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InfinitesimalesHier wächst Ihr Wissen über das
unendlich Kleine
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus1
Der ModellierungskreislaufEin erfundenes Beispiel:
16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. MündenEin Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben.
Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann.Münden gewesen.
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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation
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Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt. Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
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Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
mathematische Lösungsidee
0.75
0( )s v t d t
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Der Modellierungskreislauf
0.75
0( )s v t d t
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
mathematische Lösungsidee
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mathematische Antwort 60s km6
Der Modellierungskreislauf
0.75
0( )s v t d t
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.
Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation
mathematisches Modell
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
mathematische Lösungsidee
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mathematische Antwort 60s km7
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Funktionen werden zum Werkzeug
Funktionen beschreiben Zusammenhänge
Man erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integralinteger (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential
( )f x d x
, , '( )d yd f f xd x 8
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Das IntegralMan erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integralinteger (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
( )f x d x( )
baf x d x
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Das Riemannsche Integral
( )baf x d x Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum LüneburgOriginaltext aus „Gesammelte Werke“
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Riemannsches Integral( )baf x d x
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,Originaltext aus „Gesammelte Werke“
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Das Integral als verallgemeinertes Produkt
( )ba
s v t d tWegGeschwindigkeit Zeit
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
s v t v konstant ( )v v t variabel
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Das Integral als verallgemeinertes Produkt
( )ba
s v t d t
( )ba
W F s d s
WegGeschwindigkeit Zeit
ArbeitKraft Weg
s v t v konstant ( )v v t variabel
konstantF W F s ( )F F s
13Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
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Das Integral als verallgemeinertes Produkt
( )ba
s v t d t
( )ba
W F s d s
WegGeschwindigkeit Zeit
ArbeitEnergie
Kraft Weg
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
s v t v konstant ( )v v t variabel
konstantF W F s ( )F F s
variabelkonstantR U R I ( )R R I( )
ba
U R I d ISpannungWiderstand Stromstärke
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
WetterTemperaturverlauf
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17 14 214 2T T T T mittel
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
Flächenbilanz=016
17 14 214 2T T T T mittel
Ist die Modellierung der
Metereologen
nicht viel zu grob?????
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
Flächenbilanz=017
17 14 214 2T T T T mittel
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Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....18
1Mittelwert ( )b
af x dx
b a
Mittelwertder Funktionswerte
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Eigenschaften des Integrals
Intervall [A,B]
( )baf x d x
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.
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Eigenschaften des Integrals
Intervall [A,B]
( )baf x d x
Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.
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Eigenschaften des Integrals
Intervall [A,B]
( )baf x d x
Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.
Beim Vertauschen der Grenzenändert sich das Vorzeichendes Integrals
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.
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Übungen zum Integral
Intervall [A,B]
( )baf x d x 8, 20, 24
mögliche Werte
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Übungen zum Integral
Intervall [A,B]
( )baf x d x 8, 20, 24
mögliche Werte
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Die Integralfunktion
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„Teppich-Abroll-Funktion“ ( , ) : ( )xa
F x a f t d t
a ax x
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Die Integralfunktion
( , ) : ( )xa
F x a f t d t„Teppich-Abroll-Funktion“
Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.25
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Die Integralfunktion
( , ) : ( )xa
F x a f t d tDer Zuwachs der Integralfunktionhängt nur vom Zuwachs der Fläche ab.Also sind die verschiedenenIntegralfunktionen an jederStelle x gleich steil.(x ist hier die Stelle von B)
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Die Integralfunktion
( , ) : ( )xa
F x a f t d tAlle Integralfunktionen
haben dieselbe Form.
An den Extremstellen
von F hat f eine Nullstelle.
An der Sattelstelle von F
hat f eine Berühr-Nullstelle.
Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.27
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Nochmal die Teppichabrollfunktion
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die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“
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Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung
( ) '( )f x F xd. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start
haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch
„Stammfunktionen“ von f,
sie unterscheiden sich nur um eine
additive Konstante c. Man schreibt:
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Optimierung als Ziel
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus31
Optimierung als Ziel
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Wirtschaftsfunktionen
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Wasser in der Mühle
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Im kegelförmigen Dach einer Mühle soll ein zylindrischerWasserbehälter mit möglichst großem Volumen eingebautwerden.
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Wasser in der Mühle
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Ein Zylinder mit4 m Radius istoptimal
Funktionen Optimum 3 D
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