Universidad Técnica particular de Loja

Equilibrio de un cuerpo rígido

Mecánica Racional

Stephanie Espinosa Torres Diego González Freire Rosalba Torres Bailón

Diego Valdivieso Eguiguren07/11/2011

Ing. Carla Cartuche Carchi

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Equilibrio de un Cuerpo Rígido

Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. La rama de la mecánica que estudia el equilibrio estático de los cuerpos se llama estática.

1. Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido:

Primera Condición: La suma de las fuerzas aplicadas al cuerpo es cero.

ΣF = 0 F1 + F2 +….+ Fn = 0

Segunda Condición: Es la suma algebraica de los momentos con respecto a un punto de las fuerzas aplicadas es igual a cero.

ΣM = 0

M 1 +M 2 +….+Mn = 0

2. Diagrama de Cuerpo Libre en dos dimensiones

La aplicación exitosa de las ecuaciones de equilibrio requiere de una explicación completa de todas sus fuerzas externas conocidas y desconocidas

F2

F3

F1

F4

i

z

y

xO

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que actúan sobre el cuerpo. Una excelente manera de tomar todas estas fuerzas es trazando el diagrama del cuerpo, o contorno del mismo.Sobre dicho croquis es necesario apuntar todas las fuerzas y par de momentos que se puedan ser considerar para aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Reacciones en los soportes: se deben de considerar diversos tipos de reacciones antes de empezar a trazar el diagrama.Fuerzas externas e internas: Como cuerpo rígido esta compuesto por partículas, pueden actuar sobre el tanto cargas externas como internas, al trazar el diagrama no se incluyen dichas fuerzas externas.

Peso y centro de gravedad: Cuando el cuerpo esta expuesto a un campo gravitatorio, cada partícula va a tener un peso especifico, al peso se lo considera como una fuerza externa y su efecto indica como una sola fuerza resultante actuando a través del centro de gravedad del cuerpo.Modelos idealizados: Para efectuar un análisis de fuerzas correcto de cualquier objeto, es importante considerar un modelo analítico o idealizado de que sus resultados se aproximen tanto como sea posible a la situación real.

3. Ecuaciones de Equilibrio (dos dimensiones)En esta sección solo necesitaremos dos ecuaciones indispensables para obtener el equilibrio de un cuerpo rígido las que son: ∑Fx=0, ∑Fy=0 y ∑Mo=0. Se suma las fuerzas a lo largo de un eje de manera que elimine tantas fuerzas desconocidas como sea posible, também debemos sumar los momentos con respecto a un punto O que pase por la línea acción de tantas fuerzas desconocidas como sea posible.

4. Miembros de dos y tres fuerzasLa resolución de algunos problemas de equilibrio puede ser mas simplificada cuando es posible reconocer los miembros que se les esta aplicando dos o tres fuerzas:

Miembros de dos fuerzas: Es aquel que no está sometido a momentos de par y se aplican fuerzas en sólo dos puntos sobre dicho miembro.

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Miembros de tres fuerzas: Si un miembro esta sometido a solo tres fuerzas, es necesario que dichas fuerzas sean concurrentes o paralelas para que el miembro este en equilibrio.

Fuerzas concurrentes y paralelas

5. Diagrama de cuerpos libres (Tres dimensiones)

Para resolver problemas tridimensionales primeramente se requiere trazar el diagrama de cuerpo libre.

Reacciones de soporte: Una fuerza es desarrollada por un soporte que restringe la traslación del miembro conectado, mientras que un momento de par se desarrolla cuando la rotación del miembro conectado es prevenida.

A

B

F3F2

F6

F5 F4

F1F3

F3F2

F1

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6. Ecuaciones de EquilibrioPara lograr el equilibrio de un cuerpo rígido el cual esta sometido a un sistema tridimensional de fuerza requieren que la fuerza resultante y el momento par resultante que actúan sobre el cuerpo sean igual a cero.

Ecuaciones vectoriales de equilibrio: Las condiciones se las puede expresar en forma vectorial: ∑F=0; ∑Mo=0, donde ∑F es la sumatoria de las fuerzas externas y ∑Mo es la sumatoria de los momentos par y los momentos de todas las fuerzas con respecto de O.

Ecuaciones escalares de equilibrio: Se las expresa en la forma vectorial cartesiana como: ∑F=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk y ∑Mo=∑Mxi+∑Myj+∑Mzk .

7. Restricciones para un cuerpo rígidoPara asegurar el equilibrio de un cuerpo rígido no solo es necesario satisfacer las ecuaciones, sino que el cuerpo esta sostenido o restringido por soportes; en algunos cuerpos suelen tener mas que los necesarios y otros cuerpos no tienen los soportes necesarios, existen dos casos:

Restricciones Redundantes: Cuando tiene soportes redundantes, es decir más de los necesarios para mantenerlo en equilibrio se vuelve estáticamente indeterminado (más cargas desconocidas).

Restricciones Impropias: En algunos casos puede haber tantas fuerzas desconocidas sobre el cuerpo como ecuaciones de equilibrio; sin embargo puede mostrar inestabilidad debido a las restricciones impropias de los soportes.

8. Ejercicios de Aplicación

5-2 Trace el diagrama de cuerpo libre de la perforadora manual que está articulada en A y se apoya sobre la superficie lisa en B.

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5-12 Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa en el pasador A de la perforadora en el problema anterior.

∑ F x=0 ∑M B=0

Ax-8lb =0 8lb (1,5 pies) - A y (2 pies )=0Ax= 8 lb A y = 6 lb

F A= √A x2−A y2 F A= √(8 lb )2−(6 lb )2 F A= 10 lb //Rta

5-32 El carro deportivo tiene masa de 1.5 Mg y centro de masa G. Si cada uno de los dos resortes frontales tiene rigidez de k A = 58 kN/my los dos resortes posteriores tiene rigidez de k B = 65 kN/m, determine sus compresiones cuando el carro está estacionado sobre un camino de 30° de pendiente. También ¿Qué fuerza de fricción FBdebe ser aplicada a cada una de las ruedas posteriores para mantener el carro en equilibrio?

Sugerencia: Determine primero la fuerza normal en A y B, y luego calcule la compresión en los resortes.

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∑M B=0

14,7 N(cos 30°)( 1,2 ) – 14,7N(sen 30°)( 0,4 ) - 2N A( 2 ) = 0N A = 3284 N

∑ F x=0

2 FB – 14,7N ( sen 30°) = 0

FB = 3678 N

∑ F y=02 N B+ 2(3087 N) – 14,7N (cos 30°) = 0

N B= 3284 N

Compresión en los resortes

X = F pk

x A= 3087

58∗10−3 = 53,2 mm//Rta

xB= 3284

65∗10−3 = 50,5 mm//Rta

5-52 La viga rígida de peso insignificante está soportada horizontalmente por dos resortes y un pasador. Si los resortes no están comprimidos cuando se retire la carga. Determine la fuerza presente en cada resorte cuando se aplica la carga P. Calcule también la deflexión vertical del

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extremo C. Suponga que la rigidez k del resorte A es lo suficientemente grande como para que se representen sólo deflexiones pequeñas.

9. Sugerencias: La viga gira con respecta a A y las deflexiones en los resortes puedan estar relacionadas.