Embed Size (px)
Citation preview
Colegio
María Teresa Cancino Aguilar
Geometría Analítica
LLaa rreeccttaa ccoommoo lluuggaarr ggeeoommééttrriiccoo
LIBRO DE EJERCICIOS
• Vaitiare Araneda Zúñiga • Daniela Díaz Bustos • Shlomit Mancilla Rojas • María Teresa Medel Betancour • Javiera Ovalle Toledo • Marión Pinto Reveco
AÑO 2011
Trabajo escolar Plan diferenciado de Álgebra
2
Presentación:
El libro de geometría analítica “La recta como lugar geométrico” ha sido creado
con el objetivo de profundizar los conocimientos sobre la recta; sus características,
funciones y propiedades.
En este capítulo encontrarás diversos ejercicios de aplicación, conocimiento y
análisis en los cuales aprenderás a poner en práctica todos aquellos conocimientos
adquiridos sobre el tema de la recta. Cada ejercicio consta con su respectivo
desarrollo y análisis explicando paso a paso como realizarlo para que no te quede
duda alguna en el cómo se hace, llegando a su resultado final. Además, encontrarás
una serie de ejercicios tipo para que puedas realizar, aplicando lo enseñado
previamente.
Índice
• Introducción al tema………………………………………………. 3
- Plano cartesiano………………………………………….3
- La recta ………………………………………………….. 4
- Pendiente de una recta…………………………………. 4
- Ecuación de la recta……………………………………. 5
- Paralelismo y perpendicularidad entre rectas…………6
• Ejercicios…………………………………………………………… 7
• Marco teórico………………………………………………………. 15
- Desarrollo y explicación de cada ejercicio……………..15
• Ejercicios de práctica………………………………………...……..16
• Solucionarlo……………………………………………………...…. 17
• Conclusión…………………………………………………….......... 18
3
Introducción
Antes de comenzar a resolver ejercicios debemos recordar algunos conceptos básicos
sobre el tema que estamos tratando. Así que Recordemos un poco…
a) Plano cartesiano:
Es la intersección de dos rectas, una horizontal y otra
Vertical, que se cortan en un punto (origen). La recta
Horizontal se denomina “eje de las abscisas” (X) y la
Vertical “eje de las ordenadas” (Y).
Tiene como finalidad describir la posición de los
Puntos, los cuales son representados pos coordenadas
o pares ordenados (x,y); donde X representa la
distancia entre el origen (0) y el punto, en el eje
horizontal, e Y la distancia entre el origen y el punto en
el eje vertical.
Ejemplo:
� Ubica en el plano cartesiano el punto A(3,4)
Para localizar el punto A en el plano, lo primero es ubicar el centro del plano, desde ahí avanzamos 3 espacios a la derecha en el eje de las x y desde ahí, 4 lugares hacia arriba en el eje de la Y
4
b) La recta:
La recta se puede entender como un conjunto infinito
de puntos alineados en una unica direccion. Vista en un
plano cartesiano, una recta puede ser de forma vertical,
horizontal o diagonal (aludiendo a la inclinacion de uno
de sus lados, ya sea derecho o izquierdo).
Ademas se dice que es infinita, es decir, su
prolongacion no tiene final en ninguno de sus extremos
(en caso de que la “recta” tenga un punto final o un
punto de inicio, hablamos de un segmento de recta).
La recta posee ademas ciertas caracteristicas: estas son la pendiente denominada con la
letra “m” y el termino independiente u ordenado en el origen denotado con la letra “n”.
c) Coeficiente angular o pendiente de una recta:
La pendiente, corresponde al grado de inclinacion de una recta. esta puede ser creciente o
decresciente y se calcula conosiendo dos puntos, en el plano cartesiano, por los cuales pasa
una recta.Esta se puede calcular mediante la siguiente formula:
○ Según el valor de la pendiente, la recta puede ser del tipo:
Pendiente Tipo de recta
Positiva Recta ascendente
Negativa Recta descendente
Cero Recta horizontal paralela al eje x
No definida Recta vertical paralela al eje y
)()(
12
12
xx
yym
−−=
Ejemplo:
� Hallar la pendiente que pasa por los puntos (2,4) y (,-3).
Aplicando la formula, se obtiene el siguiente desarrollo:
)22(
)43(
−−−=m
0
6−=m
=∉m
5
d) Ecuación de la recta:
Nombre que recibe la expresión algebraica que determine a una recta, esta corresponde a
una ecuación lineal o de primer grado en dos variables (x,y). Existen varias formas de
representar la ecuación de la recta y estas varían según la recta que se desee presentar
algebraicamente. Estas son:
• Ecuación general de la recta
Para determinar la línea recta en la forma general, solo es necesario conocer dos puntos
(A,B) de un plano cartesiano con abscisas (x) y ordenadas (y). Conocidos esos dos puntos,
todas las rectas del plano quedan en la siguiente ecuación:
0=++ CByAx
• Pendiente ordenada en el origen o ecuación principal
La ecuación de la recta de pendiente “m” y que corta al eje Y en el punto (0,n) siendo “n”
ordenada en el origen (coeficiente de posición), se denota de la siguiente forma:
nmxY +=
• Ecuación de la recta dado un punto P(x,y) y la pendiente “m”
Se expresa mediante la siguiente ecuación:
)( 11 xxmyy −=−
• Cartesiana
Dado dos puntos P₁ (x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), se denota de la siguiente forma:
21
21
1
1
xx
yy
xx
yy
−−=
−−
• Reducida o abscisa y ordenada en el origen
Se llama así al valor que corresponde a cada una de las coordenadas cuando la otra es nula.
Se expresa de la siguiente forma:
1=+n
y
y
x
6
• Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (abscisas) o en una recta paralela
a este eje, la distancia de los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
La distancia se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras, los tríos pitagóricos o la
siguiente formula:
212
212 )()(|| yyxxAB −+−=
• Distancia entre un punto y una recta
Corresponde a la longitud del segmento perpendicular de la
recta, trazada desde el punto. Se expresa de la siguiente
forma:
e) paralelismo entre rectas:
Se entiende por rectas paralelas aquellas que mantienen una distancia constante, es decir, no se interceptan en ningún punto.
De a cuerdo al análisis de la ecuación de la recta, dos o mas rectas son paralelas si tienen la
misma pendiente
f) Perpendicularidad entre rectas:
Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto (90º). Analíticamente, dos rectas
son perpendiculares si el producto de sus pendientes resulta -1
22),(
BA
CByAxrpd
+
++=
||),( PMrPd =
Ejemplo:
� Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3x+4y = 0.
5
2
43
|)1(423||),(
22=
+
−•+•=rPd
2121 // mmLL =⇔
1· 2121 −=⇔⊥ mmLL
7
Ejercicios
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,3) y tenga pendiente ½.
2) Hallar la pendiente “m” y el coeficiente de posición “n” de la recta 2y + 3x = 7.
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,1) y es paralela a la recta
determinada por los dos puntos (0,-2) y (5,2).
4) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa (x) y ordenada (y) en el origen son 5 y -3
respectivamente.
5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-3) y (4,2).
6) Hallar la distancia del punto Q(-3,4) a la recta 2x + 3y = 4.
7) A partir de la figura formada por los puntos A(-3,1) B(-3,5), C(-6,5) y D(-6,1)
Determina:
a) Diagonal del rectángulo
b) Área y perímetro del rectángulo
c) Si el punto C sufre una translación de (0,-2) ¿Cuál es la nueva figura
formada y cuál es su perímetro?
8) Indica el tipo de figura formado por los puntos A(2,2) B(9,2) C(7,4) D(4,4)Además
determina
a) Distancia de la diagonal AC
b) Altura del triángulo ADE formado por los puntos A, D y la recta perpendicular
a AB trazada desde el punto D.
c) Área de la figura formada por los puntos ABCD
d) Perímetro de la figura formada por los puntos ABCD
9) Si el segmento de recta comienza en el punto A(-4,-8) y termina en B(5,4), se
encuentra a una distancia 6 del punto C(5,y). Encuentra el perímetro de la figura.
8
Marco Teórico:
• Ejercicio 1:
Si analizan el ejercicio, se puede apreciar que este entrega
dos datos: un punto (x,y) y la pendiente. Para encontrar la
ecuación de la recta, tomando en cuenta los datos que
entrega el problema, se puede hacer uso de la formula punto
pendiente y-y1= m(x-x1)
De esta manera, al reemplazar los valores en la formula se
obtiene el siguiente desarrollo:
Y - 3= 1/2 (x+4), es decir, 2y - 6 = x + 4 , o bien
x - 2y + 10 = 0 si se escribe en la forma general de la
ecuación de la recta.
• Ejercicio 2:
En este caso se entrega una recta escrita algebraicamente
(2y + 3x = 7), y se pide calcular su pendiente y coeficiente de
posición. Escribiendo la ecuación de la forma principal
Y = mx + n, y reemplazando los valores que entrega el
ejercicio, se obtendría lo siguiente: y = -3/2 + 7/2.
Ahora que se ha obtenido la ecuación escrita en su forma
principal, se puede determinar que la pendiente “m”
corresponde a -3/2 y su coeficiente de posición “n” a 7/2.
Otra manera de resolver este ejercicio es escribiendo la recta
como ecuación general en la forma Ax + By + C = 0, de modo
que al reemplazar los valores que se entregan se obtenga lo
siguiente: 3x + 2y – 7 = 0. De este modo, la pendiente
correspondería resultaría: m = -A/B = -3/2 y el coeficiente de
posición n = -C/B = -7/2 = 7/2.
4)3(2
2/·)4(2
13
+=−
+=−
xy
xy
yx
yx
yxy
xy
2100
2640
62/462
462
−+=−++=
+−+=−+=−
Desarrollo matemático
)( 11 xxmyy −=−
0102 =+− yx
Desarrollo matemático
yx
yx
yxy
xy
=+−−−=−−−=+
=+
2
7
2
3
2:/273
27/732
732
m = pendiente
n = coeficiente de posición
0723
0732
7/732
732
=−+=−+−=+
=+
yx
xy
xy
xy
Forma general
2
3−=
−=
m
B
Am
2
7−=
−=
n
B
Cn
9
• Ejercicio 3:
Si se analiza el planteamiento dado, nos damos cuenta que
se conoce el punto de la recta requerida, por lo tanto solo es
necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la
misma que la de la recta paralela L1 que pasa por los dos puntos
(0,-2) y (5,2).
Para obtener la pendiente de L1 se puede utilizar la formula de
pendiente )(
)(
xx
yym
−−= Reemplazando valores obtenemos el
siguiente resultado:
Luego reemplazo el valor de la pendiente en la formula
“ecuación de la recta dado un punto y la pendiente”
Y- Y1 = m (X – X1) para así obtener la ecuación que solicita el
planteamiento.
)3(5
41 +=− xy 01754 =+−= yx
Ejercicio 4:
Si analizamos este ejercicio podemos darnos cuenta que
tenemos de igual forma dos puntos, ya que cuando se dice
“que están en el origen” se refiere a que tengo un punto
denominado (5,0) y otro (0,-3).
Aplicando la formula abscisa y ordenada en el origen
x/a + y/n =1, al reemplazar los valores que entrega el ejercicio,
se obtiene la ecuación: x/5 + y/-3 = 1, o bien, 3x - 5y – 15 = 0, si
se escribe de la forma general.
5
4
05
)2(2 =−−−=m
)(
)(
xx
yym
−−=
5
405
)2(2
=
−−−=
m
m
Inserto pendiente en formula de punto-pendiente
)(, 11 xxyy −=−
/04175
041255
124/12455
)3(4)1(5
5/)3(5
41
)3(5
41
=−−=−−−
−−+=−+=−
−+=−
+=−
xy
xy
xxy
xy
xy
xy
01754 =+− yx
Forma general
Desarrollo matemático
Desarrollo matemático
1./01553
15/1553
15/·135
1
−=++−+−=+−
−=−
+
=+
yx
yx
yxn
y
a
x
01553 =−− yx
Forma general
10
• Ejercicio 5:
En esta ocasión, se entrega la información de dos puntos en
el plano. Para hallar la ecuación de la recta que solicita el
ejercicio, haciendo uso de los datos que se entregan, se puede
aplicar la formula cartesiana reemplazando los valores dentro
de esta
21
21
1
1
xx
yy
xx
yy
−−=
−−
• Ejercicio 6:
Lo primero que se debe realizar es igualar la ecuación ,que
entrega el planteamiento, a cero de modo que esta quede expresada en su forma general para luego aplicar la formula ya conocida de distancia entre un punto y una recta. (Recordar que se entrega el dato de un punto Q(-3,4)
Igualar a cero la ecuación 2x + 3y = 4 2x + 3y - 4 = 0 Aplicar formula distancia entre un punto y una recta:
Al reemplazar los valores y desarrollar se obtiene que la
distancia entre el punto Q (-3,4) y la recta 2x + 3y = 4 es
5
513− aproximadamente.
22 BA
CByAx
+
++
Desarrollo matemático
0432
4/432
=−+−=+
yx
yx
dnA
cpnpA=
+
+•+•22
21
Igualo a 0 e inserto en la formula de distancia entre un punto y una recta
d
d
d
d
d
d
=−
=−
=−
=−
=+
−−−
=−+
−+−+−
20
552
52/·52
265·4
2620
26164
4166
)4(2
)4(4)·4()3·(22
2
d=−5
513
Simplificado:
Desarrollo matemático
0685
0618105
105/105186
)2(5)3(66
5
2
342
23
2
3
=−−=−−+
++−−=−−+−=+−
−−=
++
−−−−=
++
yx
yx
xxy
xyx
yx
y
0865 =−− yx
Forma general
11
Ejercicio 7:
Para realizar esta clase de ejercicios, lo mejor es comenzar ubicando los puntos dentro del plano, para apoyarnos en una imagen visual.
Dentro del problema se nos da como dato que a figura
formada por los puntos ABCD es un rectángulo, por tanto hay algunas características de este que nos ayudarán en el desarrollo del ejercicio.
a) diagonal del rectángulo: esta corresponde a la distancia
entre DB o CA, pero como sabemos que es un rectángulo,
ambas diagonales serán iguales, por tanto basta con calcular
solo una utilizando la formula de Distancia entre dos puntos.
► Diagonal = 5
b) Área y perímetro: Para calcular el
perímetro y el área del rectángulo necesitamos saber el valor de dos de sus lados correspondientes al largo y ancho (puesto que lo otros dos serán iguales no es necesario calcularlos)
Los lados de nuestro rectángulo están
formados por las rectas AB = CD y DA = BC,
por lo que solamente calcularemos AB y DA
Teniendo los valores de |AB|=4 y |DA|=3 Calcularemos Área y perímetro. Obteniedo:
► Á=12 y P=14.
212
212 )()( xxyyDB −+−=
|DB|
5
25
916
34
)63()15(
)()(
22
22
212
212
=
=
+=
+=
−−−+−=
−+−=
BD
BD
BD
BD
DB
xxyyDB
Área
12
3·4
||·||
·
=
=
=
=
Á
Á
CDABÁ
AnchoAltoÁ
Perímetro
14
68
3·24·2
·2·2
=+=
+=+=
P
P
P
ancholadoP
|AB|
4
4
04
)33()15(
)()(
2
2
22
222
212
=
=
−=
−−−+−=
−+−=
BA
AB
BA
BA
xxyyBA
|DA|
3
3
30
)63()11(
)()(
2
22
22
222
212
=
=
+=
−−−+−=
−+−=
DA
AD
AD
AD
xxyyAD
Ancho: 3 Alto: 4
12
c) Al trasladar el punto C(-6,5) en (0,2) obtenemos el punto (-6,3).
● Como el punto no se ha movido dentro del eje de las absisas (x), la recta DC sigue siendo paralela a BA. Sin embargo se ha movido en el eje Y, por tanto deja de ser paralela a DA, cambiando su pendiente como muestra el dibujo.
Como DA sigue teniendo m=0,
sin importar la nueva pendiente de CB, no serán paralelas, puesto que CB ≠ 0 y para que dos rectas sean paralelas debe cumplirse que: m1=m2
► La nueva figura es un trapecio Rectangular, con dos
lados paralelos CD//BA y dos ángulos rectos DAB y CDA (que sabemos son rectángulos porque se mantuvieron de la figura anterior)
Ejercicio 8: Igual que en el ejercicio anterior comenzaremos ubicando nuestros puntos A(2,2) B(9,2) C(7,4) D(4,4) y sobre el plano cartesiano.
En la primera pregunta se nos pide identificar el tipo de figura formada por estos puntos, pero para comprobarlo no basta solo con el dibujo, es necesario saber la medida de los lados y sus pendientes.
Sabemos que nuestra figura es un cuadrilátero, porque esta formada por 4 puntos (A,B,C,D), por
tanto, tiene cuatro lados: AB, BC, CD y DA. Ahora, es preciso conocer que clase de cuadrilátero es, para lo que: 1-. Identificaremos la pendiente de cada recta para saber si los lados son paralelos.
)3,6('
)2,0()5,6('
'
)5,6(
)2,0(
−=−+−=
+=−=
−=
C
C
vCC
C
v
r
r
|AB|
=∉
=
−−
=
−
−=
m
m
m
xx
yym
7
029
22
2
12
1
|BC|
07
029
22
2
12
1
=
=
−−
=
−
−=
m
m
m
xx
yym
12
297
24
2
12
1
−=−
=
−−
=
−−
=
m
m
m
xx
yym
|CD|
=∉
=
−−
=
−
−=
m
m
m
xx
yym
7
029
22
2
12
1
|DA|
03
074
44
2
12
1
=−
=
−−
=
−−
=
m
m
m
xx
yym
12
224
24
2
12
1
=
=
−−
=
−−
=
m
m
m
xx
yym
13
2-. Calcularemos la distancia entre los puntos que conforman cada lado para saber sus
medidas.
En base a los datos anteriores se deduce lo siguiente: - las rectas AB y CD son paralelas, puesto que ambas tienen pendiente 0 (son paralelas al
eje x y perpendiculares a y) - Las pendientes de BC y DA son opuestos aditivos. - BC y DA miden lo mismo (2√2) - Los lados paralelos de la figura no miden lo mismo. - Los lados no paralelos miden lo mismo
► Se concluye entonces que la figura es un cuadrilátero (por que tiene cuatro lados),
Trapecio (un par de lados paralelos entre sí) isósceles (el par de lados no paralelos miden lo mismo).
a) La distancia de la diagonal AC: Para calcularlo
utilizaremos la fórmula de distancia entre dos puntos.
b) Altura del triángulo ADE formado por los
puntos A, D y la recta perpendicular a AB trazada desde el punto D:
Dentro del mismo plano, ya antes dibujado, trazaremos una recta desde D que caiga
perpendicular en la recta horizontal AB La altura en este caso correspondería a la medida del la recta DE, puesto que se trata de un
triángulo rectángulo (ángulo de 90º en E, formado por la perpendicular.)
|AC|
5
5
50
)27()22(
)()(
2
2
22
212
212
=
=
+=
−+−=
−+−=
AC
AC
AC
AC
xxyyAC
|AB|
7
7
)7(
)7(0
)92()22(
)()(
2
2
22
222
212
=
−=
−=
−+=
−+−=
−+−=
BA
BA
AB
BA
BA
xxyyBA
|BC|
22
8
44
2)2(
)79()42(
)()(
22
22
222
212
=
=
+=
+−=
−+−=
−+−=
CB
CB
CB
CB
CB
xxyyCB
|CD|
3
3
30
)47()44(
)()(
2
2
22
222
212
=
=
+=
−+−=
−+−=
DC
CD
DC
AC
xxyyDC
|DA|
22
8
44
22
)24()24(
)()(
22
22
222
212
=
=
+=
+=
−+−=
−+−=
AD
AD
AD
AD
AD
xxyyAD
■ El valor absoluto será
siempre positivo
14
Como no conocemos las coordenadas del punto E, no podemos utilizar la fórmula de distancia entre dos puntos para saber su medida, sin embargo, se nos da como dato que la recta
formada cae perpendicularmente sobre AB, por tanto, podemos calcularlo mediante la fórmula de distancia entre un punto y una recta, ya que la mínima distancia entre estos formará una perpendicular. Para esto, primero debemos conocer la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B
Teniendo ya la ecuación de la recta (y-
2=0), podemos calcular la distancia entre esta y el punto D.
► La Altura del triángulo ADE es 2.
c) Área de la figura: Como en la pregunta anterior ya habíamos calculado los lados de nuestra
figura, ya tenemos los valores correspondientes a las bases del trapecio (B y b). Ahora es necesario calcular la altura del trapecio, pero si nos damos cuenta, en el ejercicio anterior calculamos la altura del triángulo AED, la cual correspondería también a la altura del trapecio. Ahora, teniendo todos los datos necesarios, los ingresaremos en la fórmula.
d) perímetro: Nuevamente utilizaremos los valores de los
lados previamente obtenidos. En este caso, el perímetro corresponde a la suma de todos los lados del trapecio.
Como la “raíz de dos” no es un número exacto, el valor del
perímetro de nuestro cuadrilatero será aproximadamente 15,66.
Distancia entre un punto y una recta
21
21
24010
)2()4·1()4·0(22
22
=
=
−+=
+
−++=
+
++=
d
d
d
d
BA
cByAxd
Ecuación de la Recta
02
)2(02
)2/·(02
27
0
2
292
22
2
221
21
1
1
=−−=−
−=−−
−=
−−
−−=
−−
−−=
−−
y
xy
xx
yx
yx
y
xx
yy
xx
yy
Perímetro
.66,15
66,510
2410
223227
||||||||
AproxP
P
P
P
DACDBCABP
dcbaP
=+=+=
+++=
+++=+++=
Raíz aproximada
→ Fórmula Área:
2
)·( hbBA
+=
B=|AB|=7 b=|CD|=3 h=2
→ Datos:
Área
2
2)·37(2
)·(2
)·(
+=
+=
+=
A
DECDABA
hbBA
102
202
2·10
=
=
=
A
A
A
Área del trapecio
15
Ejercicio 9:
Sabemos que la figura formada será un triángulo de vértices A(-4,-8), B(5,4) y C(5,y), para calcular su perímetro necesitamos saber la medida de todos los lados, es decir, la distancia entre AB, BC y CA. Con los datos que tenemos podemos calcular la distancia entre el punto A y B, pero, como no tenemos el valor de “y” en la coordenada del punto C, no es posible calcular los otros dos lados.
Así que, lo primero, será encontrar el valor de “y” en el punto C.
Para ello se nos da otro dato: La distancia entre el punto C y la recta AB es 6. Con eso, y la ecuación de la recta que pasa por el punto A y B, podremos calcular “y”.
1-. Ecuación de la recta que pasa por los
puntos A(-4,-8) y B(5,4) ► 4x-3y-8=0
2-. Distancia entre el punto C y la recta
4x-3y-8=0 ►Y=-6
Entonces, las coordenadas del punto C
son (5,-6). Con este dato podremos calcular la distancia entre los puntos y saber la medida de los lados.
● Distancia entre dos puntos (|AB|, |BC| y |CA|)
● Perímetro del triángulo:
Finalmente, teniendo la distancia entre los
puntos, obtenemos que el perímetro de
nuestro triángulo es aproximadamente 34,2.
Ecuación de la Recta
0834
1/·0843
0162443
164243
)4(4)8(33
4
4
89
12
4
854
48
4
821
21
1
1
=−−−=+−
=−+−+=+
+=+
=++
−−=
++
−−−−=
−−−−
−−
=−−
yx
xy
xy
xy
xyx
yx
yx
y
xx
yy
xx
yy
Distancia entre un punto y una recta
y
y
y
y
y
y
y
y
yBA
cByAxd
=−
=−
−−=−=−
−−=
−=
−=
+−−=
−+
−+−+=
+
++=
63
18
3:/318
31230
2/31230
5/·5
3126
25
3126
916
83206
)3(4
)8()·3()5·4(6
22
22
|AB|
15
225
81144
912
)45()84(
)()(
22
22
222
212
=
=
+=
+=
−−+−−=
−+−=
AB
AB
AB
AB
BA
xxyyBA
|BC|
10
100
0)10(
)55()46(
)()(
22
22
222
212
=
=
+−=
−+−−=
−+−=
BD
BD
BD
DB
xxyyDB
85
85
814
)9()2(
)54()68(
)()(
22
22
222
212
=
=
+=
−+−=
−−+−−−=
−+−=
CA
CA
CA
CA
AC
xxyyAC
|CA|
Perímetro
■ 85 no tiene raíz exacta, por tanto tendremos un número aproximado.
16
Ejercicios de práctica
1. El punto (-5, 8) pertenece a
a) el primer cuadrante. b) el segundo cuadrante. c) el tercer cuadrante. d) el cuarto cuadrante. e) el origen.
2. La distancia entre los puntos A(-2, 4) y B(-5, 1) es a) √2 b) 2 √2 c) 3 √2 d) 4 √2 e) 18
3. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-1, -2) y B(5, 2) es a) -1 b) -2/3 c) 0 d) 1 e) 2/3
4.Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuál debe ser el valor de k para que las pendientes de AB y CD sean iguales?
a) -7/3 b) -5/3 c)5/3 d)7/3 e) Ninguno de los valores anteriores
5. ¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posición de la recta 2y = 3x – 8?
a) 3 y -8 b) 3/2 y -8 c)3/2 x y -4 d) 3/2 y 4 e) 3/2 y -4
17
6. En la figura, la ecuación de la recta L es: a) x/4 + y/7= 1 b) x/4 + y/7 = -1 c) x/7 + y/4 = 1 d) x/4 - y/7 = -1 e) 7x + 4y = 1
7. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta? 2y – 5x – 1 = 0?
a) 5x – 2y – 16 = 0 b) 5x + 2y – 16 = 0 c) 5x – 2y + 16 = 0 d) 2x – 5y – 16 = 0 e) x – 5y + 16 = 0
8. ¿Para qué valor de a las rectas cuyas ecuaciones son 3x + y – 15 = 0 y 4x + ay + 1 = 0 son perpendiculares entre sí?
a) -12 b) -11/3 c) -3 d) 11/3 e) 12
9. Con respecto a las rectas L1, L2 y L3 de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La pendiente de L1 no existe. II) La pendiente de L2 es positiva. III) La pendiente de L3 es negativa.
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) Ninguna de ellas
Soluciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 b c e d e c a a b
18
Conclusión
En conclusión, podemos decir que La recta es un conjunto infinito de puntos
alineados en una misma dirección, que tiene distintas características, como es la
pendiente, que se compone por un coeficiente de posición (el valor que no es
acompañado por la “X”) y por una pendiente (Valor que acompaña la “X”).
También, se dieron a conocer las distintas ecuaciones de la recta y la forma en que
éstas se pueden aplicar y desarrollar correctamente; desarrollando la capacidad de
realizar ejercicios de manera práctica y analítica, relacionados con el tema y a
graficarlos en un plano cartesiano.
