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metodos numericos II parte
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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL
DE INGENIERÍA DE MINAS
TEMA:
INTERPOLACIÓN
ASIGNATURA:
MÉTODOS NUMÉRICOS
DOCENTE:
Mg. PERALTA CASTAÑEDA, JULIO CESAR
ALUMNOS:
LOPEZ HERRERA PERSI
MAYHUA FLORES HENRRY C.
CICLO:
“IV”
TRUJILLO-PERÚ
2015
2
DEDICATORIA
A nuestros padres que nos han dado la existencia; y en ella la capacidad por
superarnos y desear lo mejor en cada paso por este camino difícil y arduo de la
vida. Gracias por ser como son, porque su presencia y persona han ayudado a
construir y forjar las personas que ahora somos.
A nuestros maestros y amigos; que en el andar por la vida nos hemos ido
encontrando; porque cada uno de ustedes ha motivado nuestros sueños y
esperanzas. Gracias a todos los que han recorrido con nosotros y a los que nos
acompañan en este camino para conseguir lo que tanto anhelamos.
Los autores.
3
RESUMEN
El presente trabajo, consiste en la aplicación y análisis de los métodos de
interpolación, referido a la estimación de reservas y perforación en la minería. El
propósito de la investigación es parangonar, la teoría de los métodos numéricos
(interpolación) y su aplicación en la ingeniería de minas, consideradas
fundamentales en nuestra carrera. Dicho análisis, ayudará a resolver problemas
típicos de perforación y estimación de reserva mineral, cada una de complejidad
creciente, aprendiendo lo básico del tema y ganando conocimiento de la potencia
de la herramienta de cálculo que se utiliza. El problema, por otro lado, surge
debido al costo de producción elevado de los minerales y de la inquietud por
relacionar la teoría y la práctica de los métodos numéricos, puesto que han
logrado una gran evolución. Se desarrolló algunas aplicaciones de los métodos
numéricos (interpolación) a diversos problemas de ingeniería de minas y se
muestra una descripción de algunos de estos como, la determinación de la
estimación de la reserva mineral de una zona minera y para evitar el
recalentamiento de los barrenos al momento de realizar la perforación pues
esto nos permitirá cambiar en un momento adecuado con la cual evitaremos el
deterioro del barreno con lo que reduciremos costos de producción.
4
Índice DEDICATORIA…………………….. ………………………………….…………2
RESUMEN………..………………….………………………………….…………3
ÍNDICE……………………………….………………………………….…………4
1). INTRODUCCIÓN……………………………………….………………………5
1.1). INTRODUCCIÓN……………………………………………………………..……..6
1.2). PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………..7
1.3). HIPÓTESIS Y JUSTIFICACIÓN……………………….……………………..…...8
1.4). OBJETIVOS……………………………………….………………………………….8
1.4.1). OBJETIVOS GENERALES……………………………..…………………… ………….9
1.4.2). OBJETIVOS ESPECIFICOS……………………………………………………..9
2). APLICACIONES……………………..………………………………….……...10
2.1). ESTIMACION DE RESERVAS MINERALES……………..……………....11
2.2). PERFORACIÓN MINERA………………………………………….………..11
3). EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LOS METODOS NUMÉRICOS
APRENDIDOS EN CLASE….…….……….......................................................13
3.1). APLICACIÓN DEL METODO DE LAGRANGE…………………………....14
3.2). APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN POR MÉTODO DE
NEVILLE..…………………..………………………………………………………16
4). CONCLUSIONES…………………………..……………………….…………18
5). BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………19
6) LINKOGRAFIA…………………………………………………………………..19
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1).INTRODUCCIÓN
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1.1). INTRODUCCIÓN
El costo de producción elevado motiva a las empresas y profesionales que las
conforman y que se dedican a la minería, a que sientan la necesidad de
implementar toda la tecnología posible, que al aplicarlo y hacer uso de estas
herramientas signifique: rapidez, eficiencia y menor costo, para sus operaciones
y logro de resultados, y que ello contribuya al aumento de la rentabilidad del
negocio.
Lógicamente no debe faltar el desarrollo de las soluciones matemáticas, están
contribuyendo generosamente al desarrollo de las operaciones mineras, en casi
todas las etapas, desde ubicación de prospectos con potencial contenido
mineralógico hasta el diseño, programación y explotación de la Mina.
En la actualidad ya existen paquetes informáticos que realizan estos tipos de
trabajo, pero que tienen un elevado costo de uso de licencia, lo cual muchas
veces, limita a las empresas de menor envergadura o de presupuesto limitado a
optar por la utilización de uno de ellos, para esto nosotros podemos aplicar las
metodologías matemáticos para lograr los objetivos con menor costo.
En ingeniería de minas y en cualquier ciencia, es común encontrarnos con un
conjunto de datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo.
Sin embargo, en muchas ocasiones se va requerir tener conocimiento de una
estimación en puntos entre los valores discretos para poder aproximar los valores
que buscamos.
La palabra interpolación es hacer coincidir una curva por un determinado
número de puntos dados. Matemáticamente el problema de interpolación es que
dado un conjunto de puntos en la gráfica de una función, pues será necesario
encontrar la función interpolante cuya gráfica pase por uno o más puntos
seleccionados y este polinomio interpolador es semejante al grafico de la
función original.
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1.2). PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Hoy a estas alturas del tiempo, cuando las nuevas formas empresariales,
exigen o motivan a producir al menor costo. La industria minera no está ausente
a esta tendencia, donde lo real es invertir cuantiosas sumas de dinero de hasta
millones de dólares en implementar nuevas tecnologías.
Si bien es cierto que una empresa o institución interesada que urge
implementar un software minero, como herramienta que ayude a solucionar y
encontrar la mejor solución a sus problemas, tendrá que lidiar con un gran costo
de adquisición de licencia y mantención de algún software conocido en el
mercado; entonces:
¿Qué sucede con las empresas, o usuarios (empresas mineras junior,
universidades, consultoras, profesionales independientes, etc.) que no estén en
la capacidad de adquirir en sus inicios una licencia de software minero?, ¿Que
sugerencias se puede expedir para aquellas empresas que están invirtiendo en
forma riesgosa, donde aún están evaluando si un yacimiento minero es rentable
su explotación o no?
¿Es posible recurrir a otras opciones que en uso y eficiencia signifiquen lo
mismo y entonces así puedan estar al mismo nivel competitivo que exige la
actualidad y realidad empresarial?
Es justamente la razón, por ello nos complace buscar y proponer mediante
este trabajo una alternativa que demuestre una solución a este problema,
mediante el uso integrado de métodos numéricos (interpolación) para una parte
fundamental de la puesta en marcha de una mina.
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1.3). HIPÓTESIS Y JUSTIFICACIÓN
1.3.1). HIPÓTESIS
Un uso integrado de los métodos numéricos con aplicaciones en la minería,
permite dar solución para la estimación de recursos y perforación, ahorrando así
costos de adquisición de licencia de software comercial.
1.3.2). JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
Se justifica el desarrollo de esta propuesta en utilizar la integración delos
métodos numéricos (interpolación) para realizar la evaluación de recursos y
perforaciones, dado que aunque existen en el mercado soluciones informáticas
de paquetes especializados para este tipo de actividades, pero, que al ser
especializados e ir dirigidos a una actividad que acostumbra a tener buena
rentabilidad (mediana y gran minería), optan por ofrecerlos a un precio muy
elevado. Quedando entonces por motivo de precio fuera del alcance de otros
interesados (empresas mineras junior, pequeña y mediana minería,
universidades, consultoras especialistas en estimación de reservas, etc.)
Se justifica el uso interactivo de los métodos numéricos (interpolación) en
propuesta, dado que contribuyen a ayudar parcialmente en la estimación recursos
y perforación.
Al trabajar de esta forma integrada se espera suprimir de todo costo de licencia
alguna para lograr el mismo objetivo que se lograría con un software comercial.
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1.4). OBJETIVOS
1.4.1) OBJETIVOS GENERALES
Encontrar un polinomio interpolante que represente una función o un
problema sin definición exacta, que pase por un conjunto de puntos dados.
Aplicar los conocimientos adquiridos en clases de métodos numéricos
para solucionar algunos problemas en la minería.
1.4.2). OBJETIVOS ESPECIFICOS
Dar solución a los problemas planteados utilizando la interpolación de
lagrange.
Con los datos de sondajes (muestras), obtener un modelo geológico y
luego un modelo numérico que nos permita hallar el polinomio interpolador
de la reserva mineral, de cualquier deposito mineral, con las herramientas
que ofrecen los métodos numéricos.
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2).APLICACIONES
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2.1). ESTIMACIÓN DE RESERVA MINERAL
Una rama muy importante en la ingeniería de minas es el estudio de la
estimación de reserva mineral que se encuentra en la zona estudiada, que
abordaremos su aplicación con la ayuda de algunos métodos numéricos que
estamos aprendiendo, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenómeno
físico tienen ciertas peculiaridades que las hacen difíciles de abordar desde el
punto de vista numérico; es decir, se presentan problemas que no tienen una
formula específica para su solución ya que estas no son exactas y deben
seguirse ciertas alternativas para hacer abordable el problema.
Un tipo de problema que es interesante resolver por ejemplo; es cuando
queremos determinar la cantidad de mineral que existe en la zona (prospección
minera)
Por ejemplo cuando se quiera estimar la ley media y el tonelaje de todo el
yacimiento (o de una zona grande S dentro del depósito o yacimiento); Para
estimar la ley media de un conjunto S se promedian las leyes de los datos que
están dentro de S.
2.2). PERFORACIÓN MINERA
Como sabemos la masa rocosa tiene diferentes modos de comportamiento,
y esto debemos tener en cuenta en el dimensionamiento de los diferentes
componentes estructurales que tienen relación con el minado de algún
yacimiento y en general tener una visión de la respuesta de la masa rocosa
involucrada.
Para esto será necesario utilizar el modelo matemático que se adapte a las
condiciones encontradas. Los componentes estructurales del minado, dependen
del método de minado particular seleccionado para la explotación del yacimiento,
de manera que podamos establecer mejores alternativas en cuanto a la forma y
tamaño de las excavaciones cuando hacemos una comparación de las
resistencias disponibles y los esfuerzos actuantes (Factor de Seguridad), al
momento de realizar una perforación.
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Existen algunos problemas cuya solución analítica es exacta como en el caso
de la distribución de esfuerzos alrededor de excavaciones circulares. En otros
casos sin embargo, debido principalmente a problemas de contorno, las
ecuaciones planteadas no tienen una solución exacta, siendo necesario recurrir
a algún método numérico.
En la gran mayoría de los casos de perforaciones se pueden usar los
métodos numéricos, teniendo en cuenta que para la perforación existen
diferentes equipos y accesorios para realizar un barrenado o perforación en roca,
las que de acuerdo con la forma en que se desarrollan su trabajo, se dividen en
máquinas rotativas y de percusión, para tales casos se tiene en cuenta la
temperatura para que los barrenos disminuyan el calentamiento.
Los métodos numéricos también son necesarios para calcular las presiones
del agua que se utiliza en las perforaciones, porque si no hubiera una adecuada
presión, pues generaríamos desgaste de los barrenos y brocas, el cual traería
perdidas económicas; así mismo el personal que se encarga de la perforación
estaría más expuesto al polvo y vulnerable a adquirir la enfermedad de silicosis.
13
3). EJEMPLOS DE
APLICACIÓN DE
LOS METODOS
NUMÉRICOS
APRENDIDOS EN
CLASE
14
3.1). APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Interesa estimar la de mineral en tonelaje de todo el yacimiento (o de una
zona grande dentro del depósito o yacimiento). Para estimar la reserva se
desea saber el polinomio (esto se ara usando interpolación de Lagrange) la cual
integraremos para hallar el tonelaje total de la reserva.
Ejemplo:
En la zona “ Lucerito” de la mina Strata Tintaya se realizaron siete
sondajes las cinco primeras a una distancia de 50 m y las dos últimas a una
distancia de 100m. La primera perforación encontró al cuerpo a una distancia de
60 m de la superficie pero esta se perdió; la segunda perforación encontró al
cuerpo a 20 metros de la superficie esto continua hasta que se pierde a 100
m de la superficie; la tercera perforación encuentra a 30 m esto continua hasta
90 m de la superficie donde se pierde; el cuarto sondaje encuentra el cuerpo
a 10 metros de la superficie y se pierde a una distancia de 110 m.; el quito
encuentra al cuerpo a 10 metros de la superficie y se pierde a 110m; el sexto
sondaje corta al cuerpo a 30 m esto se pierde a una distancia de 90 m, la
última perforación encuentra al cuerpo a 60 m de la superficie perdiéndose
instantáneamente. Con la cual se deduce que hay un cuerpo de mineral que
es homogénea y simétrica.
Solución:
Para estimar la reserva mineral tenemos que tener el polinomio para luego
integral.
Entonces al ver que es homogénea y simétrica trazamos nuestro eje “X”
por el centro del cuerpo mineral y tomamos nuestro eje “Y” desde el centro (eje
x) a la superficie con lo cual resulta el siguiente bosquejo.
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Entonces podemos observar los cortes que hizo la perforadora a ciertas
distancias. La cual nos sirve para tomar los Xi y f(Xi). Trabajando en la parte
superior tenemos los sientes puntos.
i X Y 0 0 0
1 50 40
2 100 30
3 150 50
4 200 50
5 300 30
6 400 0
Hallamos el polinomio:
x0 =
(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 300)(x − 400)
(0 − 50)(0 − 100)(0 − 150)(0 − 200)(0 − 300)(0 − 300)
x1 =
(x − 0)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 300)(x − 400)
(50 − 0)(50 − 100)(50 − 150)(50 − 200)(50 − 300)(50 − 300)
x2 =
(x − 0)(x − 50)(x − 150)(x − 200)(x − 300)(x − 400)
(100 − 0)(0 − 50)(100 − 150)(100 − 200)(100 − 300)(100 − 300)
x4 =
(x − 0)(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 300)(x − 400)
(200 − 0)(200 − 50)(200 − 100)(200 − 150)(200 − 300)(200 − 400)
x5 =
(x − 0)(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 400)
(300 − 0)(300 − 50)(300 − 100)(300 − 150)(300 − 200)(300 − 400)
x6 =
(x − 0)(x − 50)(x − 100)(x − 150)(x − 200)(x − 300)
(400 − 0)(400 − 50)(400 − 100)(400 − 150)(400 − 200)(400 − 300)
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Resolviendo con la ayuda de Matlab nos da los siguientes datos
-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0011 -0.0997 3.6352 0 Lo cual podemos se despreciamos las tres primeras por tener coeficiente
cero. Entonces el polinomio queda:
P(x) =0.0011x3 - 0.0997x2 + 3.6352x - 0
Ahora esto integramos de cero (0) a cuatrocientos (400) alrededor del eje “X”
Entonces de esto obtenemos que la reserva mineral que tenemos es:
Reserva total en Kg = 4.472277 × 1011 kilogramos
Reserva total en tonelada = 4.472277 × 108 toneladas
3.2). APLICACIÓN DE LA INTERPOLACIÓN POR MÉTODO DE NEVILLE
Ejemplo: Se va a realizar una perforación en una labor de suelo muy duro en la
mina “Barrik” (explotación de oro), la cual se llevará a cabo con barrenos
espirales; en la tabla N°01 se muestra las temperaturas del barreno para una
cierta presión. Utilizando un método de interpolación determinar la temperatura
del barreno cuando esté a una presión de 2 atm.
n P(atm) T(°C)
0 1 56.5
1 5 113
2 20 181
3 40 214.5
Solución:
Para dar solución a este tipo de problema nos basaremos en el método de
Neville puesto que no conocemos la función, además as la forma más rápida, se
debe tener en cuenta que los barrenos espirales se usan casualmente cuando
hay que perforar capas duras y esta barrena opera como un saca corchos y no
extrae el suelo, basándonos en la tabla N°01 se interpola de la siguiente manera.
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p01(2) =(x − x0)(p1) − (x − x1)(p0)
(x1 − x0)=
(2 − 1)(113) − (2 − 5)(56.5)
5 − 1= 70.625
p12(2) =(x − x1)(p2) − (x − x2)(p1)
(x2 − x1)=
(2 − 5)(181) − (2 − 20)(113)
20 − 5= 99.4
p23(2) =(x − x2)(p3) − (x − x3)(p2)
(x3 − x2)=
(2 − 20)(214.5) − (2 − 40)(181)
40 − 20= 150.85
p012(2) =(x − x0)(p12) − (x − x2)(p01)
(x2 − x0)=
(2 − 1)(99.4) − (2 − 20)(70.625)
20 − 1= 72.14
p123(2) =(x − x1)(p23) − (x − x3)(p12)
(x3 − x1)=
(2 − 5)(150.85) − (2 − 40)(99.4)
40 − 5= 94.99
p0123(2) =(x − x0)(p123) − (x − x3)(p012)
(x3 − x0)=
(2 − 1)(94.99) − (2 − 40)(72.14)
40 − 1= 72.73
Diseñamos nuestra tabla de valores y queda
P(atm) T(°C)
1 = x0 56.5 = p0
5 = x1 113 = p1 p01 = 70.625
20 = x2 181 = p2 p12 = 99.4 p012 = 72.14
40 = x3 214.5 = p3 p23 = 150.85 p123 = 94.99 p0123 = 72.73
Con ello llegamos a la conclusión que la temperatura para una presión de 2
atm es 72.73 °C
18
4). CONCLUSIONES
Se concluyó que para estimar la reserva mineral de un determinado
proyecto minero, se analiza y luego se traduce a términos matemáticos la
cual solucionamos con ayuda de los métodos numéricos (interpolación).
Como constatamos, los métodos numéricos, permite resolver de una
manera eficiente problemas, tal es el caso de encontrar la temperatura
que sufrirá el barreno a una determinada presión al momento de realizar
la perforación.
Se dedujo la importancia de los métodos numéricos, que nos va permitir
abordar problemas de mucho interés tanto para la comunidad científica,
como para que la sociedad minera se vea beneficiada de la aplicación
de simulaciones numéricas.
Un amplio número de métodos numéricos se encuentran disponibles hoy
en día para el modelamiento analítico de los problemas en la estimación
de la reserva mineral. Por lo tanto, existe una gran necesidad de tener
conocimiento de ellos.
19
5). BIBLIOGRAFÍA
Neves Hurtado Antonio - Domínguez Sánchez Federico, “Métodos
numéricos aplicados a la ingeniería”. Editorial PATRIA S.A, 4ta edición,
México, 2012.
Stagg – Zienkiewicz, “Mecánica de rocas en la ingeniería práctica”.
Editorial BLUME. Traductor José María Rodríguez Ortiz- Barcelona
Burden, R.L.- Faires, J. Douglas, “Análisis Numérico”. Ed. Iberoamérica,
3ra. ed., México, 1985.
6) LINKOGRAFIA
http://www.lagrange.mx/Eventos/tallermn/img/botello_rionda.pdf
http://estimaciondemineral.unsl.edu.ar/REUNION%20%20PERU/Metodo
s%20Numericos.doc
http://www.mina.com/biblioteca/ejemplos-de-aplicacion-de-los-metodos-
numericos-a-problemas-de-ingenieria