Informe 02 - Analisis grafico.docx

Laboratorio de Física General Práctica 02 – Análisis de gráficas

Índice

Resumen..................................................................................................2

Principios Teóricos...................................................................................3

Procedimiento experimental....................................................................5

Evaluacion…………………………………………………………………………………………...10

Conclusiones............................................................................................13

Bibliografía…………………………………………………………………………………………..14

1


Resumen

Esta experiencia tuvo como objetivo aprender el correcto manejo de datos organizados en tablas, y aprender a interpretar las graficas y determinar las ecuaciones que corresponden a funciones polinómicas que encajen con los resultados experimentales. A partir de estas graficas de funciones se puede llegar a predecir con cierto grado de precisión el comportamiento de ciertos fenómenos físicos.

Se realizó la experiencia haciendo uso de papeles pre impresos milimetrados, logarítmicos, y semilogarítmicos, y se aprendió a transformar ecuaciones potenciales en lineales para poder plotear la información en el papel logarítmico.

2


Principios Teóricos

Grafica de una Función

En las matemáticas, la grafica de una función f es la colección de todos los pares ordenados (x, f(x)). En particular, si x es un número real, la gráfica de la función significa la representación grafica de esta colección, formando una curva en el espacio cartesiano.

Si la función tiene a x como un par ordenado de números reales (x 1, x2), la grafica es la colección de todas las ternas ordenadas (x1, x2, f(x1, x2)), y la representación grafica viene a ser una superficie (grafica tridimensional).

Los datos que se obtienen en un proceso de medición se organizan frecuentemente en tablas. Los valores ordenados en estas tablas, proporcionan valiosa información acerca de las relaciones entre las cantidades físicas observables. Una alternativa para establecer estas relaciones es construir estas representaciones gráficas referidas a un sistema coordenado dado. Para esto, normalmente, se usan coordenadas cartesianas y papeles con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas.

Regresión Lineal Simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores de las independientes.

La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le llama "'regresando"' ó "'variable de respuesta"'. La variable Independiente X se le denomina "'variable explicativa"' ó "'regresor"' y se le utiliza para explicar Y. Se calcula la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. Sin embargo, en la regresión lineal por lo general se tiene más que dos puntos de datos, y raras veces están todos en una sola recta. El problema es hallar la recta que ajusta los datos tan estrechamente posible.

y=mx+b

3


Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

Regresión Exponencial

Algunos problemas de regresión no lineal pueden linealizarse mediante una transformación en la formulación del modelo. Por ejemplo, consideremos el problema de regresión no lineal (ignorando el término de error):

y=aebx

Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación, se obtiene:

ln ( y )=ln (a )+bx

Lo cual sugiere una estimación de los parámetros desconocidos a través de un modelo de regresión lineal de ln ( y ) con respecto a x, un calculo que no requiere procedimientos de optimización iterativa. De todas formas, la linealización debe usarse con cuidado ya que la influencia de los datos en el modelo cambia, así como la estructura del error del modelo y la interpretación e inferencia de los resultados. Estos pueden ser resultados no muy convenientes. En caso de utilizar la función exponencial directamente, se deben de tomar algunas consideraciones.

y=aebx

Donde:

b= ∑ xy−¿ y∑ x

∑ x2−¿ x∑ x ¿¿

4


a= y−b x=eb

Procedimiento Experimentala. Materiales

Papel Milimetrado Papel Logarítmico Papel Semilogarítmico Calculadora

b. Procedimiento

Tabla 1: Medidas de Incremento de temperatura (ΔT) para dos volúmenes de agua.

Vagua(mL) 100 150T(min) ΔT(ºC) ΔT(ºC)0 0 01 6.5 4.52 13.0 9.03 19.5 14.04 27.0 18.0

Con los datos tabulados se procedió a realizar las graficas correspondientes de ΔT versus el tiempo (t), para los dos volúmenes indicados, haciendo uso del papel milimetrado. Utilizando software podemos hacer un grafico computarizado de los datos, y en el apéndice se adjuntan las graficas realizadas en el papel milimetrado.

Tabla 2: Medidas de tiempo de evacuación de agua de un deposito a través de una llave de cierto diámetro D de salida, tomadas para

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25

30

0

6.5

13

19.5

27

0

4.5

9

14

18

f(x) = 6.7 x − 0.200000000000001

f(x) = 4.55 x

Tabla 1 : ΔT (ºC) vs Tiempo (min)

150 mLLinear (150 mL)100 mLLinear (100 mL)

Tiempo t (min)

ΔT (º

C)


cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura h de agua del mismo depósito.

h (cm) 30 10 4 1D (cm) Tiempo de Vaciado t (s)

1.5 73.0 43.0 26.7 13.52.0 41.2 23.7 15.0 7.23.0 18.4 10.5 6.8 3.75.0 6.8 3.9 2.2 1.5

Con los datos tabulados se procedió a realizar las graficas correspondientes de t versus D, y t versus h. Utilizando software podemos hacer un grafico computarizado de los datos, y en el apéndice se adjuntan las graficas realizadas en el papel milimetrado y logarítmico.

Trabajo en el Papel Logarítmico

6

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50

10

20

30

40

50

60

70

80

Tabla 2 : t (s) vs D (cm) vs H (cm)

h=30cmPower (h=30cm)h=10cmPower (h=10cm)h=4cmPower (h=4cm)h=1cmPower (h=1cm)

Tiempo t (s)

Diám

etro

D (c

m)


Se debe de hacer la Regresión no Lineal, para lo que tabulamos:

H(cm) Tiempo de Vaciado30 73 41.2 18.4 6.810 43 23.7 10.5 3.94 26.7 15 6.8 2.21 13.5 7.2 3.7 1.5

∑x ∑y45 156.2 87.1 39.4 14.4

H(cm) x.y30 2190 1236 552 20410 430 237 105 394 106.8 60 27.2 8.81 13.5 7.2 3.7 1.5

∑x ∑x.y45 2740.3 1540.2 687.9 253.3

H(cm) x2

30 90010 1004 161 1

∑x ∑x2

45 2740.3

Utilizando la formula para la regresión exponencial:

b= ∑ xy−¿ y∑ x

∑ x2−¿ x∑ x ¿¿

b1 17.3969163b2 9.43303965b3 4.46123348b4 1.58898678

Y las pendientes:

m1 1.92471855m2 1.09706314m3 0.47900147m4 0.17875673

Siendo las funciones:

7


f 1: y=17,4 x1,93

f 2: y=9,43 x1,1

f 3: y=4,46 x0,48

f 4 : y=1,6 x0,18

Tabla 3: Medidas de actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4.3x10^18 núcleos.

T (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

Con los datos tabulados se procedió a realizar las gráficas correspondientes de t versus D, y t versus h. Utilizando software podemos hacer un gráfico computarizado de los datos, y en el apéndice se adjuntan las gráficas realizadas en el papel milimetrado y logarítmico

8

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51

10

100

1000

Tabla 2 : t (s) vs D (cm) vs H (cm)

h=30cm

Exponential (h=30cm)

h=10cm

Exponential (h=10cm)

h=4cm

Exponential (h=4cm)

h=1cm

Exponential (h=1cm)

Tiempo t (s)

Diám

etro

D (c

m)


9

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

2

4

6

8

10

12

f(x) = − 5.56664470929875 ln(x) + 25.6454751769805

Tabla 3: A (%) vs Tiempo (días)

Desintegración Radiactiva

Porcentaje A (%) (Cartesiana)

Tiem

po T

(Día

s)

1 10 100 10000

2

4

6

8

10

12

f(x) = − 5.56664470929875 ln(x) + 25.6454751769805

Tabla 3: A (%) vs Tiempo (días)

Desintegración RadiactivaLogarithmic (Desintegración Radiactiva)

Porcentaje A (%) (Logarítmica)

Tiem

po T

(Día

s)


Evaluación1. Adjuntar la gráfica de la tabla 1 y hallar la ecuación experimental por el método de mínimos

cuadrados. (hoja adjunta)

2. Si la fuente de calor es constante y la temperatura inicial del agua fue de 20ºC. ¿cuál es el tiempo que transcurrirá para que el volumen de agua de 100 ml alcance la temperatura de ebullición? (hoja adjunta)

3. Analice y discuta la gráfica obtenida de la tabla 1. ¿cuál es el significado físico de la pendiente y el intercepto?

Se observa que teniendo de volumen constante a 100 mL la gráfica de este muestra una elevación en la temperatura mientras el tiempo también se incrementa, la recta del volumen constante 150 mL no presenta un incremento tan pronunciado de la temperatura por lo que se deduce que mientras más volumen del líquido se tenga, menor variación de temperatura por tiempo.

4. Considerando las distribuciones no lineales correspondientes grafique:

a) t = t (h) en papel logarítmicob) A = A (t) en papel semilogarítmico.c) t = t (D) en papel logarítmico.d) Primero calcule z=1/D2 y luego grafique t = t (z) en papel milimetrado.

(hojas adjuntas)

5. Halle el tiempo en que los núcleos de radón sufren una desintegración del 50%

10

Xi Yi XiYi Xi2

0 100 0 0 m=−976812101 84 84 1

2 70 140 4 m=-8.072727273 59 177 94 49 194 165 41 205 25 b=106590

12106 34 204 367 27 189 49 b=88.090918 24 192 649 20 180 81 Y=50

10 17 170 100 X=4.7184684755 525 1737 385 Y=-8.07x+88.09


6. Encuentre los nuevos valores Yia obtenidos usando la formula experimental con los valores experimentales de salida Yi aplicado al caso t =t (D).

Xi Yi XiYi Xi2

1.50 39.05 58.58 2.25 m=−255.462528.752.00 21.78 43.55 4.0

3.00 9.85 29.55 9.00 m=-8.885652175.00 3.60 18.00 25.00

11.50 74.28 149.68 40.25 b=1268.3062528.75Ecuación Y=-8.89X+44.12

b=44.115

7. Compare los valores valores Yia obtenidos usando la formula experimental con los valores de salida Y i medidos o experimentales aplicado a los casos: t = t (D)

8. Calcule w = {(h)1/2 }/ (D)2´ para las alturas y diámetros correspondientes a:

9. Grafique t = t (w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal determine el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente, t=t(h,D) (hoja adjunta)

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T (s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5W 2.43 1.41 0.89 0.50 0.35 0.13 0.04


10. Halle los tiempos de vaciado del agua con la fórmula experimental que obtendrá en la pregunta 9. Usando los datos e interpolación y extrapolación

11. Dibujar sobre un papel milimetrado una escala logarítmica horizontal de 2 ciclos (décadas ), cada ciclo tendrá una longitud de 10 cm, y una escala vertical de 4 ciclos; cada ciclo de longitud 5 cm. Grafique los puntos A (7, 0; 0,5); B(15, 9); C(60, 45). (hoja adjunta).

12. La gráfica muestra el comportamiento de las variables P y R en papel logarítmico para algunos valores fijos de la variable Q .

Según esto encuentre:

El valor de P para R = 4.5 Y Q = 30 aproximadamente.

P = La ecuación que relaciona P y Q

considerando R = 9.

3 P = 2 Q La ecuación que relaciona las tres

varialbes:

P = 2 Q R₋1/2

12

Casos Altura h (cm) Diámetro D (cm) Tiempo t (s)01 20 4.0 4.6802 40 1.0 5.0003 25 3.5 4.8904 49 1.0 5.03


Conclusiones

Hemos observado que el trazado de graficas exponenciales resulta en una imprecisión y dificultad para realizarse en el papel milimetrado, es por esto que es beneficioso el uso de un papel logarítmico. Las demás relaciones que puedan ser graficadas y cuya tendencia resulte en una línea, pueden ser fácilmente representadas en el papel milimetrado.

Tras observar la línea de tendencia, podemos ver que algunos datos “saltan” o escapan de la línea de tendencia, y a estos datos los podemos considerar errores o desviaciones en las mediciones realizadas. Esto demuestra que la línea de tendencia representa un promedio de las lecturas, y debe de ser tomada de tal forma que la mayoría de los datos se ajusten lo más estrechamente posible a esta.

Cuanta mayor sea la desviación de los datos, menos precisa resulta la aproximación de la línea de tendencia, es así que en algunos casos tenemos que realizar aproximaciones más precisas, como en el caso de la regresión exponencial, regresión logarítmica e incluso en algunos casos, regresión polinómica, pero para la experiencia solo tuvimos que trabajar con los dos primeros de estos.

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ANEXOS

Hoja logarítmica

14


Hoja milimetrada

Bibliografía

G.A.F Seber and C.J. Wild. Nonlinear Regression. New York: John Wiley and Sons, 1989.

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