ING JOSEF PANÁČEK PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ...Vzhledem k tomu, že beton má výrazně menší schopnost přenášet tahová na-máhání, je nutno vkládat ohybovou a smykovou

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRN Ě FAKULTA STAVEBNÍ

ING. JOSEF PANÁČEK

PRVKY BETONOVÝCH

KONSTRUKCÍ MODUL M02

DIMENZOVÁNÍ BETONOVÝCH PRVK Ů – ČÁST 1

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Prvky betonových konstrukcí · Modul M02

- 2 (66) -

© Josef Panáček, Brno 2005

Obsah

- 3 (66) -

OBSAH

1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................5

2 Ohýbané železobetonové prvky...................................................................7 2.1 Charakteristika ohýbaných prvků .........................................................7 2.2 Chování a modelování ohýbaných prvků..............................................8 2.3 Autotest ...............................................................................................10

3 Prvky namáhané ohybovým momentem..................................................11 3.1 Napjatostní stádia ohýbaného prvku ...................................................11 3.2 Předpoklady a principy výpočtu mezní únosnosti ..............................13

3.2.1 Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti ..................13 3.2.2 Obecný postup při stanovování mezní únosnosti..................14 3.2.3 Hraniční případy a jejich využití...........................................17 3.2.4 Možnosti zjednodušení výpočtu mezní únosnosti ................18

3.3 Stanovení mezní únosnosti pro vybrané typy průřezů ........................21 3.3.1 Obdélníkový průřez ..............................................................21 3.3.1.1 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez ........................21 3.3.1.2 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez ........................24 3.3.2 Průřezy se spolupůsobící deskou ..........................................26 3.3.3 Obecnější souměrné a nesouměrné průřezy..........................29 3.3.3.1 Souměrné průřezy .................................................................30 3.3.3.2 Nesouměrné průřezy .............................................................30 3.3.4 Průřezy namáhané šikmým ohybem .....................................32

3.4 Autotest ...............................................................................................33 4 Prvky namáhané posouvající silou............................................................35

4.1 Chování prvků namáhaných posouvající silou ...................................35 4.1.1 Základní principy působení...................................................35 4.1.2 Rozbor rozhodujících stádií ..................................................36

4.2 Výpočet mezní smykové únosnosti.....................................................41 4.2.1 Základní principy a předpoklady výpočtu ............................41 4.2.2 Prvky bez smykové výztuže..................................................42 4.2.2.1 Způsob porušení prvků bez smykové výztuže......................42 4.2.2.2 Smyková únosnost prvků bez smykové výztuže ..................43 4.2.3 Prvky se smykovou výztuží ..................................................44 4.2.3.1 Způsob porušení prvků se smykovou výztuží.......................44 4.2.3.2 Smyková únosnost prvků se smykovou výztuží ...................46

4.3 Návrh a posouzení prvků namáhaných na smyk.................................49 4.3.1 Zásady návrhu a posouzení...................................................49 4.3.2 Rozhodující a další průřezy pro návrh a posouzení ..............51


- 4 (66) -

4.3.3 Výpočet smykové únosnosti v blízkosti podpor .................. 55 4.4 Autotest............................................................................................... 56

5 Prvky namáhané kroucením..................................................................... 57 5.1 Chování a porušení kroucených prvků ............................................... 57 5.2 Stanovení únosnosti kroucených prvků.............................................. 59

5.2.1 Únosnost kroucených prvků bez trhlin................................. 59 5.2.2 Únosnost kroucených prvků s trhlinami............................... 61

5.3 Autotest............................................................................................... 63 6 Závěr ........................................................................................................... 65

6.1 Shrnutí ................................................................................................ 65 6.2 Studijní prameny ................................................................................ 65

6.2.1 Seznam použité literatury..................................................... 65 6.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................... 66 6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .......................... 66

6.3 Klíč ..................................................................................................... 66

Úvod

- 5 (66) -

1 Úvod

1.1 Cíle

V modulu CM 2 se seznámíme se základními principy dimenzování prvků betonových konstrukcí podle mezních stavů únosnosti. Bude se jednat o první část, která zahrnuje ohýbané železobetonové prvky a zabývá se dimenzováním železobetonových prvků namáhaných ohybovým momentem, posouvající silou a kroutícím momentem. Naučíme se jednak obecné principy pro jednotlivé případy namáhání a jednak aplikace pro běžné i speciální typy průřezů a pro jednoduché typy prvků. Naznačíme si také možná řešení pro vzájemnou interakci výše uvedených statických veličin. Součástí budou i konstrukční zásady pro vyztužování těchto prvků.

Pro naplnění cílů tohoto modulu bylo potřeba jej nejen napsat, ale také jej vybavit obrázky. Proto na tomto místě je potřeba poděkovat za jejich pečlivé nakreslení Ing. Patriku Panáčkovi, Ing. Karlu Tesařovi, Ing. Jiřímu Strnadovi a především Ing. Radimu Nečasovi, který se na nich podílel nejvíce včetně jejich celkové koordinace a vložení do textu.

1.2 Požadované znalosti

Látka probíraná v tomto modulu předpokládá znalosti z oblasti zatížení staveb-ních konstrukcí, mechanicko-fyzikálních vlastností materiálů, vytváření static-kých modelů jednoduchých prvků a konstrukcí a základních principů navrho-vání podle mezních stavů získaných studiem předcházejícího modulu CM 1. Dále je potřeba znát základní způsoby výpočtu statických veličin ze stavební mechaniky pro různé typy zatížení a stanovení napjatosti prvků při různých způsobech namáhání z pružnosti a plasticity. Z technické matematiky a fyziky (zde především z mechaniky) jsou zapotřebí běžné znalosti získané již na střední škole nebo v předcházejícím studiu na fakultě stavební.

1.3 Doba potřebná ke studiu

Modul zahrnuje z celé problematiky navrhování betonových prvků přibližně 30 procent, což odpovídá čtyřem týdnům z celého semestru. Doba potřebná k na-studování jednotlivých kapitol a celého textu je především závislá na obtížnosti tématu, předchozích znalostech a schopnostech studenta. Z těchto důvodů se dá pouze odhadnout a může činit 15 až 20 hodin.

1.4 Klí čová slova

Prvek, deska, nosník, trám, příruba, stojina, uložení, zatížení, břemeno, účinek zatížení, řez, průřez, síla, ohybový moment, posouvající síla, kroutící moment, ohyb, smyk, kroucení, beton, výztuž, železobeton, podélná výztuž, prut s ohybem, třmínek, spona, stupeň vyztužení, podmínka rovnováhy, napětí, po-měrné přetvoření, únosnost, odolnost, neutrální osa, pevnost, porušení, trhlina,


- 6 (66) -

ohyb, smyk, kroucení, tah, tlak, příhradovina, segment, diagonála, pás, pole, posun. Text (seznam klíčových slov oddělených čárkou).

Ohýbané železobetonové prvky

- 7 (66) -

2 Ohýbané železobetonové prvky

Z mezních stavů únosnosti se budeme postupně zabývat analýzou jednotlivých způsobů porušení železobetonových prvků při různých druzích namáhání. V tomto modulu to budou prvky namáhané ohybem, tzn. prvky namáhané ohy-bovým momentem a posouvající silou a prvky namáhané kroutícím momen-tem.

2.1 Charakteristika ohýbaných prvků

Mezi ohýbané prvky můžeme zařadit především vodorovné nebo šikmé nosné prvky jako jsou např. desky, trámy, překlady, průvlaky a příčle. Jedná se větši-nou o samostatné prvky nebo části stropních nebo vyložených konstrukcí, schodišť nebo podpěrných konstrukcí apod.

Ohýbané prvky jsou od zatížení většinou namáhány kombinací ohybového momentu M a posouvající síly V.

A

A

V

A

F1 2F F3 f

a) zatížení nosníku, vyšetřovaný řez

A

A

b) působící síly - moment M a posouvající síla V

f3FF21F

M

V

V V

C

F1 2F F3 f

c) vzdorující síly

A

T

z

Obr. 2.1 Působící a vzdorující síly u ohýbaného prvku


- 8 (66) -

Na obr. 2.1a je vykreslen příklad prostého nosníku zatíženého soustavou bře-men o velikosti Fi a rovnoměrným zatížením o intenzitě f. Od tohoto zatížení vznikají v řezu A-A vnitřní síly - ohybový moment M a posouvající síla V (viz obr. 2.1b). Stejnými hodnotami ve sledovaném řezu vzdoruje nosník s tím, že vzdorující ohybový moment můžeme nahradit dvojicí sil, v tlačené oblasti C a v tažené oblasti T, působících od sebe ve vzdálenosti z (rameno vnitřních sil) – viz obr. 2.1c. Pak platí M = C.z = T.z.

Pokud v daném místě bude současně působit ohybový moment M a posouvají-cí síla V, bude se jednat o tzv. prostý ohyb. Čistý ohyb může nastat pouze teh-dy, pokud prvek bude celý nebo v jeho některé části namáhán pouze ohybovým momentem (V = 0). Obecně v závislosti na zatížení a na statickém schématu mohou z hlediska velikosti M a V nastat různé případy jejich kombinací. Běžně ale při navrhování ohýbaných prvků postupujeme tak, že je dimenzujeme zvlášť pro jednotlivé možné způsoby porušení a rozhodující statické veličiny.

V dalším textu budeme označovat účinky vnějšího zatížení ME a VE a odolnost prvku v daném průřezu MR a VR.

Kontrolní otázky

Vyjmenujte jednotlivé typy ohýbaných prvků.

Působící a vzdorující statické veličiny u ohýbaných prvků.

Charakterizujte rozdíl mezi prostým a čistým ohybem.

2.2 Chování a modelování ohýbaných prvků

Při rozboru chování železobetonového prvku se většinou vychází jednak z roz-boru chování běžného prutového prvku v jednotlivých průřezech a jednak z náhrady prvku pomocí tzv. náhradní příhradové soustavy. Železobetonový prvek se přitom srovnává s homogenním prvkem, tj. prvkem, u něhož lze uplatnit základní principy pružného chování.

U homogenního prvku v důsledku působení ohybového momentu a posouvající síly vznikají normálová a smyková napětí (σx a τ) a v kombinaci hlavní napětí v tahu σ1 a v tlaku σ2. Možný průběh trajektorií těchto napětí na prostém nosní-ku je zřejmý z obr. 2.2a v levé části.

U železobetonového prvku v důsledku významně menší pevnosti betonu v tahu dochází v tažené oblasti nejdříve ke vzniku ohybových a později i smykových (šikmých) trhlin – obecně přibližně kolmo na směr trajektorií hlavního napětí v tahu (viz obr. 2.2a pravá část). V tlačené oblasti mohou v důsledku namáhá-ní hlavním napětím v tlaku vzniknout mikrotrhliny. Oba případy mohou roz-hodnout o únosnosti.

Vzhledem k tomu, že beton má výrazně menší schopnost přenášet tahová na-máhání, je nutno vkládat ohybovou a smykovou výztuž do těch míst, kde by došlo k porušení betonu z hlediska jeho nedostatečné únosnosti v tahu. Použí-vání výztuže v tlačené oblasti u ohýbaných prvků je méně časté. Dimenzová-ním u železobetonových prvků tedy rozumíme takový návrh výztuže, která spolu s tlačeným betonem zajistí jeho dostatečnou únosnost – v obr. 2.2b je staticky nutná výztuž vykreslena plně a konstruktivní čárkovaně.

Ohýbané železobetonové prvky

- 9 (66) -

a) trajektorie hlavních napetí

b) vyztužení, místa porušení

homogenní prvek železobetonový prvek

3 21a

1b

1

σ1

2σ

σ1

2σ

Obr. 2.2 Napjatost, vyztužení a místa porušení ohýbaného prvku

V obr. 2.2b jsou také zobrazeny možné způsoby porušení: 1 – porušení ohy-bem (1a – porušení podélné výztuže v tažené oblasti, 1b – porušení betonu v tlačené oblasti – drcení betonu), 2 – porušení smykem za ohybu, 3 – porušení v oblasti kotvení výztuže. Na základě těchto způsobů porušení lze pak proka-zovat únosnost v jednotlivých rozhodujících řezech.

fd

Fc

Ft

α θV

R

Rc

c2

c1

Obr. 2.3 Působení železobetonového prvku jako příhradová soustava

S ohledem na charakter porušení obýbaného železobetonového prvku (tvar a směr trhlin, síly v tlačené oblasti a ve výztuži) lze jej modelovat jako násobnou staticky neurčitou příhradovou soustavu se zakřiveným tlačeným betonovým horním pásem, šikmými tlačenými betonovými diagonálami mezi jednotlivými trhlinami a soustavou tažených prutů vytvářejících tažený pás příhradové


- 10 (66) -

soustavy (podélná výztuž) a jednotlivými taženými svislicemi nebo šikmými diagonálami (svislé či šikmé třmínky, šikmé ohyby) – viz obr. 2.3.

Z tohoto obrázku je také zřejmé, že oba pásy se budou převážně podílet na přenosu ohybového momentu (vzniknou v nich síly Ft a Fc) a tlačené či tažené diagonály a tažené svislice budou přenášek účinky od posouvající síly (v kapitole 4 bude odvozeno, že i posouvající síly ovlivňují síly v obou pásech).

Kontrolní otázky

Trajektorie hlavních napětí u prvku z homogenního materiálu a ze železobe-tonu.

Zdůvodněte umístění výztuže do betonu.

Možné způsoby porušení ohýbaného prvku.

Modelování železobetonového prvku jako násobné příhradové soustavy.

2.3 Autotest

viz kontrolní otázky

Prvky namáhané ohybovým momentem

- 11 (66) -

3 Prvky namáhané ohybovým momentem

Namáhání ohýbaných prvků ohybovým momentem patří mezi nejčastější způ-soby namáhání. V této kapitole se postupně seznámíme s jejich napjatostí, s obecnými principy stanovování jejich únosnosti a s konkrétními postupy pro různé typy průřezů.

3.1 Napjatostní stádia ohýbaného prvku

V místech, kde převládá namáhání ohybovým momentem, vznikají většinou normálová napětí. Jejich rozdělení po průřezu odpovídá velikosti namáhání a stupni porušení. Zkoušky železobetonových prvků prokázaly, že původně svis-lé průřezy zůstávají téměř rovinné (kolmé ke zdeformované střednici) až do okamžiku porušení a že se jen pootočí. Normálová napětí však nerostou úměr-ně, ale podle příslušných pracovních diagramů betonu a výztuže (viz modul CM1). Změny napjatosti v průřezu při postupném nárůstu intenzity zatížení lze v podstatě charakterizovat třemi stádii.

Stádium I – působí celý betonový průřez

V tomto stádiu působí celý betonový průřez jak v tlačené tak i v tažené oblasti. Výztuž plně spolupůsobí s betonem, její poměrné přetvoření εs je rovno po-měrnému přetvoření betonu ve stejné úrovni εcs. Mohou v podstatě nastat dvě situace.

Při menších intenzitách zatížení je napětí jak v betonu tak i ve výztuži přímo úměrné poměrnému přetvoření (viz obr. 3.1a) a lze jej stanovit podle teorie pružnosti – σ = E.ε. Výpočet napětí v tomto stádiu (i ve stádiu II) lze provádět na tzv. ideálním průřezu (parametry průřezu – plocha, moment setrvačnosti atd. se pro výztuž uvažují αe násobně). Napětí ve výztuži je tedy αe násobně větší než napětí v přilehlém vlákně betonu, kde αe = Es/Ec (poměr modulu pružnosti výztuže a betonu), nebo se dá určit z pracovního diagramu pro příslušné po-měrné přetvoření εs.

Při větších intenzitách zatížení však dochází k nelineárnímu rozdělení napětí v betonu v tažené zóně a k posunu nulové osy poměrných přetvoření k tlače-nému okraji. Při mezním poměrném přetvoření v krajních tažených vláknech betonu εctu a při napětí σct = fct, kde fct je pevnost betonu v tahu, se prvek dosta-ne do stavu, který je označován jako mez vzniku trhlin (viz obr. 3.1b). I tento případ, v němž by se mělo přihlížet k pružně-plastickému chování taženého betonu, lze v praktických řešeních vystihnout za předpokladu pružného chová-ní při uvážení fiktivní pevnosti betonu v tahu za ohybu γ.fct, kde γ = 1,6-h[mm]/1000 ≥ 1,0. Napětí ve výztuži se nadále určí podle zásad pružného cho-vání.

Tento stav se používá nejen u mezních stavů použitelnosti, ale i ke stanovení minimálního vyztužení průřezu, které by mělo zabezpečit, že nedojde k náhlému (křehkému) porušení po překročení této meze.

Stádium II – vyloučený beton v tažené oblasti bez využití plasticity betonu v tlačené oblasti

Prvky betonových konstrukcí · Modul CM2

- 12 (66) -

Při dalším navýšení intenzity zatížení se beton v tažené oblasti postupně začíná porušovat trhlinami. V místě každé trhliny je beton téměř vyloučen ze spolupů-sobení, rozhodující část tahové síly přenáší výztuž a nulová osa poměrných přetvoření se opět mírně posouvá k tlačenému okraji (viz obr. 3.1c). Spolupů-sobení betonu a tažené výztuže je zajištěno neporušeným betonem mezi trhli-nami (odpovídá stádiu I). Napětí betonu v tlačené oblasti lze přibližně považo-vat za lineární (platí přibližně do σc = 0,4.fc, kde fc je pevnost betonu v tlaku). Výpočet napětí lze provádět podobně jako ve stádiu I, jen průřezové charakte-ristiky je nutno uvažovat bez tažené oblasti betonu a napětí v taženém betonu lze považovat za fiktivní. Napětí ve výztuži lze i v tomto stavu stanovit podle zásad pružnosti.

Tento stav se využívá u tzv. klasické teorie železobetonu a v teorii mezních stavů u mezního stavu použitelnosti a při výpočtech na únavu.

As1

a bc

d e f

tlak

tah

εcεc

εc

εcεc εc

σcσc σc

σcσc σc

εctu εs εy

εc εcu

εcu

εs εy

ctf

γ. ctf

<

< cf

yf

σc

σs σcαe <.= s

<−

>− <yfσs yfσsyfσs

cfσc<−cf cf

= = =εs εu <εs εy

εc εcu< εcu

Ι ΙΙ

ΙΙΙ

Obr. 3.1 Napjatostní stádia železobetonového prvku

Stádium III - vyloučený beton v tažené oblasti s využitím plasticity betonu v tlačené oblasti

Při dalším navýšení intenzity zatížení napětí v tlačeném betonu již nebude line-ární. Výztuž podle míry vyztužení může být v pružném nebo v plastickém sta-vu. K porušení průřezu dojde buď z důvodů nedostatečné únosnosti tažené vý-ztuže nebo tlačeného betonu.

U běžně vyztuženého prvku bude dosaženo poměrného přetvoření ve výztuži odpovídající mezi kluzu (εs ≥ εy) dříve než v krajních tlačených vláknech beto-nu mezní hodnoty εcu. Nulová osa poměrných přetvoření se opět posune smě-rem k tlačenému okraji. K porušení v průřezu dojde v důsledku postupného


- 13 (66) -

plastického protahování výztuže dosažením mezního poměrného přetvoření εcu v tlačeném betonu a jeho porušením (viz obr. 3.1d). Vzhledem k tomu, že pr-votní příčinou porušení je plastické protažení výztuže, mluvíme o tzv. tahovém porušení. Tento způsob porušení zaručuje svými příznaky (růst šířky trhlin a zřejmá deformace prvku) varování, že prvek se dostává do mezního stavu únosnosti.

V některých případech (např. při slabším vyztužení) může dojít k situaci, kdy poměrné přetvoření ve výztuži dosáhne mezní hodnoty εu dříve než v tlačeném betonu bude dosaženo εcu (viz obr. 3.1e). Příčinou porušení v tomto případě nebude beton, ale tažená výztuž. Zohlednění tohoto případu při praktickém dimenzování nemá téměř žádný význam, proto lze využívat pracovního digra-mu výztuže bez omezení velikosti poměrného přetvoření.

U silně vyztuženého prvku je dosaženo mezního stlačení v krajních vláknech betonu εcu dříve než v tažené výztuži je napětí odpovídající mezi kluzu (platí εs<εy) – viz obr. 3.1f. V tomto případě mluvíme o tzv. tlakovém porušení, protože prvotní příčinou mezního stavu je drcení tlačeného betonu. Vzhledem k tomu, že zde nedochází k určitému varování výraznějšími trhlinami či průhy-bem, je tento způsob porušení prvku z hlediska možných opatření nevýhodný. Jeho menší výhodnost je dána i nevyužitím tažené výztuže.

Kontrolní otázky

Charakterizujte předpoklady pro pružné chování železobetonových prvků.

Charakterizujte situaci na mezi vzniku trhlin.

Popište situaci při vyloučeném betonu v tažené oblasti bez využití jeho plas-tického chování v tlaku.

Definujte a zhodnoťte mezní stav únosnosti prvku při tzv. tahovém porušení.

Jaký je vliv a význam uvažování existence mezního poměrného protažení u výztuže.

Definujte a zhodnoťte mezní stav únosnosti prvku při tzv. tlakovém porušení.

3.2 Předpoklady a principy výpočtu mezní únosnosti

Při výpočtu mezního stavu únosnosti se obvykle vychází z napjatostního stádia III, kde místo skutečných hodnot sil, pevností a poměrných přetvoření se pra-cuje s hodnotami návrhovými. Jejich označení je v indexu doplněno písmenem d, např. MEd, MRd, fcd, εyd atd. V dalším textu pro zjednodušení není toto ozna-čení, pokud to není nezbytně nutné, používáno.

3.2.1 Základní předpoklady výpočtu mezní únosnosti

Při stanovení mezní únosnosti železobetonového průřezu při namáhání ohybo-vým momentem (platí i pro kombinaci s normálovou silou) se podle [3] vychá-zí z těchto předpokladů:

• zachovává se rovinnost průřezu před a po přetvoření (velikost poměrného přetvoření ε je přímo úměrná vzdálenosti od nulové nebo-li neutrální osy),


- 14 (66) -

• spolupůsobení výztuže a betonu je zajištěno dokonalou soudržností (poměr-ná přetvoření výztuže εs v tahu i tlaku a poměrná přetvoření v přilehlých vláknech betonu εcs jsou stejná => εs = εcs),

• beton v tažené oblasti průřezu v důsledku trhlin nepůsobí (veškerá tahová napětí přenáší výztuž),

• tlaková napětí betonu v tlačené oblasti průřezu se určují podle pracovních digramů pro stanovení meze únosnosti (parabolicko-rektangulárního, biline-árního) nebo lze uvažovat rovnoměrné rozdělením tohoto napětí – viz dále,

• napětí ve výztuži se stanovují podle pracovních diagramů pro stanovení meze únosnosti (s vodorovnou nebo se stoupající plastickou větví),

• poměrná přetvoření jsou omezena pro tlačený beton hodnotou εcu a pokud je to vhodné i pro výztuž hodnotou εu => za mezní stav je považována situace, když alespoň v jednom z materiálů je dosaženo mezního poměrného přetvo-ření (pokud εu není omezeno, rozhoduje vždy tlačený beton).

V praktických řešeních se většinou uplatňuje pro tlačený beton rovnoměrné rozdělení napětí o hodnotě η.fc v oblasti o výšce xc = λ.x, kde η je součinitel účinné pevnosti betonu a λ součinitel účinné výšky tlačené oblasti. Podle [3] η=1,0 a λ=0,8 pro betony s charakteristickou pevností maximálně 50 MPa a η=1,0-(fck-50)/200 a λ=0,8-(fck-50)/400 pro betony s vyšší charakteristickou pevností; pokud se šířka tlačené oblasti zmenšuje směrem k nejvíce tlačeným vláknům, má se hodnota pevnosti η.fc snížit o 10 %. U výztuže se většinou uvažuje pracovní diagram s vodorovnou plastickou větví bez omezení poměr-ného přetvoření.

Kontrolní otázky

Vyjmenujte základní předpoklady pro stanovení mezní únosnosti.

Jaké průběhy napětí se uvažují v praktických řešeních?

3.2.2 Obecný postup při stanovování mezní únosnosti

Obecný postup při určování mezní únosnosti prvku namáhaného ohybem si ukážeme pro jednoose symetrický průřez různého tvaru s rovinou ohybového momentu totožnou s rovinou procházející osou symetrie – viz obr. 3.2. Nechť je tento průřez vyztužen po své celé výšce n-vrstvami výztuže o ploše jednotli-vých vrstev As(i), vzdálenosti h(i) od tlačeného okraje resp. zs(i) od těžiště ce-lého betonového průřezu Cg, kde i = 1, 2, 3,….i,…..n. Dále předpokládejme, že v každé i-té vrstvě výztuže bude pro každé poměrné přetvoření εs(i) známo napětí σs(i). Nechť je známo pro tlačenou oblast funkční vyjádření jejího tvaru v závislosti na vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje a je definován průběh napětí σc(z) po výšce této oblasti v závislosti na εc(z). Potom můžeme pro prvek určit dva základní vztahy pro stanovení meze porušení

∑∫ +=i

ss

x

cR iiAdzzzbN )().().().( σσ , (3.1)

∑∫ +=i

sssc

x

R iziiAdzzzzbM )().().(.).().( σσ (3.2)

a tím i podmínky rovnováhy (silovou a momentovou)


- 15 (66) -

NR = NE = 0, (3.3)

MR ≥ ME. (3.4)

Ze silové podmínky vyplývá, že u prvku namáhaného pouze ohybem je normá-lová síla od zatížení nutně nulová, a že vlastní rovnováha musí být zajištěna podmínkou rovnosti všech vnitřních sil, tj. sil v tlačeném betonu a ve výztuži. Momentová podmínka rovnováhy v návaznosti na splnění silové podmínky v napsaném spolehlivostním tvaru zaručuje, že prvek má dostatečnou únosnost. Po zavedení výsledné síly v tlačeném betonu Fcc, vzdálenosti zcc jejího působiš-tě Ccc od těžiště průřezu Cg a sil v jednotlivých vrstvách výztuže Fs(i), platí

∑=i

scc iFF )( , (3.5)

E

i

ssccccR MiziFzFM ≥+= ∑ )().(. . (3.6)

Acc

h

b

Cg

εcu

εc1

εs(i)

εc(z)

εεy

εsεuεu

σs

σ

σ

σ

yf

x

h(i)

(z)

z

y

2

1

As(i)

x (c)

Cg

Ccc

c(z)

Fcc

Fs(1)

F

Fs(i)

s(n)

z

zcc

s(i)

s(i)

−

−

+

+εs −−

− yf

εy

s(i)

Obr. 3.2 Předpoklady výpočtu mezní únosnosti

Z průběhu poměrných přetvoření vyplývá, že při stanovování mezní únosnosti bude nutné uplatnit i jejich vazbu na geometrii průřezu. Proto zavádíme do řešení další tzv. geometricko-přetvárnou podmínku (všechny veličiny jsou v prosté hodnotě) ve tvaru

xxih

i cs εε =−)(

)(. (3.7)

V této podmínce jsou obecně všechny veličiny mimo h(i) neznámé, proto pro stanovení meze únosnosti bude nutno některé z nich zvolit.


- 16 (66) -

Ve vlastním výpočtu meze porušení je dobré postupovat tak, že postupně bu-deme volit polohu neutrální osy hodnotou x tak dlouho až bude splněna silová podmínka rovnováhy a následně prokážeme dostatečnou míru spolehlivosti z momentové podmínky rovnováhy. Současně s volbou x musíme zvolit i před-poklad o způsobu porušení. Většinou se u běžného vyztužení bude jednat o dosažení mezního stlačení v krajních tlačených vláknech betonu εcu. Na zákla-dě zvoleného průběhu přetvoření můžeme v úrovni jednotlivých vrstev výztuže stanovit jejich poměrné přetvoření úpravou rovnice (3.7) na

x

xihi cus

−= )(.)( εε (3.8)

a následně pomocí pracovního digramu výztuže stanovit napětí σs(i) – viz obr. 3.2 a např. vztah (3.10) a síly

Fs(i) = As(i).σs(i). (3.9)

Pro výpočet napětí ve výztuži je nutno vědět, v které jeho větvi se nacházíme – hraničním případem je hodnota εy. Pokud bude používán pracovní diagram výztuže s vodorovnou plastickou větví stačí použít vztah

σs(i) = εs(i).Es, (3.10)

s omezením |σs(i)| ≤ fy.

Na základě funkčního vyjádření tvaru tlačené oblasti betonu a použitého pra-covního diagramu je možné stanovit výslednou sílu v tlačeném betonu Fcc. Je zřejmé, že v praktických řešeních bude možné tuto sílu určit jednoduše nebo využít rozdělení tlačené oblasti na vhodné díly se stanovením dílčích sil Fci

=>F cc=∑Fci.

Po stanovení všech sil v betonu a výztuži můžeme provést ověření, zda je spl-něna silová podmínka (3.5). Pokud není, volí se nová poloha neutrální osy po-mocí hodnoty x tak dlouho, až je silová podmínka rovnováhy splněna s vyhovující přesností. Následně je nutno stanovit polohu působiště Ccc síly v tlačeném betonu, její vzdálenost (rameno) např. k těžišti celého průřezu zcc a s použitím ramen jednotlivých sil ve výztuži zs(i) určit výsledný moment na mezi únosnosti a ověřit spolehlivost podle vztahu (3.6). Opět je možné využít rozdělení tlačené oblasti a s pomocí dílčích sil Fci, jejich působišť Cci a ramen zci získat i jejich příspěvek k velikosti MR nahrazením Fcc.zcc v (3.6) ∑(Fci.zci).

Poznámka

Součástí výpočtu by měla být i kontrola předpokládaného způsobu porušení. To bude aktuální pouze v případech, kdy omezení poměrného přetvoření ve výztuži je žádoucí a při slabším vyztužení – viz kap. 3.1, stádium III. Při zjiště-ní, že εs(1)>εu je nutno změnit předpoklad rozhodujícího porušení na porušení v důsledku dosažení mezního poměrného protažení v krajní vrstvě tažené vý-ztuže => εs(1)=εu. S pomocí této hodnoty lze opět stanovit ostatní poměrná přetvoření (při εc≤εcu) a výše uvedeným postupem prokázat spolehlivostní pod-mínku (3.6).

Kontrolní otázky

Charakterizujte základní podmínky rovnováhy.

Charakterizujte geometricko-přetvárnou podmínku.


- 17 (66) -

Popište obecný postup při stanovování mezní únosnosti.

3.2.3 Hrani ční případy a jejich využití

Z předcházejících kapitol je zřejmé, že při namáhaní ohýbaného železobetono-vého prvku mohou teoreticky vzniknout hraniční situace vyplývající především z hraničních přetvoření pro výztuž danými jejími pracovními diagramy. Bude se jednat o dosažení hodnot εy a pokud to bude vhodné i εu. Tyto hranice budou rozhodovat o způsobu porušení – tlakové nebo tahové, který materiál o něm rozhodne a o velikosti napětí ve výztuži a tím i o možnostech zjednodušení výpočtu meze únosnosti. Je možné je vyjadřovat nejen pomocí hodnot poměr-ných přetvoření, ale i pomocí polohy neutrální osy od tlačeného okraje popř. i jinak. Pro vyjádření těchto hranic použijeme průřez obdélníkového tvaru vy-ztužený dvěma vrstvami výztuže v jeho tažené a dvěma vrstvami výztuže v jeho tlačené oblasti – viz obr. 3.3.

b

h h(1) h(

u)h (

d)

12

43

tahové

tlakové

porušenívýztuže

porušeníbetonu εy

εu

εcu

εy

x

A

B

lim

xba

l,2

xba

l,1porušení

porušení

Obr. 3.3 Hraniční případy průběhu poměrných přetvoření

Pokud bude současně dosaženo v krajních tlačených vláknech betonu mezního stlačení εcu a v libovolné vrstvě tažené výztuže ve vzdálenosti h(i) od tlačeného okraje (platí h(i)>x) protažení εy, lze z geometricko-přetvárné podmínky (3.7) po zavedení εcu a εy vyjádřit hraniční vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje betonu ve tvaru

)(.)(.1,1, ihihxycu

cubalbal

εεε

ξ+

== . (3.11)

Pokud bude platit, že x≤xbal,1, bude napětí v dané vrstvě a všech bližších k ta-ženému okraji mít velikost odpovídající plastické větvi pracovního diagramu (při vodorovné větvi dosáhne vždy meze kluzu fy). Pro ostatní taženou výztuž bude pro stanovení napětí určující pružná větev – viz vztah (3.10). Hodnota xbal,1 stanovená pro nejbližší výztuž k neutrální ose (h(i)=h(u)) tedy zaručí, že ve veškeré tažené výztuži bude při vodorovné plastické větvi napětí σs=fy.

Při soustředěné výztuži u taženého okraje je možno již předem u běžného vy-ztužení předpokládat tuto podmínku za splněnou, což značně zjednoduší výpo-čet, protože ze silové podmínky rovnováhy (3.5) lze přímo určit sílu v tlačeném betonu. V tomto případě lze také jednoznačně rozhodnout o způsobu porušení: tahové (x≤xbal,1) nebo tlakové (x>xbal,1). Z obr. 3.3 je zřejmé, že konkrétní prů-


- 18 (66) -

běh poměrných přetvoření odpovídající po výšce průřezu se dá získat otáčením přímky (roviny) přetvoření kolen bodu (osy) B.

Podobným způsobem můžeme postupovat i pro tlačenou výztuž. Opět, ale pro h(i)<x, lze z geometricko-přetvárné podmínky (3.7) po zavedení εcu a εy vyjád-řit hraniční polohu neutrální osy vztahem

)(.)(.2,2, ihihxycu

cubalbal

εεε

ξ−

== . (3.12)

Pokud bude platit, že x≥xbal,2, bude napětí v dané vrstvě a všech bližších k tlačenému okraji mít velikost odpovídající plastické větvi pracovního dia-gramu (při vodorovné větvi dosáhne vždy meze kluzu fy). Pro ostatní tlačenou výztuž bude pro stanovení napětí určující pružná větev – viz vztah (3.10). Hodnota xbal,2 stanovená pro nejbližší výztuž k neutrální ose (h(i)=h(d)) tedy zaručí, že ve veškeré tlačené výztuži bude při vodorovné plastické větvi napětí σs=fy.

U tlačené výztuže může dojít i k nevyužití výztuže nejbližší k tlačenému okraji. V tomto případě je nutno stanovit napětí pomocí vztahů (3.10) a (3.8) pro i=n :

x

xnhEn scus

−= )(..)( εσ . (3.13)

Méně typickým případem bude situace, kdy přetvoření tažené výztuže bude omezeno hodnotou εu. Vzhledem k tomu, že prakticky bude rozhodovat vrstva výztuže nejbližší k taženému okraji, lze po dosazení do rovnice (3.7) získat další vymezující polohu neutrální osy ve tvaru

)1(.)1(.limlim hhxucu

cu

εεε

ξ+

== . (3.14)

Pokud bude platit, že x≥xlim, bude se jednat o případ tahového porušení při běž-ném vyztužení. V opačném případě, tj. když x<xlim, bude o porušení rozhodo-vat tažená výztuž (v krajních tlačených vláknech nebude dosaženo mezního stlačení εcu). Z obr. 3.3 je zřejmé, že tento případ získáme otáčením průběhu poměrných přetvoření kolem bodu A od výchozího stavu daného spojnicí bodů A a B.

Kontrolní otázky

Vyjmenujte hraniční polohy neutrální osy a charakterizujte jejich význam.

Která hraniční poloha rozhoduje o tahovém či tlakovém porušení?

Která hraniční poloha rozhoduje o velikosti napětí v tlačené výztuži?

Která hraniční poloha může rozhodnout zda o porušení průřezu rozhodne tlačený beton nebo tažená výztuž?

3.2.4 Možnosti zjednodušení výpočtu mezní únosnosti

U většiny praktických řešeních můžeme vystačit s různými předpoklady, které vyplývají z umístění výztuže. Jedná se o (viz obr. 3.4):

• výztuž je soustředěna v blízkosti taženého a tlačeného okraje průřezu,


- 19 (66) -

• případné zanedbání méně využité výztuže v blízkosti neutrální osy příliš neovlivní výsledek (je na straně bezpečné),

• u vícevrstvé výztuže lze případně uvažovat její soustředění do jejího těžiště,

• návrh výztuže většinou odpovídá tzv. běžnému vyztužení,

• u výztuže se uvažuje pracovní diagram s vodorovnou plastickou větví bez omezení poměrného přetvoření => σs ≤ fy,

• v tažené výztuži je téměř vždy napětí rovnající se mezi kluzu => Fs1=As1.σs1

= As1.fy,

• v tlačené výztuži (pokud je navržena) může být napětí menší než mez kluzu – jeho hodnotu lze stanovit např. pomocí vztahů (3.7) a (3.10) => Fs2 = As2.σs2, kde σs2 ≤ fy,

• v tlačené oblasti betonu se uvažuje rovnoměrné rozdělení napětí o velikosti η.fc s výškou tlačeného betonu xc=λ.x – viz kap. 3.2.1 => Fcc = Acc.η.fc.

h dd 1

d 2

Cg

Cs1

xc

Fcc

Fs1

Fs2

z s

Cs2Acc

Cg

x

z c

Cccz c

cz s

1z s

2

As1

As2

Obr. 3.4 K předpokladům zjednodušené metody

Obě základní podmínky rovnováhy lze z rovnic (3.5) a (3.6) upravit na

Fcc + Fs2 = Fs1 (3.15)

MR = Fcc.zcc + Fs1.zs1+ Fs2.zs2 = Fcc.zc + Fs2.zs ≥ ME. (3.16)

S ohledem na skutečnost, že h(i)=d pro taženou výztuž a h(i)=d2 pro tlačenou výztuž, je možné z geometricko-přetvárné podmínky po dosazení do vztahu (3.8) určit odpovídající poměrná přetvoření ve výztuži

x

xdcus

−= .1 εε , x

xdcus

−= 22 .εε (3.17)

a pomocí vztahu (3.10) určit napětí ve výztuži σs1 nebo σs2 omezené hodnotou fy. Vztahy (3.17) lze také použít při porovnání s poměrným přetvořením εy pro rozhodnutí o započitatelnosti příslušné výztuže a o rozhodnutí o jaké porušení se jedná. Toto lze provést i pomocí hodnoty vzdálenosti neutrální osy x od tla-čeného okraje porovnáním s xbal,1 a xbal,2. Pro tyto hraniční hodnoty lze úpravou z (3.11) a (3.12) získat tyto vztahy

ddxycu

cubalbal ..1,1,

εεε

ξ+

== , 222,2, .. ddxycu

cubalbal

εεε

ξ−

== ; (3.18)

pro hodnoty εcu = - 0,0035 a Es = 200000 MPa (pro běžné betony) je


- 20 (66) -

ddxy

balbal .700

700.1,1,

εξ

+== , 222,2, .

700700

. ddxy

balbalε

ξ−

== . (3.19)

Opět, pokud platí x≤xbal,1, je možné uvažovat napětí v tažené výztuži hodnotou fy - jedná se o tahové porušení. V opačném případě výztuž není využita - jedná se o tlakové porušení. U tlačené výztuže nemusí být relativně často podmínka x≥xbal,2 splněna. Proto je nutno stanovit napětí podle vztahu (3.13), z něhož po dosazení za h(n)=d2 dostaneme

x

xdEscus

−= 22 ..εσ . (3.20)

Neznámou polohu neutrální osy můžeme získat iteračním postupem a nebo přímo, pokud vztah (3.20) dosadíme přímo do silové podmínky rovnováhy (3.15), v němž vyjádříme plochu tlačeného betonu Acc pomocí x.

Také v případě slabého vyztužení a při omezení poměrného přetvoření v tažené výztuži hodnotou εu, lze vyjádřit hraniční případ, který rozhodne mezi poruše-ním tažené výztuže a tlačeného betonu, ze vztahu (3.14) dosazením za h(1)=d takto

ddxucu

cu..limlim

εεε

ξ+

== . (3.21)

Opět bude platit, že při x≥xlim bude rozhodovat o porušení beton a naopak.

Poznámka

Hraničním případem může být také omezení výšky tlačené oblasti betonu v průřezech v místech plastických kloubů z důvodů provedení redistribuce vnějších sil v důsledku využívání plastického chování výztuže po dosažení meze kluzu. V ověření je však nutno uvažovat výšku tlačené oblasti při půso-bení redistribuovaného momentu (označí se xu). Podmínkou využití alespoň omezené redistribuce ohybových momentů při lineárně pružné analýze prvku je, že xu≤xmax, kde xmax je 0,45.d pro betony s pevností fck≤50 MPa, resp. 0,35.d pro fck>50 MPa (při plastické analýze 0,25.d, resp. 0,15.d pro stejná vymezení pevností betonu). Podrobnosti a další podmínky pro použití redistribuce jsou uvedeny v modulu CM5.

Kontrolní otázky

Charakterizujte možná zjednodušení pro stanovení mezní únosnosti.

Jak se projeví zjednodušující předpoklady v podmínkách rovnováhy a v ge-ometricko-přetvárné podmínce?

Jak se projeví zjednodušující předpoklady v hraničních podmínkách polohy neutrální osy?

Jak lze stanovit napětí ve výztuži v tlačené oblasti?

Jak se může projevit vliv redistribuce ohybových momentů na poloze neut-rální osy?


- 21 (66) -

3.3 Stanovení mezní únosnosti pro vybrané typy prů-řezů

Předpoklady a vztahy uvedené v předcházejících kapitolách lze aplikovat jed-nak na nejčastěji používané tvary průřezů a vyztužení a jednak i na průřezy obecné, které se v praxi tolik nevyskytují.

3.3.1 Obdélníkový průřez

Obdélníkové průřezy patří mezi běžně a často se vyskytující případy. Jejich vyztužení může být obecně různé. Nejvíce jsou to průřezy s výztuží v tažené oblasti většinou soustředěné u taženého okraje v jedné, ve dvou nebo nejvíce ve třech vrstvách – jednostranně vyztužený průřez. Někdy se však musí použít i výztuž v tlačené oblasti opět soustředěná u tlačeného okraje - oboustranně vyztužený průřez. V dalším textu budeme uvažovat výztuž vždy v jedné vrstvě u taženého a popř. u tlačeného okraje. V jiných případech lze výztuž soustředit u příslušného okraje do těžiště a nebo lépe postupovat obecně.

3.3.1.1 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez

Při prokazování dostatečné únosnosti (posouzení prvku) nebo při návrhu množství výztuže popř. rozměrů průřezu budeme vycházet ze základních pod-mínek rovnováhy. Tyto lze z rovnic (3.15) a (3.16) po vyjmutí síly v tlačené výztuži a při zc= z upravit na

Fcc = Fs1 (3.22)

MR = Fcc.zcc + Fs1.zs1 = Fcc.z = Fs1.z ≥ ME. (3.23)

Tlakovou sílu v betonu s ohledem na možný různý průběh napětí lze vyjádřit vztahem

Fcc = β.b.x.fc, (3.24)

kde β je součinitel plnosti obrazce napětí závislý na uvažovaném průběhu na-pětí v tlačené oblasti - viz obr. 3.5. U rovnoměrného rozdělení napětí platí β=λ.

As1

Acc

εs1

εcu cf cfF

Fs1

Cg

Cs1

Ccc

b

η. cf

h dd 1

x xc

cc

a cz

c

Obr. 3.5 Jednostranně vyztužený obdélníkový průřez

Sílu v tažené výztuži můžeme vyjádřit vztahem

Fs1=As1.σs1, (3.25)


- 22 (66) -

kde velikost σs1 závisí na způsobu porušení při dosažení meze únosnosti. Silo-vou podmínku (3.22) můžeme potom pomocí (3.24) a (3.25) vyjádřit

β.b.x.fc = As1.σs1 (3.26)

a po stanovení vzdálenosti neutrální osy x od tlačeného okraje průřezu, půso-bišť síly v tažené výztuži a v tlačeném betonu a ramene vnitřních sil z i mo-mentovou podmínku (3.23)

MR = As1.σs1.z = β.b.x.fc.z ≥ ME. (3.27)

Při tahovém porušení (x ≤ xbal,1) dle předpokladů zjednodušené metody se uvažuje σs1 = fy. Potom z (3.26) lze vyjádřit výšku tlačené oblasti (vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje)

c

ys

fb

fAx

..

.1

β= (3.28)

a následně rameno vnitřních sil

z = d – ac = d – γ.x = ζ.d, (3.29)

kde je d = h –d1 staticky účinná výška, ac vzdálenost působiště síly v tlačeném betonu od tlačeného okraje a kde γ=ac/x a ζ=z/d, a nakonec po dosazení do (3.23) návrhovou hodnotu momentu na mezi únosnosti včetně průkazu jeho dostatečné velikosti

MR = As1. fy.z ≥ ME nebo MR = β.b.x.fc.z ≥ ME. (3.30)

Při často používaném rovnoměrném rozdělení napětí v tlačeném betonu se vztahy (3.26) se zavedením σs1= fy, (3.28), (3.29) a druhý vztah pro MR v (3.30) upraví na

λ.b.x.η.fc=As1.fy ; c

ys

fb

fAx

...

.1

ηλ= ; z=d–0,5.λ.x ; MR=λ .b.x.η.fc.z ≥ ME (3.31)

a pro betony běžných pevností (pro fck ≤ 50 MPa) pro λ = 0,8 a η = 1 na

0,8.b.x.fc =As1.fy ; c

ys

fb

fAx

..8,0

.1= ; z=d–0,4.x ; MR=0,8.b.x.fc.z ≥ ME. (3.32)

Součástí výpočtu musí být i průkaz předpokladu napětí v tažené výztuži buď pomocí průkazu dostatečné velikosti poměrného přetvoření εs1 ≥ εy, kde εs1 se určí podle vztahu (3.17) a nebo pomocí vzdálenosti neutrální osy od tlačeného okraje x ≤ xbal,1, kde xbal,1 se stanoví podle vztahu (3.18) nebo (3.19). Průkaz lze provést i pomocí poměrné hodnoty vzdálenosti neutrální osy ξ = x/d ≤ ξbal,1= xbal,1/d apod. Polohu neutrální osy je nutno zprostředkovaně kontrolovat i s ohledem na dostatečnou přetvářnost (duktilitu) výztuže v místech plastických kloubů – viz poznámka v kap. 3.2.4. Samozřejmostí je i ověření zda množství výztuže odpovídá požadavkům na železobeton.

Poznámka

Při omezení velikosti poměrného přetvoření ve výztuži hodnotou εu by se vý-počet při jejím dosažení stal složitějším nejen při použití pracovního diagramu se stoupající, ale i s vodorovnou plastickou větví. Problém by byl s průběhem napětí v tlačeném betonu, kde by se zřejmě muselo uvažovat parabolicko-rektangulární nebo bilineární rozdělení napětí, a tím i s určením výsledné síly


- 23 (66) -

Fcc a její polohy. S ohledem na malé rozdíly v hodnotách výsledného momentu na mezi únosnosti MR oproti případu neomezené hodnoty poměrného přetvoře-ní ve výztuži není tento postup v praxi nutný.

U tlakového porušení (x ≥ xbal,1) není v tažené výztuži dosaženo meze kluzu => σs1=εs1.Es < fy. V tomto případě je možné určit polohu neutrální osy x např. iterací až do splnění silové podmínky rovnováhy (3.26) s přijatelnou přesností. Lze ji také určit s využitím geometricko-přetvárné podmínky při vyjádření εs1 podle (3.17) a po jeho dosazení za σs1=εs1.Es do silové podmínky rovnováhy (3.26). Řešením získáme pro neznámou polohu neutrální osy x kvadratickou rovnici. Její hodnota se pak dá vyjádřit

( ))/.21(1. pdpx ++−= , (3.33)

kde p = As1.Es.|εcu| / (2.β.b.fc) resp. p = As1.Es.|εcu| / (2.λ.b.η.fc). Při dosazení za |εcu|= 0,0035, Es = 200000 MPa, λ = 0,8 a η = 1 je pak p = 350.As1 / (0,8.b.fc).

Potom lze z (3.29) nebo (3.31) nebo (3.32) určit rameno vnitřních sil z a z (3.30) nebo (3.31) nebo (3.32) prokázat i momentovou podmínku pro MR.

Poznámka

Ohýbané průřezy s tlakovým porušením se nedoporučuje navrhovat, protože se mohou porušit bez předchozího varování (např. vznikem širších trhlin popř. většími průhyby).

Při návrhu výztuže do obdélníkového průřezu se známými rozměry můžeme, po určení staticky účinné výšky průřezu a za předpokladu rovnoměrného napětí v tlačeném betonu a napětí v tažené výztuži rovnajícímu se mezi kluzu, určit její plochu z momentové podmínky rovnováhy. Při využití vztahů pro x, z a MR=ME z (3.32), lze určit potřebnou plochu výztuže z kvadratické rovnice ze vztahu

−−=

c

E

y

creqs

fdb

M

f

fdbA

..2

11...

2,1 . (3.34)

Při odhadu ramene vnitřních sil z=(0,85 až 0,95).d lze potřebnou plochu výztu-že určit přímo z momentové podmínky (3.30) ze vztahu

y

Ereqs

fz

MA

.,1 = . (3.35)

Pro návrh výztuže je možno využít i zpracované tabulky pro různé průběhy napětí v tlačeném betonu a v tažené výztuži (viz pracovní diagramy v modulu CM1). V nich se využívají nejen výše definované pomocné hodnoty ξ, ζ, β popř. γ, ale i geometrický stupeň vyztužení ρ, mechanický stupeň vyztužení ω a poměrný ohybový moment µ. Tyto lze vyjádřit z následujících vztahů

dbAs .1=ρ ; cs f1.σρω = ; )..( 2cE fdbM=µ . (3.36)

V návrhu se nejdříve určí µ, následně pak např. pomocí ζ rameno vnitřních sil a podle (3.35) velikost potřebné plochy výztuže. V tabulkách můžeme odečíst i velikost ξ, a tím předběžně zkontrolovat výšku tlačené oblasti betonu. Podobně lze využít i hodnot εs1 a εcu k určení napjatosti ve výztuži a v betonu. Příklad tabulek je uveden např. v [1] nebo [2]. Tyto tabulky lze využít i při posouzení průřezu.


- 24 (66) -

Poznámka

Pokud nejsou známy rozměry obdélníkového průřezu, lze je určit např. pro vhodnou volbu stupně vyztužení ρ nebo poměrné hodnoty výšky tlačené oblasti betonu ξ buď z podmínek rovnováhy nebo pomocí tabulek.

Kontrolní otázky

Pro jednostranně vyztužený obdélníkový průřez definujte základní podmínky rovnováhy a jejich možnou úpravu.

Jak se postupuje při stanovování únosnosti při tahovém porušení?

V čem se liší postup při stanovování únosnosti při tlakovém porušení?

Charakterizujte možné postupy při návrhu tažené výztuže.

3.3.1.2 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez

U obdélníkových a jiných průřezů se běžně vyskytuje výztuž v tlačené oblasti. Většinou se však jedná o výztuž montážní, pomocnou či konstrukční. V některých případech je však nutné tuto výztuž navrhnout a uvážit při vlast-ním stanovení mezní únosnosti. Podmínkou je však její zabezpečení proti mož-nému vybočení dostatečným množstvím příčné výztuže (třmínků s předepsa-nou maximální vzdáleností mezi sebou jako u tlačených prvků).

Užití tlačené výztuže (podrobněji viz [5] a [1])

• zvětšuje při stejných rozměrech průřezu a při stejné velikosti plochy tažené výztuže As1 hodnotu momentu únosnosti průřezu MR v důsledku zvětšených hodnot ramen vnitřních sil,

• může změnit způsob porušení z tlakového na tahové, což může vést nejen ke zvětšení únosnosti, ale i ke zvětšení přetvárnosti (duktility) před porušením,

• zvětšuje tuhost prvku a tím zmenšuje průhyby nosníku především v důsled-ku omezení vlivu dotvarování a smršťování betonu,

• nahrazuje konstrukční výztuž a pomáhá tím k vytvoření výztužné kostry nosníku (zvětšuje však pracnost s ohledem na větší množství výztuže a zhoršuje podmínky betonáže).

Z předcházejících možností je zřejmé, že prvky s tlačenou výztuží se použijí v těch případech, pokud bude omezena výška průřezu a pokud při jednostranně vyztuženém průřezu bude vycházet, že poloha neutrální osy x ≥ xbal,1 (tlakové porušení).

Při stanovování únosnosti lze podle obr. 3.6 vycházet z podmínek rovnováhy (3.15) a (3.16).

Za předpokladu plného využití tažené i tlačené výztuže, tj. σs1= σs2= fy a při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu (Fcc= λ.b.x.η.fc = 0,8.b.x.fc pro běžné betony), lze ze silové podmínky rovnováhy vyjádřit vzdá-lenost neutrální osy od tlačeného okraje ze vztahu

c

yss

c

yss

fb

fAA

fb

fAAx

..8,0

).(

...

).( 2121 −=−=ηλ

. (3.37)

Po stanovení ramene vnitřních sil pro tlačený beton zc = d–0,5.λ.x = d–0,4.x a


- 25 (66) -

As1

Acc

As2

Cg

b

εs1

εcu η. cf

xc

a c

Fcc

Fs1

Fs2

z sz c

εs2

x

Cg

ME MR

h dd 1

d 2

Obr. 3.6 Oboustranně vyztužený obdélníkový průřez

pro tlačenou výztuž zs= d-d2 i momentovou podmínku ve tvaru

MR = Acc.fc.zc + As2.fy.zs ≥ ME . (3.38)

Někdy nemusí být tlačená výztuž plně využita (εs2<εy; σs2=εs2.Es < fy ). Není tedy splněna podmínka plné započitatelnosti výztuže, což se dá vyjádřit i po-mocí vzdálenosti neutrální osy => neplatí x≥xbal,2, kde xbal,2 se určí podle (3.18) resp. (3.19) nebo i pomocí porovnání vzdálenosti d2 ≤ d2,bal, kde d2,bal se určí s geometricko-přetvárné podmínky:

( ) xxf

xd baly

cu

ycubal ./1.

700700

. 2,,2 ξε

εε=−=

−= . (3.39)

Napětí ve výztuži σs2 lze potom vyjádřit např. pomocí vztahu (3.20). Neznámou polohu neutrální osy x pak získáme dosazením za σs2 do silové podmínky rov-nováhy při σs1=fy a při uvažování rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu (Fcc= λ.b.x.η.fc = 0,8.b.x.fc pro běžné betony). Řešením získáme z kvad-ratické rovnice neznámou polohu neutrální osy x ve tvaru

( ))/1(1. 2pqpx ++−= , (3.40)

kde p = (As2.Es.|εcu|-As1.fy) / (2.λ.b.η.fc) a q = As2.Es.|εcu|.d2 / (λ.b.η.fc). Násled-ně po stanovení velikosti σs2 a ramen vnitřních sil zc a zs lze opět prokázat mo-mentovou podmínku – viz (3.38), jen místo fy se zavede σs2 < fy.

Za předpokladu, že tlačenou výztuž budeme chápat jako přídavnou výztuž, tj. zavedením ∆Fs = Fs2, lze podmínky rovnováhy (3.15) a (3.16) upravit na

Fcc + ∆Fs = Fs1 => Fs0 + ∆Fs = Fs1 , (3.41)

MR = MR0 +∆ MR = Fcc . zc + ∆Fs . zs = Fs0 . zc + ∆Fs . zs ≥ ME, (3.42)

kde Fs0 je síla ve výztuži při jednostranném vyztužení v tažené oblasti – viz obr. 3.7.

Tento způsob vyjádření podmínek rovnováhy lze uplatnit např. při návrhu tlačené výztuže. Můžeme totiž vycházet z jednostranně vyztuženého průřezu, který nemá dostatečnou únosnost i při výšce tlačené oblasti blížící se limitní hodnotě xbal,1, popř. limitní hodnotě s ohledem na provedenou redistribuci ohy-bových momentů xmax. Pro tuto výšku můžeme ze silové podmínky (3.31) resp. (3.32) navrhnout potřebnou plochu tažené výztuže

As0 = λ.b.x.η.fc / fy = 0,8.b.x.fc / fy (3.43)


- 26 (66) -

a po dosazení za Fs0 = As0 . fy do (3.30), popř. (3.31) nebo (3.32) při zc = d-0,5.λ.x = d–0,4.x i moment na mezi únosnosti

MR0 = As0. fy.zc = λ.b.x.η.fc.zc = 0,8.b.x.fc.zc . (3.44)

As0 As1

Acc As2Acc

As

As

Fcc

Fs0 Fs

Fs

Fcc

Fs1

Fs2

∆

∆

∆

∆z c z s z sz c=+

Obr. 3.7 K návrhu tlačené výztuže

Tuto únosnost MR0 můžeme zvětšit na MR podle vztahu (3.42). Potřebnou plo-chu přídavné tažené a tlačené výztuže získáme z tohoto vztahu při MR = ME :

∆As =(ME – MR0) / (zs.fy) . (3.45)

Celkovou plochu tažené výztuže potom můžeme navrhnout ve výši As1 ≥ As0 + ∆As a tlačené výztuže ve výši As2 ≥ ∆As.

Kontrolní otázky

Definujte podmínky a význam užití tlačené výztuže u obdélníkového průřezu.

Jak se projeví použití tlačené výztuže při stanovování mezní únosnosti ob-délníkového průřezu?

Vysvětlete možnou úpravu základních podmínek rovnováhy včetně jejího vy-užití při návrhu tlačené výztuže.

3.3.2 Průřezy se spolupůsobící deskou

V praxi se vyskytují stropní konstrukce, které jsou vytvořeny z trámů a obdob-ných prvků monoliticky spojených s deskou; jedná se o tzv. deskové trámy. Podle konstrukčního provedení a statického působení může tato deska být v tlačené nebo tažené oblasti prvku (u spojitého nosníku bude deska v horní poloze v poli tlačená a v blízkosti a nad podporami tažená, což odpovídá prů-běhu ohybových momentů). Pokud deska bude v tlačené oblasti, lze ji zahrnout v určité šířce do průřezu (bude spolupůsobit s trámem) – mluvíme o tzv. T-průřezu – viz obr. 3.8, třetí průřez. V opačném případě ji nelze zahrnout do průřezu – řešíme jako obdélníkový průřez s tím, že do této desky je vhodné umístit část tažené výztuže.

Jako nosníky se spolupůsobící deskou můžeme řešit i prvky jiných průřezů (otevřené, komůrkové nebo vylehčené), pokud jejich tlačená oblast může být ve tvaru obdélníka nebo v podstatě ve tvaru písmene „T“ – viz obr. 3.8. V těchto případech mluvíme o průřezech zobecněného tvaru T. S ohledem na to, že při stanovení únosnosti se s betonem namáhaným tahem nepočítá, může mít průřez v tažené oblasti téměř libovolný tvar.


- 27 (66) -

U klasických stropních trámových stropů vyvstává otázka do jaké míry lze uvažovat spolupůsobení desky. Obecně platí, že velikost tlakového normálo-vého napětí se s rostoucí vzdáleností od trámu zmenšuje – viz obr. 3.8 a také se zakřivují trajektorie napětí a vznikají podélné smykové síly mezi deskou a trá-mem. Je také zřejmé, že rozdělení tlakového napětí je různé po délce nosníku, závisí na rozpětí, rozměrech a vzdálenosti trámů, výšce desky a výšce tlačené oblasti.

As1 As1 As1

beff

Obr. 3.8 Typy průřezů zobecněného tvaru T

Při stanovování mezní únosnosti se běžně uvažuje rovnoměrné rozdělení tlako-vého normálového napětí v rozsahu tzv. náhradní nebo-li spolupůsobící šířky beff. Její velikost podle [3] je uvedena v modulu CM5. Podmínkou pro využití spolupůsobení desky je také přítomnost výztuže v desce kolmo na trám pro zachycení smykového toku ve styku mezi deskou a trámem.

Z hlediska velikosti mezní únosnosti jsou deskové trámy výhodnější než průře-zy obdélníkové, protože tato je cca o 5 až 10 % větší v důsledku zvětšení ra-mene vnitřních sil (při stejné síle v tažené výztuži se sníží výška tlačeného be-tonu a tím se posune i působiště odpovídající síly směrem k tlačenému okraji).

Při stanovování únosnosti mohou nastat dva základní případy – buď je tlačená pouze deska, tj. výška tlačeného betonu xc ≤ hf, nebo tlačený beton zasahuje i do stojiny trámu, tj. platí xc > hf. O tvaru tlačené oblasti můžeme rozhodnout i pomocí ohybového momentu na mezi únosnosti MRf, který odpovídá hraniční situaci, kdy xc = hf, tedy

MRf = beff . hf . (d - 0,5. hf ) . η . fc . (3.46)

Pokud bude platit, že ME ≤ MRf bude tlačená oblast pouze v desce. V opačném případě, tj. ME > MRf , bude zasahovat i do stojiny trámu.

První případ (xc ≤ hf) se řeší stejným způsobem jako jednostranně vyztužený obdélníkový průřez (viz kap. 3.3.1.1), ale pro šířku b = beff – viz obr. 3.9.

Druhý případ (xc > hf ; tlačená oblast má tvar písmene T), který může nastat při silnějším vyztužení taženou výztuží, můžeme řešit podle obecných zásad uve-dených v kap. 3.2. Výhodné je rozdělení tlačeného betonu na dvě části – první část zahrnuje desku mimo trám o šířce beff - bw, tj. šířku obou přírub, druhá pak vlastní trám – viz obr. 3.10.


- 28 (66) -

h

b bb weff,1 eff,2

As1dd

1

hf

beff

x c

Fcc

s1F

ψ⋅cf

za c

Obr. 3.9 Deskový trám s tlačeným betonem v desce

Podmínky rovnováhy můžeme napsat ve tvaru

Fcc = Fc1 + Fc2 = Fs1 , (3.47)

MR = Fcc.zc = Fc1.zc1 + Fc2.zc2 = MR1+ MR2 ≥ ME , (3.48)

kde Fc1 = (beff -bw).hf.η.fc , Fc2 = λ.x.bw.η.fc , Fs1 = As1. fy.

Acc

As1

xc

ac

Fcc

Fs1z

c

εcu

hh f

beff

bw

x

εs1

η. cf

Ccc

A Ac1 c2a c1

F

F

z c1

η. cf ac2

Fc2

F2s

z c2

η. cf

A A1s

2s1s

+c1

=

Obr. 3.10 Deskový trám s tlačeným betonem ve stojině prvku

Hodnotu neznámé polohy neutrální osy x můžeme potom určit ze silové pod-mínky, tedy

ληλ

ηηλ

/...

..).(.

...

111f

cw

cfweffys

cw

csh

fb

fhbbfA

fb

FFx >−−=−= . (3.49)


- 29 (66) -

Po ověření plného využití tažené výztuže a po stanovení ramen vnitřních sil zc1

= d - ac1 = d – 0,5.hf , zc2 = d – ac2 = d – 0,5.λ.x lze z momentové podmínky (3.48) prokázat dostatečnou únosnost.

V případě existence tlačené výztuže, je možné její vliv připočítat k první části, tj. k tlačeným přírubám, a dále postupovat obdobně jako v předcházejícím pří-padě.

Poznámka

Z předcházejícího textu je zřejmé, že pro stanovení únosnosti lze využít i mo-ment MRf. Výsledný ohybový moment na mezi únosnosti MR se pak získá při-čtením únosnosti MRb obdélníkového průřezu o rozměrech bw a (h–hf). V případech, kdy tlačená oblast zasahuje do stojiny velice málo, lze dostateč-nou únosnost prokázat pouze pomocí ohybového momentu MRf. Platí-li MRf ≥ME, musí platit i MR ≥ME, protože MR ≥MRf.

Při návrhu výztuže nejdříve rozhodneme pomocí ohybového momentu MRf zda se jedná o případ s tlačeným betonem pouze v desce a nebo i ve stojině. V prvním případě budeme při návrhu výztuže postupovat podle zásad pro jed-nostranně vyztužený obdélníkový průřez o rozměrech b=beff a h s tím, že krité-ria pro omezení plochy tažené výztuže budou uvažována pro šířku stojiny bw.

V druhém případě (viz obr. 3.10) stejně jako při posouzení nejdříve navrhneme první část plochy tažené výztuže A1s z rovnosti sil v této výztuži F1s a v tlačeném betonu přírub desky Fc1. Po stanovení ohybového momentu MR1 můžeme následně pro zbývající moment ME - MR1 určit zbývající plochu výztu-že A2s z momentové podmínky pro obdélníkový průřez o rozměrech bw a h jed-nostranně vyztužený. Výsledná návrhová plocha tažené výztuže pak bude As1 ≥ A1s + A2s. Obdobně lze postupovat dle předchozí poznámky při využití ohybo-vého momentu MRf. Zjednodušeně lze hledanou plochu výztuže určit bezpečně pro obdélníkový průřez o šířce bw.

Kontrolní otázky

Charakterizujte prvky tvaru deskového trámu.

Definujte co je to tzv. spolupůsobící šířka desky.

Která podmínka rozhoduje o velikosti tlačeného betonu?

Jak se řeší T průřez s tlačeným betonem pouze v desce?

Jak se řeší T průřez s tlačeným betonem zasahujícím i do stojiny?

Jak lze zahrnout vliv tlačené výztuže do stanovení mezního ohybového mo-mentu?

Popište postup při návrhu tažené výztuže.

3.3.3 Obecnější souměrné a nesouměrné průřezy

Z hlediska uvažování namáhání betonu v mezním stavu únosnosti v tlačené a tažené oblasti lze za obecnější průřezy považovat ty, u nichž je složitější tvar především v tlačené oblasti. Z tohoto hlediska rozeznáváme průřezy symetrické ke svislé rovině souměrnosti a průřezy s nesymetrickou tlačenou oblastí. Ne-souměrnost průřezu může být způsobena i nesymetrickým uspořádáním výztu-


- 30 (66) -

že. Nesymetrie vzniká i polohou vlastní roviny ohybového momentu, která může nebo nemusí být totožná s rovinou souměrnosti průřezu.

3.3.3.1 Souměrné průřezy

U souměrných průřezů platí, že rovina ohybového momentu prochází osou (rovinou) souměrnosti průřezu. Pokud jsou splněny tyto podmínky bude neut-rální osa kolmá k ose souměrnosti. Vybrané typy průřezů jsou vykresleny na obr. 3.11a.

U těchto průřezů většinou postupujeme podle zásad pro obecný průřez uvede-ných v kap. 3.2. S ohledem na tvary průřezů v tlačené oblasti využíváme zná-mých funkčních vztahů pro plochu a polohu těžiště pro běžné geometrické tva-ry jako je obdélník, trojúhelník, lichoběžník, část kruhu apod., na které lze tla-čenou oblast rozdělit.

Ze silové podmínky za předpokladu plného využití tažené výztuže lze stanovit potřebnou celkovou plochu tlačeného betonu a následně s ohledem na velikosti dílčích ploch jeho jednotlivých částí určit tvar a výšku této plochy. Např. pro třetí průřez na obr. 3.11a za předpokladu, že Acc > Ac1 = b1 . h1 platí, že xc = (Acc-Ac1)/b + h1. Následně se určí působiště výsledné síly Fcc (na obrázku vy-značeno křížkem) - např. z podmínky statického momentu k tlačenému okraji získáme hodnotu ac. Po stanovení ramene vnitřních sil zc=d–ac lze prokázat momentovou podmínku.

V případě výskytu tlačené výztuže se tato zahrne do řešení podle zásad uvede-ných v předcházejících kapitolách. Součástí řešení musí být i průkaz vyztužení, polohy neutrální osy popř. napjatosti ve výztuži.

3.3.3.2 Nesouměrné průřezy

Možné důvody pro nesouměrnost průřezu jsou uvedeny v úvodu této kapitoly.

Vybrané typy průřezů jsou zřejmé z obr. 3.11b. V těchto případech bude neut-rální osa skloněná k rovině ohybu. Pro určení tohoto sklonu potřebujeme mít k podmínkách rovnováhy další doplňující podmínku.

Budeme předpokládat, že svislá rovina vnitřního a vnějšího ohybového mo-mentu bude totožná nebo alespoň rovnoběžná (ρR≡ρE nebo ρR||ρE). Přitom je zřejmé, že v rovině vnitřního ohybového momentu musí ležet jak působiště výsledné síly pro tlačený beton a tlačenou výztuž tak i působiště síly v tažené výztuži (na obrázku opět vyznačeno křížkem). Sklon neutrální osy v tlačené oblasti lze za předpokladu rovnoměrného rozdělení napětí v tlačeném betonu určit z podmínek pro těžiště předpokládaného tvaru oblasti – konkrétně pro známou polohu roviny ohybového momentu ve směru vodorovném danou hodnotou yc. Následně lze určit vzdálenost těžiště k hornímu okraji ac, rameno vnitřních sil a moment na mezi únosnosti.

Typickým případem těchto průřezů může být krajní trám stropní konstrukce podle obr. 3.12. Z obrázku je zřejmé, že v tomto případě bude tlačená část be-tonu mít tvar trojúhelníka o šířce 1,5.bw ≤ beff a výšce λ.xv, kterou lze stanovit ze silové podmínky a ze vztahu pro plochu trojúhelníka, tedy

fcw

ysv h

fb

fAx .3

...

.34

.1 ≤=η

λ . (3.50)


- 31 (66) -

a) tvary souměrných průřezů

b) průřezy s nesymetrickou tlačenou oblastí

Acc Acc Ac1

Ac2

b

b1

h 1

h

AccAccAcc

za

h

cyc

ρE

ρR

Obr. 3.11 Tvary obecnějších průřezů

Po stanovení ramene vnitřních sil zv = dv – λ.xv/3 lze prokázat momentovou podmínku rovnováhy MR=Fs1.zv ≥ ME. Zjednodušeně lze stanovit moment na mezi únosnosti i pro průřez s vodorovnou neutrální osou pro průřez se šířkou tlačené oblasti b=beff.

13b

Cs1

Ccc

Fcc

s1F

z

F

ah

h (1)

(u)

(u)

v

λ⋅εcu

εs(u)

εs(1)

>yε

xx c

13b

v

23b

h

bb weff,1

As1dd

1v

hf

beff

xv

Obr. 3.12 Krajní trám stropní konstrukce


- 32 (66) -

Z obr. 3.12 je také zřejmé, že na rozdíl od stanovování únosnosti se musí pro-vádět kontrola využití tažené výztuže v rovině kolmé k neutrální ose. To zna-mená, že se bude kontrolovat pro prut s nejmenším poměrným přetvořením. Totéž platí pro průkaz pomocí vymezení polohy neutrální osy. Kontrola množ-ství výztuže se provádí pro obdélníkový průřez trámu.

Kontrolní otázky

Vysvětlete možnosti pro vznik nesouměrnosti průřezu.

Jak postupujeme při stanovování únosnosti obecných souměrných průřezů?

Jak postupujeme při stanovování únosnosti obecných nesouměrných průře-zů?

Aplikujte obecný postup pro stanovení únosnosti pro krajní trám stropní konstrukce.

3.3.4 Průřezy namáhané šikmým ohybem

Obdélníkové, souměrné i nesouměrné průřezy mohou být namáhány mimo hlavní osy souměrnosti - rovina ohybového momentu bude tedy obecně šikmá vůči rovinám souměrnosti průřezu – viz např. obr. 3.13. V těchto případech mluvíme o tzv. šikmém ohybu. Pokud se sklon roviny bude měnit průřez od průřezu, bude se jednat o prostorový ohyb.

I v tomto případě postupujeme iteračním způsobem podle zásad uvedených v kap. 3.2 s využíváním doplňující podmínky pro totožnost nebo rovnoběžnost rovin vnitřního a vnějšího momentu. Komplikace tohoto postupu je v tom, že polohu a sklon neutrální osy musíme volit v několika krocích tak dlouho až splníme nejen silovou podmínku, ale i podmínku pro roviny momentů. Teprve potom můžeme zjistit a prokázat dostatečnou únosnost.

F

c

Cs1

Cc

Acc

ρR

ρE

h

y

z

Cg

As1

hh (1

)(u

)

εcu

εs(u) >

yε

εs(1)

xx

Asc

Cg

Cc

Cs1

z

s1F

cF

Obr. 3.13 Průřez namáhaný v šikmé rovině


- 33 (66) -

Můžeme také použít zjednodušené řešení, které u souměrného průřezu se sou-měrnou výztuží stanoví únosnost ve směru obou os souměrnosti MRz a MRy. Průkaz dostatečné spolehlivosti průřezu lze pak vyjádřit vztahem

1≤

+

a

Ry

Eya

Rz

Ez

M

M

M

M , (3.51)

kde exponent a závisí na tvaru průřezu (a=1 pro obdélník, a=2 pro kruhové nebo eliptické průřezy).

Kontrolní otázky

Charakterizujte šikmý a prostorový ohyb.

Popište možné postupy pro stanovení ohybové únosnosti pro šikmý ohyb.

3.4 Autotest



- 34 (66) -

Prvky namáhané posouvající silou

- 35 (66) -

4 Prvky namáhané posouvající silou

Ohýbané prvky jsou téměř vždy současně namáhány nejen ohybovým momen-tem, ale i posouvající silou. V této kapitole se postupně seznámíme s chováním a s obecnými principy stanovování únosnosti při působení posouvající síly.

4.1 Chování prvků namáhaných posouvající silou

Při rozboru chování prvků namáhaných posouvající silou si předem musíme uvědomit, že toto chování bude závislé na míře vlivu ohybových momentů.

4.1.1 Základní principy působení

U ohýbaných prvků s ohledem na účinek posouvajících sil můžeme v závislosti na velikosti zatížení opět rozlišovat situaci před a po vzniku trhlin. Do vzniku trhlin se prvek chová dle teorie pružnosti jako prvek homogenní. Jeho napjatost je dána hlavním napětím s trajektoriemi např. pro prostý nosník dle obr. 2.2 v kap. 2.2. Velikost tohoto napětí pro rovinnou napjatost určíme ze vzorce

22

2,122

τσσσσσ +

−±+= zxzx , (4.1)

kde σx je normálové napětí ve směru osy prvku, σz je normálové napětí ve svis-lém směru a τ je smykové napětí od posouvající síly.

Z hlediska velikosti hlavního napětí betonu v tahu σ1 můžeme rozhodnout zda je nebo není překročena mez vzniku trhlin (porovnáním s pevností betonu v tahu fct). Hlavní napětí betonu v tlaku σ2 může rozhodnout o rozvoji mikrotrh-lin v tlačené oblasti (napětí by mělo být menší než cca 60 % pevnosti betonu v tlaku).

Příznivý vliv tlakových normálových napětí ve svislém směru σz se projeví především v oblasti podpor, kde při σx blížícímu se nule a při zatížení působí-címu na horním povrchu nosníku dochází k významné redukci napětí v hlavním tahu a tím i k omezení možnosti vzniku trhlin až do vzdálenosti 2,5 násobku účinné výšky průřezu od podpory (je také kratší kotevní délka pro podélnou výztuž vedoucí do podpory – viz modul CM1). Tato napětí se však běžně neuvažují.

U železobetonových prvků většinou vznikají v tažené oblasti nejdříve ohybové trhliny, ze kterých se následně vyvíjejí šikmé trhliny smykové. Zde rozhoduje velikost tzv. smykové a ohybové štíhlosti. Ohybová štíhlost je dána poměrem rozpětí a účinné výšky průřezu (λM=l/d) a smyková štíhlost poměrem smyko-vého rozpětí a účinné výšky průřezu (λV=a/d), kde a = Mmax / Vmax. Např. pro prostý nosník zatížený dvěma silami podle obr. 4.7a se smykové rozpětí rovná vzdálenosti síly od podpory a pro zatížení rovnoměrné podle obr. 4.7b je rovno 1/4 rozpětí. Tyto hodnoty potvrzují závěr uvedený v první větě tohoto odstav-ce.

Uvažujme, tak jako při působení ohybového momentu, postupné navyšování vnějšího zatížení a tím i navyšování posouvající síly – viz obr. 4.1. Také zde


- 36 (66) -

bude při menším zatížení stádium I, ve kterém nebude prvek porušen žádnými trhlinami (působí celý průřez) a jeho napjatost do meze vzniku trhlin včetně smykového napětí se bude určovat jako na homogenním prvku.

smykováxxσ σx

stadium

τ τ σ τ-

+

-

tF

h -

FRt

ohybová trhlina

trhlina

Obr. 4.1 Napjatost prvku při postupném zatěžování

Teprve po vzniku trhlin se prvek dostane do stádia II , tzn. do situace, kdy v místě trhliny nevzniká mimo malé oblasti pod neutrální osou normálové ta-hové napětí. Normálové tlakové napětí má lineární průběh a smykové napětí lze uvažovat pouze v tlačené oblasti průřezu. S ohledem na předcházející od-stavec nejdříve vzniknou trhliny ohybové a teprve později trhliny smykové.

Při dalším zvětšování zatížení se ohybové i šikmé trhliny budou postupně pro-dlužovat a bude se zvětšovat jejich šířka, prvek se dostane do stádia III . V tlačené oblasti průřezu se změní velikost napětí, průběh normálového tlako-vého napětí bude nelineární. K porušení v šikmé trhlině může dojít dosažením meze kluzu ve smykové výztuži s následným drcením betonu v tlačené oblasti nebo dosažením mezní únosnosti tlačeného betonového segmentu mezi trhli-nami (viz např. obr. 2.3).

Kontrolní otázky

Vysvětlete chování homogenního prvku z pohledu hlavního napětí.

V čem je význam tzv. ohybové a smykové štíhlosti?

Charakterizujte jednotlivá stádia, do nichž se může prvek dostat při postup-ném navyšování zatížení (posouvající síly).

4.1.2 Rozbor rozhodujících stádií

Nejdříve se budeme zabývat situací těsně před vznikem smykové trhliny. V tomto okamžiku již vznikla ohybová trhlina a průřez je z hlediska ohybové-ho momentu ve stádiu II. V místě této trhliny je tažená část betonového průřezu vyloučena ze spolupůsobení (podélné tahové namáhání přenáší výztuž), což se projeví i na rozdělení normálového a smykového napětí – viz obr. 4.2.

Únosnost průřezu z hlediska posouvající síly závisí na velikosti a průběhu smykového napětí a výšce neporušené oblasti betonu xr. Pro obdélníkový prů-řez za předpokladu parabolického rozdělení smykového napětí s maximální hodnotou τmax = 1,5.Vc / (b.xr) a pro xr ≈ 0,4.d, což odpovídá podle provede-


- 37 (66) -

ných zkoušek situaci těsně před vznikem šikmé smykové trhliny, lze stanovit únosnost ve smyku na mezi vzniku smykových trhlin ve tvaru

Vr ≈ 0,25.b.d.fct . (4.2)

Po překročení této hodnoty se prvek dostane do stádia II i z hlediska vlivu po-souvajících sil.

σ τx

maxCVCF

CR

FC

VC

tFr

Ft

stadium

h

x

xsσ

σxr

τ

Obr. 4.2 Situace s ohybovou a smykovou trhlinou na mezi vzniku trhlin

Mez vzniku trhlin určená podle vztahu (4.2) však závisí na dalších faktorech – míra vyztužení podélnou výztuží, tvar průřezu, druh zatížení, množství a uspo-řádání smykové výztuže apod. To platí i pro další rozvoj již vzniklých smyko-vých trhlin.

w

w

a) f

b

b) F

b

bw

Fc)

Obr. 4.3 Možné tvary smykových trhlin

Závislost tvaru a rozmístění ohybových a smykových trhlin na zatížení a tvaru průřezu je uvedena na obr. 4.3. Z tohoto obrázku je zřejmé, že u zatížení ve


- 38 (66) -

formě břemen jsou smykové trhliny šikmější a delší a že směřují k působišti tohoto břemene. Dále, pokud má průřez tvar I, může dříve než vzniknou běžné smykové trhliny dojít k porušení pouze v místě stojiny.

Vlastní mechanizmus chování prvku v místě ohybové a šikmé smykové trhliny ve stádiu II i III je rozdílný – viz obr. 4.4a a 4.4b. Je to dáno nejen směrem otevírání, ale i zapojením podélné tahové výztuže a vzniklých sil v kontaktu obou povrchů betonu v místě trhliny. V obou případech musí být v průřezu splněna rovnováha těchto sil, tzn. ve svislé trhlině pro ohyb a v šikmé trhlině pro smyk za ohybu.

Významným faktorem v šikmé trhlině bude smyková výztuž, která jednak za-jistí omezení rozvoje trhlin a jednak po jejich vzniku i přenos hlavních napětí v tahu za porušený beton. Je také zřejmé, že její použití významně zvýší únos-nost ve smyku. Smyková výztuž může být navržena jako šikmá nebo svislá – viz obr. 4.4c a 4.4d. V praxi bývá provedena buď jako svislé nebo šikmé tř-mínky (dnes se více používá) a nebo jako šikmé ohyby v kombinaci se svislý-mi třmínky. Z hlediska přenosu hlavního napětí jsou výhodnější výztuže šikmé, protože jsou uloženy ve směru výslednice hlavního napětí v tahu. Z praktických důvodů se však více uplatní výztuž svislá.

c) šikmá smyková výztuž d) svislá smyková výztuž

MM

a) ohybová trhlina b) šikmá smyková trhlina

odtržení betonu

Msměr otevírání

V

V

M

Obr. 4.4 Druhy trhlin a smykové výztuže

V každé smykové trhlině se svislou smykovou výztuží obecně vznikají tyto síly (viz obr. 4.5):

• Rc1 – síla v tlačeném betonu na konci trhliny,

• Rd1 – síla od hmoždinkového účinku zrn kameniva, která tím částečně brání posunu v trhlině,

• Vt1 – svislá síla od hmoždinkového účinku podélné tahové výztuže v trhlině (tento efekt však může vést až k odtržení části krycí vrstvy betonu),


- 39 (66) -

• Vs – svislá síla ve smykové výztuži, pokud je navržena.

a) síly v trhlině b) síly na betonový segment

d

cFt1t1V

sV

d1FVd1

d1R

1

12

2

21

x v

c1V c1FRc1

c2R Fc2Vc2

1 2

2

21

Rd1

Vs

Vt1

t1Ft2V

Ft2

Rd2

Obr. 4.5 Působící síly ve smykové trhlině a mezi nimi

V šikmé trhlině, přesněji v zalomeném šikmém řezu 1-1, musí být zachována rovnováha vnějších a vnitřních sil – viz obr. 4.5a. Bude se jednat o podmínky rovnováhy pro ohybový moment, svislou (posouvající) a vodorovnou sílu.

Momentovou podmínku lze sestavit např. k působišti síly Rc1 – tato podmínka se běžně nepoužívá. Výslednou vnitřní posouvající sílu v šikmém řezu můžeme stanovit podle vztahu

Vcs = Vc + Vs , (4.3)

kde Vc = Vc1 + Vd1 + Vt1 je výsledná vnitřní svislá síla v případě nepřítomnosti smykové výztuže (Vc1 a Vd1 jsou svislé složky sil Rc1 a Rd1) a Vs svislá složka síly, která vzniká ve smykové výztuži. Pro vodorovný směr lze napsat podmín-ku rovnováhy (bez vlivu normálové síly od vnějšího zatížení) ve tvaru

Fc1 + Fd1 = Ft1 , (4.4)

kde Fc1 a Fd1 jsou vodorovné složky sil Rc1 a Rd1 a Ft1 je síla v podélné tahové výztuži v místě trhliny.

Betonový segment, který vzniká mezi dvěma rozvíjejícími se smykovými trhli-nami, je mimostředně namáhán tlakovou silou Rc2 a dalšími silami podle obr. 4.5b.

I pro něj lze napsat podmínku pro síly ve svislém směru

Vc2 + Vd2 - Vd1 + Vt2 – Vt1 = Vs (4.5)

a pro síly ve vodorovném směru

Fc2 + Fd2 – Fd1 = Ft2 – Ft1 , (4.6)

kde Vd2 resp. Fd2 je svislá resp. vodorovná složka síly Rd2, Vc2 resp. Fc2 svislá resp. vodorovná složka síly Rc2 a Vt2 je svislá síla od hmoždinkového účinku podélné tahové výztuže v trhlině 2-2.

Při narůstajícím zatížení FE a tomu odpovídající posouvající síle VE se na cel-kovém odporu VR = VE v šikmé trhlině mění podíl jednotlivých výše uvedených sil. Postupně klesá vliv hmoždinkového účinku zrn kameniva a podélné výztu-že a narůstá vliv smykové výztuže – viz obr. 4.6. Při tom na obrázku zatížení


- 40 (66) -

na úrovni bodu a odpovídá mezi vzniku ohybových trhlin, bodu b mezi vzniku smykových trhlin, bodu c mezi kluzu smykové výztuže a bodu d okamžiku porušení.

E(V )EF

VR

a b c d

VR

cR

sV

Vc

Vs

c1V

Vd1

t1V

Obr. 4.6 Rozdělení sil ve smykové trhlině při narůstajícím zatížení

Z obr. 4.6 je zřejmé, že po dosažení meze kluzu ve smykové výztuži, když v krátké době dojde k výraznému otevření trhliny a k praktickému vymizení vlivu obou hmoždinkových účinků, se na přenosu vnější posouvající síly podílí pouze výztuž a tlačený beton. V tomto stádiu pak ze vztahů (4.3) až (4.6) vy-mizí příslušné svislé a vodorovné síly odpovídající hmoždinkovému účinku => bude platit:

Vcs = Vc + Vs , Fc1 = Ft1 , Vc2 = Vs , Fc2 = Ft2 – Ft1 . (4.7)

Z těchto vztahů vyplývá, že únosnost ve smyku je dána únosností tlačené části betonu na konci smykové trhliny (nad smykovou trhlinou) a smykové výztuže, že příspěvek smykové výztuže odpovídá únosnosti betonového segmentu (tla-čeného betonu pod smykovou trhlinou) a že u šikmé trhliny dochází oproti vli-vu ohybovému momentu ve svislé ohybové trhlině k posunu působiště (k ná-růstu) odpovídající síly v podélné výztuži.

Při použití šikmé smykové výztuže se navíc ve vztazích (4.4), (4.6) a (4.7) pro-jeví její vodorovná složka, která především bude redukovat posun (nárůst) síly v podélné výztuži.

Na základě provedených zkoušek lze také přibližně uvažovat, že na mezi poru-šení je smyková únosnost tlačeného betonu řádově přibližně stejná se smyko-vou únosností na mezi vzniku smykových trhlin Vr stanovenou podle vztahu (4.2).

Kontrolní otázky

Vysvětlete jak se stanoví únosnost ve smyku na mezi vzniku smykových trh-lin.

Vykreslete a zdůvodněte tvary smykových trhlin.


- 41 (66) -

Jaké jsou typy smykové výztuže a jaký je její význam?

Popište základní síly působící v šikmé trhlině a na betonový segment mezi trhlinami včetně základních podmínek rovnováhy.

Jak se změní rozdělení sil a podmínky rovnováhy po dosažení meze kluzu smykové výztuže?

4.2 Výpočet mezní smykové únosnosti

Při výpočtu mezní smykové únosnosti se obvykle vychází z napjatostního stá-dia III. Je však nutno rozlišovat zda prvek nebo jeho část je nebo není vyztuže-na smykovou výztuží. Obdobně jako u ohybu budeme většinou pracovat s návrhovými hodnotami veličin. Opět pro zjednodušení zápisu budou v dalším textu, pokud to nebude na závadu, vynechávány dolní indexy d.

4.2.1 Základní principy a předpoklady výpočtu

Při dimenzování železobetonových prvků namáhaných posouvající silou je nutno prokázat spolehlivostní podmínku ve tvaru

VR ≥ VE , (4.8)

kde VR je posouvající síla na mezi únosnosti a VE prostá hodnota posouvající síly od vnějšího zatížení.

Z hlediska meze únosnosti rozeznáváme:

• smykovou únosnost VRc = VRd,c, tj. únosnost prvku nebo části prvku bez smykové výztuže,

• smykovou únosnost VRs = VRd,s, tj. únosnost smykové výztuže,

• smykovou únosnost VRmax = VRd,max, tj. únosnost tlačeného segmentu mezi trhlinami.

Za smykovou únosnost VR se tedy bude uvažovat hodnota VRc, pokud nebude třeba navrhovat smykovou výztuž, resp. VRs, pokud bude smyková výztuž na-vržena. O smykové únosnosti může však rozhodnout i únosnost tlačeného segmentu VRmax. Smykovou výztuž bude nutno navrhnout, pokud VE > VRc. V opačném případě, i když smyková výztuž nebude potřeba, se má provést alespoň minimální smykové vyztužení odpovídající konstrukčním zásadám mimo desky a prvky malého významu.

U prvků s náběhy (se skloněným dolním nebo horním povrchem) vznikají v důsledku šikmých sil v podélné výztuži a v tlačené části betonu nad šikmou trhlinou jejich posouvající složky Vt a Vcc, o které je nutné upravit velikost po-souvající síly od zatížení nebo odolnost prvku v šikmé trhlině, tj. např. podle [3] na VR = VRs + Vcc + Vt (přitom VRs ≤ VRmax ) nebo VRmax ≥ VE - Vcc - Vt . Kladné znaménko u těchto sil je v případě pokud působí ve směru zatížení.

Posouvající síla svým účinkem ovlivňuje velikost sil v tažené podélné výztuži a v tlačeném betonu. Návrhem podélné tahové výztuže musíme prokázat, že je schopna přenést sílu nejen od ohybového momentu, ale i přídavnou sílu ∆Ft od smyku a je schopna ji přenést do podpory.


- 42 (66) -

Kontrolní otázky

Jaké rozeznáváme smykové únosnosti s ohledem na návrh smykové výztuže?

Jak ovlivňují smykovou únosnost prvků náběhy?

4.2.2 Prvky bez smykové výztuže

Prvek bez smykové výztuže je vyztužen pouze podélnou tahovou výztuží. Ten-to případ se může vyskytnout jen u prvků malého významu, např. běžné desky popř. překlady do rozpětí 2 m. Únosnost stanovenou pro tento případ lze využít i u prvků se smykovou výztuží pro vymezení částí, kde není třeba tuto výztuž počítat.

4.2.2.1 Způsob porušení prvků bez smykové výztuže

Prvek bez smykové výztuže po vzniku ohybových a smykových trhlin přenáší zatížení ve formě uvnitř vytvořeného nosníku se zakřiveným nebo lomeným tlačeným pásem s táhlem. Tvar tlačeného pásu závisí na způsobu zatížení – viz např. vzpěradlo nebo oblouk s táhlem v obr. 4.7.

a) b)

smyková trhlinasmyková trhlinac c

fF F a

Obr. 4.7 Chování prvku bez smykové výztuže

Pro smykové porušení bývá rozhodující únosnost v šikmé trhlině v blízkosti podpory. Její určení je složité – viz výše popisovaná situace ohledně sil v trhli-ně dle vztahů (4.3) až (4.7) bez smykové výztuže a uváděná vazba mezi únos-ností na mezi vzniku smykových trhlin dle vztahu (4.2) a únosností VRc tlačené oblasti betonu nad smykovou trhlinou, která je její rozhodující částí.

Na porušení prvku má také vliv smyková štíhlost, která závisí na účincích zatí-žení a účinné výšce průřezu – viz kap. 4.1.1. Závislost si můžeme objasnit pro nosník zatížení dvěma břemeny podle obr. 4.7a - pro tento případ smyková štíhlost λV=a/d. Význam vlivu posouvající síly na porušení ve srovnání s porušením v ohybu MR (odpovídá průřezu s maximálním momentem ME=F.a=VE.a pod břemenem ve vzdálenosti a od podpory a má konstantní velikost) v závislosti na velikosti smykové štíhlosti je zřejmý z obr. 4.8.

Z obr. 4.8 vyplývá, že o porušení rozhoduje při velké smykové štíhlosti (λV >6,5) ohyb a při štíhlosti 2,5< λV ≤6,5 smyk za ohybu na konci smykové trhli-ny. Při malé štíhlosti λV ≤2,5 se již projevuje příznivý vliv svislého tlakového napětí při přímém zatížení v blízkosti podpory - viz vztah (4.1) a při velmi ma-lé štíhlosti může dokonce dojít k porušení tlačené vzpěry přenášející břemeno přímo do podpory. Nejnižší únosnost je pro smykovou štíhlost λV ≈2,5 – tomu také odpovídá šikmá trhlina, která zasahuje do vzdálenosti cca 2,5.d od podpo-ry nosníku.


- 43 (66) -

RM

únosnost ve

1,0 2,5 6,5

smyku za ohybu

v ohybuúnosnost

tlačených vzpěrúnosnost

únosnost voblasti diskontinuity

neštíhlý štíhlý velmi štíhlýmáloštíhlý

0 λV

Obr. 4.8 Únosnost prvku v závislosti na smykové štíhlosti

V důsledku vytvoření vnitřní statické soustavy (nosník s tlačeným pásem a s táhlem) dochází i k nárůstu síly Ft v podélné výztuži v líci uložení, kterou je nutno náležitě zakotvit, jinak by mohlo dojít k porušení v soudržnosti s betonem s následným porušením celého nosníku.

4.2.2.2 Smyková únosnost prvků bez smykové výztuže

Z předcházející kapitoly vyplynulo, že o únosnosti železobetonových prvků bez smykové výztuže většinou rozhoduje únosnost tlačené oblasti průřezu na konci šikmé smykové trhliny (tlačeného pásu vnitřního nosníku tvaru oblouku či vzpěradla s táhlem).

V evropském standardu [3] je pro smykovou únosnost prvku bez smykové vý-ztuže zaveden vztah, který vychází z provedených experimentů, ve tvaru

VRc = VRcm + VRcn = [CRd,c.k.(100.ρl.fck)1/3 + 0,15.σcp].bw.d , (4.9)

kde je VRcm (VRcn) smyková únosnost při působení ohybu (normálové síly), CRd,c = 0,18/γc součinitel smykové únosnosti, γc dílčí součinitel spolehlivosti materiálu pro beton, k = 1+(200/d)1/2 ≤ 2,0 součinitel výšky d (v mm), (100.ρl.)

1/3 součinitel vlivu podélného vyztužení, ρl = Asl/(bw.d) ≤ 0,02 stupeň vyztužení, Asl plocha tahové výztuže v mm2, která zasahuje za posuzovaný průřez minimálně na vzdálenost lbd+d – viz obr. 4.9, fck charakteristická pevnost betonu v MPa, bw (d) nejmenší šířka průřezu v tažené oblasti (účinná výška) – v mm, σcp = NE / Ac ≤ 0,2.fcd (v MPa) napětí od normálové síly NE (v N; pro tlak je NE > 0) na celé ploše betonu Ac (v mm2). Vzhledem k tomu, že by takto stanovená únosnost nerespektovala minimální únosnost pro prvek i bez podélné výztuže (ρl = 0), byla opět na základě zkou-šek stanovena minimální smyková únosnost pro tento prvek

min VRc = (vmin + 0,15.σcp).bw.d , (4.10)

kde vmin = 0,035.k3/2.fck1/2.


- 44 (66) -

d

lbd l bd

di

VEd VEd

45° 45°

A sl A slA A

ls.min l s.min

d

45°

lbd

ls.min

A sl

VEd

A

Obr. 4.9 Podmínky započitatelnosti tahové výztuže

O řešení únosnosti pro zatížení v blízkosti podpor je pojednáno v kapitole 4.3.3.

Kontrolní otázky

Vysvětlete způsob smykového porušení prvků bez smykové výztuže.

Jak ovlivňuje smyková štíhlost poručení prvku?

Na čem závisí a jak se stanoví smyková únosnost u prvků bez smykové výztu-že?

4.2.3 Prvky se smykovou výztuží

Smyková výztuž přispívá ke zvýšení smykové únosnosti prvku; mimo jiné za-braňuje zmenšení smykové únosnosti v kritické oblasti – viz vyšrafovaná část na obr. 4.8, tzv. „údolí smyku“.

4.2.3.1 Způsob porušení prvků se smykovou výztuží

Způsob porušení prvku se smykovou výztuží vychází z charakteristiky stádia III uvedeného v kap. 4.1.1. Ke smykovému porušení může dojít dosažením

• meze kluzu ve smykové výztuži s následným drcením tlačeného betonu na konci smykové trhliny (tahové porušení při smyku za ohybu),

• mezní únosnosti tlačeného betonového segmentu mezi trhlinami (tlakové porušení),

• únosnosti v soudržnosti mezi podélnou výztuží a betonem v důsledku ná-růstu její tahové síly vlivem smyku.

Který případ bude rozhodující závisí na mnoha činitelích – charakter zatížení, tvar průřezu, charakter vyztužení apod. Tyto činitele rozhodnou o tvaru a sklo-


- 45 (66) -

nu šikmé trhliny a tím i o způsobu porušení v této trhlině – viz kap. 4.1.2 a obr. 4.3.

Z hlediska smykové výztuže může její větší množství vést ke vzniku strmějšího sklonu šikmé smykové trhliny a naopak menší množství k plošší trhlině, čímž se v podstatě nemění její smyková únosnost. U plošších trhlin se však zvětšuje namáhání tlačeného segmentu a zvětšuje se přídavná síla v podélné tahové vý-ztuži, což může ovlivnit způsob smykového porušení prvku. Také nepřiměřeně velké množství smykové výztuže v důsledku jejího nevyužití může vést k vý-razněji strmým trhlinám a k porušení v důsledku nedostatečné únosnosti beto-nového segmentu.

Podobně jako u ohybu s ohledem na přijatelnou přetvárnost (duktilitu) je z hlediska způsobu porušení smykem nejpřijatelnější tahové porušení. Při tom-to porušení lze předpokládat na konci smykové trhliny současně trhlinu ohybo-vou a napjatost v tlačené oblasti podle obr. 4.10.

stadium

σ τx

τmax

RcV

f γ⋅

mx

FRt

RcR

FRc

VRc

RtF

z

xv

ct

ψ⋅ cf

VRs

s s s s

vx

Rc1VRRc1

xm

Rc2RVRc2

c

DETAIL 1DETAIL 1

Obr. 4.10 Situace při porušení smykem za ohybu

Výslednice vnitřních sil v tlačené oblasti na mezi únosnosti RRc se vzhledem k tomu, že smyková trhlina dělí tlačenou oblast na dvě části, rozdělí na dvě síly - na RRc1 působící nad smykovou trhlinou a RRc2 pod smykovou trhlinou (viz detail 1 na obr. 4.10). Potom lze podobně jako ve vztazích (4.7) najít mezní únosnost ve smyku v šikmé trhlině, jen s tím rozdílem, že do vztahů (4.7) po odeznění vlivu hmoždinkového efektu se dosadí posouvající síly na mezi poru-šení (pro bod d na obr. 4.6). Vztahy (4.7) se pro posouvající síly upraví na

VRcs = VRc1 + VRs , VRs = VRc2 . (4.11)

Tyto vztahy opět prokazují, že i těsně před porušením šikmý řez smykovou trhlinou přebírá působící posouvající sílu tlačenou částí nad trhlinou (VRc1) a smykovou výztuží v trhlině (VRs) s tím, že po odeznění hmoždinkového efektu tato výztuž přebírá pouze posouvající sílu od tlačené části pod trhlinou (VRc2).

Z předcházejícího textu této kapitoly je zřejmé, že při tahovém porušení ve smyku za ohybu by nemělo dojít k porušení tlačeného segmentu mezi trhlinami (VRcs ≤ VRmax) a k porušení v důsledku posunu tahové síly Ft v podélné výztuži k místu jejímu zakotvení. U tlačených oblastí při kombinaci normálových a smykových napětí je přitom nutno uvažovat snížení pevnosti betonu v tlaku na


- 46 (66) -

ψ.fc, kde ψ je redukční součinitel, který závisí nejen na kombinaci obou napětí, ale i na smykové štíhlosti a vlivu smykové výztuže.

Železobetonový prvek lze s ohledem na jeho statické chování a porušování také modelovat jako násobnou staticky neurčitou příhradovou soustavu, tzn. jako soustavu prutů, které nahrazují tlačené betonové části (nad a pod šikmou trhlinou) a taženou podélnou výztuž (tažený pás) nebo smykovou výztuž (taže-ná diagonála nebo svislice) – viz obr. 2.3. I zde lze rozdělit výslednici vnitřních sil v tlačené oblasti na sílu RRc1 působící nad smykovou trhlinou (v tlačeném pásu) a RRc2 působící pod smykovou trhlinou (v tlačené diagonále nahrazující betonový segment). Vytvoření konkrétní příhradové soustavy je obecně složité.

Kontrolní otázky

Charakterizujte možné způsoby smykového porušení prvků se smykovou vý-ztuží včetně vlivu množství této výztuže.

Vysvětlete jaké síly vznikají při tzv. tahovém porušení při smyku za ohybu?

4.2.3.2 Smyková únosnost prvků se smykovou výztuží

Stanovení smykové únosnosti s ohledem na chování prvku namáhaného po-souvající silou současně s ohybovým momentem je složité a pracné. Proto se ve všech standardech používají určitá zjednodušení, která vedou k využití těch-to výpočtových modelů:

• model šikmého řezu nahrazující smykovou trhlinu, který zohledňu-je rovnováhu sil v tomto řezu a na tlačeném segmentu pod touto trhlinou,

• model zjednodušené příhradové soustavy s proměnným sklonem tlačených diagonál.

Součástí těchto modelů bývá i určení příspěvku tlačeného pásu nad smykovou trhlinou VRc1 včetně jeho možného zanedbání.

V evropském standardu [3] vychází výpočet smykové únosnosti železobetono-vého prvku z modelu přímopásové násobné příhradové soustavy s proměnným úhlem tlačených diagonál v rozmezí 1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5, tj. 45o ≥ θ ≥ 21,8o - viz obr. 4.11. Úhel tažené diagonály α (smykové výztuže) se doporučuje volit od 45o do 90o (z praktických důvodů se u třmínků volí nejčastěji 90o).

s

α

θ

d

cF

EV

Ft

1 2 z1 2 z

z

NE

VE

EM

θ α(cot - cot )⋅VE

tažený pássmyková výztuž

tlačený pás vzpěra

Obr. 4.11 Model násobné příhradové soustavy


- 47 (66) -

Vzhledem k tomu, že tlačený pás u prvků s konstantní výškou není skloněný, neuvažuje se příspěvek vnitřní posouvající síly VRc1 nad smykovou trhlinou k únosnosti. Únosnost ve smyku je tedy dána únosností tažené diagonály či svislice (smykové výztuže v šikmé trhlině) VRs nebo únosností tlačené diagoná-ly VRmax (diagonála má stejný sklon jako šikmá smyková trhlina). V řešení je nutno přihlédnout k omezení napětí v tlačeném betonu a popř. i k omezení na-pětí ve smykové výztuži a k přiměřené přetvárnosti.

Pro stanovení jednotlivých únosností a přídavných sil v pásech lze použít jed-noduchou staticky určitou příhradovou soustavu použitelnou pro oblasti běžné-ho chování – viz obr. 4.12, kde je zobrazena pro případ prostého nosníku zatí-ženého břemenem o velikosti F v polovině rozpětí.

d

EVz

A 1 2 3

1´ 2´ 3´ F

cwF swF

Ft1 t2F Ft3 t4F

Fc1 c2F c3F

a = a sin⋅ θa a/2

θ α

a/2c b

θ αa = z (cot + cot )

c

σ =ψ⋅f c

ss s s s

swA ⋅fyw

aθc = z cot⋅

a/2

a/2a l

I.

I.

Obr. 4.12 Model jednoduché příhradové soustavy

Tlačené a tažené diagonály (vzpěry a táhla) zde reprezentují určitý úsek – idea-lizované pole příhradoviny o délce a, která se skládá z průmětu šikmé tlačené diagonály (tj. i idealizované šikmé trhliny) c a případného průmětu šikmé taže-né diagonály b do podélné osy prvku a pro níž tedy platí

a = c + b = z. (cot θ + cot α), (4.12)

kde z je rameno vnitřních sil v pásech odpovídajících ohybovému momentu (pro výpočet smykové únosnosti lze přibližně brát z = 0,9.d, pokud v prvku nepůsobí normálová síla). Pro svislou smykovou výztuž a = c = z.cot θ.

Pro vlastní stanovení únosnosti šikmé vzpěry nebo šikmého či svislého táhla můžeme předpokládat, že rozdělení tlakového napětí nebo smykové výztuže je v daném poli příhradoviny rovnoměrné (mluvíme o tlakovém nebo taženém poli) s tím, že výsledné síly v diagonálách působí v osách příslušného pole.

Mezní sílu v tlačené diagonále lze pro její nejmenší šířku bw mezi tlačeným a taženým pásem a druhý rozměr ad = a.sin θ = z.(cot θ+cot α).sin θ při kon-stantním zmenšeném tlakovém napětí σcd=ψ.fcd =αcw.ν1. fcd stanovit ze vztahu

Fcw,max = αcw . bw . z.(cot θ + cot α) . sin θ . ν1 . fcd , (4.13)

kde αcw vyjadřuje stav napětí v tlačeném pásu; pro nepředpjaté prvky je 1,0,


- 48 (66) -

ν1 je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku při porušení smykem; jeho hodnota je ν1 = ν = 0,6.[1 - fck[MPa]/250] , ale pokud je návrhové smykové napětí ve výztuži σswd < 0,8.fyk lze uvažovat ν1 takto: 0,6 pro fck ≤ 60 MPa resp. 0,9 – fck [MPa]/200 > 0,5 pro fck > 60 MPa.

Její svislá složka pak vyjadřuje únosnost ve smyku; pro šikmou smykovou vý-ztuž při sin2 θ = 1/(1+cot2 θ) je

VRmax = Fcw,max . sin θ = αcw . bw . z. ν1 . fcd .(cot θ + cot α)/(1+cot2 θ); (4.14)

pro svislou smykovou výztuž výztuž (α = 90o => cot α = 0) je

VRmax = αcw . bw . z. ν1 . fcd .cot θ / (1+cot2 θ) =

= αcw . bw . z. ν1 . fcd / (cot θ+tan θ) . (4.15)

Mezní síla v tažené diagonále (smykové výztuži v šikmé trhlině) pro jedno pole příhradoviny je dána únosností veškeré smykové výztuže v tomto poli. Tato únosnost se dá vyjádřit např. únosností jedné výztuže (např. jednoho třmínku, tj. všech jeho větví) vynásobené idealizovaným počtem této výztuže v jednom poli a/s, kde s je vzdálenost smykové výztuže mezi sebou. Lze ji však také vy-jádřit pomocí měrné plochy smykové výztuže Asw/s na jednotku délky pole, kde Asw je plocha všech větví výztuže v jednom místě (např. plocha všech větví jednoho třmínku), vynásobené touto délkou a. Hodnotu této síly lze tedy pro napětí ve smykové výztuži σswd=fywd vyjádřit např. vztahem

Fsw,max = (Asw/s) . fywd . z . (cot θ + cot α) (4.16)

Její svislá složka opět vyjadřuje únosnost ve smyku. Pro šikmou smykovou výztuž je

VRs = Fsw,max . sin α = (Asw/s) . fywd . z . (cot θ + cot α) . sin α (4.17)

Pro svislou smykovou výztuž při sin α =1 a cot α = 0 je

VRs = (Asw/s) . fywd . z . cot θ . (4.18)

Při stanovování hodnoty VRs se má zredukovat návrhové napětí ve smykové výztuži fywd na σswd=0,8.fywk, pokud se použijí větší hodnoty ν1 pro tlačenou diagonálu (viz výše).

Jako výslednou smykovou únosnost VRd je nutno brát menší z hodnot VRs a VRmax .

Obdobně jako u ohybu je i u smyku požadováno omezení množství smykové výztuže. Pro omezení zdola lze využít stupeň smykového vyztužení, pro nějž musí platit

ρw = Asw / (bw. s. sin α) ≥ ρw,min = 0,08.fck1/2 / fyk . (4.19)

Omezení shora vyplývá z únosnosti tažené diagonály VRs , kdy pro maximálně přípustný sklon tlačené diagonály cot θ=1,0 vychází největší množství smyko-vé výztuže pro zajištění stejné únosnosti a z podmínky zachování přiměřené přetvárnosti VRs ≤ VRmax. Po dosazení do této podmínky z (4.14) a (4.17) pak platí:

Asw . fywd / (bw.s) ≤ 0,5.αcw . ν1 . fcd / sin α (4.20)

s tím, že při rovnosti obou stran můžeme určit Asw,max resp. ρw,max .


- 49 (66) -

Síly v obou diagonálách mají i své vodorovné složky. Za předpokladu, že VR = VE má celková vodorovná síla velikost VE .(cot θ - cot α) – viz obr. 4.11. Tato síla se rozdělí jako přídavná síla na oba pásy ve stejném poměru. Je tedy

∆Ft = ∆Fc = 0,5 . VE . (cot θ - cot α) , (4.21)

s tím, že v uvažovaném svislém řezu v tlačeném pásu výslednou sílu zmenšuje, ale v taženém pásu (v podélné výztuži) zvětšuje oproti silám od ohybového momentu. Z hlediska únosnosti je rozhodující přírůstek síly v podélné tažené výztuži. Nárůst síly je možné odvodit i geometricky, kdy síla od ohybového momentu se posune ve vodorovném směru o hodnotu al směrem k podpoře nosníku – mluvíme o pravidlu o posunu (u příhradoviny na obr. 4.12 jakoby od středu modifikovaného idealizovaného pole). Pro tento posun platí

al = c – a/2 = 0,5.(c – b) = 0,5 . z.(cot θ - cot α) . (4.22)

Potom lze přídavnou sílu v podélné tažené výztuži vyjádřit jako

∆Ft = VE . al / z (4.23)

a výslednou sílu s omezením vyplývajícího z maximálního momentu jako

Ft = ME / z + ∆Ft ≤ ME,max / z . (4.24)

Při působení normálové síly NE se navíc ve vztahu (4.23) a (4.24) objeví i její hodnota. Nárůst síly v podélné výztuži vlivem posouvajících sil má především význam pro prodloužení délky této výztuže směrem k podporám a na zvýšené požadavky na její zakotvení v podporách.

Kontrolní otázky

Charakterizujte model přímopásové násobné a zjednodušené příhradové soustavy.

Vysvětlete co je to tzv. příhradové pole a v čem je jeho význam.

Odvoďte únosnost ve smyku pro tlačenou diagonálu.

Odvoďte únosnost ve smyku pro taženou diagonálu.

Odvoďte velikost přídavné síly v podélné tažené výztuži včetně vysvětlení tzv. pravidla o posunu.

4.3 Návrh a posouzení prvků namáhaných na smyk

U návrhu a posouzení konkrétního prvku je nutno rozlišovat řešení v běžných oblastech chování nebo v oblastech diskontinuity. Jejich součástí musí být i řešení nejen v rozhodujících průřezech, ale i v celé délce prvku.

4.3.1 Zásady návrhu a posouzení

Konkrétní návrh a posouzení prvků bez smykové výztuže může plně vycházet z kap. 4.2.2.2 a to z hodnoty únosnosti VRc. Tato únosnost bude zároveň hrani-cí, která u prvků se smykovou výztuží oddělí od sebe části prvků, kde je nutný početní návrh smykové výztuže a kde jen stačí minimální smyková výztuž.

Konkrétní návrh a posouzení prvku nebo jeho části se smykovou výztuží musí vycházel z rovnováhy mezi vnější posouvající silou a únosností prvku ve smy-


- 50 (66) -

ku za ohybu, která je vyjádřena v předcházející kapitole ve vztazích (4.14), (4.15), (4.17) a (4.18). Ve výpočtu je nutno dále respektovat vymezené hranice pro sklon šikmé smykové trhliny θ a vymezení množství smykové výztuže ve vztazích (4.19) a (4.20). Přídavná síla v podélné výztuži určená podle vztahu (4.21) nebude mít pro návrh a posouzení většinou zásadní význam (mimo její-ho zakotvení).

Z uvedených vztahů je zřejmé, že únosnost tlačené diagonály VRmax, plocha smykové výztuže Asw a přídavná síla v podélné výztuži závisí na sklonu šikmé smykové trhliny θ, který lze téměř libovolně volit ve vymezeném rozsahu 1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5, tj. 45o ≥ θ ≥ 21,8o. Také je zřejmé, že použití šikmé smykové vý-ztuže vede k její úspoře včetně snížení velikosti přídavné síly v podélné vý-ztuži. Se zmenšováním sklonu šikmé trhliny v daném rozsahu klesá potřeba smykové výztuže a únosnost tlačené diagonály a stoupá přídavná síla v podélné výztuži.

Z hlediska množství smykové výztuže je nejbezpečnější případ pro cot θ=1,0 a nejhospodárnější případ pro cot θ=2,5. V dnešní době se hospodárnější návrh upřednostňuje, i když vede k menším sklonům šikmých smykových trhlin. V konkrétních případech se však má zohlednit i bezpečnostní kritérium a za-chovat určitá rezerva.

Při určování sklonu šikmých smykových trhlin, při návrhu výztuže a při určo-vání únosnosti v posouzení na smyk se vychází z těchto podmínek:

VE ≤ VRs , VE ≤ VRmax a popř. i VRs ≤ VRmax (4.25)

s tím, že poslední podmínku VRs≤VRmax lze brát jako doplňující z pohledu počtu neznámých a pro zachování přijatelné přetvárnosti. Která podmínka rozhodne, vyplyne z postupu u konkrétního prvku včetně toho zda bude nutné nebo vý-hodné kontrolovat či využívat stupeň vyztužení smykovou výztuží ρw nebo hraniční případy pro cot θ (u méně a běžně vyztužených prvků rozhoduje často cot θ=2,5).

V řešení se mohou uplatnit měrná smyková napětí, jednak od vnější posouvají-cí síly - vEw a jednak na straně odporu šikmého řezu v prvku - vRw, ve tvaru

vEw = VEd/(bw.z) , vRw = Asw . fywd / (bw.s) = ρw . fywd . sin α , (4.26)

s tím, že pro vRw musí být po úpravě vztahu (4.20) splněna podmínka

vRw ≤ 0,5.αcw . ν1 . fcd / sin α . (4.27)

Tento vztah lze upravit i pro stupeň vyztužení smykovou výztuží ρw na

ρw ≤ 0,5.αcw . ν1 . fcd / (fywd . sin2 α) . (4.28)

Z výchozích podmínek pro návrh a posouzení (4.25) pro případ rovnosti levé a pravé strany můžeme s pomocí měrných smykových napětí a po úpravě získat vztahy pro cot θ postupně v pořadí podmínek takto

cot θ = (vEw - vRw . cos α ) / (vRw . sin α) , (4.29a)

qpp +±= 2cotθ , (4.29b)

cot θ = [αcw . ν1 . fcd /(vRw . sin α) – 1]1/2 , (4.29c)

kde p = αcw . ν1 . fcd / 2.vEw a q = αcw . ν1 . fcd . cot α / vEw – 1.


- 51 (66) -

I z těchto vztahů je zřejmé, že jejich použití nemusí vést k jednoznačnému ře-šení (hlavně pokud se jedná o návrh). Můžeme však z nich vyjádřit měrné smykové napětí vRw, např. z (4.29a) nebo z (4.29c)

vRw = vEw /(sin α .cot θ+cos α ), vRw = αcw .ν1.fcd /[(sin α .(cot2 θ+1)] (4.30)

nebo z rovnosti z (4.29a) a (4.29c)

vRw = p – (p2 - v2Ew)1/2 , (4.31)

kde p = αcw . ν1 . fcd . sin α + vEw . cos α ,

a následně i stupeň vyztužení smykovou výztuží ρw.

Pokud bude smyková výztuž tvořena z kombinace svislých třmínků a šikmých ohybů (svislé třmínky musí zajišťovat minimálně 50 % celkové únosnosti vý-ztuže na smyk) lze za předpokladu rovnoměrného rozmístění této výztuže uva-žovat v daném úseku buď její průměrné parametry nebo provést superpozici účinků podle vztahu

VRs = VRl + VRb , (4.32)

kde je VRl únosnost většinou svislých třmínků (s ostatními parametry Alw, sl, αl, ρwl, vRl) a VRb únosnost ohybů (s ostatními parametry Abw, sb, αb, ρwb, vRb).

Při výpočtu VRmax lze zjednodušeně na straně bezpečné uvažovat sklon veškeré smykové výztuže α = 90o.

Konkrétní a podrobnější postupy pro návrh a posouzení lze nalézt např. v [1].

Kontrolní otázky

Charakterizujte možnosti postupu při návrhu a posouzení konkrétního prvku namáhaného posouvající silou.

Charakterizujte postup jak získat měrná smyková napětí a sklon tlačené di-agonály.

4.3.2 Rozhodující a další průřezy pro návrh a posouzení

Obecně tak jak může být proměnná velikost posouvající síly po délce nosníku, může být i proměnný návrh množství smykové výztuže. O rozdělení této vý-ztuže se rozhodne výpočtem v jednom nebo několika průřezech, v nichž se uvažuje posouvající síla VE stanovená pro konec šikmé smykové trhliny, pokud zatížení působí v horní oblasti prvku směrem k jeho střednici (přímé zatížení). Pokud však zatížení působí v dolní oblasti prvku směrem od jeho střednice (nepřímé zatížení), je třeba navíc k takto navržené výztuži přidat další výztuž, která zajistí přenesení účinku zatížení na délce průmětu šikmé trhliny do horní oblasti – jinak řečeno, je třeba navrhnout výztuž na posouvající sílu VE na za-čátku trhliny v dolní oblasti prvku.

O umístění průřezů rozhoduje typ zatížení (rovnoměrné, břemena, přímé, ne-přímé), tvar prvku (s konstantní výškou, s náběhy, změna rozměrů apod.), jeho uložení (přímé, nepřímé) a také vlastní způsob vyztužení. Rozhodujícími prů-řezy bývají většinou průřezy v blízkosti podpor, kde jsou největší posouvající síly. Tyto oblasti však zároveň bývají oblastmi diskontinuity, kde je potřeba upravit návrh vyztužení – viz další kapitola.


- 52 (66) -

U prvků nebo jejich částí, u nichž se nevyskytuje nespojitost v průběhu posou-vající síly VE (např. při rovnoměrném zatížení) lze upravovat smykovou výztuž v kterémkoliv úseku prvku postupně od líce podpory v délkách odpovídajících délce pole jednoduché analogické příhradové soustavy dle vztahu (4.12): l = a = z. (cot θ + cot α) – viz obr. 4.13.

l/2

f

s s s s1 2 3

t/2 t/2 da

VE,max VEo

0 1 2

1 a2 a ?3

V < VE R V VE2 R2≤

VR

c

min VRs

max

VE1

≤

Obr. 4.13 Rozhodující průřezy nosníku při rovnoměrném zatížení

Na tomto obrázku je zobrazen možný návrh smykové výztuže (svislých třmín-ků) pro dva úseky prostého nosníku v části, kde VE ≥ VRc – v úseku o délce a1 na posouvající sílu VE (s ohledem na blízkost podpory se uvažuje místo VE1) a v úseku a2 na posouvající sílu VE2. Ve zbylé střední části nosníku bude stačit minimální výztuž (zde lze použít i návrh výztuže z druhého úseku).

U prvků, kde se vyskytuje nespojitost průběhu posouvající síly (např. při půso-bení osamělých břemen; nejbližší k podpoře je ve vzdálenosti větší než 2.d od líce uložení – jinak je nutno postupovat jako pro oblast diskontinuity – viz další kapitola), je nutno k němu přihlédnout – viz obr. 4.14. Vlastní výpočet se děje po úsecích mezi jednotlivými břemeny na příslušnou posouvající sílu (pro a1 je to VE, pro a2 pak VE2). Pokud vzdálenost břemen bude menší než a, provede se návrh pro úsek daný touto vzdáleností pro upravený sklon trhliny cot θ. Opět ve zbylé střední části nosníku bude stačit minimální výztuž (zde lze použít i návrh výztuže z druhého úseku).


- 53 (66) -

V obou případech je potřeba dodržet nejen minimální vyztužení, ale prokázat i dostatečnou únosnost krajní diagonály na posouvající sílu VE,max (resp. VE0).

F F

v > t/2 + 2d v v/2

1 2

s s s = s1 2 3

t/2 t/2 da

VE,max VEo

0 1 2

1

a2místo slze i s2

3

V = V < VE E1 R1 V VE2 R2≤

VR

c

min VRs

max

f

Obr. 4.14 Rozhodující průřezy nosníku při zatížení s břemeny

Jak již bylo konstatováno na začátku této kapitoly, rozhodující oblastí pro ná-vrh výztuže bude oblast v blízkosti podpor prvku. Zde pro stanovení posouva-jící síly pro návrh smykové výztuže bude určován kritický svislý průřez C, jehož poloha bude záležet na typu zatížení a na způsobu uložení – viz obr. 4.15.

U prvků zobrazených na obr. 4.15a, tj. prvků s přímým uložením (nacházejí-cím se přímo na podpírajícím prvku) a s přímým rovnoměrným zatížením je tento průřez ve vzdálenosti d od uložení. Pokud rovnoměrné zatížení bude pů-sobit dole (nepřímé zatížení), bude tento průřez přímo v líci přímého uložení – viz obr. 4.15c.

V případě nepřímého uložení (uložení podporovaného prvku je pod střednicí podporujícího prvku) závisí na tom, jak je zajištěno vynesení akce od podporo-vaného prvku do tlačené oblasti podporujícího prvku. Pro první případ na obr. 4.15b, kdy je tato akce vlastně skokem v posouvající síle podporujícího prvku, lze uvažovat posouvající sílu v kritickém řezu ve vzdálenosti d od líce uložení. Pro druhý případ v témže obrázku, kdy je síla vynášena tahovou silou v podpo-


- 54 (66) -

rujícím prvku, je nutno posouvající sílu uvažovat v kritickém řezu přímo v líci uložení.

a) přímé uložení, zatížení nahoře

b) nepřímé uložení

c) přímé uložení, zatížení dole d) přenos břemene do podpory

krajní podpora nosníku vnitřní podpora nosníku rámový styčník

C CC

C

d d

dd

nosník závěsná výztužprůvlak

nosník vynášený posouvající silou

F

C

trhlina

nosník vynášený tahovou silou

C F1 F2

2,5d

d d

CC

trhlina

C

sloup příčel

Obr. 4.15 Kritické průřezy pro různé druhy uložení a zatížení

Na obr. 4.15d je zjednodušeně zobrazena situace, kdy v blízkosti podpory pů-sobí břemeno – při jeho vzdálenosti cca do 2,5.d od líce uložení je nutno při návrhu smykové výztuže uvažovat velikost posouvající síly podle následující kapitoly.

Kontrolní otázky

Charakterizujte možnosti umístění průřezů a příslušné posouvající síly.

Charakterizujte možný návrh smykové výztuže u spojitého průběhu posouva-jící síly.

Charakterizujte možný návrh smykové výztuže u nespojitého průběhu po-souvající síly.


- 55 (66) -

Určete kritické průřezy pro různé druhy uložení a zatížení.

4.3.3 Ověření smykové únosnosti v blízkosti podpor

Oblasti diskontinuity se u prvků vyskytují z různých důvodů – jedná se o ob-lasti, kde se nedá předpokládat běžné chování jako je např. v blízkosti podpor, v důsledku změn rozměrů průřezu, v místech působení břemen apod. Může se také jednak o některé detaily např. ve vyztužení. V této kapitole se zaměříme pouze na oblast u podpor.

V oblasti u podpory obecně o délce do 2,5.d (je dáno průmětem šikmé trhliny) se u přímého uložení a přímého zatížení za krajní tlačenou diagonálou vytváří vějíř dílčích diagonál, který způsobuje částečný přenos zde vyskytujícího se zatížení jednak přímo do podpory tlačenou diagonálou a jednak nepřímo smy-kovou výztuží – viz obr. 4.17a, kde je osamělé břemeno o velikosti F částečně přeneseno tlačenou diagonálou (viz dílčí síla F2) a částečně smykovou výztuží (viz dílčí síla F1=β.F) nahrazenou taženou svislicí s pomocí dvou dílčích dia-gonál reprezentujících výše uváděný vějíř. Podobně lze postupovat i pro rov-noměrné zatížení.

Evropský standart [3] z této situace vychází a provádí pro návrh smykové vý-ztuže redukci velikosti posouvající od zatížení, které se nachází v úseku do 2.d od podpory (od líce uložení nebo od středu při poddajném uložení). Na obr. 4.16 je tato redukce zobrazena pro zatížení rovnoměrné, pro osamělé břemeno a pro jejich kombinaci.

daf

a

fd

F

F.F β

F

.F β

F

Obr. 4.16 Průběhy a redukce posouvajících sil u podpory

Pro rovnoměrné zatížení se má uvažovat posouvající síla ve vzdálenosti d od podpory, což odpovídá snížení o polovinu jejího přírůstku na délce 2.d. U osa-mělého břemene působícího ve vzdálenosti 0,5.d≤av≤2,0.d (pro av<0,5.d se použije 0,5.d) lze její podíl na celkové posouvající síle redukovat součinitelem β=av/(2.d). Při působení obou zatížení je potřeba uplatnit obě redukce. Pod-mínkou použití redukce je náležité zakotvení podélné tahové výztuže v podpo-ře. Pro takto upravenou posouvající sílu musíme prokázat podmínku pro prvky bez smykové resp. se smykovou výztuží


- 56 (66) -

VEred ≤ VRc , VEred ≤ Asw . fywd . sin α , (4.33)

Kde Asw je plocha smykové výztuže protínající šikmou smykovou trhlinu (tla-kovou diagonálu), vytvořenou mezi podporou a působištěm břemene, v její střední části o délce 0,75. av - viz obr. 4.17b.

F2 F1

F

F1 F2

V = FE

a) přenos břemene do podpory b) vyztužení

F

F2

F = 1

F1

av

β F

Fc

Ft

0,75av

s α

dx

1

V = FE

d

Obr. 4.17 Přenos břemene do podpory a umístění výztuže

Posouvající síla bez redukce má však splnit podmínku

VE ≤ 0,5 . bw . d . ν . fcd . (4.34)

Pokud by zatížení působilo při dolním povrchu (nepřímé zatížení) je třeba na-vrhnout dodatečnou výztuž pro jeho přenesení do horní oblasti prvku. Nosníky s břemeny v blízkosti uložení a na krátkých konzolách mohou být alternativně navrženy pomocí modelu náhradní příhradové soustavy.

Kontrolní otázky

Charakterizujte oblast diskontinuity v blízkosti podpor z hlediska ověření smykové únosnosti.

4.4 Autotest


Prvky namáhané kroucením

- 57 (66) -

5 Prvky namáhané kroucením

Vliv kroucení se při navrhování prvků uvažuje pokud statická rovnováha kon-strukce závisí na jejich únosnosti v kroucení. Mezi ně patří např. prvky zobra-zené na obr. 5.1a – obvodový průvlak s jednostranným uložením a 5.1b – trám s jednostrannou konzolovou deskou, tj. prvky, u nichž působí významnější zatížení na větší exentricitě vůči jejich ose (kroutící moment TE je roven ná-sobku síly a její vzdálenosti od této osy) a jejich deformace není výrazněji omezena konstrukčním uspořádáním navazujících prvků.

a

R

a)

Fa

b) c)

Obr. 5.1 Typy kroucených prvků

Toto neplatí u prvku podle obr. 5.1c – obvodový průvlak s jednostranně připo-jenou trámovou stropní konstrukcí, která svojí tuhostí brání většímu zkroucení průvlaku (trám lze v podstatě řešit s volnou krajní podporou).

5.1 Chování a porušení kroucených prvků

U kroucených prvků musíme rozeznávat dvě základní situace – jednak stádium do vzniku trhlin a jednak stádium po vzniku trhlin.

a) b)

Obr. 5.2 Trajektorie napětí a trhliny při kroucení

Kroucené železobetonové prvky do vzniku trhlin se chovají téměř jako prvky homogenní podle zásad teorie pružnosti. Průběh trajektorií napjatosti u prvku


- 58 (66) -

obdélníkového průřezu je zřejmý z obr. 5.2a (plná čára znázorňuje tahovou a čárkovaná tlakovou trajektorii hlavního napětí; obě přibližně pod úhlem 45o se střednicí prvku). Výpočet smykového napětí je rozdílný podle typu průřezu (plný, tenkostěnný uzavřený, tenkostěnný otevřený) – pro obdélníkový průřez např. pro střed jeho strany je τt = TE / Wt, kde Wt je modul průřezu v kroucení.

Při dalším zvýšení kroutícího namáhání začnou postupně vznikat trhliny , nejdříve v místech největšího napětí τt,max a později i v dalších částech přibližně ve sklonu 45o vůči střednici prvku a přibližně kolmo k tahovým trajektoriím – viz obr. 5.2b. U prvků nevyztužených na kroucení je tato situace v podstatě mezí jeho porušení. U prvků vyztužených na kroucení (příčnou a podélnou výztuží) však tyto tahy zachytí výztuž. Prvek se v tomto případě poruší podob-ně jako u jiných namáhání – dosažením meze kluzu ve výztuži na kroucení s následným nadměrným zkroucením prvku nebo rozdrcením tlačeného betonu v segmentech vznikajících mezi trhlinami.

a) převládá ohybový moment b) převládá posouvající síla

Obr. 5.3 Možné způsoby porušení

Účinky kroucení většinou nejsou osamocené, kombinují se s působením po-souvajících sil a popř. i ohybových momentů. Tomu také odpovídá porušení železobetonového prvku – např. u obdélníkového průřezu je v nerovinné ploše s jednou tlačenou stranou šikmou ke střednici prvku. Pokud v kombinaci pře-vládá vliv ohybového momentu nad posouvající silou, je tlačená oblast betonu u horního okraje – viz obr. 5.3a a pokud je tomu naopak (častější případ) je tlačená oblast betonu u bočního okraje průřezu – viz obr. 5.3b.

S ohledem na průběh trajektorií a způsob namáhání můžeme i po vzniku trhlin uvažovat soustavu prutů, které reprezentují příčnou a podélnou výztuž na krou-cení a tlačené segmenty (diagonály) mezi trhlinami – zde se bude jednat o ná-sobnou prostorovou příhradovou soustavu.

Kontrolní otázky

Charakterizujte typy prvků z hlediska možného vlivu kroucení.

Vysvětlete jak se chovají kroucené prvky do meze vzniku trhlin od kroucení.

Vysvětlete jak se chovají kroucené prvky po překročení meze vzniku trhlin od kroucení.

Charakterizujte možné způsoby porušení pro interakci kroutících a ohybo-vých momentů a posouvající síly.


- 59 (66) -

5.2 Stanovení únosnosti kroucených prvků

Při stanovování únosnosti v kroucení se budeme zabývat jednak prvky bez trh-lin a jednak prvky po vzniku trhlin. Obdobně jako u ohybu a smyku od posou-vající síly budeme většinou pracovat s návrhovými hodnotami veličin. Opět pro zjednodušení zápisu budou v dalším textu, pokud to nebude na závadu, vynechávány dolní indexy d. Významné z hlediska únosnosti budou i kombi-nace především s účinky posouvající síly.

Pro vlastní stanovování únosnosti v kroucení se používají dva základní výpo-četní modely:

• nosník s analogickým tenkostěnným uzavřeným průřezem – viz obr. 5.4a, kde je znázorněn i odpovídající smykový tok od kroutícího momentu,

• násobná prostorová příhradová soustava – viz obr. 5.4b, kde jsou znázorně-ny i příslušné síly v jednotlivých částech příčné výztuže, v podélné výztuži na kroucení a v tlačených diagonálách.

trhlina

smykový tok

ΘΘ

třmínekpodélná výztuž

a) tenkostěnný prvek b) násobná příhradovina

tlačená diagonála

TE

Obr. 5.4 Používané modely a vnitřní síly

Model tenkostěnného uzavřeného průřezu se používá nejen pro průřezy duté, ale i pro plné průřezy. Složené průřezy, např. tvaru T, lze rozdělit na řadu díl-čích uzavřených tenkostěnných průřezů (pokud to má význam) s tím, že celko-vá únosnost v kroucení se uvažuje jako součet únosností jednotlivých částí průřezu. Každý dílčí průřez lze navrhnout samostatně na dílčí kroutící moment, jehož velikost je úměrná tuhosti v kroucení dílčího průřezu vůči celkové tuhos-ti v kroucení celého průřezu bez trhlin.

5.2.1 Únosnost kroucených prvků bez trhlin

Při stanovování únosnosti prvků bez trhlin se vychází z modelu prvku ten-kostěnného uzavřeného průřezu. Obecně lze podle teorie pružnosti pro tento průřez o konstantní tloušťce stěny t (viz obr. 5.5a) při smykovém napětí τt, vzdálenosti r od středu kroucení, kdy plošný element t.du přičiňuje ke kroutí-


- 60 (66) -

címu momentu částí dT=τt.t.r.du, stanovit integrací po obvodě střednice uk vý-sledný kroutící moment (Bredtův vzorec):

ktu

tE AtdurtT .2..... ττ == ∫ , (5.1)

kde Ak je plocha průřezu omezená jeho střednicí.

Pro analogický tenkostěnný uzavřený průřez je nejdříve nutno stanovit účinnou tloušťku jeho stěny, kterou lze uvažovat ve velikosti tef=A/u, kde A je celková plocha neoslabeného průřezu a u jeho vnější obvod s tím, že tato tloušťka je omezena podmínkou 2d≤tef≤tw , kde d je vzdálenost mezi osou podélné výztuže a okrajem průřezu a tw skutečná tloušťka stěny u případného dutého průřezu. Na obr. 5.5b je tento průřez zobrazen jako obecný n-úhelník s označením pro i-tou stěnu o odpovídající délce střednice zi.

Pro běžně používaný obdélníkový průřez je příklad analogického tenkostěnné-ho uzavřeného průřezu uveden včetně výztuže na kroucení, o jejímž návrhu bude pojednáno v následující kapitole, na obr. 5.6.

TE

tefi

Asl

i

b

dd

h

i

i

s li

sw ws

Osl

swO

Obr. 5.6 Příklad použití tenkostěnného průřezu pro obdélníkový průřez

Po stanovení parametrů analogického tenkostěnného uzavřeného průřezu mů-žeme ze vztahu (5.1) určit únosnost prvku v kroucení na mezi vzniku trhlin pokud za τt dosadíme fctd. Potom platí

di

u

uk

TE

VEi

tefi

efi/2t

z i

střednice

rdu

τt.t.du

b) označení a definicea) k výpočtu TE

t

Obr. 5.5 Model tenkostěnného průřezu


- 61 (66) -

TRc = 2 . Ak . tef . fctd . (5.2)

Většinou nebudeme prokazovat, že TE≤TRc, protože kroutící moment bude vět-šinou současně působit s posouvající silou VE. Pro tyto případy, pokud nebu-deme chtít dimenzovat smykovou výztuž, musí být splněna interakční podmín-ka

TE / TRc + VE / VRc ≤ 1,0 , (5.3)

kde VRc je mezní posouvající síla pro prvek bez smykové výztuže určená podle vztahu (4.9) s omezením podle podmínky (4.10). I v těchto případech je však nutná alespoň minimální výztuž.

Kontrolní otázky

Charakterizujte dva základní typy modelů pro výpočet únosnosti v kroucení.

Vysvětlete jak se vytváří model tenkostěnného průřezu a jak se odvodí tzv. Bredtův vzorec.

Stanovte únosnost v kroucení na mezi vzniku trhlin včetně interakční pod-mínky při působení kroutícího momentu s posouvající silou.

5.2.2 Únosnost kroucených prvků s trhlinami

Po překročení meze vzniku smykových trhlin od kroucení je potřeba s ohledem na způsob porušení navrhnout výztuž i na účinky kroucení. Většinou se bude jednat o přídavnou příčnou výztuž ve formě uzavřených třmínků a přídavnou podélnou výztuž – viz např. obr.5.6. Při významnějších velikostech namáhání kroutícím momentem, podobně jako u smyku od posouvající síly, můžeme na straně bezpečné ve vzniklé trhlině zanedbat přínos tlačeného betonu a přisoudit veškeré účinky od kroutícího momentu a posouvající síly výztuži. Smykem bude nejvíc namáhána ta stěna analogického tenkostěnného uzavřeného průře-zu, kde se sčítají účinky kroutícího momentu a posouvající síly.

Při odvozování vztahů pro výpočet únosnosti v čistém kroucení či návrhu pří-davné výztuže na kroucení lze vycházel z analogie již odvozených vztahů pro únosnost při působení posouvající síly se svislou výztuží (4.18), (4.21) a (4.15). Za posouvající sílu VE přitom dosadíme při uvažování zi≈z její velikost v i-té stěně určenou z Bredtova vzorce (5.1) z měrného smykového toku vEi=τt.tefi = TE/(2.Ak) na délce stěny zi ve tvaru

VEi = TE. zi / (2.Ak) . (5.4)

Plochu přídavných svislých třmínků na kroucení dle obr. 5.6 lze také určit z rovnosti této svislé posouvajících síly přepočtené na průmět šikmé trhliny v této svislé stěně do směru podélné osy prvku (na délku pole náhradní prosto-rové příhradové soustavy) z.cot θ opět při zi≈z ve tvaru vEi = VEi / (z. cot θ) = TE / (2.Ak . cot θ.) s jejich měrnou únosností vRwi = Aswi . fywd /sw na jednotku délky tohoto průmětu. Lze tedy napsat

θcot..2

.

k

E

w

ywdswi

A

T

s

fA = . (5.5)

Obdobně lze postupovat při návrhu přídavné podélné výztuže na kroucení (její parametry viz obr. 5.6). Zde se však vychází z podmínky rovnosti její měrné únosnosti vRl na jednotku délky střednice uk ve tvaru vRl = Σ(Asl.fyd) / uk


- 62 (66) -

s odpovídající vnější měrnou vodorovnou posouvající silou TE.cot θ/(2.Ak). Potřebná přídavná podélná výztuž se pak dá určit ze vztahu

k

E

k

ydsl

A

T

u

fA

.2cot.).( θ=∑ . (5.6)

Při konkrétním výpočtu podélné výztuže se však musí přihlédnout k interakci kroutícího momentu TE s ohybovým momentem ME a posouvající silou VE. Proto lze plochu podélné výztuže redukovat v tlačené oblasti betonu (v tlače-ných pásech příhradoviny), viz obr. 5.3, úměrně tlakové síle. V tažených pá-sech příhradoviny se má přidat k ostatní výztuži. V plné hodnotě se přídavná podélná výztuž navrhne u těch stěn, kde převažuje interakce kroutícího mo-mentu a posouvající síly. Potom lze vztah (5.6) upravit např. pro svislou stěnu obdélníkového průřezu podle obr. 5.6 na

k

E

i

ydsli

A

T

z

fA

.2cot.).( θ=∑ . (5.7)

Obdobně by se tento vztah mohl napsat pro jednotlivou výztuž o známé vzdá-lenosti sli. Podélná výztuž se má obecně rozdělit po celé délce příslušné stěny, ale u malých průřezů může být soustředěna do konců této délky, tj. do rohů průřezu. Je zřejmé, že tato přídavná výztuž musí být v podpoře náležitě zakot-vena.

Účinky smyku od kroucení a posouvajících sil lze sčítat za předpokladu stejné-ho sklonu θ tlačených diagonál příhradoviny, tj. sklonu trhliny (se stejným omezením velikosti θ jako u posouvajících sil). Pro čisté kroucení by se jeho velikost mohla vyjádřit ze vztahů (5.5), (5.6) popř. (5.7) pomocí měrných únos-ností takto

cot θ = (vRl / vRw)1/2 resp. cot θ = (vRli / vRwi)

1/2 . (5.8)

Pro tento známý sklon by se ze stejných vztahů mohla určit potřebná plocha výztuže na kroucení nebo výsledná únosnost v kroucení TR resp. TRi (bude roz-hodovat minimální hodnota ze všech stěn):

TR = 2 . Ak . (vRw . vRl)1/2 resp. TRi = 2 . Ak . (vRwi . vRli)

1/2 . (5.9)

O únosnosti v kroucení při kombinaci s posouvající silou může rozhodnout i únosnost tlačené diagonály. Při působení návrhových hodnot kroutícího mo-mentu TE a posouvající síly VE musí být splněna tato podmínka:

TE / TRmax + VE / VRmax ≤ 1,0 , (5.10)

kde je VRmax maximální návrhová posouvající síla na mezi únosnosti stanovená podle vztahu (4.15) popř. (4.14),

TRmax maximální návrhový kroutící moment na mezi únosnosti pro analogický uzavřený tenkostěnný průřez.

Velikost návrhového kroutícího momentu na mezi únosnosti získáme pro i-tou stěnu ze vztahu (5.4) při dosazení za VEi=VRmaxi ze vztahu (4.15) pro svislé tř-mínky při zi≈z, bw=tefi, ν1= ν, cot θ = cos θ /sin θ, sin2 θ=1/(1+cot2 θ):

TRmax = TRmaxi = 2. Ak . αcw . ν . fcd . tefi . sin θ . cos θ . (5.11)


- 63 (66) -

Evropský standard [3] neřeší otázku rozhodujících veličin a řezů v blízkosti podpor. Při analogii s posouvajícími silami se dá očekávat, že se bude postupo-vat podobně jako u nich.

Poznámka

Při působení tlakových sil v diagonálách může dojít k postupnému odlupování silnější krycí vrstvy betonu směrem od rohů do stěn – viz obr. 5.7.

a) b)

Obr.5.7 Odlupování krycí vrstvy betonu

Tento jev je způsoben výslednicí částí tlakových sil dvou navazujících soustav diagonál v rohu průřezu, která směřuje ven z průřezu (viz obr. 5.7a) a nemůže být zachycena výslednicí sil v rohu příčné výztuže (viz obr. 5.7b). Pokud chce-me zabránit, aby účinkům kroucení vzdorovalo jen jádro průřezu, musíme na-vrhnout další povrchovou výztuž.

Kontrolní otázky

Vysvětlete princip návrhu příčné výztuže na zachycení účinků od kroucení.

Vysvětlete princip návrhu podélné výztuže na zachycení účinků od kroucení.

Odvoďte velikost sklonu tlačené diagonály a únosnost v čistém kroucení pro výztuž.

Odvoďte únosnost tlačené diagonály v kroucení včetně interakce s posouvající silou.

5.3 Autotest



- 64 (66) -

Závěr

- 65 (66) -

6 Závěr

6.1 Shrnutí

V modulu CM 2 jsme se seznámily se základními principy dimenzování prvků betonových konstrukcí podle mezních stavů únosnosti. Jednalo se o první část, která zahrnovala ohýbané železobetonové prvky a zabývala se dimenzováním železobetonových prvků namáhaných ohybovým momentem, posouvající silou a kroutícím momentem. Naučili jsme se jednak obecné principy pro jednotlivé případy namáhání a jednak aplikace pro běžné i speciální typy průřezů a pro jednoduché typy prvků. Byly naznačeny i možná řešení pro vzájemnou interakci výše uvedených statických veličin.

6.2 Studijní prameny

6.2.1 Seznam použité literatury

[1] Procházka, J., Štěpánek, P., Krátký, J., Kohoutková, A., Vašková, J.: Navrhování betonových konstrukcí 1. Prvky z prostého a železového be-tonu. Dimenzování prvků s přihlédnutím k EN 1992-1-1. ČBS Servis Praha, 2005.

[2] Procházka, J.: Navrhování betonových konstrukcí podle EN 1992-1-1 (Eurokódu 2). Část 1 – Navrhování prvků železobetonových konstrukcí. Sbírka příkladů ke školení. ČBS Servis Praha, 2005.

[3] ČSN EN 1992-1-1: Eurocode 2. Design of Concrete Structures. Part 1.1 General Rules and Rules for Buildings. ČNI Praha, 2005 (v součas-né době se překládá).

[4] Kohoutková, A., Trtík, K., Vašková, J., Vodička, J.: Betonové kon-strukce 1. ČVUT Praha, 2005.

[5] MacGregor, J. G., Wight, J. G. : Reinforced Concrete: Mechanics and Design. Prentice Hall, New Jersey 2005.

[6] Nilson, A. H., Darwin, D., Dolan, Ch. W. : Design of Concrete Structu-res. McGraf-Hill, 2004.

[7] Mehlhorn, G., Fehling, E., Jahn, T., Kleinhenz, A. : Bemessung von Betonbauten im Hoch- und Industriebau. Ernst & Sohn, Berlin 2002.

[8] Beeby, A. W., Narayanan, R.S. : Designers´ Guide to EN 1992-1-1 and EN 1992-1-2. Eurocode 2: Design of Concrete Structures. General Rules and Rules for Buildings and Structural Fire Design. Thomas Tel-ford, London 2005.

[9] McCormac, J. C., Nelson, J. K.: Design of Reinforced Concrete. John Wiley and Sohn, 2004.

[10] Štěpánek, P. a kolektiv : Betonové konstrukce. Prvky betonových kon-strukcí, navrhování podle mezních stavů. VUT Brno, 1998.


- 66 (66) -

[11] Structural Concrete. Texbook on Behavior, Design and Performance. Updated knowledge of the CEB/FIP Model Code 1990. Volume 2: Basis of design. FIB, Lausanne 1999.

6.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury

[12] Procházka, J., Štěpánek, P., Krátký, J., Kohoutková, A., Vašková, J.: Navrhování betonových konstrukcí 1. Prvky z prostého a železového be-tonu. Dimenzování prvků s přihlédnutím k EN 1992-1-1. ČBS Servis Praha, 2005, str.101 až 160.

[13] Procházka, J.: Navrhování betonových konstrukcí podle EN 1992-1-1 (Eurokódu 2). Část 1 – Navrhování prvků železobetonových konstrukcí. Sbírka příkladů ke školení. ČBS Servis Praha, 2005, str. 17 až 40.

6.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny

Odkazy na další studijní zdroje jsou uvedeny ve výše uvedené literatuře, ne však v elektronické podobě.

6.3 Klí č

Klíč k autotestu není potřeba, protože na v textu uváděné kontrolní otázky si student odpoví sám na základě přečtené části tohoto modulu.

Documents

ING JOSEF PANÁČEK PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ...Vzhledem k tomu, že beton má výrazně menší schopnost přenášet tahová na-máhání, je nutno vkládat ohybovou a smykovou