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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
DOCENTE: Leonardo BERTINI
Dip. di Ingegneria Civile e Industriale, 1° piano
Tel. : 050-2218021
E.mail : [email protected]
CORSO DIPROGETTAZIONE ASSISTITA DA COMPUTER
CLM ING. MECCANICA
PARTE IREV.: 05 del 14 ottobre 2014
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
CONTENUTI DEL CORSO
LEZIONI• Basi teoriche del MEF• Applicazione del MEF a problemi strutturali in campo elastico lineare• Analisi critica dei risultati di un modello ad EF• Criteri di modellazione di strutture con il MEF
ESERCITAZIONI• Uso del programma ANSYS• Esempi significativi di applicazione del MEF a problemi strutturali
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali
Elasticità Elettromagnetismo
TermodinamicaFluidodinamica
Etc…
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E.qni di Navier
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)
Sviluppo di tecniche di soluzione approssimate
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Metodi di soluzione approssimata:• Differenze finite• Elementi Finiti• Elementi di contorno• Metodi “mesh free”• …
Il Metodo degli Elementi Finiti (MEF) è oggi di gran lunga il più diffuso, soprattutto a causa della sua estrema versatilità
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):
Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):
Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):
Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w
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GZ
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Problema sostitutivo: determinare delle funzioni sostitutive che approssimino u, v e w con un errore accettabile ai fini pratici e siano
relativamente facili da calcolare
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
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u(x)
Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
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u(x)
Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)
F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
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u(x)
u’(x)
Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)
F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
x
u(x)
u’(x)
Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)
F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
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u(x)
u’(x)
Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)
F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
x
u(x)
u’(x)
Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)
F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri
Oss.ni: •necessario assicurare la convergenza• soluzione affetta da errori
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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(a)
Discretizzazione
Struttura
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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(a)
Discretizzazione
Struttura
(b)
Modello (“mesh”)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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(a)elemento
nodo
Discretizzazione
Struttura
(b)
Modello (“mesh”)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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elemento
nodo
Esempi di elementi piani con diverse disposizioni dei nodi
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1 2 3 54 6
7 8 9 1110 12
13 14 15 1716 18
i = n° di elemento
1 2 3 54 6 7
8 9 10 1211 13 14
15 16 17 1918 20 21
22 23 24 2625 27 28
i = n° di nodo
Nodi ed elementi identificati da un numero univoco
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x
y
7
Gradi di libertà (g.d.l.)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x
y
7
7’
Gradi di libertà (g.d.l.)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x
y
7
7’
(g.d.l.)
Gradi di libertà (g.d.l.)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x
y
7
7’
(g.d.l.)
N° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:• tipo di elemento• natura problema
Gradi di libertà (g.d.l.)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x
y
7
7’
(g.d.l.)
N° totale g.d.l. = N° g.d.l./nodo * N° nodi
N° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:• tipo di elemento• natura problema
Gradi di libertà (g.d.l.)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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e
x
y
Studio del comportamento meccanico del singolo elemento
Elemento piano per problemi 2D
Cd
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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j
k
e
x
y
vxj
vyj
Studio del comportamento meccanico del singolo elemento
Elemento piano per problemi 2D
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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j
k
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x
y
vxj
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Studio del comportamento meccanico del singolo elemento
Elemento piano per problemi 2D
yk
xk
yj
xj
yi
xi
e
e
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e
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e
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vvvvvv
uuuuuu
U
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3
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1
(6 x 1)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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i
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k
e
x
y
vxj
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Studio del comportamento meccanico del singolo elemento
Elemento piano per problemi 2D
yk
xk
yj
xj
yi
xi
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e
e
e
e
e
e
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1
qyi
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yk
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e
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P
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3
2
1
{Ue} {Pe}?
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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166616 xxx
UKP eee
Studio condotto in campo lineare:
Matrice di rigidezza dell’elemento
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Significato fisico dei termini della matrice di rigidezza, kij
i
j
ke
xy
“Cedimento” vincolare:
000100
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
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1
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
pppppp
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23262322212 0...100 kkkkkpe
....; 434333 kpkp ee
1
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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i
j
ke
xy
Il termine km,n di [Ke] è pari alla reazione vincolare presente secondo ilgrado di libertà “m” (m=1,..6), se si applica un sistema di spostamentinodali in cui tutte le componenti sono nulle tranne la “n-esima” cheassume valore pari ad 1
k25k63
n
en
enm
em ukp ,
“peso” di un nel contribuire a pm
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x
FF=k x
i
j
ke
xy
vxj
qyi
qxi
vyj UKP eee
Elemento = molla “multidimensionale
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Teorema di reciprocità
pm
i
j
k
e
ul= 1j
k
e
pl
ium=1
A
B
A
B
pme = pl
e
kml = klm
[Ke] simmetrica
Cd
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Valutazione di [Ke]
In generale, questa procedura non è praticabile per un elemento di forma generica
i
j
ke
x
y
1si ottengono immediatamente le
kem,n
In casi semplici è possibile calcolarele reazioni vincolari in presenza di“cedimenti vincolari” dei nodi (Es.elementi trave)
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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i
j
ke
x
y vx
vy
P(x,y)
Spostamenti nei punti interni all’elemento
16621212
),(),(),(
),(
xxxx
UyxNyxvyxv
yxv ee
y
x
F.ni di forma (“shape functions”)
Pb: - che forma matematica dare alle Ne(x,y) ?- come determinare le Ne(x,y) ?
6
1,
ll
erlr uyxNv
Ogni f.ne di forma rappresenta il “peso” (dipendente dalla posizione di P) che ciascuna componente di spostamento nodale ha nel determinare lo spostamento di P
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
i
j
k
e
x
y
i
j
ke
vx
vy
P(x,y)
vxj
yk
xk
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xj
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2
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3130
),(1 lselse
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3212111
6
111
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uuyxNuyxN
uyxNyxvyxv
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lljj
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
i
j
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....),(),(),(),( 212111
6
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uyxNuyxNuyxNyxv jje
jje
lljj
eljj
yk
xk
yj
xj
yi
xi
e
vvvvvv
uuuuuu
U
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5
4
3
2
1
0,0,0,0,0,1,
1613
1512
1411
iie
iie
iie
iie
iie
iie
yxNyxNyxNyxNyxNyxN
vx
vy P(x,y)
0,1,0,0,0,0,
1613
1512
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jje
jje
jje
jje
jje
jje
yxNyxNyxNyxNyxNyxN
0,0,1,0,0,0,
1613
1512
1411
kke
kke
kke
kke
kke
kke
yxNyxNyxNyxNyxNyxN
vx
vy
P(x,y)
vx
vy
P(x,y)
0),(0),(1),(
11
11
11
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
0),(1),(0),(
13
13
13
kk
jj
ii
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1),(0),(0),(
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15
15
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
0),(0),(0),(
12
12
12
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
0),(0),(0),(
14
14
14
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
0),(0),(0),(
16
16
16
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
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e i
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Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
yCxBAyxN lmlmlmelm ),(
0),(0),(1),(
11
11
11
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
i
j
k
x
y
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1
001
111111
111111
111111
kk
jj
ii
yCxBAyCxBAyCxBA
2
2
2
11
11
11
jk
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jkkj
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yyB
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jj
ii
yxyxyx
111
det2
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
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j
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x
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N11
1
i
j
k
x
y
N13
1
i
j
k
x
y
N15
1
Cd
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Mec
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
i
k
j
N11
N13
N15
P
Interpretazione geometrica
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Mec
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
yCxBAyxN lmlmlmelm ),(
0),(0),(0),(
12
12
12
kk
jj
ii
yxNyxNyxN
i
j
k
x
y
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121212
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kk
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000
12
12
12
CBA
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
16621212
),(),(),(
),(
xxxx
UyxNyxvyxv
yxv ee
y
x
152613241122
151311
0000,0,0,
NNNNNNyxNyxNyxN
Matrice delle funzioni di forma
Cd
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Calcolo delle deformazioni
Spostamenti Deformazionicongruenza
xv
yvyvxv
yxxy
yy
xx
yxvL
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xy
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x
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xy
y
x
,,,
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0
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
2x13x23x1
),(),( yxvLyx 166212
),(),(xxx
eUyxNyxv
6x13x63x1
ee UBUNL
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Mec
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Contenuto matrice [B]
262422
151311
000000
0
0
NNNNNN
xy
y
xNLB
xN
yN
xN
yN
xN
yN
yN
yN
yN
xN
xN
xN
B
261524132211
262422
151311
000
000
Cd
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
yCxBAN 11111111
2
2
1111
1111
jk
kj
xxC
yN
yyB
xN
261524132211
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151311
000000
BCBCBCCCC
BBBB
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Relazioni costitutive
E
EE
EE
xyxy
xyy
yxx
12
Esempio 1: stato piano di tensione, materiale isotropo
D
xy
y
x
xy
y
x E
2/1000101
1 2
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Relazioni costitutive
2/21000101
211
ED
0
12
EEE
E
EEE
EEE
yxzz
xyxy
zxyy
zyxx
Esempio 2: stato piano di deformazione, materiale isotropo
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
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Valutazione di [Ke]
i
j
ke
xy
{Ue}
Principio dei Lavori Virtuali
Lest = Lint
eTeest PUL
Spost. virtuali Carichi effettivi
Carichi nodali veri * spost.nodali virtuali
Tensioni vere * deformazioni virtuali
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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dVLV
T int TTeT
e
BU
UB
dVBULV
TTe int
dVUBDBULV
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dVDBULV
TTe int
D
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dVBUV
TTe
e
V
TTe UdVBDBU
Cd
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Mec
can
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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e
V
TTe UdVBDBUL int eTeest PUL
e
V
TTeeTe UdVBDBUPU
e
V
Te UdVBDBP
eee UKP
Cd
LM
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n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Applicazionee dVBDBK
V
Te
261524132211
262422
151311
000000
BCBCBCCCC
BBBB
2/100
0101
1 2
ED
VBDBdVBDBK T
V
Te
Cd
LM
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tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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VBDBK Te
Osservazione: unità di misura
N m-2m-1 m-1
m3
N m-1
mNm
mmN
m3
2
11
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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dVBDBKV
Te Calcolo della matrice [Ke]
Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)
Metodi classici di integrazione:
x0 x1
f(x)
1) Si scelgono “a priori” n punti, xi
2) Si calcolano i valori di f(xi)
3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti
4) Si integra il polinomio in forma chiusa
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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dVBDBKV
Te Calcolo della matrice [Ke]
Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)
Metodi classici di integrazione:
x0 x1
f(x)
1) Si scelgono “a priori” n punti, xi
2) Si calcolano i valori di f(xi)
3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti
4) Si integra il polinomio in forma chiusa
n = 2
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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dVBDBKV
Te Calcolo della matrice [Ke]
Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)
Metodi classici di integrazione:
x0 x1
f(x)
1) Si scelgono “a priori” n punti, xi
2) Si calcolano i valori di f(xi)
3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti
4) Si integra il polinomio in forma chiusa
n = 3
Cd
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tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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dVBDBKV
Te Calcolo della matrice [Ke]
Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)
Metodi classici di integrazione:
x0 x1
f(x)
1) Si scelgono “a priori” n punti, xi
2) Si calcolano i valori di f(xi)
3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti
4) Si integra il polinomio in forma chiusa
n = 4
Cd
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tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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F
I
x
x
n
iii xfWdxxf
1
Integrazione secondo Gauss: esempio 1D
Integrale da calcolare
Peso
Valore della f.ne nel punto xi
1) Si fissa n
2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato
n=1
x0 x1
f(x)
I punti xi sono detti “punti di Gauss”
Cd
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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F
I
x
x
n
iii xfWdxxf
1
Integrazione secondo Gauss: esempio 1D
Integrale da calcolare
Peso
Valore della f.ne nel punto xi
1) Si fissa n
2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato
x0 x1
f(x)
I punti xi sono detti “punti di Gauss”
n=2
31
31
Cd
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Vantaggi dell’integrazione secondo Gauss:
• fissato n, consente il calcolo esatto dell’integrale di una f.ne di grado 2n-1 anziché n-1
• dato il grado n della f.ne che si vuole poter integrare esattamente, richiede il calcolo della f.ne stessa in (n+1)/2 punti, anziché in n+1 punti
Le posizioni dei punti di Gauss per integrali in 1, 2 e 3 dimensioni sono note per molti domini di integrazione.
Cd
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ANALISI INTERA STRUTTURA
Congruenza [B]
Costitutive [D]
Equilibrio Garantito per il singolo elemento (non ancora per la struttura)
Cd
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eria
Mec
can
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x
y
GDLN nyn
x
y
x
u
uuu
v
vvv
U3
2
1
2
1
1
GDLN nyn
x
y
x
f
fff
f
fff
F3
2
1
2
1
1
VETTORI DEGLI SPOSTAMENTIE DEI CARICHI ESTERNI PER L’INTERA STRUTTURA
Cd
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27 (i)
18 (j)
31 (k)
33 (l)
vy27
fx18
GDLn
y
u
vu
uu
U 2754
2
1
GDLn
x
f
ff
ff
F 1835
2
1
VETTORI DEGLI SPOSTAMENTIE DEI CARICHI APPLICATI PER L’INTERA STRUTTURA
Cd
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n In
gegn
eria
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can
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18881818
...
...
...
...
...
..................
..................
..................
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
4,33,31,3
6,25,24,23,22,21,2
6,15,14,13,12,11,1
3
xxxx
ukkk
kkkkkkkkkkkk
pqUKP
e
eee
eeeeee
eeeeee
exjeee
e3,2k
27 (i)
18 (j)
31 (k)
33 (l)
vyi
qxj
11..................
)(.........
..............................
..............................
..............................
..............................
...............000......
...............0)(0......
...............00......
..............................
..............................
..............................
...
...
...
...0
)(0.........
)064()08(
254
3*
35**
xnxnnxn
uupp
UKP
gdlgdlgdlgdl
e
eeee
cuidicuidi
e3,2
*e35,54 k
0k
MATRICE DI RIGIDEZZA “ESPANSA”PER IL SINGOLO ELEMENTO
Cd
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e i
n In
gegn
eria
Mec
can
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pje4*
pje1*
pje3*
pje2*
e1
e4e3
e2
x
y
En
e
ejj pf
1
*
01
*
En
e
ejj pf
Carico esterno
Carico applicato nel nodo all’elemento “e”fj
Cd
LM
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e i
n In
gegn
eria
Mec
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En
e
ejj pf
1
*
UKP ee **
E gdln
e
n
ii
eji uk
1 1
*
i
n
i
n
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gdl E
1 1
*
......... **2*1i
njijiji ukkk E
Cd
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Mec
can
ica
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i
n
i
n
e
ejij ukf
gdl E
1 1
*
UKF
Matrice di rigidezza della struttura
nGDLx 1nGDLx nGDL
nGDLx 1
ji
n
e
eji kk
E
1
*
i
n
iijuk
gdl
1
Cd
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gegn
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Mec
can
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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UKF
SOLUZIONE
FKU 1
c.n.s. : 0det K
Cd
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n In
gegn
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Mec
can
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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0det K Struttura non labile
Cd
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tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
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VINCOLIVincolare = assegnare “a priori” il valore di una delle componenti di spostamento (g.d.l.)
GDLGDLGDLGDLGDLGDL
GDL
GDL
GDL
GDL n
m
nnmnnn
mnmmmm
nm
nm
n
m
u
u
uu
kkkk
kkkk
kkkkkkkk
f
f
ff
2
1
21
,21
222221
111211
2
1
nGDL •1 nGDL •nGDL nGDL •1
um=u*m
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
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nGDL •1 nGDL •(nGDL-1) (nGDL-1) •1
GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL
GDL
GDL
GDL
GDLGDL n
m
m
nnmnmnnn
mnmmmmmm
nmm
nmm
mn
mm
m
m
m
n
m
u
uu
uu
kkkkk
kkkkk
kkkkkkkkkk
k
k
kk
u
f
f
ff
1
1
2
1
1121
1,1,21
212122221
111111211
,
2
1
*
2
1
um=u*m
fm non assegnabile
Cd
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n In
gegn
eria
Mec
can
ica
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(nGDL-1) •1 (nGDL-1) •(nGDL-1) (nGDL-1) •1
GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL
GDL
GDL
GDL
GDL
GDLGDL n
m
m
nnmnmnnn
nmmmmmmm
nmmmmmmm
nmm
nmm
mn
mm
mm
m
m
m
n
m
m
u
uu
uu
kkkkk
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkkk
k
kk
kk
u
f
ff
ff
1
1
2
1
1121
,11,11,12,11,1
,11,11,11,11,1
212122221
111111211
,1
.1
2
1
1
1
2
1
Introduzione vincolo = riduzione di 1 del numero di incognite ed equazioni
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
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XXXXXXXXXXMMIS
XXXXXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXXXXXX
K
.0000000000000000000000000000000000000000
La matrice [K]:• è simmetrica• ha una struttura “a banda” attorno alla diagonale principale
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
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Esistono molti metodi di soluzione del sistema. Uno dei più comuni ed efficienti è il metodo di eliminazione diretta di Gauss.
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXX
0000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXX
0000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
PASSO 1
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXX
XXXXXXXXXXX
0000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
PASSO 2
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXXXXXX
0000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
PASSO 3
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXXXXXX
0000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
PASSO 4
XXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXXXXXXXX
000000000000000000000
00000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
FINALE
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
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Mec
can
ica
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXX
0000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Larghezza di banda (“bandwidth”)
GDLn 2banda)largh.(operazioniN
Cd
LM
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tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
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Esistono due modi principali di costruire la matrice [K]:• seguendo l’ordine progressivo dei nodi;• seguendo l’ordine progressivo degli elementi
Larghezza di banda Modo di costruire [K]dipende dal
Cd
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n In
gegn
eria
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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1 432
5 876
9 121110
XXX
XXXX
XXXXXXXX
XXXXXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXXXXX
000
000
0000000000000000000000000000000121110987654321
Largh. banda =(nnE+1)nGDL,n
Max. diff. n° d’ordine per nodi attaccati allo stesso elemento
N° g.d.l. per nodo
Largh. Banda = 12
1 1074
2 1185
3 1296
Largh. Banda = 10
ORDINE NODI
Cd
LM
agis
tral
e i
n In
gegn
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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1 432
5 876
9 121110
XXX
XXXX
XXXXX
XXXXXXXXXX
XXXXXXXXX
XXXXXXXXX
000
000000
00000000000000000000000000000121110984736521
Max. diff. n° d’ordine per elementi attaccati allo stesso nodo
N° nodi per elemento/2
Largh. Banda = 16
ORDINE ELEMENTI
4 5 6
2 31
Largh. banda ~(nEn)nnod,enGDL,n
1 1074
2 1185
3 1296
Largh. Banda = 12
2 4 6
3 51
Cd
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e i
n In
gegn
eria
Mec
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Condizioni di convergenza sulle funz.ni di forma
Condizione 1: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione nulla in tutti i punti dell’elemento quando il campodi spostamenti nodali corrisponde ad un moto rigido.
i
j
ke
xy
Cd
LM
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n In
gegn
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Mec
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261524132211
262422
151311
000000
BCBCBCCCC
BBBB
eUB
xxxx uBuBuB 151311
y
x
y
x
y
x
e
uuuuuu
U
2
2
2
15
13
11
ji
ik
kj
yyB
yyB
yyB
0222
xji
xik
xkj
x uyy
uyyuyy
Verifica per elemento triangolare
Cd
LM
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tral
e i
n In
gegn
eria
Mec
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Condizione 2: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione costante in tutti i punti dell’elemento quando ilcampo di spostamenti nodali è compatibile con tale condizione.
i
j
ke
xy
jx
ij
ikkx u
xxxxu
Cd
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gegn
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Mec
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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x xvx
x
x
vx
dx
vx
Condizione 3: la f.ne di spostamento deve dare luogo adeformazioni limitate all’interfaccia tra elementi diversi.
Cd
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n In
gegn
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Mec
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Condizione 3: la f.ne di spostamento deve dare luogo adeformazioni limitate all’interfaccia tra elementi diversi.
x xvx
x
x
vx
finitovalore
Cd
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n In
gegn
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Condizione 3: la f.ne di spostamento deve dare luogo adeformazioni limitate all’interfaccia tra elementi diversi.
x xvx
x
In generale:Se le implicano la derivata n-sima della f.ne dispostamento, quest’ultima deve essere continuaall’interfaccia con Classe di continuità Cn-1
Cd
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e i
n In
gegn
eria
Mec
can
ica
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Oss.ne: la funzione di spostamento scelta garantisce talecontinuità in quanto lo spostamento di un punto appartenente adun lato non dipende dagli spostamenti del nodo opposto
i
j
k
x
y
N11
1
i
j
k
x
y
N13
1
i
j
k
x
y
N15
1
Cd
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e i
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gegn
eria
Mec
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Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sul singolo elemento
i
j
k
x
y
vx
vix
vjx
vkx
Cd
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e i
n In
gegn
eria
Mec
can
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Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sull’intero modello
u
x
y
Cd
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gegn
eria
Mec
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u
x
EsattoEF
Tensioni discontinue nei nodi
Andamento effettivo delle tensioni
Spostamenticontinui nei nodi Esatto
EF
x
Calcolo di valori mediati nei nodi (media aritmetica o altre tecniche)
Interpolazione dei valori mediati nodali nelle zone interne (Es. tramite le N)
Cd
LM
agis
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Dimensioni ottimali degli elementi
EsattoEF
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Dimensioni elementinon ottimali
Dimensioni elementiottimali
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014 Modello Tensioni y non mediate Tensioni y mediate
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
In casi in cui le tensioni sono intrinsecamente discontinue, l’operazione di media nei nodi può diminuire la precisione.Esempio 1 : Lastra in due materiali diversi, soggetta ad allungamento uniforme
E=105 MPa
E=2.1 105 MPa
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
E=105 MPa
E=2.1 105 MPa
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Mediate
Non mediate
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Esempio 2: lastra incastrata agli estremi e caricata al centro
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Mediata
Non mediata
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Elementi di ordine superiore
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Tensioni discontinue nei nodi
Elemento con F.ne Forma quadratica
Spostamenticontinui nei nodi Esatto
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
Carichi non concentratii
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Carichi distribuiti
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Lavoro forze di volume
Lavoro carichi distribuiti
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Reazioni vincolari conseguenti all’applicazione all’elemento delle forze distribuite e di volume = - Carichi nodali staticamente equivalenti alle forze distribuite o di volume
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
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Esempio: carico uniformemente distribuito sul lato di un elemento triangolare
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Carichi distribuiti
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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I
© Università di Pisa 2014
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