Informe: Leyes de Kepler

“Mecánica Celeste”

Presentado Por:

Lizeth Mallerly Herrera Celis

Jared German Parrado Manzano

Curso: Decimo C

Presentado A:

Edgar Beltran

Gimnasio Monseñor Manuel Maria Camargo

Fisica

Grado Decimo– Estatica y Equilibrio

Bogotá 10 de Julio de 2012

LEYES DE KEPLER: “Mecánica Celeste”

Temáticas como el origen del mundo, la conformación del mismo y la realidad de este son aspectos fundamentales en la mente del hombre, que llegan a contrarrestar la duda e imprecisión de su origen y el ambiente en el que se mueven. Es así como los antiguos, iniciaron investigaciones basándose los unos a los otros tanto en sus propias ideas como en la de sus contemporáneos y así mismo a partir de experiencias y explicaciones infundieron problemáticas que más adelante se convertirán en fichas claves para dar solución a miles de cuestionamientos.

Este es el Caso de Johannes Kepler, un astrónomo matemático alemán el cual en la mayoría de sus años de vida quiso comprender y explicar el movimiento de los planetas basándose en leyes propuestas anteriormente, las cuales fueron estudiadas muy bien antes de su real establecimiento, Para así mismo crear lo que se conoce como las llamadas “leyes sobre el movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol” en las cuales pudo definir el movimiento de los planetas que conocía y un modelo del sistema solar en donde intentó demostrar que las distancias de los planetas al Sol venían dadas por esferas en el interior de poliedros perfectos, anidadas sucesivamente unas en el interior de otras. En la esfera interior estaba Mercurio mientras que los otros cinco planetas (Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno) estarían situados en el interior de los cinco sólidos platónicos correspondientes también a los cinco elementos clásicos.

De este modo el objetivo principal de Kepler era dar respuesta al tema astronómico por medio de la matemática y así lograr desarrollar las LEYES DE KEPLER; las cuales establecen los ideales del astrónomo basados en la geometría y la aritmética como medio principal de dicha solución. Siendo este uno de los tantos modelos que se plantearon en la antigüedad y muy pocos fueron los aceptados y aplicados.

PRIMERA LEY DE KEPLER

“Las órbitas de los planetas son elípticas y el Sol se encuentra en uno de sus focos.”

Como la distancia del planeta al Sol varía, cuando se encuentra más lejos se denomina Afelio, y cuando está más cerca se denomina Perihelio.

Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:

Semieje mayor a=(r2+r1)/2

Semieje menor b

Semidistancia focal c=(r2-r1)/2

La relación entre los semiejes es a2=b2+c2

La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r2-r1)/(r2+r1)

SEGUNDA LEY DE KEPLER

“Una línea que una el Sol con el planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.”

De esta manera se indica que la velocidad del planeta en su órbita no es constante y cuando está en el afelio su recorrido es más lento que cuando está en el perihelio.

TERCERA LEY DE KEPLER

“La relación entre los cuadrados del periodo de órbita de dos planetas es igual al radio del cubo de sus ejes semimayores”

Esta ley implica que el tiempo que un planeta demora en orbitar al Sol incrementa con el radio de su órbita (entre mas cercano al Sol un planeta, gira mas rápido y viceversa).

Esta última ecuación puede ser usada para calcular la distancia promedio de un planeta al Sol en Tiempo (años) y Distancia (Unidades Astronómicas)

P (años)2 = R (U.A.)3

P (años) = R (U.A.)3/2 (tiempo en orbitar al Sol o periodo)

R (U.A.) = P (años)2/3 (distancia en U.A promedio del planeta al sol)

Para resolver estas ecuaciones debe tenerse el periodo de órbita o la distancia calculada por otros métodos como paralaje.

Algunas de las aplicaciones y ejemplos de dichos ideales son representados en los siguientes Ejercicios:

LEYES DE KEPLER Y LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

EJERCICIOS

EJERCICIO1

La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la

Tierra. Calcula lo que pesará en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa

De 70 kg.

SOLUCIÓN 1

Aplicando la ley de gravitación universal en la superficie de la Luna, se tiene:

PL = G * mL *m = G * (mT /81) *m = 16 * G *mT * m = 16* g0,T · m

R2L (RT /4) 81 R2T 81

Sustituyendo:

PL = 16 * 9,8 * 70 = 135,5N

81

EJERCICIO 2

Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el Movimiento de rotación de la Tierra sobre sí misma y considerando a la ´orbita de la Tierra Como circular. Datos: MT = 6 · 10 elevado 24kg; T orbita = 1,5 *10 elevado 8 km.

v = 2 *π * r = 2 * π * 1,5 * 10 elevado 8 = 30km/s

t 365 * 24 * 3600

Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la ´orbita de

la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posicion y el vector velocidad

de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular

de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la orbita del planeta,

Cuyo modulo es:

|L~| = |~r × m · ~v| = r · m · v · sin 90◦= 1,5 · 10elevdo11· 6 · 10elevado24· 3 · 10elevado4 = 2,7 · 10elevado40 kg· m2/ s

BIBLIOGRAFIA

EJERCICIOS:

1. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centrostic/41008970/helvia/sitio/upload/ boletin_01.pdf

INFORMACIÓN

1. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/kepler/kepler.htm 2. http://almaak.tripod.com/temas/leyes_kepler.htm 3. http://es.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler 4. http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kepler 5. http://almaak.tripod.com/temas/leyes_kepler.htm