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Probabilidad y Procesos
Ingenierıa de Telecomunicacion
Profesores:
Jesus Asın Lafuente
Marıa Dolores Berrade Ursua
Centro Politecnico Superior
Departamento de Metodos Estadısticos
Curso 2009-2010
INDICE
Tema 1. Conceptos Basicos:
Experimentos aleatorios versus experimentos deter-ministas. Espacio muestral y eventos. Algebrade eventos. Interpretaciones de la probabilidad.Axiomas de la probabilidad. Probabilidad condi-cional.Regla de Bayes. Independencia de eventos.(Pags 4-16)
Tema 2. Variable aleatoria:
Concepto de variable aleatoria. Funcion de dis-tribucion. Funciones de variables aleatorias. (Pags17-28)
Tema 3. Caracterısticas de una variable aleatoria:
Valor esperado de una variable aleatoria. Momen-tos. Varianza y coeficientes de forma. Desigualdadde Chebishev. (Pags 29-34)
Tema 4. Modelos de probabilidad:
Modelos discretos (ensayos de Bernouilli, distribu-ciones binomial, geometrica, binomial negativa, hiper-geometrica y Poisson). Modelos continuos (dis-tribuciones uniforme, exponencial, Weibull, normaly gamma). El proceso de Poisson. (Pags 35-53)
Tema 5. Variable aleatoria multidimensional:
Distribuciones conjuntas. Independencia de varia-bles aleatorias. Teoremas lımite. (Pags 54-71)
1
Bibliografıa
• Asın, J. et al. Probabilidad y Estadıstica en Inge-
nierıa: ejercicios resueltos. Prensas Universitariasde Zaragoza.
• Canavos, G.C. Probabilidad y Estadıstica. Aplica-
ciones y Metodos. McGraw Hill.
• Leon Garcıa. A. Probability and Random Processes
for Electrical Engineering. Addison-Wesley.
• Levine, D.M., Ramsey, P.P y Smidt, R.K. (2001).Applied Statistics for Engineers and Scientist. Us-
ing Microsoft EXCEL and MINITAB. Prentice Hall.
• Terrien, C.W. y Tummala, M. (2004). Probability
for Electrical and Computer Engineers. CRC Press
• Papoulis, A. Probabilidad, Variables Aleatorias y
Procesos Estocasticos. UNIBAR.
2
• Papoulis, A. Probability, Random Variables and Sto-
chastic Processes.
• Pena, D. Estadıstica Modelos y Metodos, Vol 1.Alianza Universidad
• Ross, S.M. (2003). Introduction to Probability Mod-
els (8th edition). Academic Press.
• Ross, S.M. (2002). A First Course in Probability
(6th edition). Prentice Hall.
• Walpole, Myers, Myers, Ye (2002). Probability and
Statistics for Engineers and Scientists (7th edition).Prentice Hall.
• Yates, R.D. y Goodman, D.J. (2005). Probability
and Stochastic Processes. A Friendly Introduction
for Electrical and Computer Engineers. 2nd edition.Wiley
3
§TEMA 1:
ELEMENTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
Relacion de eclipses totales de sol hasta el ano 2020:11 de julio de 2010, 13 de noviembre de 2013 y 20 demarzo de 2015, 9 de marzo de 2016, 21 de agosto de2017, 2 de julio de 2019, 14 de diciembre de 2020.
Los fenomenos que observamos se pueden clasificar en
• deterministas
• aleatorios
Un fenomeno determinista es aquel cuya ocurrencia yresultado se conoce con antelacion. En contraposicion,son aleatorios aquellos cuyo resultado no se conoce contotal seguridad hasta despues de que han tenido lugar.
Ejemplos de fenomenos aleatorios: numero de llamadasrecibidas en una central telefonica en un dıa, volumen delluvia caida en una ciudad en un ano, valor de una senaldistorsionada por un ruido, la cotizacion que tendramanana un activo financiero . . .
En todos los ejemplos anteriores no se dispone de unaformula matematica explıcita que nos proporcione poradelantado su valor. La evaluacion de fenomenos aleato-rios se realiza mediante probabilidades.
4
En la practica, incluso en los experimentos controla-dos, es frecuente encontrar una componente aleatoria
asociada a cualquier experimento debido al efecto devariables que no controlamos (ruido).
Un objetivo de interes la construccion de modelos queincluyan tal variabilidad para que las conclusiones denuestros analisis no queden invalidadas.
Al igual que en otras areas de la Ingenierıa, los mo-delos aleatorios van a constituir aproximaciones a sis-temas fısicos reales, si bien se contempla la posibilidadde variaciones en las salidas del sistema aunque no sehaya producido cambio de las variables bajo control.
Ejemplo: si en el diseno de un sistema de telefonıa nose tiene en cuenta que las llamadas se reciben de formaaleatoria ası como la variabilidad de su duracion, el sis-tema resultara inadecuado para su uso practico.
Un experimento que proporciona diferentes resultadosaun cuando se realiza en identicas condiciones, se llamaexperimento aleatorio.
Por ejemplo, si medimos la corriente en un cable decobre, segun la ley de Ohm se tiene
corriente =voltaje
resistenciaSin embargo, un modelo mas realista podrıa ser
corriente =voltaje
resistencia+ error
5
Espacio muestral y sucesos
El conjunto de todos los posibles resultados del experi-mento aleatorio se llama espacio muestral y lo deno-taremos por Ω. Algunos ejemplos son:
i) Lanzamiento de un dado. Ω = 1,2,3,4,5,6
ii) Si se controla el numero de defectos en las piezasprocedentes de una produccion industrial, por ejem-plo ruedas para vehıculos, los posibles resultadosson todos los numeros naturales incluido el cero.
iii) Radiacion emitida por una antena de telefonıa movilΩ = (0,∞)
Los espacios muestrales pueden ser finitos o no, asıcomo discretos o continuos.
Cualquier subconjunto del espacio muestral, E, se de-nomina suceso.
En el ejemplo i), ‘sale par’ se corresponde con E = 2,4,6mientras que en el ejemplo iii), el suceso ‘la radiaciones superior a 450 microvatios por cm
2’ equivale a F =(450,∞).
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Operaciones y algebra de sucesos
Sean E y F dos sucesos cualesquiera en Ω. Se definenlas siguientes operaciones:
- Union de E y F , denotada E ∪ F , es el conjuntoformado por los elementos que estan en E en F oen ambos a la vez.
- Interseccion de E y F , E ∩F , es el conjunto formadopor los resultados del experimento que estan en E
y en F .
De la union de dos sucesos se puede obtener la totalidaddel espacio muestral, tambien llamado suceso seguro.Por ejemplo, E = ‘sale par’y F = ‘sale impar’.
Por el contrario, la interseccion de los sucesos anterioresno tiene elementos comunes dando lugar al conjuntovacio o suceso imposible. En este ultimo caso E y F
se dicen excluyentes o incompatibles.
Para cualquier suceso E se define el complementario deE, denotado E
c, el cual esta formado por todos los posi-bles resultados del experimento aleatorio que no estanen E. Por tanto se tiene que E
c ocurre si y solo si E notiene lugar, es decir, ambos son excluyentes.
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Las operaciones anteriores se pueden extender a n suce-sos: A1, A2, . . . , An
• A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An
• A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An
A1, A2, . . . , An se dicen mutuamente excluyentes si
Ai ∩Aj = ∅ i = j
Sean A, B y C tres sucesos de Ω. Se verifican lassiguientes propiedades
A ∪∅ = A, A ∩∅ = ∅, A ∪A = A ∩A = A
A ∪Ω = Ω, A ∩Ω = A, A ∪Ac = Ω A ∩A
c = ∅
• ∅c = Ω, Ωc = ∅
• (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∪B)c = Ac ∩B
c, (A ∩B)c = A
c ∪Bc
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Ejemplo: Lanzamiento de un dado Ω = 1,2,3,4,5,6
E1 = Salir multiplo de 3 = 3,6
E2 = Salir par = 2,4,6
E3 = Salir 6 = 6
E4 = Salir impar = 1,3,5
E1 ∩ E2 = 6, E1 ∪ E2 = 2,3,4,6, Ec
1 = 1,2,4,5
E3 ⊂ E2, E3 ⊂ E1, E4 ∩ E2 = ∅
Interpretaciones de la probabilidad
1.- En experimentos que pueden ser repetidos en lasmismas condiciones, la probabilidad se interpretacomo el lımite de la frecuencia relativa a medidaque crece el numero de experimentos. Por ejem-plo, el numero de caras en infinitos lanzamientos demoneda se aproxima a 1
2 o la estimacion del numerode piezas defectuosas en una produccion es del 1%.
2.- En experimentos que no son susceptibles de serrepetidos una y otra vez, la probabilidad viene a sig-nificar una medida de certidumbre. Ası por ejemplopuedo apostar 10 a 1 a que el caballo A ganara al Ben una carrera, significando que veo 10 veces masposible el exito del caballo A.
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Representación gráfica de la interpretación frecuentista de la probabilidad Simulación de 235 lanzamientos de una moneda legal. El valor 1 está asociado a la ocurrencia de cara. 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
2001000
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
Número de intento
Frec
uenc
ia re
lativ
a
Se constata como limn→∞numero de caras
n→ 1
2
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Espacio muestral con resultados igualmente verosımiles
Si el espacio muestral consta de N resultados posibles,un modelo razonable es asignar a cada uno de ellos unaprobabilidad 1
N.
Un espacio muestral como este esta ligado a situacionesde eleccion ‘al azar’ , sin sesgos.
Si el suceso que se analiza esta constituido por variosresultados de Ω, la probabilidad vendra dada por la sumade las probabilidades de cada uno de ellos.
Axiomas de la probabilidad
Para modelar un experimento aleatorio, se construyeuna funcion P que a cada suceso, A, le asigna un valornumerico P (A). Los siguientes axiomas aseguran quetal funcion puede ser interpretada en terminos de fre-cuencias relativas y de modo que sea consistente conlas relaciones que estas verifican.
La probabilidad es un numero asociado a cada sucesoE del espacio muestral Ω que verifica las siguientespropiedades:
1.- 0 ≤ P (E) ≤ 1
2.- P (Ω) = 1
3.- Si Ei∞i=1 verifican Ei ∩ Ej = ∅, i = j entonces
P
∞
i=1
Ei
=
∞
i=1
P (Ei)
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Las principales consecuencias de los axiomas de proba-bilidad son
• P (∅) = 0
• P (Ec) = 1− P (E)
• Si E1 ⊆ E2, entonces P (E1) ≤ P (E2)
• Sean E1, E2, . . . , En tales que Ei ∩ Ej = ∅ i = j,entonces P
∪n
i=1Ei
=
n
i=1 P (Ei)
• P (Ei ∪ Ej) = P (Ei) + P (Ej)− P (Ei ∩ Ej)
Asimismo se tiene la siguiente formula que generaliza launion de n sucesos:
P (∪n
i=1Ei) =n
i=1
P (Ei)−
−
i<j
P (Ei ∩ Ej) +
+
i<j<k
P (Ei ∩ Ej ∩ Ek) + . . . +
+ . . . + (−1)n
i1<i2<...<in−1
P (Ei1 ∩ . . . ∩ Ein−1)
+ (−1)n+1P (E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En)
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Probabilidad Condicional
En ocasiones la probabilidad asignada a un suceso enunas condiciones experimentales dadas, debe ser re-visada al conocerse cierta informacion adicional que pue-de afectar al resultado de aquel. La probabilidad de unsuceso, cuando se conoce que otro ha tenido lugar, sedenomina probabilidad condicional.
Ejemplo En sistema de comunicacion la tasa de errores de un bit por cada mil transmitidos. Los erroresse producen raramente pero cuando ocurren tienden ahacerlo de modo que afectan a varios bits consecutivos.Si se transmite solo un bit, sera erroneo con probabili-dad 1/1000; sin embargo, si el bit anterior era erroneo,podrıamos pensar en que el siguiente lo sera tambiencon probabilidad mayor que 1/1000.
Ejemplo Supongamos que en un lote de 100 unidadesde un determinado producto hay 2 que no cumplen lasespecificaciones, resultando, por consiguiente, defectuo-sas. Si se eligen dos unidades al azar, ¿cual es la proba-bilidad de que la segunda sea defectuosa, siendo que laprimera no lo era?, ¿como se modifica la probabilidadanterior si la primera resulto ser defectuosa?
Definicion 1 La probabilidad condicional de un suceso
B dada la ocurrencia de otro, A, tal que P (A) > 0, se
denota P (B|A) y viene dada del siguiente modo
P (B|A) =P (A ∩B)
P (A)
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Regla del producto
La definicion de probabilidad condicional se puede rees-cribir del siguiente modo.
Sean dos sucesos A y B tales que P (A) > 0 y P (B) > 0,entonces se verifica
P (A ∩B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)
De manera mas general, se tiene
P
n
j=1
Aj
=
= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩A2) . . . P (An|A1 ∩ . . . ∩An−1)
Regla de la probabilidad total
Sean Ai∞i=1 tales que Ai∩Aj = ∅, i = j,∞
i=1 Ai = Ω(sistema completo de sucesos) y P (Ai) > 0, para todoi. Sea B otro suceso, entonces
P (B) =∞
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
La regla de la probabilidad total constituye un metodode calculo de probabilidades de un suceso que dependede otros.
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Regla de Bayes
En ocasiones, conocemos cual es la probabilidad de unsuceso condicionado a la ocurrencia de otro, sin em-bargo desearıamos saber la probabilidad condicionada ala inversa. Ası ocurre, por ejemplo, en las pruebas quese realizan en el diagnostico de algunas enfermedades.En general, se suele conocer cual es la probabilidad deerror en el sentido de que la prueba de un resultadopositivo siendo que la persona esta sana; esta situacionse denomina falso positivo. En este caso nos interesaconocer la probabilidad de que la persona padezca laenfermedad cuando la prueba da un resultado positivo.
Sean Ai∞i=1 tales que Ai∩Aj = ∅, i = j,∞
i=1 Ai = Ω(sistema completo de sucesos) y P (Ai) > 0, para todoi. Sea B otro suceso, entonces
P (Ai|B) =P (B|Ai)P (Ai)∞
j=1 P (B|Aj)P (Aj)
Independencia de sucesos
En algunos casos, la probabilidad de un suceso B nodepende de la ocurrencia, o no, de otro A. En estassituaciones, el conocimiento de que A ha tenido lugar,no afecta a la probabilidad de que el experimento aleato-rio de B como resultado.
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Dos sucesos A y B son independientes si y solo si severifica cualquiera de las siguientes condiciones
• P (A ∩B) = P (A)P (B)
• P (B|A) = P (B) si P (A) > 0
• P (A|B) = P (A) si P (B) > 0
Teorema 1 Si A y B son dos sucesos independientes,
entonces se tiene:
• A y Bc son independientes
• Ac y B son independientes
• Ac y B
c son independientes
Sucesos mutuamente independientes
La anterior definicion de independencia se refiere a pare-jas de sucesos. Si tenemos la independencia entre A
y B, B y C ası como la de A y C, no se infiere queP (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
Los sucesos (Ai)n
i=1 se dicen mutuamente indepen-
dientes cuando para cualquier subconjunto se verifica
P
Aij
k
j=1=
k
j=1
P (Aij), ∀1 ≤ i1 < i2 . . . ik ≤ n,2 ≤ k ≤ n
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§TEMA 2:
VARIABLE ALEATORIA
Ejemplo: Transmision de un mensaje con n dıgitos conposibilidad de error. Se emite un mensaje al azar, nosinteresa saber:
• numero de dıgitos enviados correctamente
• tiempo empleado en la transmision del mensaje
Supongamos ahora la siguiente codificacion:
Anotamos un 1 por cada dıgito bien emitido y 0 en casocontrario.
Cada mensaje emitido es el resultado de un experimentoaleatorio al cual se le asignan dos valores numericos queresponden a las preguntas anteriores: el numero de unosy el tiempo que haya durado su emision. Puesto que elresultado particular del experimento, el mensaje, no seconoce por adelantado, ocurre lo mismo con los resulta-dos numericos asociados, pudiendose obtener resultadosdistintos cada vez que emitamos un nuevo mensaje.
Definicion 2 Una variable aleatoria, X, es una funcion
medible que asigna un numero real a cada posible resul-
tado del espacio muestral en un experimento aleatorio
X : Ω −→ RX
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RX, denominado rango, recorrido o soporte es el con-junto de todos los posibles valores de X, siendo RX unsubconjunto de los reales. Importante: a cada ω en Ω,X le asigna un unico valor.
Ejemplo: Se lanza una pareja de dados, obteniendosepremio si la suma de las puntuaciones de sus caras es 3.
Ω = (x1, x2);x1 = 1,2, . . . ,6;x2 = 1,2, . . . ,6RX = 2,3, . . . ,12
La probabilidad de obtener premio es
P (X = 3) = P ((1,2) ∪ (2,1)) =
= P ((1,2)) + P ((2,1)) =1
36+
1
36=
1
18En general, para cualquier B ⊂ RX, se tiene
P (B) = P (s ∈ Ω|X(s) ∈ B)Para evaluar probabilidades podemos utilizar la funcion
de distribucion
Definicion 3 La funcion de distribucion, FX(x), de una
variable aleatoria X se define:
FX(x) = P (X ≤ x), −∞ < x < ∞
Dado que FX(x) es una probabilidad, para cualquier x
se debe tener 0 ≤ FX(x) ≤ 1. Ademas, FX(x) es nodecreciente en x.
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Dependiendo de su rango las variables aleatorias se clasi-fican en
• discretas: si RX es finito o infinito numerable
• continuas: si RX es un intervalo finito o infinito
Ejemplos de variables discretas: numero de bits recibidoscon error en una transmision, numero de aranazos enuna superficie, numero de unidades defectuosas en unlote, . . .
Ejemplos de variables continuas: corriente electrica queatraviesa un cable, radiacion emitida por una antena detelefonıa movil, valor de una senal que se ve afectadapor la presencia de un ruido, . . .
Variable discreta
Sea X : Ω −→ RX una variable discreta, RX = x1, x2, . . .
La funcion de probabilidad es una descripcion de lasprobabilidades asociadas a los posibles valores de X:
p(xi) = P (X = xi) =
s∈Ω:X(s)=xi
P (s), i = 1,2 . . .
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Definicion 4 Una funcion de probabilidad debe satis-
facer las siguientes propiedades
a) p(xi) ≥ 0, para todo i
b)
xi∈RX
p(xi) = 1
Si X toma solo un numero finito de valores, por ejem-plo, x1, x2, . . . , xN , entonces p(xi) = 0 para i > N , con-virtiendose el sumatorio anterior en una suma finita.
Conocida la funcion de probabilidad de masa, se puedencalcular probabilidades de sucesos definidos mediante lavariable X. Sea A ∈ RX, entonces
P (X ∈ A) =
i:xi∈A∩RX
p(xi)
Para una variable aleatoria discreta el valor de la funcionde distribucion en x se obtiene sumando las probabili-dades de todos aquellos xi ∈ RX tales que xi ≤ x, esdecir,
FX(x) =
xi≤x
p(xi)
Ejemplo: Supongamos que X es una variable aleatoriadiscreta con la siguiente funcion de probabilidad
X =
1, P (X = 1) = 0.22, P (X = 2) = 0.44, P (X = 4) = 0.4
20
La funcion de distribucion asociada es
FX(x) =
0, si x < 10.2, si 1 ≤ x < 20.6, si 2 ≤ x < 41, si x ≥ 4
FX(x) es discontinua en los puntos x = 1,2,4, en loscuales da ‘saltos’ cuyas magnitudes respectivas son
P (X = 1) = 0.2, P (X = 2) = 0.4, P (X = 4) = 0.4
La funcion de distribucion de cualquier variable aleatoria
discreta, X, verifica las siguientes propiedades:
i) FX(x) es no-decreciente, es decir, FX(x) ≤ FX(y)para todo x ≤ y
ii) limx→−∞ FX(x) = 0, limx→∞ FX(x) = 1
iii) FX(x) es continua por la derecha, es decir,
limh→0
FX(x + h) = FX(x),para todo x
Denotaremos por FX
x+
y FX
x−
los lımites de FX(h)cuando h converge a x por la derecha y por la izquierdarepectivamente. En el ejemplo anterior se advierte que
P (X = 1) = FX(1)− FX(1−) = 0.2P (X = 2) = FX(2)− FX(2−) = 0.4P (X = 4) = FX(4)− FX(4−) = 0.4
21
Para una variable aleatoria discreta, X, las probabili-dades de cualquier valor x se obtienen
P (X = x) = FX(x)− FX(x−)
Asimismo, se tiene que para cualesquiera a y b realestales que a < b se verifica
P (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a)
Variable continua
Las variables continuas se caracterizan por tomar unnumero infinito no numerable de valores. Supongamosuna rueda de la fortuna a la que se hace girar hasta quese para en un punto senalado por la punta de la flecha.Si la rueda no esta trucada todos los puntos tienen lamisma probabilidad de ser elegidos, en consecuencia,esta probabilidad no puede ser diferente de cero.
En este caso no podemos hablar del i-esimo valor de lavariable y por tanto la funcion de probabilidad pierde susignificado. En el caso de variables continuas, sustitui-mos p(x) por una funcion, f(x), definida para todo x deacuerdo a la siguiente definicion:
Definicion 5 Se dice que X es una variable aleatoria
continua si existe una funcion f(x), denominada funcion
de densidad, que verifica las siguientes condiciones:
i) f(x) ≥ 0, para todo x
ii)∞−∞ f(x)dx = 1
22
C D
f(x)
La definicion anterior significa que X es una variablecontinua si puede tomar todos los valores dentro de unintervalo (c, d), donde c y d pueden ser −∞ e ∞, respec-tivamente. La existencia de una funcion de densidad esun artificio para simplificar los calculos que involucran auna variable aleatoria continua.
P (c < X < d) =
d
cf(x)dx y por tanto P (c < X < d)
representa el area bajo la curva f(x) entre c y d.
23
Notas:
Si X solo toma valores en un intervalo finito [a, b], seestablece que f(x) = 0 para todo x que no pertenezcaa [a, b].
f(x) no es una probabilidad. Solo cuando la funcion seintegra entre dos lımites genera una probabilidad. Sinembargo, se puede dar la siguiente interpretacion:
P (x ≤ X ≤ x + ∆x) =
x+∆x
x
f(s)ds = ∆xf(ξ)
siendo x ≤ ξ ≤ x + ∆x
Por tanto, si ∆x es suficientemente pequeno
f(x)∆x P (x ≤ X ≤ x + ∆x)
Definicion 6 La funcion de distribucion de una va-
riable aleatoria continua con funcion de densidad f se
define como
FX(x) =
x
−∞f(u)du
La funcion de distribucion de una variable aleatoria con-tinua es continua para todo x. Por tanto:
P (X = x) = FX(x)− FX(x−) = 0
y en consecuencia
P (X ≤ x) = P (X < x)
24
Ademas se tiene el siguiente resultado:
Sea FX(x) la funcion de distribucion de una variable
aleatoria con funcion de densidad f(x), entonces se tiene
f(x) =dFX(x)
dx
para todo x en el cual F es diferenciable
En cuanto al calculo de probabilidades:
P (X < a) = P (X ≤ a) = F (a) =
a
−∞f(x)dx
P (X > b) = P (X ≥ b) = 1− F (b) = ∞
b
f(x)dx
P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) =
b
a
f(x)dx
Distribucion de la funcion de una variable aleatoria
Supongamos que X es una senal aleatoria cuya funcionde densidad es f(x) y sea la funcion Y = h(X) = aX.Si a > 1, Y representa una version amplificada de X,o atenuada en el caso a < 1. Y es, a su vez, unavariable aleatoria y para cualquier suceso asociado conel recorrido de Y se tiene
P (Y ∈ C) = P (h(X) ∈ C) = P (X ∈ h−1(C))
Si X es una variable discreta, Y es tambien discreta.
25
Ejemplo
X =
−1, P (X = −1) = 13
0, P (X = 0) = 12
1, P (X = 1) = 16
Sea Y = X2
Y =
1, P (Y = 1) = P (X = −1) + P (X = 1) = 1
20, P (Y = 0) = P (X = 0) = 1
2
Si X es una variable continua, Y puede ser discreta ocontinua.
Ejemplo Supongamos que X es una variable aleatoriacontinua cuyo recorrido es toda la recta real. La variableY = X
2 es tambien continua. Sin embargo, en el caso
Y =
1, X > 0−1, X < 0
se tiene que Y es una variable aleatoria discreta.
La situacion de mayor interes y que se encuentra conmas frecuencia, aparece cuando X es una variable aleato-ria continua con funcion de densidad f(x) e Y =h(X) esasimismo una variable aleatoria con funcion de densidadg. Si tal es el caso, se distinguen las dos situacionessiguientes:
26
• h(x) es una funcion inyectiva: x1 = x2 ⇒ h(x1) =h(x2)
• h(x) no es inyectiva: existen x1, . . . , xk tales queh(x1) = . . . = h(xk) = y
Resultado 1: Sea X una variable aleatoria continuacuya funcion de densidad es f(x) con f(x) > 0 para a <
x < b. Supongase que la funcion y = h(x) es inyectivay derivable para todo x. La variable aleatoria Y = h(X)tiene una funcion de densidad g(y) dada por
g(y) = f(h−1(y))
dh−1(y)
dy
Si h es creciente el soporte de Y esta dado por los valoresh(a) < y < h(b). Por el contrario, si h es decreciente, elsoporte de Y viene dado por h(b) < y < h(a).
Resultado 2: Sea X una variable aleatoria continuacuya funcion de densidad es f(x) con f(x) > 0 para a <
x < b. Supongase que la funcion y = h(x) es derivablepara todo x y tal que existen x1, . . . , xk tales que h(x1) =. . . = h(xk) = y. La variable aleatoria Y = h(X) tieneuna funcion de densidad g(y) dada por
g(y) =k
i=1
f(xi(y))
dxi(y)
dy
27
§TEMA 3:
CARACTERISTICAS DE LAS V. ALEATORIAS
Valor esperado de una variable aleatoria
Uno de los conceptos mas importantes en teorıa dela probabilidad es el de valor esperado o esperanza
matematica de una variable aleatoria X, denotado E(X).Si X es una v. a. discreta con valores posibles x1, . . . , xn . . .
cuyas probabilidades son p(xi) = P (X = xi), se tiene
E(X) =∞
i=1
xip(xi)
definida siempre que∞
i=1 |xi|p(xi) < ∞es decir, la esperanza representa una media ponderadade todos los posibles valores que X puede tomar, pon-derando cada valor por la probabilidad de su ocurrencia.
Supongamos que X es una variable aleatoria continuacon funcion de densidad f(x). Cuando dx es pequeno,se verifica
f(x)dx ≈ P (x < X < x + dx)
de donde se sigue que una media ponderada de todoslos posibles valores de X, siendo el peso la probabilidadde que X este cerca de x, es justamente la integral dexf(x)dx a lo largo de todos los posibles valores x. Ası,se define
E(X) = ∞
−∞xf(x)dx
28
E(X) existe siempre que∞−∞ |x|f(x)dx < ∞
Notas:
• El concepto de esperanza es analogo al conceptofısico de centro de gravedad de una distribucion demasas.
• E(X) y X vienen dadas en las mismas unidades.
Propiedades de la esperanza
• Esperanza de la funcion de una v.a Y = h(X)
Si X es discreta con funcion de masa p(x)
E(Y ) =
x
h(x)p(x)
Si X es continua con funcion de densidad f(x)
E(Y ) = ∞
−∞h(x)f(x)dx
• Esperanza de una transformacion lineal Y = aX + b
E(aX + b) = aE[X] + b
29
La informacion que E(X) proporciona acerca de X esmuy limitada. Por ejemplo si E(X) = 0 puede ser queX = 0 o bien que X tome con igual probabilidad valoresde signo opuesto. La variacion de X en torno a su mediala proporciona la varianza.
Varianza de una variable aleatoria
Sea X una variable aleatoria con media E(X) = µ, lavarianza de X denotada V ar(X) se define como
σ2 = V ar(X) = E(X − µ)2 = E(X2)− (µ)2
Propiedades de la varianza
Sea c una constante, entonces se tiene
• V ar(c) = 0
• V ar(X + c) = V ar(X)
• V ar(cX) = c2V ar(X)
La varianza y su raız cuadrada σ = (V ar(X))|2 , de-
nominada desviacion tıpica, constituyen medidas de dis-persion de X.
La desviacion tıpica viene expresada en las mismas uni-dades de X, mientras que la varianza esta en las unida-des de X al cuadrado.
30
Una medida que compara la dispersion relativa de dosdistribuciones de probabilidad es el coeficiente de variacion
CV =σ
µ
Momentos de una v.a.
Los momentos de una v.a. son una coleccion de medidasdescriptivas que pueden emplearse para caracterizar sudistribucion. Su uso particularmente util en el caso deque no se conozca la distribucion de probabilidad.
Definicion 7 Sea X una variable aleatoria. El mo-
mento de orden r respecto del origen se define como
E(Xr) y viene dado por
E(Xr) =
x
xrp(x), si X es discreta
E(Xr) = ∞
−∞x
rf(x)dx, si X es continua
Definicion 8 Sea X una variable aleatoria. El mo-
mento de orden r respecto de la media se define como
E((X − µ)r) y viene dado por
E(X − µ)r =
x
(x− µ)rp(x), si X es discreta
E(X − µ)r = ∞
−∞(x− µ)r
f(x)dx, si X es continua
Todas las definiciones anteriores estan sujetas a la exis-tencia de las correspondientes sumas o integrales.
31
La esperanza es el momento de orden uno respecto delorigen, mientras que la varianza es el momento de ordendos respecto de la media.
Para la descripcion de una v.a. son utiles asimismo loscoeficientes de asimetrıa (CAs) y de apuntamiento ocurtosis (CAp)
CAs =E(X − µ)3
σ3CAp =
E(X − µ)4
σ4
CAs mide el grado de asimetrıa respecto de la media,mientras que CAp es una medida de cuan puntiaguda esla distribucion de probabilidad.
Otras medidas de centralizacion
Otras medidas de interes en la caracterizacion de unav.a. son los percentiles, xp, que dividen a la distribucionde X en 100 partes iguales. Si X es una variable aleato-ria continua, se tiene
P (X ≤ xp) = p
Por ejemplo x0.1 verifica que P (X ≤ x0.1) = 0.1.
Caso particular, los cuartiles: x0.25, x0.5, x0.75.
El percentil del 50%, x0.5 o segundo cuartil, tambiense denomina mediana y divide a la distribucion en dospartes iguales.
Definicion 9 Para cualquier variable aleatoria X se de-
fine la moda como el valor que maximiza la funcion de
probabilidad si X es discreta, o la funcion de densidad,
si X es continua.
32
Si conocemos la funcion de probabilidad o la de densidadde una variable aleatoria X, podemos calcular E(X) yV ar(X). Sin embargo, a partir de la media y la varianzano podemos reconstruir la distribucion de probabilidadde X. Si bien no se pueden evaluar probabilidades demanera exacta, sı que es posible dar una cota superioro inferior para tales probabilidades mediante la llamadadesigualdad de Chebyshev:
Si X es una v.a. cuya media y varianza son, respectiva-
mente µ y σ2, para cualquier valor k > 0 se verifica:
P (|X − µ| < kσ) ≥ 1−1
k2
P (|X − µ| ≥ kσ) ≤1
k2
De la desigualdad de Chebyshev se infiere que cuantomayores son las desviaciones respecto de la media, sontanto mas improbables. Por otra parte, cuanto menorsea la varianza, mas concentrados tienden a estar susvalores en torno a la media.
Lo mas notable del resultado anterior, es que no hace-mos ninguna suposicion respecto a la distribucion deprobabilidades de la v.a., basta solo que su media y suvarianza sean conocidas.
33
Expresiones aproximadas de la media y de la varianza
Segun se ha indicado, para evaluar E(Y ) y V ar(Y ) dondeY = h(X), no necesitamos conocer la distribucion deprobabilidades de Y , sino que podemos trabajar direc-tamente con la distribucion de probabilidades de X.
Si la funcion h(X) es muy complicada, el calculo de dela media y varianza de Y puede involucrar integracioneso sumas muy complejas. Por este motivo, las siguientesaproximaciones puede ser de utilidad.
Resultado: Sea X una v.a. con E(X) = µ y V ar(X) = σ2.
Supongamos que Y = h(X), en tal caso se tiene:
E(Y ) h(µ) +h(µ)
2σ
2
V ar(Y ) h(µ)
2σ
2
A fin de hacer utiles las aproximaciones anteriores, nece-sitamos que h sea diferenciable dos veces para H = µ.
34
§TEMA 4:
MODELOS DE PROBABILIDAD
Modelos de probabilidad discretos:
Distribucion uniforme sobre n puntos
Una variable aleatoria X cuyo soporte esta dado porx1, x2, . . . , xn, se dice con distribucion uniforme si sufuncion de probabilidad esta dada por:
p(X = xi) =
1n, X = xi
0, en otro caso
Su funcion de distribucion:
FX(x) =
0, x < minx1, x2, . . . , xn = x(1)i
n, x(i) ≤ x < x(i+1)
1, x ≥ maxx1, x2, . . . , xn = x(n)
Su valor medio:
E(X) =n
i=i
xi
1
n=
n
i=ixi
n= X
35
Ensayos de Bernoulli
Estan asociados con cualquier fenomeno aleatorio quese manifieste como una dicotomıa: ‘exito’o ‘fracaso’deun experimento, pieza defectuosa o no defectuosa, nivelde renta ≤ 10.000 o > 10.000 euros , nivel de radiacionde antenas de telefonıa movil ≥ 450 microvatios o infe-rior.
X es una variable de Bernoulli si
X = 1, P (X = 1) = p
X = 0, P (X = 0) = 1− p = q
E(X) = p, V ar(X) = p(1− p)
La distribucion binomial esta asociada a una repeticionde varios ensayos de Bernoulli independientes y donde laprobabilidad p permanece constante en todos ellos. Porejemplo, denotemos por p a la probabilidad de produciruna pieza defectuosa y supongamos que se producen n
piezas de manera independiente. El estado de la piezai se describe mediante Xi:
Xi = 1, si la pieza i es defectuosaXi = 0, si es no defectuosa
El numero de piezas defectuosas en una muestra den piezas viene dado por X =
n
i=1 Xi, X se dice condistribucion binomial con parametros n y p.
36
La funcion de probabilidad de X con distribucion B(n, p),esta dada por
P (X = k) =
n
k
p
k(1− p)n−k, X = 0,1,2, . . . , n
E(X) = np, V ar(X) = np(1 − p). E(X) representa lafrecuencia esperada de ‘exitos’en n repeticiones inde-pendientes de un experimento.
Esta asociada a
• Muestreo con reposicion en poblaciones finitas
• Muestreo con o sin reposicion en poblaciones infini-tas
Propiedad: Sean Xi, i = 1, . . . , n tales que Xi ∼ B(ni, p)independientes, en tal caso se tiene
Y =n
i=1
Xi ∼ B
n
i=1
ni, p
37
Distribucion geometrica
Esta asociada tambien a ensayos de Bernoulli para re-presentar situaciones de espera. Por ejemplo, sea A elsuceso tener seis aciertos en la primitiva una semanacualquiera cuya probabilidad es p. Sea X el numero desemanas que debemos esperar hasta que ocurre A, X
se dice con distribucion geometrica con parametro p,(G(p)), y su funcion de probabilidad esta dada por
P (X = k) = (1− p)k−1p, k = 1,2, . . .
E(X) = 1p
y V ar(X) = 1−p
p2
Supongamos que llevamos un tiempo jugando sin haberobtenido premio, la probabilidad de que tengamos queesperar, por ejemplo, 5 semanas mas para obtener elpremio es independiente del tiempo que llevemos ju-gando. Esta propiedad se denomina ausencia de memo-
ria y su expresion formal viene dada por
P (X ≥ s + t|X > s) = P (X ≥ t)
para cualesquiera s y t enteros positivos.
38
Distribucion binomial negativa
Se considera de nuevo un experimento dicotomico, porejemplo, (exito/fracaso) y la repeticion de ensayos deBernoulli hasta conseguir r ‘exitos’. Sea X la v.a. quecontabiliza el numero de pruebas realizadas hasta lograrlos r exitos.
La v.a. X sigue una distribucion binomial negativaBN(r, p) y su funcion de probabilidad viene dada por
P (X = k) =
k − 1r − 1
p
r(1−p)k−r, k = r, r+1, r+2, . . .
E(X) = r
p, V ar(X) = r(1−p)
p2
La distribucion binomial negativa modela fenomenos deespera hasta que un determinado suceso ocurre r veces.En el caso r = 1 se tiene la distribucion geometrica.
Propiedad: Sean Xi, i = 1, . . . , n tales que Xi ∼ Ge(p)independientes, entonces
Y =n
i=1
Xi ∼ BN(n, p)
En el caso de que Xi ∼ BN(ni, p) independientes, en-tonces
Y =n
i=1
Xi ∼ BN
n
i=1
ni, p
39
Distribucion hipergeometrica
Se utiliza para modelar extracciones sin reemplazamiento.Supongamos un almacen conteniendo N piezas de lasque r son defectuosas. Si se extrae una muestra den piezas del almacen, el numero de defectuosas en lamuestra es una v.a. X hipergeometrica (H(N, n, r)) cuyafuncion de probabilidad es
P (X = k) =
r
k
N − r
n− k
N
n
E(X) = nr
N
Si n
N< 0.1, H(N, n, r)→ B(n, p), siendo p = r
N
40
Distribucion de Poisson
Con frecuencia existen situaciones en las que la proba-bilidad de ocurrencia de un suceso es muy pequena, porejemplo, el fallo de un componente electronico, mientrasque es muy grande el numero de unidades a verificar.El calculo de probabilidades con la binomial resulta muycostoso, sin embargo con p → 0 y n → ∞, la binomialse puede aproximar a X con distribucion de Poisson conparametro λ = np. Un criterio razonable para la aproxi-macion es p < 0.1 y np > 1. La funcion de probabilidadde la poisson esta dada por
P (X = k) = e−λ
λk
k!, k = 0,1,2, . . .
E(X) = V ar(X) = λ
Esta distribucion se suele denominar como ley de los
sucesos raros ya que se utiliza para contar el numerode veces que ocurre un suceso cuya probabilidad de o-currencia es baja. Ası ocurre, por ejemplo, con los acci-dentes de avion, escapes radioactivos, defectos en unasuperficie, . . .
Propiedad: Sean Xi, i = 1, . . . , n tales que Xi ∼ ℘(λi)independientes, entonces
Y =n
i=1
Xi ∼ ℘
n
i=1
λi
41
Modelos de probabilidad continuos:
Distribucion uniforme continua
La distribucion uniforme en el intervalo [a, b] correspon-de a la variable aleatoria que resulta de elegir un numerocompletamente al azar en tal intervalo. Esta asociadaa la idea de eleccion al azar, sin preferencias.
f(x) =
1
b−a, a ≤ x ≤ b
0, en otro caso
F (x) =
0, x < ax
a
1b−a
du = x−a
b−a, a ≤ x ≤ b
1, x > b
E(X) = a+b
2 , V ar(X) = (b−a)2
12
Distribucion exponencial
Con frecuencia, la distribucion exponencial se utilizapara modelar tiempos hasta el fallo de sistemas. Sufuncion de densidad viene dada por
f(x) =
λe−λx
, x ≥ 00 x < 0
F (x) =
1− e
−λx, x ≥ 0
0 x < 0
E(X) = 1λ, V ar(X) = 1
λ2
42
La distribucion exponencial sirve para modelar tiemposde espera y es la unica distribucion continua que pre-senta la propiedad de ausencia de memoria, esto sig-nifica que el tiempo de espera que nos resta no dependedel que llevemos esperando. Es decir, para cualesquieras, t > 0 se verifica
P (X > s + t|X > t) = P (X > s)
Propiedad: Sean Xi, i = 1, . . . , n tales que Xi ∼ Exp(λ)independientes, entonces
Y =n
i=1
Xi ∼ γ(n, λ)
Distribucion gamma
X se dice con distribucion gamma, γ(p, a), p > 0 y a > 0,si su funcion de densidad esta dada por
f(x) =
a
p
Γ(p)e−ax
xp−1
, x ≥ 0
0, x < 0
Γ(p) es la funcion gamma de Euler:
Γ(p) = ∞
0e−x
xp−1
dx, p > 0
43
Γ(p) verifica
Γ(p + 1) = pΓ(p)
Γ(n + 1) = n! con n entero positivo
Γ12
=√
π
E(X) = p
a, V ar(X) = p
a2
Propiedad: Xi ∼ γ(ni, λ) independientes, entonces
Y =n
i=1
Xi ∼ γ
n
i=1
ni, λ
44
Distribucion normal
Constituye la distribucion de mayor relevancia en la teorıay practica estadısticas, apareciendo asociada a los erro-res de medida. Esta caracterizada por su valor medio,µ, y su desviacion tıpica, σ. Su funcion de densidad esde la forma
f(x) =1√2πσ
exp
−
(x− µ)2
2σ2
, −∞ < x < ∞
Esta distribucion se indica, abreviadamente, N(µ, σ) yes simetrica respecto µ. Por consiguiente, el coeficientede asimetrıa es nulo.
La funcion de distribucion asociada a la normal estandar,Z = N(0,1), esta tabulada:
φ(s) =1√2π
s
−∞e−x
2/2
dx
por lo que el calculo de probabilidades relativo a unanormal no estandar, X = N(µ, σ), se realiza tras hacerel siguiente cambio de escala
X − µ
σ
Por ejemplo:
P (X ≤ a) = P
X − µ
σ≤
a− µ
σ
= P
Z ≤
a− µ
σ
La distribucion Z = N(0,1) es simetrica respecto 0 ypor tanto
P (Z < −a) = P (Z > a)
45
Propiedad: Xi ∼ N(µi, σi), independientes, entonces
Y =n
i=1
Xi ∼ N
n
i=1
µi,
n
i=1
σ2i
La convergencia en distribucion significa que la funcionde distribucion correspondiente a (X1 + X2 + . . . + Xn)converge a la de N(µ, σ), a medida que n →∞.
Aproximacion de otras variables aleatorias a la normal
• Aproximacion binomial-normal
Si X es B(n, p) con np(1− p) > 5, entonces
X ≈ N
µ = np, σ =
np(1− p)
• Aproximacion Poisson-normal
Si X es ℘(λ) y λ es suficientemente grande, en-tonces
X ≈ N
µ = λ, σ =
√λ
46
Al aproximar una distribucion discreta por una continua,es preciso salvar la discrepancia entre ambas debida ael hecho de que los puntos pueden tener probabilidadpositiva para la variable discreta y, sin embargo, estaes nula para las variables continuas. Este inconvenientese resuelve mediante la denominada correccion por con-
tinuidad o correccion del medio punto.
Si X es una v.a cuya distribucion es B(n, p) tal quenp(1− p) > 5:
P (a ≤ X ≤ b) = P
a− 0.5− np
np(1− p)≤ N(0,1) ≤
b + 0.5− npnp(1− p)
Si X es una v.a cuya distribucion es ℘(λ) con λ > 5:
P (a ≤ X ≤ b) = P
a− 0.5− λ√
λ≤ N(0,1) ≤
b + 0.5− λ√λ
47
La funcion caracterıstica
El calculo de los momentos de variables aleatorias sueleimplicar calculos costosos. La funcion caracterısticasimplifica notablemente esas operaciones.
Definicion 10 Sea X una v.a. continua. La funcion
caracterıstica, denotada ϕX(ω) se define como
ϕX(ω) = Ee
jωX=
∞
−∞e
jωxfX(x)dx
con j =√−1
Es decir, la funcion caracterıstica puede verse como elvalor esperado de una funcion de X, e
jωX.
ejωX es una variable aleatoria con valores complejos:
ejωX = cosωX + jsenωX
Ee
jωX= E (cosωX) + jE (senωX)
Ejemplo: Sea X v.a. exp(λ).
ϕX(ω) =∞−∞ e
jωxλe−λx
dx = λ∞−∞ e
−(λ−jω)x = λ
λ−jω
Si X es una v.a. discreta, la funcion caracterıstica sedefine como
ϕX(ω) =
x
p(X = x)ejωx
48
Ejemplo: Sea X v.a. Ge(p).
ϕX(ω) =∞
k=1
ejωk(1− p)k−1
p = pejω
n
k=1
(1− p)ejω
k−1=
=pe
jω
1− (1− p)ejω
Propiedades de la funcion caracterıstica
• La funcion caracterıstica siempre esta definida.
• |ϕX(ω)| ≤ 1
• E(Xn) = 1jn
dnϕX(ω)dωn
|ω=0
Ası, en el ejemplo de la exponencial, se tiene
E(X) =1
j
dϕX(ω)
dω|ω=0 =
1
j
jλ
(λ− jω)2|ω=0 =
1
λ
y en el de la geometrica:
E(X) =1
j
dϕX(ω)
dω|ω=0 =
1
j
pieiω
(1− (1− p)ejω)2 |ω=0 =1
p
49
Resumen propiedades reproductivas de variables aleato-
rias
Sean Xi, i = 1, . . . , n tales que Xi independientes y seaY =
n
i=1 Xi
• Xi ∼ B(ni, p), entonces, Y ∼ B
n
i=1 ni, p
• Xi ∼ Ge(p), entonces, Y ∼ BN(n, p)
• Xi ∼ BN(ni, p), entonces Y ∼ BN
n
i=1 ni, p
• Xi ∼ ℘(λi), entonces Y ∼ ℘
n
i=1 λi
• Xi ∼ Exp(λ), entonces Y ∼ γ(n, λ)
• Xi ∼ γ(ni, λ), entonces Y ∼ γ(
n
i=1 ni, λ)
• Xi ∼ N(µi, σi), entonces Y ∼ N
n
i=1 µi,
n
i=1 σ2i
50
El proceso de Poisson
Se considera una situacion en la que los eventos asocia-dos a un experimento aleatorio ocurren con tasa cons-tante λ en el espacio o en el tiempo. Por ejemplo, laruptura de un componente en un sistema, las llamadasa una centralita telefonica, llegadas de clientes a unservicio . . .
ξ(0, t)=‘numero de ocurrencias en [0, t] ’= Nt
1.- ξ(0) = 0.
2.- Si t1 < t2 < t3 < t4, ξ(t1, t2) y ξ(t3, t4) son indepen-dientes.
3.- ξ(t1, t2) y ξ(t1+h, t2+h) tienen identica distribucion
4.- limh→0P (ξ(t,t+h)=1)
h= λ > 0
5.- limh→0P (ξ(t,t+h)≥2)
h= 0
Si se verifican los postulados anteriores, entonces
P (ξ(0, t) = k) = e−λt
(λt)k
k!, k = 0,1,2, . . .
Es decir, Nt = ξ(0, t) es v.a. de Poisson de parametroλt.
Una coleccion de variables aleatorias Nt, t ≥ 0 quesatisface las anteriores propiedades, es un proceso de
Poisson de tasa λ
51
Las propiedades que caracterizan al proceso de Poissonse resumen considerando un intervalo [0, t] dividido ensubintervalos de corta duracion δ = t
ny los siguientes
supuestos
1.- La probabilidad de que tenga lugar mas de unaocurrencia en un subintervalo es nula.
2.- El hecho de que en un subintervalo tenga lugar ono un evento es independiente de lo que ocurra enlos restantes subintervalos.
Relacion entre la exponencial y el proceso de Poisson
Sea Nt, t ≥ 0 un proceso de Poisson de tasa λ y de-notemos por Xn al tiempo aleatorio entre las ocurrenciasn − 1 y n. Xi se denominan tiempos entre llegadas del
proceso.
Propiedad: X1, X2, . . . son v.a. independientes con dis-tribucion exponencial de tasa λ.
X1 representa el tiempo hasta la primera ocurrencia
P (X1 > t) = P (ξ(0, t) = 0) = e−λt
y por tanto X1 es exponencial de parametro λ.
52
Asimismo se tiene que para s, t > 0
P (X2 > t|X1 = s) = P (ξ(s, s+t) = 0) = e−λt = P (X2 > t)
se advierte que X2 es independiente de X1 y que tienetambien distribucion exponencial de parametro λ. Rei-terando el argumento, se tiene el resultado.
Consecuencia: Las propiedades reproductivas de la ex-ponencial implican que el tiempo que transcurre hastaque se producen n ocurrencias, Tn = X1+ . . .+Xn, tienedistribucion γ(n, λ).
Dada la relacion entre la v.a. gamma y el procesode Poisson se concluye que, si el tiempo transcurridohasta que se producen n eventos es inferior a t unidadesde tiempo, de modo equivalente en esas t unidades detiempo se habran producido, como mınimo, n eventos,es decir:
P (T ≤ t) = P (γ(n, λ) ≤ t) = P (℘(λt) ≥ n) =∞
i=n
e−λt
(λt)i
i!
Propiedad: Si los tiempos entre ocurrencias de un pro-ceso, X1, X2, . . ., son v.a. independientes y con dis-tribucion exponencial de parametro λ, entonces se ve-rifica que las ocurrencias tienen lugar de acuerdo a unproceso de Poisson.
53
§TEMA 5:
VARIABLES ALEATORIAS N-DIMENSIONALES
Con frecuencia, un experimento aleatorio involucra avarias variables aleatorias. Se puede medir, por ejemplo,el voltaje en n puntos diferentes de un circuito, o bienhacer medidas repetidas de una determinada cantidad.
Ejemplo: En la recepcion de informacion digital cadabit se clasifica, dependiendo de la calidad de la senalrecibida, en aceptable, medio o inaceptable. Las proba-bilidades de que un bit sea asignado a cada una de lasclases son 0.9, 0.08 y 0.02 respectivamente.
Supongamos que se emiten 4 bits. Sean X e Y las v.a.que cuentan el numero de bits aceptables y medios. X ∼B(4,0.9) e Y ∼ B(4,0.08). Por tanto, X = 0,1,2,3,4 eY = 0,1,2,3,4. Sin embargo, si y = 3, se tiene x = 0 ox = 1
En este tema analizaremos el comportamiento conjunto
de dos o mas variables aleatorias. En particular nos in-teresara determinar si un conjunto de variables aleato-rias son independientes, ası como establecer al grado derelacion entre ellas cuando no lo son.
Consideremos un sistema de tres componentes en seriecuyos respectivos tiempos son v.a X1, X2 y X3. Eltiempo hasta el fallo del sistema en su totalidad estadado por
min(X1, X2, X3)
P (min(X1, X2, X3) ≤ a)
54
La funcion de distribucion conjunta de dos variablesaleatorias X e Y se define como:
FXY (x, y) = P ((X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)) = P (X ≤ x, Y ≤ y)
55
Propiedades de la funcion de distribucion conjunta
1.- 0 ≤ FXY (x, y) ≤ 1
2.- FXY (x1, y1) ≤ FXY (x2, y2), x1 ≤ x2, y1 ≤ y2
3.- P (x1 < X ≤ x2, y1 < Y ≤ y2) = FXY (x2, y2)+FXY (x1, y1)−FXY (x1, y2)− FXY (x2, y1)
4.- FXY (−∞, y) = FXY (x,−∞) = FXY (−∞,−∞) = 0
5.- FXY (∞,∞) = 1
6.-
FX(x) = P (X ≤ x) = P (X ≤ x, Y ≤ ∞) = FXY (x,∞)FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X ≤ ∞, Y ≤ y) = FXY (∞, y)
Un vector aleatorio (X, Y ) puede ser
• discreto si solo toma valores en un conjunto discreto
• continuo si presenta un rango continuo de valores
• mixto si no es discreto ni continuo
56
Variable aleatoria bidimensional discreta
El vector de v.a. (X, Y ) es una variable aleatoria bidi-mensional dicreta si los posibles valores de (X, Y ) sepueden representar como (xi, yj), i = 1,2, . . . , n, . . . ; j =1,2, . . . , n, . . .
La funcion de probabilidad conjunta, p(xi, yj) especi-fica las probabilidades de (X = xi)
(Y = yj)
Definicion 11 La funcion de probabilidad conjunta de
(X, Y ) satisface las siguientes propiedades
1.- p(xi, yj) ≥ 0 para todo (xi, yj)
2.-∞
i=1
∞j=1 p(xi, yj) = 1
La probabilidad de un evento A viene dada por la sumade las probabilidades de todos los pares (xi, yj) que estenen A:
P (A) =
i
j
p(xi, yj), (xi, yj) ∈ A
En el ejemplo de los bits, denotemos por A, M e I lossucesos bit aceptable, medio e inaceptable
P (X ≤ 1, Y ≤ 1) == P (IIII) + P (AIII) ++ P (IIIM) + P (AIIM)
57
Distribuciones de probabilidad marginales
Cuando se tienen definidos vectores aleatorios es im-portante distinguir entre el comportamiento conjuntode las variables y el que presenta cada una de ellasaisladamente. Las distribuciones individuales de cadavariable lo proporcionan las funciones de probabilidadmarginales:
pX(xi) = P (X = xi) =∞
j=1
p(xi, yj)
y similarmente
pY (yj) = P (Y = yj) =∞
i=1
p(xi, yj)
Las distribuciones marginales son v.a. unidimensionales.En general, no es posible deducir la distribucion conjuntade X e Y a partir de sus marginales.
Funciones de distribucion marginales
FX(x) =
xi≤x
∞
j=1
p(xi, yj) =
xi≤x
pX(xi)
FY (y) =
yj≤y
∞
i=1
p(xi, yj) =
yj≤y
pY (yj)
58
Variable aleatoria bidimensional continua
Un vector aleatorio (X, Y ) es continuo si existe unafuncion fXY (x, y) no negativa denominada funcion de
densidad conjunta tal que
P (X ≤ x, Y ≤ y) =
x
−∞
y
−∞fXY (u, v)dudv
La funcion de densidad conjunta se define como
fXY (x, y) =∂
2
∂x∂yFXY (x, y) =
∂2
∂y∂xFXY (x, y)
Propiedades de la funcion de densidad conjunta
1.- fXY (x, y) ≥ 0 para todo x, y
2.-∞−∞
∞−∞ fXY (u, v)dudv = 1
3.- FXY (x, y) =
x
−∞
y
−∞ fXY (u, v)dudv
4.-
FX(x) = FXY (x,∞) =
x
−∞
∞
−∞fXY (u, v)dudv
FY (y) = FXY (∞, y) = ∞
−∞
y
−∞fXY (u, v)dudv
59
5.- fX(x) =∞−∞ fXY (x, y)dy, fY (y) =
∞−∞ fXY (x, y)dx
6.-
P (x1 < X ≤ x2, y1 < Y ≤ y2) =
x2
x1
y2
y1
f(x, y)dxdy
De la condicion 5 se infiere que si (X, Y ) es un vectoraleatorio continuo, las marginales X e Y tambien lo son.
Distribuciones condicionadas
Con frecuencia, muchos problemas practicos consistenen analizar como es el comportamiento de una v.a. Y
condicionada por el hecho de que una segunda variableX toma un valor especıfico x. Ası, por ejemplo, su-pongamos que Y representa el tiempo hasta el fallo deuna maquina mientras que X es ritmo de trabajo querealiza. En otro caso, Y puede ser la senal a la salida deun canal de comunicacion mientras que X representa lasenal a la entrada. En estos casos nos interesa computarprobabilidades de sucesos concernientes a la v.a. Y ,dado que X = x. Asimismo es relevante la denominadaesperanza condicional o valor esperado de Y siendo queX = x, es decir E (Y |X = x).
60
Si (X, Y ) constituyen un vector aleatorio discreto, lafuncion de probabilidad condicionada de Y cuando X =xk esta dada por
pY |X(y = yj|xk) =P (Y = yj, X = xk)
P (X = xk)
dado que P (X = xk) > 0.
La funcion de distribucion condicional se define como
FY |X(y|xk) =
yj≤y
pY |X(y = yj|xk)
Si (X, Y ) constituyen un vector aleatorio continuo, lafuncion de densidad condicionada de Y cuando X = x
esta dada por
fY |X(y|x) =fXY (x, y)
fX(x)
dado que fX(x) > 0.
La funcion de distribucion condicional se define como
FY |X(y|x) =
y
−∞fY |X(v|x)dv
verificandose ademas
fY |X(y|x) =dFY |X(y|x)
dy
61
Del mismo modo se definen las funciones de probabilidado densidad condicionadas de X respecto a Y , siempreque P (Y = yk) > 0 o fY (y) > 0, dependiendo de que elvector aleatorio sea discreto o continuo.
Independencia de variables aleatorias
Dos v.a. (X, Y ) son independientes si y solo sı para todox e y se verifica
FXY (x, y) = FX(x)FY (y)
Si el vector (X, Y ) es discreto con X e Y independientes,las siguientes afirmaciones son equivalentes
pXY (X = xj, Y = yk) = pX(X = xj)pY (Y = yk), ∀xj, yk
pY |X(Y = yk|X = xj) = pY (Y = yk), ∀xj, yk, conP (X = xj) > 0pX|Y (X = xj|Y = yk) = pX(X = xj), ∀xj, yk, conP (Y = yk) > 0
Si el vector (X, Y ) es continuo con X e Y independien-
tes, las siguientes afirmaciones son equivalentes
fXY (x, y) = fX(x)fY (y), ∀x, y
fY |X(y|x) = fY (y), ∀x, y, con fX(x) > 0fX|Y (x|y) = fX(x), ∀x, y, con fY (y) > 0
62
Funciones de variables aleatorias n dimensionales
Consideremos la variable aleatoria bidimensional (X, Y ).(X, Y ) pueden representar, por ejemplo, los tiemposhasta el fallo de las componentes de un sistema. Si lascomponentes estan dispuestas en serie o en paralelo, eltiempo hasta el fallo del sistema vendra dado, respecti-vamente por las funciones min(X, Y ) y max(X, Y ).
Otras variables que nos pueden interesar son X + Y ,X/Y , etc.
El problema que nos ocupa ahora es el de encontrarlas distribucion de funciones de variables aleatorias n
dimensionales.
Teorema 2 Sea (X, Y ) es una variable aleatoria bidi-
mensional continua cuya funcion de densidad conjunta
es f(x, y). Supongamos que las funciones U = h1(X, Y )y V = h2(X, Y ) satisfacen las siguientes propiedades:
a) Las ecuaciones u = h1(x, y) y v = h2(x, y) tienen
una unica solucion (x(u, v), y(u, v)).
b) Existen las derivadas parciales∂x
∂u,
∂x
∂v,
∂y
∂u,
∂y
∂vy son con-
tinuas.
Entonces, la funcion de densidad de (U, V ) viene dada
por
g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
∂x
∂u
∂x
∂v∂y
∂u
∂y
∂v
63
Esperanza y momentos
Al igual que en el caso de la v.a. unidimensional, laesperanza y los momentos de las v.a multidimensiona-les no constituyen una descripcion completa de las v.a,sin embargo contienen informacion relevante respectoaquellas.
El valor esperado o esperanza de una funcion g(x, y)de dos variables aleatorias X e Y , E(g(X, Y )), se definecomo
i
kg(xi, yk)P (X = xi, Y = yk), (X, Y ) discreto∞
−∞∞−∞ g(x, y)fXY (x, y)dxdy, (X, Y ) continuo
En particular se definen E(XpY
q), E((X−µX)p(Y −µY )q).
El calculo de esperanzas de funciones de las v.a. marginalesse puede realizar por dos vıas:
En el caso discreto
E(g(X)) =
ig(xi)P (X = xi)
i
kg(xi)P (X = xi, Y = yk)
En el caso continuo
E(g(X)) =
∞−∞ g(x)fX(x)dx∞−∞
∞−∞ g(x)fXY (x, y)dxdy
Para E(g(Y )) se tienen formulas simetricas.
64
Esperanza condicional
Dado un vector aleatorio (X, Y ) la esperanza condicional
de Y dado X = x se define como
E(Y |x) = ∞
−∞yfY |X(y|x)dy, si Y es continua
E(Y |x) =
yj
yjP (Y = yj|X = x), si Y es discreta
La esperanza condicional E(Y |x) se puede interpretarcomo una funcion de x: g(x) = E(Y |x). Se trata, porconsiguiente, de una funcion de una variable aleatoriaque es a su vez otra v.a., E(Y |X), y por tanto podemoscalcular su esperanza: E(E(Y |X)), verificandose que
E(Y ) = E(E(Y |X))
El resultado anterior se puede extender para la esperan-za de cualquier funcion de Y :
E(g(Y )) = E(E(g(Y )|X))
65
Relacion entre dos variables aleatorias
En el caso de que dos variables aleatorias no sean inde-pendientes, nos interesa cuantificar el grado de relacionexistente entre ellas.
La covarianza de dos variables aleatorias X e Y se de-fine como
Cov(XY ) = E((X−µX)(Y −µY )) = E(XY )−E(X)E(Y )
La covarianza depende de las unidades de medida, loque nos lleva a definir:
El coeficiente de correlacion
ρ =Cov(XY )
σXσY
Propiedades del coeficiente de correlacion:
• ρ mide el grado de relacion lineal entre X e Y .
• −1 ≤ ρ ≤ 1
• ρ = 1 o ρ = −1 ⇔ Y = aX + b
• ρ es grande (pequeno) indica una fuerte (debil)relacion lineal entre X e Y .
66
• Si ρ = 0, X e Y se dicen incorreladas
• Si X e Y son independientes, entonces ρ = 0
• Incorrelacion no implica independencia
• Aunque ρ = 0, X e Y pueden estar vinculadas poruna relacion de tipo no lineal.
67
Propiedades de la esperanza y de la varianza
La media de una suma ponderada de n variables aleato-rias, es igual a la suma ponderada de las medias de cadauna de ellas:
E
n
i=1
aiXi
=
n
i=1
aiE(Xi)
En general, la esperanza del producto de variables aleato-rias no coincide con el producto de sus esperanzas. Sinembargo, si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias inde-pendientes, entonces
E (g1(X1)g2(X2) . . . g(Xn)) =n
i=1
E (g(Xi))
La varianza de una combinacion lineal de dos variablesaleatorias
V ar (aX + bY ) = a2V ar(X) + b
2V ar(Y ) + 2abCov(XY )
Si X e Y son dos variables aleatorias incorreladas setiene:
V ar (aX + bY ) = a2V ar(X) + b
2V ar(Y )
La expresion anterior se puede extender a n variablesaleatorias. Sean Xi, i = 1,2 . . . , n tales que Xi y Xj sonincorreladas para cada i = j, entonces
V ar
n
i=1
aiXi
=
n
i=1
a2iV ar(Xi)
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Distribucion normal multivariante
Dos v.a. X e Y tienen distribucion normal bivariante sisu funcion de densidad conjunta esta dada por:
fXY (x, y) =1
2πσXσY
1− ρ
2e
− 1
2(1−ρ2)
(X−µX)2
σ2X
+(Y−µY )2
σ2Y
−2ρ(X−µX)(Y−µY )σXσY
con −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞
Los parametros µX, µY , σ2X
, σ2Y, ρ son las medias, varian-
zas y coeficiente de correlacion de X e Y .
La distribucion normal bivariante verifica las siguientespropiedades:
• X e Y son normales N(µX, σX) y N(µY , σY )
• E(X|Y = y) = µX|Y = µX+ρσX
σY
(y − µY ), V ar(X|Y ) =
σ2X|Y = σ
2X(1− ρ
2)
• E(Y |X = x) = µY |X = µY +ρσY
σX
(x− µX), V ar(Y |X) =
σ2Y |X = σ
2Y(1− ρ
2)
• Las distribuciones condicionadas son normales
X|Y ∼ NµX|Y , σX|Y
, Y |X ∼ N
µY |X, σY |X
• X e Y independientes ⇔ X e Y incorreladas
69
Teorema Central del Lımite
Este es el resultado mas importante asociado a la dis-tribucion normal ya que explica el motivo por el quemuchas variables aleatorias siguen una distribucion nor-mal. Por ejemplo, el consumo diario de gas en unaciudad resulta ser la suma de los consumos de todos losusuarios y su distribucion es aproximadamente normal.
En general, si se tienen X1, X2, . . . , Xn variables aleato-rias independientes cuyas medias y varianzas son µi y σ
2i
se tiene
E (X1 + X2 + . . . + Xn) =n
i=1
µi
V ar (X1 + X2 + . . . + Xn) =n
i=1
σ2i
Si n es suficientemente grande (n > 30), se tiene que
(X1 + X2 + . . . + Xn)−
n
i=1 µin
i=1 σ2i
→ N(0,1)
70
Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientese identicamente distribuidas con media µ y varianza σ
2
se tiene
EX
= E
n
i=1 Xi
n
=
1
n
n
i=1
µ = µ
V arX
= V ar
n
i=1 Xi
n
=
1
n2
n
i=1
σ2 =
σ2
n
Si n es suficientemente grande (n > 30), se tiene que
X − µ
σ/√
n→ N(0,1)
La convergencias anteriores lo son en distribucion.
71
