PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER

A) OBJETIVO:

Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un pndulo fsico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.

B) EQUIPO:

Una barra metlica de longitud L con huecos (Ver figura 1.a) Un soporte de madera con cuchilla. Dos mordazas simples. Un cronometro digital. Una regla milimetrada.

C) FUNDAMENTO TERICO:

Figura 1.aPNDULO FSICO

Un pndulo fsico es un cuerpo rgido de masa m que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa (Ver figura 1.b). Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotacin es Io, se separa de su posicin de equilibrio un ngulo y se suelta, un momento restaurador o asociado a la fuerza gravitacional mg, le producir un movimiento oscilatorio cuya ecuacin es: o = Io

Con la aproximacin de pequeas oscilaciones sen =, la ecuacin dinmica rotacional anterior puede escribirse en la forma:+ 2 = 0

Determinacin del momento de inercia de un cuerpo usando un pndulo fsico.

Segn el teorema de los ejes paralelo (teorema de Steiner), el momento de inercia respecto de su centro de masa, Icm, y el momento de inercia respecto de un nuevo eje paralelo al primero y separado de aquel por una distancia y, estn relacionados por:

I(y) = Icm + M . y2 ..ec. 2

Donde M es la masa del cuerpo. Si ponemos al objeto a oscilar alrededor de un punto de suspensin O, su perodo ser:

.ec.1

La posicin del centro de masa del cuerpo puede determinarse con relativa facilidad. Si el objeto es plano, basta suspenderlo de dos puntos cualesquiera y marcar sobre el mismo las direcciones de las verticales que pasan por los puntos de suspensin.La interseccin de dichas rectas determina el centro de masa. Esto significa que para un objeto plano el valor de y puede determinarse por medicin directa. Si el objeto es simtrico, la simetra indica la ubicacin del centro de masa.

D) PROCEDIMIENTO:

1. Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples.

2. Ubique el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal ser el centro de gravedad (CG) de la barra. (Ver figura 2.a)

3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla (Ver figura 2.b) y hgala oscilar separndola ligeramente de su posicin de equilibrio (cuando mas 15), tome nota del tiempo en que emplea en 10 oscilaciones y mida tambin la distancia l (distancia de CG a O).

4. Repetir esta operacin dos veces ms.

5. Mida las mediciones de la barra y su masa.

Figura 2.a

E) CLCULO Y RESULTADOS:

1.-Llene la tabla 1 con las siguientes caractersticas.SolucionTabla 1Numero de huecol (cm.)t1 (s)t2 (s)t3 (s)# de oscilacionesPeriodo T(Promedio).

150,817,0417,0117,02101,702

245,816,6216,6516,64101,664

340,816,3116,2616,28101,628

435,816,1516,1916,20101,618

530,816,1116,0816,13101,612

625,816,3116,3316,32101,632

720,816,9116,8816,93101,691

815,89,079,019,0351,807

910,810,5110,5310,5452,105

105,813,8213,8613,8752,77

2.a) Grafique T vs. l ,( T en el eje vertical y l en el eje horizontal)

XYXYX2X2YX3X4

50,81,70286,4622580,644392,2493131096,5126659702,81

45,81,66476,2112097,643490,47396071,9124400093,57

40,81,62866,4221664,642710,033967917,3122771026,33

35,81,61857,9241281,642073,693545882,7121642601,09

30,81,61249,650948,641529,2077 29218,112899917,85

25,81,63242,106665,641086,324517173,512443076,61

20,81,69135,173432,64731,594248998,912187177,37

15,81,80728,551249,64451,099483944,31262320,1296

10,82,10522,734116,64245,52721259,71213604,8896

5,82,7716,06633,6493,1828195,1121131,6496

28318,23481,298210071,416803,38556401758,1217080652,3

Realizando un ajuste cuadrtico

18,23 = a(10) + b(283) + c(10071,4) 481,2982 = a(283) + b(10071,4) + c(401758,12) 16803,38556 = a(10071,4) + b(401758,12) + c(17080652,3)

a = 3.0211 b= - 0.0856 c = 0.0012

Ecuacin: 0.0012X2 - 0.0856X + 3.0211Grafico l vs. T

b) A partir de la ec. (1), con Il dada por la ec. (2), encuentre el valor de l donde el periodo es mnimo.

Solucin:

El periodo mnimo se da en el hueco 5 donde T= 1,612 (s)

Entonces de la ec. (2) Il = IG + Ml2

De datos se tiene: IG= 0.2068 , M=1.97 Kg, l = 0.308 m

Il = 0.2068 + (1.97) (0.358)2 = 0,459 kg.m2

Entonces:

Hallando el valor de l con Il dada por la ec. (2) En la ec. (1) T= 2 (Il / Mgl)1/2 . l = 42 Il / T2Mg = 42 (0.459) / (1.612)2(1.97) (9.8) = 0.361 m

c) Compare el valor de l obtenido en (b) con el que se obtiene de la grafica en (a).

De la ecuacin: F(X) = 0.0012X2 - 0.0856X + 3.0211

Derivando y hallando mnimos: F1 = 0.0024X - 0.0856 = 0

X = 35.67 cm = 0.357 mSe puede apreciar que existe una diferencia de 0,004 m o sea 0,4 cm. Donde en (a) la distancia es menor que en (b)

d) Cul es el periodo para esta distancia?

De: T= 2 (Il / Mgl)1/2 = 2 [0.459 / (1.97) (9,8) (0.361)]1/2 = 1,612 s

e) De su grafico, puede deducir dos puntos de oscilacin con el mismo periodo? Indquelos.

Para resolver esta pregunta nos basamos en la ecuacin de la lnea de tendencia de los puntos obtenidos en el experimento, siendo esta:

y = 0,001x2 0,080x + 2,928

Donde y es el periodo T, asumiendo un periodo de 1,612 s

1,612 = 0.0012X2 - 0.0856X + 3.0211 0 = 0.0012X2 - 0.0856X + 1.4091

Aplicando: para una ec. ax2+bx+c =0 sus races son: -b (b2 4ac)1/2 2a Entonces x1 = 45.559 cm y x2 = 25.774 cm

Por tanto para los puntos 45.559 y 25.774 su periodo ser el mismo, o sea 1,612 (s)

3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relacin (1), el valor de Il y llene la Tabla 2 con las siguientes caractersticas.

Solucin:

Utilizando para cada hueco la siguiente frmula: Il = T2Mg l / 42

Tabla 2

# de huecosEje de oscilacin,l (cm)(Periodo)2T2(s2)Momento de inercia Ilg/cm2L2(cm2)

150,82,89772037,042580,64

245,82,76962079,062097,64

340,82,65052934,891664,64

435,82,61845878,911281,64

530,82,59939179,04948,64

625,82,66333638,22665,64

720,82,85929115,45432,64

815,83,26525254,94249,64

910,84,43123426,15116,64

105,87,67321785,1533,64

4.-Haga el grafico Il vs. l2, y ajstelo cuando los puntos estn muy dispersos.

XYXYX2

2580,647203703,651859016586659702,81

2097,646207906,061302195214400093,57

1664,645293488,5688117527,92771026,33

1281,644587890,8358800244,11642601,09

948,643917904,1437166805,8899917,85

665,643363822,1722390945,9443076,61

432,642911545,3912596510187177,37

249,642525494,386304644,1762320,1296

116,642342615,272732426,4513604,8896

33,642178514,96732852,4321131,6496

10071,440532885,4154496313517080652,3

Realizando un ajuste lineal:

40532885,41 = a(10) + b(10071,4) 544963135 = a(10071,4) + b(17080652,3)

a = 2068139.93 b= 1971.08 Ecuacin: 1971.08X + 2068139.93

Grafico Il vs. l2

5.-Del grafico anterior, y por comparacin con la ecuacin (2), determine IG y M.

Solucin:

Comparando al ecuacin (2), Il = IG + Ml2, con la ecuacin obtenida del grafico Il vs. l2 con el respectivo ajuste, Il = 1971.08 L2 + 2068139.93 se obtienen los valores de:

IG =2068139.93 g.cm2

M =1971.08 g

6.-Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analtica para una barra de longitud L y ancho b, IG =M (L2 + b2)/12. Qu error experimental obtuvo? Y Qu puede decir acerca de la masa?

Solucin:Datos obtenidos experimentalmente: M ex. = 1970g L =111cm B =3,75cmRemplazando en la formula analtica:

IG =M (L2 + b2)/12 IG = 2025006.094 g.cm2

Halando el error experimental para el IG:

%E = (2068139.93 2025006.094) x 100 = 2.13 % aproximadamente. 2025006.094

El error obtenido fue debido a que la formula analtica no considerar los huecos que tenia la barra sino considera que esta fuese uniforme.

En cuanto a la masa M el valor obtenido mediante la grafica es muy prximo al valor real medido experimentalmente. M =1970 g (experimental) M =1971.08 g (por ajuste)%E = 0,055 %

7) Halle la longitud del pndulo simple equivalente, para este clculo solicite al profesor de aula que asigne el numero de hueco.

Entonces de: l = 42 Il / T2Mg

Para el hueco # 5 su l ser:

l = 42 (0.39) / (2,599) (1,97) (9,8) = 0,24 m

8) Demuestre en forma analtica las relaciones (1) y (2)-Para la relacin (1):

En un pndulo fsico, el cuerpo esta desplazado un ngulo de la posicin de equilibrio, la distancia de O (punto de apoyo) al centro de gravedad es l, siendo su masa M.Cuando el cuerpo se desplaza causa un momento de torsin que por teora se sabe que es: = + (mg) (lsen )

Donde ser negativo si el momento de torsin es horario y ser positivo si es antihorario.

Entonces como es pequeo podemos considerar: sen = Por lo que se considera un movimiento aproximadamente armnico simple.

= (mgl) ()

La ecuacin de movimiento es = I ..Por tanto.

(mgl) = I = Id2 d2 = mgl dt2 dt2 I

Por tanto la frecuencia est dada por: w = (mgl /I)1/2, entonces el periodo es:

T = 2 (I/ mgl)1/2-Para la relacin (2):

Se sabe q un cuerpo tiene un nmero ilimitado de puntos por el cual se podra tomar un eje y hacerlo girar entonces supongamos que tenemos un cuerpo en el eje xy donde su centro de masa esta en el punto 0 que tiene como eje de giro z:

yi --------------------------------------mi yi-b a P xi- a d b x O xi

El momento de inercia que pasa por el centro de masa (en el punto 0) es:

Icm = mi( xi2 + yi2)

Entonces el momento de inercia alrededor del eje paralelo que pasa por P es:

Ip = mi [(xi-a) 2 + (yi-b) 2]

Desarrollando la ecuacin, queda:

Ip = mi( xi2 + yi2) 2ami xi 2bmi yi + (a 2+ b) 2mi

Obs.: 2ami xi y 2bmi yi se anulan porque son proporcionales a xcm y ycm que son cero porque se toman desde el origen.

Por tanto: Ip = mi( xi2 + yi2) + (a 2+ b) 2mi = Icm + Md2

F) CONCLUSIONES:

En el experimento hallar el momento de inercia respecto de algn hueco resulta ms fcil usando la ecu. (1) que la ecu.(2).

A medida que nos aproximamos al hueco que se encuentra en el centro de la barra el periodo no experimenta una lnea recta de descenso o de ascenso sino una curva.

El mtodo para hallar el IG y mediante la grafica fue bueno ya que se obtuvo un error experimental muy pequeo.

Obtenemos un perodo mnimo cuando el eje de giro se encuentra entre el hueco 5 y 6, a partir de estas empieza a aumentar.

Como el error es mnimo podemos concluir que el clculo del momento de inercia y el periodo son casi exactas si se realiza un experimento tcnicamente bien hecho.

G) OBSERVACIONES:

La amplitud de oscilacin en el experimento disminuye con el paso del tiempo debido a que existe un a fuerza de friccin en contra del movimiento.

Se puede decir que cuando medimos el momento de inercia de la barra con huecos esta se aproxima al valor del momento de inercia de la barra, por lo tanto se puede considerar nula el momento de inercia de los huecos.

-Se observa que para los tres agujeros mas cercanos al centro de gravedad solo de ha considerado 10 oscilaciones en vez de veinte debido a que la amplitud cada vez tiende a cero.

Durante la confeccin del grafico, ser precisos fue costoso por la poca precisin de la regla milimetrada, as como la dificultad del observador para centrar la posicin

Para el clculo del periodo fue complicado lograr que el pndulo oscilara de forma unidimensional, la placa se mova en forma dispareja (no solo oscilaba de derecha a izquierda, sino que tambin de atrs hacia delante)

H) RECOMENDACIONES:

Al momento que oscila el pndulo se debe verificar que la barra este en un plano vertical.

Se puede hacer uso de un nivel, para verificar que la lnea que une el centro de gravedad con el punto de giro sea perpendicular, con la lnea horizontal que contiene el punto de giro.

Se debe tomar en cuenta que para que el movimiento de la barra sea un MAS el ngulo se oscilacin sea menor a 15 grados.

I) BIBLIOGRAFIA:

Alonso, M y Finn, E. Fsica vol.1. Mexico. Addison-Wesley Iberoamericana.1986.

Manual de laboratorio de fsica general,, facultad de ciencias, pag 67, 68,69,

Resnick-Halliday. Fisica Parte 1. Editorial Continental. Ao 1974.

Sears Semandky, fisica universitaria, volumen I, edicin XI, editorial Pearson, Mxico 2004 pag 476-498.

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