Estadística

Material de Apoyo didáctico

UNAM FCPyS SUA Educación a Distancia.

Profesora Aura Mélida De la Selva Menéndez Vol.

Variables aleatorias

Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.

EJEMPLO 1: considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.

6-3

EJEMPLO 1 continuación

El espacio muestral es el conjunto de resultados de un experimento, para éste: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.

Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0, 1, 2, 3.

6-4

EJEMPLO 1 continución

El resultado “cero caras” ocurrió una vez. El resultado “una cara” ocurrió tres veces. El resultado “dos caras” ocurrió tres veces. El resultado “tres caras” ocurrió una vez. De la definición de variable aleatoria, la X

definida en este experimento, es una variable aleatoria.

6-5

Distribuciones probabilísticas

Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas. Para el EJEMPLO 1

Número de caras Probabilidad de los resultados

0 1/8 = .125

1 3/8 = .375

2 3/8 = .375

3 1/8 = .125

Total 8/8 = 1

6-6

Características de una distribución porbabilística

La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1.

La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre es 1.

6-7

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.

EJEMPLO 2: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.Aquí los valores de X son x = 0, 1, 2, 3.

6-8

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar un número infinito de valores.

Ejemplos: la altura de un jugador de básquetbol o el tiempo que dura una siesta.

6-9

Media de una distribución probabilística discreta

La media: – indica la ubicación central de los datos.– es el promedio, a la larga, del valor de la

variable aleatoria.– también se conoce como el valor

esperado, E(x), en una distribución de probabilidad.

– es un promedio ponderado.

6-10

Media de una distribución probabilística discreta

La media se calcula con la fórmula:

donde d representa la media y P(x) es la probabilidad de los diferentes resultados x.

)](*[=)(= xPxxE

6-11

6

Variancia de una distribución probabilística discreta

La varianza mide la cantidad de dispersión (variación) de una distribución.

La varianza de una distribución discreta se denota por la letra griega (sigma cuadrada).

La desviación estándar se obtiene tomando la raíz cuadrada de .

σ 2

σ2

6-12

Variancia de una distribución probabilística discreta

La varianza de una distribución de probabilidad discreta se calcula a partir de la fórmula

σ µ2 2= −Σ[( ) * ( )]x P x

6-13

EJEMPLO 2

Daniel Desner, propieatario de empres de pintura, estudió sus registros de las últimas 20 semanas y obtuvo los siguientes números de casas pintadas por semana:

# de casas pintadas Semanas

10 5

11 6

12 7

13 2

6-14

EJEMPLO 2 continuación

Distribución probabilística:

Número de casaspintadas, X

Probabilidad, P(X)

10 .25

11 .30

12 .35

13 .10

Total 1

6-15

EJUEMPLO 2 continuación

Calcule el número medio de casas pintadas por semana:

µ = == + + +=

E x xP x( ) [ ( )]

( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )

.

Σ

10 25 11 30 12 35 13 10

113

6-16

EJEMPLO 2 continuación

Calcule la variancia del número de casas pintadas por semana:

σ µ2 2

4225 0270 1715 2890

91

= −= + + +=

Σ[( ) ( )]

. . . .

.

x P x

6-17

Distribución probabilística binomial

La distribución binomial tiene las siguientes características:– un resultado de un experimento se clasifica en una

de dos categorías mutuamente excluyentes -éxito o fracaso.

– los datos recolectados son resultados de contar.– la probabilidad de éxito es la misma para cada

ensayo.– los ensayos son independientes.

6-18

Distribución probabilística binomial

Para elaborar una distribución binomial, sea– n el número de ensayos– x el número de éxitos observados– la probabilidad de éxito en cada ensayo

π

6-19

Distribución probabilística binomial

La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:

P xn

x n xx n x( )

!

!( )!( )=

−− −π π1

6-20

EJEMPLO 3

La Secretaría del Trabajo del estado de Alabama reporta que 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. De una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (n=14, =.2, ):– tres están desempleados: P(x=3)=.250

π

6-21

EJEMPLO 3 continuación

Nota: éstos también son ejemplos de distributions probabilísticas acumulativas:– tres o más están desempleados:

P(x ≥ 3)=.250 +.172 +.086 +.032 +.009 +.002=.551

– al menos un trabajador está desempleado: P(x ≥ 1) = 1 - P(x=0) =1 - .044 = .956

– a lo más dos trabajadores están desem-pleados: P(x ≤ 2)=.044 +.154 +.250 =.448

6-22

Media y variancia de la distribución binomial

La media está dada por:

La variancia está dada por:

µ π= n

σ π π2 1= −n ( )

6-23

EJEMPLO 4

Del EJEMPLO 3, recuerde que π =.2 y n=14.

Así, la media = n π = 14(.2) = 2.8. La variancia = n π (1 - π ) = (14)(.2)(.8)

=2.24.

6-24

Población finita

Una población finita es una población que consiste en un número fijo de individuos, objetos o medidas conocidos.

Los ejemplos incluyen: el número de estudiantes en esta clase, el número de automóviles en el estacionamiento.

6-25

Distribución hipergeométrica

Fórmula:

donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos de interés, n es el tamaño de la muestra, y C es una combinación.

P xC C

CS x N S n x

N n

( )( )( )

= − −

6-26

Distribución hipergeométrica

Use la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos si:– la muestra se selecciona de una población finita sin

reemplazo (recuerde que un criterio para la distribución binomial es que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro).

– el tamaño de la muestra n es mayor que 5% del tamaño de la población N.

6-27

EJEMPLO 5

La National Air Safety Board tiene una lista de 10 violaciones a la seguridad reportadas por ValueJet. Suponga que sólo 4 de ellas son en realidad violaciones y que el Safety Board sólo podrá investigar cinco de las violaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que tres de las cinco violaciones seleccionadas al azar para investigarlas sean en realidad violaciones?

6-28

EJEMPLO 5 continuación

PC C

C( )

* *.3

4 15

2522384 3 6 2

10 5

= = =

N=10S=4x=3n=5

6-29

Distribución de Poisson

La distribución de probabilidades binomial se hace cada vez más sesgada a la derecha conforme la probabilidad de éxitos disminuye.

La forma límite de la distribución binomial donde la probabilidad de éxito π es muy pequeña y n es grande se llama distribución de probabilidades de Poisson.

6-30

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson se puede describir matemáticamente por la fórmula:

donde µ es la media aritmética del número de ocurrencias en un intervalo específico de tiempo, e es la constante 2.71828 y x es el número de ocurrencias.

P xe

x

x u

( )!

=−µ

6-31

Distribución de Poisson

El número medio de éxitos µ se puede determinar en situaciones binomiales por n π, donde n es el número de ensayos y π la probabilidad de éxito.

La varianza de la distribución de Poisson también es igual a n π.

6-32

EJEMPLO 6

La Sylvania Urgent Care se especializa en el cuidado de lesiones menores, resfriados y gripe. En las horas de la tarde de 6-10 PM el número medio de llegadas es 4.0 por hora.

¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas en una hora? P(4) = (4^4)(e^-4)/4!=.1954.

6-33