Ing. Económica

Ingeniera EconmicaHerramientas matemticas de decisin para comparar racionalmente alternativas econmicas, de modo de seleccionar las ms conveniente.

MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

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ContenidosMatemticas Financieras Valor del Dinero en el tiempo. Inters Tasa de Inters (simple, compuesto, nominal, efectivo,continua). Valor Futuro Pagos Peridicos (PAYMENT). Gradientes (decrecientes, crecientes, escalada).MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 2

Contenidos Inters interperidico Bonos Inflacin Amortizacin Depreciacin. Tipos de Depreciacin Flujo de Caja


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ContenidosIndicadores Econmicos Valor Actual Neto (VAN) Costo anual uniforme equivalente (CAUE) Tasa Interna de Retorno (TIR) Costo Capitalizado Tasa de Rentabilidad (TIR Modificada) Razn Beneficio/Costo , Ivan, Payback (Tiempo de Pago)MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 4

Valor del dinero en el tiempoHoy, pues dentro de un ao ese dinero se desvalorizar debido a la inflacin. Adems perdera la oportunidad de invertirlos en alguna actividad que, adems de proteger de la inflacin me puede generar una utilidad adicional y as poder comprar ms pizzas!!

Garfield,Prefieres tener $100.000 hoy o en un ao ms?


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Valor del dinero en el tiempoEl valor del dinero en el tiempo se refiere al poder adquisitivo que tiene el dinero en el tiempo. Debido a las razones dadas por Garfield, se puede concluir que el dinero actual vale ms que el dinero futuro


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IntersEs el pago que debe realizar un agente econmico por utilizar fondos prestados Es un premio por postergar el consumo (AHORRO) o un Castigo por adelantar el consumo (PRESTAMO)


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IntersPodemos decir que ...

Inters ! Monto Final - Monto InicialEjemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que devolver 105.000. El inters pagado son $5.000


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Tasa de IntersPorcentaje del monto inicial en un tiempo determinado Ejemplo (siguiendo el ejemplo anterior) Monto Inicial = $100.000 Inters = $5.000. Por lo tanto:

Inters Tasa de Inters (%) ! y 100 Monto InicialMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 9

Inters SimpleEs el inters que se aplica tomando solamente el Monto Inicial. Se ignora cualquier inters que pueda acumularse en los perodos precedentes


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Inters CompuestoEs el inters que se calcula sobre el Monto Inicial ms la cantidad acumulada de intereses en perodos anteriores. Es decir, se cobra inters sobre el monto inicial ms el inters sobre los intereses

Este inters es el que mejor representa el valor del dinero en el tiempo


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Clculo del Valor FuturoCuando se utiliza inters simple, el clculo del valor futuro se realiza por medio de la siguiente frmula:

VF

VP (1 i n)

Si se utiliza inters compuesto, el valor futuro se calcular segn: VF VP (1 i) nDonde: VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = Tasa de Inters n = Perodos de Capitalizacin MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 12

Ejemplos1) Se ha obtenido un prstamo de $1.000 a inters simple con una tasa del 6% anual. Cunto debera pagar en dos aos ms? Cunto estoy pagando en intereses? Solucin: VF ! VP (1 i n)VF ! 1.000 (1 0,06 2) ! 1.000 1,12 ! 1.120

Debo pagar $1.120 al cabo de dos aosInters ! Monto Final - Monto Inicial

Intereses ! 1.120 1.000 ! 120MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 13

2) Con el mismo ejemplo anterior, responder las preguntas considerando inters compuesto. Compare. Solucin:

VF ! VP (1 i ) n

VF ! 1.000 (1 0,06) 2 ! 1.000 1,1236 ! 1.123,6 } 1.124

Debo pagar $1.124 al cabo de dos aosI ters ! o to i al o to I icial

Intereses ! 1.124 1.000 ! 124

Note que tanto VF como el inters son mayores que en el caso de inters simple14


Inters Efectivo y NominalI ters omi al (r): La tasa de inters del perodo por el nmero de perodos. Nominal significa aparente o pretendido es decir, una tasa nominal no es real, por lo que se debe convertir a una tasa efectiva I ters efectivo (i): Aquella que mide realmente el inters otorgado o cobrado. Analicmoslo con un ejemplo:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 15

Inters Efectivo y NominalA) 1.000 pesos depositados al 10% anual EFECTIVO 1.000 1.100 Al cabo de un ao

B) 1.000 pesos depositados al 10% anual con capitalizacin semestral (NOMINAL)5% 5% 5% en cada Semestre (perodo de Capitalizacin)

1.000

1.050

1.102,5

Equivalente a un inters efectivo anual de 10,25%MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 16

Conversin de una tasa nominal a una efectivaCmo calcularon la tasa de inters efectiva en el ejercicio anterior?

En general podemos calcular la tasa de inters efectiva a partir de una tasa de inters nominal, por medio de la siguiente frmula:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 17

Conversin de una tasa nominal a una efectivaDonde:m

r i ! 1 1 m

i = tasa de inters efectivo r = tasa de inters nominal m = nmero de capitalizacionesque ocurren dentro del perodo indicado en el enunciado de la tasa de inters nominal

Ahora respondmosle la pregunta a Homero:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 18

Conversin de una tasa nominal a una efectivaSabemos que la tasa es de10% anual con capitalizacin semestral . Luego, La tasa es de inters nominal, r = 10%. Ocurren 2 capitalizaciones al ao (ya que capitaliza semestralmente) Por lo tanto:

r 0,1 i ! 1 1 ! 1 1 ! 0,1025 ! 10,25% 2 m MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 19

m

2

ObservacionesCuando el perodo de capitalizacin NO ESTA DADO, la tasa de inters es EFECTIVA Conversin de tasas efectivas(i A 1) ! (i S 1) 2 ! (iT 1) 4 ! (i B 1) 6 ! (i M 1)12 ! (i D 1) 365

Donde:iA = Inters Anual Efectivo iS = Inters Semestral Efectivo iT = Inters Trimestral Efectivo iB = Inters Bimestral Efectivo iM = Inters Mensual Efectivo iD = IntersMBA, Christian Carrasco Wehrhahn Diario Efectivo

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EjercicioEn los siguientes enunciados, indique: Tipo de inters, y el perodo de capitalizacin, adems calcule el inters efectivo en dicho perodo.Enunciado 10% anual Cap. trimestral 5% Semestral 10% anual efectivo Cap. trimestral Tipo de Inters Nominal Efectivo Periodo Cap. Trimestre Semestre ief del perodo cap. 2,5% 5%

Efectivo

Trimestre

2,411%21


Inters efectivo para capitalizaciones continuasSabemos que la frmular i ! 1 1 mm

nos sirve para convertir una tasa de inters nominal en una efectiva, pero qu ocurre si las capitalizaciones son continuas, es decir, qu ocurre si m tiende a infinito? En estos casos podemos calcular la tasa de inters efectiva por medio de la siguiente frmula:

i ! e 1rMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 22

Inters efectivo para capitalizaciones continuasEjemplo: Un banco aplica a los prstamos una tasa del 15% anual con capitalizacin en segundo. Cul es es la tasa de inters efectiva? Como en este ejercicio el valor de m ser bastante grande, podemos estimar la tasa de inters efectiva usando la frmula para capitalizacin continua:

i ! e 0,15 1 ! 0,16183 ! 16,183%MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 23

Inters efectivo para capitalizaciones continuasCalculemos la tasa efectiva real:

m ! 365 24 60 60 ! 31.536.0000,15 i ! 1 31.536.000 31.536.000

1 ! 0,16196 ! 16,196%

Note que existe diferencia entre la estimacin y el valor real desde el 4to decimal (2do si se utiliza como porcentaje).MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 24

Payment (Pagos peridicos)Muchos depsitos o prstamos se realizan en cuotas iguales. Por lo que es necesario conocer algunas frmulas que ahorrarn bastante tiempo:PMT PMT PMT PMT

0

1

2

3

nn

n 1 i 1 PMT PMT PMT 1 ...... ! PMT ! PMT VP ! n j 1 2 1 i i 1 i 1 i 1 1 in i j !1


25

Payment (Pagos peridicos)Despejando el PMT, tendremos:

i n i 1 PMT ! VP n i 1 1En donde:

i n i 1 ! F .R.C. ! actor de recuperacin del capital n i 1 1 MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 26

Payment (Pagos peridicos)Tambin se puede relacionar el PMT con el valor futuro:

i n i 1 i ! VP PMT ! VF i n 1 i n 1 1 1

Este trmino se conoce como SFF (Factor de amortizacin de capital)MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 27

EjemploSaco de plomo tiene en mente comprarse un automvil deportivo. Si el vehculo cuesta $7.000.000 y Pepe Cortizona desea pagarlo en 48 cuotas iguales. Cul ser el valor de cada cuota si el inters es del 3% mensual? Cunto debera pagar Saco de plomo si decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48?MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 28

SolucinPara calcular el valor de cada cuota solo necesitamos ocupar la frmula del Payment i n i 1 PMT ! VP i n 1 1

Reemplazando, tendremos: ,0348 0,03 1 PMT ! 7.000.000 ,0348 1 ! 277.045 1

Por lo tanto, Pepe Cortizona deber pagar cuotas de $277.045MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 29

Solucin (continuacin)Para calcular cuanto debera pagar si decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar la frmula del Payment o simplemente llevar a valor fururo el valor inicial del vehculo: i n 1 ,0348 1 1 1 ! 277.045 VF ! PMT 0,03 ! 28.925.824 i

O simplemente:VF ! VP i ! 7.000.000 ,03 ! 28.925.763 1 1n 48

(La pequea diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la aproximacin usada en el clculo del PMT)MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 30

GradientesOtra alternativa es que los flujos vayan variando en el tiempo, ya sea en forma fija (uniforme) o en cierto porcentaje (escalada).F1 F2 F3 FN

0

1

2

3

n

O sea, los flujos ya no sern iguales en cada periodo


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Gradiente UniformeEn este caso, el aume to e los flujos es co sta te. Denominamos P al valor base (que no cambia) y G al aumento perodo a perodoP P+G P+2G P+(n-1)G

0

1

2

3

n


32

Gradiente Uniforme (Continuacin)Al obtener una relacin que lleve todos los flujos a Valor Presente:

i n 1 G i n 1 n 1 1 s VP0 ! P n n i i i i i i n 1 1 1 Ntese que el primer Signo positivo si el trmino corresponde gradiente es creciente, al Payment de los negativo si es decreciente flujos constantes MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

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Gradiente Uniforme (Continuacin)Ejemplo: Considere los siguientes flujos: Perio o lujo Inters: 4% por perodo 1 1.000 2 1.100 3 1.200 El primer paso es 4 1.300 determinar la Cantidad Base (P) y el Gradiente o 5 1.400 aumento (G) P = 1.000MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

G=10034

Gradiente Uniforme (Continuacin)Reemplazando:5 5 0,04 1 100 0,04 1 1 1 5 VP !1000 0 5 5 0,04 0,04 0,04 0,045 1 1 0,04 0,04 1

VP0 ! 1000 4,4518 2500?4,4518 4,1096A VP0 ! 4451,8 855,5 ! 5307,3 } 5307El primer trmino representa solo los depsitos de 1000 El segundo trmino representa los sucesivos incrementos de MBA, Christian 100 cada uno. Carrasco Wehrhahn

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Tuve que dar $10.000 de pie y pagar los primeros 8 meses cuotas de $10.000. Desde el noveno mes la cuota disminuir en $500 cada mes hasta final de la deuda, que fue el mes 14. El inters es de un 3% anual

...As es que compraste tu pingino a crdito... Cuanto pagars mensualmente?

Cul el precio del pingino si se paga al contado?


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Ejemplo (solucin)Debemos encontrar el valor presente del pingino tomando los datos dados por el oso polar. Primero dibujaremos el diagrama de flujos:0 1 2 7 8 9 10 11 14

10.000 10.000 10.000

10.000 10.000 9500 9000 8500

7000

Note que podemos considerar un Payment hasta el sptimo mes y luego tendremos un gradiente uniforme decreciente. Por medio de las frmulas adecuadas podemos llevar el Payment y el gradiente al valor presente y sumarles $10.000 (Del pie)MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 37

Ejemplo (solucin)Calculemos el valor presente del Payment y del gradiente:

1,03 7 1 VP0( Payment ) ! 10000 1,03 7 0,03VP7( Grad )

! 62303

,037 1 500 ,037 1 1 1 7 ! 10000 ,037 0,03 0,03 ,037 0,03 ,037 ! 53325 1 1 1 ( Gradiente ) 0

VP

53325 ! ! 43358 7 1,0338


Ejemplo (solucin)VP0 ! 62303 43358 10000 ! 115661Por lo tanto el precio contado del pingino es $115.661 Observaci : No es la nica alternativa considerar el Payment hasta el sptimo mes. Por ejemplo podramos considerar un Payment hasta el final de la deuda. Veamos lo que ocurrira:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 39

Ejemplo (solucin)El valor presente del Payment sera:

VP

( Payment ) 0

1,03 1 ! 112961 ! 10000 1,03 14 0,0314

En el gradiente P ya no ser igual a 10.000 sino a cero, por lo tanto tendremos:7 500 ,03 1 1 7 ! 8977 ! 0 7 7 0,03 ,03 0,03 ,03 1 1

VP7( Grad )


40

Ejemplo (solucin)Llevamos a valor presente este gradiente:( Gradiente ) 0

VP

8977 ! ! 7299 7 1,03

VP0 ! 112961 7299 10000 ! 115662Como era de esperar llegamos al mismo resultado(la pequea diferencia se debe a la falta de rigurosidad con los decimales)MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 41

Gradiente en escaladaTambin es posible que el aumento en los flujos sea en determinado porcentajeP P(1+E) P(1+E)2 P(1+E)n-1

0

1

2

3

n

Donde E = porcentaje de aumento del flujoMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 42

Gradiente en escalada (continuacin)Nuevamente, podemos llevar a valor presente todos los flujos con una sola expresin:

1 E n P VP0 ! 1 E i 1 i Entonces, si se dice que los flujos van aumentando en un 15% y el inters es de un 10%MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

E = 0,15 i = 0,143

Inters interperodicoQu ocurre si algunos pagos que se realizan entre perodos de capitalizacinCapitalizacin anual350

20

15

251 aos

10


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Inters interperodicoEl clculo del valor futuro o presente depende de las condiciones existentes para los interperodos de capitalizacin, que en general corresponden a unos de siguientes dos casos: 1) No se paga inters sobre el dinero depositado (o retirado) entre perodos de capitalizacin. 2) El dinero depositado (o retirado) entre perodos de capitalizacin gana inters simpleMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 45

Inters interperidicoA travs del siguiente ejemplo, veamos como se realizan los clculos de los dos casos: El siguiente diagrama de flujos muestra los depsitos y giros que realiz una persona en su cuenta de ahorros durante 12 meses. Calcular la cantidad de dinero tiene dicho individuo al final de los 12 meses si el banco paga un inters del 3% trimestral y: a) No paga inters interperidico. b) Paga inters interperidico a los depsitos, pero no a los giros.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 46

Inters interperidico(Giros)500 1 2

203 4

705 6 7 8

709 10

4011 12

90

90

50

30

30

50

(Depsitos) Solucin: a) En este caso los depsitos se consideran como si se depositarn al comienzo del siguiente perodo de capitalizacin, mientras que los giros se consideran como efectuados al final MBA, Christian Carrasco Wehrhahn del perodo de capitalizacin anterior.

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Inters interperidicoEn el diagrama de flujos:500 1 2

203 4

705 6 7 8

709 10

4011 12

90

90

50

30

30

50

Luego tendremos:500 1 2

20+703 4 5 6 7 8

70+409 10 11 12

90

90+50MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

30+30

5048

Inters interperidicoAhora podemos calcular la cantidad de dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses:VF12 ! 40 (1 0,03) 4 90 (1 0,03) 3 140 (1 0,03) 2 50 (1 0,03) 50 ! 94

b) Aqu los depsitos efectuados en un interperodo ganan inters simple, llevando el monto al comienzo del siguiente perodo de capitalizacin. Los giros, al igual que en la parte a) se consideran como efectuados al final del perodo de capitalizacin anterior.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 49

Inters interperidicoAnlogo al caso anterior:500 1 2

203 4

705 6 7 8

709 10

4011 12

90

90

50

30

30

50

Pero ahora los depsitos interperidicos ganan inters simple:500 1 2

20+703 4 5 6 7 8

70+409 10 11 12

90


2 50 90 (1 0,03 ) 3

2 1 30 (1 0,03 ) 30 (1 0,03 ) 3 3

5050

Inters interperidicoAhora calcula de la siguiente manera la cantidad de dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses:2 2 0,03 VF ! 40 (1,03 4 90 (1,03 3 50 90 (1 0,03 ) (1,03 2 30 (1 0,03 ) 30 (1 ) ) ) ) 110 (1,03 50 ) 12 3 3 3

Calculando:

VF12 ! 97MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 51

AmortizacinA la hora de cancelar un crdito en cuotas, existen dos alternativas en las formas de pago: a) Con cuotas iguales b) Con amortizacin

Periodo Principal Amortizacin Inters Cuota 0 1 2MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 52

Deuda

Amortizacin (continuacin)Perio os e Gracia: Independiente del mtodo de pago, son perodos en los que solo se cancelan los Intereses, sin pagar nada del Capital


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Amortizacin Cuotas IgualesCalculamos el Valor de la Cuota como un Payment de n perodos e inters i. O sea CUOTA = PMT Periodo Principal Amortizacin Inters Cuota 0 1 2MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

A D=A-C C=PMT-B B=Ai PMT PMT54

Amortizaciones igualesEl valor de la amortizacin se fija :

Periodo Principal Amortizacin Inters Cuota 0 1 2 AC=A-AM

AMORT AMORT

B=Ai D=AM+B


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Amortizacin: EjemploSe pide un prstamo de $1.000.000, a pagar en un perodo de 3 aos en cuotas anuales, con un inters anual del 10%. Se dan 2 aos de gracia. Calcule los pagos por ambos mtodos. A) Cuotas Iguales Calculo cuota, como Payment ,13 0,1 1 } 402115 PMT ! 1.000.000 3 1 ,1 1

B) Amortizacin Igual1.000.000 AMORT ! } 333.334 3MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 56

Solucin (continuacin)Periodo Principal Amortizacin Inters 0 1 2 3 4 51.000.000 1.000.000 1.000.000 697.885 365.559 0 302.115 332.326 365.559 100.000 100.000 100.000 69.789 36.556

Cuota Igual

Cuota

100.000 100.000 402.115 402.115 402.11557


Solucin (continuacin)0 1 2 3 4 51.000.000 1.000.000 1.000.000 666.667 333.334 0 333.333 333.333 333.334

Amortizacin Igual

Periodo Principal Amortizacin Inters

Cuota

100.000 100.000 100.000 66.667 33.333

100.000 100.000 433.333 400.000 366.66758


BonosEs una obligacin a largo plazo, emitida por una corporacin o entidad gubernamental, con el propsito de conseguir el capital necesario para financiar obras importantesLos bonos se utilizan frecuentemente, cuando se hace difcil el prstamo de grandes cantidades de dinero de una sola fuente o cuando deban pagarse en un largo perodo de tiempo


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Condiciones de pagoEstas condiciones se especifican en el momento de emitir los bonos e incluyen en Valor nominal de bono, La tasa de inters del bono, el perodo de pago de inters y su fecha de vencimiento. Los intereses se pagan peridicamente En la fecha de vencimiento se paga el Inters correspondiente ms el valor nominal del bono


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ObservacionesLos bonos pueden ser comprados y vendidos en el mercado abierto, por personas diferentes al beneficiario original del bono Ejemplo: A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa de inters es de 6% y paga los intereses semestralmente. Si la fecha de vencimiento ser en 15 aos, Cunto pagara hoy por el bono si desea ganar 4% de inters semestral?MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 61

Solucin

(del ejemplo anterior)

Los intereses pagados semestralmente ascienden a:

10.000 0,06 I! ! 300 2 El diagrama de flujos ser:300 300 300 300+10.000

0

1

2

3

30

PMBA, Christian Carrasco Wehrhahn

Contina...

62

SolucinLuego

(continuacin)

i n 1 VN 1 P ! I n 1 i i 1 i n

Reemplazando, tendremos

,04 30 1 1 10.000 P ! 300 30 0,04 30 ! 8.271 1 ,04 0,04 1 Por lo tanto, usted estara dispuesto a pagar $8271 por el bono.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 63

InflacinCon $100 de hoy no puedo comprar la misma cantidad de bienes o servicios como pude en el ao 1980... Es debido a la Inflacin. Esto es porque el valor del dinero ha decrecido como un resultado de dar ms dinero por menos bienes.


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Clculos del valor futuro considerando inflacinEn los clculos de valor futuro, se debe reconocer que la suma de dinero futuro puede representar una de las cuatro diferentes cantidades: Cantidad Real de Dinero Poder de Compra Nmero de pesos de entonces requeridos Ganancia de inters sobre inflacinA continuacin se analizar cada uno de estos casos...MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 65

1) Cantidad real de dineroNo toma en cuenta la existencia de la inflacin. Se limita solo a calcular la cantidad de dinero que se obtendra con un inters dado. El clculo del valor futuro es a travs de la frmula tradicional:

VF ! VP (1 i) n


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EjemploUsted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros con10% anual de inters por 8 aos. Cul ser la cantidad de dinero que obtendr ?

VF ! 100.000 (1 0,1)8 ! 214.359Por lo tanto en 8 aos ms usted tendra $214.359MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 67

2) El poder de compraEn el ejemplo anterior, al cabo de 8 aos usted tendra ms del doble del dinero que deposit inicialmente. Sin embargo, probablemente no podr comprar el doble de cosas que hubiera podido comprar en un principio. Por qu? La respuesta es simple, los precios se han incrementado durante la inflacin.


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El poder de compra (continuacin)El dinero que recibir Cmo lo puedo comparar con el dinero inicial?, es decir, Cmo puedo comparar el poder de compra del futuro con el actual? Una solucin sera llevar a valor presente el valor futuro obtenido con la tasa de inters. Para llevar a valor presente se debe considerar la tasa de inflacin (f), es decir, en la frmula reemplazar el i por el f. En frmulas...MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 69

El poder de compra (continuacin)Llevamos a valor futuro el depsito:

VF ! VP (1 i ) nFinalmente este valor lo llevamos a valor presente (en donde reemplazaremos i por f):

VF VP i 1 V! ! n n 1 f 1 f MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

n

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El poder de compra (continuacin)Para realizar este clculo, podramos utilizar la tasa de inters real (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero presente se transformar en dinero futuro equivalente con el mismo poder de compra . La frmula sera:

VP i 1 n V! ! VP ir 1 n 1 f n

Donde:

i f ir ! 1 fMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 71

EjemploUsted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros con10% anual de inters por 7 aos. La tasa de inflacin se espera de 8% anual. La cantidad de dinero que puede acumularse con el poder de compra de hoy sera:

100.000 0,1 1 V! ! 113.706 7 1 0,087

Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de inters real para realizar los clculos:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 72

EjemploCalculamos la tasa de inters real:

i f 0,1 0,08 ir ! ! ! 1,8519 1 f 0,1 0,08Luego:

1 V ! VP (1 ir ) n ! 100.000 ,018519 ! 113.7067

Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 73

3) Nmeros de pesos de entonces requeridosComprar algo en una fecha futura requerir ms pesos que los requeridos ahora para la misma cosa. El clculo del valor futuro se efecta por medio de la siguiente frmula:

VF ! VP (1 f )

n

Notar que este caso tambin reconoce que los precios se incrementan durante los perodos inflacionariosMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 74

EjemploVilma desea comprar el mejor pjaro despertador existente en Piedradura. Cunto le costar dentro de 3 aos, si actualmente cuesta 1.000 Piedradlares y se espera que el precio se incremente en 5% anual?MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 75

SolucinPodemos calcular fcilmente el valor futuro del Pjaro despertador usando la formula

VF ! VP (1 f ) nReemplazando, tenemos

VF ! 1 . 000 (1, 05 ) 3 ! 1 . 158Por lo tanto, Vilma deber juntar 1.158 piedradlaresMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 76

4) Ganancia de inters sobre InflacinMantiene el poder de compra y la ganancia de inters. Para mantener el poder de compra podemos utilizar la frmula del caso 3, es decir, calculamos el nmero de pesos de entonces requeridos. Luego, a este valor se de debe agregar la ganancia de inters, este clculo es anlogo al caso 1. La formula quedara:

VF ! VP (1 f ) n (1 i ) nMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 77

Ganancia de inters sobre InflacinTambin podemos usar la llamada tasa de inters inflada (if ):

if ! i i f fEn donde se cumple que:

VF ! VP (1 f ) (1 i ) ! VP (1 i f )n nMBA, Christian Carrasco Wehrhahn

n

78

Este dragn deposit $5.000 en un banco. Esper un ao y retir todo el dinero para comprar algo con qu entretenerse. Si el banco lo protegi de la inflacin (que fue 0,5% mensual) y gan un 1% mensual de inters . Cunto le costo la entretencin?MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 79

EjemploEl depsito en el banco hizo que el dinero mantuviera el poder de compra y adems que ganara intereses, luego nos enfrentamos a un ejercicio del tipo 4, es decir, ganancia de inters sobre inflacin. Calculemos la tasa de inters inflada:

i f ! i i f f ! 0,01 0,005 0,01 0,005 ! 0,01505

VF ! VP (1 i f ) ! 5000 (1,01505) ! 5982n 12

Por lo tanto la entretencin le cost 5.982MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 80

DepreciacinLos activos comprados por la empresa van perdiendo su valor a lo largo del tiempo. Este efecto se materializa con una disminucin del valor del activo en los libros de las empresas.


81

Depreciacin (continuacin)Por qu las empresas deprecian?

Porque les sirve de Escudo Fiscal (disminuye la base imponible, o sea, el valor sobre el cual se les aplican los impuestos.


82

Depreciacin (definiciones)Dt = Depreciacin en el perodo t VA = Valor Inicial del Activo 1 Vt = Valor del activo en el perodo t VS = Valor de Salvamento o Valor Residual del activo al fina del su vida util 2 D1 D2V1=VA-D1 V2=V1-D2

P 0

Dt

Vt VA

n

Dn

VS83


Tipos de depreciacinDepreciaci L ea Recta

VA VS Dt ! n

Depreciaci Acelera a Solo aplicable si o igual a 5 mayor

n T! 3VA VS Dt ! T

Redondeado hacia abajo


84

Tipos de depreciacin (continuacin)Depreciaci Sal os ecrecie tes

Dt ! d VA d 1 Vt ! VA d 1t

t 1

Cunto vale d?

1,5 S .D. d ! n 2 S .D.D. d ! nMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 85

EjemploDon Cuasimodo comprar un camin para su empresa, por un valor de 11.000. La vida til es de 10 aos, al trmino de la cual, el valor de salvamento ser de 1.000 Apliquemos todos los mtodos de depreciacin vistosMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 86

Ejemplo (continuacin)Depreciaci L ea Recta P 0 1 1.000 2 1.000 Dt Vt 11.00010.000 9.000

11.0001.000 Dt ! ! 1.000 10

10 1.000

1.000MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 87

Ejemplo (continuacin)Depreciaci Acelera a

10 T! ! 3,3 } 3 Como 10 es mayor o igual 3 que 5, se puede aplicar 11.000 1.000 Dt ! ! 3.333 3 P Dt Vt0 1 3.333 2 3.333 2 3.334 11.0007.667 4.334 1.000MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 88

La ltima depreciacin cambia por el efecto de los decimales perdidos

Ajustes en la ultima DepreciacinEn el sistema de Saldos Decrecientes, es posible que el ltimo Valor del activo no coincida con el Valor de Salvamento establecido originalmente

Por lo tanto, la(s) ltima(s) epreciaci (es) se acomodan para hacer coincidir el ltimo Valor del Activo con el Valor de SalvamentoMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 89

Ejemplo (continuacin)Depreciaci Sal os ecrecie tes (S.D.D.)

2 d! ! 0,2 10D1 ! 0,2 11.000 0,2 ! 2.200 111

V1 ! 11.000 0,2 ! 8.800 11

D2 ! 0,2 11.000 0,2 ! 1.760 121

V2 ! 11.000 0,2 ! 7.040 12

D3 ! 0,2 11.000 0,2 ! 1.408 131

V3 ! 11.000 0,2 ! 5.632 13


90

Ejercicio (continuacin)El clculo continua hasta el periodo 10 donde:V9 ! 11.000 0,2 ! 1.476 19

D10 ! 0,2 11.000 0,2 1

101

! 295

V10 ! 11.000 0,2 ! 1.181 110

Valor final 1.181 { 1.000 por lo que se corrige la D10 de forma de dejar V10 en 1.000 D10 = 476MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 91

Flujos de CajaEs la forma de representar los ingresos y egresos de una actividad econmica, con el objetivo de determinar los flujos etos que sta entrega (o absorbe) e ca a pero o Especial nfasis pondremos en el estudio de los Escu os iscales


92

Flujo de Caja (continuacin)+ = = + = Ing. Ventas Costo Venta Utilidad. BrutaEgresos Operacional

+ + + = + =

DepreciacinPerd.Ejerc. Anterior Amort. C y L Plazo

Inversin Venta Activos Imp. Venta Activos Total Anual Monto Crdito Flujo Neto (FN)93

Ut. OperacionalIng. No Operacional.

DepreciacinPerd.Ejerc. Anterior Int C. y L. Plazo

MBA, Christian Carrasco Wehrhahn Ut. Antes Impuestos

Escudos FiscalesAquellos trminos que se restan antes de aplicar el impuesto, para luego sumarlos al flujo. Su efecto es simple: Disminuyen la cantidad de impuesto a pagar Intereses de Corto y Largo Plazo Depreciacin Perdidas del Ejercicio Anterior Por lo tanto, las empresas harn lo posible para maximizar dichos escudos.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 94

Indicadores EconmicosHerramientas para evaluar la viabilidad econmica de un proyecto


95

Valor Actual Neto (VAN)Consiste en actualizar a tiempo presente todos los flujos de un proyecto Es uno de los indicadores econmicos ms utilizados, por su simpleza de clculo e interpretacin.


96

Calculo VANVAN ! n

FN j

1 i j j !0

Donde:FNj = Flujo Neto perodo j i = Tasa de Inters Efectiva en el perodo. n = Nmero de perodos Qu tasa de inters se ocupa?


97

Tasa de DescuentoExisten varias formas de entenderla Es el inters que se le exige a una alternativa de inversin para ser considerada rentable Corresponde al Costo de Oportunidad del evaluador

Por ahora: Inters queme ofrece mi alternativa de inversin mas cercana Por lo tanto, la tasa de descuento es distinta para cada inversionista98


Interpretacin> 0 Alternativa Recomendable VAN = 0 Alternativa No Recomendable < 0 Alternativa No Recomendable Mientras mayor sea el VAN de una alternativa, mejor es desde el punto de vista econmico


99

EjemploSean los flujos netos de caja que me entregar un proyecto de inversin. Mi alternativa es una cuenta de ahorro que me da un 7% anual efectivo 85 100 150 200 Tasa de descuento = 7% 0 500 1 2 3 485 1, 07

5

6

7

8

9

10200 1, 07 4

VAN ! 500

1

100 150 1, 07 2 1, 07

3

VAN ! 500 79,4 87,3 122,6 152,6 ! 58,2MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 100

Observaciones sobre el VANSi lo uso para comparar dos alternativas: A ambas se les debe aplicar la misma tasa de descuento. Ambas evaluadas con el mismo nmero de perodos. Qu pasa con proyectos de distinta duracin? Cmo los comparo va VAN?MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 101

VAN para alternativas diferente duracinFlujos Alternativa 1 FN0 FN1 FN2 FN3 -525 110 300 400 Flujos Alternativa 2 FN0 FN1 FN2 -200 50 200

Se calculan los VAN prolongando la vida de los proyectos al Mnimo Comn Mltiplo de sus duraciones. MCM 2 y 3 = 6 Es equivalente a repetir el mismo proyecto una y otra vezMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 102

VAN para alternativas diferente duracin-525 110 300 400 -525 110 300 400 -525 110 300 -125 110 300 400 0 Alternativa 1 (Se hace 2 veces) Suma ao a ao

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -200 50 200 -200 50 200 Alternativa 2 (Se hace 3 veces) -200 50 200 -200 50 0 50 0 50 200 Suma ao a ao103


VAN para alternativas diferente duracinOcupando una tasa de descuento del 10%VAN 1 ! 525 1101

1,1 1,1501

3002

125

1,1

3

110

1,10

4

300

1,1

5

400

1,1

6

! 216,2

VAN 2 ! 200

1,1 1,1

02

50

1,1

3

1,1

4

50

1,1

5

200

1,1

6

! 27

Por lo tanto la alternativa 1 es la mejorMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 104

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) VAEEl CAUE es otro mtodo que se utiliza comnmente en la comparacin de dos alternativas A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la comparacin se realice sobre el mnimo comn mltiplo de los aos cuando las alternativas tienen diferentes vidas tiles. Slo se necesita que las Tasas sean iguales. El CAUE nos indica cul alternativa es mejor, sin embargo, no nos indica cu to es una mejor a la otra.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 105

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)El CAUE significa que todos los ingresos y desembolsos deben convertirse en una cantidad anual uniforme equivalente que es la misma cada perodo La alternativa seleccionada ser aquella que presente el menor CAUE


106

Clculo del CAUESabemos que el CAUE es la transformacin de los ingresos y desembolsos en una cantidad anual uniforme equivalente. Por ejemplo, el siguiente flujo:5000 1 2 3 8

8000 900

900

900

900

Si consideramos una tasa de inters del 20% anual, el CAUE ser:0 1 2 3 8

2955

2955

2955

2955107


Clculo del CAUEExisten varios mtodos para calcular el CAUE, sin embargo, el procedimiento general consiste en calcular el VAN y luego llevar ste a un PAYMENT. Analicemos el Ejemplo anterior:5000 1 2 3 8

8000 900

900

900

900

VAN ! 8000

900 900 900 400 yyy ! 11337 1 2 7 8 1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 108

Clculo del CAUEAhora solo llevamos el VAN a un PAYMENT:

,28 0,2 1 ! 2955 CAUE ! 11337 8 ,2 1 1 El diagrama de flujo ser:0 1 2 3 8

2955

2955

2955

2955


109

CAUE de gastos recurrentesAlgunos proyectos de vida indefinida poseen gastos recurrentes. Para calcular el CAUE de ellos podemos seguir el siguiente procedimiento: 1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades anuales uniformes. 2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT empiece del perodo n1. Mustrenme un ejemplo


110

CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida indefinida), asumiendo un inters del 10% anual.0 1 2 3 4 5 6 7

500

500

500

Segn el procedimiento sealado, necesitamos convertir el flujo a cantidades anuales uniformes: Podemos considerar que desde el 2 ao el flujo esta compuesto por infinitos subflujos de 2 aos c/uMBA, Christian Carrasco Wehrhahn

0

1

2

500

111

CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)Siguiendo el consejo de Bart... ,12 0,1 1 ! 288 PMT ! 500 2 1,1 1

Luego, nuestro flujo ser:0 1 2 3 4 5 n

288

288

288

288

288112


CAUE de gastos recurrentes (ejemplo)Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el PMT empiece en el ao n1:V1 ! V2 288 ! ! 262 1 n (1 i ) 1,1 1 2 3 4

V2 !

V3 288 ! ! 262 1 n (1 i ) 1,1 ...

0

CAUE=262

262

262

262

262

262

Nota que solo necesitamos calcular el monto del ao n1, y luego ste se repetir indefinidamente cada aoMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 113

CAUE de una inversin perpetuaCmo calculo el CAUE de un proyecto de vida indefinida que adems de tener gastos recurrentes tiene algunos gastos no recurrentes?

Para estos proyectos el clculo del CAUE se debe realizar de la siguiente manera:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 114

CAUE de una inversin perpetua1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor presente y luego multiplicarse por la tasa de inters:CAUE1

! VP * i

2) Luego calculamos el CAUE de los gastos recurrentes.CAUE2 3) CAUE=CAUE1+CAUE2


115

CAUE de una inversin perpetua (Ejemplo)Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo: (Asumir inters del 10% anual)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7000 300

300 300+800 300+4000

300 300+800

300

300 300+800

Cul ser el CAUE del proyecto? Primero calculamos el CAUE de los gastos no recurrentes: MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

116

CAUE de una inversin perpetua (Ejemplo)CAUE1

4000 ! 7000 0 ,1 ! 973 4 1,1

Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos recurrentes: Adems cada 3 Existe un gasto aos se gastan 800 peridico anual adicionales.Entonces, de 300, luego debemos calcular CAUE2=300 el CAUE3


117

CAUE de una inversin perpetua (Ejemplo)Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada 3 aos:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

800

800

800

Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este flujo:0 1 2 3 4 ...

266

266

266

266

266

Finalmente:

CAUE

! 973 300 266 ! 1539MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

118

Para tomar en cuenta...El anlisis anterior (CAUE) Lgicamente la tambin se puede utilizar cuando en vez de estudiar alternativa seleccionada COSTOS se estudia flujos ser la de mayor VAE. positivos, en cuyo caso el anlisis suele llamarse VAE (Valor a ual equivale te), aunque en ocasiones se sigue utilizando el trmino CAUE.


119

VAE (Ejemplo)Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la tasa del inversionista es del 10%, Cul ser la mejor alternativa utilizando el mtodo del VAE (CAUE)?Pr oyect o A B Ao 0 - 1000 - 2000 Ao 1 600 700 Ao 2 700 800 Ao 3 850 900 950 1000 Ao 4 Ao 5

Primero calculamos el VAN de cada proyecto:

VAN

A

! 763

VAN

B

! 1243120


EjemploAhora llevamos cada VAN al PAYMENT correspondiente:

,13 0,1 1 VAEA ! 763 ,13 1 ! 307 1

,15 0,1 1 ! 328 VAEB ! 1243 5 ,1 1 1 Como VAEB>VAEA, este mtodo nos indica que se debe escoger el proyecto B.MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 121

Comentarios del ejemplo AnteriorNota que para el anlisis del VAE no se necesit usar el mismo perodo de tiempo de vida de los proyectos (M.C.M.de los perodos) Cul sera el resultado si se analizara por el mtodo del VAN?

Resolvamos la pregunta de la MBA, Christian guagua Homero: Carrasco Wehrhahn

122

...Usando el mtodo del VANEl M.C.M. de los perodos de ambos proyectos es 15, luego debemos prolongar la vida de los proyectos a 15 aos: El flujo del proyecto A ser:6000 1

7002

8503

6004

7005

8506

85015

-1000

-1000

-1000


123

Modificando los flujos...Pero como ya calculamos el VAN individual de cada Proyecto, podemos aprovechar esto y as modificar los flujos para ahorrar clculos:

Proyecto A:

7630

7633

7636

7639

76312 15

VAN

A

763 763 763 763 ! 763 ! 2334 3 6 9 12 1,1 1,1 1,1 1,1 MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 124

Finalmente...1243 12435

124310 15

Proyecto B:0

VAN

B

1243 1243 ! 1243 ! 2494 5 10 1,1 1,1

Por lo tanto la eleccin por el mtodo del VAN tambin favorece al Proyecto BMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 125

Costo capitalizado (Ejemplo)Luego,Costo capitalizado ! 143464 5026 ! 193724 0,1

Note que al calcular el VP de los gastos no recurrentes se pueden incluir los gastos anuales hasta el sptimo perodo y del octavo en adelante considerar como nico gasto recurrente los 8000 anuales Veamos que sucede si usamos este procedimiento: MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

126

Costo capitalizado (Ejemplo)Hallamos el VP (al ao cero) de los gastos no recurrentes:VP ! 100.000 70.000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 2 3 4 5 6 7 ! 162938 5 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

El CAUE de los flujos recurrentes sern:0 1 2 5 6 7 8 9 n

6000 CAUE ! ! 3079 7 1,1

6000 6000

6000

osto capitalizado ! 162938

3079 ! 193728 MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 0,1

127

Tasa Interna de Retorno (TIR)El TIR es la tasa que entrega un proyecto suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a esta tasa. Se calcula buscando la tasa que hace el VAN igual a cero


128

TIR ModificadaEs la tasa que entrega un proyecto suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a la tasa costo capital, la cual generalmente es la tasa atractiva de retorno (TMAR)


129

Clculo de la TIR Modificada1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor absoluto). I0 2) Calcular VFn de los flujos (usando la tasa del costo capital, generalmente TMAR) 3) Calcular la TIR Modificada, despejando t de la frmula:

VF ! I 0 (1 t ' ) nMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 130

Clculo de la TIR ModificadaComo para calcular el VAN de un proyecto se incluyen las inversiones, si queremos calcular la TIR Modificada cuando tenemos el VAN tendremos:

VAN I 0 * (1 i) n ! I 0 (1 t ' ) nDespejando:

Donde i es la tasa costo capital, generalmente TMAR

VAN t' ! n 1 * (1 i ) 1 I0MBA, Christian Carrasco Wehrhahn

131

Relacin Beneficio/CostoTal como su nombre lo sugiere, el mtodo B/C se basa en la relacin de los beneficios a los costos asociados con un proyecto particular:B ! C

Beneficios Costos

Para que el proyecto sea econmicamente ventajoso B/C debe ser mayor o igual a 1MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 132

IVANEs la relacin entre el Valor actual neto de un proyecto y su inversin:

Un proyecto se descartar si su IVAN es menor que 1MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 133

Payback (Perodo de recuperacin)Es el ao (o perodo) en el que la suma de los Flujos Netos es mayor o igual a ceroLgicamente, la mejor alternativa es la de menor Payback Payback ! i aos

Se puede calcular con los flujos NO actualizados O con Flujos actualizados


134

Payback (Tiempo de pago)El clculo del Payback considerando los flujos NO actualizados se realiza simplemente sumando algebraicamente los Flujos Netos (sin incluir ninguna tasa de inters) hasta que esta suma sea mayor o igual que cero. En cambio si se quiere calcular con flujos actualizados, se debe tomar en cuenta una tasa de inters. Ejemplo:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 135

Payback (Tiempo de pago)Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Cul proyecto debe seleccionarse seg el Payback si los flujos no son actualizados? Qu pasa si se considera flujos actualizados a una tasa del 15% anual?Pr oyect o A B Ao 0 - 1000 - 1200 Ao 1 480 500 Ao 2 530 550 Ao 3 550 850 Ao 4 560 950 Ao 5 560 1000

Flujos no actualizados: Proyecto A:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 136

Payback (Tiempo de pago)Proyecto B:

Por lo tanto, segn el mtodo del Payback y considerando flujos no actualizados, conviene realizar el proyecto A. Veamos que ocurre si usamos flujos actualizados:MBA, Christian Carrasco Wehrhahn 137

Payback (Tiempo de pago)Proyecto A:

Proyecto B:


138

Payback (Tiempo de pago)Como el Payback de A es igual al Payback de B (3 aos), entonces segn mtodo del Payback estos proyectos son indiferentes (para flujos actualizados con una tasa del 15% anual) Si calculan el VAN de cada Proyecto obtendrn que el proyecto B es el mejor


139

Anlisis incrementalCuando se realiza un proyecto, lgicamente se busca que su inversin sea la menor posible. Pero si un proyecto de mayor inversin se presenta, ste deber justificar el incremento de capital. De esta manera si la tasa de retorno sobre la inversin adicional no iguala o supera nuestra TMAR el proyecto de mayor inversin (Proyecto retador) debe desecharse, en caso contrario debe aceptar este ltimo y desechar el proyecto de menor inversin. Este mtodo se conoce como Anlisis incremental. A continuacin se mostrar el proceso de anlisisMBA, Christian Carrasco Wehrhahn 140

Anlisis incrementalEl procedimiento para realizar el anlisis incremental es el siguiente: 1) Ordenar las alternativas de menor a mayor inversin. 2) Calcular la TIR del proyecto con ms baja inversin. Si TIR

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