1. INTRODUCCIÓN

En esta práctica se comprobó los teoremas de Thévenin y Norton para el cálculo de de voltaje, la corriente y la resistencia en cierta parte de un circuito y llevarlos a una configuración de una fuente de voltaje y una resistencia en o su equivalente Norton que es una fuente de corriente y una resistencia en paralelo, además de esto se comprobó el Principio de Reciprocidad que consistió en cambiar la fuente voltaje de su posición inicial a otra que en este caso denominamos salida, también se comprobó el principio de superposición (solo para circuitos lineales, amplitud de corriente proporcional a la amplitud de voltaje) este también ayuda a encontrar voltajes y corrientes en circuitos de más de una fuente. Por último se comprobó la máxima transferencia de potencia, para la cual se utilizo un potenciómetro el que se iba variando entre 10 valores y así encontrar el valor de la resistencia que transmitía la máxima potencia.

2. ANALISIS TEÓRICO

- Teorema de Thévenin: Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes, puede ser sustituida en un par de nodos por un circuito equivalente formado por una sola fuente de voltaje y un resistor serie.

Por equivalente se entiende que su comportamiento ante cualquier red externa conectada a dicho par de nodos es el mismo al de la red original (igual comportamiento externo, aunque no interno).

La resistencia se calcula anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos considerados. Anular las fuentes de voltaje equivale a cortocircuitarlas y anular las de corriente a sustituirlas por un circuito abierto.El valor de la fuente de voltaje es el que aparece en el par de nodos en circuito abierto.

- Teorema de Norton: Cualquier red compuesta por resistores lineales, fuentes independientes y fuentes dependientes puede ser sustituida, en un par de nodos, por un circuito equivalente formado por una sola fuente de corriente y un resistor en paralelo.

La resistencia se calcula (igual que para el equivalente de Thévenin) anulando las fuentes independientes del circuito (pero no las dependientes) y reduciendo el circuito resultante a su resistencia equivalente vista desde el par de nodos

considerados. El valor de la fuente de corriente es igual a la corriente que circula en un cortocircuito que conecta los dos nodos.

Figura 1. Circuito equivalente Thévenin-Norton

Ecuaciones de la equivalencia:

RTH=RN

IN=V TH

RTH

Las resistencias a tener en cuenta para el circuito son: R1 = 1.5KΩ, R2 = 1KΩ, R3 = 3 KΩ, R4 = 10KΩ, R5 = 4.7 KΩ, R6 = 5.6 KΩ.

Figura 2. Circuito inicial

Se procede a eliminar una resistencia (R4 = 10KΩ) y los puntos se nombran como A y B.

Calculo del voltaje en los terminales A y B, VTH:

Figura 3. Terminales A y B

Como es el caso número 1 (el circuito no tiene fuentes controladas) se calcula el voltaje en los terminales A y B que es el mismo VTH.

Figura 4. Simplificación del circuito para hallar VTH

Al llegar a este circuito se resuelve por tensiones de nodo V1 que en este caso es el mismo VTH o VAB:

V 11500

− 121500

+V 1

5548.48+ 1.365548.48

=0

V TH=V 1=7.75 x10−3

8.47 x10−4=9.15V

Luego se procede a calcular la corriente, para esto se cortocircuitan los puntos A y B: Figura 5. Cortocircuito A y B para hallar la corriente

Se resuelve por tensiones de nodo:

V 11500

− 121500

+V 1

5548.48+ 1.365548.48

+V 13000

=0

V 1=7.75 x10−3

1.18 x10−3=6.57V

Con este voltaje por medio de la ley de Ohm se calcula la corriente:

I AB=6.57V3KΩ

=2.19mA

Después de esto se procede a realizar el cálculo de la RTH, para ello se cortocircuitan las fuentes de voltaje:Figura 6. Cortocircuito fuentes para hallar la RTH

Teniendo en cuenta las equivalencias Thévenin y Norton se halla la RTH:

IN=V TH

RTH

RTH=V THIN

= 9.15V2.19mA

=4180.08Ω

- Teorema de reciprocidad: en su primer enunciado indica que si la excitación en la entrada de un circuito produce una corriente i a la salida, la misma excitación aplicada en la salida producirá la misma corriente i a la entrada del mismo circuito. Es decir el resultado es el mismo si se intercambia la excitación y la respuesta en un circuito.

Figura 7. Principio de reciprocidad primer enunciado

En su segundo enunciado dice, la intensidad i que circula por una rama de un circuito lineal y pasivo, cuando se intercala una fuente de tensión en otra rama, es la misma que circularía por esta última si la fuente de tensión se intercalase en la primera.

Figura 8. Principio de reciprocidad segundo enunciado

- Teorema de Superposición: El teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades).El teorema de superposición ayuda a encontrar:

Valores de voltaje, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente de voltaje.

Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de voltaje.

Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una impedancia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto.

- Máxima Transferencia de Potencia: En ingeniería eléctrica, electricidad y electrónica, el teorema de máxima transferencia de potencia establece que, dada una fuente, con una resistencia de fuente fijada de antemano, la resistencia de carga que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor óhmico igual a la resistencia de fuente. También este ayuda a encontrar el teorema de Thévenin y Norton.El teorema establece cómo escoger (para maximizar la transferencia de potencia) la resistencia de carga, una vez que la resistencia de fuente ha sido fijada, no lo contrario. No dice cómo escoger la resistencia de fuente, una vez que la resistencia de carga ha sido fijada. Dada una cierta resistencia de carga, la resistencia de fuente que maximiza la transferencia de potencia es siempre cero, independientemente del valor de la resistencia de carga.En esas condiciones la potencia disipada en la carga es máxima y es igual a:

Para el cálculo de la RTH (igual a la resistencia de máxima trasferencia de potencia) de este circuito se realiza así:

Figura 9. Circuito para el cálculo de RTH

Después de hacer paralelos y series entre las resistencias el valor de la RTH = 2948.2Ω.

Después de esto calculamos el VTH con el circuito anterior (ver figura 2), como es lo mismo el VTH = 6.457V y la corriente por ley de Ohm es I = 2.19mA.

Para los cálculos se realizan 4 mallas, y con la malla 4 se realiza el cálculo de la tensión y de la potencia:

- Para 500Ω:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−10.5K I 4=0 (4)

I1 = 3.443mAI2 = 3.553mAI3 = 1.966mAI4 = 1.872mA

V 500Ω=I 4∗R500Ω=1.872mA∗0.5KΩ=936mV

P500Ω=V 500Ω∗I 4=936mV∗1.872mA=1.752mW

- Para 2KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−12K I 4=0(4)

I1 = 3.129mAI2 = 3.166mAI3 = 1.565mAI4 = 1.305mA

V 2KΩ=I 4∗R2 KΩ=1.305mA∗2KΩ=2.61V

P2KΩ=V 2KΩ∗I 4=2.61V∗1.305mA=3.406mW

- Para RTH = 2948.2Ω:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−12948.2 I 4=0 (4)

I1 = 3.012mAI2 = 3.023mAI3 = 1.418mAI4 = 1.095mA

V 2948.2Ω=I 4∗R2948.2Ω=1.095mA∗2948.2Ω=3.228V

P2948.2Ω=V 2948.2Ω∗I 4=3.228V∗1.095mA=3.535mW

- Para 3.5KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−13.5K I 4=0 (4)

I1 = 2.960mAI2 = 2.959mAI3 = 1.351mAI4 = 1.001mA

V 3.5 KΩ=I 4∗R3.5KΩ=1.001mA∗3.5KΩ=3.504VP3.5 KΩ=V 3.5KΩ∗I 4=3.504V∗1.001mA=3.508mW

- Para 4KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−14K I 4=0(4)

I1 = 2.920mAI2 = 2.910mAI3 = 1.301mAI4 = 929.3µA

V 4 KΩ=I 4∗R4 KΩ=929.3 µA∗4 KΩ=3.717V

P4 KΩ=V 4 KΩ∗I 4=3.717V∗929.3µA=3.454mW

- Para 5KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−15K I 4=0 (4)

I1 = 2.855mAI2 = 2.830mAI3 = 1.218mAI4 = 812.3µA

V 5 KΩ=I 4∗R5 KΩ=812.3µA∗5KΩ=4.061VP5KΩ=V 5KΩ∗I 4=4.061V∗812.3µA=3.3mW

- Para 6KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−16K I 4=0 (4 )

I1 = 2.805mAI2 = 2.768mAI3 = 1.155mAI4 = 721.5µA

V 6 KΩ=I 4∗R6KΩ=721.5 µA∗6KΩ=4.329V

P6 KΩ=V 6KΩ∗I 4=4.329V∗721.5µA=3.123mW

- Para 7KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−17K I 4=0 (4 )

I1 = 2.764mAI2 = 2.719mAI3 = 1.103mAI4 = 649µA

V 7 KΩ=I 4∗R7 KΩ=649 µA∗7KΩ=4.543VP4 KΩ=V 4 KΩ∗I 4=4.543V∗649µA=2.948mW

- Para 8KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−18K I 4=0 (4)

I1 = 2.732mAI2 = 2.678mAI3 = 1.061mAI4 = 589.8µA

V 8 KΩ=I 4∗R8KΩ=589.8 µA∗8KΩ=4.718V

P8 KΩ=V 8KΩ∗I 4=4.718V∗589.8µA=2.783mW

- Para 10KΩ:

Malla 1: −7.2KI1+1K I 2+4.7K I3+0=−12(1)

Malla 2: 1KI1−6.6K I 2+5.6K I 3+0=−9(2)

Malla 3:

4.7KI 1+5.6K I 2−23.3K I3+10K I 4=9(3)

Malla 4:0+0+10K I 3−20K I 4=0 (4)

I1 = 2.681mAI2 = 2.616mAI3 = 997.3µAI4 = 498.6µA

V 10KΩ=I 4∗R10KΩ=498.6 µA∗10KΩ=4.986VP10KΩ=V 10 KΩ∗I 4=4.986V∗498.6µA=2.486mW

3. SIMULACIÓN

Se procede a simular el circuito verificando el principio de reciprocidad:

Figura 10. Simulación circuito inicial

Figura 11. Simulación principio de Reciprocidad

Los valores deben ser iguales al circuito inicial (ver figura 2).

Figura 12. Principio de Superposición cortocircuitando fuente de 9V

Figura 13. Principio de Superposición cortocircuitando fuente de 12V

Al sumar los voltajes y las corrientes de los dos circuitos dan los valores del circuito inicial (ver figura 2).

Figura 14. Circuito para RTH = 2948.2Ω

4. DATOS PRÁCTICOS O EXPERIMENTALES

Tabla 1. Tabla de valores datos Thévenin-Norton

Parámetro Voltaje A-B Corriente A-B Resistencia A-BValor calculado 9.15V 2.19mA 4178.08Ω

Valor de simulación

9.16V 2.19mA 4182.64Ω

Valor medido 9.15V 2.2mA 4111Ω

Se puede detallar que los valores calculados o teóricos difieren de los valores en medidos en muy poco, pero se procede a realizar los cálculos del porcentaje de error.

Tabla 2. Cálculo del error en el voltaje Thévenin-Norton

Voltaje A-B calculado

Voltaje A-B medido

%Error=|V teorico−V medido|

V teorico∗100

9.15V 9.15V 0

Tabla 3. Cálculo del error en la corriente Thévenin-Norton

Corriente A-B calculado

Corriente A-B medido

%Error=|V teorico−V medido|

V teorico∗100

2.19mA 2.2mA 0.45

Tabla 4. Cálculo del error en la resistencia Thévenin-Norton

Resistencia A-B calculado

Resistencia A-B medido

%Error=|V teorico−V medido|

V teorico∗100

4178.08Ω 4111Ω 1.61

Como se observa los porcentajes de error (voltaje, corriente resistencia) son muy mínimos (menos de 2%) esto nos indica que todo se hizo de acuerdo la planificación de la guía de laboratorio y los cálculos fueron muy aceptables para así minimizar los posibles errores.

Tabla 5. Datos teóricos y prácticos

Datos Teóricos Datos Prácticos

Resistencia Tensión Corriente Potencia Tensión Corriente Potencia

500Ω 936mV 1.872mA 1.752mW 950mV 1.866mA 1.772mW

2KΩ 2.61V 1.305mA 3.406mW 2.65V 1.304mA 3.455mW

2948.2Ω 3.228V 1.095mA 3.535mW 3.28V 1.095mA 3.591mW

3.5KΩ 3.504V 1.001mA 3.508mW 3.56V 1.001mA 3.563mW

4KΩ 3.717V 929.3µA 3.454mW 3.78V 929µA 3.511mW

5KΩ 4.061V 812.3µA 3.3mW 4.11V 816µA 3.353mW

6KΩ 4.329V 721.5µA 3.123mW 4.38V 723µA 3.166mW

7KΩ 4.543V 649µA 2.948mW 4.59V 654µA 3.001mW

8KΩ 4.718V 589.8µA 2.783mW 4.71V 593µA 2.828mW

10KΩ 4.986V 498.6µA 2.486mW 5.03V 503µA 2.530mW

Se procede a calcular los errores de cada una de las variables involucradas en la máxima transferencia de potencia.

Tabla 6. Cálculos del error para tensiones

Resistencia

Tensión calculada

Tensión medida

%Error=|V teorico−V medido|

V teorico∗100

500Ω 936mV 950mV 1.492KΩ 2.61V 2.65V 1.53

2948.2Ω 3.228V 3.28V 1.613.5KΩ 3.504V 3.56V 1.594KΩ 3.717V 3.78V 1.695KΩ 4.061V 4.11V 1.216KΩ 4.329V 4.38V 1.177KΩ 4.543V 4.59V 1.038KΩ 4.718V 4.71V 0.1710KΩ 4.986V 5.03V 0.88

Como se observa los porcentajes de error son muy mínimos (menos de 2%) esto nos indica que todo se hizo de acuerdo la planificación de la guía de laboratorio y los cálculos fueron muy aceptables para así minimizar los posibles errores.

Tabla 7. Cálculos del error para corrientes

Resistencia

Corriente calculada

Corriente medida

%Error=|V teorico−V medido|

V teorico∗100

500Ω 1.872mA 1.866mA 0.322KΩ 1.305mA 1.304mA 0.08

2948.2Ω 1.095mA 1.095mA 03.5KΩ 1.001mA 1.001mA 04KΩ 929.3µA 929µA 0.035KΩ 812.3µA 816µA 0.466KΩ 721.5µA 723µA 0.27KΩ 649µA 654µA 0.778KΩ 589.8µA 593µA 0.5410KΩ 498.6µA 503µA 0.88

Para este caso los errores de las corrientes son inferiores al 1%, lo que indica que los cálculos dieron muy parecidos, esto refleja que se hicieron las cosas lo mejor posible.

Tabla 8. Cálculos del error para potencias

Resistencia

Potencia calculada

Potencia medida

%Error=|V teorico−V medido|

V teorico∗100

500Ω 1.752mW 1.772mW 1.142KΩ 3.406mW 3.455mW 1.44

2948.2Ω 3.535mW 3.591mW 1.583.5KΩ 3.508mW 3.563mW 1.564KΩ 3.454mW 3.511mW 1.655KΩ 3.3mW 3.353mW 1.66KΩ 3.123mW 3.166mW 1.387KΩ 2.948mW 3.001mW 1.798KΩ 2.783mW 2.828mW 1.6210KΩ 2.486mW 2.530mW 1.77

Para la potencia el porcentaje se puede decir que es aceptable no supera el 2% a pesar de hacer las cosas conforme a la guía y teniendo cuidado a la hora de los cálculos vemos que siempre el error está presente.

5. ANALISIS DE RESULTADOS

Al comparar los datos teóricos con los medidos se puede observar que para los voltajes el error no supera el 2% en las tres variables (voltaje, corriente, potencia), lo que indica que a pesar de que se hicieron las cosas como dice la guía de laboratorio y los cálculos respectivos hay errores que siempre están presentes como lo es el error de medición y el error humano.

A pesar de esto, la máxima transferencia de potencia es muy empleada por ejemplo en los parlantes para generar el máximo sonido.

Se realizo una grafica en la cual se muestra la tendencia de los valores de la resistencia y se detalla el valor de la resistencia de máxima transferencia de potencia.

Figura 15. Grafica máxima transferencia de potencia

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

43.535

Potencia vs Resistencia

6. CONCLUSIONES

Al concluir la práctica se comprueba que el teorema de Thévenin-Norton se cumple a cabalidad (se encuentra un circuito equivalente reducido), debido a que los valores teóricos son muy similares a los medidos en el laboratorio.

Para el principio de reciprocidad no se cumplió con la configuración seleccionada, no se comprende él porque, si se hizo de acuerdo a la teoría o puede ser que se mal interpreto.

El principio de superposición se comprobó en el laboratorio al cortocircuitar cada una de las fuentes por separado y hacer las mediciones de manera independiente, si después sumamos los valores se observa que se cumple la teoría (ver figura 10).

La máxima transferencia de potencia se encontró calculando el circuito equivalente Thévenin y se comprobó en la práctica que ese valor de R si era el indicado y es el que transfiere la máxima potencia, además sin importar que la resistencia del potenciómetro se varié a un valor mayor o a uno menor, la potencia cambia pero no llega a superar la de la RTH

.

Los porcentajes de error que se obtuvieron al comparar los datos teóricos con los prácticos, en toda la práctica de laboratorio es menor al 2% se puede decir que se realizaron las cosas de la mejor manera, sin embargo, siempre va a existir el error y estos pueden ser, error en la medición, error humano y también no hay que dejar de lado la incertidumbre de las resistencias.

BIBLIOGRAFÍA

Teorema de Thévenin-Norton [en línea]: GRUPO DE COMUNICACIONES OPTICAS, Universidad de Valladolid, 2014 [consultado 19 de octubre de 2014]. Disponible en Internet: http://gco.tel.uva.es/tutorial_cir/tema3/thev_nor.htm

Teorema de reciprocidad [en línea]: WIKIPEDIA, 2014 [consultado 4 de octubre de 2014]. Disponible en Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Divisor_de_corriente

Teorema de superposición [en línea]: WIKIPEDIA, 2014 [consultado 19 de octubre de 2014]. Disponible en Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_superposici%C3%B3n

Teorema de máxima transferencia de potencia [en línea]: WIKIPEDIA, 2014 [consultado 19 de octubre de 2014]. Disponible en Internet http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_m%C3%A1xima_potencia