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INGEGNERIA INFORMATICA
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
29/06/2017
Prof. Marcello Farina
SOLUZIONI
ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni:
A. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad un generico punto di equilibrio .
B. Si calcolino le condizioni di equilibrio corrispondenti all’ingresso . Determinare le
proprietà di stabilità dei movimenti di equilibrio trovati.
C. Si consideri la seguente legge di controllo proporzionale:
Si determini l’intervallo di valori che il parametro K deve assumere affinchè l’equilibrio
sia asintoticamente stabile.
SOLUZIONE
A. Si definiscono le variabili , , e . Il sistema
linearizzato nell’intorno di un punto equilibrio generico è:
B. Le soluzioni cercate si trovano ponendo u(t)=0 e . Esistono due movimenti di
equilibrio possibili:
I.
II. .
La matrice del sistema linearizzato ottenuto al punto B è
da cui si calcola
I.
, che presenta autovalori pari a 1 e - . L’equilibrio corrispondente
risulta essere instabile.
II. )=
, che presenta autovalori pari a -1 e - . L’equilibrio corrispondente
risulta essere asintoticamente stabile.
C. Ponendo , il sistema dinamico complessivo diventa
Linearizzando questo sistema (autonomo, dato che ora non presenta variabili esogene “libere”)
intorno a un generico punto di equilibrio si ottiene una matrice
Si noti che tale sistema presenta, come possibile equilibrio, il punto , per cui la matrice
del sistema linearizzato intorno a risulta
il cui polinomio caratteristico è . Condizione necessaria e sufficiente per
l’asintotica stabilità dell’equilibrio è che , cioè che .
ESERCIZIO 2 Si consideri il sistema lineare
A. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema e si verifichi che corrisponde alla seguente:
Si risponda alle seguenti domande relative alla funzione di trasferimento, motivando le risposte
brevemente ma in modo esaustivo:
a. E’ strettamente propria?
b. Qual è il guadagno ?
c. Qual è la costante di trasferimento ?
d. Si determinino i poli. Qual è il polo dominante?
e. Il sistema è asintoticamente stabile?
f. Si determino gli zeri.
g. E’ a fase minima?
B. Tra i diagrammi seguenti, motivando adeguatamente la risposta, si indichi quale corrisponde con
l’andamento della risposta forzata dell’uscita ad uno scalino di ampiezza unitaria u(t)=sca(t).
C. Si determini l’espressione analitica della risposta libera dell’uscita y(t) del sistema con condizione
iniziale .
D. Si determini l’espressione analitica della risposta forzata dell’uscita y(t) del sistema a fronte di un
ingresso esponenziale , per .
SOLUZIONE
A. Attraverso la formula si ottiene la funzione di trasferimento richiesta.
a. è strettamente propria.
b. .
c. .
d. I poli sono s=-1, s=-10. Il polo dominante è s=-1.
e. Dato che il numero di poli equivale all’ordine del sistema essi corrispondono con gli autovalori
dello stesso. Pertanto, il sistema risulta asintoticamente stabile.
f. Il sistema presenta uno zero in s=1/2.
g. In virtù del punto f. il sistema non è a fase minima.
B. La risposta è quella mostrata nel grafico A. Infatti:
dal punto A.e, la risposta forzata cercata converge;
dal punto A.b, il valore al quale converge la risposta forzata cercata è 2;
dal punto A.c e dall’applicazione del teorema della risposta iniziale la derivata della risposta
forzata cercata nel punto t=0 è negativa e pari a . Questo implica che la traiettoria è
caratterizzata dal fenomeno della risposta inversa.
A
B
C
D
dal punto A.d,, la costante di tempo del sistema è pari a s, per cui il tempo di
assestamento del sistema è circa pari a 5 s.
C. Dato che gli autovalori del sistema sono pari a e , i modi propri sono e .
La risposta libera dell’uscita è una combinazione lineare dei suddetti modi cioè
Inoltre, si calcola che e . Da ciò
si ricava che e .
D. La trasformata di Laplace del segnale di ingresso è
, da cui la trasformata di Laplace del
segnale di uscita (forzata) è
Per ricavare e si utilizza il metodo dei residui:
Per ricavare si pone s=0, ottenendo
da cui si ricava che . Antitrasformando la funzione ottenuta si ricava che per ,
ESERCIZIO 3 Si consideri di nuovo il sistema lineare
e la corrispondente funzione di trasferimento
A. Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase della funzione di trasferimento
G(s) sull’apposito foglio di carta semilogaritmica.
B. Tra i diagrammi seguenti, motivando adeguatamente la risposta, si indichi quale corrisponde con il
diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento G(s).
C. Considerando il sistema di controllo
A
C
B
D
si determinino (approssimativamente) i valori che il parametro reale K deve assumere affinchè il
sistema retroazionato sia asintoticamente stabile. Suggerimento: è possibile usare il criterio di Nyquist
“esteso”.
SOLUZIONE
A. I diagrammi cercati sono mostrati nella figura sottostante.
B. Il diagramma corrispondente è il diagramma C.
C. Per risolvere il problema è possibile applicare il criterio di Nyquist. Si noti che la funzione di
trasferimento G(s) non presenta poli con parte reale positiva. Perciò P=0. Per il criterio di Nyquist
“esteso” condizione necessaria e sufficiente per l’asintotica stabilità del sistema retroazionato in
figura è che il diagramma di Nyquist di G(s) non compia giri attorno al punto
. In altre parole, si
chiede l’intervallo di valori di K per cui
o
. Ciò si verifica per
ESERCIZIO 4 Si consideri lo schema di controllo sottostante.
dove la funzione G(s) è la funzione di trasferimento di un sistema di ordine 2 ed è la seguente.
A. Si determini la funzione di trasferimento R(s) del regolatore in modo tale che
a. L’errore a transitorio esaurito sia tale che quando sca , n(t)=0 e
d(t)= sca .
b. L’ampiezza del segnale d’errore a transitorio esaurito, sia minore o uguale a . quando
0, d(t)=sin( ) e n(t)=0, con . rad/s.
c. La sovraelongazione percentuale della risposta del sistema ad anello chiuso a un segnale
sca sia minore del 3 % e il tempo di assestamento all’ % del valore di regime sia
minore di 10 s.
B. Si determini la funzione di trasferimento del regolatore ottenuto discretizzando R(s) con il
metodo di Eulero esplicito (in avanti) e con il valore di . s, valutando la variazione di margine
di fase dovuta alla discretizzazione.
C. Scrivere la corrispondente legge di controllo a tempo discreto, cioè il corrispondente sistema a
rappresentazione esterna nel dominio del tempo.
SOLUZIONE
A. Si considerino le specifiche del testo. Prima di tutto è necessario tradurle in specifiche sulla funzione
d’anello L(s).
a. E’ possibile soddisfare la specifica richiesta al punto a. ponendo . In questo caso si sceglie
, che corrisponde a porre , dato che il sistema già presenta un polo in s=0.
b. La seconda specifica corrisponde a richiedere che dB per . rad/s.
c. La terza serie di specifiche richiede una distinzione preliminare:
Se % si ha che S%=0 e che % , per cui si chiede che . rad/s;
Se % perchè S%<30 occorre che . , mentre si ha che % , dove
, da cui la richiesta sul tempo di assestamento si traduce in richiedere che .
Progetto
Prima di tutto si mette alla prova il regolatore statico . In questo caso si ottiene che
I diagrammi di Bode corrispondenti con sono mostrati sotto.
Si ricava che . rad/s e , da cui si ottiene che , il che non permette di
soddisfare la specifica c. si noti che non è possibile diminuire il guadagno del regolatore (che
permetterebbe di aumentare il margine di fase) perché un guadagno minore di 1 farebbe violare la
specifica b.
Per risolvere il problema, è necessario che il regolatore sia progettato in modo da cancellare il polo a
bassa frequenza (per realizzabilità si deve aggiungere un polo ad alta frequenza), cioè che, ad esempio
Ciò permette di ottenere
alla quale corrispondono i diagrammi di Bode seguenti
Si ricava che rad/s e , da cui si ottiene che . Le tre specifiche sono dunque
verificate.
B. Per determinare la funzione di trasferimento a tempo discreto si applica, nella funzione di
trasferimento trovata, la sostituzione
Si ottiene dunque
.
. .
. .
Il ritardo indotto dal campionamento e dal mantenitore è pari a
. , che corrisponde a una
variazione sul margine di fase pari a
. .
C. Per ricavare la legge di controllo si ricordi che
Si ricava che . . . Anti trasformando si ottiene