un intervalo de confianza para al nivel de confianza 0,95.

2. ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : µA = µB frente a lahipotesis alternativa H1 : µA 6= µB con un riesgo de primeraespecie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de signifi-cacion de la prueba usada.

3. ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : σ2A = σ2

B frente a lahipotesis alternativa H1 : σ2

A 6= σ2B usando un riesgo de primera

especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de signifi-cacion de la prueba usada.



Ejercicio 179. Los datos que aparecen en la siguiente tabla fueronobtenidos en un experimento disenado para estimar la posible diferen-cia sistematica entre los rendimientos obtenidos en un proceso quımicocon dos catalizadores diferentes, que llamaremos A y B.

Catalizador A Catalizador B81,31 73,9377,40 75,6280,89 70,3882,15 75,9179,25 71,6580,77 72,7781,19 76,4579,86 73,13

Durante 16 dıas consecutivos se realizo el proceso quımico con unode los catalizadores elegido al azar entre A y B, realizando el sorteode forma que no se obtuvieran mas de 8 datos con ninguno de loscatalizadores.

Sean µA y σ2A la media y la varianza poblacionales de los rendimien-



tos obtenidos con el catalizador A. Analogamente, sean µB y σ2B la

media y la varianza poblacionales de los rendimientos obtenidos conel catalizador B.

Se pide:

1. Estimar la diferencia de medias µA − µB puntualmente y medi-ante un intervalo de confianza para al nivel de confianza 0,95.

2. ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : µA = µB frente a lahipotesis alternativa H1 : µA 6= µB con un riesgo de primeraespecie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de signifi-cacion de la prueba usada.

3. ¿Puede rechazarse la hipotesis nula H0 : σ2A = σ2

B frente a lahipotesis alternativa H1 : σ2

A 6= σ2B usando un riesgo de primera

especie de 0,05? Calcular aproximadamente el nivel de signifi-cacion de la prueba usada.



Ejercicio 180. El departamento de control de calidad de una empresaha examinado 1000 unidades de un producto fabricado por la empresa,habiendose observado que no hay ninguna unidad defectuosa en lamuestra. Se pide:

1. Estimar puntualmente la proporcion de unidades defectuosasproducidas en la fabrica.

2. Calcular intervalos de confianza para dicha proporcion al nivelde confianza 0,95, usando dos metodos diferentes.

3. Una hipotesis nula que afirma que la proporcion de unidadesdefectuosas producida es igual a 0.001. ¿Puede rechazarse estahipotesis?



Ejercicio 181. En un experimento sobre la influencia de la propa-ganda en los gustos de las personas, se ha seleccionado una muestraal azar de 350 personas.

A todas estas personas se les ha pedido que dijeran si les gusta ono un cierto tipo de comida rapida. De las 350 personas consultadas,125 contestaron que sı les gusta y el resto contestaron que no.

Despues de invitar a estas personas a ver una pelıcula que contieneanuncios subliminales, se les invito a una merienda en las que se lesproporciono “exactamente” el tipo de comida rapida objeto del estu-dio. Posteriormente, se les paso una encuesta para que dijeran si leshabıa gustado o no la merienda. De las 125 personas que contestaronafirmativamente a la pregunta del apartado anterior, 110 dijeron queles gusto la merienda y 15 que no les gusto. De las 225 personas quecontestaron negativamente a la pregunta del apartado anterior, 75dijeron que les gusto la merienda y 150 que no les gusto.

Se pide:

1. Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones depersonas que contestaron afirmativamente antes y despues de la



proyeccion de la pelıcula.

2. Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre lasproporciones de personas que contestan afirmativamente antesy despues de ver pelıculas con anuncios subliminales, usando unnivel de confianza 0,95.

3. Una hipotesis nula que afirma que no hay diferencia entre lasproporciones del apartado anterior. ¿Puede rechazarse?

Ejercicio 182. Para realizar el acabado de una superficie metalicapueden usarse dos maquinas diferentes: A y B. De las 150 veces quese uso la maquina A, en 10 ocasiones fue necesario hacer una segundapasada para conseguir una superficie sin defectos. De las 150 vecesque se uso la maquina B, solamente fue necesaria una segunda pasadaen 6 ocasiones. Se pide:

1. Estimar puntualmente la diferencia entre las proporciones deveces que hay que hacer una segunda pasada con cada una delas maquinas.



2. Calcular un intervalo de confianza para la diferencia entre lasproporciones de veces que hay que hacer una segunda pasadacon cada una de las maquinas, usando un nivel de confianza0,95.

3. Una hipotesis nula dice que no hay diferencia entre las propor-ciones del apartado anterior. ¿Puede rechazarse esta hipotesis?


Soluciones de Ejercicios 24

Soluciones de Ejercicios

Ejercicio 148.

1. El estimador de p es p = xn

2. El estimador de n es n = xp

Ejercicio 148



Ejercicio 149. La funcion de verosimilitud es

f(x1, x2, · · · , xn) =(e−λ)7λ3

3!λ5

5!λ2

2!λ2

2!λ1

1!λ3

3!λ4

4!

=e−7 λ λ20

3!5!2!2!1!3!4!log f =− 7 λ + 20 log λ− log C

d log f

dλ=− 7 λ +

20λ

d log f

dλ= 0 =⇒λ =

207

Ejercicio 149



Ejercicio 150. Sea S2 =∑n

1 (xi − x)2. A partir de la igualdad

n∑1

(xi − µ)2 =n∑1

(xi − x)2 +n∑1

(x− µ)2 + 2(x− µ)

0︷︸︸︷n∑1

(xi − x)

Dividiendo por σ2

n∑1

(xi − µ

σ)2 =

1σ2

S2 + n(x− µ

σ)2

Tomando esperanzas se tiene1σ2

E[S2] =n− 1

E[S2] =(n− 1)σ2

E[(n− 1)s2] = (n− 1)σ2 =⇒ E[s2] = σ2

Ejercicio 150



Ejercicio 151.

1. La distribucion de la media muestral es

X ∼ N

(60;

1,5√9

)2. intervalo simetrico respecto de µ de hallar X con una probabil-

idad 0,95

µ±z1−α/2σ√n

60±1,961,5√

9=⇒ 60±0,98

3. Del ejercicio anterior se tiene que S2/σ2 es la suma n − 1 dis-tribuciones z2

i luegoS2/σ2 ∼ χ2

8

4. ¿Cual es la esperanza de S2? ¿Cual es su varianza?



E[S2

σ2] = 8 V AR[

S2

σ2] = 16

5. ¿En que intervalo (0, a) debe encontrarse S2 con una probabili-dad 0,95?

P (0 < χ28 < b) = 0,95 =⇒ b = 15, 5073

S2

σ2= 15, 5073 =⇒ 0 < S2 < 34, 89

Ejercicio 151



Ejercicio 152.

1. La distribucion de la media muestral es

E[x] = µ = 12 V ar[x] =0,04√

16

2. si n = 64E[x] = µ = 12 V ar[x] =

0,04√64

3.x ∼ N(12; 0,04) =⇒ x ∼ N(12;

0,04√16

) = N(12; 0,01)

P (11,99 ≤ x ≤ 12,01) =P

(11,99− 12

0,01< z <

12,01− 120,01

)=Φ (1)− Φ (−1)

=2Φ (1)− 1 ≈ 0, 6826



4. Suponiendo que X se distribuye de forma Normal, ¿cual es ladistribucion de la cuasi-varianza muestral s2?

(n− 1)s2

σ2∼ χ2

n−1 = χ215

5. Hallar P (10−3 ≤ s2 ≤ 2 10−3).

P (10−3 ≤ s2 ≤ 2 10−3) =P

(15 · 10−3

0,042< χ2

15 <15 · 2 10−3

0,042

)=P

(9, 375 < χ2

15 < 18, 75)

=χ215(18, 75)− χ2

15(9, 375) ≈ 0,6318

Ejercicio 152



Ejercicio 153.

1.x ∼ N(200; 10) =⇒ x ∼ N(200;

10√25

) = N(200; 2)

P (199 ≤ x ≤ 202) =P

(199− 200

2< z <

202− 2002

)=Φ (1)− Φ (−0,5) ≈ 0, 6826

2. La resistencia total de las 25 componentes

R = X1 + X2 + . . . + X25 E[R] = 25 · 200 σR =√

25 · 102

R ∼ N(5000; 50)

P (R ≤ 5100) =P

(z <

5100− 500050

)=Φ (2) ≈ 0,9772

Ejercicio 153



Ejercicio 154. Si p = 0,6 n = 1000 1−α = 0,95, z1−α/2 = z0,975 =1,96. El intervalo viene dado por

p ± z1−α/2

√p(1− p)

n

0,6 ± 1,96 ·√

0,6 · 0,41000

0,6 ± 0,030

Ejercicio 154



Ejercicio 155. Si p = 0,1 n = 100 1−α = 0,95, z1−α/2 = z0,975 =1,96. El intervalo viene dado por

p ± z1−α/2

√p(1− p)

n

0,1 ± 1,96 ·√

0,1 · 0,9100

0,1 ± 0,0588

Ejercicio 155



Ejercicio 156. Si p = 0,366 n = 20000 1 − α = 0,95, z1−α/2 =z0,975 = 1,96. El intervalo viene dado por

p ± z1−α/2

√p(1− p)

n

0,366 ± 1,96 ·√

0,366 · 0, 63420000

0,366 ± 0,00667

Ejercicio 156



Ejercicio 157.

1. Despejamos en la expresion del error el valor del tamano n dela muestra con e = 0,01 y z1−α/2 = z0,975 = 1,96

z1−α/2

√p(1− p)

n= e =⇒n = 1,962 · 0,25

0,012≈ 9604

2. Despejamos en la expresion del error el valor del tamano n dela muestra con e = 0,01

z1−α/2

√p(1− p)

n= e =⇒n = 1,962 · 0,1 · 0,9

0,012≈ 3458

Ejercicio 157



Ejercicio 158. Despejamos en la expresion del error el valor deltamano n de la muestra con e = 0,05 y z1−α/2 = z0,95 = 1, 645

z1−α/2

√p(1− p)

n= e =⇒n = 1, 6452 · 0,25

0,052≈ 271

Ejercicio 158



Ejercicio 159.

1. Si p = 0,55 n = 100 1− α = 0,95, z1−α/2 = z0,975 = 1,96. Elintervalo para A viene dado por

0,55 ± 1,96 ·√

0,55 · 0, 45100

≡ 0,55 ± 0, 097

siendo el intervalo para p de (0,453; 0,647).Analogamente paraB se tiene

q ± z1−α/2

√p q

n= 0,45± 1,96

√0,45× 0,55

100= 0.45± 0,097

siendo el intervalo para q de (0,353; 0,547). Ya que los intervalosse solapan, con la muestra de tamano 100, no esta claro que elcandidato A alcance una proporcion > 0,5 y por tanto sea elelegido.

2. Nos pide hallar n para que:

P (p > 0,5) > 0,95 =⇒ P (p < 0,5) < 0,05



siendo p = 0,55, como p ∼ N(p;

√p · qn

)

P

z <0,5− 0,55√

0,55·0,45n

< 0,05 = Φ(−1,65)

Despejando en0,5− 0,55√

0,55·0,45n

= −1,65 =⇒ n ≥ 269

Por tanto,si la p real para A es de 0,55, una muestra de al menos 269

entrevistados nos garantizarıa a un nivel de confianza del 0,95 que A

serıa el elegido.

Ejercicio 159



Ejercicio 160.

1. La resistencia de fractura x

x ∼ N(1; 0,14) =⇒ x ∼ N(1;0,14√100

) = N(1; 0,014)

P (1,028 < x) =1− P

(z <

1,028− 10,014

)=1− Φ (2) ≈ 0, 0228

2. Si n = 100 1 − α = 0,95, z1−α/2 = z0,975 = 1,96. El intervaloviene dado por

µ ± z1−α/2σ√n

1 ± 1,96 · 0,14√100

1 ± 0, 02744

Ejercicio 160



Ejercicio 161.

1. La vida en horas de una bombilla es

x ∼ N(µ; 5) =⇒ x ∼ N(µ;5√20

) = N(µ; 1,118)

Si 1− α = 0,95, z1−α/2 = z0,975 = 1,96. El intervalo viene dadopor

x ± z1−α/2σ√n

1014 ± 1,96 · 5√20

1014 ± 2, 19

2. Si 1 − α = 0,95, z1−α = z0,975 = 1,96. El intervalo viene dado



por

x − z1−ασ√n

1014 − 1,65 · 5√20

1014 − 1, 8447 =⇒ (1012, 15;∞)

3. Despejamos en la expresion del error el valor del tamano n dela muestra con e = 0,05 y z1−α/2 = z0,975 = 1, 96

z1−α/2σ√n

= e =⇒n = 1, 962 · 52

0,052≈ 38416

Ejercicio 161



Ejercicio 162. El tiempo de secado es

x ∼ N(µ;σ) =⇒ x ∼ t11;1−α/2(µ;s√12

)

Si 1− α = 0,95, t11;0,975 = 2,2. El intervalo viene dado por

x ± t11;1−α/2s√n

66,3 ± 2,2 · 8,4√12

66,3 ± 5,33 =⇒ (60, 965− 71, 635)

Ejercicio 162



Ejercicio 163. El estimador de la varianza σ2 es la cuasi-varianza

muestral s2x = 5,1922. Como

(n− 1) s2x

σ2∼ χ2

n−1, se tiene al α = 0,01de significacion que:

P (a <(n− 1) s2

x

σ2< b) = 0,99

con χ219(a) = 0,995 y χ2

19(b) = 0,005,de la tabla de la distribucion χ2

obtenemos, a = 6,844 y b = 38,582. El intervalo corresponde a:

6,844 <(n− 1) s2

x

σ2< 38,582

y despejando σ2,13.275 < σ2 < 74.84

Este intervalo es valido si la variable aleatoria X de la resistencia afractura se distribuye de forma normal, ya que la variable aleatoria(n− 1) s2

x

σ2∼ χ2

n−1 cuando X es normal N(µ;σ2)Ejercicio 163



Ejercicio 164. El intervalo de confianza con σ desconocida corre-sponde a:

µ± t0,025;9sx√n

= 5,68± 2,2620,29√

10= 5.68± 0.207

Ejercicio 164



Ejercicio 165.

1. Distribucion muestral de la diferencia de medias. Sea x1 la du-racion de las lamparas de radio y x2 la duracion de las lamparasde television

x1 ∼ N(µ1;σ1)x2 ∼ N(µ2;σ2)

=⇒ x1 − x2 ∼ N

µ1 − µ2;

√σ2

1

n1+

σ22

n2

x1 − x2 ∼ N

(300;

√2502

50+

1002

75

)= N (300; 37,2)

2. Probabilidad de que la diferencia de medias este comprendidaentre 250 y 400.

P (250 < x1 − x2 < 400) =P

(250− 300

37,2< z <

400− 30037,2

)=Φ (2,69)− Φ (−1,34) ≈ 0, 9063



3. Probabilidad de que la duracion media de las lamparas de radiono sea superior en mas de 200 horas a la duracion media de laslamparas de television.

P (x1 − x2 < 200) =P

(z <

200− 30037,2

)=Φ (−2,69) ≈ 0,0036

Ejercicio 165



Ejercicio 166. (x2 − x1 ± z1−α/2

√σ2

1

n1+

σ22

n2

),

Con z0,975 = 1,96, queda

−2,9± 1,96 · 0,387 = (−3,66;−2,14)

Ejercicio 166



Ejercicio 167. Los extremos del intervalo de confianza para µ1 − µ2

al nivel de confianza 1− α estan dados en este caso por

x1 − x2 ± t(n1 + n2 − 2, 1− α/2)s√

1n1

+1n2

, (1)

donde s21 y s2

2 son las cuasi-varianzas muestrales de X1 y X2 y

s =

√(n1 − 1)s2

1 + (n2 − 1)s22

n1 + n2 − 2.

Con t18;0,975 = 2,02, queda

0,5± 2,02 · 0,5375 = (−0,5873; 1,5873)

Ejercicio 167



Ejercicio 168. Sea XA la variable aleatoria que da la capacidad deproduccion de calor del carbon extraıdo de la mina A y XB la vari-able aleatoria que da la capacidad de produccion de calor del carbonextraıdo de la mina B . Determinamos: xA = 8260, sA = 252 yxB = 7930, sA = 206,5. Un intervalo de confianza para µ1 − µ2 vienedado por

xA − xB ± tν;1−α/2

√s2

A

n1+

s2B

n2

donde ν es el entero mas proximo a

ν ≈ (s21/n1 + s2

2/n2)2

(s21/n1)2/(n1 − 1) + (s2

2/n2)2/(n2 − 1)= 7,7

luego el intervalo de confianza para t8;0,975 = 2,306, queda

330± 2,306

√2522

5+

206,52

5= 330± 336

Ejercicio 168



Ejercicio 169. Despejamos en la expresion del error el valor deltamano n de la muestra con e = 0,01 y z1−α/2 = z0,995 = 2,58

z1−α/2

√p(1− p)

n= e =⇒n = 2,582 · 0,25

0,012≈ 16641

Ejercicio 169



Ejercicio 170. Sea X1 la variable aleatoria de los tiempos para ellenguaje 1 y X2 la variable aleatoria de los tiempos para el lenguaje2. Como los datos son apareados definimos la variable Z = X1 −X2.Los valores de Zi corresponden a 1,−2,−2 · · · , 1, 2, 3. Los valores dela media y cuasidesviacion tıpica de Z son Z = −0,5 y SZ = 2,68. Unintervalo de confianza para µ1 − µ2 viene dado por

z ± tn−1;1−α/2SZ√

n

En este caso t11;0,975 = 2,20, luego el intervalo corresponde a

−0,5± 2,202,68√

12⇒ (-2.2;1.2)

Ya que el intervalo incluye el valor 0, no parece concluyente el que unlenguaje sea preferible al otro.

Ejercicio 170



Ejercicio 171. Consideramos el contraste de hipotesis

H0 ≡ p = 0,5H1 ≡ p = 0,8

con el procedimiento, se acepta H0 si el numero de aciertos es x ≤ 11

1. probabilidad de que se acepte su metodo siendo malo.

α =P (Rechazar H0|H0 cierta)=P (x ≥ 11|p = 0,5)

=14∑

k=11

(14k

)0,514 = 0,0286

2. probabilidad de que se se rechace su metodo siendo bueno.

β =P (Aceptar H0|H1 cierta)=P (x ≤ 10|p = 0,8)

=10∑

k=0

(14k

)0,8k0,214−k = 0,302



α = 0,0286 β = 0,302

3. Este procedimiento de decision no parece justo pues, aunque espequena la probabilidad de que se le admita su metodo siendorealmente malo, la probabilidad de rechazarle cuando su metodoes valido es del 0,30. Un buen procedimiento debe tener estasdos probabilidades pequenas.

Ejercicio 171



Ejercicio 172.

1. probabilidad L(p) de que sea contratado

L(p) =P (x ≥ 8)

=10∑

i=8

(10i

)pip10−i

2. para p = 0,5 y p = 0,85

L(0,5) = 0,055 L(0,85) = 0,82

Ejercicio 172



Ejercicio 173.

Hipotesis

H0 ≡ p = 0,5H1 ≡ p 6= 0,5

Estadıstico de contraste

z =p− p√

p·qn

=0,55− 0,5√

0,5·0,51000

= 3.16

Valor crıtico con α = 0,05

z1−α/2 = z0,975 = 1,96

Decision para bilateral

|z| = 3.16 > 1,96

Se rechaza la H0.

Zona de aceptacion

p± z1−α/2

√p · qn

0,5± 1,96 ·√

0,5 · 0,5

1000

(0,47; 0, 531)

Comop = 0,55 6∈ zona de aceptacion serechaza la H0

Ejercicio 173



Ejercicio 174.Con el ejercicio anterior el intervalo de aceptacion es

(0,47; 0, 53)

Comop = 0,53 ∈ zona de aceptacion se acepta que la moneda es regular.

Ejercicio 174



Ejercicio 175.Con p = 1

6 y α = 0,05 se tiene

Zona de aceptacion

p± z1−α/2

√p · qn

16± 1,96 ·

√16 ·

56

600(0,136; 0, 196)

Comop = 120

600 = 0,2 6∈ zona de aceptacion se rechaza el dado comoregular.

Ejercicio 175



Ejercicio 176. La proporcion de la muestra es p = 29200

= 0,145

Hipotesis

H0 ≡ p = 0,1H1 ≡ p > 0,1

Estadıstico de contraste

z =p− p√

p·qn

=0,145− 0,1√

0,1·0,9200

= 2.12

Valor crıtico con α = 0,05

z1−α = z0,95 = 1,65

Decision para unilateral

z = 2.12 > 1,65

Se rechaza la H0.

Zona de aceptacion

p + z1−α

√p · qn

0,1 + 1,65 ·√

0,1 · 0,9

200

(0; 0,135)

0,145 6∈ (0; 0,135) se rechaza H0

Ejercicio 176



Ejercicio 178. Como los datos son apareados definimos la variableZ = XA −XB .

1. Los valores de la media y cuasidesviacion tıpica de Z son Z =1, 8175 y SZ = 2, 545. Un intervalo de confianza para µA − µB

viene dado por

z ± tn−1;1−α/2SZ√

n

En este caso t7;0,975 = 2,36, luego el intervalo corresponde a

1, 8175± 2,362, 545√

8⇒ (-0,31 ;3,94 )

2. Como 0 ∈ (−0, 31; 3, 94) no rechazamos la hipotesis nula. Parahallar el nivel de significacion de la prueba usada, calculamos

t =1, 8175− 0

2,545√8

= 2,02 ⇒ α = 0,083

3. Para datos apareados, contrastar H0 : σ21 = σ2

2 frente a H1 :σ2

1 6= σ22 es equivalente a contrastar H0 : ρ = 0 frente a H1 : ρ 6=



0.Calculamos rXaXB

= 0, 4217 y el estadıstico

t = rXY

√n− 2

1− r2XY

= 0, 4217√

61− 0, 42172

= 1,14

Como|t| ≯ t(6, 1− α/2) = 2,4469

Se acepta la hipotesis nula.

Ejercicio 178



Ejercicio 179.

1. Calculamos

xA = 80, 35 xB = 73, 73 s2A = 2,2125 s2

B = 4,6562

y con las formulas (7.16) y (7.17) de libro se obtiene

α = 0,05 ν = 12 =⇒ tν,1−α/2 = 2,1788

y

xA − xB = 6,6225 s =

√s2

A

n1+

s2B

n2= 0,9266

luego el intervalo de confianza es(x1 − x2 ± t(ν, 1− α/2) · s

)= (4,6036; 8,6414)

2. Como 0 6∈ (4,6036; 8,6414) rechazamos la hipotesis nula. Parahallar el nivel de significacion de la prueba usada, calculamos

t =6,6225− 0

0,9266= 7,15 ⇒ α < 0,001



3. Para contrastar H0 : σ21 = σ2

2 frente a H1 : σ21 6= σ2

2 se calculandos muestras auxiliares. (Vease el libro en la pagina 339). Sean

x1 = |xA − xA| x2 = |xB − xB |

x1 0.9575 2.9525 0.5375 1.7975 1.1025 0.4175 0.8375 0.4925x2 0.2000 1.8900 3.3500 2.1800 2.0800 0.9600 2.7200 0.6000

Con

x1 = 1,1369 x2 = 1,7475 s21 = 0,7354 s2

2 = 1,1662

y con las formulas (7.16) y (7.17) de libro se obtiene

(−1,6563; 0,4351)

Como 0 ∈ (−1,6563; 0,4351) aceptamos la hipotesis nula. Para hallarel nivel de significacion de la prueba usada, calculamos

t =−0,6106− 0

0,4875= −1,25 ⇒ α ≈ 0,22

Ejercicio 179



Ejercicio 180.

1. La estimacion puntual es p = 0

2. Usando la formula (7.8) del libro con extremo superiorx + 1

x + 1 + (n− x)/F (2x + 2, 2n− 2x, 1− α/2)= (0; 0,0037)

o utilizando la formula (7.9) del libro con extremo superior

χ2(2x + 2, 1− α/2)2n

= (0; 0,0037)

3. Como 0,001 ∈ (0; 0,0037) aceptamos la hipotesis nula.

Ejercicio 180



Ejercicio 181.

1. Sean, p1 y p2 las probabilidades de que se produzca una respues-ta afirmativa antes y despues de ver pelıculas. Siendo

k++ = 110 r+− = 15 s−+ = 75 m−− = 150

entonces, un estimador puntual de θ = p1 − p2 es

θ =r − s

n= − 60

350= −0,1714

2. Un intervalo de confianza para θ = p1−p2 a un nivel de confianzaaproximadamente igual a 0,95 esta dado por(

r − s

n± z1−α/2

√r + s

n

),= (−0, 1985 ; 0, 1443)

3. Como 0 ∈ (−0, 1985 ; 0, 1443) aceptamos la hipotesis nula.

Ejercicio 181



Ejercicio 182.

1. Sean, p1 y p2 las probabilidades de hacer una segunda pasadacon cada una de las maquinas. Siendo

r1 = 10 n1 = 150 r2 = 6 n2 = 150

entonces, un estimador puntual de θ = p1 − p2 es

θ =r1

n1− r2

n2= 0,0267

2. Un intervalo de confianza para θ = p1−p2 a un nivel de confianzaigual a 0,95 esta dado por(

r1

n1− r2

n2± z1−α/2

√r1s1

n31

+r2s2

n32

)= (−0,02409 ; 0,07743)

3. Como 0 ∈ (−0,02409 ; 0,07743) aceptamos la hipotesis nula.

Ejercicio 182

Documents

Inferencia Estad´ıstica - personales.unican.espersonales.unican.es/gonzaleof/Itop/inferencia.pdf · Soluciones de Ejercicios. ... una variable aleatoria normal de media µ y