Automatismos Industrialeslvaro ngel Orozco GutirrezUniversidad Tecnolgica de PereiraCristian Guarnizo LemusUniversidad Tecnolgica de PereiraMauricio Holgun LondooUniversidad Tecnolgica de Pereira2008Taller de Publicaciones- Universidad Tecnolgica de Pereiracamare@utp.edu.co*Realizado bajo el auspicio de COLCIENCIAS, Proyectos:1110-14-17905: Sistema automatizado efectivo y apropiado de caracterizacin y clasicacin de sealeselectromiogrcas para el control de prtesis y brazos robticos1110-405-20247: Identicacin en lnea de modos tempranos de fallas dinmicas en mquinas rotativasISBN: 978-958-8272-99-3Este libro est hecho con la ayuda de LYX1.4.5PREFACIOLa industrializacin rpida y continua que vive la sociedad ha llevado a unnuevonivel laautomatizacindesistemasproductivos. SeempleacadavezmslosControladoresde LgicaProgramable, oPLCs, yexisteunatenden-cia hacia la incursinensistemas de automatizacinbasados enteramente enPC. Nuevos desafos relacionados conlaautomatizacintratancada vez consistemasmsdifcilesdesimular, implementaryvalidarpor loqueademsse hace necesario emplear tcnicas de mayor generalidady poder que permi-tanunaposteriorimplementacinenlos sistemas tradicionales o actuales. Elobjetivo de este libro es presentar las principales tcnicas de anlisis e imple-mentacindesistemasparasuautomatizacinyahondar enlosestndaresactuales que permiten portabilidad y exibilidad en los sistemas diseados.El material encontradoeneste libropresentaunabreve introduccinalaevolucin de los automatismos, pasando por los fundamentos bsicos sobre loscuales se desarrolla como lo sonla lgicade predicados, el lgebra de Boole,las funciones de conmutacin y los sistemas secuenciales; tambin se encuentralas metodologas clsicas y modernas de diseo que permitensumutua inte-gracin a la hora de implementar un sistema global. Se hace nfasis nal en lastcnicas de programacin enmarcadas dentro del Estndar IEC 61131-3 con elobjeto de facilitar la integracin de varios sistemas de diferente procedencia ode permitir la implementacin de sistemas complejos.El Captulo1 presentaunabreve introduccinal origenymotivacindelos automatismos, mientras en el Captulo 2 se hace nfasis en la evolucin delos mismos y se centra enla descripcinde los componentes generales de unautomatismo as como en las metodologas de lgica cableada y programada.El fundamento bsico de los automatismos est en la lgica de predicadosy el lgebra de Boole, los cuales se presentan en el Captulo 3, donde ademsseencuentracontenidotodolorelacionadoconlasntesisdesistemascom-binacionalesylapresentacinde lossistemassecuencialesydispositivosdememoria, los cuales complementan la base general para el diseo de todo au-tomatismo. La lgica cableada, como mtodo clsico de diseo, se presenta enIIIel Captulo 4, mientras otra tcnica conmayor alcance se presenta en el Cap-tulo 5, donde est todo lo relacionado con las redes de Petri y su orientacin almodelamiento, diseo y validacin de automatismos.Finalmente, en el Captulo 6, se trata el Estndar IEC 61131-3 el cual presen-ta las diversas tcnicas de programacinms usadas para la implementacinde automatismos conla motivacinde brindar una metodologa que permitala portabilidad e interoperabilidad de los diversos sistemas existentes.IVNotacionesNotacin SignicadoTexto en cursiva Resalta palabras clavesa, b, c, diConstantesw, x, y, z, xi, i, , VariablesJ, K, L Relatoresf, g, h Denotan una funcin[ Descriptore1, e2,, en Conjunto en notacin por extensin Unin de conjuntos Interseccin de conjuntos Conjunto vacoH Funcin Booleana Conectiva lgica AND Conectiva lgica OR Conectiva lgica NOT Conectiva lgica XOR Conectiva lgica NXOR Conectiva lgica de implicacin Conectiva lgica de coimplicacinL Lenguaje formal de primer ordenL Lenguaje formal sin descriptor_Cuanticador existencial_Cuanticador universal PertenenciaT Expresin BooleanaTd Expresin Booleana Dual

m Sumatoria de mintrminos

M Productoria de maxtrminosd Trminos Dont Care o no importaQ(t) Estado presente en una memoriaQ(t + 1) Estado siguiente en una memoriaVNotacin SignicadoNA Contacto normalmente abiertoNC Contacto normalmente cerradoA, B, M, N ContactorCR, CR, CRB RelTR Rel de temporizacinTR ON Rel de temporizacin al trabajoTR OFF Rel de temporizacin al reposoTA Contacto temporizado a la aperturaTC Contacto temporizado al cierreCRc Rel de campoCRsc Rel de sobrecargaRdP Red de PetriP Conjunto de lugares de una RdPpii-simo lugar de una RdPT Conjunto de Transiciones de una RdPtjj-sima transicin de una RdPF (Px T) (Tx P) Conjunto de arcos de una RdPW: F 1,2,3, ... Funcin de peso en los arcos de una RdPM0Marcado inicial de una RdPMnn-simo marcado alcanzable de una RdPM(pi) Valor del marcado en el i-simo lugarN= P, T, F, W RdP sin marcado inicialPN= N, M0 RdP con marcado inicial(pi, tj) = w(pi, tj) Funcin de incidencia previa (tj, pi) = w(tj, pi) Funcin de incidencia posterior Vector secuencia de disparoNG = P, T, , RdP generalizada Nmero arbitrariamente grande de marcasG = V, E Grco de coberturaPN Subred de PetriC+Matriz de incidencia posteriorCMatriz de incidencia previaC Matriz de incidenciac+ijElemento ij de C+cijElemento ij de CcijElemento ij de CtjLugares de entrada de la transicintjtjLugares de salida de la transicintjpiTransiciones de entrada del lugar pipiTransiciones de salida del lugar piME Mquina de estadosGM Grco marcadoLE Red de libre eleccinkVector de disparoMTMatriz transpuesta de MVINotacin Signicado Vector anulador derecho de C Vector anulador izquierdo de Cii-simo elemento de ii-simo elemento de NGdRdP dual de NGCdMatriz de incidencia de una RdP dual|| Soporte del T-invariante|| Soporte del P-invarianteCONSTRUCTOR Palabra reservada IEC 61131-3IF THEN Palabra reservada resaltadaTexto a ingresar Texto cdigo IEC 61131-3VIIVIIIndice General1. INTRODUCCIN 12. FUNDAMENTOS DELOS AUTOMATISMOS 52.1. Resea Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Evolucin de los Automatismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Componentes de los Automatismos . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Lgica Cableada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Lgica Programada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. ANLISIS YSNTESIS DEAUTOMATISMOS 153.1. Lgica de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.1. Presentacin del Lenguaje Formal . . . . . . . . . . . . . 153.1.2. Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3. Denicin del Lenguaje Formal . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.4. Expresiones, Trminos y Frmulas . . . . . . . . . . . . . 203.2. lgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1. Principio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2. Teoremas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.3. Funciones de Conmutacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.4. Funciones Lgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.4.1. Universalidad de la NAND y la NOR. . . . . . 293.2.5. Formas Algebraicas Estndar . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.5.1. Formas SOP y POS . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.5.2. Formas Cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.5.3. Formas Cannicas Equivalentes . . . . . . . . . 333.2.6. Trminos Dont Care . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Simplicacin de Funciones de Conmutacin . . . . . . . . . . . 343.3.1. Mapas de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2. Simplicacin por Mapas de Karnaugh . . . . . . . . . . 373.3.3. Simplicacin por Quine-McCluskey . . . . . . . . . . . 413.4. Automatismos Secuenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.1. Clasicacin de los Sistemas Secuenciales. . . . . . . . . 453.4.1.1. Mquinas de Mealy y de Moore . . . . . . . . . 453.4.1.2. Sistemas Sncronos y Asncronos . . . . . . . . 46IX3.4.2. Diagrama de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.3. Dispositivos de Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.3.1. Latch Set-Reset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.3.2. Latch SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.3.3. Latch D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.3.4. Flip-Flop SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.3.5. Flip-Flop D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.3.6. Flip-Flop JK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.3.7. Flip-Flop T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.4. Implementacin de Automatismos Secuenciales . . . . . 563.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624. LGICA CABLEADA 674.1. Dispositivos de Mando y Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.1. El Contactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.1.1. Categoras Segn el Empleo . . . . . . . . . . . 704.1.2. El Rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.3. Rel de Enclavamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1.4. Contactor con Bobina de Autorretencin . . . . . . . . . 714.1.5. Rel de Temporizacin al Trabajo (Rel Tipo ON) . . . . 714.1.6. Rel de Temporizacin al Reposo (Rel Tipo OFF) . . . . 724.1.7. Rel de Temporizacin al Trabajo y al Reposo . . . . . . . 734.1.8. Elementos de Mando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Funciones Bsicas de Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . 744.2.1. Funcin Interruptor y Funcin Sello . . . . . . . . . . . . 744.2.2. Funcin Detector de Flancos . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2.3. Funcin Toggle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.4. Funcin Memoria Biestable . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.5. Funcin Tren de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.6. Funcin Refresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.7. Funcin Simulacin de Rel Tipo OFF con ON . . . . . . 804.2.8. Funcin Simulacin de Rel Tipo ON con OFF . . . . . . 804.2.9. Funcin Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3. Lgica de Conmutacin con Lgica Cableada . . . . . . . . . . . 814.4. Diseos Bsicos en Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.1. Activacin Alternada de Cargas . . . . . . . . . . . . . . 844.4.2. Encendido Secuencial de Cargas . . . . . . . . . . . . . . 864.4.3. Arranque de Motor DC en Derivacin . . . . . . . . . . . 884.4.4. Arranque de Motores Trifsicos . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.4.1. Arranque Estrella-Delta con Transicin Abierta 904.4.4.2. Arranque Estrella-Delta con Transicin Cerrada 914.4.5. Inversin de Giro en Motores . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93X5. Redes de Petri 995.1. Marco Introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2. Denicin y Presentacin de las RdP. . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3. Tipos de Transiciones y Lugares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4. Alcanzabilidad y Secuencia de Disparo . . . . . . . . . . . . . . 1035.5. Propiedades de las RdP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.5.1. RdP Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.5.2. RdP Viva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.5.3. RdP Reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5.4. RdP Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5.5. RdP Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5.6. RdP Persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5.7. RdP Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6. RdP Interpretada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.7. RdP Autnoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.7.1. RdP Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.7.2. RdP Ordinaria y Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.8. RdP Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.9. Modelamiento de Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.9.1. Arquitectura Secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.9.2. Arquitectura de Decisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9.3. Arquitectura Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9.4. Arquitectura de Confusin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.9.5. Arquitecturas de Sincronizacin . . . . . . . . . . . . . . 1125.9.6. Arquitectura para Recurso Compartido . . . . . . . . . . 1135.9.7. Arquitectura Lectura-Escritura . . . . . . . . . . . . . . . 1145.9.8. Arquitectura Productor-Consumidor . . . . . . . . . . . 1155.9.9. Arquitectura Productor-Consumidor con Prioridad . . . 1165.9.10. Arquitectura para Capacidad Limitada . . . . . . . . . . 1165.9.11. Arquitectura de Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.9.12. Arquitectura para Colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.10. Simplicacin de una RdP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.11. Anlisis de las Redes de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.11.1. Anlisis por rbol de Cobertura . . . . . . . . . . . . . . 1215.11.2. Anlisis por Transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.11.2.1. Reduccin de una Subred de Petri a un Lugar . 1255.11.3. Anlisis por Representacin Estructural . . . . . . . . . . 1265.11.3.1. Matrices de Incidencia Previa y Posterior . . . . 1275.11.3.2. Subconjuntos y Subclases de una RdP . . . . . 1275.11.3.3. Matriz de Incidencia. . . . . . . . . . . . . . . . 1295.11.3.4. Ecuacin de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.11.3.5. Determinacin de la Reversibilidad . . . . . . . 1315.11.3.6. Determinacin de la Conservatividad. . . . . . 1325.11.3.7. Determinacin de la Limitacin . . . . . . . . . 1335.11.3.8. Determinacin de la Vivacidad . . . . . . . . . 1335.12. Anlisis Local de Redes de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135XI5.12.1. Red de Petri Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.12.2. Invariantes de Marcado y de Disparo . . . . . . . . . . . 1355.12.2.1. Obtencin de los P-Invariantes . . . . . . . . . . 1365.13. Portabilidad entre Redes de Petri y Lgica Cableada . . . . . . . 1385.14. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436. ESTNDAR IEC 61131-3 1496.1. Marco Introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.1.1. Deciencias de la Programacin Escalera . . . . . . . . . 1506.2. Marco Conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2.1. Elementos del Modelo de Software. . . . . . . . . . . . . 1516.2.2. Partes de una POU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.3. Elementos Comunes a los Lenguajes del Estndar . . . . . . . . 1576.3.1. Conjunto de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.2. Identicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.3. Palabras Reservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.4. Comentarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.5. Delimitadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.6. Tipos de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.3.6.1. Tipos de Datos Elementales . . . . . . . . . . . 1606.3.6.2. Datos Genricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3.6.3. Propiedades de Tipos de Datos Elementales . . 1626.3.6.4. Tipos de Datos Derivados . . . . . . . . . . . . 1636.3.7. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.3.7.1. Tipos de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.3.7.2. Atributos de las Variables. . . . . . . . . . . . . 1676.3.7.3. Inicializacin de Variables . . . . . . . . . . . . 1696.3.8. Tipos de Unidades de Organizacin de Programa . . . . 1696.3.8.1. Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.3.8.2. Bloques de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1746.3.8.3. Programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.4. Texto Estructurado (ST) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.1. Sentencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.2. Asignaciones, Operandos y Operadores. . . . . . . . . . 1816.4.3. Sentencias para Control de Flujo . . . . . . . . . . . . . . 1826.5. Listado de Instrucciones (IL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.5.1. Estructura Bsica del Listado de Instrucciones . . . . . . 1876.5.2. El Acumulador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.5.3. Los Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.5.4. Llamados a POUs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906.6. Diagrama de Bloques de Funciones (FBD) . . . . . . . . . . . . . 1916.6.1. Elementos Grcos de una Red FBD. . . . . . . . . . . . 1926.6.2. Elementos para Control de Flujo . . . . . . . . . . . . . . 1936.6.3. Reglas de la Evolucin en una Red FBD. . . . . . . . . . 1936.7. Diagrama Escalera (LD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.7.1. Elementos Grcos de una Red LD . . . . . . . . . . . . . 196XII6.7.2. Elementos Para Control de Flujo . . . . . . . . . . . . . . 1976.7.3. Llamados a Funciones y Bloques de Funciones . . . . . . 1976.7.4. Reglas de la Evolucin en una Red LD. . . . . . . . . . . 1986.8. Diagrama Funcional Secuencial (SFC) . . . . . . . . . . . . . . . 2006.8.1. Elementos Grcos y Descripcin de una Red SFC . . . . 2006.8.1.1. Las Etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.8.1.2. Las Transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.8.2. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.8.2.1. Secuencias Divergentes . . . . . . . . . . . . . . 2056.8.2.2. Secuencias Simultneas . . . . . . . . . . . . . . 2066.8.2.3. Redes Inseguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.8.3. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.8.3.1. Bloques de Acciones. . . . . . . . . . . . . . . . 2076.8.3.2. Calicadores de las Acciones. . . . . . . . . . . 2096.8.3.3. Control de Accin . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.8.4. Reglas de la Evaluacin en una Red SFC . . . . . . . . . 2146.8.5. Reglas de la Evolucin en una Red SFC . . . . . . . . . . 2166.8.6. Otras Caractersticas No Denidas en el Estndar . . . . 2166.9. Portabilidad entre los Diferentes Lenguajes . . . . . . . . . . . . 2186.10. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.11. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224XIIIXIVndice de Tablas3.1. Tabla de Verdad para la Negacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Tabla de Verdad para la Conjuncin . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Tabla de Verdad para la Disyuncin . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4. Tabla de Verdad para la Implicacin. . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5. Tabla de Verdad para la Coimplicacin. . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Posibles Combinaciones para Funcin de Aridad 1. . . . . . . . 243.7. Posibles Combinaciones para Funcin de Aridad 2. . . . . . . . 253.9. Notacin Simplicada de Mintrminos . . . . . . . . . . . . . . . 313.10. Notacin Simplicada de Maxtrminos . . . . . . . . . . . . . . 323.11. Formas Cannicas Equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.12. Trminos Dont Care . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.13. Lista de Mintrminos Ordenados por Vecindad. . . . . . . . . . 423.14. Primera Bsqueda de Trminos Adyacentes . . . . . . . . . . . . 423.15. Segunda Bsqueda de Trminos Adyacentes . . . . . . . . . . . 433.16. Listado de Trminos No Agrupados y Mintrminos . . . . . . . 433.17. Identicacin de Trminos que Cubren Todos los Mintrminos . 443.18. Ejemplo de Tabla de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.19. Secuencia de Excitacin en una Latch SR. . . . . . . . . . . . . . 503.20. Tabla de Excitacin para el Latch SR. . . . . . . . . . . . . . . . . 503.21. Tabla de Excitacin para el Latch SCR. . . . . . . . . . . . . . . . 513.22. Tabla de Excitacin para el Latch D. . . . . . . . . . . . . . . . . 523.23. Tabla de Excitacin para el Flip-Flop SR. . . . . . . . . . . . . . . 543.24. Tabla de Excitacin para el Flip-Flop D. . . . . . . . . . . . . . . 543.25. Tabla de Excitacin para el Flip-Flop JK. . . . . . . . . . . . . . . 553.26. Tabla de Excitacin para el Flip-Flop T.. . . . . . . . . . . . . . . 563.27. Tabla de Transiciones Automatismo Secuencial 1 . . . . . . . . . 573.28. Excitacin de Flip-Flops Automatismo 1. . . . . . . . . . . . . . 583.29. Tabla de Transiciones Automatismo Secuencial 2 . . . . . . . . . 603.30. Excitacin de Flip-Flops Automatismo 2. . . . . . . . . . . . . . 616.1. Tipos de POUs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2. Tipos de Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.3. Palabras Reservadas IEC 61131-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.4. Tipos de Datos Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.5. Calicadores de Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210XVXVIndice de Figuras2.1. Alarma de Platn Basada en Clepsydra . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Odmetro de Hern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Modelo de Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1. Representacin de la AND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Representacin de la OR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3. Representacin de la NOT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4. Representacin de la NAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5. Representacin de la NOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6. Representacin de la XOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7. Representacin de la NXOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8. Universalidad de la NAND y la NOR . . . . . . . . . . . . . . . 303.9. Mapa de Karnaugh para Funcin de Aridad 2 . . . . . . . . . . 353.10. Mapa de Karnaugh para Funcin de Aridad 3 . . . . . . . . . . 353.11. Otra Representacin del Mapa de Karnaugh . . . . . . . . . . . 363.12. Mapas de Karnaugh para Funcin de Aridad 4 . . . . . . . . . . 363.13. Mapa de Karnaugh para Simplicar Mintrminos . . . . . . . . 373.14. Agrupaciones para Simplicar Mintrminos . . . . . . . . . . . 383.15. Mapa de Karnaugh para Simplicar Maxtrminos . . . . . . . . 393.16. Agrupaciones para Simplicar Maxtrminos . . . . . . . . . . . 393.17. Simplicacin con Trminos Dont Care . . . . . . . . . . . . . 403.18. Mquina de Estados Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.19. Mquina de Mealy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.20. Mquina de Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.21. Ejemplo de Diagrama de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.22. Latch Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.23. Latch Reset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.24. Latch Set-Reset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.25. Latch SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.26. Latch D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.27. Flip-Flop SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.28. Flip-Flop D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.29. Flip-Flop JK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.30. Flip-Flop T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56XVII3.31. Diagrama de Estados Automatismo Secuencial 1 . . . . . . . . . 573.32. Funciones Para el Flip-Flop A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.33. Funciones Para el Flip-Flop B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.34. Diagrama Lgico Automatismo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.35. Diagrama de Estados Automatismo Secuencial 2 . . . . . . . . . 603.36. Funciones Para los Flip-ops del Automatismo 2. . . . . . . . . 613.37. Funciones Para los Flip-ops del Automatismo 2. . . . . . . . . 623.38. Diagrama Lgico Automatismo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1. Componentes de un Contactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Representacin y Numeracin de Contactos . . . . . . . . . . . . 704.3. Representacin y Operacin de Rel Tipo ON. . . . . . . . . . . 724.4. Representacin y Operacin de Rel Tipo OFF . . . . . . . . . . 734.5. Simbologa Elementos de Mando y Proteccin . . . . . . . . . . 744.6. Funcin Interruptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7. Funcin Flanco de Subida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.8. Funcin Flanco de Bajada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.9. Funcin Toggle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.10. Funcin Memoria Biestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.11. Funcin Tren de Pulsos con 2 Rels ON . . . . . . . . . . . . . . 784.12. Funcin Tren de Pulsos con 2 Rels OFF y con Un solo ON. . . . 794.13. Funcin Refresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.14. Funcin Simulacin de Rel OFF con Rel ON . . . . . . . . . . 804.15. Funcin Simulacin de Rel ON con Rel OFF . . . . . . . . . . 804.16. Funcin Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.17. Control de Alarma Visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.18. Lgica Cableada para Control de Alarma Visual . . . . . . . . . 824.19. Ejemplo de Lgica Cableada con Temporizacin . . . . . . . . . 844.20. Secuencia de Cargas ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.21. Secuencia de Cargas ABCDCBy ABCDBC 864.22. Encendido en Secuencia M1, M2, M3, M3, M2, M1 . . . . 874.23. Encendido en Secuencia M1, M2, M3, M3, M1, M2 . . . . 874.24. Encendido en Secuencia M1, M2, M3, M2, M3, M1 . . . . 884.25. Arranque de Motor DC Utilizando Rels ON . . . . . . . . . . . 894.26. Arranque de Motor DC Utilizando Rels OFF. . . . . . . . . . . 894.27. Arranque de Motor Trifsico con Transicin Abierta . . . . . . . 904.28. Arranque con Transicin Abierta Usando Rel OFF . . . . . . . 914.29. Arranque de Motor con Transicin Cerrada . . . . . . . . . . . . 914.30. Circuitos de Potencia para Inversin de Giro . . . . . . . . . . . 924.31. Circuito de Control para Inversin de Giro . . . . . . . . . . . . 935.1. Elementos de una Red de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2. Transiciones Fuente y Sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3. Tipos de Nodos OR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4. Tipos de Nodos AND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5. RdP No Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104XVIII5.6. RdP No Viva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.7. RdP No Viva en Punto Muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.8. RdP Reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.9. RdP No Persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.10. RdP Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.11. Arco Inhibidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.12. Arquitectura Secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.13. Arquitectura de Decisin o de Conicto . . . . . . . . . . . . . . 1105.14. Arquitectura Paralela o Concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.15. Arquitectura de Confusin Simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.16. Arquitectura de Confusin Asimtrica . . . . . . . . . . . . . . . 1115.17. Arquitectura de Punto de Encuentro Simple. . . . . . . . . . . . 1125.18. Arquitectura de Punto de Encuentro Simtrico . . . . . . . . . . 1125.19. Arquitectura de Punto de Encuentro Asimtrico . . . . . . . . . 1135.20. Arquitectura de Semforo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.21. Arquitectura de Recurso Compartido . . . . . . . . . . . . . . . 1145.22. Arquitectura de Lectura-Escritura . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.23. Arquitectura Productor-Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.24. Arquitectura Productor-Consumidor con Prioridad . . . . . . . 1165.25. Arquitectura para Capacidad Limitada . . . . . . . . . . . . . . 1175.26. Arquitectura de Memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.27. Arquitectura para Colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.28. Fusin de Lugares en Serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.29. Fusin de Transiciones en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.30. Fusin de Lugares Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.31. Fusin de Transiciones Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.32. Eliminacin de Lugar Auto-lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.33. Eliminacin de Transicin Auto-lazo . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.34. rbol de Cobertura para la Figura 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . 1225.35. RdP con Nodo Terminal y Nodos Innitamente Reproducibles. 1225.36. rbol de Cobertura para la Figura 5.35 . . . . . . . . . . . . . . . 1235.37. Grco de Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.38. Subred de Petri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.39. Subred de Petri a Macrolugar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.40. Matrices de Incidencia Previa y Posterior . . . . . . . . . . . . . 1275.41. RdP No Pura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.42. RdP No Pura a Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.43. Grco Orientado Marcado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.44. Sifn y Trampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.45. Arquitectura Secuencial a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . 1395.46. Arcos con Pesos a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.47. Arco Inhibidor a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.48. Nodo And a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.49. Arquitectura de Decisin a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . 1405.50. Arquitectura de Decisin con Prioridad a Lgica Cableada . . . 1415.51. Temporizador a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141XIX5.52. Accin a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.53. Ejemplo de Red de Petri a Lgica Cableada . . . . . . . . . . . . 1425.54. Ejercicios sobre Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.55. Ejercicio de Simplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.1. Modelo Denido por el Estndar IEC 61131-3. . . . . . . . . . . 1546.2. Partes de una POU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3. Ejemplo de Texto Estructurado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4. Ejemplo de Listado de Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.5. Ejemplo de Diagrama de Bloques Funcionales . . . . . . . . . . 1566.6. Ejemplo de Diagrama Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.7. Ejemplo de Diagrama Funcional Secuencial . . . . . . . . . . . . 1566.8. Ejemplo de Comentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.9. Ejemplo de Declaracin de Tipo de Dato Derivado . . . . . . . . 1646.10. Ejemplo de Declaracin de Atributos a Variables . . . . . . . . . 1686.11. Funcin que Evala Discriminante en Ecuacin Cuadrtica. . . 1716.12. Ejemplo de Invocacin de Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.13. Uso de las Variables EN y ENO de una Funcin . . . . . . . . . 1736.14. Denicin de Bloque de Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.15. Denicin de un Bloque de Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.16. Caracterstica de Tiempo del Temporizador TP . . . . . . . . . . 1786.17. Caracterstica de Tiempo del Temporizador TON. . . . . . . . . 1786.18. Caracterstica de Tiempo del Temporizador TOF . . . . . . . . . 1796.19. Reloj de Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.20. Programa que Evala las Raices de la Ecuacin Cuadrtica . . . 1806.21. Formas de Sintaxis para la Sentencia IF ... THEN ... ELSE . . . . 1836.22. Sintaxis para la Sentencia CASE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.23. Sentencia CASE con Variable Enumerada . . . . . . . . . . . . . 1846.24. Sintaxis para la Sentencia FOR ... DO. . . . . . . . . . . . . . . . 1856.25. Sintaxis para la Sentencia WHILE ... DO . . . . . . . . . . . . . . 1856.26. Sintaxis para la Sentencia REPEAT ... UNTIL . . . . . . . . . . . 1856.27. Sintaxis para la Sentencia EXIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.28. Sintaxis para Listado de Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . 1876.29. Operadores Booleanos en IL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.30. Operadores ANYen IL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.31. Operadores de Salto y Comparacin en IL. . . . . . . . . . . . . 1906.32. Llamado a Funcin en IL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.33. Llamado a Bloque de Funcin en IL . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.34. Elementos Grcos de una Red FBD . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.35. Elementos Grcos Para Control de Flujo en FBD . . . . . . . . 1936.36. Ejemplo de Evolucin en Red FBD . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.37. Ejemplo Red FBD con Realimentacin y Salto. . . . . . . . . . . 1956.38. Representacin de Bobina y Contacto en LD . . . . . . . . . . . . 1966.39. Ejemplo de Evolucin en Red LD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.40. Determinacin de Secuencia en Ejecucin . . . . . . . . . . . . . 1996.41. Componentes Bsicos de una Red SFC. . . . . . . . . . . . . . . 201XX6.42. Transiciones con Sintaxis Inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.43. Transicin con Sintaxis de Conector . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.44. Transiciones con Sintaxis de Nombre de Transicin . . . . . . . . 2046.45. Secuencias Divergentes y Prioridades . . . . . . . . . . . . . . . 2056.46. Convergencia de Secuencias Divergentes . . . . . . . . . . . . . 2066.47. Secuencias Simultneas y su Convergencia . . . . . . . . . . . . 2066.48. Redes Inseguras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.49. Elementos de un Bloque de Accin . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.50. Bloques de Acciones en los Lenguajes LD y FBD . . . . . . . . . 2096.51. Accin con Calicador N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.52. Accin con Calicadores S y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.53. Accin con Calicador L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.54. Accn con Calicador D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.55. Accin con Calicador P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.56. Accin con Calicador SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.57. Accin con Calicador DS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.58. Accin con Calicador LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.59. Control de Accin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.60. Mdulo Secuenciador de Etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.61. Accin con Calicador C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.62. Partes de una Macro-Etapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.63. Ejemplo en Texto Estructurado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.64. Ejemplo en Listado de Instrucciones . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.65. Ejemplo en Diagrama de Bloques de Funciones. . . . . . . . . . 2216.66. Ejemplo en Diagrama Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.67. Ejemplo en Diagrama Funcional Secuencial . . . . . . . . . . . . 2236.68. Ejercicio Propuesto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.69. Ejercicio Propuesto 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227XXIXXIICaptulo 1INTRODUCCINEl origen de los automatismos no se encuentra denido para una fecha es-pecca, probablemente se puede hablar de los primeros sistemas automticosdesde los mismos inicios de la era prehistrica de lahumanidadenel Paleo-ltico1, cuando se realizaban trampas de caza confuncionamiento automticoconsistentes bsicamente en fosas cavadas y cubiertas adecuadamente para seractivadas por el peso de la presa. Pero es desde los comienzos de la revolucinindustrial, a nales del siglo XIXy principios del XX, cuando la automatizacinde procesos ha cobrado un inters especial por parte de la ciencia y de los inge-nieros, presentando la perspectiva que tenemos hoy de ellos como sistemas enlos cuales se realizan acciones sobre un sistema mediante la manipulacin di-recta de magnitudes fsicas haciendo uso de otro sistema denominado de con-trol. Los esfuerzos se han enfocado en reducir signicativamente todos los cos-tos derivados de la produccin de bienes, manteniendo una calidad constantetanto en los productos terminados como en los mismos medios de produccinyapartandoal hombredelabores rutinarias, peligrosas, congranincidenciadeerror, conriesgosparalasaludhumanaeinclusodondeseinvolucrauncomponente importante de estrs.El uso de los sistemas de automatizacin se ha incrementado especialmentedurante la ltima mitad del siglo XX, debido principalmente a la globalizacinde los mercados, lo cual ha llevado a todas las organizaciones productivas a es-tar dentro de mbitos competitivos y sometidos a rpidos procesos de cambiospara adecuarse a las exigencias de cada tiempo, ms ancuando este mismoentorno pide respuestas rpidas yadecuadas conel nde poder mantenerseen los niveles demandados por una competencia cada vez ms especializada.Los automatismos, hansido entonces, laherramientasobre lacual las or-ganizacioneshanbasadosuestrategia, desdelostiemposenloscualesslose empleaban dispositivos de accionamiento y control conbase enlgica to-doonada, hastalostiemposactuales dondeconbaseenlamicroelectrni-cayprocesadoresseempleanequiposmuchomssosticadoscomoloson1Probablemente desde el Paleoltico inferior y entre 600000 a 400000 A.J.12 CAPTULO 1. INTRODUCCINlos autmatas de lgicaprogramable. Es porestaraznfundamental que losautoreshanqueridopresentarestelibrocomounaherramientabsicaenelaprendizaje yconocimientode estas tecnologas, iniciandodesde los concep-tos bsicos de lgica secuencial y combinacional, pasando por la lgica cablea-da y programada enmarcadas dentro de la norma IEC 61131-3, y presentandoherramientas especializadas de diseo como lo son las redes de Petri.Captulo 2FUNDAMENTOS DELOSAUTOMATISMOS2.1. Resea HistricaLos automatismos se han observado desde los tiempos antiguos cuando secreaban toda clase de mquinas provistas de alguna forma de fuente de energaconel ndeimitar losmovimientosdelosseresvivos. Losprimerosaut-matas de los que se tenga noticia provienende los tiempos de Ddalo dondese crearon estatuas animadas. Luego, los griegos y ms tarde los romanos ela-boraban juguetes con accionamiento mecnico [3].En el ao de 1500 A.C. en Etiopa, Amenhotep construy una estatua del reyMemon la cual emita sonidos cuando era iluminada por los primeros rayos delsol al amanecer. En el siglo IV A.C. Ktesibios disea un reloj de agua conocidocon el nombre de Clepsydra, el cual constaba de un mecanismo cuyo objetivoeraqueel nivel deundepsitodeaguasubieraavelocidadconstante; paralograr este nse empleaba unotadorque regulaba la entrada de agua a undepsitoauxiliar. Enelao378 A.C. aPlatnseleocurrecrear unsistemaautomticodealarmaconbase enunaClepsydra, verFigura2.1; enel vasode la Clepsydra se ubic unotador, sobre el cual se depositanunas esferas,durante un tiempo determinado el vaso es llenado a una rata constante de aguay al nal, cuando se alcanza el nivel mximo, las esferas caensobre unplatode cobre lo cual es indicativo que el tiempo ha transcurrido. El uso dado porPlatn a las Clepsydras suscit un gran inters y durante todo el siglo siguientese efectuaron muchos diseos basados en el reloj de agua.En el siglo I A.C., Hern de Alejandra escribe una serie de libros reunidosenunaEnciclopediaTcnicaentreloscualessedestacanlosprimerosdocu-mentos conocidos sobre automatismos. Enellos es de resaltar los libros sobrePneumtica y Autmata. En estos libros de Hernse describe uno de losprimeros sistemas realimentados de los que se tenga conocimiento, el cual esel dispensador de vino.56 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LOS AUTOMATISMOSFigura 2.1: Alarma de Platn Basada en ClepsydraA Hern tambin se le debe la creacin de un Odmetro, sistema empleadopara cuanticar una distancia recorrida, el cual constaba de un sistema de en-granajes que cada vez que se produca ungiro completo de la volante dejabacaer unesfera enuncontenedor, verFigura2.2; al nal el nmero de esferaspermitan cuanticar la distancia recorrida.Uno de los autmatas ms reconocidos es el Gallo de Estrasburgo, el cualformaba parte del reloj de la catedral de Estrasburgo y mova el pico y las alasal dar las horas. Este funcion entre los aos de 1352 y 1789 y es el autmatams antiguo que se conserva en la actualidad [6].Peroentrelosmsclebrescreadoresdeautmatasenlahistoriaseen-cuentraaVaucanson, el cual cremuchasmaravillasquemerecengranre-conocimientoanenlosdasactuales. Entresuscreacionesestel Flautista,que representa un fauno segn modelo de la estatua de Coysevox, que ejecutauna docena de aires valindose de movimientos de la lengua, labios y dedos.Tambin se encuentra al Tamborilero y la Taedora que se puede admirar en elconservatorio de artes y ocios de Pars. La reputacin de Vaucansonse debeen gran medida a su obra el Pato, el cual era capaz de batir las alas, zambullir-se, nadar, tragar grano y hasta expeler una forma de excremento. Vaucanson ensus obras no trat de copiar vida, sino nicamente de imitar algunas funciones2.1. RESEA HISTRICA 7individuales.En[6] se puede encontrarimgenes ydescripciones de lamayorade losautomatismos mencionados previamente, incluso se puede encontrar variantesy la evolucin que algunos de estos sistemas han tenido. Adems, igualmenteen [6] se puede encontrar la presentacin de automatismos de los siglos XVII aXIX, como es el caso de los primeros componentes automatizados en molinosde viento.Figura 2.2: Odmetro de HernCon el advenimiento de la electricidad y de la electrnica apareci una nue-vageneracindeautmatascapacesdeimitar realmentealgunasfuncionesyreproducir comportamientosde seres vivos. En1912, el jugadorde ajedrezelctrico de Torres Quevedo era capaz de jugar nales de partida.1El jugadorde Nim, construido en1951 enla Universidadde Manchester constituye otroejemplo de autmata elemental, dado que existe un algoritmo que permite ga-nar con seguridad en este juego. Para esos mismos das Strachey construy en1Juego rey contra rey y torre8 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LOS AUTOMATISMOSlos Estados Unidos unjugadorde damas capaz de enfrentarse aunbuenju-gador; para ellolamquinadeba analizar, convarias jugadas de antelacin,todas las jugadas posibles a partir de una situacin inicial [3].2.2. Evolucin de los AutomatismosParaladcadadelossetenta, lacomplejidadyserviciosdelosautoma-tismos se increment gracias al uso de los circuitos integrados y a los sistemasbasadosenmicroprocesadores. Duranteestamismapocasedesarrollabalacomputadoradigital, aunqueconunempleomuyrestrictivoenlaindustriadebido a sus elevados costos, requerimientos de personal altamente calicadoy poca interconectividadconotros sistemas, pero especialmente debido a susproblemas para el control de seales en voltaje y corriente de valor elevado.La demanda proveniente de la industria, en busca de un sistema econmi-co, robusto, exible, de fcil modicacin y con mayor tratamiento de nivelesde voltaje a los presentados por los ordenadores, provoc el desarrollo del con-trolador de lgica programable o PLC. Este primer equipo autmata pretendabsicamente sustituiralossistemasbsicoscompuestosporrelsocircuitoslgicosconlasventajasevidentesdeunaplataformaestndardehardware.Dado loanterior, ensunacimientopresentaronprestaciones muysimilares alas tecnologas convencionales conlenguajes de programacinque emulabana los diagramas esquemticos empleados por dichas tecnologas.Losautmatas actuales hanevolucionadoconrespectoalasprestacionesde sus ancestros, incorporando fundamentalmente sistemas de programacinmsverstiles, conmejor velocidaddeprocesamientoyderespuestayconcapacidades de comunicacin. En los lenguajes actuales de programacin paraautmatas se incorporan, adems de las instrucciones clsicas de lgica binaria,temporizaciones y contadores, otras series de operaciones lgicas con palabras,funciones aritmticas, procesamiento para seales anlogas, funciones de co-municacinconlos estndares ms representativos enlaindustriaymuchasfunciones de control [1].Sinembargo, la principal caracterstica que sigue distinguiendo a los con-troladores de lgica programable es su robustez y capacidad de interconectivi-dad con los procesos, esto sin acercarlo a las funcionalidades de una computa-doradigital, sinopotencindolocadavezmsparacomunicacinentresiycon las computadoras. Al integrar el autmata con las computadoras digitales,se presenta lo mejorde las prestaciones de ambos sistemas enuno solo, perose hace entoncesevidente lanecesidadde replantear losmtodosde diseo,por lo cual hoy en da emergen nuevas metodologas para el modelamiento desistemas automticos como es el caso de las redes de Petri.2.3. COMPONENTES DE LOS AUTOMATISMOS 92.3. Componentes de los AutomatismosEl objetivo de un automatismo es controlar una planta o sistema sin necesi-dad que un operario intervenga directamente sobre los elementos de salida. Eloperario solodebe intervenirsobre las variables de control yel automatismoes el encargado de actuar sobre las salidas mediante los accionamientos con eln de poder llevar a efecto el control de la planta.Entrelosprincipalescomponentesdeunautomatismoseencuentranlostransductores y los captadores de informacin, los preaccionamientos y los ac-cionadores, as como los rganos de tratamiento de la informacin y elementosde interfaz entre el hombre y la mquina.Desde unpunto de vista estructural, unautomatismo se compone de dospartes claramente diferenciables, las cuales se describen a continuacin.Parte Operativa:Formada principalmente por el conjunto de dispositivos, m-quinas y/ o subprocesos diseados para realizar determinadas funcionesde produccin y corresponden en su gran mayora a elementos de poten-cia.Parte de Control:Formadaporlos elementosde procesamientoy/ omando,interfaz de comunicacin y de dilogo con el hombre.El sometimiento de la parte operativa se logra mediante un intercambio conti-nuo de informacin entre sta y la parte de mando o control. Este ujo de infor-macin se establece mediante los captadores (sensores binarios, transductoresanlogos y digitales) y los preaccionadores (contactores, rels). Los captadoresse encargan entonces de recoger datos de magnitudes fsicas y de cambios deestadoacontrolar yenvandichainformacinalapartedecontrolparasuprocesamiento[4]. Lapartedecontrol envaentoncesaccionesdemandoatravs de los preaccionadores, que sonelementos que permitenel manejo degrandes potencias a partir de seales de baja potencia. En la Figura2.3 se ob-serva un diagrama de bloques con los diferentes elementos constitutivos de unautomatismo [1, 3].Losautomatismosmodernosconstandeunagrandiversidaddecompo-nentesytecnologas, entre loscualessepuede hallarsistemasdenaturalezaelctrica, neumtica, hidrulica, mecnica, etc. Setrataentoncesdelainte-gracindeelementosdevariadanaturalezauorigendemandandosistemasintegradores capaces de realizar la adecuada coordinacin entre ellos. Debidoa esta fuerte demanda se cre y apareci una dicotoma clara entre dos formasdiferentes de afrontar la implementacinde unautomatismo. Esta dicotomada origena la clasicacintecnolgicade los sistemas de control ensistemasde Lgica Cableada y sistemas de Lgica Programada [1].10 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LOS AUTOMATISMOSPLANTAAccionadoresCAPTADORESSensores, TransductoresPREACCIONADORESRels, ContactoresSISTEMADECONTROLCOMUNICACIONESINTERFAZHOMBRE-MQUINASealesFsicasSealesde MandoFigura 2.3: Modelo de Sistema de Control2.4. Lgica CableadaTomasunombredelanaturalezadelasconexionesempleadasentrelosdiferentes componentes individuales que intervienenen el sistema. Si los ele-mentos son de origen elctrico, entonces la conexin entre rels, interruptores,nalesdecarrera, etc., serealizamedianteconductoreselctricos. Silosele-mentossonde origenelectrnico, entonceslaconexinentre las compuertaslgicas se realiza mediante caminos conductores. Enlas tecnologas neumti-ca e hidrulica, las conexiones entre los elementos se realizan mediante ductospor entre los cuales corre el elemento udico.TodasestastecnologassebasanenrganosdemandodeltipoTodooNada que pueden ser modelados mediante el lgebra de Boole y son comn-mente denominados como sistemas de conmutacin. Segn el sistema, esta con-sideracin de todo o nada se puede relacionar con abierto o cerrado, ca-liente o fro, conduce o no conduce, verdadero o falso. En analoga a losrganos de mando, los rganos receptores no pueden encontrarse ms que endos estados posibles alimentados o no alimentados. La solucinde unpro-blema de conmutacin radica en la disposicin adecuada de rganos de mandopara lograr que los rganos receptores estn alimentados cuando se satisfacenciertas condiciones [2].Este tipo de sistemas es bien aceptado entre los desarrolladores de automa-tismosparalacreacindesistemasdebajacomplejidad. Sinembargo, pre-sentagrandes dicultades especialmente cuandose requiere el desarrollodesistemas robustos, ya que no facilita la integracinde funcionalidadaritmti-ca, limita el control de la ejecucinde instrucciones, reduce la creacin de se-cuenciascomplejasylaconduccinymanipulacindeestructurasdedatosypresentaunadecienciaparalarealizacindeprogramasestructuradosyjerrquicos.2.5. LGICA PROGRAMADA 112.5. Lgica ProgramadaConel advenimientode latecnologade losmicroprocesadores ylossis-temas subsiguientes desarrollados a partir de estos, como es el caso de los con-troladores lgicos, los autmatas programables y el computador, se logr, y secontina mejorando constantemente, unalto nivel de integracinenlos com-ponentes electrnicos, con lo cual esta tecnologa allana cada da ms la posibi-lidad de integracin de sistemas de diversicada naturaleza, entrega la capaci-dad de realizar clculos de orden cientco y la implementacin de complejosalgoritmos en arquitecturas de control distribuidas e inmersas en variados sis-temas de gestin y comunicacin.Durantelosltimosdiezaosel mercadodeprocesosindustrialesydecontrol ha crecido signicativamente. Los PLCs se han mostrado como la basesobre lacual se fundamentanestossistemas, peroadems hanaparecido lascomputadoras digitales como competencia directa gracias a las velocidades deprocesamientoyloscostosreducidoslogradosydivisadoshaciaunfuturo.Conel desarrollode estas tecnologas, cadaunode losproveedores tratdeofrecer sistemas amigables de programacin que en principio funcionaron biendentro de cada uno de sus sistemas orgenes. Pero debido a la fuerte demandaenlaindustriaporunaintegracinentresistemasdediferentesnaturalezas,fuentes y proveedores se hizo necesario la creacin de un marco de referenciadentro del cual se mueva cada uno de los lenguajes de programacin.Debido a lo anterior se produjo la publicacindel estndar IEC 1131-3 enMarzode1993, hoydenominadoIEC61131-3, dondesedenelaformaenla cual deben ser programados los sistemas de control basados en PLCs y queadems permite que los programas y comportamientos de las plantas bajo con-trol sean de fcil entendimiento por personal de diferentes industrias [5].12 CAPTULO 2. FUNDAMENTOS DE LOS AUTOMATISMOSBibliografa[1] Balcells, Josep. Romeral, Jose LuisAutmatas ProgramablesAlfaomega marcombo 1998, ISBN 970-15-0247-7[2] Delhaye C.Concepcin Lgica de Automatismos IndustrialesMarcombo 1971, ISBN 26.676-1968[3] Garca Moreno, EmilioAutomatizacin de Procesos IndustrialesAlfaomega 2001, ISBN 970-15-0658-8[4] Palls Areny, RamnSensores y Acondicionadores de Seal 3ra EdAlfaomega marcombo 2001, ISBN 970-15-0577-8[5] Lewis, R. W.Programming Industrial Control Systems Using IEC 1131-3Revised EditionIEE 1998. ISBN 0-85296-950-3[6] http:/ / automata.cps.unizar.es/ Historia/ Webs.13Captulo 3ANLISIS YSNTESIS DEAUTOMATISMOS3.1. Lgica de Predicados3.1.1. Presentacin del Lenguaje FormalEl lenguaje es la herramienta bsica enlacomunicacinhumana. La lgi-ca, como instrumento para la formalizacin del conocimiento humano, no estexenta de requerir un lenguaje que permita expresar de forma ordenada y clarasucesiones de armaciones y que contenga todos los elementos necesarios decomunicacin. Las frases declarativas son el fundamento bsico de la descrip-cin del conocimiento, por tanto interesa la formalizacin de un lenguaje parasu estudio [4].En la lgica de proposiciones, o lgica de enunciados, se estudia las frasesdeclarativas simples como elementos de una frase que pueden tomar un y soloun valor entre dos posibles (Verdadero y Falso, 1 y 0) y constituyen por si solaslaunidadde comunicacin. Lalgicade predicados estudiaconmayorpro-fundidad las frases declarativas, colocando atencin a sus objetos constitutivosy las relaciones que las gobiernan.Si la proposicin est formada por una sola frase declarativa simple se diceque posee aridad1cero. Si la proposicin en estudio consta de ms de una frasedeclarativa simple, entonces es necesario introducir elementos adicionales deenlace entre los diferentes elementos simples, o argumentos, y adems se diceen este caso que posee aridad igual al nmero de argumentos [4, 5].Para la conformacin de los predicados se dene la siguiente estructura:Variables: Sonsmbolos conformados por las ltimas letras del alfabeto y enminsculas. Sepermitelaadicindesubndicesyel usodel alfabeto1Laaridadde unafuncinodeunpredicadosedene comoel nmerode argumentosquetiene.1516 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSgriego, por ejemplo: w, x, y, z, y1, z2, 2.Constantes:Primeras letras del alfabeto enminsculas conosinsubndices,porejemplo: a, b, c, d1, bj. Seempleanparadesignarlosobjetosde loscuales se quiere hablar. Para hacer referencia a un equipo industrial cual-quiera, por ejemplo al motor 5 o al motor 6, se pueden asignar las cons-tantes m5 y m6 respectivamente, o para hacer referencia a la caldera sim-plemente se puede asignar la c.Funciones:Se empleanlas letras f, g, h. Puedenigualmente llevar subndicesyenalgunos casos superndices para indicarlaaridad. Porejemplos lafuncin g2indica que la funcin g posee una aridad de 2.Relatores:Se representan mediante letras en maysculas, por ejemplo J, K, L.Igualmente se puede indicar la aridad de un predicado o relator median-te un superndice. Los relatores tienen la funcin de representar a los he-chos, el equivalente de los verbos enunlenguaje natural. Si el relatorJsignica pertenecer a la fbrica 1, entonces Jc signica que la calderapertenece alafbrica1. Si el relatorK signicaestaracoplados, en-tonces Km5m6 signica que los motores 5 y 6 estnacoplados. Paraloscasosanteriores, sedicequeelrelatorJ esmondicooderango1yqueel relatorK esdidicoode rango2. El rangode unrelatoreselnmero de complementos que requiere para tener sentido, sinembargopor conveniencia, se limita el rango de los relatores. Si por ejemplo K esdidico Km5m6m7 no tiene sentido y para expresar que los motores 5, 6y 7 estn acoplados se puede emplear a K usndolo varias veces de formaconveniente.Cuanticadores: Sonsignosque proporcionanmayorfuerza al lenguaje for-mal. Se empleanconjuntamenteconlas variables ysonprincipalmentedos. El primero de ellos es el cuanticador particularizador o existencial_ el cual se lee existe, por ejemplo, para la variable x _xJx sig-nicaExiste unx de manera que x pertenece a la fbrica 1. De formageneral _x algo signica que algo es cierto si la variable x se in-terpreta de forma adecuada. El segundo de los cuanticadores es el uni-versal o generalizador _ el cual se lee para todo, por ejemplo, parala variable x _xJx signica Para todo x, x pertenece a la fbrica 1.Funtor:El funtor esunsignoquecomplementadoconnombresdeobjetosnombraaotros objetos, encontraste conunrelatorquedalugaraunaarmacin. Ejemplodeunfuntor didicopuedeserMquesignicael de mayor revoluciones, as Mm5m6 signica el de mayor revolu-cionesentrem5ym6. Sepuedetener funtoresdecualquier rango. Enmatemticas se tiene funtores como

, +, , etc.Descriptor:El descriptor se representa por [ y se lee tal que.3.1. LGICA DE PREDICADOS 17Comoyase dijo, cuando se trata conproposiciones de ordenunoosuperiorse hace necesariointroducirel usode conectivoslgicosconel propsitodeenlazar las frases declarativas simples. A continuacin se indica su simbologa:La Negacin:SeleecomoNOoES FALSOQUEyserepresentaporlaconectiva . En este sentido Jc signica que la caldera NO pertenecea la fbrica 1.La Conjuncin:SeleecomoYyserepresentaporlaconectiva . Enestesentido si el relator L signica ser motor , entonces Lm Lc signicam es un motor Yla caldera NO es un motor .La Disyuncin:Se lee como O y se representa por la conectiva . En lengua-je natural la disyuncin se puede interpretar de formas diferentes, en unapuede signicar lo uno, lo otro o ambos y en otra lo uno, lo otro, perono ambos. De forma estricta en la lgica de predicados se emplea en elprimero de los sentidos, es decir, enuna forma inclusiva y no enformaexclusiva como en el segundo caso.La Implicacin:Se leecomoSI ... ENTONCES ...o... IMPLICA...yserepresenta por la conectiva .Coimplicacin o Bicondicional:Se lee como ... SI Y SOLO SI ... y se repre-senta por la conectiva . Lo cual quiere decir que lo que es vlido parauna armacin, tambin lo es para otra armacin, cuando ambas estnrelacionadas mediante el bicondicional.3.1.2. Tablas de VerdadToda frase declarativa puede tener uno de los dos siguientes valores posi-bles Verdadero o Falso, V o F, 1 o 0. Estos valores de verdad en proposi-cionesconmsdeunafrasedeclarativaestndeterminadospor losvaloresdeverdaddelasfrases declarativas simplesylosconectivoslgicosquelasrelacionan [4].Enformageneral, si ysondosarmacionescualesquiera, si esver-dadera entonces es falsa y si es falsa entonces es verdadera. Lo anteriorse presenta de forma resumida en la Tabla 3.1, a la cual se le denomina tabla deverdad para la conectiva de negacin. V FF VTabla 3.1: Tabla de Verdad para la Negacin18 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSLa tabla de verdad para dos armaciones relacionadas mediante la conecti-va de conjuncin se muestra en la Tabla 3.2. V V VV F FF V FF F FTabla 3.2: Tabla de Verdad para la ConjuncinLa tabla de verdad para dos armaciones relacionadas mediante la conecti-va de disyuncin se muestra en la Tabla 3.3. V V VV F VF V VF F FTabla 3.3: Tabla de Verdad para la DisyuncinLa tabla de verdadpara la conectiva de implicacinhasido ampliamentediscutida a lo largo de la historia. Filnconsideraba que el enunciado esverdadero a no ser que fuera verdadero perofalso. Por otro lado Diodorodaba la interpretacin que es verdadero si siempre que es verdaderotambin lo es. La interpretacin de implicacinen el lenguaje natural se acer-ca ms a la entregada por Diodoro [4]. Para los propsitos de la lgica, la in-terpretacindeFilnesmsprcticayportantodeberserinterpretadadeacuerdo con la Tabla 3.4. V V VV F FF V VF F VTabla 3.4: Tabla de Verdad para la Implicacin.Delatablaanterior sepuedeconcluir queunaarmacinfalsaimplicacualquier armacin, esto es si es falsa es verdadera para cualquiera quesea; y que una armacin verdadera es implicada por cualquier armacin,esto es si es verdadera es verdadera para cualquiera que sea .3.1. LGICA DE PREDICADOS 19La tabla de verdadpara la coimplicacino bicondicional se muestra enlaTabla3.5, dondesepuedeobservar queparaambassonverdaderasoambas son falsas. V V VV F FF V FF F VTabla 3.5: Tabla de Verdad para la Coimplicacin3.1.3. Denicin del Lenguaje FormalDenicin:Unlenguajeformaldeprimerorden L esunacoleccindesig-nos divididos en las siguientes categoras y cumpliendo las propiedadesindicadas [3, 4, 5, 8].1. Variables: L debe tener innitas variables, a cada una de las cuales se leasocia unnmero natural distinto denominado ndice, de forma tal quetodo natural es ndice de una variable de L. La variable de ndice i de Lser entonces xi.2. Constantes: L puedetenerdesdeningunahastainnitasconstantes. Acadaconstanteseleasociaunndicenatural, as cieslaconstantedendice i de L.3. Relatores: Cada relator debe tener unnmero natural no nulo asociadodenominadorango. Unrelator n-dicoesunrelator derangon. Cadarelator n-dico lleva asociado un ndice, de tal forma que el relator Rniesel relator n-dico de ndice i, en caso de existir en L. Cmo mnimo debeexistirunrelatordidicoR20, al queseledael nombredeigualadoro=.4. Funtores: Cada funtor debe tener asociado un rango e ndice en las mis-mas condiciones mencionadas para los relatores. Fnies el funtor n-dicode ndice i, en caso de existir en L.5. Negador:es el negador de L.6. Implicador: es el implicador de L.7. Cuanticador Existencial: _ es el cuanticador existencial o particulari-zador de L.8. Cuanticador Universal:_ es el cuanticador universal o generalizadorde L.20 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOS9. Descriptor: [ es el descriptor, el cual puede o no existir en L. En general Lpuede ser un lenguaje con o sin descriptor.Cada signo de L debe pertenecer a una y solo una de las anteriores categoras.Si L es un lenguaje formal con descriptor, entonces L es el lenguaje resultanteal retirar el descriptor.3.1.4. Expresiones, Trminos y FrmulasLa utilidaddel lenguaje formal que se ha presentado tiene que ver princi-palmente con la necesidad de construir armaciones con sus signos. Se deneuntrminocomounacadenadesmbolosutilizadapararepresentarobjetoscumpliendo las siguientes reglas [4, 5, 8]:Toda variable o constante individual es un trmino.Si se tienen los trminos t1, t2, ... ,tj, ..., tn yfnes una funcin de aridadn entonces fn(t1, t2, .., tj, ..., tn) es un trmino.Todoslostrminosposiblesseobtienenaplicandonicamentelasdosreglas anteriores.UnafrmulaesunacadenadesmbolosquetomaunvalordeVerdaderooFalso y posee la formaPn(t1, t2, .., tj, ..., tn) donde Pnes un relator de aridadn y t1, t2, ... ,tj, ..., tn son trminos.Una cadena de signos en el lenguaje se denominar expresin si es un tr-mino o una frmula dentro del lenguaje.Ejemplo:La frase Todos los motores de la fbrica 1 estn operables se puedeformalizar de la siguiente forma: Empleando el relator J que signicapertenecer a la fbrica 1, el relator O que signica estar operable ydeniendo la variable x como motor entonces se puede escribir:

x_Jx Ox_Ejemplo:Encontrar la funcin que describe el siguiente enunciado: El ujo deagua que llega a una solucin salina para ser empleada en un proceso in-dustrial ser suspendido si se cumple una de las siguientes condiciones:Si el tanque se llena o si la salida del tanque permanece abierta, el nivelde agua no est bajo el nivel mnimo y la concentracin de la solucin noexcede el 3 %.Eneste caso, se designa afcomo la funcinque describe el enunciado.Las variables sern: l que se lee como Tanque lleno, v que se lee tanquevaco, o bajo nivel mnimo, s que se lee salida del tanque abierta y cque se lee concentracin de solucinexcede el 3 %. Bajo las anterioresasignacionesseobservaquelafuncinposeeunaaridadde4, locual3.2. LGEBRA DE BOOLE 21se indicacomof4_l, v, s, c_. Lafuncinse vericasi se cumple unadelas dos condiciones, a suvez la condicin2 se verica si se cumplensi-multneamentelastrescondicionesquelaforman, portantosepuedeescribir:f4_l, v, s, c_ = l _s v c_3.2. lgebra de BooleGeorge Boole, present en 1949 un sistema algebraico basado en dos valo-res, el cual se convirti en la base fundamental para el desarrollo de las cienciasde la computacin, programaciny control industrial. Conbase enel uso deeste sistema, se puede formular proposiciones que tomanuno de dos valoresposibles (verdadero o falso, 1 o 0) y combinarlas para formas nuevas proposi-ciones y determinar su verdad o falsedad.El lgebra booleana se puede presentar mediante unos postulados que re-sumen sus elementos y propiedades bsicas, los cuales se muestran a continua-cin [6, 10]:Postulado 1. Denicin de lgebra Booleana: Sistema algebraico cerrado, dis-tributivoycomplementadoformadopor unconjuntoHdedosomselementosylosdos funtores ytal quesi ypertenecena Hentoncespertenece a H ytambinpertenece a H . Demaneraformal:

_, _ H_ Hy H_Postulado 2. ExistenciadelosElementos1 y0: Enel conjuntoH existenloselementos 1(uno) y 0(cero), nicos, denominados elementos neutros, talque se cumple:_ H_ 0 = __ H_ 1 = _Postulado 3. Conmutatividad__, _ H_ = ___, _ H_ = _22 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSPostulado 4. Asociatividad__, , _ H_ ( ) = ( ) ___, , _ H_ ( ) = ( ) _Postulado 5. Distributividad__, , _ H_ ( ) = ( ) ( )___, , _ H_ ( ) = ( ) ( )_Postulado 6. Complemento: Para todo H existe unnico elemento enH denominado complemento de , de forma que:_ H_ H_ = 1__ H_ H_ = 0_3.2.1. Principio de DualidadEstablece que si una expresin T es vlida en el lgebra booleana, entoncessuexpresin dual, la que se denomina Td tambin lo es. La expresin dual seobtiene el reemplazar el operador por , el operador por , los 1 por 0 ylos 0 por 1. Se debe seguir manteniendo las precedencias relacionadas por losparntesis. Coneste principio se verica la validez de la expresindual, msno suequivalencia con la expresin original. De manera formal este principioestablece:

T H

Td_Td H_Ejemplo:Encontrar la expresin dual para:T_, , _ :_( ) _( ) _ = ( )_si T_, , _ :_( ) _( ) _ = ( )_ahora Td_, , _ :_( ) _( ) _ = ( )_El principio de dualidad se puede vericar en las expresiones de los postulados2 hasta 6. Se presenta a continuacinlos teoremas fundamentales del lgebrabooleana [6, 10].3.2. LGEBRA DE BOOLE 233.2.2. Teoremas FundamentalesTeorema 1:Idempotencia_ H_ = __ H_ = _Teorema 2:Elementos neutros_ H_ 1 = 1__ H_ 0 = 0_Teorema 3:Involucin

H_() = _Teorema 4:Absorcin__, _ H_ ( ) = ___, _ H_ ( ) = _Teorema 5:Segundo Teorema de Absorcin__, _ H_ ( ) = ___, _ H_ ( ) = _Teorema 6:Tercer Teorema de Absorcin__, _ H_( ) ( ) = ___, _ H_( ) ( ) = _Teorema 7:Cuarto Teorema de Absorcin__, , _ H_( ) ( ) = ( ) ( )___, , _ H_( ) ( ) = ( ) ( )_24 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSTeorema 8:Teorema de DeMorgan__, _ H_( ) = ___, _ H_( ) = _Este teorema se puede generalizar para n variables de la siguiente forma:__, , ..., _ H_( ... ) = ... ___, , ..., _ H_( ... ) = ... _Teorema 9:Teorema de Consenso__, , _ H_( ) ( ) ( ) = ( ) ( )___, , _ H_( ) ( ) ( ) = ( ) ( )_3.2.3. Funciones de ConmutacinEl concepto de funcin de conmutacin se puede denir como sigue:Sean 0, 1,... , n1 variables, cada una de las cuales representa el elemen-to 0 o 1, es decir al conjunto de los posibles valores que toma la variable, y seafn(0, 1,... , n1) la funcin de aridad n para las variables 0, 1,... , n1.La funcinfnpuede tomar los valores 0 o 1 segnel conjuntode valores de-nidospor lasvariables. Comosetienennvariablesycadavariablepuedetomarunodedosposiblesvaloressetendrn2nposiblescombinacionesdeasignacin de valores para las n variables y 22nposibles combinaciones para lafuncin de aridad n.Para una funcin de aridad cero los posibles valores sonf00= 0 y f01= 1. Acontinuacin se muestra en las Tablas 3.6 y 3.7 las posibles combinaciones parafunciones de aridad 1 y 2.0f10f11f12f130 0 1 0 11 0 0 1 1Tabla 3.6: Posibles Combinaciones para Funcin de Aridad 1.3.2. LGEBRA DE BOOLE 2501f20f21f22f23f24f25f26f27f28f29f210f211f212f213f214f2150 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1Tabla 3.7: Posibles Combinaciones para Funcin de Aridad 2.En las tablas anteriores se puede observar que f12= 0, mientras f11= 0es la negacin de la variable, adems f214 = 0 1 y f28= 0 1. Lo anteriorindica que anno se hanpresentado todas las posibles funciones, aunque engran parte unas se pueden obtener a partir de la combinacin de las otras [6].3.2.4. Funciones LgicasExistentres funciones bsicas: laconjuncin, ladisyuncinylanegacin,apartirdelascualespor combinacinsepuedeobtener otras4 quepor suamplia utilizacin se denen de forma independiente.AND:Representa la conjuncin y se dene como:

_0,... , n1_ H_fn(0,... , n1) = 0 ... n1 = [ H_Cumple las propiedades de asociatividady conmutatividad, especca-mente para el caso de tres variables: = f3(0, 1, 2) = 0 1 2= (0 1) 2= 0 (1 2) = f3(0, 1, 2) = 0 (1 2)= 0 (2 1)= (0 2) 1= 2 0 1EnlaFigura3.1 se muestrael smbolode estafuncinsegnlanormaANSI/ IEEE St 91-1984 junto con la representacin para lgica cableada ysu tabla de verdad.26 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSa0a1b&a0a1b01010 0 00 1 01 0 01 1 1Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.1: Representacin de la ANDOR:Representa la disyuncin y se dene como:

_0,... , n1_ H_fn(0,... , n1) = 0 ... n1 = [ H_Cumple las propiedades de asociatividadyconmutatividad, especca-mente para el caso de tres variables: = f3(0, 1, 2) = 0 1 2= (0 1) 2= 0 (1 2) = f3(0, 1, 2) = 0 (1 2)= 0 (2 1)= (0 2) 1= 2 0 1En la Figura 3.2 se muestra el smbolo de esta funcin junto con la repre-sentacin para lgica cableada y su tabla de verdad.a0a1b1a0a1b01010 0 00 1 11 0 11 1 1Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.2: Representacin de la OR3.2. LGEBRA DE BOOLE 27NOT:Representa la negacin y se dene como:

_0_ H_f1(0) = 0 = [ H_En la Figura 3.3 se muestra el smbolo de esta funcin junto con la repre-sentacin para lgica cableada y su tabla de verdad.1a0b 0ab000 11 0Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.3: Representacin de la NOTA partir de las tres funciones anteriores se puede obtener las siguientes cuatro,aunque debido a suamplia utilizacin se han denido independientemente yse les ha asignado un smbolo.NAND:Seobtienealimplementar laconjuncinyal resultadoaplicarlelanegacin, se dene como:

_0,... , n1_ H_fn(0,... , n1) = (0...n1) = [ H_Cumple la propiedad de conmutatividad ms no la de asociatividad. EnlaFigura3.4 semuestrael smbolodeestafuncinjuntoconlarepre-sentacin para lgica cableada y su tabla de verdad.a0a1b&a0a1b01(01)0 0 10 1 11 0 11 1 0Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.4: Representacin de la NAND28 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSNOR:Se obtiene al implementar la disyunciny al resultado aplicarle la ne-gacin, se dene como:

_0,... , n1_ H_fn(0,... , n1) = (0...n1) = [ H_Cumple la propiedad de conmutatividad ms no la de asociatividad. EnlaFigura3.5 semuestrael smbolodeestafuncinjuntoconlarepre-sentacin para lgica cableada y su tabla de verdad.a0a1b1a0a1b01(01)0 0 10 1 01 0 01 1 0Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.5: Representacin de la NORXOR:Tambin denominada OR exclusiva, se dene como:y = f2(0, 1) = 0 1= (0 1) (0 1)Cumple las propiedades de asociatividad y conmutatividad. En la Figu-ra 3.6 se muestra el smbolo de esta funcinjunto conla representacinpara lgica cableada y su tabla de verdad.a0a1b=1a1a1ba0a001010 0 00 1 11 0 11 1 0Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.6: Representacin de la XOR3.2. LGEBRA DE BOOLE 29NXOR:Se obtiene al implementar la XOR y al resultado aplicarle la negacin,se dene como: = f2(0, 1) = (0 1)= 01= _(0 1) (0 1)_Cumple la propiedad de conmutatividad ms no la de asociatividad. EnlaFigura3.7 semuestrael smbolodeestafuncinjuntoconlarepre-sentacin para lgica cableada y su tabla de verdad.a0a1b=1a1a1ba0a001010 0 10 1 01 0 01 1 1Smbolo ANSI/ IEEE Lgica Cableada Tabla de VerdadFigura 3.7: Representacin de la NXOR3.2.4.1. Universalidad de la NAND y la NORToda funcin de conmutacinse puede representar usando solo compuer-tas NAND o NOR, lo cual se deduce de las siguientes propiedades, donde g esuna funcin NAND y h es una funcin NOR:g11 (0) = (0 0) = 0g22 (0, 1) = _(0 1)_ = 0 1g23 (0, 1) = _0 1_ = 0 1h11 (0) = (0 0) = 0h22 (0, 1) = _(0 1)_ = 0 1h23 (0, 1) = _0 1_ = 0 1En la Figura 3.8 se puede observar la universalidad de estas dos funciones.30 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSFuncin NAND NORNOTa0&a0a01a0g11h11ANDa0a1& &a0a1111g22h22ORa0a1&&&a0a11 1g23h23Figura 3.8: Universalidad de la NAND y la NOR3.2.5. Formas Algebraicas Estndar3.2.5.1. Formas SOP y POSLasfuncionesdeconmutacinsepuedenrepresentardemuchasformas,pero particularmente son de inters las dos siguientes [6, 9].3.2. LGEBRA DE BOOLE 31La primera de ellas es laforma SOP (suma de productos) lacual se cons-truye al realizar la disyuncin, es decir funcin OR, de trminos en conjuncin,donde cada trmino conjuncin se obtiene mediante la funcin AND de variasvariables, lascuales puedenestarcomplementadas osincomplementar(connegacino sinella). A continuacinse presenta unejemplo para una funcinde tres variables la cual est en forma SOP:f3(0, 1, 2) = (0 1 2) (1 2) (0 2)LasegundaformaeslaPOS (productodesumas) lacual seconstruyealrealizarlaconjuncin, esdecirlafuncinAND, detrminosendisyuncin,donde cada trmino en disyuncin se obtiene mediante la funcin OR de variasvariables, lascualespuedenestar complementadasosincomplementar. Unejemplo de una funcin de tres variables en forma POS se muestra a continua-cin:f3(0, 1, 2) = (0 1 2) (0 1 2) (0 2)3.2.5.2. Formas CannicasMintrminoEsuntrminoenconjuncinel cual contieneexactamenteunavez a cada una de las variables de la funcin, ya sea complementadas osincomplementar. En el ejemplo anterior de una funcinen forma SOP,el trmino(0 1 2)esunmintrminoyaquecumpleconladenicin dada.Si una funcin se expresa en forma SOP y adems todos sus trminos sonmintrminos, entonces se dice que la funcin posee la forma Cannica deSuma de Productos, o simplemente la forma SOP Cannica. A continuacinse presenta un ejemplo de forma SOP cannica.f3(0, 1, 2) = (012) (012) (012)Como para que un mintrmino tome un valor lgico de 1 se necesita quecada variable no complementada tome un valor de 1 y cada variable com-plementada tome un valor de 0, se aprovecha este valor de cada variableparahaceruncdigobinariocontantosbitscomovariables enlafun-cin, con el cual se podr simplicar la escritura del mintrmino en unafuncin de forma SOP cannica. En la Tabla 3.9 se muestra esta simpli-cacin para los mintrminos de la funcin anterior.Mintrmino Cdigo Simplicacin(0 1 2) 100 m4(0 1 2) 001 m1(0 1 2) 011 m3Tabla 3.9: Notacin Simplicada de Mintrminos32 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSSe observaque se hasimplicadolaescriturade cada mintrminome-diante mi, donde i es el entero decimal correspondiente al cdigobina-rio del mintrmino. As la funcin se puede escribir de cualquiera de lassiguientes formas:f3(0, 1, 2) = (0 1 2) (0 1 2) (0 1 2) =

m(1, 3, 4)MaxtrminoEsuntrminoendisyuncinel cual contieneexactamente unavez a cada una de las variables de la funcin, ya sea complementadas osincomplementar. Enel ejemplo anterior de una funcinenforma POSlostrminos(0 1 2) y(0 1 2) sonmaxtrminos alcumplir ambos con la denicin dada.Si una funcin se expresa en forma POS y adems todos sus trminos sonmaxtrminos, entonces se dice que la funcin posee la forma Cannica deProducto de Sumas, o simplemente la forma POS Cannica. A continuacinse presenta un ejemplo de forma POS cannica.f3(0, 1, 2) = (012) (012) (012)Comoparaqueunmaxtrminotomeunvalor lgicode0senecesitaque cada variable nocomplementadatome unvalorde 0 ycada varia-ble complementada tome un valor de 1, se aprovecha este valor de cadavariable para hacer uncdigo binario contantos bits como variables enlafuncin, conel cual se podrsimplicarlaescrituradel maxtrminoen una funcinde forma POS cannica. En la Tabla 3.10 se muestra estasimplicacin para los maxtrminos de la funcin anterior.Maxtrminos Cdigo Simplicacin(0 1 2) 101 M5(0 1 2) 010 M2(0 1 2) 011 M3Tabla 3.10: Notacin Simplicada de MaxtrminosSe observaque se hasimplicado la escritura de cada maxtrmino me-diante Mi, donde i es el entero decimal correspondiente al cdigo binariodel maxtrmino. Aslafuncinsepuedeescribir decualquieradelassiguientes formas:f3(0, 1, 2) = (0 1 2) (0 1 2) (0 1 2) =

M(2, 3, 5)3.2. LGEBRA DE BOOLE 333.2.5.3. Formas Cannicas EquivalentesCada forma SOP cannica tiene una forma POScannica equivalente dandouna representacin nica para cada funcin [6]. Lo anterior se puede observaral examinar la Tabla 3.11 de verdad siguiente para una funcin dada.012f3(0, 1, 2)0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 0Tabla 3.11: Formas Cannicas EquivalentesLasposicionesdondelafuncintomaunvalorde1 debencorresponderalosmintrminosquelacomponen, deigual formalasposicionesdondelafuncin toma un valor de 0 deben corresponder con los maxtrminos. Por tantocada funcinse puede representar de forma equivalente ya sea mediante susmintrminososusmaxtrminos. Parael casode lafuncindelaTabla3.11,sta se puede representar de cualquiera de las siguientes formas:f3(0, 1, 2) =

m(0, 2, 3, 6)=

M(1, 4, 5, 7)3.2.6. Trminos Dont CareLos trminos Dont Care o No Importa son aquellos que dentro de unafuncinse derivande combinaciones de las variables de entrada que se sabenuncasepresentarn, portantosepuedenconsiderarindistintamentecomomintrminosomaxtrminossinafectar el comportamiento, es ms, aconve-nienciasepuedenincluir oexcluir. Aestostrminos, debidoasuinclusinopcional en las formas cannicas, se les denomina frecuentemente como pres-cindibles [6, 10].Ejemplo:Encontrar las formas cannicas para una funcin que indica con unvalor lgico de 1 si un nmero de entrada en cdigo BCD es mayor a 3 ymenor o igual a 7.Para este caso, la entrada posee cuatro variables conlas cuales se repre-sentan los nmeros enteros del 0 al 15, pero un cdigo BCD solo codicalos nmeros del 0 al 9, por tanto las posiciones 10 a 15 son Dont Care34 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSy se podrnde forma indistinta incluir enla representacin por mintr-minos o maxtrminos. A continuacin se muestra la tabla de verdad paraeste ejemplo.Cdigo 0123f4(0, 1, 2, 3)0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 02 0 0 1 0 03 0 0 1 1 04 0 1 0 0 15 0 1 0 1 16 0 1 1 0 17 0 1 1 1 18 1 0 0 0 09 1 0 0 1 010 1 0 1 0 d11 1 0 1 1 d12 1 1 0 0 d13 1 1 0 1 d14 1 1 1 0 d15 1 1 1 1 dTabla 3.12: Trminos Dont CareEn la Tabla 3.12, mediante unad se ha notado los trminos que son DontCare y que corresponden a aquellas entradas que se sabe nunca se presentarnpara este ejemplo. La funcin se podr representar de las siguientes formas:f4(0, 1, 2, 3) =

m(4, 5, 6, 7) +d (10, 11, 12, 13, 14, 15)=

M (0, 1, 2, 3, 8, 9) +d (10, 11, 12, 13, 14, 15)3.3. Simplicacin de Funciones de Conmutacin3.3.1. Mapas de KarnaughEl objetivo de la simplicacinde las funciones de conmutacinradica enla minimizacin de costos, ya sea de realizacin o de implementacin. Uno delosmtodosmsampliamenteempleadosparalasimplicacinsonlosde-nominados Mapas de Karnaugh, los cuales estn basados en los principios dellgebra de conjuntos, lgebra de Boole, tablas de verdad y mintrminos o max-trminos [1, 6].3.3. SIMPLIFICACIN DE FUNCIONES DE CONMUTACIN 35Para una funcin de aridad 2, se tendrn cuatro posibles combinaciones delas variables, las cuales se pueden representar de forma grca en un Diagramade Venn2como se muestra en la Figura 3.9.Cd 01min0 0 0 m01 0 1 m12 1 0 m23 1 1 m3a0,a1a0,a1 a0, a1 a0, a1m0m2 m3 m10(0)0(1)1(0) m0m21(1) m1m30 101a1a00 21 3Tabla de Verdad Diagrama de Venn Diagr. Rectangular Mapa de KarnaughFigura 3.9: Mapa de Karnaugh para Funcin de Aridad 2Cd 012min0 0 0 0 m01 0 0 1 m12 0 1 0 m23 0 1 1 m34 1 0 0 m45 1 0 1 m56 1 1 0 m67 1 1 1 m7a0,a1,a2m0a0,a1,a2a0,a1,a2a0,a1,a2a0,a1,a2a0,a1,a2 a0,a1,a2a0,a1,a2m7m2m4m1m3 m5m60 100a1,a2a00 41 53 72 6011110Tabla de Verdad Diagrama de Venn Mapa de KarnaughFigura 3.10: Mapa de Karnaugh para Funcin de Aridad 3Para una funcinde aridad3, se tendrn8 posibles combinaciones de lasvariables, las cuales se pueden observar en la Figura 3.10 representadas en unMapa de Karnaugh.El mapa de Karnaughpara el caso de funcinde aridad3 tambinpuedeser representado de forma horizontal como se muestra en la Figura 3.11.2UnDiagramade Vennes una representacingrcaparael lgebrade conjuntos, y comoellgebrade conjuntos es unlgebrabooleanaenlaque los conjuntos sonlos elementos del lge-bra, esta representacin es posible. La operacinde interseccincorresponde a la conjuncin y laoperacin de unin a la disyuncin.36 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOS000a2a0,a10 21 316 47 501 11 10Figura 3.11: Otra Representacin del Mapa de Karnaughpara Funcin de Aridad 3Parael casode unafuncinde aridad4, el mapade Karnaughse podrarepresentar en las formas indicadas en la Figura 3.12.Cd 0123min0 0 0 0 0 m01 0 0 0 1 m12 0 0 1 0 m23 0 0 1 1 m34 0 1 0 0 m45 0 1 0 1 m56 0 1 1 0 m67 0 1 1 1 m78 1 0 0 0 m89 1 0 0 1 m910 1 0 1 0 m1011 1 0 1 1 m1113 1 1 0 0 m1213 1 1 0 1 m1314 1 1 1 0 m1415 1 1 1 1 m150000a2,a3a0,a1010 41 512 813 901 11 103 72 615 1114 1011100000a0,a1a2,a3010 14 53 27 601 11 1012 138 915 1411 101110Tabla de Verdad Mapas de KarnaughFigura 3.12: Mapas de Karnaugh para Funcin de Aridad 4Engeneral, enunmapade Karnaughparaunafuncinde aridadn, unacelda posee nceldas adyacentes, donde las celdas sonenumeradas medianteel Cdigo Gray3y cada una representa a un posible mintrmino o maxtrminodelafuncin. Debidoaqueunaceldadebeposeer nceldasadyacentes, enel mapa de Karnaughpara una funcinde aridad4 por ejemplo, la celda del3El cdigo Gray es un cdigo no aritmtico donde de una cantidada otra solo vara un bit a lavez.3.3. SIMPLIFICACIN DE FUNCIONES DE CONMUTACIN 37mintrminom0es adyacente conlas celdas de los mintrminosm1,m2,m4ym8. Loanterior signicaquelosladosderechoeizquierdodeunmapadeKarnaughsoncontinuos y lo mismo sucede conlos lados superior e inferior.En otras palabras, para una celda sus adyacentes son todas aquellas en las quesolamente una variable cambia a la vez.3.3.2. Simplicacin por Mapas de KarnaughPara la simplicacin de una funcin sobre un mapa de Karnaugh, se copiael valorpara cada combinacinde entrada enla celda correspondiente (un1para los mintrminos yun0 para los maxtrminos), aunque porsimplicidadse acostumbra colocar solo los 1 o 0, ms no ambos [6, 10].El objetivoserentonces realizar agrupaciones de celdas donde hayun1engrupos potencias de 2 (grupos de 2, 4, 8 etc. celdas). Cada grupo debe serlo ms grande posible ya que ello eliminar ms variables, adems la cantidadtotal de agrupaciones debe ser la menor posible tal que todos los mintrminosqueden incluidos como mnimo en un grupo.Ungrupo formado por 2nceldas elimina n variables. Las variables que seeliminansonaquellas que dentro de ungrupopresentancambioensuvalor(cambian de 1 a 0) y permanecen aquellas que dentro del grupo no presentancambio(permanecenen1 oen0). Al nal lafuncinsimplicadaestarfor-mada por la disyuncin de trminos en conjuncin, donde cada trmino es ungrupo ya simplicado desde el mapa de Karnaugh.Ejemplo:Mediante un mapa de Karnaugh simplicar la siguiente funcin.f4(0, 1, 2, 3) =

m(3, 5, 7, 8, 10, 13, 15)LafuncinrepresentadasobreunmapadeKarnaughquedacomosemuestra en la Figura 3.13.0000a2,a3a0,a1010 41 512 813 901 11 103 72 615 1114 1011101 11 1111a3a2a0a1Figura 3.13: Mapa de Karnaugh para Simplicar Mintrminos38 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSCon el objeto de poder incluir a todos los mintrminos en el menor nmerode agrupaciones, pero a la vez con cada grupo lo ms grande posible, seforman las siguientes agrupaciones las cuales tambin se muestran en laFigura 3.14.Grupo 1 = m8, m10Grupo 2 = m3, m7Grupo 3 = m5, m7, m13, m150000a2,a3a0,a1010 41 512 813 901 11 103 72 615 1114 1011101 11 1111a3a2a0a1Figura 3.14: Agrupaciones para Simplicar MintrminosParael Grupo 1sepuedeobservar quelavariable2eslanicaquecambia, igualmente es de esperarse que solo lo haga una, ya que como elgrupo est formado por 21celdas se debe eliminar solo 1 variable.Parael Grupo 2sepuedeobservar quelavariable1eslanicaquecambia y por tanto es la variable a eliminar para este grupo.Para el Grupo 3 se puede observar que las variables 0 y2 sonlas quecambian, igualmentees de esperarse que cambiendos, yaque comoelgrupo est formado por 22celdas se debe eliminar 2 variables.Del procedimiento anterior, se puede entonces escribir la funcin simpli-cada de la siguiente forma:f4(0, 1, 2, 3) = (0 1 3) (0 2 3) (1 3)Lasimplicacinde funcionesenlosmapas de Karnaughtambinse puederealizar utilizando los maxtrminos. Para ello se debe copiar un 0 en cada cel-dacorrespondienteaunmaxtrminoyrealizarlaagrupacinsiguiendolosmismoscriterios yaexpuestos para losmintrminos. Al nal lafuncinsim-plicada estar formada por la conjuncinde trminos endisyuncin, dondecada trmino es un grupo ya simplicado desde el mapa de Karnaugh.3.3. SIMPLIFICACIN DE FUNCIONES DE CONMUTACIN 39Ejemplo:Simplicar la siguiente funcin usando un mapa de Karnaugh.f4(0, 1, 2, 3) =

M (2, 9, 10, 12, 13, 14, 15)A continuacin se procede a copiar un 0 en el mapa de Karnaugh en cadacelda correspondiente a un maxtrmino, como se indica en la Figura 3.15.0000a2,a3a0,a1010 41 512 813 901 11 103 72 615 1114 101110000000 0a3a2a0a1Figura 3.15: Mapa de Karnaugh para Simplicar MaxtrminosConservando el objetivo de incluir a todos los maxtrminos en el menornmerodeagrupaciones, peroalavezconcadagrupolomsgrandeposible, se forman las siguientes agrupaciones, las cuales tambin se pue-den observar en la Figura 3.16.Grupo 1 = M9, M13Grupo 2 = M2, M10Grupo 3 = M12, M13, M14, M150000a2,a3a0,a1010 41 512 813 901 11 103 72 615 1114 101110000000 0a3a2a0a1Figura 3.16: Agrupaciones para Simplicar Maxtrminos40 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSParael Grupo 1sepuedeobservar quelavariable1eslanicaquecambia, ya que como el grupo est formado por 21celdas esta es la nicavariable a eliminar.Parael Grupo 2sepuedeobservar quelavariable0eslanicaquecambia y por tanto es la variable a eliminar para este grupo.Para el Grupo 3 se puede observar que las variables 2 y3 sonlas quecambian, igualmentees de esperarse que cambiendos, yaque comoelgrupo est formado por 22celdas se debe eliminar 2 variables.Del procedimiento anterior, se puede entonces escribir la funcin simpli-cada de la siguiente forma:f4(0, 1, 2, 3) = (0 2 3) (1 2 3) (0 1)Ejemplo:Simplicar la siguiente funcin la cual posee trminos Dont Care.f4(0, 1, 2, 3) =

m(0, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 14) +d (4, 7, 13, 15)La funcin sobre un mapa de Karnaugh, incluyendo tanto los mintrmi-nos como los Dont Care se muestran en la Figura 3.17.0000a2,a3a0,a1010 41 512 813 901 11 103 72 615 1114 10111011dd11 1a3a2a0a1d11 1dFigura 3.17: Simplicacin con Trminos Dont CareComolostrminos DontCare se puedenconsiderarde formaindis-tinta como mintrminos o maxtrminos, segn conveniencia, en este casose han incluido como mintrminos, pero adicionalmente ellos pueden serincluidos o no enlas agrupaciones. Enel caso de este ejemplo el trmi-nod15 no se ha incluido ya que con los grupos formados se han cubiertoa todos los mintrminos de la funcin. Los grupos formados sonlos si-guientes:3.3. SIMPLIFICACIN DE FUNCIONES DE CONMUTACIN 41Grupo 1 = m0, m2, m8, m10Grupo 2 = m4, m5, m6, m7Grupo 3 = m2, m6, m10, m14Grupo 4 = m9, m13Eliminando las variables que cambian en cada uno de los grupos, se ob-tiene la siguiente funcin simplicada:f4(0, 1, 2, 3) = (13) (01) (23) (023)3.3.3. Simplicacin por Quine-McCluskeyEste mtodo de simplicacinde funciones de conmutacines unalgorit-mo tabular con base en los mapas de Karnaugh. Permite la implementacin deunametodologasistemticapara encontrarunafuncinmnimaconlaven-tajaadicionaldepoder manejar ungrannmerodevariables, locualesdegran ayuda ya que los mapas de Karnaugh estn limitados en la practica a slocuatro o mximo cinco variables [6, 9].El mtodo inicia con una lista enumerada de todos los mintrminos de unafuncinde aridadn, agrupados enforma ordenada de acuerdo al nmero deunos 1 que contiene cada uno. Lo anterior con el n de identicar todos losposiblestrminosadyacentesloscualessecaracterizanpor diferenciarseensolo una variable.Seguidamenteenunanuevacolumnaseanotael resultadodebsquedade mintrminos adyacentes entre grupos vecinos. Enesta nueva lista se debeindicarmedianteunsignodeguin-lavariablequecambiayadicional-mente sealar los trminos agrupados desde la columna anterior. En esta nue-va columna lo que se ha logrado es la identicacin de trminos con n-1 varia-bles producto de la simplicacin de una de ellas gracias a la adyacencia.El paso anterior se debe repetir iterativamente adicionando nuevas colum-nas hasta que no sea posible agrupar ms trminos. Cada nueva columna im-plica trminos con una variable menos. Al nal, los trminos no sealados (esdecir aquellos no agrupados en un grupo mayor) sern los candidatos a cubrircompletamente la funcin de forma mnima.Finalmentesedebehacer unatablaquelisteenlascolumnastodoslosmintrminos y enlas las los trminos no agrupados enlos pasos anteriores.Lego se indica mediante un signo X los mintrminos que abarca un trminodeterminado. Los mintrminos cubiertos por solo un trmino determinan a tr-minos esenciales para cubrir la funcin. Luego de la identicacin de todos losmintrminos cubiertos por los trminos esenciales se busca el mnimo nmerode trminos adicionales que abarquen a los mintrminos no cubiertos an.Ejemplo:Simplicar lasiguientefuncinempleandoel mtodotabular deQuine-McCluskey.42 CAPTULO 3. ANLISIS YSNTESIS DE AUTOMATISMOSf4(0, 1, 2, 3) =

m0, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13El primer paso consiste en realizar la lista enumerada de todos los mintr-minos ordenados de acuerdo al nmero de 1 en cada uno de ellos.Columna 1Mintrminos 01230 0000 Cero unos2 0010 Dos unos8 10003 00116 01109 1001 Tres unos10 10107 0111 Cuatro13 1101 UnosTabla 3.13: Lista de Mintrminos Ordenados por VecindadA continuacin se realiza la bsqueda de trminos adyacentes entre veci-nos de la primera columna y el resultado se anota en una nueva columna,tal como se muestra a continuacin:Columna 1 Columna 2Mintr 0123Mintr 01230 0000 * 0 y 2 00_00 y 8 _0002 0010 *8 1000 * 2 y 3 001_2 y 6 0_103 0011 * 2 y 10 _0106 0110 * 8 y 9 100_9 1001 * 8 y 10 10_010 1010 *3 y 7 0_117 0111 * 6 y 7 011_13 1101 * 9 y 13 1_01Tabla 3.14: Primera Bsqueda de Trminos Adyacentes3.3. SIMPLIFICACIN DE FUNCIONES DE CONMUTACIN 43Seguidamente se contina conla bsqueda de adyacencias, ahora entrelostrminosdelasegundacolumnaylosresultadosse anotanenotranueva columna, tal como se indica a continuacin:Columna 1 Columna 2 Columna 3Mintr 0123Mintr 0123Mintr 01230 0000 * 0 y 2 00_0 * 0,2,8,10 _0_0 T10 y 8 _000 * 2,3,6,7 0_1_ T22 0010 *8 1000 * 2 y 3 001_ *2 y 6 0_10 *3 0011 * 2 y 10 _010 *6 0110 * 8 y 9 100_ T39 1001 * 8 y 10 10_0 *10 1010 *3 y 7 0_11 *7 0111 * 6 y 7 011_ *13 1101 * 9 y 13 1_01 T4Tabla 3.15: Segunda Bsqu