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Informe de laboratorio de física general I acerca del momento de inercia
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Universidad de Costa Rica Facultad de CienciasEscuela de Física
Laboratorio de Física General I Informe #7
“Momento de Inercia I y II”
Profesor:Marcos Segura
Estudiante:Andrea Arce VenegasCarné: B10532
Fecha: 23-10-2012
Resumen
En éste informe se explicará el momento de inercia para movimiento rotatorio, y
además se determinará el momento de inercia de diversos sólidos. Se sabe que la
primera Ley de Newton tiene su equivalente rotatorio, en el concepto que afirma
que “un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo
en movimiento giratorio uniforme tiende a permanecer con ese movimiento,
excepto cuando actúa sobre él un par de torsión”. Eso es lo que se desea estudiar
en el Laboratorio, aplicar ésta primera ley en el movimiento rotatorio, del cual se
obtiene el concepto de inercia. Para esto, se medirán tiempos para poder obtener
velocidades y aceleraciones angulares que se usaran para graficar y obtener un
valor experimental de la gravedad, para poder obtener el momento de inercia
experimental, y compararlo con el momento de inercia teórico, y determinar
posibles fuentes de error, en caso de que hubiesen. Lo mismo se hará con los
sólidos, se medirán periodos de oscilación para obtener datos experimentales y
compararlos con el teórico, y establecer así un porcentaje de error entre éstos.
Introducción
La primera ley de Newton también aplica para objetos que tienen un movimiento
giratorio o de rotación, así como para objetos que poseen una trayectoria lineal. La
primera ley dice que este objeto va a permanecer en movimiento hasta que una
fuerza externa lo detenga, así sucederá con un objeto que posea un movimiento
rotatorio uniforme tiende a permanecer con este movimiento.
El momento de inercia se puede decir que es una medida de la resistencia de un
objeto a cambiar su movimiento rotacional, así como la masa es una medida de la
tendencia de un cuerpo a resistir el cambio en su movimiento traslacional.
Como se dijo anteriormente, la inercia aplica por igual a movimientos rotatorios,
por lo tanto se llama inercia rotacional y se puede definir como la resistencia al
cambio de movimiento rotativo. Esta inercia rotacional se relaciona con la cantidad
de masa que posea el objeto y su distribución con el eje de rotación, a este
concepto se le llama Momento de Inercia. Cuanto más lejos del centro de rotación
y más masa haya mayor es el momento de inercia. Esto se puede apreciar en la
definición matemática de momento de inercia.
I ≡∑i
miri2
Donde mi es la masa de la i-ésima partícula y ri el radio de esta.
El par de torsión es el causante de modificar el movimiento giratorio de un cuerpo,
este es el momento de la fuerza. Si se aplica una fuerza a un objeto que rota, su
aceleración angular va a ser provocada por la sumatoria de los pares de torsión
que actúa sobre cada partícula del objeto.
Στ=Σmr2
El lado derecho de la ecuación corresponde a la sumatoria de todos los momentos
de inercia de cada partícula que compone el sólido rígido.
El cálculo de momentos de inercia de un cuerpo en torno a un eje puede ser
complicado, incluso si el cuerpo es bastante simétrico. Solamente si el cuerpo
tiene una geometría simple o gran simetría y con un eje de rotación que coincida
con un eje de simetría, es posible calcular su momento de inercia. De lo contario
se utiliza un teorema importante, el cual es llamado teorema del eje paralelo, el
cual corresponde a otro informe, por lo cual no se profundizará en este.
Además es importante hablar del momento de torsión, el cual es la tendencia de
una fuerza a dar vuelta en torno a un eje a un objeto. Un ejemplo seria cuando
empujamos una puerta, se aplica una fuerza perpendicular a la superficie de la
puerta cerca de las bisagras y luego en diferentes posiciones desde la bisagra, la
puerta rotará más rápido al aplicar la fuerza cerca de la perilla que de las bisagras.
En el experimento de laboratorio se utilizará la siguiente ecuación para obtener el
momento de inercia del disco. Se utilizará un método indirecto de hallar el
momento de inercia.
1α= 1m ( I
gr )+ rg
El momento de inercia se puede decir que es una medida de la resistencia de un
objeto a cambiar su movimiento rotacional, así como la masa es una medida de la
tendencia de un cuerpo a resistir el cambio en su movimiento traslacional.
La primera ley de Newton también aplica para objetos que tienen un movimiento
giratorio o de rotación, así como para objetos que poseen una trayectoria lineal. La
primera ley dice que este objeto va a permanecer en movimiento hasta que una
fuerza externa lo detenga, así sucederá con un objeto que posea un movimiento
rotatorio uniforme tiende a permanecer con este movimiento.
Como se dijo anteriormente, la inercia aplica por igual a movimientos rotatorios,
por lo tanto se llama inercia rotacional y se puede definir como la resistencia al
cambio de movimiento rotativo. Esta inercia rotacional se relaciona con la cantidad
de masa que posea el objeto y su distribución con el eje de rotación, a este
concepto se le llama Momento de Inercia. Cuanto más lejos del centro de rotación
y más masa haya mayor es el momento de inercia. Esto se puede apreciar en la
definición matemática de momento de inercia.
I ≡∑i
miri2
Donde mi es la masa de la i-ésima partícula y ri el radio de esta.
El momento de fuerza que actúa sobre un sólido rígido está relacionado con el
momento angular, el sistema de coordenadas tiene origen en el centro de
gravedad del cuerpo rígido. Por lo tanto lo anterior se determina matemáticamente
de la siguiente manera.
τ=d Ldt
Donde τ es el momento de fuerza y L es el momento angular.
El momento angular también se puede expresar en términos de la velocidad
angular ω y el tensor de inercia I , de la siguiente forma.
L=Ì· ω⃗
Como en el experimento de laboratorio ω⃗ solo tiene una dirección en el eje
principal de inercia L solo tiene una componente en el eje “z”.
L z=I z ·ω
Para saber la constante del resorte que se utiliza en la práctica de laboratorio se
utiliza la siguiente ecuación
τ z=−k ·ϕ
Donde ϕ es el ángulo de rotación, y donde K es la constante de restauración del
resorte.
Además se puede utilizar la siguiente ecuación para movimiento oscilatorio que se
presenta en el experimento de laboratorio.
d2ϕd2t
+DI zϕ=0
Y la ecuación que utilizamos con más frecuencia para el experimento de
laboratorio, para obtener los momentos de inercia de los diferentes cuerpos
utilizados es
I z=(T2 )2
·Kπ2
Los objetivos de ésta práctica son plantear la Primera Ley de Newton para el
movimiento rotatorio, comparar los momentos de inercia determinados
experimentalmente con los que plantea la teoría, y también para diferentes
sólidos.
Procedimiento/materiales y métodos
Ésta práctica se dividió en dos partes: la primera parte consistió en plantear la
Primera Ley de Newton (ley de la Inercia) para el movimiento rotatorio, y
determinar los momentos de inercia experimentales, para el cual se utilizaron los
siguientes instrumentos: vernier, pie cónico, cojinete de aire, disco de rotación con
diafragma, porta masas, barrera foto eléctrica, polea de precisión, soplador, 2
contadores digitales y una balanza. Lo importante en ésta parte era nivelar bien el
disco, para poder obtener buenos resultados, ya que el ejercicio consistía en medir
el tiempo al iniciarse el movimiento del disco (cuando pasa la fotocelda 1), y el
tiempo al final del recorrido (cuando pasa la fotocelda 2). El ejercicio es medir esos
tiempos, manteniendo el radio y el ángulo entre fotoceldas constantes, pero
alternando la masa. Para ésta parte se usaron las siguientes fórmulas:
ω= δθδt
(1)
α=ω2−ω1t2−t1
=∆ω∆ t
(2)
I=1/2M R2 (3)
g=r /b (4)
I=m ·g · r (5)
% error=Valor te ó rico−Valor Experimentalvalor te ó rico
·100 (6)
En la segunda parte de la práctica, se debía determinar el momento de inercia de
diversos sólidos, para el cual se usaron los siguientes instrumentos: pie cónico,
resorte de espiral, esfera, cilindro, sólidos, regla graduada, dinamómetro, cilindro
hueco y varilla con masas puntuales, cables de conexión, nivel, balanza, contador
digital, barrera foto eléctrica. El primer ejercicio fue determinar el momento angular
de restauración, en el cual se sujetó el disco al tornillo central de soporte y colocar
el disco graduado, para que, con el dinamómetro enganchado al tornillo y
perpendicular al radio, medir la fuerza que indica el dinamómetro, rotando el disco
cada cinco grados. El segundo ejercicio consistió en determinar el periodo de
oscilación de cualquiera de los cuerpos a utilizar, en el cual se usó solo una
fotocelda, que era la que indicaba los semi periodos. Se colocó la aguja del cuerpo
de forma que ésta cuando esté en reposo quede dentro de la fotocelda, se debe
medir un semi periodo en sentido horario y otro en sentido anti horario, sumarlos y
ese será el periodo total. En ésta parte se usaron las siguientes fórmulas:
τ=r x F (7)
I z=(T2 )2
·Kπ2
(8)
τ z=−k·ϕ (9)
Resultados
En la primera parte, usando la fórmula 1 se determinó la velocidad angular con la
que iba cada masa, donde δθ es el ancho que cubre la pestaña o diafragma, el
cual era de 3.5 grados, es decir, 0,061086524 radianes, y δt es el tiempo
promedio. Así, por ejemplo, para determinar la velocidad angular de la masa de
10kg se usó ω=0.0610865240.041386
=1,47601904 rad /s, y así se hizo con las demás
masas, para poder obtener los datos presentes en ésta tabla:
Tabla 1. Velocidad angular de las masas
Masa colgada (kg)
Velocidad angular (rad/s)
10 1,47601903620,5 2,04460032230,5 2,44806331241,4 2,780958018
50 3,06628470160 3,325703605
70,5 3,592057146
80,5 3,79631619Con la fórmula 2, se determinó la aceleración angular de cada masa, se inicia
desde el reposo, por lo tanto la velocidad angular inicial es cero, por lo tanto, al
calcular la aceleración angular de la masa de 10kg, queda
α=1,4760190361.8142
=0.81359224 rad /s2, así se calcularon las aceleraciones de las
demás masas.
Tabla 2. Aceleraciones angulares de las masas
Masa colgada (kg)
Aceleracion Angular (rad/s²)
10 0,813592237
20,5 1,676314112
30,5 2,434987429
41,4 3,201766142
50 3,865665714
60 4,662353823
70,5 5,442016098
80,5 6,119833299
También, se obtuvo el momento de inercia teórico del disco, usando la fórmula 3,
donde la masa del disco era 643g y su radio de 0,18m. Así:
I=120 ,643(0,18)2=0,0104166kgm ²
Con la fórmula 5 se obtuvo el momento de inercia experimental del disco, para el
cual “r” era el radio de aplicación, en nuestro caso 0,09m, “g” es el valor
experimental de la gravedad. Éste se obtuvo usando la fórmula 4, para el cual se
ocupa realizar una gráfica del inverso de la aceleración angular en función del
inverso de la masa.
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f(x) = 12.1339839030054 x + 0.0131269599910702R² = 0.999856280758626
Series2Linear (Series2)
Figura 2. Gráfica del inverso de la aceleración en función del inverso de la masa
En ésta gráfica el intercepto es 0,0131, y usando la fórmula 4 ya se puede obtener
el valor experimental de la gravedad, que sería:
g= 0,090,0131
=6,870229008m / s ²
Con éste valor experimental de “g” se puede obtener el momento de inercia
experimental, usando la fórmula 5. Así:
I= 0,01*0,09*6,87=0,006183206 kgm²
Tabla 3. Momento de Inercia experimental de cada masa
masa (kg) radio (m) gravedad (m/s²)0,01 0,09 6,870229008 0,006183206
0,0205 0,09 6,870229008 0,0126755730,0305 0,09 6,870229008 0,0188587790,0414 0,09 6,870229008 0,025598473
0,05 0,09 6,870229008 0,0309160310,06 0,09 6,870229008 0,037099237
0,0705 0,09 6,870229008 0,0435916030,0805 0,09 6,870229008 0,049774809
0,028087214
Con el valor experimental y teórico, se puede determinar el porcentaje de error de
las medidas, usando la fórmula 6. Así:
% error=0,0104166−0,0061832060,0104166
·100=40,6408425%
En la segunda parte, usando la fórmula 7 se obtuvo el torque, así por ejemplo, la
medida 1 que corresponde a 0,087266463 radianes, se obtuvo:
τ= 0,25*0,14= 0,035Nm
Y así se obtuvo para cada medida:
Tabla Torque de cada ángulo
Torque (Nm)
Angulo (rad)
0,035 0,087266463
0,063 0,174532925
0,1155 0,261799388
0,14 0,349065850,1715 0,43633231
30,2065 0,52359877
6
Además, se realizó una gráfica de Ángulo en función del torque
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
f(x) = 2.50810959806469 x − 0.000347742731712397R² = 0.991558252224984
Series2Linear (Series2)
Figura 1. Gráfica de Angulo en función del torque
También, usando la fórmula 9, se determinó la constante de resorte, así por
ejemplo, para la primera medida la constante de resorte se obtuvo usando
τ z=−k·ϕ , donde τ z es el dato de torque obtenido y ϕ es el ángulo de separación,
así para la primera medida:
−k= 0,0350,087266463
=−0,4010704548
Y así se realizó para las demás medidas
Tabla. Constante de resorte
Constante de resorte
0,401070457
0,360963411
0,441177502
0,401070457
0,393049047
0,394385949
Con todos estos datos se obtuvo una constante promedio de 0,39861947
La segunda parte consistía en determinar el momento de inercia de una esfera y
de un cilindro sólido, para el cual se utilizó la fórmula 8. Primeramente, se midió el
periodo de oscilación de cada uno, pero como solo se usaba una fotocelda, ésta
medía solo medio periodo, por lo cual se midieron dos periodos, usando un ±ᵦ, el
resultado se sumaba y ya se obtenía el periodo total de oscilación (representada
como T en la ecuación 8).
Usando la fórmula 8 se obtuvo el momento de inercia de una esfera:
I z=( 1,698132 )2
·0,4050704548
π 2=0,02958780174 Kgm²
El momento de inercia de un cilindro sólido:
I z=( 0,9758352 )2
·0,4050704548
π2=0,0097706535 Kgm²
Tabla. Momento de Inercia de diversos sólidos
Cuerpo Momento de inercia I (kgm2)Cilindro Sólido 0,0097706535
Esfera sólida 0,0295878017 4
Discusión
De acuerdo con la gráfica 1, surgió la interrogante sobre ¿Qué significado físico
tiene la pendiente y la intercepción? Si se toma la ecuación 1α= 1m ( I
gr )+ rg
, la cual
es la ecuación de la recta, en este caso esta ecuación aplica para la gráfica 1, por
lo tanto la pendiente de las gráficas es igual al momento de inercia entre el radio
por la gravedad. Además la intercepción de las gráficas es el radio entre la
gravedad.
Además durante la práctica el profesor solicitó que se nivelara el disco y colocar la
fotocelda al inicio del movimiento, pero, ¿Cuál era la importancia de que éste
permaneciera nivelado? Nivelar el disco es importante porque la cuerda tiene que
estar en una posición perpendicular al eje de rotación del disco, de esta manera la
tensión de la cuerda genera que el torque sea igual al producto del radio por la
fuerza que en este caso es la masa que cuelga. Además si el disco esta nivelado
la gravedad no afectará el experimento. Y ¿Por qué había que colocar la primera
fotocelda al inicio del movimiento? Se coloca la primera fotocelda al inicio del
movimiento para facilitar los cálculos, ya que se si se hace de esta manera se
tiene que la velocidad angular inicial es igual a cero. Si se coloca la fotocelda 2 al
inicio el disco ya vendría con una velocidad angular por lo que los cálculos se
complicarían un poco más.
También, durante la práctica siempre se mantuvo constante los ángulos, pero ¿por
qué?, ¿Influirá en los resultados? Si se varia el ángulo los tiempos de cada
fotocelda serian diferentes, ya que al diafragma le tomaría más tiempo en recorrer
una distancia angular mayor, así como le tomaría menos tiempo en recorrer una
distancia angular menor. Por lo que la aceleración angular variaría con cada
ángulo.
Al finalizar la práctica, con la obtención de valores experimentales y teóricos de
momento de inercia, hubo un gran porcentaje de error, ¿Qué pudo haber causado
error? Uno de los principales errores seria nivelar de manera equivocada el disco
como ya se aclaró en la pregunta dos. Además afecta bastante que la cuerda no
esté debidamente colocada en la polea, también existe el error humano, como no
iniciar el movimiento aproximadamente en el mismo lugar, o que se le dé un
empuje pequeño al disco cuando este se libera. Que los contadores estén
colocados de manera incorrecta.
En la segunda parte, al graficar Ángulo en función del torque, se pudo observar
que los datos fueron bastante precisos, por lo que formaban una línea casi recta, y
el valor de la constante de resorte entonces si es bastante aproximado al real.
Conclusión
Estudiando el momento de inercia como se realizó en el experimento de
laboratorio y también a partir del análisis de los resultados se puede concluir que
la primera ley de Newton se cumple por igual para un objeto en rotación, ya que se
observó que el equivalente de la inercia en movimiento rotacional es el momento
de inercia, por lo que también se es capaz de aplicar la segunda ley de Newton,
como se aplicó en las ecuaciones que hicieron posibles encontrar el momento de
inercia experimental del disco para cierto radio, así como los valores
experimentales de la gravedad.
Así mismo se compararon los valores de los momentos de inercia experimentales
con el teórico, y claramente son bastante alejados, esto se puede deber a una
mala colocación de los instrumentos o errores personales, pero a pesar de que los
datos no arrogaron lo esperado, quedó claro el significado de momento de inercia
el cual es el objetivo principal del informe.
Bibliografía
-Loría Meneses L. Guía de Laboratorio Física general 1, 2012. pp. 63-77
-Serway R; Jewett J. Física para ciencias e ingeniería. 7ª edición. Editorial
CENGAGE Learning. 2008 pp. 276-285.
Anexos
Tabla 1. Momento de Inercia
Tabla 2. Momento de Inercia
Tabla 3. Resumen de Experimento
Radio de Angulo Masa Inverso de Velocidad Aceleracion Inverso de
Masa colgada t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 Tiempo promedio10 1,822 1,759 1,737 1,804 1,817 1,89 1,89 1,826 1,772 1,825 1,8142
20,5 1,199 1,219 1,222 1,201 1,227 1,251 1,203 1,236 1,22 1,219 1,219730,5 0,9954 0,998 1,011 1,011 1,01 0,9997 1,008 1,009 0,9946 1,017 1,0053741,4 0,8799 0,8701 0,8538 0,869 0,8734 0,8649 0,8704 0,8794 0,8627 0,8621 0,86857
50 0,7781 0,7957 0,7995 0,8037 0,7986 0,7858 0,806 0,7799 0,7899 0,7949 0,7932160 0,7197 0,6885 0,723 0,7149 0,7105 0,714 0,7155 0,7 0,7267 0,7203 0,71331
70,5 0,648 0,6661 0,6484 0,6634 0,6653 0,6579 0,6616 0,6642 0,6633 0,6624 0,6600680,5 0,6295 0,6362 0,6062 0,604 0,6151 0,6352 0,6246 0,6254 0,6007 0,6264 0,62033
Masa colgada δt1 δt2 δt3 δt4 δt5 δt6 δt7 δt8 δt9 δt10 tiempo promedio10 0,04207 0,04089 0,0414 0,04115 0,04115 0,0417 0,04146 0,04146 0,04115 0,04143 0,041386
20,5 0,02982 0,03015 0,02982 0,02988 0,02988 0,02988 0,02982 0,02979 0,02985 0,02988 0,02987730,5 0,02503 0,025 0,025 0,02503 0,025 0,025 0,025 0,02475 0,025 0,02472 0,02495341,4 0,0253 0,02165 0,0214 0,02165 0,02156 0,02159 0,02162 0,02159 0,02165 0,02165 0,021966
50 0,02003 0,02003 0,01982 0,02012 0,01982 0,02009 0,01982 0,01985 0,01982 0,01982 0,01992260 0,01829 0,01829 0,01851 0,01854 0,01829 0,01832 0,01835 0,01829 0,01829 0,01851 0,018368
70,5 0,01707 0,01707 0,0168 0,01707 0,01707 0,01702 0,01707 0,01704 0,01702 0,01683 0,01700680,5 0,01652 0,0161 0,01585 0,01613 0,01594 0,01616 0,01607 0,01591 0,01607 0,01616 0,016091
aplicación la masa angular angular aceleración0,09 0,06108652
410 0,1 1,476019036 0,813592237 1,229116939
0,09 0,061086524
20,5 0,048780488
2,044600322 1,676314112 0,596546908
0,09 0,061086524
30,5 0,032786885
2,448063312 2,434987429 0,410679738
0,09 0,061086524
41,4 0,024154589
2,780958018 3,201766142 0,31232762
0,09 0,061086524
50 0,02 3,066284701 3,865665714 0,258687655
0,09 0,061086524
60 0,016666667
3,325703605 4,662353823 0,214483936
0,09 0,061086524
70,5 0,014184397
3,592057146 5,442016098 0,183755428
0,09 0,061086524
80,5 0,01242236 3,79631619 6,119833299 0,163403144
Tabla 4. Constante de Resorte
Medida Angulo (rad) Fuerza Torque1 0,08726646
30,25 0,035
2 0,174532925
0,45 0,063
3 0,261799388
0,825 0,1155
4 0,34906585 1 0,145 0,43633231
31,225 0,1715
6 0,523598776
1,475 0,2065
Tabla 5. Momento de Inercia de una esfera
Medida Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio
1 0,785398163
0,8027 0,8007 0,8017 0,8078 0,8086 0,8043
2 1,047197551
0,8256 0,8269 0,8254 0,8241 0,826 0,8256
3 1,308996939
0,8399 0,8418 0,8411 0,8399 0,8419 0,84092
4 1,570796327
0,8528 0,8512 0,8504 0,8505 0,8501 0,851
Periodo promedio
0,830455
Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio-0,785398163 0,8738 0,8739 0,8729 0,8742 0,8725 0,87346-1,047197551 0,8688 0,8684 0,8687 0,8688 0,8695 0,86884-1,308996939 0,8613 0,8612 0,8612 0,8612 0,8614 0,86126-1,570796327 0,8673 0,8676 0,867 0,867 0,8668 0,86714
Periodo promedio 0,867675
Tabla 6. Momento de Inercia de un cilindro sólido
Medida Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio
1 0,785398163
0,471 0,4708 0,4695 0,4679 0,4656 0,46896
2 1,047197551
0,4826 0,4809 0,4787 0,4791 0,4782 0,4799
3 1,308996939
0,4865 0,4851 0,484 0,4834 0,4836 0,48452
4 1,570796327
0,4724 0,4689 0,4686 0,4656 0,4649 0,46808
Periodo promedio
0,475365
Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio
-0,785398163 0,5184 0,5189 0,5193 0,5187 0,5193 0,51892-1,047197551 0,5128 0,5122 0,5125 0,5126 0,5125 0,51252-1,308996939 0,5122 0,5115 0,5111 0,5109 0,5106 0,51126-1,570796327 0,4677 0,4595 0,4567 0,4561 0,4559 0,45918
Periodo promedio 0,50047