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PRÁCTICA DE LABORATORIO NÚM 3
P-SLM-03
Página 1 de 14
Rev. nº 1.0
Fecha 07/07/2010
DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM
Equation Chapter 1 Section 1
Información de la práctica
Título: DIFRACCION EN CAMPO CERCANO CON UN SLM
Asignatura: Óptica
Autores: Luis Miguel Sánchez Brea, José María Herrera Fernández
Horas: 3 horas
ALUMNO
Conocimientos
previos:
Haberse leído el principio de funcionamiento
Repasar conceptos de óptica, en particular la difracción en campo cercano, de la asignatura Óptica.
MATERIAL
Material
necesario:
Esquema:
Equation Chapter 1 Section 1
P-SLM-03 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 2 de 14
Control de versión y tareas realizadas
VERS. FECHA COMENTARIO Realización
1.0 03/06/2010 Diseño de práctica Luis Miguel Sánchez Brea
1.0 12/06/2010 Realización de las imágenes Luis Miguel Sánchez Brea
1.0 24/06/2010 Realización de la práctica Luis Miguel Sánchez Brea, José María Herrera
Fernández
Índice
INFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA ................................................................................................................... 1
CONTROL DE VERSIÓN Y TAREAS REALIZADAS ........................................................................................ 2
ÍNDICE ................................................................................................................................................................ 2
1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA ............................................................................................................... 3
2 INTRODUCCIÓN TEÓRICA ...................................................................................................................... 3
2.1 Semiplano ......................................................................................................................................... 3 2.2 Rendija .............................................................................................................................................. 6 2.3 Abertura circular ................................................................................................................................ 6
3 DESARROLLO EXPERIMENTAL ............................................................................................................. 9
3.1 Esquema de montaje ........................................................................................................................ 9 3.2 Montaje experimental ........................................................................................................................ 9
4 REALIZACIÓN EXPERIMENTAL ............................................................................................................ 10
4.1 Semiplano ....................................................................................................................................... 10 4.2 Rendija ............................................................................................................................................ 10 4.3 Abertura circular .............................................................................................................................. 11 4.4 Abertura cuadrada ........................................................................................................................... 12 4.5 Lentes de Fresnel ............................................................................................................................ 13
P-SLM-03 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 3 de 14
Advertencias:
En esta práctica se emplea como fuente de luz un haz láser; debe
evitarse mirar directamente la luz que emite o cualquier reflejo directo.
El modulador de luz es un sistema delicado. Si tocamos el modulador
con los dedos, etc. lo romperemos. Está terminantemente prohibido
tocar el modulador.
1 Objetivos de la práctica
Observación de diferentes diagramas de difracción
Principios de funcionamiento de la lente de Fresnel
2 Introducción teórica
La aproximación de Fresnel se basa en la siguiente ecuación
2 2
20
1( , , ) e ( , )e
ki x y
ikz zx y z d di z
E E (1)
donde el campo incidente a la salida del elemento difractor 0( , ) ( , ) ( , )inct E E se obtiene como
la multiplicación del campo incidente por la transmitancia de dicho elemento difractor, según la aproximación
de elemento delgado.
2.1 Semiplano
Sea una onda plana monocromática en incidencia normal que ilumina un semiplano. El problema puede ser
tratado como unidimensional y la ec. (1) se transforma en
2( )
20, , ( ) ( )
ki x
ikz zi
x y z e t e dz
E E , (2)
siendo para este caso particular
1 0
( )0 0
t
. (3)
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Fig. 1. Esquema de la difracción en campo cercano por un semiplano
Realizando un cambio de variable, / ( )( )k z x , obtenemos que la integral resulta
2 /2
1/ iz k e d
(4)
donde 1 /x k z . Asimismo, sabiendo que las definiciones del coseno de Fresnel y el seno de
Fresnel resultan
2
0
2
0
( ) cos / 2
( ) sin / 2
C t dt
S t dt
(5)
Fig. 2. Funciones C(x) y S(x).
La integral resulta
( ) 1/ 2
( ) 1/ 2
C
S
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2 2 21/2 /2 /2
1 0 0
1 1
1/ 2 1 1/ 2 1
i i ie d e d e d
C iS C iS
C i S
(6)
Esta integral tambien se puede resolver mediante
22
4
2
bcax bx c
ab
e dx e erf axa a
(7)
sabiendo que
1
( ) ( ) (1 )2 2
iC z iS z erf i z
. (8)
Si definimos Fig. 3
2 2 2
1 2 1 2 1 2, [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]l C C S S (9)
Fig. 3. Función 2
1 2,l
entonces la intensidad para un semiplano resulta (Fig. 4)
2
0 1
1, ,
2I x z I l (10)
Fig. 4. Intensidad en campo lejano generada por un semiplano.
P-SLM-03 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 6 de 14
La distribución de intensidad en el campo cercano no es abrupta sino que aumenta de forma gradual
realizando posteriormente un “rizado” alrededor del valor máximo. Muy lejos del borde la intensidad es la que
geométricamente esperábamos, pero esto no ocurre así cerca del borde. Asimismo, La posición más cercana
al borde que cumple 0,I x z I sucede cuando
2
zx
. (11)
Claro está que cuanto más cerca estemos del borde o la longitud de onda sea menor, más nos acercaremos
al modelo geométrico de difracción por un borde.
2.2 Rendija
El caso de la rendija es muy similar al del semiplano excepto por los límites de integración
2/2
( )2
0
/2
, ,
d ki x
ikz z
d
ix y z e e d
z
E E (12)
cuyo resultado anteriormente se ha obtenido
2
0 1 2
1, ,
2I x z I l (13)
con 1 / (1 2 / )
2
dk z x d y
2 / (1 2 / )2
dk z x d
Fig. 5. Campo cercano a distintas distancias de la rendija a) muy cerca, b) distancia intermedia, c) lejos de la
rendija. c) empieza aparecerse al resultado obtenido con la aproximación de Fraunhofer.
Obviamente, la aproximación de Fresnel también es válida para campo lejano, pero es más complicada y se
llega a los mismos resultados que la aproximación de Fraunhofer
2.3 Abertura circular
Sea el caso de la abertura circular de radio R donde iluminamos con una onda plana en incidencia normal
0( , )inc E E .
P-SLM-03 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 7 de 14
Fig. 6. Abertura circular.
Considerando el cambio de coordenadas a polares obtenemos que el campo a una distancia z resulta ser
2 22' 2 'cos( )
2 20 0
0 0
Rk kikzi i
z ze
P e d d ei z
E E (14)
Esta integral es complicada de resolver analíticamente. En la Fig. 7 se muestra la intensidad difractanda para
diversas distancias. Se observa que cuando estamos muy cerca del objeto, la intensidad se parece a la
geométrica excepto por una serie de anillos de luz cerca de los bordes. Sin embargo, enla zona central la
intensidad es bastante uniforme. No obstante, a medida que nos separamos el comportamiento se separa del
geométrico apareciendo máximos y mínimos de luz en el centro del círculo.
Fig. 7. Intensidad obtenida mediante la aproximación de Fresnel para una abertura de radio 0.5a mm ,
iluminada con un haz plano con longitud de onda 0.5 m para las distancias 10z mm ,
55.6z mm , 62.5z mm , 166.7z mm , 250z mm y 500z mm
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Podemos analizar este comportamiento estudiando analíticamente la intensidad en el eje, puesto que esta
integral sí es resoluble. Tomando (14) para ' 0
2 22'
2 20 0
0 0
Rk kikzi i
z ze
P e d d ei z
E E (15)
La primera integral se resuelve trivialmente y la segunda que se puede resolver obteniéndose
2
20 0
2 2 2
0 0
1
4 sin4
ki R
ikz zP e e
kI P R
z
E E
E .
(16)
y cuando z , mediante un desarrollo en series se obtiene
2
22
0 0
RI P
z
E (17)
teniendo un decaimiento cuadrático.
Fig. 8. Distribución de intensidad en el eje. A partir de una cierta distancia el decaimiento es inversamente
cuadrático.
P-SLM-03 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 9 de 14
3 Parte experimental
3.1 Esquema de montaje
Figura 1: Esquema de montaje.
3.2 Montaje experimental
El montaje experimental que se debe montar corresponde al de la Figura 2. Sin introducir ningún
objeto, gire el polarizador y observe como de este modo puede variar la intensidad que llega a la
cámara CCD, ya que el láser está linealmente polarizado. Las líneas verticales que aparecen cuando
la intensidad es elevada se producen por saturación de la cámara CCD y no siempre pueden
eliminarse en los experimentos de difracción que se van a realizar. En cualquier caso, en cada
experiencia gradúe la intensidad con el polarizador hasta ver una figura de difracción nítida.
Figura 2: Montaje experimental
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4 Realización experimental
4.1 Semiplano
En el laboratorio se dispone de varias funciones creadas en MATLAB y que se han explicado en la
práctica 1: Adecuación y calibración de un modulador espacial de luz (SLM). Comenzaremos
observando la difracción producida por una imagen en la que se muestra el borde de un objeto
(Figura 3). Para ello en el montaje de la Figura 2 desplazamos la lente convergente hasta que la
cámara CCD recoja una imagen lo más nítida posible. Si hemos realizado bien este procedimiento
Figura 3: Borde y figura de difracción.
Como podemos observar, la frontera entre los dos niveles de color no es abrupta haciendo evidente
que en esta situación la óptica geométrica ha dejado de ser válida produciéndose la difracción.
4.2 Rendija
A continuación vamos a observar este mismo fenómeno utilizando como objeto difractor una rendija
a la que vamos a ir aumentando el tamaño.
Figura 4: Rendija de 200 μm, 400 μm, 600 μm, 800 μm, 1000 μm
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Figura 5: Figuras de difracción producidas por la Figura 4
4.3 Abertura circular
En la Figura 5 vemos que al ir aumentando el tamaño de la rendija en la imagen objeto también se
produce un aumento en la figura difractada, sin embargo volvemos a tener presente una clara
difracción observándose en el interior de la rendija los órdenes. Otra de las aberturas típicas que se
utiliza en la óptica difractiva es la abertura circular que al igual que antes variaremos de tamaño tal y
como indica la Figura 6
Figura 6: Aberturas circulares de 4000 μm, 3000 μm, 2000 μm, 1000 μm, 500 μm
obteniendo la figuras de difracción que vemos a continuación
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Figura 7: Difracción producida por las aberturas de la Figura 6
En la Figura 7 podemos ver las figuras de difracción producidas al ir variando el tamaño de la
abertura circular. Como vemos, la disminución del tamaño conlleva una mejor observación de las
fluctuaciones cercanas al borde.
4.4 Abertura cuadrada
En la abertura cuadrada se vuelve a observar el mismo comportamiento.
Figura 8 circulares de 3000 μm, 2000 μm, 1000 μm, 500 μm
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Figura 9: Difracción producida por las aberturas cuadradas de la Figura 8
4.5 Lentes de Fresnel
La Lente de Fresnel, es un diseño de lente que permite la construcción de lentes de gran apertura y
una corta distancia focal sin el peso y volumen de material que debería usar en una lente de diseño
convencional. Cuando las lentes son grandes, su grosor puede hacerse excesivo, pues hacen la
lente muy pesada y cara. Por ello, se puede mantener los radios de curvatura de las lentes
separándolas en anillos circulares. El grosor de la lente en cada anillo es diferente, eliminando el
enorme espesor que tendría la lente de ser sus superficies continuas, mientras que la superficie
presenta un aspecto escalonado. Se emplean en lupas planas con formato de tarjeta de crédito,
linternas de los faros, faros de los automóviles, indicadores de dirección, etc.
En nuestro caso, vamos a enviar al modulador una lente de Fresnel en la que hemos ido variando el tamaño
de la focal.
Figura 10: Lente de Fresnel de focal de 100 cm, 50 cm, 20 cm
A la hora de la fabricación material de estas lentes debido a las técnicas actuales conviene que el la
lente sea diseñada de forma binarizada, es decir, que en vez de en escala de grises como las que
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hemos mostrado en la Figura 10 solo estén en blanco y negro. Esta mayor facilidad a la hora de la
fabricación no resulta gratuita ya que lleva consigo una perdida en la eficiencia difractiva. En la Figura
11 podemos ver las lentes de Fresnel de la Figura 10 binarizadas.
Figura 11: Lente de Fresnel de focal de 100 cm, 50 cm, 20 cm y binaria