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Ing. Raffaele Carli (email: [email protected])
Politecnico di Bari Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Corso di Analisi dei Sistemi Bari, 28 ottobre 2013
Lezione 3:Esempi di sistemi LTI tempo-discreti
Pag. 2 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Sistemi LTI discreti: Esempi di sistemi del I ordine
Piano di ammortamento
Esempi di sistemi del II ordine Andamento del PIL Samuelson
Sommario
Pag. 3 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Piano di ammortamento con rate costanti Richiami teorici
Al tempo k = 1 viene erogato un mutuo d’importo C la somma è restituita in rate di importo u(k), pagate a partire dal tempo k = 1 r è il tasso d’interesse costante con il quale viene calcolato l’interesse sul
debito residuo
Risoluzione analitica Bla bla bla
Esempio 1 – Sistema discreto I ordine
{𝑥 (𝑘+1 )= (1+𝑟 )𝑥 (𝑘)−𝑢 (𝑘)𝑦 (𝑘 )=𝑥 (𝑘)
Variabile di stato:x(k) : debito residuo prima del versamento kCondizione iniziale:x(1) = C
Pag. 4 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 1 – Risoluzione I
Piano di ammortamento
Matlab CST
Pag. 5 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 10
Esempio 1 – Risultati
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plitu
de
Pag. 6 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 5
Esempio 1 – Risultati
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100Linear Simulation Results
Time (seconds)
Am
plitu
de
Pag. 7 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso C = 100, r = 5%, u(k) = 1.5 * k
Esempio 1 – Risultati
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-150
-100
-50
0
50
100
150
time
ampl
itude
simulation results
Pag. 8 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Esempio 1 – Risoluzione II
Piano di ammortamento
Matlab – metodo ad iterazioni
Pag. 9 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Piano di ammortamento
Blocco State-Space con Simulink
Esempio 1 – Risoluzione III
Pag. 10 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Piano di ammortamento
Blocco State-Space con Simulink
Esempio 1 – Risoluzione III
Pag. 11 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Piano di ammortamento
Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink
Esempio – Risoluzione IV
Pag. 12 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Modello economico di Samuelson (modello moltiplicatore-acceleratore) Richiami teorici
y(k) = c(k) + i(k) + u(k) y : prodotto nazionale c : consumi delle famiglie; i : investimenti delle imprese; u : spesa pubblica
c(k) = y(k-1) : propensione al consumo (dove 0<<1); 1/(1- ) : moltiplicatore
i(k) = ( c(k)-c(k-1) )𝛽 𝛽: acceleratore
𝑦( )= ( +1)∙ ( −1)− ∙ ( )− ( )𝑘 𝛼 𝛽 𝑦 𝑘 𝛼𝛽 𝑥 𝑘 𝑢 𝑘
Risoluzione analitica Bla bla bla
Esempio 2 – Sistema discreto II ordine
{𝑥1 (𝑘 )=𝑦 (𝑘−1 )𝑥2 (𝑘 )=𝑦 (𝑘−2 ){ 𝑥1 (𝑘+1 )=𝑥2 (𝑘 )
𝑥2 (𝑘+1 )=−𝑏 ∙𝑥1 (𝑘 )+𝑎 ∙𝑥2 (𝑘 )+𝑢 (𝑘)𝑦 (𝑘 )=𝑥 (𝑘) {𝑎=𝛼 (𝛽+1 )
𝑏=𝛼𝛽
Pag. 13 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Previsione Prodotto interno lordo Samuelson
Blocco State-Space con Simulink
Esempio 2 – Risoluzione I
Pag. 14 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Previsione Prodotto interno lordo Samuelson
Blocco State-Space con Simulink
Esempio 2 – Risoluzione I
Pag. 15 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso < 1/ (contrazione)𝛽 = 0.5 ; = 1.5 ; y0 = [20 90] 𝛽
Esempio 2 – Risultati
Pag. 16 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso = 1/ (fluttuazioni)𝛽 = 0.5 ; = 2.0 ; y0 = [20 90] 𝛽
Esempio 2 – Risultati
Pag. 17 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Caso > 1/ (crescita)𝛽 = 0.5 ; = 2.5 ; y0 = [20 90] 𝛽
Esempio 2 – Risultati
Pag. 18 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Previsione Prodotto interno lordo Samuelson
Risoluzione di equaz. alle diff. con Simulink
Esempio 2 – Risoluzione II
Pag. 19 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Continua…
Pag. 20 – Ing. R. CarliLaboratorio di Analisi dei Sistemi - Politecnico di Bari, A.A. 2013-14
Grazie per l’attenzione!
Laboratorio di Analisi dei sistemi
Ing. Raffaele CarliDipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione
email: [email protected]