LABORATORIO DE INTRODUCCION A LAS TELECOMUNICACIONES20

CRISTIAN QUISPE VENTURACDIGO 12190027CURSO: LABORATORIO DE INTRODUCCIN A LAS TELECOMUNICACIONESTEMA: INFORME 2 DESARROLLO DE LA SERIE DE FOURIER Y DESARROLLO DE LA TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIERPROFESOR: LLOSA PORTUGAL

1. INTRODUCCIN Matlab tiene implementada una funcin para calcular directamente una FFT, con hacer simplemente la instruccin:>>fft(x)En donde x es nuestra serie de datos. El resultado numrico de la transformacin no se interpreta directamente. Se trata de nmeros complejos, que tendrn un mdulo que ser la amplitud y un ngulo (la fase) de cada una de las componentes. Adems estarn repetidos, dando una serie de datos simtrica. Nos interesa slo la mitad. Y adems estarn multiplicados por N/2, siendo N el nmero de datos de nuestra serie. FTTs en ms de una dimensin.Haremos ahora una breve introduccin a la transformacin de Fourier en dos dimensiones, que no es ms que una extensin de los mismos conceptos. Al igual que cualquier seal puede representarse como suma de ondas sinusoidales, cualquier superficie puede representarse como suma de ondas sinusoidales en dos dimensiones. Dibujaremos una de estas superficies para ver de qu estamos hablando>>t=[0,0.01,1];>> x1=5*sin(4*pi*t);>> x2=2*sin(8*pi*t+1);>> z=x1'*x2;>> surf(z)

2. DESARROLLO DE LA PRCTICA (PROCEDIMIENTO) Tema 1: Series de Fouriera) Desarrolle la serie trigonomtrica de Fourier de la funcin:

Grafique la serie de Fourier f(t), en MATLAB:Solucin Fs=1000;t=(1:100)/Fs;w=2*pi*10;f=(8/pi)*(sin(w*t)+(1/3)*sin(3*w*t)+(1/5)*sin(5*w*t)+(1/7)*sin(7*w*t)+(1/9)*sin(9*w*t));plot(t,f)grid

b) Desarrolle la siguiente serie trigonomtrica de Fourier, para:

SOLUCION:Fs=1000;t=(1:100)/Fs;w=2*pi*10;f=(8/pi)*(cos(w*t)-(1/3)*cos(3*w*t)+(1/5)*cos(5*w*t)-(1/7)*cos(7*w*t)+(1/9)*cos(9*w*t)-(1/11)*cos(11*w*t)+(1/13)*cos(13*w*t));plot(t,f)grid

c) De acuerdo al problema 2, la expresin general de la serie trigonomtrica de Fourier para funcin f(t) par, esta dado por:

Desarrolle mediante la instruccin de control de flujo FOR del Matlab:SOLUCION:Fs=100;t=(-100:100)/Fs;w=2*pi;A=2;f=0for n=1:1000; f=f+(4*A/(n*pi))*(sin(n*0.5*pi))*cos(n*w*t);end;plot(t,f)xlabel('t(seg)')ylabel('AMPLITUD')title('FUNCION PAR ONDA CUADRADA')grid

Tema 2: Transformada Rpida de Fourier a) Desarrolle la transformada de Fourier usando Matlab cuya expresin es:N=128;t=linspace(0,3,N);f=2*exp(-20*t);figure (1)plot(t,f)xlabel('Time,seg'),ylabel('f(t)'),gridaxis([0 0.3 0 2]);Ts=t(2)-t(1);Ws=2*pi/Ts;F=fft(f);Fp=F(1:N/2+1)*Ts;W=Ws*(0:N/2)/N;figure(2)plot(W,abs(Fp),'+')xlabel('Frecuency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')

b) Desarrolle la grfica de la transformada de Fourier desarrollada:N=128;t=linspace(0,3,N);Ts=t(2)-t(1);Ws=2*pi/Ts;W=Ws*(0:N/2)/N;Fa=2./(20+j*W);figure (3)plot(W,abs(Fa))xlabel('Frecuency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')

c) Desarrolle la transformada rpida de Fourier de una seal muestreada

Cuyo desarrollo est dado por el siguiente programa:m=[0,1,2,3,4,5];Xn=[1,2,3,4,5,6];Xk=fft(Xn);Xmag=abs(Xk);Xphase=angle(Xk);figure(1)plot(m,Xmag),axis([0 5 0 23]);figure(2)stem(m,Xmag)figure(3)stem(m,Xphase)

d) Para la suma de dos seales senoidales contaminado con ruido desarrolle la grfica en el dominio del tiempo y su respectiva grafica de Fourier.t=0:0.001:0.6;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(size(t));figure(4)plot(y(1:50))Y=fft(y,512);Pyy=Y.*conj(Y)/512;f=1000*(0:255)/512;figure(5)plot(f,Pyy(1:256))

e) Desarrolle la transformada de Fourier de la suma de tres seales senoidales:Fs=100;t=(1:100)/Fs;s1=5*sin(2*pi*t*5);s2=10*sin(2*pi*t*15);s3=7*sin(2*pi*t*30);s=s1+s2+s3;figure(1)plot(t,s);S=fft(s,512);w=(0:255)/256*(Fs/2);figure(2)plot(w,abs([S(1:256)]));

f) Desarrolle la grfica de la transformada de la funcin de muestreo Sa(x):fplot('5*sin(x)./x',[-30 30 -.2 6])title('Fplot of f(x)=5.sin(x)/x')xlabel('x')ylabel('f(x)')

3. DESARROLLO DE LOS CUESTIONARIOS:Tema 1: series de Fouriera) Dada la expresin de la serie de Fourier trigonomtrica, desarrolle la grfica de f(t). Usando el criterio del problema 3.Dada la serie:

SolucinFs=100;t=(-100:100)/Fs;w=2*pi;A=2;f=0for n=1:1000; f=A/2-(f+(1/(n))*(sin(n*w*t)));end;plot(t,f)xlabel('t(s)')ylabel('AMPLITUD')title('FUNCION')grid

b) Desarrolle la exponencial de Fourier, si en el intervalo (0,1). Grafique la S.E.F. Fs=100;t=(-100:100)/Fs;w=2*pi;A=2;f=0for n=1:1000; f=f+((-1)^n)*4*n*exp(-j*2*pi*t*n)/(j*pi*(4*n^2-1));end;plot(t,f)xlabel('t(s)')ylabel('AMPLITUD')title('FUNCION')grid

c) Programe en Matlab la siguiente serie trigonomtrica.

f(t)=cos(nWt) ; n=impar de la onda triangular.SolucinFs=60;t=(-100:100)/Fs;w=2*pi;A=2;f=0for n=1:100; f=f+(4*A/(n*pi)^2)*cos(n*w*t);end;plot(t,f)xlabel('t(s)')ylabel('AMPLITUD')title('FUNCION')grid

d) Grafique la serie exponencial de FOURIER DE LA FUNCION f(t)=Ae^(-2t) en t=[0,1].Solucin Fs=60;t=(-100:100)/Fs;w=2*pi;A=2;f=0for n=1:100; f=f+(A*exp(-2*t));end;plot(t,f)xlabel('t(s)')ylabel('AMPLITUD')title('FUNCION')grid

Tema 2: Desarrollo del cuestionario de transformada rpida de Fouriera) Desarrolle la transformada de Fourier de la seal muestreada m=[0,1,2,3] y Xm=[2,3,4,5].Solucin: m=[0,1,2,3];Xn=[2,3,4,5];Xk=fft(Xn);Xmag=abs(Xk);Xphase=angle(Xk);figure(1)plot(m,Xmag),axis([0 5 0 23]);figure(2)stem(m,Xmag)figure(3)stem(m,Xphase)

b) Dado . Desarrolle su transformada rpida de Fourier.N=100;t=linspace(-5,5,N);A=2;w=2*pi;f=A*sin(w*t);figure (1)plot(t,f)xlabel('Time,seg'),ylabel('f(t)'),gridaxis([-5 5 -2 4]);Ts=t(2)-t(1);Ws=2*pi/Ts;F=fft(f);Fp=F(1:N/2+1)*Ts;W=Ws*(0:N/2)/N;figure(2)plot(W,abs(Fp),'+')xlabel('Frecuency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')

c) Si . Determine su transformada rpida de Fourier.N=100;t=linspace(-5,5,N);w=2*pi;f=(exp(j*w*t)+exp(-j*w*t))/2;figure (1)plot(t,f)xlabel(Time,seg),ylabel(f(t)),gridaxis([-5 5 -2 4]);Ts=t(2)-t(1);Ws=2*pi/Ts;F=fft(f);Fp=F(1:N/2+1)*Ts;W=Ws*(0:N/2)/N;figure(2)plot(W,abs(Fp),+)xlabel(Frecuency,Rad/s),ylabel(|F(W)|)

d) Desarrolle la transformada rpida de Fourier de la funcin Sa(t).Solucin fplot('5*sin(x)./x',[-30 30 -.2 6])title('Fplot of f(x)=5.sin(x)/x')xlabel('x')ylabel('f(x)')axis([-30 30 -.2 6]);Ts=t(2)-t(1);Ws=2*pi/Ts;F=fft(fplot('5*sin(x)./x',[-30 30 -.2 6]));Fp=F(1:N/2+1)*Ts;W=Ws*(0:N/2)/N;figure(2)plot(W,abs(Fp),'+')xlabel('Frecuency,Rad/s'),ylabel('|F(W)|')

4. CONCLUSIONES En este informe se determin cuan gil y verstil es el Matlab a la hora de mostrarnos las grficas de las funciones usando series de Fourier, adems tambin se utiliz la transformada rpida de Fourier FFT para graficar los espectros. De modo que es muy valioso el uso del Matlab.

CRISTIAN QUISPE VENTURA