Informe Parte II

2015

Carrera profesional de Ingeniería Civil

RESPONSABLES:

AYALA NAVARRO R .DANIEL BRAVO MONTEZA IRWING CARRASCO LOPEZ KATERINE PÉREZ URIARTE JOSE SOBERON SANCHEZ JORGE YAJAHUANCA GAITAN JHON

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN

MÉTODOS NUMÉRICOS

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN FACULTAD DE INGENERIA CIVIL

CONTENIDO

CAPÍTULO 1.................................................................................................................................2

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES..............................................................................2

1.2. CONCEPTOS PRELIMINARES.................................................................................2

1.2.2. MATRIZ..................................................................................................................2

1.2.3. TIPOS DE MATRICES........................................................................................4

1.2.4. OPERACIONES CON MATRICES....................................................................6

1.3. MÉTODOS DE SOLUCIÓN........................................................................................7

1.2.4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE ECUACIONES......................................................................................................................8

1.2.5. ELIMINACIÓN DE GAUSS – JORDAN...........................................................10

1.2.6. ALGORITMO DEL MÉTODO DE GAUSS JORDAN....................................13

CAPITULO 2...............................................................................................................................18

2.1. AJUSTE DE CURVAS...............................................................................................18

2.2. REGRESION LINEAL................................................................................................19

2.3. algoritmo de regresion lineal.....................................................................................21

2.4. EJEMPLO: Ajuste a un modelo de regresión lineal...............................................22

2.5. PROGRAMACIÓN EN MAPLE:...............................................................................22

2.6. REGRESION POTENCIAL.......................................................................................23

2.7. REGRESIÓN NO LINEAL.........................................................................................25

METODOS NUMÉRICOS

2


CAPÍTULO 1

SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

1.2. CONCEPTOS PRELIMINARES

1.2.2. MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en

filas y columnas. Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tales como A,

B, C,…..etc; y a ij representa un elemento individual de la matriz.

El primer subíndice i siempre designa el número de la fila en el cual está

el elemento y el segundo subíndice j designa la columna.

[A ]=[a11

a21

⋮an

a12

a22

⋮an2

a13 ⋯ a1m

a23 … a2m

⋮an3

… ⋮… anm

] La matriz presentada tiene n renglones y m columnas, y se dice que tiene

una dimensión de n por m (o n x m). Ésta se conoce como una matriz n por m.

Matrices con dimensión columna m=1, como

[B ]=[ b1

b2

⋮bm

]Matrices con dimensión renglón n=1, como

[C ]=[c1 c2 … cn ]

Son llamados vectores renglón

1.2.3.2. Diagonal principal de una matriz

Dada la matriz cuadrada An=[aij ] se llama DIAGONAL PRINCIPAL al conjunto.

METODOS NUMÉRICOS

Columnas

Filas

3


D (a11 , a22 , a33 ,……….ann).

EJEMPLO:

A4=[ 5 3 −7 5−2 4 6 293

−56

3 42 2 ]; D (5, 4, 3,2) Es la diagonal principal de A4 .

1.2.3.3. Traza de una matriz

Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y

se denota por Tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la

diagonal principal.

EJEMPLO

De la matriz anterior se tiene que la diagonal principal es (5,4, 3,2), entonces la

traza seria:

Tr (A4 )=5+4+3+2Tr (A4 )=14

1.2.3.4. Rango de una matriz

Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que

son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son

iguales: este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se

expresa como rg(A).

El número de columnas independientes de una matriz A m por n es igual

a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio

fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno y

menor o igual que el mínimo entre m y n.

1.2.3.5. Teorema de Rouché – Frobenius

El teorema de Rouché- Frobenius nos permite calcular el número de

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, en función del rango de la

METODOS NUMÉRICOS

4


matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada o aumentada asociada al

sistema.

¿

Puede ser escrito mediante una matriz.

(A /B)=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31

⋮am1

a32

⋮am2

a33

⋮am3

… a1nb1

… a2nb2

…a2nb3

⋮amnbm

] A=[ a11 ⋯ a1n

⋮ ⋱ ⋮am1 ⋯ amn

]

B=[ b1

⋮bm]

En conclusión:

Existen soluciones para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es

igual al rango de la matriz incompleta.

Entonces, si existen soluciones, estás forman un sub-espacio afín de Knde

dimensiones n−rg(A). Además.

i. Si rg(A /B)=n=rg(B) entonces la solución es única.

ii. Si rg(A /B)=rg(B)<n , existen infinitas soluciones.

iii. Si rg(A /B)≠ rg(B) no existen soluciones.

1.2.3. TIPOS DE MATRICES

1.2.4.2. Matriz diagonal

Una matriz diagonal es aquella en la que todos los elementos son cero

excepto los de la diagonal principal.

METODOS NUMÉRICOS

5


[ A ]=[a11 0 00 a22 00 0 a33

]1.2.4.3. Matriz identidad

Es una matriz diagonal donde todos los elementos sobre la diagonal

principal son iguales a 1

[ I ]=[1 ¿1 ¿1]

El símbolo [ I ] se utiliza para denotar la matriz identidad. La matriz

identidad tiene propiedades similares a la unidad.

1.2.4.4. Matriz triangular superior

Es aquella donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal

son cero.

[ A ]=[a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33]

1.2.4.5. Matriz triangular inferior

Es aquella donde todos los elementos por arriba de la diagonal principal

son cero

[A ]=[a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33

]1.2.4.6. Matriz bandeada

Tiene todos los elementos iguales a cero, con la excepción de una banda

centrada sobre la diagonal principal. Por consiguiente, el siguiente arreglo

matricial es una matriz tridiagonal también llamada matriz bandeada, en este

caso con tres bandas.

METODOS NUMÉRICOS

6


1.2.4.7. Matriz aumentada

Resulta cuando a la matriz original se le agrega una o más columnas, por

ejemplo, la siguiente matriz es aumentada.

[ A ]=[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

1.2.4. OPERACIONES CON MATRICES

1.2.4.1. Suma y resta con matrices

La suma y resta de matrices se puede llevar a cabo, si y solo si, las

matrices a sumar o restar tienen la misma dimensión.

Es decir,[A ]=[ B ] si aij=b ij para todo i y j.

La suma de dos matrices, por ejemplo, [ A ] y [B ] se obtiene al sumar los

términos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz resultante

[C] son:

c ij=a ij+b ij

La resta de dos matrices, por ejemplo, [D ] y [E ] se obtienen al restar los

términos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz resultante

[F] son:

f ij=d ij+eij

1.2.4.2. Multiplicación con matrices

La multiplicación de una matriz [C ] por un escalar g se obtiene

multiplicando cada elemento de [C ] por el escalar g, así que,

[D ]=g [A ]=[ ga11 ga12 … ga1m

ga21 ga22 … ga2m

⋮gan1

⋮g an2

… ⋮… ganm

]METODOS NUMÉRICOS

7


El producto de dos matrices se simboliza como [C ]=[ A ] [B ] y se define

c ij=∑k=1

n

a ikb jk

Donde n es la dimensión columna de [A] y de los renglones de [B]. Es

decir, el elemento c ijse obtiene al sumar el producto de elementos individuales

del i-ésimo renglón de la primera matriz, en este caso [A], por la j-ésima columna

de la segunda matriz [B].

En otras palabras, el número de columnas de la primer matriz, debe ser

igual al número de renglones de la segunda matriz, de otra manera no puede

efectuarse la multiplicación matricial.

1.2.4.3. División de una matriz

Aunque la multiplicación es posible, la división de matrices no está

definida. No obstante, si una matriz [A] es cuadrada y no singular, existe otra

matriz [A]-1, llamada la inversa de [A], para la cual

[A][A]-1 = A]-1 [A] = [I]

La multiplicación de una matriz por la inversa es análoga a la división, en

el sentido de que un número dividido por sí mismo es igual a 1. Es decir, la

multiplicación de una matriz por su inversa nos lleva a la matriz identidad.

1.3. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

En esta sección se analizarán las ecuaciones algebraicas linéales

simultáneas que en general se representan como:

¿

[a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2m

⋮an1

⋮an2

… ⋮… anm

] [x1

x2

⋮xn

]=[ b1

b2

⋮bm

]

METODOS NUMÉRICOS

MATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR VARIABLE

TÉRMINO INDEPENDIENTE

8


Y se resolverá usando el Método de Gauss-Jordán, uno de los más

antiguos para resolver ecuaciones lineales simultáneas, siendo uno de los

algoritmos de mayor importancia, y es la base para resolver ecuaciones lineales

en muchos paquetes de software populares.

1.2.4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE

ECUACIONES

Estos métodos son apropiados para la solución de pequeños sistemas de

ecuaciones simultáneas (tienen igual o menos de tres incógnitas) que no

solicitan de una computadora; los métodos son los siguientes: el método gráfico,

la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.

1.2.4.1. Método gráfico

Este método consiste en obtener la solución de dos ecuaciones al

graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro

a x2 como en estos sistemas lineales cada ecuación se relaciona con una línea

recta, se puede ilustrar mediante ecuaciones generales.

Por ejemplo tenemos dos ecuaciones:

a11x1+a12 x2=b1

a21 x1+a22 x2=b2

En ambas ecuaciones se puede despejar x2 :

x2=−( a11

a12)x1+

b1

a12

x2=−( a21

a22)x1+

b2

a22

Ahora tenemos dos ecuaciones en la forma de línea recta, es decir

x2=( pendiente ) x1+intersección. Donde x2 se grafica como la ordenada y x1 como la

abscisa. Los valores de x1 y x2 en la intersección de las líneas representa la

solución.

Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y, por

consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas.

METODOS NUMÉRICOS

9


1.2.4.2. Determinantes y la regla de Cramer

La regla de Cramer es otro método para resolver un pequeño sistema de

ecuaciones. Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de

ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos

determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al

reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las

constantes b1, b2,…, bn.

x1=|b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33|

D

Para entender mejor es necesario conocer el concepto de un

determinante.

2.3.4.2.1. Determinante

El determinante de una matriz es la función que aplicada a una matriz

cuadrada de orden “n” la transforma en un número real. La matriz con el

determinante se compone de los mismos elementos, pero con conceptos

matemáticos completamente diferentes. Por eso, para distinguirlo visualmente

se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el

determinante. En contraste con una matriz, el determinante es un simple

número.

Determinante de una matriz de 2° orden

Sea A=(a11 a12

a21 a22)

Se calcula como |A|=|a11 a12

a21 a22|=a11 . a22−a12 . a21

Determinante de una matriz de 3° orden

METODOS NUMÉRICOS

10


Sea [A ]=(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Se calcula como |A|=a11|a22 a23

a32 a33|−a12|a21 a23

a31 a33|+a13|a11 a12

a21 a22|1.2.4.3. La eliminación de incógnitas

La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaciones es

un método algebraico que consiste en buscar que la variable a eliminar, tenga el

mismo coeficiente en el sistema para lo cual se multiplica cada ecuación por el

coeficiente que tenga la otra. Sumando o restando las ecuaciones.

Ejemplo:

2 x+ y=16…………… .. (α )

3 x−2 y=10…………… .. (β )

Solución:

Multiplicando la ecuación (α ) por 2, tenemos:

4 x+2 y=323 x−2 y=10

__________________7x= 42 x= 6

Reemplazando el valor x en (α )⇒ y=4

1.2.5. ELIMINACIÓN DE GAUSS – JORDAN

1.2.4.1. ELIMNACION DE GAUSS SIMPLE

El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de

cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier

número de ecuaciones y de incógnitas

¿

Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver n ecuaciones consiste en dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás.

METODOS NUMÉRICOS

11


La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. El paso inicial será eliminar la primera incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello, se multiplica la ecuación 1 por a21/a11 para obtener.

a21 x1+a21

a11a12 x2+…+

a21

a11a1n xn=

a21

a11b1

Ahora esta ecuación se resta de la ecuación 2 para dar

(a22−a21

a11a12) x2+…+(a2n−

a21

a11a1n) xn=b2−

a21

a11b1

a22 x2+…+a2n xn=b2

Donde el superíndice indica que los elemntos han cambiado sus valores

originales

El procedimiento se repite después con las ecuaciones restantes. La ecuación 1

se llama la ecuación pivote, y a su a11 se denomina el coeficiente o elemento

pivote.

METODOS NUMÉRICOS

Sustitución hacia atrás

Eliminación hacia adelante

[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

[a11 a12 a13 . b1

0 a22 a23 . b2

0 0 a33´ ´ . b3

´ ´]x3=c3

}} over {{a} rsub {33} rsup {

x2=(c2

´−a23´ x3 )

a22

x1=c1−a12 x2−a13 x3

a11

12


1.2.4.2. GAUS JORDAN

El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de Gauss.

La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el

método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no

sólo de las subsecuentes. Además, todos los renglones se normalizan al

dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera

una matriz identidad en vez de una triangular.

En consecuencia, no es necesario usar la sustitución hacia atrás para

obtener la solución.

Pasos para encontrar la solución a través de Gauss Jordan de sistemas

cuadrados de ecuaciones lineales.

Se expresan los coeficientes y el vector de términos independientes como una

matriz aumentada

[A B ]

METODOS NUMÉRICOS

=b1(n)

=b2(n)=

b3(n)

[a11 a12 a13 . b1

a21 a22 a23 . b2

a31 a32 a33 . b3]

[1 0 0 . b1(n)

0 1 0 . b2(n)

0 0 1 . b3(n)]

x1 ¿x2 ¿ x3

13


Se selecciona de la diagonal principal de A, el pivote; se normaliza la 1ra fila (se

divide entre el coeficiente de la primera incógnita).

Se multiplica la primera fila por el 1er coeficiente de las siguientes filas, y se

restan.

Se normaliza la 2da fila y se multiplica por el 2do coeficiente de las otras filas y

se restan.

Se normaliza la 3ra fila y se multiplica por el 3er coeficiente de las otras filas y se

restan.

Se repiten los pasos tantas veces como elementos tenga la diagonal principal,

es decir, hasta que en lugar de la matriz de coeficientes A se ha convertido en

una matriz identidad I, teniendo ahora el último sistema equivalente, como,

[ I Bsol ]

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A y Bsol es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

1.2.6. ALGORITMO DEL MÉTODO DE GAUSS JORDAN I. Escribir el sistema de ecuaciones lineales y el número de incógnitas “n”.

II. Definimos la matriz coeficiente(A) , la matriz de n-incógnitas(X), la matriz

términos independientes(B) y la matriz aumentada del sistema(A/B).

III. Se escribe la forma matricial AX=B.

IV. Reducir la matriz ampliada (A/B) a la forma canónica.

V. De la forma canónica hallamos el rango de A y el rango de la matriz

ampliada.

VI. A continuación, evaluamos lo siguiente:

w=ra (A )=ra (A /B){ Sies asi el sitema escompatibleSinoes asi el sistemanoes compatible yautomaticamente se detiene el programa.

VII. Se volverá a evaluar :

w ,n { si w=n , existeunica soluciónsiw<n , existen infinitas soluciones

VIII. Hallamos la solución al sistema de ecuaciones lineales.

METODOS NUMÉRICOS

14


El método se ilustra mejor con un ejemplo:

Con la técnica de Gauss-Jordán resuelva el sistema del ejemplo:

2 x +¿3 y +¿ z ¿ 13 x −¿2 y −¿ 4 z ¿ −35 x −¿ y −¿ z ¿ 4

Solución.Primero, exprese los coeficientes y el lado derecho como una matriz aumentada:

[2 3 1 13 −2 −4 −35 −1 −1 4 ]

Luego normalice el primer renglón, dividiéndolo entre el elemento pivote, 2, para obtener

[1 3 /2 1/2 1/23 −2 −4 −35 −1 −1 4 ]

El término x1 se elimina del segundo renglón restando -3 veces al primer renglón del segundo. En forma similar, restando -5 veces el primer renglón del tercero, se eliminará el término x1 del tercer renglón:

[1 3/2 1/2 1/2

0 −132

−112

−92

0 −172

−72

32

]En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiéndolo entre: - 2/13

[1 3/2 1 /2 1/2

0 1 1113

913

0 −17/2 −7 /2 3/2]Al reducir los términos x2 de las ecuaciones primera y tercera se obtiene

METODOS NUMÉRICOS

15


[1 3 /2 1/2 1/2

0 1 1113

913

0 0 96 /13 192/13]El tercer renglón se normaliza después al dividirlo entre 13/96

[1 3 /2 1/2 1/2

0 1 1113

913

0 0 1 2 ]Por último, los términos x3 se pueden eliminar de la primera y segunda ecuación para obtener

[1 0 0 10 1 0 −10 0 1 2 ]

x1=1 x2=−1x3=2

De esta forma, la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad, y la solución se obtiene en el vector del lado derecho.

Ejemplo 2.3 x +¿5 y +¿6 z −¿5w ¿ 382 x +¿2 y −¿4 z +¿w ¿ 34x

−5 x¿

Se resolverá con maple METODO DE GAUSS JORDAN.mw

1.2.4.1. MÉTODO DE GAUSS SEIDEL

El Método de Gauss-Seidel es un método iterativo, que se basa en

obtener valores iniciales que en sucesivas operaciones se van aproximando a

las soluciones reales.

¿

Sea un conjunto de n ecuaciones:

Si los elementos de la diagonal son diferentes a cero, la 1ra ecuación se

resuelve para x1 , la 2da ecuación para x2y así sucesivamente.

METODOS NUMÉRICOS

16


x1=b1−a12 x2−a13 x3−…−a1n xn

a11

x2=b2−a21 x1−a23 x3−…−a2n xn

a22

xn=bn−an1 x1−an2 x2−…−ann−1 xn−1

ann

Se empieza el proceso de solución usando un valor inicial para las x. Todas las x

valen cero (0).

Se sustituyen los valores en la 1ra ecuación para hallar x1, para luego

reemplazar el valor hallado de x1 en la 2da ecuación para hallar x2, y así

sucesivamente hasta llegar a la última ecuación.

1.2.4.2. ALGORITMO DEL MÉTODO DE GAUSS SEIDELI. Declaramos las ecuaciones del sistema lineal, y “n”.

II. Evaluamos el teorema de ROUCHÉ – FROBENIUS.III. Evaluamos la convergencia: Ser matriz diagonal dominante, matriz

simétrica.IV. Despejamos cada una de las variables con respecto a cada variable y

obtenemos las ecuaciones base.

x1=b1−a2 x2−a3 x03−⋯−an xn

a1⋮ xn=

bm−am2 x2−am3 x03−⋯−amn−1 xn−1

amnV. Encontramos la primera aproximación, para eso igualamos el resto de

variables a cero, para calcular dicha variable.

x1 [ 1 ] , si x2=x3=⋯=xn=0x2 [ 1 ] , si x1=x1 [1 ] , x3=x4=⋯=xn=0⋮

xn [1 ] , si x1=x1 [1 ] , x2=x2 [ 1 ] ,⋯ , xn−1=xn−1 [1 ]VI. Evaluamos el error para cada variable, a partir de la segunda iteración.

Ei=x i−1−x i

x iVII. Para que pare de iterar tenemos que evaluar si el error de cada variable

es menor que (0.5∗10n−2), si se cumple, fin a la iteración.

Ejemplo:

Tenemos un sistema de ecuaciones:

METODOS NUMÉRICOS

17


3 x - 5 y - 2 z = 6

x + 6 y - 4 z = -15

4 x - 5 y + 6 z = 35

1. Despejamos las variables

x=6+5 y+2 z3

y=−15−x+4 z6

z=35−4 x+5 y6

2. Igualamos a y=0 y z=0, se sustituye en la ecuación de x

x1=6+5∗0+2∗0

3x1=2

y1=−15−2+4∗0

6y1=−2.8333

z1=35−4∗2+5∗−2.8333

6z1=2.1388

3. Los valores obtenidos se reemplazan en las ecuaciones iniciales y se

hallan nuevos valores en la 2da iteración, y se calcula el Ea:

x2=6+5∗−2.8333+2∗2.1388

3x2=−1.2929

Ex2= 254.69 %

y2=−15+1.2929+4∗2.1388

6y2=−4.1728

Ey2 = 32.1%

z2=35−4∗−1.2929+5∗−4.1728

6z2=3.220

Ez2=33.57%

Y así hasta obtener un error menor que (0.5∗10n−2)

x17=6+5∗+2∗2.1388

3x17=−4.217

METODOS NUMÉRICOS

18


Ex17= 0.000106 %

y17=−15−4.217+4∗2.1388

6y17=−5.391

Ey17 = 0.00041%

z17=35−4∗−4.217+5∗−5.391

6z17=4.152

Ez17=0.00037%

Los errores con menores que 0.00050000

Este ejemplo se desarrolla mejor con maple gauss seidel.mw

CAPITULO 2

2.1. AJUSTE DE CURVAS

En la práctica dos o más variables suelen relacionarse de alguna

manera, como lo hacen la talla y el peso, la masa y el volumen, entre otras

relaciones. En muchos casos es conveniente encontrar las relaciones entre

las variables y si son posibles las expresiones matemáticas que describen

tal relación. Si la relación no es evidente o directa, entonces es necesario hacer

aproximaciones o estimaciones a partir de los datos. Esto se puede lograr

usando el diagrama de dispersión (nube de puntos) que consiste en graficar

N pares ordenados (X , Y) , correspondientes a valores relacionados de las

variables en consideración, en un sistema rectangular. En un diagrama de

dispersión es posible observar una curva suave que se aproxime a los datos,

esa curva puede ser lineal o no lineal y se conoce como la curva aproximante y se concluye que la relación es lineal o no lineal dependiendo de las

características de la curva. El problema de encontrar curvas aproximantes se

llama ajuste de curvas.

2.2. REGRESION LINEAL

METODOS NUMÉRICOS

19


También se conoce como Aproximación por Mínimos Cuadrados. El Método consiste en hallar una línea recta que pase entre el conjunto de datos dados. La expresión de una línea recta es: y = a x + b

El análisis de regresión lineal, en general, nos permite obtener una función lineal de una o más variables independientes o predictoras (x1, x2,... xk) a partir de la cual explicar o predecir el valor de una variable dependiente o criterio (Y).

y = a x + b + E

Y es la variable a predecir;a y b son parámetros desconocidos a estimar; y E es el error que cometemos en la predicción de los parámetros.

Quedando definido el error como:

E = y - a x - b

El error (o Residuo) es la diferencia entre el valor real de y, y el valor aproximado. Para obtener la mejor línea a través de los puntos, se debe minimizar la suma de los errores residuales:

∑i=1

n

E i=∑i=1

n

( yi−b−ax i)

Pero esta estrategia, y otras más, son inadecuadas. La mejor estrategia consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (Si):

Si=∑i=1

n

Ei2=∑

i=1

n

( yi−b−ax i)2

METODOS NUMÉRICOS

20


Si=∑i=1

n

( yi−b−axi)2

Para hallar a y b, se deriva la ecuación con respecto a cada coeficiente:

∂S i

∂b=−2∑

i=1

n

( y i−b−ax i)

∂S i

∂a=−2∑

i=1

n

( yi−b−ax i)x i

Igualando las derivadas a cero:

0=∑ y i−¿∑ b−∑ axi ¿

0=∑ x i y i−¿∑ b xi−∑ ax i2¿

Hallamos las ecuaciones normales. Y se resuelve a través de un sistema de ecuaciones:

a=n∑ xi y i−∑ x i∑ y i

n∑ x i2−(∑ x)

2

b= y a x

Error Estándar de la Aproximación

Cuantifica la dispersión alrededor de la línea de dispersión:

Sy / x=√ srn−2

Sy / x: medida de dispersión

Donde el subíndice yx designa que el error es para un valor predicho de

“y” y corresponde a un valor particular de “x”

Si: sr=∑ ( y i−f (xi))2

st=∑ ( y i− y )2

La eficiencia del ajuste se cuantifica con el Coeficiente de Determinación:

r2=St−SrS t

r2: Coeficiente de determinación

METODOS NUMÉRICOS

21


Y con el Coeficiente de Correlación:

r=√ St−SrS t

2.3. algoritmo de regresion lineal

1. Copiamos nuestra nube de puntos.

2. Calculamos, la suma de todos los x, la suma de todos los y , la suma de la multiplicación de los x*y, la resta de los y con la media aritmética de y elevada al cuadrado.

3. Encontramos el a y el b con la siguiente formula:

a=n∑ xi y i−∑ x i∑ y i

n∑ x i2−(∑ x)

2

b= y a x

4. Se calcula los parámetros de regresión lineal

Sy / x=√ srn−2

sr=∑ ( y i−f (xi))2

r2=St−SrS t

r=√ St−SrS t

5. Si r2 es igual a 1 entonces el ajuste es 100 % variable , si r2 es igual a cero entonces el ajuste no presenta mejorías

2.4. EJEMPLO: Ajuste a un modelo de regresión lineal

X 2 3 5 7 8Y 14 20 32 42 44

Solución

METODOS NUMÉRICOS

X Y XY X^22 14 28 43 20 60 95 32 160 257 42 294 498 44 352 6425 152 894 151

N= 5A= 5.1538461

5B= 4.6307692

3

22


2.5. PROGRAMACIÓN EN MAPLE:

restart;

n : colocamos el numero de valores

with(LinearAlgebra);

with(plots)

X := [valores de x];

Y := [valores de y];

Promediox := evalf((sum(X[i], i = 1 .. n))/n);

Promedioy := evalf((sum(Y[i], i = 1 .. n))/n);

a1 := evalf((n*(sum(X[i]*Y[i], i = 1 .. n))-(sum(X[i], i = 1 .. n)).(sum(Y[i], i = 1 ..

n)))/(n*(sum(X[i]^2, i = 1 .. n))-(sum(X[i], i = 1 .. n))^2));

a0 := evalf(Promedioy-a1*Promediox);

a := plot(X, Y, style = point, symbol = diamond, color = blue);

b := implicitplot(y = a1*x+a0, x = intervalos que alcanza la gráfica, y =

intervalos que alcanza la gráfica);

display(a, b);

f := unapply(a1.x+a0, x);

E := [seq(abs(Y[i]-f(X[i])), i = 1 .. n)];

SR := evalf(sum((Y[i]-f(X[i]))^2, i = 1 .. n));

ST := evalf(sum((Y[i]-Promedioy)^2, i = 1 .. n));

SY := evalf(sqrt(ST/(n-1)));

S(y/x) := evalf(sqrt(SR/(n-2)));

r2 := (ST-SR)/ST;

r := sqrt(r2);

Mínimos cuadrados.mw

2.6. REGRESION POTENCIAL

METODOS NUMÉRICOS

Y= 5.15384615

X + 4.63076923

23


Este modelo de regresión es una alternativa cuando el modelo lineal no

logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en

estudio tiene un comportamiento que puede considerarse potencial o

logarítmico. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través

de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:

Este modelo también es conocido como potencial, Cobb-Douglas de primer grado o exponencial inverso.

La función que define el modelo es la siguiente:

y i=ax ib E

- y i : Variable dependiente, en la i-ésima observación

- a, b: Parámetros de la ecuación, que generalmente son desconocidos

- E: Error asociado al modelo

- x i : Valor de la í-esima observación de la variable independiente

Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:

y i=ax ib

La ecuación se transforma aplicando logaritmos de ambos lados, con lo

cual se convierte a una forma lineal:

log y i=log (a x ib)

log y i=loga+log xib

log y i=loga+b∗log x i

y¿=a¿+b x¿

Observamos que ahora obtenemos un modelo de regresión lineal, donde

METODOS NUMÉRICOS

24


b=n∑ x¿ y¿−∑ x¿∑ y¿

n∑ x¿2−(∑ x¿)2

a¿= y¿ bx¿

Al encontrar los valores de a y b reemplazamos en el modelo de regresión

potencial:

y i=ax ib

2.6.1. ALGORITMO DE LA REGRESION POTENCIAL

I. Escribimos nuestra nube de puntos

II. Linealizo mi ecuación al tipo potencial.

y=a2 xb2

log y=b2 log x+ loga2

III. Calculo mi nube de puntos, con mi nueva regresión.

POTENCIAL

log y log y

IV. Ahora obtengo una nueva nube de puntos, con la cual usare mi regresión

lineal, explicada anteriormente.

V. Encuentro mi curva, que se ajusta con la nube de puntos.

Ejemplo ilustrativo: ajuste a una función potencial

METODOS NUMÉRICOS

X Y

1 1,25

2 5

3 11,25

4 20

5 30,5

25


n= 5

a=1.9901965

5

b=0.0988766

1

b=100.09887661

b=¿1.25567316

La ecuación: y=1.25567316 x0.09887661

2.7. REGRESIÓN NO LINEAL

El método de mínimos cuadrados permite obtener la mejor recta de ajuste a los datos en el caso de la regresión lineal.

Sin embargo, no siempre existe una relación lineal entre la variable dependiente e independiente.

En algunos casos es posible aplicar transformaciones para expresar los datos en una forma compatible con la regresión lineal. Este es el caso del modelo exponencial y de potencia.

METODOS NUMÉRICOS

x y logx logy logx*logy (logx)^21 1.25 0 0.09691001 0 02 5 0.30103 0.69897 0.21041094 0.090619063 11.25 0.47712125 1.05115252 0.50152721 0.227644694 20 0.60205999 1.30103 0.78329811 0.362476235 30.5 0.69897 1.48429984 1.03748107 0.48855907

15 68 2.07918125 4.63236237 2.53271732 1.16929905

26


El modelo exponencial se linealiza al aplicar el logaritmo natural, para ajustar a una curva de la forma:

y = a1∗eb1∗x

ln ( y )= ln (a1∗eb1∗x)

ln ( y ) = ln (a1 )+ln (eb1∗x) ln ( y )=¿ ln (a1 )+b1 x ln (e )¿ Como que ln e=1, se tiene

ln ( y )= ln (a1 )+b1 x y¿=ln (a1)+b1x

El reto seria hallar a1 y b1.

LINEALIZACION:

METODOS NUMÉRICOS

27


Donde sí representamos el ln ( y ) frente a x obtendremos una recta con pendiente b y corte con el eje de ordenada ln (a1 ) .

Ejercicio: Ajuste un modelo exponencial

x 1 1.2 1.5 2 3 3.7 4 4.5y 3 3.4 5 2 4.1 5 7 6.5

Linealización:

y = a1∗eb1∗x

ln ( y )= ln (a1∗eb1∗x)

ln ( y ) = ln (a1 )+ln (eb1∗x) ln ( y )=¿ ln (a1 )+b1 x ln (e )¿ ln ( y )=ln (a1 )+b1 x

METODOS NUMÉRICOS

28


y¿=ln (a1)+b1 x

Mi nueva nube de puntos seria:

X 1 1.2 1.5 2 3 3.7 4 4.5

ln(y) 1.0986 1.2237 1.6094 0.6931 1.4109 1.6094 1.9459 1.8718

Programa en geogebra:

y = 0.2160x + 0.8684

por lo tanto b1=0.2160

Ahora para hallar a1:

ln (a1 )=0.8684

a1=e0.8684

a1=2.3830La ecuación final sería:

y=2.3830 e0.2160∗x

MODELO DE SATURACION:

El modelo de saturación tiene la forma:

y=a1 xb1+x

La cual se adaptara Aplicando procedimientos para obtener las inversas de las variables; y asemejarse a la de una recta.

1y=b1+xa1 x

1y= 1a1

+b1

a1 x

METODOS NUMÉRICOS

29


Por lo tanto, una gráfica de 1y contra

1x será lineal, con pendiente

b1

a1 y una

intersección de 1a1

. Estos modelos, en sus estados transformados, se ajustan

usando regresión lineal para evaluar los coeficientes constantes.

Obtenemos una ecuación lineal adaptada que será semejante al de una recta

que tiene como puntos ([( 1x1, 1y1 ) ,( 1

x2, 1y2 ) ,…. ,( 1

xn1yn

)]).

y¿= 1a1

+b1

a1x¿

Ejercicio: ajuste un modelo de saturación

x 1 1.2 1.5 2 3 3.7 4 4.5y 3 3.4 5 2 4.1 5 7 6.5

Mi nueva nube de puntos será:

1/x 1 0.8333 0.666 0.5 0.3333 0.270 0.25 0.22222222

1/y 0.33333 0.29411 0.2 0.5 0.2439 0.2 0.142 0.15384615

Programa en geogebra: y=0.19 x+0.16

1a1

=0.16

a1=6.25

b1

a1=0.19

b1=1.1875

Por lo tanto el modelo es:

y= 6.25 x1.1875+x

METODOS NUMÉRICOS

30


Algoritmo del Regresión no lineal I. Defino mi nube de puntos.

II. Linealizar mi ecuación según el tipo de regresión no lineal

(exponencial, potencial, saturación).

EXPONENCIAL POTENCIAL DE SATURACION

y=a1eb1 x y=a2 x

b2 y=a3x

b3+x

ln y= ln a1+b1 x log y=b2 log x+ loga21y=b3

a3

1x+ 1a3

III. Calculo de mi nueva nube de puntos según el tipo de regresión no

lineal (exponencial, potencial, saturación).

EXPONENCIAL POTENCIAL DE SATURACION

x ln y

0.05 6.31

0.4 6.62

0.8 6.91

log x log y

-1.3 2.74

-

0.39

2.88

0.3 3.43

1x

1y

1 0.5

0.

5

1.43

0.

4

1.25

IV. Con mi nueva nube de puntos, usare REGRESION LINEAL, donde

encontrare una recta.

V. Igualo los datos de cada uno según el tipo de regresión no lineal

(exponencial, potencial, saturación).

VI. Finalmente encontrare mi curva no lineal.

METODOS NUMÉRICOS

31


INTERPOLACIÓN

Supongamos que conocemos n+1 puntos (x0 , y0) ,(x1 , y0), ... ,(xn , yn) de

esta determinada curva y=f (x ) que se aprecia en la gráfica. Su objetivo

principal de la interpolación significa encontrar un polinomio p(x ) de grado “n” y

es obligatorio que y=f (x ) (la curva) pase por toda la nube de puntos.

Forma para evaluar un polinomio:

Pn ( x )=a0+a1 x+a2 x2+ .………an x

n .

P (X0 )=Y 0

P (X1 )=Y 1

⋮

P (Xn )=Y n

Entonces el Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) quedaría:

a0+a1 x0+a2 x2

0+¿…………………… ..an xn

0=Y 0 ¿

a0+a1 x1+a2 x2

1+¿……………………..an xn1=Y 1¿

⋮

METODOS NUMÉRICOS

x1

y1

y0

x0 xn

32


a0+a1 xn+a2 x2n+¿…………………… ..an x

nn=Y n ¿

(1 x0 x2

0………….. xn

0

1 x1 x21………xn1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮1xn x

2nx

n1

)(a0

a1

⋮an

)=(y0

y1

⋮yn

)a0=⋯ a1=… an=…

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

Este método simplemente es una reformulación del polinomio de Newton que

evita los cálculos de las diferencias divididas. Consiste en construir el polinomio

interpolador P ( x ) de grado “n” que pasa por “n+1” puntos (x i,y i). Entonces el

polinomio de Lagrange seria de esta forma:

Pn ( x )=Y 0+P1 ( x )Y 1+P2 ( x )Y 2+…⋯+Pn ( x )Y n

Donde p j ( x ) es un polinomio de grado n y pn ( x ) debe satisfacer y cumplir con las

siguientes restricciones:

pn (x i)= y i ; i=0 ;…….;n

Entonces generando (n+1) ecuaciones tenemos:

P j ( x )=(x−x0 ) (x−x1 )+…+(x−xi−1 ) (x−x i+1 )+…+(x−xn)

(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j− xi−1 ) (x j−x i+1)+…+( x j−xn)

pi (xi )=(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+ (xi−xi−1 ) (x i−x i+1 )+…+(x i−xn)

(xi−x0 ) (x i−x1 )+…+ (xi−xi−1 ) (x i−x i+1 )+…+(x i−xn)=1

pi (x j )=(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1 ) (x j−xi+1 )+…+(x j−xn)

(x j−x0 ) (x j−x1 )+…+(x j−x i−1 ) (x j−xi+1 )+…+(x j−xn)=0

Examinando las ecuaciones se observa que P j (x i ) se define como:

P j (x i )={1 ; i= j0; i ≠ j

Ahora para un mejor entendimiento del polinomio de Lagrange planteamos un

ejemplo:

METODOS NUMÉRICOS

33


x0 x1 x2 x3

y0 y1 y2 y3

p ( x )=(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x0−x3)y0+

(x−x0)(x−x2)(x−x3)(x1−x0)(x1−x2)(x1−x3)

y1+(x−x0)( x−x1)(x−x3)

(x2−x0)(x2−x1)(x2−x3)y2+

(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x3−x0)(x3−x1)(x3−x2)

y3

Adicionalmente lo podemos definir de la forma:

Li (x )=(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 )… (x−x i−1 ) (x−x i+1 )…(x−xn)

(x i−x0 ) (x i−x1 ) ( xi−x2 )… (x i−x i−1 ) ( xi−xi+1 )…(x i−xn)=1

De donde:

Li (x )=∏j=1j ≠1

n (x−x j)(x i−x j)

; Li (x j )=K ij={1 ; i= j0 ; i≠ j

Entonces diríamos que:

p ( x )=L0 (x ) y0+L1 ( x ) y1+…+Ln ( x ) yn

p ( x )=∑i=0

n

Li ( x ) y i

En conclusión el polinomio de Lagrange lo podemos representar de la siguiente

expresión:

p ( x )=∑i=1

n

∏j=0j ≠ i

n (x−x j)(xi−x j)

y i

Algoritmo de interpolación de Lagrange:

Declaro mi nube de puntos , número de puntos =n+1

Aplicamos la formula general

METODOS NUMÉRICOS

34


p ( x )=∑i=1

n

∏j=0j ≠ i

n (x−x j)(xi−x j)

y i

Fin.

EJEMPLO EN MAPLE C:\Users\KHATERINE\Documents\jose interpolacion\

LAGRANGE maple.mw Y EN GEOGEBRA C:\Users\KHATERINE\Documents\

jose interpolacion\geogebra interpolacion.ggb

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Etimológicamente integrar, significa “juntar las partes en un todo; unir;

indicar la cantidad total, etc”.

La integración tiene bastantes aplicaciones en la ingeniería, que van

desde la localización de centroides (centro de gravedad) de formas extrañas

hasta el cálculo de cantidades totales basadas en medidas discretas. Además,

las fórmulas de integración numérica desempeñan un papel importante en la

solución de ecuaciones diferenciales.

Desde el punto de vista gráfico, se interpreta a la integración como el área

bajo la curva de una función f(x), en un intervalo [a,b]; área comprendida entre la

curva y el eje de las abscisas

METODOS NUMÉRICOS

35


La necesidad de aproximar numéricamente el valor de una integral surge

por dos motivos fundamentalmente:

- La dificultad o imposibilidad en el cálculo de una primitiva (derivada).

- La función a integrar solo se conoce por una tabla de valores.

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

Dada una integral de la forma:

I=∫a

b

f ( x )dx

Todos los procesos que realizamos para resolver integrales, en los cuales

en lugar de integrar la función f (x) original; integramos un polinomio de

interpolación que se aproxime a la función f (x) en un intervalo [a ,b] reciben el

nombre de métodos o fórmulas de Newton – Cotes.

Dicho de otra manera las fórmulas de newton – cotes se basan en la

estrategia de reemplazar una función f (x) complicada o datos tabulados por un

polinomio de aproximación que es fácil de integrar.

I=∫a

b

f (x )dx ≡∫a

b

f n(x)dx

Donde f n(x) es un polinomio de la forma;

f n(x)= a0+a1 (x )+…+an−1 (xn−1 )+an(xn)

Donde n es el grado del polinomio.

MÉTODO DE LOS TRAPECIOS:

El método del trapecio es un método que consiste en reemplazar la

gráfica de una función f (x)por la de un polinomio “polinomio aproximante” el cual

va a coincidir con la función original f(x) en un tramo ]a,b[. Entonces se tendría

que integrar el polinomio aproximante desde el punto (a, f(a)) hasta (b, f(b)). (Ver figura).

METODOS NUMÉRICOS

36


La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración

de Newton. Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado:

I=∫a

b

f (x )dx ≡∫a

b

P1(x)dx

Donde: P1 (x )= ( x−b )a−b

f (a )+ (x−a )b−a

f (b )

Formula general de la regla del trapecio para n puntos:

∫a

b

f ( x )dx=h2[ f (x0 )+ f ( x1 )]

Formula general de la regla del trapecio para n+1 puntos:

∫a

b

f ( x )dx=h2[ f (x0 )+2 f (x1 )+2 f (x2 )+2 f (x3 )…+2 f (xn−1)+ f (xn )]

METODOS NUMÉRICOS

37


ALGORITMO DE LA REGLA DEL TRAPECIO

i. Defino mi integral ∫a

b

f (x )dx ,declaromia ,b , y el número de trapecios =n

ii. Calculo el H=b−an

,

iii. Calculo , x i=a+iH ; f (xi ) ,iv. Evaluo mis datos en la formula siguiente :

∫a

b

f ( x )dx= h2 [ f (x0 )+2∑

i=1

n−1

f (x i )+ f (xn) ]v. Finalmente obtengo mi integración.

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN RECTANGULAR.


b

f (x )dx ,declaromia ,b, n = numero de rectángulos.

ii. Calculo el H=b−aniii.Calculo , x i=a+iH ;mi=xi−1+x i

2iv. Con los datos anteriores calculamos :

I=H∑i=1

n

f (mi )=integral aproximada

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN POR EL POLINOMIO DE TAYLOR


b

f (x )dx ,declaromia ,b , y

el grado del polinomio =n

ii. Calculo el m=a+b2

,

iii. Calculo mis derivadas de f(x), según el grado dado n .iv. Evaluó m cada en cada derivada que anteriormente calcule. v. Remplazo en mi formula

P ( x )= f (m)0 !

+ ( x−m ) f '(m)1 !

+( x−m)2 f ' '(m)2 !

+………… .. ( x−m )n f n(m)n!

vi. Finalmente ∫a

b

P(x )dx Y OBTENGO LA APROXIMACIÓN.

METODOS NUMÉRICOS

38


REGLA SIMPSON 1/3:

La regla Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de segundo grado se sustituye en la ecuación:

I=∫a

b

f ( x ) dx≅∫a

b

P (x)dx

Para obtener:

I=H3 [ f (x0 )+4 f (x1 )+ f (x2 ) ]

Donde h=(b – a)/2. Esta ecuación se llama regla de Simpson 1/3 debido a que h está dividida entre 3.

Para este método nosotros mostraremos como se resuelve el polinomio por medio de LAGRANGE

P ( x )=( x−x1 ) (x−x2 )

( x0−x1 ) (x0−x2 )f (x0 )+

(x−x0 ) (x−x2 )(x1−x0 ) (x1−x2 )

f ( x1 )+(x−x0 ) (x−x1 )

(x2−x0 ) (x2−x1)f (x2 )

Integramos nuestro polinomio y obtenemos:

I=∫a

b

P ( x ) dx=H3 [ f (x0 )+4 f (x1 )+ f (x2 ) ]

También aplicamos esta regla para n-ésimo puntos los cuales veremos a continuación, donde a=x0 y b=xn:

I= ∫a= x0

b= xn

P (x)dx=∫x 0

x 2

P(x )dx+∫x2

x4

P(x )dx+…+∫xn−2

xn

P(x)dx

Integramos y obtenemos:

I=H3 [ f (x0 )+4 f (x1 )+ f (x2 ) ]+ H

3 [f (x2 )+4 f (x3 )+f (x4 ) ]+…+ H3 [ f ( xn−2 )+4 f (xn−1 )+4 f (xn−1 )+ f (xn)]

Por ultimo tendremos la formula general:

I=H3

¿

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN POR SIMPSON 1/3


b

f (x )dx ,declaromia ,b , y el

número de segmentaciones =n , n tiene que ser par


,

METODOS NUMÉRICOS

39


iii. Calculo , x i=a+iH ; f (x i ) ,iv. Evaluo mis datos en la formula :

¿ H3

¿

REGLA SIMPSON 3/8:

De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es

posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos e

integrarlo:

I=∫a

b

f ( x )dx≅∫a

b

P (x)dx

Para obtener:

I=3H8 [f (x0 )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3) ]

Donde h=(b – a)/3. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que

h se multiplica por 3/8. Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de

Newton-Cotes.

Para este método nosotros mostraremos como se resuelve el polinomio por

medio de LAGRANGE: tenemos para cuatro puntos donde a=x0 ; b=x3

P ( x )=(x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )

( x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )f ( x0 )+

( x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )

f (x1 )+(x−x0 ) ( x−x1 ) (x−x3 )

(x2−x0 ) (x2−x1 ) (x2−x3 )f (x2 )+

(x−x0 ) (x−x1 ) ( x−x2 )(x3−x0 ) (x3−x1 ) (x3−x2 )

f (x3 )

Integramos nuestro polinomio y obtenemos:

I=∫a

b

P ( x )dx=3H8 [ f (x0 )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3)]

También aplicamos esta regla para n-ésimo puntos los cuales veremos a

continuación, donde a=x0 y b=xn:

METODOS NUMÉRICOS

40


I= ∫a= x0

b= xn

P (x)dx=∫x0

x3

P(x )dx+∫x3

x6

P(x )dx+…+∫xn−3

xn

P(x)dx

Integramos y obtenemos:

I=3H8 [f (x0 )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3) ]+ 3H

8 [ f (x3)+3 f (x4 )+3 f (x5 )+ f (x6)]+…+ 3H8 [f (xn−3 )+3 f (xn−2 )+3 f (xn−1 )+ f (xn) ]

Por ultimo tendremos la formula general:

I=3H8

¿

ALGORITMO DE INTEGRACIÓN POR SIMPSON 3/8


b

f (x )dx ,declaromia ,b , y el

número de segmentaciones =n , n tiene que ser múltiplo de 3


,

iii. Calculo , x i=a+iH ; f (x i ) ,iv. Evaluó mis datos en la fórmula :

I=3H8

¿

METODOS NUMÉRICOS