Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González

7/21/2019 Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González

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LECCIONES DE

INGENIERÍAECONÓMICA

HERNANDO OCHOA GONZÁLEZ

PRIMERA EDICIÓN

Elaborado por:Dickso Acos!aOrlado D"l R#o

Ed$ar D#a%Cris!ia G&'"%

Di"$o Ma%a

()*(

(



Edi!ado por:

Samir Hincapié Oscar Salcedo

DamianRios JuliánMartínezBenjamin Torres Jose VegaDuier!u"iga #ristian $osso

Dar%in &sco'ar SaadBittarDe%(n )igueroa *e(manMejiaDiego Rodriguez )elipe SernaHarold Solorzano +samar'lan,uicettHum'erto -o(a *uis Ba'ilonia

+



ContenidoCAPÍ,-LO *.................................................................................................................................../

IN,ER0S SIMPLE......................................................................................................................./

IN,ROD-CCIÓN..................................................................................................................../

1ALOR DEL DINERO A ,RA10S DEL ,IEMPO................................................................./

IN,ER0S................................................................................................................................../

,ASA DE IN,ER0S.................................................................................................................2

RES-MEN DE 3ÓRM-LAS DE IN,ER0S SIMPLE..........................................................*)

IN,ER0S SIMPLE.................................................................................................................**

CLASES DE IN,ER0S SIMPLE...........................................................................................*+

DIAGRAMAS DE 3L-4O DE CA4A....................................................................................*5

IN,ER0S AN,ICIPADO.......................................................................................................*/DESC-EN,O.........................................................................................................................*/

1ALOR LÍ6-IDO..................................................................................................................*2

,ASA REALMEN,E CO7RADA EN -NA OPERACIÓN DE DESC-EN,O...................((

DESC-EN,OS EN CADENA...............................................................................................(+

E4ERCICIOS RES-EL,OS...................................................................................................(8

7I7LIOGRA3ÍA.....................................................................................................................+/

CAPÍ,-LO (.................................................................................................................................+2

IN,ER0S COMP-ES,O...........................................................................................................+2

IN,ROD-CCIÓN..................................................................................................................+2

RES-MEN DE 3ÓRM-LAS DE IN,ER0S COMP-ES,O................................................5+

,ASA E3EC,I1A...................................................................................................................5+

,ASA NOMINAL...................................................................................................................55

E6-I1ALENCIA EN,RE ,ASAS........................................................................................59

RELACIÓN EN,RE -NA ,ASA AN,ICIPADA -NA ,ASA 1ENCIDA.......................5/

RES-MEN DE 3ÓRM-LAS DE ,ASAS DE IN,ER0S.....................................................8)

GRÁ3ICA DE E6-I1ALENCIA DE ,ASAS.......................................................................8)

EC-ACIONES DE 1ALOR...................................................................................................8+

E4ERCICIOS RES-EL,OS...................................................................................................8;

7I7LIOGRA3ÍA.....................................................................................................................;;

5



CAPÍ,-LO +.................................................................................................................................;/

AN-ALIDADES ORDINARIAS< AN,ICIPADAS< DI3ERIDAS< PERPE,-AS GENERALES.............................................................................................................................;/

DED-CCIÓN DE LA S-MA DE LOS ,0RMINOS DE -NA SERIE GEOM0,RICA.....;2

DED-CCIÓN DEL 1ALOR 3-,-RO DE AN-ALIDADES 1ENCIDAS......................../*

DED-CCIÓN DEL 1ALOR PRESEN,E DE AN-ALIDADES 1ENCIDAS...................../+

AN-ALIDAD AN,ICIPADA................................................................................................//

DED-CCIÓN DEL 1ALOR 3-,-RO DE -NA SERIE DE AN-ALIDADESAN,ICIPADAS....................................................................................................................../2

AMOR,IZACIÓN..................................................................................................................25

CAPI,ALIZACIÓN................................................................................................................29

AN-ALIDADES DI3ERIDAS..............................................................................................2;

AN-ALIDADES PERPE,-AS...........................................................................................*))

AN-ALIDADES GENERALES..........................................................................................*)*

E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................*)5

7I7LIOGRA3ÍA...................................................................................................................*95

CAPÍ,-LO 5...............................................................................................................................*98

GRADIEN,ES.........................................................................................................................*98

IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................*98

GRADIEN,E ARI,M0,ICO..............................................................................................*98

DED-CCIÓN DE LA 3ÓRM-LA DEL 1ALOR PRESEN,E DE -NA SERIEARI,M0,ICA CON g POSI,I1O.......................................................................................*99

GRADIEN,E ARI,M0,ICO C-ANDO n=..................................................................*;(

GRADIEN,E GEOM0,RICO.............................................................................................*;(

DED-CCIÓN DEL 1ALOR PRESEN,E DE -N GRADIEN,E GEOM0,RICO...........*;+

DED-CCIÓN DEL 1ALOR 3-,-RO DE -NA SERIE GEOM0,RICA........................*;5

GRADIEN,E GEOM0,RICO IN3INI,O..........................................................................*;9E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................*/5

CAPÍ,-LO 8...............................................................................................................................(**

1ALOR PRESEN,E NE,O >1PN?.........................................................................................(**

IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................(**

1ALOR PRESEN,E NE,O.................................................................................................(**8



,ASA DE IN,ER0S DE OPOR,-NIDAD.........................................................................(*(

ANÁLISIS MA,EMÁ,ICO DEL 1ALOR PRESEN,E NE,O..........................................(*9

PROEC,OS M-,-AMEN,E E@CL-EN,ES 6-E PRES,AN EL MISMOSER1ICIO.............................................................................................................................(()

AL,ERNA,I1AS M-,-AMEN,E E@CL-EN,ES CON IG-AL 1IDA ,IL....... ....(()

AL,ERNA,I1AS M-,-AMEN,E E@CL-EN,ES CON DI3EREN,E 1IDA ,IL..(((

E1AL-ACIÓN DESP-0S DE IMP-ES,OS.....................................................................((5

3L-4O DE CA4A LI7RE DEL IN1ERSIONIS,A.............................................................((8

E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................((;

7I7LIOGRA3ÍA...................................................................................................................(89

CAPÍ,-LO 9...............................................................................................................................(8;

COS,O AN-AL -NI3ORME E6-I1ALEN,E >CA-E?......................................................(8;IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................(8;

CA-E DE -NA IN1ERSIÓN PERPE,-A........................................................................(82

E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................(9*

CAPÍ,-LO ;...............................................................................................................................(/(

RELACIÓN 7ENE3ICIOBCOS,O..........................................................................................(/(

DISCREPANCIAS EN,RE LA RELACIÓN 7ENE3ICIOBCOS,O EL 1ALORPRESEN,E NE,O...............................................................................................................(/8

ANÁLISIS 7ENE3ICIOBCOS,O PARA AL,ERNA,I1AS M-,-AMEN,EE@CL-EN,ES..................................................................................................................(/9

E4ERCICIOS RES-EL,OS.................................................................................................(/2

CAPÍ,-LO /...............................................................................................................................+)+

,ASA IN,ERNA DE RE,ORNO >,IR?.................................................................................+)+

IN,ROD-CCIÓN................................................................................................................+)+

,ASA MÍNIMA A,RAC,I1A DE RE,ORNO >,MAR?....................................................+)8

INCONSIS,ENCIAS EN,RE EL 1PN LA ,IR..............................................................+)8,ASA DE RE,ORNO INCREMEN,AL ,IRI.....................................................................+*5

PROEC,OS CON ,IR M-L,IPLE..................................................................................+*/

ANE@OS......................................................................................................................................+(+

ANE@O *.................................................................................................................................+(+

,A7LA DE DÍAS................................................................................................................+(+9



ANE@O (................................................................................................................................+(5

3ORM-LAS 7ÁSICAS: IN,ERES SIMPLE.....................................................................+(5

ANE@O +................................................................................................................................+(8

3ORM-LAS 7ÁSICAS: IN,ERES COMP-ES,O...........................................................+(8

ANE@O 5.................................................................................................................................+(9

3ORM-LAS 7ÁSICAS: AN-ALIDADES ORDINARIAS< AN,ICIPADAS< DI3ERIDAS<PERPE,-AS GENERALES................................................................................................+(9

ANE@O 8.................................................................................................................................+(;

3ORM-LAS 7ÁSICAS: GRADIEN,ES............................................................................+(;

ANE@O 9.................................................................................................................................+(/

3ORM-LAS 7ÁSICAS: 1ALOR PRESEN,E NE,O >1PN?............................................+(/

CAPÍTULO 1

;



INTERÉS SIMPLE

INTRODUCCIÓN

Definición: E !r'ios si'pl"s< la i$"i"r#a "co&'ica "s co!o d" !cicas 'a!"'F!icas" si'pliica la !o'a d" d"cisio"s cado os "r"!"'os a arias al!"ra!ias d" i"rsi&.

VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

Co "l di"ro las p"rsoas !i"" la capacidad d" co'prar bi""s J s"riciosK por ""'plo si co*.))) idad"s 'o"!arias s" p"d" co'prar ()) idad"s d" bi" @ " "l d#a d" oJ< " !i"'po pos!"rior co las 'is'as *.))) idad"s 'o"!arias NO s" p"d" co'prar las ())idad"s d"l 'is'o bi". Es!o si$iica " "l alor d"l di"ro a ca'biado co "l !i"'poK "s!a prdida d" pod"r adisi!io "s "&'"o "co&'ico coocido co "l o'br" d" inflación. Ni$ pa#s d"l 'do "s!F ""!o d" ilaci&< " pa#s"s d"sarrollados la ilaci&$""ral'"!" "s baa J " pa#s"s sbd"sarrollados "s al!a.

El coc"p!o a!"rior "s!F #!i'a'"!" li$ado co "l coc"p!o d" "ial"cia< " cosis!" "" s'as d" di"ro di"r"!"s " pocas dis!i!as !i"" "l 'is'o pod"r adisi!io< por ""'plo< si "l cos!o d" ar!#clo sb" ()Q dra!" ao J oJ s" pa$a *)).))) por l<d"!ro d" ao "s!" 'is'o ar!#clo cos!arF *().))) >*)).))) *.(?K "!oc"s s" p"d" d"cir " "s!as s'as so "ial"!"s.

INTERÉS

,odos los bi""s !a$ibl"s o i!a$ibl"s s" p"d" pr"s!ar " arri"do< la ca!idad " s" cobra por "l so d"l bi" "s la !ilidad o b""icio " p"rcib" "l propi"!ario d" s!"K cado "l bi" pr"s!ado "s di"ro la ca!idad r"cibida s" lla'a interés. E!oc"s s" p"d" d"iir i!"rs co'ola co'p"saci& pa$ada o r"cibida por "l so o!or$a'i"!o d"l di"ro.

EJEMPLO 1.1 -a p"rsoa !i"" oJ *.))) J los pr"s!a dra!" + '"s"s< al iali%ar "l !"rc"r '"s r"cib" *.9)) " !o!alK la di"r"cia 9)) >*.9))B*.)))? s" lla'a i!"rs J " "s!" !"!o s"

si'boli%a co I > I T9))?.

TASA DE INTERÉS

Si " "l E"'plo *.* los 9)) d" i!"rs s" "pr"sa co'o porc"!a" d" la ca!idad d" di"roiicial'"!" pr"s!ada >*.)))?K la op"raci& 'a!"'F!ica s"r#a:

/



600 $

1.000 $=0,60

dico " o!ra or'a s" r"cib" )<9) por cada p"so >? pr"s!ado al cabo d" + '"s"s & )<() cada

'"s >0,60$

3 ?K " i$"i"r#a "co&'ica )<() cada '"s s" "pr"sa co'o ()Q '"sal.

Definición !T"#" de inte$%#& Es "l porc"!a" r"cibido o pa$ado por cada * d" i"rsi& ocapi!al "!r"$ado por p"riodo d" !i"'po.

Si r""'pla%a'os las ca!idad"s por s#'bolos:

I =600$ n=3 mes P=1.000 $ i=0,20

mes

0,20

mes =

600$

1.000$

3mes

i=

I

P

n =

I

n∙ P

d"sp"ado s" !i"" "

I = P∙ i ∙ n >*.*?

E la &r'la *.* aJ 5 ariabl"s o s#'bolos " d"iir"'os as#:

Definición !C"'it"( inici"() P & Es la ca!idad d" di"ro " s" ii"r!"< !a'bi s" l" cooc" co"l o'br" d" alor ac!al o alor pr"s"!".

Definición !T"#" de inte$%#)i & Es "l porc"!a" " s" pa$a por "l so o "l alil"r d"l di"ro< "la &r'la *.*K si"'pr" s" "pr"sa " or'a d"ci'al.

Definición !Tie*'o)n& Es la draci& d" la i"rsi&< n s" p"d" "pr"sar " cali"r idadd" !i"'po >d#as< ic"as< '"s< !ri'"s!r"< s"'"s!r"s< "!c.?.

E "l ""'plo *.* los *.9)) r"cibidos al cabo d" + '"s"s s" l" lla'a 'o!o o alor !ro< " "l!"!o s" d"o!a co "l s#'bolo F .

2



Si d"s$losa'os *.9)) J r""'pla%a'os las ca!idad"s por s#'bolos !""'os

*.9)) T*.))) U9))

F = P+ I >*.(?

Si " la &r'la >*.(? r""'pla%a'os I = Pin .

F = P+ P∙ i ∙ n= P∙(1+i ∙n)

F = P∙(1+i ∙ n) >*.+?

d" la &r'la >*.+? s" p"d" d"sp"ar i< n J P .

P= F

1+¿>*.5?

i=1

n∙( F

P−1) >*.8?

n=1

i

∙

( F

P

−1

)>*.9?

RESUMEN DE +ÓRMULAS DE INTERÉS SIMPLE

I = P∙ i ∙ ni=

1

n∙( F

P−1)

F = P∙ (1+¿)n=

1

i

∙

( F

P

−1

) P=

F

1+¿

*)



INTERÉS SIMPLE

Definición Es a"l dod" "l capi!al !ili%ado > P ? para calclar "l i!"rs p"riodo a p"riodo p"r'a"c" cos!a!"K "s d"cir< o s" !i"" " c"!a "l i!"rs " s" aJa podido ac'lar " p"riodos a!"rior"s.

Aclar"'os "s!o co ""'plo.

EJEMPLO 1., Si s" solici!a crdi!o d" *.))) dra!" + aos a a !asa d" i!"rs si'pl" d"l9Q aal< VcF!o di"ro s" ac'larF al ial d" los + aosW

SOLUCIÓN

R"pr"s"!"'os co s#'bolos ad"cados los da!os coocidos J d"scoocidos d"l probl"'a

P=1000 $ n=3año i= 6

100=0,06

año F =?

El i!"rs $aado " los + aos s" calcla as#: I = P∙ i ∙ n

I!"rs d"l *"r ao: I 1=(1.000$ ) ∙(0,06año ) ∙ (1año )=60 $

I!"rs d"l (do ao: I 2=(1.000$ ) ∙(0,06

año ) ∙ (1año )=60 $

I!"rs d"l +"r ao: I 3=(1.000$ ) ∙(0,06año )∙ (1año)=60 $

I!"rs ac'lado " los + aos: 60$+60$+60$=180$

Di"ro ac'lado " los + aos: capi!al iicial U i!"rs ac'lado

F =1.000 $+180 $=1.180 $

Si !ili%a'os la &r'la >*.+?

F = P∙ (1+i ∙ n )= P+ P ∙ i ∙ n

**



F =1.000$+ (1.000$) ∙( 0,06año ) ∙ (3año)=1.180 $

NOTA E "s!" !"!o s" !ili%a aFlisis di'"sioal.El di"ro ac'lado p"riodo a p"riodo s" p"d" "co!rar as#

F =1.000$+ (1.000$ ) ∙( 0,06año ) ∙ n (año)

F =1.000 $+60$ ∙n >*.;?

La &r'la *.; os idica " "l di"ro ac'lado " ci& d"l '"ro d" p"riodos nK

>Los r"sl!ados s" p"d" !ablar?

n >ao? F =1.000$+60$ ∙n

) 1.000$+60$ ∙ (0 )=1.000$

* 1.000$+60$ ∙ (1 )=1.060$

( 1.000$+60$∙ (2 )=1.120 $

+ 1.000$+60$ ∙ (3 )=1.180 $

,abla *.*

La $rFica "s a l#"a r"c!a d" la or'a

y=f ( x )=m∙ x+b <

Dod" bT*.))) "s "l i!"rc"p!o d" l#"a co "l "" Y J m=60$

año "s la p"di"!".

*(

1a cr"ci"do " or'a cos!a!"

i=60$



3i$ra *.*

CLASES DE INTERÉS SIMPLE

Para calclar "l i!"rs si'pl" s" p"d" sar ao d" +9) d#as< ao d" +98 o +99 d#as si "s bisi"s!o. Cado "l ao "s d" +9) d#as s" l" lla'a i!"rs ordiario J si "l ao "s r"al >+98 o +99d#as? s" lla'a "ac!o.

,"i"do " c"!a "l '"ro d" d#as d"l ao pod"'os "co!rar 8 sbdiisio"s:

*. Inte$%# -"nc"$io Es "l i!"rs ordiario co los d#as r"al"s " !rascrr" dra!" "l

!i"'po d" la i"rsi& o prs!a'o ( R

360) .

(. Inte$%# co*e$ci"( o inte$%# -"#e /0 Es a"l dod" !odos los '"s"s d"l ao s"

cosid"ra d" +) d#as ( 30360 ) .

+. Inte$%# e"cto o $"cion"( Es cado s" cosid"ra al ao co d#as "ac!os >+98 o +99? J

los d#as r"al"s d"l prs!a'o o i"rsi&. ( R R ) .

*+

f > x?

n >ao?



Ordinario

."o/012 días

&3acto

4."o 015 o 0116 días

Bancario

#omercial

5. Inte$%# -"#e /2 Es cado "l ao cosid"rado "s d" +98 d#as J los d#as so r"al"s

( R

365) K o aJ ao bisi"s!o para "s!" !ipo d" i!"rs.

8. Inte$%# con tie*'o "'$oi*"do S" cosid"ra "l ao r"al J !odos los '"s"s d"l ao sod" +) d#as ( 30 R ) .

Es"'a!i%ado las 8 sbdiisio"s !""'os:

DIA3RAMAS DE +LUJO DE CAJA

,odos los probl"'as d" i$"i"r#a "co&'ica s" p"d" r"pr"s"!ar $rFica'"!".

- dia$ra'a d" lo d" caa "s si'pl"'"!" a r"pr"s"!aci& $rFica d" las "!radas J salidasd" di"ro " ocrr" dra!" "l !i"'po d" la i"rsi& o prs!a'o< "s!F co'p"s!o por a l#"aori%o!al " "s la "scala d"l !i"'po< s!a "s diidida por idad"s d" !i"'po o p"riodos.

Las "!radas d" di"ro s" si'boli%a co l"cas acia arriba J las salidas co l"cas acia

abao.

*5



7809

&ntrada

3i$ra *.(Las "!radas >i$r"sos? J las salidas >"$r"sos?< ocrr" al ial o al iicio d" cali"r p"riodoKca " "l i!"rior d" p"riodo. El dia$ra'a d"b" r"pr"s"!ar "l "ciado d"l probl"'a Jd"b" iclir lo " s" cooc" J lo " s" d"s"a "co!rar< a "% " "l dia$ra'a s" aJadibado< obs"rador a"o al probl"'a d"b"rF s"r capa% d" solcioarlo sola'"!" 'iradola $rFica. El !i"'po ) >c"ro? s" cosid"ra "l pr"s"!". Las idad"s d" !i"'po " la "scalaori%o!al las "sco$" i" a a r"sol"r "l probl"'a.

Es i'por!a!" " s" co'pr"da p"r"c!a'"!" "l si$iicado J cos!rcci& d" los dia$ra'as d"lo d" caa< Ja " cos!i!J" a "rra'i"!a pod"rosa " la solci& d" los probl"'as. Lossi$i"!"s ""'plos ils!ra la cos!rcci& d" dia$ra'as d" lo d" caa.

EJEMPLO 1. Si s" pid" pr"s!ados (.))) J s" d"b" pa$ar "l crdi!o 'Fs los i!"r"s"s d"!ro d"8 aos< VcFl "s "l 'o!o !o!al " a d" pa$ars"< si la !asa d" i!"rs "s d"l *(Q aalW

Id"!iicar co los s#'bolos ad"cados las ca!idad"s coocidas J d"scoocidasK J ad"'Fscos!rir "l dia$ra'a d" lo d" caa.

SOLUCIÓN

P T(.))) nT8 ao iT*(Q aal F TW

*8

Salida



$/8:222;

2 5

)/<

2 087

i/8= mensual

.

9

)/<

mes

3i$ra *.+

NOTA El dia$ra'a d" lo d" caa d" la i$ra *.+ s" dis"& bao la &p!ica d" i" r"cib" "ldi"ro >"l d"dor?K si s" cos!rJ" d"sd" la &p!ica d"l pr"s!a'is!a< "l s"!ido d" las l"cas "sco!rario >" c"ro acia abao J " "l !i"'po 8 acia arriba?.

EJEMPLO 1.4 Si s" co'i"%a aora J s" ac" cico d"p&si!os d" *.))) '"sal"s " ac"!a d" aorros " pa$a i!"rs d"l (Q '"sal< VcF!o s" abrF ac'ladoi'"dia!a'"!" d"sps d" " s" aJa ""c!ado "l l!i'o d"p&si!oW Cos!rJa "l dia$ra'a d"lo d" caa.

SOLUCIÓN

A=1.000 $

mes iT*(Q '"sal nT5 '"s F TW

3i$ra *.5

EJEMPLO 1.2 Spo$a " s" d"s"a d"posi!ar a s'a P " a c"!a d" aorros d"!ro dosaos< d" 'a"ra " l" s"a posibl" r"!irar 5)) aal"s dra!" 8 aos cos"c!ios "'p"%ado ar"!irar d"!ro d" 8 aos. La !asa d" i!"rs " pa$a la c"!a d" aorros "s d"l 9Q aal.Cos!rJa "l dia$ra'a d" lo d" caa.

*9



$

año A

S5))=

2 >?159087 @

i/1= anual

7> de marzo 7> de a'ril 7> de ma(o 7> de junio

mes

0 meses

SOLUCIÓN

3i$ra *.8

EJEMPLO 1./ Calclar "l i!"rs si'pl" co'"rcial d" +)).))) d"sd" "l */ d" 'ar%o al */ d" io d"l 'is'o ao al +<5Q '"sal.

SOLUCIÓN

I TW P T+)).))) iT+<5Q '"s nTW

Para calclar I s" r"i"r" cooc"r P< i J K co'o "l i!"rs co'"rcial los '"s"s so d" +) d#as J"l ao d" +9) d#as d"b"'os calclar cF!os '"s"s aJ d"sd" "l */ d" 'ar%o al */ d" io.

3i$ra *.9

nT+ '"s

R""'pla%ado " la &r'la

I = P∙ i ∙ n=(300.000$ ) ∙(0,034

mes )∙ (3mes )=30.600 $

EJEMPLO 1.5 -a p"rsoa ii"r!" (8).))) al 5)Q d"sd" "l *8 d" s"p!i"'br" d" *22/ as!a "l*/ d" oi"'br" d" *22/. Calclar:

a? El 'o!o racioal b? El 'o!o bacario

*;



219 día

$/852:222;

)/<

SOLUCIÓN

El 'o!o "s la ca!idad !ra F J F = P+ I = P+ P∙ i ∙ n

a? Para "co!rar "l 'o!o racioal o "ac!o ( R

R ) d"b"'os calclar cF!os d#as aJ

"!r" "l *8 d" s"p!i"'br" J "l */ d" oi"'br" d" *22/ co la aJda d" !abla d" d#as >1"r A"o< pF$. +2*< I$"i"r#a Eco&'ica Oc!aa Edici&< Gill"r'o 7aca Crr"a?

D#as "!r" "l *X*X*22/ J "l */X**X*22/ +(( d#asD#as "!r" "l *X*X*22/ J "l *8X2X*22/ B(8/ d#as

95 d#as

P T(8).))) iT).5) nT95 d#a F TW

F = P∙ (1+i ∙ n )= (250.000$ ) ∙(1+ 0,40365día

∙64 día)=267.534,25 $

3i$ra *.;

b? Para "co!rar "l 'o!o bacario ( R

360) los d#as cal"dario " aJ "!r" "l *8 d"

s"p!i"'br" J "l */ d" oi"'br" d" *22/

P T(8).))) iT).5) nT95 d#a F TW

F = P∙ (1+i ∙ n )= (250.000$ ) ∙(1+ 0,40

360día ∙64 día)=267.777,78 $

*/



219 día

$/852:222;

)/<

3i$ra *./

INTERÉS ANTICIPADO

Es a"l " s" cobra a!"s d" ab"rs" casado< "s d"cir< al pricipio d"l p"riodo o p"riodos d"i!"rs.

DESCUENTO

Al$os !#!los alor"s s" co'pra o s" !rasa " las bolsas d" alor"s< o por "!idad"s " s"d"dica a la co'pra J "!a d" "s!os !#!losK la co'pra s" ac" d"sco!ado a ca!idad " s"lla'a descuento< s!" s" calcla sobr" "l alor ial > F ? d"l doc'"!o. La &r'la para "lcFlclo d"l d"sc"!o "s

D= F ∙d ∙t >*./?

F : alor ial o !ro d"l doc'"!o

d : !asa d" d"sc"!o

t : !i"'po " aJ "!r" "l 'o'"!o d" la !rasacci& J la "ca d" 'adraci& o "ci'i"!o d"ldoc'"!o.

VALOR LÍ6UIDO

S" lla'a alor l#ido o alor d" !rasacci& a la ca!idad "!a " r"cib" "l "d"dor d"l !#!loalor.

VT = F − D= F − F ∙ d ∙ t = F ∙ (1−d ∙t )

VT = F ∙ (1−d ∙ t ) >*.2?

1,: alor d" la !rasacci&

*2 F >?d Q



7?A?A7@@>80A>A7@@>

d /0>= anual )/552:222;

VT/<

3i$ra *.2

EJEMPLO 1.7 -a l"!ra por 88).))) 'adra "l (+ d" a$os!o d" *22/ J a a s"r d"sco!ada "l*; d" lio d"l 'is'o ao al +/Q. D"!"r'iar "l alor d" la !rasacci&.

SOLUCIÓN

F T88).)))

Co la !abla d" d#as s" bsca cF!os d#as aJ "!r" "l *; d" lio J "l (+ d" a$os!o d" *22/.

D#as "!r" "l *X*X*2// J "l (+X/X*22/ (+8 d#asD#as "!r" "l *X*X*22/ J "l *;X;X*22/ B*2/ d#as

+; d#as

t T+; d#as

3i$ra *.*)

VT =550.000$ ∙(1− 0,38

360día ∙37día)=528.519,44 $

EJEMPLO 1.8 El *8 d" dici"'br" d" *222 a "'pr"sa r"cib" pa$ar por (.))).))) a pla%o d" 2) d#as al (8Q o'ial aal "cido d" i!"rs co'"rcial si'pl". El *5 d" ""ro lo"$ocia co baco " lo adi"r" a a !asa d" d"sc"!o d"l (2Q o'ial aal a!icipadoa i!"rs bacario. VCF!o r"cibirF la "'pr"sa por "l pa$ar J cF!o $aarF "l baco " laop"raci& d" d"sc"!oW

()

)t

n

VT

P



75A78A7@@@

75A0A8222

@2 día

$/8:222:222;

79A7A8222

i/85= anual

SOLUCIÓN

El alor iicial d"l pa$ar "s d" P T(.))).)))

nT2) d#as >D#as " aJ "!r" "l *8X*(X*222 J "l *8X+X()))?

iT).(8 aal si'pl" co'"rcial ( 30

360)

d T).(2 aal si'pl" bacario ( R

360)VT TW

El pa$ar !i"" pla%o d" 'adraci& d" 2) d#as< l"$o la 'adraci& "s "l *8 d" 'ar%o d"()))< p"ro la "'pr"sa lo "$ocia co "l baco "l *5 d" ""ro d"l ()))< "l dia$ra'a d" lo d" la"'pr"sa "s "l si$i"!".

3TW

3i$ra *.**

Al cabo d" 2) d#as la "'pr"sa r"cibir#a:

F = P∙ (1+i ∙ n )=2.000.000 $∙(1+ 0,25

360día∙90día )=2.125.000$

La "'pr"sa lo "$ocia co "l baco "l *5 d" ""ro d" ()))< l"$o los F T(.*(8.))) los r"cib" "l baco Ja " "s "l d"o d"l pa$arK "l dia$ra'a d" lo d" caa para "l baco "s "l si$i"!":

(*



79A7A822275A0A8222

17 día

VT/;

d/8@= anual

)/8:785:222;

3i$ra *.*(

S" d"b" "co!rar cF!os d#as aJ "!r" "l *5 d" ""ro J "l *8 d" 'ar%o d" ()))< aJ 9* d#as.

t T9* d#a d T(2Q aal si'pl" bacario

La "'pr"sa r"cib":

VT = F ∙ (1−d ∙ t )=2.125 .000$ ∙(1− 0,29360día

∙61día)=2.020.579,86$

El baco l" "!r"$a a la "'pr"sa (.)().8;2</9 "l *5 d" ""ro d" ())) J d"!ro d" 9* d#asr"cibirF (.*(8.)))< l"$o s !ilidad s"rF d":

-!ilidad T (.*(8.))) B (.)().8;2</9 T *)5.5()<*5

TASA REALMENTE CO9RADA EN UNA OPERACIÓN DE DESCUENTO

La !asa d" d"sc"!o s" aplica al alor !ro d"l doc'"!o< al "co!rar "l alor d" la!rasacci& >VT ?K " "l i!"rs si'pl" la !asa s" aplica al alor iicial P < para "co!rar la !asar"al'"!" cobrada s" proc"d" as#:

*. Eco!rar "l alor d" la !rasacci& a la !asa d" d"sc"!o pac!ada.

(. Cosid"r" "l alor d" la !rasacci& co'o alor pr"s"!" J "l alor d" t co'o n J l"$o!ilic" la &r'la

i=1

n

∙

(

F

P

−1

)EJEMPLO 1.10 Hallar la "rdad"ra !asa bacaria " cobra baco cado d"sc"!a doc'"!o co alor d" 'adraci& d" 5)).))) si "s d"sco!ado (8 d#as a!"s d"l"ci'i"!o al 5*Q o'ial aal a!icipado.

SOLUCIÓN

((



2

días

i/<

)/922:222;

$/0>>:17777;

iTW F T5)).))) t T(8 d#a d T5*Q aal si'pl" bacario

1e$ '"#o

VT = F ∙ (1−d ∙ t )=400.000 $ ∙(1− 0,41360día ∙25día)=388611,11 $

,do'"#o

n T (8 d#a

3i$ra *.*+

i=1

n∙( F

P−1)= 1

25día ∙( 400.000 $

388.861,11$−1)=0,00117226

día

0,00117226

día ∙

360día

año ∙100=42,20 aal "cida

DESCUENTOS EN CADENA

Es sal " sobr" a 'is'a ac!ra ocrra arios d"sc"!os< "s!o $""ral'"!" sc"d"cado a Fbrica o al'ac "d" '"rcac#a. Co "l i d" ic"!iar las "!as or"c"

di"r"!"s d"sc"!os< "!r" "llos s" d"s!aca:

*. De#c:ento 'o$ ;o(:*en Cosis!" " o!or$ar d"sc"!o " a'"!arF si la ca!idad p"dida a'"!aK a 'aJor ca!idad 'Fs d"sc"!o.

(. De#c:ento 'o$ '$onto '"<o ,i"" por ob"!o "s!i'lar al cli"!" a pa$ar la '"rcac#ao!or$ada " crdi!o lo 'Fs pro!o posibl"< "!r" '"os !ard" " cac"lar la d"da< "l porc"!a" "s 'aJor.

(+



+. De#c:ento 'o$ e*-"("=e HaJ Fbricas " "d" ss prodc!os co o si "l lo$o!ipo d"la ir'a< o los "d" a $ra"l. Co "l "'pa" d" la "'pr"sa "s 'Fs cos!oso " si l.

5. De#c:ento 'o$ te*'o$"d" S" !ili%a "s!" !ipo d" d"sc"!o cado la Fbrica " pocas

d" d"'ada baa or"c" a!rac!ios d"sc"!os< al$os cli"!"s co'pra J 'a!i""al!os i"!arios para salir d" "llos cado la d"'ada a'"!a.

8. De#c:ento 'o$ "nti<>ed"d o fide(id"d " (" *"$c" Es!os d"sc"!os s" or"c" a loscli"!"s 'Fs l"al"s.

La '"cFica d" calclar los d"sc"!os " cad"a "s co'o si$": si a "'pr"sa ac" !r"s >+?d"sc"!os " cad"a< "l alor "!o d" la ac!ra s" calcla as#:

A: alor br!o d" ac!ra

d *< d (< d +: los !r"s d"sc"!os " or'a d"ci'al

1alor "!o d" la ac!ra co "l pri'"r d"sc"!o:

A− A ∙d1= A ∙ (1−d1 )

1alor "!o d" la ac!ra co "l s"$do d"sc"!o

A ∙ (1−d1 )− A ∙ (1−d1 ) ∙ d2= A ∙ (1−d1 ) ∙ (1−d2 )

1alor "!o d" la ac!ra co "l !"rc"r d"sc"!o:

A ∙(1−d1 )∙ (1−d2 )− A ∙ (1−d1 ) ∙(1−d2 ) ∙ d3= A ∙ (1−d1 )∙ (1−d2 )∙ (1−d3 )

Con n de#c:ento#

1alor "!o d" la ac!ra T A ∙(1−d1 )∙ (1−d2 )⋯ (1−dn ) >*.*)?

D"sc"!o !o!al T alor d" la ac!ra si d"sc"!o Y alor "!o d" la ac!ra

D= A− A ∙(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯ (1−dn )

(5



D= A [1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯(1−dn ) ] >*.**?

La !asa pro'"dio d" d"sc"!o

d= D A =

A

[1−

(1−d

1)∙

(1−d

2 )⋯

(1−d

n ) ] A

d=1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯ (1−dn ) >*.*(?

EJEMPLO 1.11- al'ac or"c" los si$i"!"s d"sc"!os< sobr" a '"rcac#a cJo cos!oiicial "s d" ()).))): +)Q por "!a al por 'aJor< *)Q por pro!o pa$o al co!ado< 8 Q por "iar la '"rcac#a si "'pa". Si cli"!" co'pra a idad d" dica '"rcac#aaco$idos" a !odos los d"sc"!os:

a? VCFl "s "l alor ial d" la ac!raW

b? VCFl "s "l d"sc"!o pro'"dio " s" o!or$&W

SOLUCIÓN

d *T)<+) d (T).*) d +T).)8 AT()).)))

a? 1alor "!o d" la ac!ra T 200.000$ (1−0,30 ) ∙ (1−0,10 ) ∙ (1−0,05 )=119.700$

b? d=1−(1−0,30) ∙ (1−0,10) ∙ (1−0,05 )=0,4015

Ml!iplicado por *)) 0,4015 ∙100=40,15

EJEMPLO 1.1, -a Fbrica or"c" d"sc"!o d"l (8Q " "!as al por 'aJor< "l 8Q por pro!o pa$o J "l 5Q por "'bala". VCFl d"b" s"r "l d"sc"!o adicioal " p"d" or"c"rs" alos "'pl"ados d" la 'is'a Fbrica para " "l d"sc"!o !o!al o s"a sp"rior al +8QW

SOLUCIÓN

d *T)<(8 d (T).)8 d +T).)5 d 5TW

d=1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙ (1−d3 ) ∙ (1−d4 )

(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙ (1−d3 ) ∙ (1−d4 )=1−d

(8



7? de octu're

$ /<

82 de Marzo

)/ 752:222 ;i / 8> = anual

n/759 día

1−d 4= 1−d

(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙(1−d3 )

d4=1− 1−d(1−d1 ) ∙ (1−d2 ) ∙(1−d3 )

d4=1− 1−0,35

(1−0,25 ) ∙ (1−0,05 ) ∙ (1−0,04 )=0,049707602 ∙100

d4=4,971

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1.1 VCF!o d"b" i"r!irs" oJ *; d" oc!br" " odo " $ara!i%a "l (/Qsi'pl" r"al para " "l () d" 'ar%o d"l si$i"!" ao p"da r"!irar la s'a d" *8).)))W

So(:ción

T *85 d#a

F = P∙ (1+i ∙ n )

D"sp"ado P !""'os "

P= F

(1+i ∙ n )

(9



P= 150.000 $

(1+0.28

a ño ∙

1a ñ o

365d í a∙154d í a)

P T *+5.*8*<;(

EJERCICIO 1., Hallar "l alor pr"s"!" d" 8)).))) " + aos J '"dio al +Q '"sal.

So(:ción

i=31

2 año ∙

12mes

1a ñ o =42mes

F = P∙(1+i ∙ n)

P= F

(1+i ∙n)

P= 500.000 $

(1+0.03

mes ∙42mes)

=221.238,93 $

P=221.238,93 $

EJERCICIO 1. Hac" 9 aos co'pr lo!" " 2)).))) J oJ s" "di& " 9.))).))). Hallar la !asa d" i!"rs co'"rcial " $a " "s!" "$ocio.

So(:ción

(;



i=1

n∙[ F

P−1]

i= 1

6año ∙[6.000 .000$

900.000 $ −1]

i T )<2555 ao

i T 25<55 Q aal

EJERCICIO 1.4 V6 !a r"!abl" "s doc'"!o " oJ s" p"d" co'prar " ;8.))) "l cal

d"ol"rF al cabo d" + aos la s'a d" ++).)))W

So(:ción

(/



i=1

n∙[ F

P−1]

i= 1

3año

∙

[

330.000$

75.000$

−1

]i T **+<++ Q aal

EJERCICIO 1.2 S" r"cib" prs!a'o por *.))).))) al 5(Q o'ial aal p"r#odo "cido "ld#a / d" a$os!o d" *222 co "ci'i"!o "l / d" 'ar%o d" ())). Hallar "l alor ial d"l prs!a'o calclado los si$i"!"s i!"r"s"s:

a? I!"rs "ac!o o racioal. b? I!"rs co'"rcial o bas" +9).c? I!"rs bacario.

d? I!"rs bas" +98.

No!a: ,"$a " c"!a " "l ao ())) "s ao bisi"s!o.

So(:ción

a? I!"rs Eac!o o racioal

F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42

366dí a∙213d í a)=1.244.426,23$

b? I!"rs Co'"rcial o 7as" +9)

(2



F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42

360d í a ∙210d í a)=1.245.000 $

c? I!"rs 7acario

F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42

360dí a ∙213d í a)=1.248.500 $

d? I!"rs 7as" +98

F =1.000.000 $ ∙(1+ 0,42

365dí a ∙213d í a)=1.245.095,89$

EJERCICIO 1./ - pa$ar co alor pr"s"!" d" +)).))) "'i!ido "l *8 d" s"p!i"'br" d" *22/co pla%o d" (;) d#as a a !asa d" i!"rs d"l +)Q o'ial aal p"r#odo "cido. Hallar "lalor !ro J la "ca d" "ci'i"!o ":

a? I!"rs "ac!o o racioal. b? I!"rs co'"rcial o bas" +9).c? I!"rs bacario.d? I!"rs bas" +98.

So(:ción

a? I!"rs Eac!o o racioal

+)



F =300.000$ ∙(1+ 0,30

366d í a∙270dí a)=366.393,44 $

b? I!"rs Co'"rcial o 7as" +9)

F =300.000 $ ∙(1+ 0,30

360d í a∙ 270d í a)=367.500 $

c? I!"rs 7acario

F =300.000 $ ∙(1+ 0,30

360d í a∙ 270d í a)=367.500 $

d? I!"rs bas" +98

F =300.000$ ∙(1+ 0,30

365dí a∙270dí a)=366.575,34 $

EJERCICIO 1.5 Hall" "l alor d" 'adraci& d" pa$ar co "ci'i"!o "l () d" abril si a as"r d"sco!ado "l *+ d" 'ar%o d"l 'is'o ao al 5)Q J s alor d" !rasacci& "s d" ;/.5)).

So(:ción

VT =78.400$

d=40 anual=0.40 añ o

+*



F =?

Calcla'os "l '"ro d" d#as

1− Enero→ 20− Abril=110d í a

1− Enero→ 13− ar!o=72d í a

110d í a−72d í a=38d í a

Calcla'os "l alor d" 'adraci&

VT = F (1−d ∙n)

F = VT

(1−d ∙n)

F = 78.000$

(1−0.40

a ño ∙ 1añ o

360d í a∙38dí a)

F =81.856,15 $

EJERCICIO 1.7 -a "'pr"sa solici!a prs!a'o a baco por la s'a d" /)).)))< a pla%o d" 2) d#as J l" cobra a !asa a!icipada d"l +/Q.

a? VCFl "s "l alor l#ido " l" "!r"$aW b? Spo$a " "l baco cobra *8.))) por "l "s!dio d"l crdi!o< VCFl s"rF "l alor

liidoW

So(:ción

+(



n=90dí a

F =800.000 $

d=38 anual=0,38añ o

VT =?

a?

VT = F (1−d ∙n)

VT =800.000$ ∙(1−0,38

añ o∙ 1añ o

360d í a ∙90dí a)

VT =724.000$

b? Si'pl"'"!" s" l" d"b" r"s!ar "l alor d"l "s!dio d"l crdi!o al alor l#ido.

724.000 $−15.000 $=709.000 $

EJERCICIO 1.8 VCFl "s "l alor d"l doc'"!o " "da " pod"r d" baco< si "l

pr"s!a!ario r"cib" alor liido d" 8).))) por doc'"!o co 'adraci& " 2) d#as< si l"cobra a !asa d" d"sc"!o d"l 5*QW

a? Si !""r " c"!a cos!os d" ap"r!ra d"l crdi!o.

b? ,"i"do " c"!a " "l baco cobra (.))) por "s!dio d"l doc'"!o.

++



So(:ción

n=90dí a

d=41 anual=0.41 añ o

F =?

a?

VT = F (1−d ∙n )

F = VT

(1−dn)

F = 50.000$

(1−0.41

a ño ∙ 1añ o

360d í a∙90d í a)

F =55.710,31 $

b? Co'o "l baco cobra (.))) por "l "s!dio d"l doc'"!o< "s!" s" l" s'a a la d"da.

F = VT

(1−dn)

F = 52.000$

(1−0.41

a ño ∙ 1añ o

360d í a∙90d í a)

F =57.938,72 $

+5



EJERCICIO 1.10 - doc'"!o d" alor iicial ;).))) "s "cado "l (8 d" s"p!i"'br" d" *22/a pla%o d" +(8 d#as J i!"rs d"l +(Q. Si "s d"sco!ado por baco "l */ d" 'ar%o d"*222 al 5)Q< d"!"r'iar:

a? La "ca d" "ci'i"!o

b? El alor al "ci'i"!oc? El alor d" !rasacci&< sar i!"rs bacario.

So(:ción

n=325d í a

"=70.000 $i=32 anual=0.32a ñ o

d=40 anual=0.40añ o

VT =?

F =?

fe#ade%en#imiento=?

a?01−ene−1998→31−di#−1998=365dí a

01−ene−1998→25−se"−1998=268 d í a

365dí a−268d í a=97d í a

+8



325dí a−97 dí a=228d í a

01−ene−1999→16−a&o−1999=228 d í a

3"ca d" "ci'i"!oT 16−a&o−1999

b?

F = P(1+¿)

F =70.000$ ∙(1+0.32

añ o ∙ 1a ñ o

360d í a∙325d í a)

F =90.222,22 $

c? 7sca'os "l '"ro d" d#as para allar "l alor d" la !rasacci&

1−ene−1999 → 16−a&o−1999=228 d í a

1−ene−1999→18−ene−1999=77d í a

228 d í a−77d í a=151 d í a

VT = F (1−dn )

VT =90.222,22 $ ∙(1− 0.4

añ o∙ 1a ñ o

360d í a ∙151d í a)

VT =75.084,94 $

EJERCICIO 1.11 Hallar la "rdad"ra !asa bacaria " cobra baco cado d"sc"!a doc'"!o co alor d" 'adraci& d" 5)).))) si "s d"sco!ado (8 d#as a!"s d"l "ci'i"!oal 5*Q o'ial aal a!icipado.

So(:ción

+9



n=25d í a

i=?

d=42 anual=0,42 añ o

VT =?

F =400.000 $

Vt = F ∙d ∙ t

Vt =400.000$ ∙( 0,421año ∙25día∙

1año

360d í a )

Vt =388.611,11$

i= 1

25dí a ∙[ 400.000$

388.611,11$−1]

i=0,001172266022

Por d#a para sab"r la aal la 'l!iplica'os por "l p"riodo d" !i"'po " "s +9) d#as paraco"r!irla aal

+;



i=0,001172266022

día ∙

360d í a

año

i=0,422015767

año

i=42,2015767 A'V

EJERCICIO 1.1, S" co'pra ar!#clo por /;).))) "l d#a (8 d" oi"'br" J s" ac"rda "s"rF cac"lado '"dia!" "l sis!"'a d" pa$os parcial"s< co pla%o 'Fi'o d" + '"s"s. Si "l d#ad" la co'pra s" da a co!a iicial d"l +)Q< "l *( d" dici"'br" s" ac" aboo parcial()).))) J "l () d" ""ro d"l si$i"!" ao s" ac" o!ro aboo parcial d" *8).))). VCFl d"b"s"r "l alor d"l pa$o ial " "co al "ci'i"!o cac"lara la d"daW spo$a " s" car$a i!"rs bacario d"l +5Q.

So(:ción

P=870.000 $ i=0,34

año

No (8:S" "!r"$a ar!#clo por /;).)))

S" r"cib" "l +)Q d" co!a iicial< "s!o "s (9*.)))Saldo T /;).))) B (9*.))) T 9)2.)))Saldo al (8 o: 9)2.)))

Dic *(:Calcla'os "l '"ro d" d#as d"sd" "l (8 d" oi"'br" al *( d" dici"'br" d"l 'is'oao

+/



1−ene→25−no%=329día

1−ene→12−di#=346 día

346día−329día=17día

n=17 día

I 1=609.000 $∙0,34

año ∙

1año

360día ∙17día

I 1=9.777,83$

S" r"cib" aboo por ()).)))Saldo T 9)2.))) U 2.;;;</+ B ()).))) T 5*/.;;;</+Saldo al *( dic: 5*/.;;;</+

E" ():

Calcla'os "l '"ro d" d#as d"sd" "l *( d" dici"'br" al () d" ""ro d"l si$i"!" ao12−di#→31−di#=19 día

1−ene→20−ene=20día

19día+20 día=39 día

n=39día

I 2=418.777,83 $ ∙ 0,34

año ∙ 1año

360día ∙39día

I 2=15.424,98 $

S" r"cib" aboo por *8).)))

Saldo T 5*/.;;;</+ U 15.424,98 $ B *8).))) T (/5.()(</*

Saldo al *( dic: (/5.()(</*

3"b (8:Calcla'os "l '"ro d" d#as d"sd" "l () d" ""ro al (8 d" "br"ro d"l si$i"!" ao

1−ene→20−ene=20 día

1−ene→25−feb=56día

56día−20 día=36 día

n=36día

I 3=284.202,81 $ ∙0,34

año ∙ 1a ño

360día ∙36día

I 3=9.662,90$

+2



Saldo T (/5.()(</* U 9.662,90 T (2+./98<;*

Saldo al *( dic: (2+./98<;*

El alor d"l pa$o ial " "co al "ci'i"!o cac"larF la d"da "s d" (2+./98<;*.

9I9LIO3RA+ÍA

E cada o d" "s!os libros "co!rarF probl"'as d" aplicaci&:

• 7ACA C-RREA< G-ILLERMO. I$"i"r#a Eco&'ica< /a "dici&< ())8.

• 7LAN< LELANDK ,AR6-IN A N,HON. I$"i"r#a Eco&'ica< (da "dici&.

S" !ili%arF co'o "rra'i"!as la calcladora iaci"ra HPB*27II J so![ar" d" oa d" cFlcloMICROSO3, E@CEL.

5)



CAPÍTULO ,

INTERÉS COMPUESTO

INTRODUCCIÓN

La $ra 'aJor#a d" las op"racio"s iaci"ras s" r"ali%a a i!"rs co'p"s!oK la ra%&

da'"!al "s la capi!ali%aci& d" los i!"r"s"s casados J o pa$ados p"riodo a p"riodo.

Definición !Inte$%# co*':e#to& E "l i!"rs co'p"s!o los i!"r"s"s casados " p"riodo Jo pa$ados al ial d"l p"riodo s" s'a al capi!al ac'lado as!a "s" p"riodo< "s d"cir< s"capi!ali%a J d""$a i!"rs " "l p"riodo si$i"!".

1"a'os c&'o s" ac'la o c&'o s" "c"!ra "l capi!al F < d" capi!al iicial P a i!"rs idra!" n p"riodos< " o "!r"$a los i!"r"s"s " s" casa " cada p"riodo.

Pe$iodoC"'it"( "( inicio

de 'e$iodoInte$%# de'e$iodo

C"'it"( "( fin"( de( 'e$iodo

* P Pi ( )i P Pi P +=+ *

( ( )i P +* ( )ii P +*( ) ( )

( ) ( ) ( ) (***

**

i P ii P

ii P i P

+=++=

+++

+ ( ) (* i P + ( ) ii P (

*+ ( ) ( ) ( ) +(*** i P i P i P +=+++

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N ( )

*

*

−

+ n

i P ( ) ii P

n *

*

−

+ ( ) ( ) ( )

nn

i P ii P +=++ −

*?**

*

,abla (.*

El alor !ro s" ob!i"" co la &r'la

5*



F : alor !ro o 'o!o

P : capi!al iicial o pr"s"!"

i: !asa d" i!"rs p"ri&dica ""c!ia "cida

n: '"ro d" p"riodos.

E "l i!"rs si'pl" la "olci& d"l capi!al iicial P < dra!" n p"riodos a i!"rs i p"ri&dico"s co'o si$":

Pe$iodo

C"'it"( "( inicio de'e$iodo

Inte$%# de'e$iodo

C"'it"( "( fin"(de( 'e$iodo

* P Pi P ( P Pi P

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.n P Pi P

Pin

,abla (.(

E la !abla (.( s" obs"ra " los i!"r"s"s d""$ados " cada p"riodo o s" capi!ali%a< J "lcapi!al al iicio d" cada p"riodo "s "l 'is'o< "s d"cir< p"r'a"c" cos!a!" dra!" losn

p"riodosK al ial "l capi!al ac'lado F s"rF:

( )in P Pin P F +=+= *

La &r'la ob!"ida "s la 'is'a d"l cap#!lo *>&r'la *.+?.

EJEMPLO ,.1 Si s" pr"s!a crdi!o d" *.))) dra!" + aos a a !asa d" i!"rs co'p"s!od"l 9Q aal< VcF!o di"ro s" ac'larF al ial d" los + aosW

a? A i!"rs co'p"s!o.

b? A i!"rs si'pl".

SOLUCIÓN

Si calcla'os "l alor d" F " la &r'la (.* p"riodo a p"riodo J !abla'os los r"sl!ados

5(



n >ao? ( ) n F )9<)**))) += >?

) *.)))* *.)9)( *.*(+<9

+ *.*2*<)*9,abla (.+

Si r"s'i'os los r"sl!ados d" la !abla *.* d"l cap#!lo * J la !abla (.+

n >ao?I!"rs si'pl"

n F 9)*))) += >?

I!"rs co'p"s!o( ) n F )9<)**))) +=

>?

) *.))) *.)))* *.)9) *.)9)( *.*() *.*(+<9+ *.*/) *.*2*<)*9

,abla (.5

Pod"'os "r " la !abla (.5 " la ca!idad ac'lada p"riodo a p"riodo "s 'aJor bao la'odalidad d" i!"rs co'p"s!oK " "l ao + bao "l '!odo d" i!"rs si'pl" s" ac'la *.*/)J por i!"rs co'p"s!o *.*2*<)*9.

La &r'la n F 9)))).* += "s a ci& li"al J la &r'la( ) n F )9<)*))).* +=

"s a

ci& "po"cial d" la or'a

xb y =< "s d"cir< "s a cra. Si !ra%a'os las cio"s

( ) n F )9<)*))).* += J

n F 9)))).* += !""'os "

5+



55



D" la &r'la( ) ni P F += *

s" p"d" d"sp"ar P < i J n.

D"sp"ado P:

( ) ( ) n

n i F

i

F P

−+=+

= **

D"sp"ado i:( ) ni P F += *

( ) n

i P

F

+= *

Sacado ra#% "si'a " a'bos 'i"'bros:

( ) ( )ii P

F n n

n +=+= **

D"sp"ado n d"

( ) ni

P

F += *

:

Aplicado lo$ari!'o " a'bos 'i"'bros

( ) ( )ini P

F n

+=+= *lo$*lo$lo$

( ) ( )i

P F

i

P

F

n+

−=

+=

*lo$

lo$lo$

*lo$

lo$

58

>(.(?



RESUMEN DE +ÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO

( ) ni P F += *

( ) ni

F P

+=

*

*−= n

P

F i

( )i P F

n+

−=

*lo$

lo$lo$

TASA E+ECTIVA

Es la !asa " r"al'"!" s" cobra o pa$a " a op"raci& iaci"ra< "s la sada " "l i!"rsco'p"s!o J d" aora " ad"la!" s" si'boli%a co i.

TASA NOMINAL

Co'o s o'br" lo idica "s a !asa d" o'br"< "s!o i"r" d"cir " o "s la """c!ia'"!" s" cobra o pa$aK s" si'boli%a co la l"!ra .

Las !asas o'ial"s J ""c!ias "s!F r"lacioadasK por ""'plo< si prs!a'o s" adi"r" a a!asa aal o'ial d" *(Q J los i!"r"s"s s" liida o pa$a !ri'"s!ral'"!" >* aoT5!ri'"s!r"s?K la !asa ""c!ia !ri'"s!ral r"sl!a d" diidir la !asa o'ial por 5< " so los

!ri'"s!r"s " !i"" aoK "s d"cir<

Q+)+<)5

*(<) ==

""c!ia !ri'"s!ral.

E $""ral:

59



i: !asa ""c!ia.

!: '"ro d" p"riodos " los cal"s s" a diidido "l ao.

: !asa o'ial.

Las !asas $""ral'"!" so aal"s.

Por lo a!"rior< para " a !asa d" i!"rs "s!" corr"c!a'"!" o'brada o d"scri!a s" d"b""sp"ciicar si "s o'ial o ""c!ia J d"b" !a'bi "ciars" s p"riodicidad< "s d"cir< "l'o'"!o " "l cal s" liida los i!"r"s"s.

Aclar"'os "s!o co al$os ""'plos:

5)Q capi!ali%abl" !ri'"s!ral'"!"< "s!o si$iica " "l 5)Q "s a !asa o'ial J los i!"r"s"ss" liida o pa$a cada !ri'"s!r".

S" acos!'bra "scribir 5)Q N,1T5)Q C,T5)Q N,

N,1: No'ial ,ri'"s!r" 1"cido.

C,: Capi!ali%abl" ,ri'"s!ral'"!".

Es!o si$iica " T)<5)< J !T5 > ao !i"" 5 !ri'"s!r"s?

*).)5

5)<) ===!

i

E,1 >E"c!ia ,ri'"s!ral 1"cida?

*)Q E,1 si$iica " "s a !asa ""c!ia " s" cobra cada !ri'"s!r" " or'a "cida.

EJEMPLO ,., Si s" ii"r!" +8.))) " d"p&si!o a !r'io io a + aos al (/Q N,1.D"!"r'iar "l 'o!o d" la "!r"$a al "ci'i"!o d"l doc'"!o.

SOLUCIÓN

5;



P T+8.))) T)<(/ N,1 F TW

Co'o la !asa d"l (/Q "s o'ial d"b" co"r!irs" " ""c!ia< " "s!" caso< ""c!ia !ri'"s!ral"cida >!T5< por" ao !i"" 5 !ri'"s!r"s?.

tri!estreaño

tri!estreañon *(5+ =

=

Si"'pr" d"b" ab"r corr"spod"cia "!r" la !asa ""c!ia p"ri&dica J s p"riodo< "s d"cir< si la!asa "s ""c!ia !ri'"s!ral >E,1? los p"riodos d" !i"'po d"b" s"r !ri'"s!r"sK "s!o "s da'"!al para cFlclos pos!"rior"s.

R""'pla%ado "

( ) ( ) S;*</(9.;/);<)*S))).+8* *( =+=+= n

i P F

EJEMPLO ,.: V6 capi!al d"bo i"r!ir oJ para pod"r r"!irar 'ill& d" p"sos d"!ro d" */'"s"s spoi"do " "l capi!al i"r!ido $aa "l (/Q NS1W

SOL-CIÓN

P TW F T*.))).))) !T*/ '"s"s T)<(/ NS1

S" "c"!ra la !asa ""c!ia s"'"s!ral "cida

*5<)(

(/<)==i

ES1

5/



S" coi"r!" los */ '"s"s a s"'"s!r"s

se!estre!es

se!estre!es +

9

**/ =

( ) ( ) S8*9(<2;*.9;5

*5<)*

S))).))).*

* +

=+

=+

=n

i

F P

E6UIVALENCIA ENTRE TASAS

Definición !T"#"# e?:i;"(ente#& So a"llas " op"rado " codicio"s di"r"!"s prodc"

"l 'is'o r"sl!ado< "l coc"p!o d" op"rar " codicio"s di"r"!"s si$iica " capi!ali%a " p"riodos dis!i!os.

Aclar"'os "s!o co ""'plo.

EJEMPLO ,.4 - i"rsiois!a co'pra CD, >C"r!iicado d" D"p&si!o a ,r'io? por *.)))" pa$a "l *)Q ""c!io !ri'"s!ral< "l doc'"!o s" "c" " ao. VCFl d"b" s"r la !asa""c!ia s"'"s!ral d" o!ro CD, d" *.))) a ao< " prod%ca al i"rsiois!a "l 'is'o'o!o " "l pri'"roW

SOLUCIÓN

Para "l pri'"r CD, la si!aci& "s la si$i"!":

52



( ) ( ) S*)<595.**)<)*S))).** 5 =+=+= n

i P F

Para "l s"$do CD, la si!aci& "s la si$i"!":

P T*.))) i(TW

se!estreaño

se!estreaño! ((*( =

=

El alor !ro d"b" !""r "l 'is'o alor d"l pri'"r CD,< "s d"cir

( ) ( ) ( ) 5(

((( *)<)*S))).*S*)<595.**S))).** ( +==+=+= ii P F !

( ) ( ) 5(( *)<)** +=+i

( ) ( ) 5(

( *)<)** +=+ i

( ) (*<)**)<)* (

( =−+=i

ES1

Si$iica " *)Q E,1 "s "ial"!" a (*Q ES1< "s d"cir< prodc" "l 'is'o ""c!o.

La &r'la $""ral s"r#a "!oc"s

i*: !asa ""c!ia p"ri&dica "cida.8)



i(: !asa ""c!ia p"ri&dica "cida.

RELACIÓN ENTRE UNA TASA ANTICIPADA @ UNA TASA VENCIDA

Eis!" a r"laci& "!r" a !asa ""c!ia a!icipada J a !asa ""c!ia "cida. La d"dcci&"s la si$i"!": si i"rsiois!a ac" prs!a'o d" P >? a a !asa a!icipada ia< " "l'o'"!o d" r"cibir "l prs!a'o l" "!r"$aK

( )aa i P Pi P −=− *

D"b" "!r"$ar al ial d" p"riodo la ca!idad P >? pr"s!adaK $rFica'"!" "s!a si!aci& s"r#a:

nT *

F T P

1alor r"cibidoT( )

ai P −*

R""'pla%ado "( ) ni P F += *

!""'os:

( ) ( )"a ii P P +−= **

8*



D" la r"laci& >(./? pod"'os d"sp"ar ia " i"

D"sp"ado i"

"

a

i

i

+=

−

*

*

*

( )

a

a

a

a

a

a

a

"i

i

i

i

i

i

ii

−=

−+−

=−

−−=−

−=

**

**

*

***

*

*

D"sp"ado ia

a

"

ii

−=+

**

*

"

"

"

"

"

ai

i

i

i

ii

+=

+−+

=+

−=**

**

*

**

,a'bi "is!" las !asas o'ial"s a!icipadas " r"pr"s"!ar"'os por a J s" r"lacioa co la!asa ""c!ia a!icipada '"dia!" la &r'la

8(



RESUMEN DE +ÓRMULAS DE TASAS DE INTERÉS

( ) ( ) (*

(* ** !!

ii +=+

"

"a

i

ii+

=*

a

a"

i

ii

−=*

!

i a

a =

!

i "

" =

3R+ICA DE E6UIVALENCIA DE TASAS

Para co"r!ir !asas d" sis!"'a a o!ro s" p"d" aplicar "l "s"'a si$i"!"

3i$ra (.;

EJEMPLO ,.2

a? Hallar a !asa ""c!ia !ri'"s!ral "ial"!" al ;Q ""c!ia !ri'"s!ral a!icipada.

b? Hallar a !asa ""c!ia '"sal a!icipada "ial"!" al +Q ""c!ia '"sal.

8+



SOLUCIÓN

a? >ia?*T).); E,A !\T5 i(TW E,1 !(T5

Si obs"ra'os la i$ra (.; s" d"b" par!ir d" >9? J ll"$ar a >(? si$i"do la r!a >9?

>(?.

Co'o i* "s a !asa "cida J >ia?* "s a !asa a!icipada sar"'os la &r'laa

a"

i

ii

−=*

para "co!rar i*.

);8(9/<));<)*

);<)=

−=

"i

E,1 o ;<8(;Q E,1

b? iaTW EMA i"T).)+ EM1

)(2*+<))+<)*

)+<)

*=

+=

+=

"

"a

i

ii

EMA o (<2*+Q EMA

EJEMPLO ,./

a? Hallar a !asa ""c!ia '"sal a!icipada "ial"!" al 5*<*(Q EA.

b? Hallar a !asa ""c!ia '"sal "ial"!" al +9Q o'ial '"s a!icipado.

SOLUCIÓN

a? >ia?(TW !(T*( i*T)<5**( EA n(T*(

85



3i$ra (./

S" par!" d" >(? para ll"$ar a >;?< por la r!a >(?>+?>;?. -sado

( ) ( ) (*

(* ** !!

ii +=+

( ) ( )*((

**5**(<)* i+=+

( ) )(2*(<)*5**(<)* ((*( =⇒+=+ ii

EM1

( ) )(/+<))(2*(<)*

)(2*(<)(

=+

=ai

EMA ](</+Q EMA

b? > a?*T)<+9 NMA !*T*( i*TW EM1

88



3i$ra (.2

( ) ( )

)+<)*(

+9<)

*

*

* ===

!

i a

a

EMA

)<)+)2+)+<)*

)+<)

*=

−=

−=

a

a

"i

ii

EM1]+<)2+Q EM1

ECUACIONES DE VALOR

-a "caci& d" alor "s a i$aldad " s" c'pl" para ci"r!os alor"s d" la ic&$i!a oic&$i!as !ili%adas " "l pla!"a'i"!o d" la i$aldad.

3r"c"!"'"!" a obli$aci& o prs!a'o s" p"d" ca'biar por o!ra o!ras obli$acio"s "cas" "l 'is'o ""c!o iaci"ro. Cado s" pla!"a a "caci& d" alor< las ca!idad"siolcradas s" coloca " a 'is'a l#"a d" !i"'po !a!o "l pla d" pa$os iicial co'o "l prop"s!o.

La solci& d" la "caci& s" ob!i"" ll"ado al lo d" i$r"sos J "$r"sos a 'is'o p!o "la "scala d" !i"'po< " s" lla'a "ca ocal > ff ?.

La bicaci& d" la "ca ocal o al!"ra la r"sp"s!a< por !al 'o!io la bicaci& d" s!a s" d"a alibr" "l"cci& d" la p"rsoa " a a r"sol"r "l probl"'a. Cado s" !rabaa co i!"rs si'pl" labicaci& s# al!"ra la solci& d"l probl"'a.

La "caci& da'"!al "s:

EJEMPLO ,.5 -a p"rsoa !i"" dos d"das: a d" (8.))) pa$ad"ra " + '"s"s J o!ra d"5).))) pa$ad"ra " ; '"s"s. Si d"s"a ca'biar la or'a d" cac"larlos '"dia!" dos pa$osi$al"s d" x cada a co "ci'i"!o " 8 '"s"s J *( '"s"s aproi'ada'"!"< d"!"r'iar "lalor d" los pa$os spoi"do a !asa d"l +9Q NM.

SOLUCIÓN

89



La ra%& iaci"ra d" la "caci& d" alor "s la si$i"!": "l pr"s!a'is!a cado r"cib" "l pa$od" (8.))) !i"" la posibilidad d" $aars" la !asa i$"!" d"l '"rcado >+9Q NM?< a par!ir d"l'"s +< i$al co los 5).))) r"cibidos " "l '"s ;K si l !o'ara " prs!a'o a ca!idad d" x" "l '"s 8< J o!ra ca!idad x " "l '"s *( d"b" pa$ar la !asa i$"!".

3iaci"ra'"!" "l pri'"r pla d"b" s"r "ial"!" al s"$doK para " los i$r"sos l" alcac" para pa$ar la d"da. El dia$ra'a d" lo s"r#a as#:

3i$ra (.*)

-sado la &r'la( ) ni P F += *

para cada a d" las codicio"s iolcradas.

a? (8.))) "s!F " "l '"s + J d"b" ll"ars" al '"s *(< "s d"cir< $aa 2 p"riodos d" i!"rs.

b? 5).))) "s!F " "l '"s ; J d"b" ll"ars" al '"s *(< "s d"cir< $aa 8 p"riodos d" i!"rs.

La !asa para "l cFlclo d"b" s"r a ""c!ia '"s "cidoK Ja " la !asa o'ial "s d"l +9Q NM1.

T)<+9 !T*(

)+<)

*(

+9<)===

!

i

EM1

Aplicado la "caci& >(.*(?:

( ) ( ) ( ) x x ++=+++ ;82)+<)*)+<)*S))).5))+<)*S))).(8

8;



x((2/;<(S(2(8;<22).;/ =

((2/;<(

S(2(8;<22).;/= x

S(+85(+<;()2= x

EJEMPLO ,.7 -a "'pr"sa d"b" cac"lar oJ *8 d" "br"ro d" *22/ a d"da por ;).))) coi!"r"s"s d"l +)Q C, adirido "l *8 d" a$os!o d" *22; J o!ra d"da por *)).))) ob!"ida "l *8d" dici"'br" d" *22; co "ci'i"!o "l *8 d" io d" *22/ a la 'is'a !asa d" la d"daa!"rior< a!" la diicl!ad d" la "'pr"sa para cac"lar la d"da< "l acr""dor propo" cac"lar lasd"das co pa$o d" ().))) aora J o!ro d" (().))) " *) '"s"s. VCFl "s la !asa d" i!"rs""c!ia aal d" r"iaciaci& " s" "s!F cobradoW

SOLUCIÓN

3i$ra (.**

iTW

(= n

12=

0,30

4 =0,075 ETV

(1+i2 )m2=(1+i10 )

m1

8/



(1+0,075)4=(1+i1)12

(1+0,15)4

12=(1+i1)1

(1,15)4

12−1=i1

0,024399807 EV =i1

Halla'os los alor"s ial"s d" las d"das

F = " (1+i )n

F 1=70.000 $(1+0,024399807)n

F 1=80.893,74988 $

F 2=100.000 $(1+0,024399807)n

F =115.562,4998$

80.893,74988 $ ∙(1+i )10+115.562,4998 $ ∙(1+i)6=20.000$ ∙(1+i)10+220.000

80.893,74988 $ ∙ (1+i )10+20.000 $ ∙ (1+i )10+115.562,4998$ ∙ (1+i )6−220.000$=0

60.893,74988 $ ∙ (1+i )10+115.562,4998 $ ∙ (1+i )6−220.000=0

Para "l '!odo d" !a!"o r""'pla%a'os

I F(i)227 C02:2109@90@228 C75:18>?7900

82



220

+

229

C7?0880>5>+

2

71:0172592?

220 C7?0880>5>229 71:0172592?

I!"rpola'os

i−0,04

0,04−0,03=

0+173,2238581

16.361,05407+173,2238581

i=0,04 (0,04−0,03 ) 0+173,223858116.361,05407+173,2238581

i=0,030106561 EV

(1+i2 )m2=(1+i10 )

m1

(1+0,030106561)12=(1+i1)1

(1+0,030106561)12=(1+i1)1

(1,030106561)12−1=i1

42,75319682 EAV =i1


EJERCICIO ,.1 Hallar "l 'o!o d" 5/.))) " *(; d#as spoi"do a !asa d"l +)Q EA< s" ao d"

+9) d#as.

9)



So(:ción

iT)<+) EA P#5/.))) F TW

1+i¿n=48.000 $ ∙(1+0,3)¿

F = P∗¿¿

EJERCICIO ,., VCFl "s "l alor pr"s"!" d" /)).))) " +9 d#as al +(Q EAW -s" ao d"+9) d#as

Solci&:

9*



P TW F T/)).))) iT)<+( EA

P= F

(1+i )

n=

800.000 $

(1+0,32año)

36d í a /360 d í a=778.094,95 $

EJERCICIO ,. Hall" la r"!abilidad aal d" doc'"!o " s" adi"r" " +).))) J s""d" 9 '"s"s 'Fs !ard" " 8).))).

So(:ción

iTW F T8).))) P T+).))) T9 '"s"s T )<8 aos

i=n√ F

P −1=

0,5√ 50.000 $

30.000 $−1=1,7778

i T *;;<;/Q

EJERCICIO ,.4 VA !asa ""c!ia '"sal s" dplica capi!al " ( aos J '"dioW

So(:ción

9(



iTW P T* -M F T( -M

n=21

2añ o=2,5a ñ o ∙

12mes

a ñ o =30mes

iTn√ F

P B*T30√ 2

1 B*T )<)(++; EM1

i#$%&&'(

EJERCICIO ,.2 VA !asa o'ial !ri'"s!ral s" !riplica capi!al " 5 aosW

So(:ción

iTW9+



F T+ -M P T* -M

n=4 año∙ 4 trimestre

año =16 trimestre

i=n

√ F

P −1=

16

√3

1−1=0,071075483 ETV

i= (

m < dod" (=i ∙m=0,071075483 ∙4

T )<(/5+)*2( T (/<5+Q

EJERCICIO ,./ -a co'pa#a d"dicada a la i!"r'"diaci& iaci"ra d"s"a ac"r propa$ada para cap!ar di"ros d"l pblico< la s"cci& d" '"rcad"o l" dic" al $"r"!" d" la co'pa#a " a b"a "s!ra!"$ia d" '"rcad"o "s dplicar "l di"ro " d"posi!" los aorrador"s. Si la !adir"c!ia d" la co'pa#a a!ori%a pa$ar por la cap!aci& d" di"ro 'Fi'o d" (.8Q EM.VCF!o !i"'po d"b" drar la i"rsi&W

So(:ción

nTWiT(<8 EM1 P T* -M F T( -M

95



nTlog( F

P )log (1+i)

Tlog (2)

log (1+0,025) T (/<); '"s

EJERCICIO ,.5 VE cF!o !i"'po s" !riplica capi!al al /Q p"ri&dico !ri'"s!ral< sabi"do ""l i!"rs solo s" pa$a por !ri'"s!r"s co'pl"!osW

So(:ción

nTWiT/Q E,1 P T*-M F T+-M

nTlog( F

P )log (1+i)

Tlog (3)

log (1+0,08) T *5<(;52*582

Co *5 !ri'"s!r"s o alca%a a !riplicar "l capi!al< s" "c"si!a *8 co'pl"!os.

nT*8 !ri'"s!r"

EJERCICIO ,.7 -sado la co'paraci& d" !asas< d"cidir la '"or al!"ra!ia "!r" i"r!ir " aco'pa#a d" iacia'i"!o co'"rcial " " d"p&si!os a !r'io io pa$a "l (/Q o'ial

98



!ri'"s!ral "cido< o i"r!ir " a "'pr"sa d" !ris'o " $ara!i%a !riplicar "l capi!al " +aos J 9 '"s"s.

So(:ción

)o!*añía de financia!iento co!ercial:

T(/Q N,1 !T5 !ri'"s!r"

i# (

m #0,28

4 #)<); E,1

iT;Q !ri'"s!ral

+!*resa de turis!o:

n#+<8 aos P T*-M F T+-M

iT

n

√ F

P B*T

3.5

√3

1 B*T : )<+99/;+/*)99 EA

(1+i2 )n2=(1+i1 )

n1

(1+0,07 )4=(1+i1 )1

99



(1+i2 )n2−1=i1

i*T)<+*);29)*

)<+*);29)*^: )<+99/;+/*)99

S" d"b"r#a d" i"r!ir " la co'pa#a d" !ris'o Ja " or"c" a '"or !asa

EJERCICIO ,.8 -a 'Fia " ac!al'"!" "s!F " so ll"$arF al ial d" s ida !il al iald" + aos< para "sa poca s"rF "c"sario adirir a "a 'Fia J s" "s!i'a " cos!arF os-S().)))< la 'Fia " ac!al para "sa poca podrF s"r "dida " -S8.))). D"!"r'iar "lalor " s" d"b" d"posi!ar oJ " d"p&si!o a !r'io io d" + aos " $ara!i%a "l ;.8Q EA.

So(:ción

n=3años

F =$ 20.000

P=?

i=7,5

EA

La 'Fia ac!al s" "d"rF por -S 8.)))< por lo !a!o o !"dr"'os " d"s"'bolsar los -S().))) co'pl"!os sio 3T().)))-SB8.)))-ST*8.)))-S

P= F (1+i )n=15.000 *' $

(1+0,075)3 =12.074,40854*' $

EJERCICIO ,.10

a? Hallar a !asa o'ial s"'"s!ral "cido "ial"!" al (5Q o'ial !ri'"s!ral "cido.

So(:ción

TW NS1'( T ( T (5Q N,1

'* T 5

i T (

m T0,24

4 T ).)9 E,1

(1+i1)m1=(1+i2 )

m2

T (1+0,06 )4=(1+i2 )2

T 1,26247696=(1+i2 )2

9;





m2=12

6 =2

i1= ia1−ia

= 0,071−0,07

=0,07526 ETV

i2=2√ (1+0,07526 )

4−1=0,1561=i2

i2= (2/m2=¿ (2=i2 ∙m2=2 ∙0,1561=0,3123

(2=31,23 +'V

b?

(=27 +'V

m1=12/6

m2=12

i1= ( /m=¿0,27 /2=0,135 ES1

i2=12

√ (1+0,135 )2−1=0,02132 EV

ia=0,02132/ (1+0,02132 )=0,02087

(=0,02087 ∙12=25,04 +A

EJERCICIO ,.1,

a? Hallar a !asa ""c!ia aal< "ial"!" al (8Q ""c!io aal a!icipado.

b? Hallar a !asa ""c!ia aal a!icipada< "ial"!" al +9Q ""c!io aal.

92



c? Hallar a !asa ""c!ia aal a!icipada< "ial"!" al (.8Q p"riodo '"sal.

So(:ción

a? EA1W Eial"!" al (8Q EAA

ia= i1−i

= 0,251−0,25

=0,3333=33,33 EAV

b? EAAW Eial"!" al +9Q EA1

ia= i

1−i=

0,36

1−0,36=0,2647=26,47 EAA

c? EAAW Eial"!" al (.8Q p"riodo '"sal

(1+i1)m1 T (1+i2)m2

(1+i1)1

T (1+0,025)12

i1 T *<+55/// B *

i1 T )<+55// EA1

ia= i1−i

= 0,344881−0,34488

=0,2564=25,64 EAA

EJERCICIO ,.1 -a "'pr"sa !i"" dos d"das co baco< la pri'"ra d"da "s d" *)).)))co i!"rs d"l +)QNM< s" adiri& ac" 9 '"s"s J oJ s" "c"K la s"$da por ()).))) al+(QNM s" co!ra!& ac" ( '"s"s J "c" " 5 '"s"s< d"bido a la icapacidad d" cac"lar lad"da< la "'pr"sa propo" "l baco r"iaciar s d"da< ll"$Fdos" a ac"rdo "!r" las par!"sd" la si$i"!" or'a: Hac"r + pa$os i$al"s co "ci'i"!o " 9'< 2'< *('< co a !asa d"l++Q o'ial '"sal. VcFl "s "l alor d" cada pa$oW

So(:ción

"1=100000

"2=200000

;)



n1=6 meses

n2=6meses

(1=30 +

(2=32 +

n1=6 mesesn2=9meses n3=12meses

f 1=100.000 $ (1+0,025 )6=115.969,34 $

f 2

=200.000 $ (1+0,0266 )6=234.119,48 $

x (1+0,0275 )6+ x (1+0,0275 )3+ x=115.969,34 $ (1+0,0275 )12+234119,48$ (1+0,03 )8

;*



1,176768361 x+1,084789547 x+ x=160.592,46 $+290.865,49 $

3.262557908 x=451457.9548

x=138.375,46 $

EJERCICIO ,.14 - al'ac a a s"r "dido "l () d" a$os!o. Los i"!arios r"ali%ados "l'is'o () d" a$os!o arroaro "l si$i"!" r"sl!ado:

a? E caa /).))). b? E bacos (8).))).

c? C"!as por cobrar:

B C* c"" por 98.))) para "l +) d" s"p!i"'br".

B C( d"p&si!o a !r'io io d" 9 '"s"s por (+8.))) " i!"r"s"s al(/QNM< la i"rsi& s" ""c!& ac" + '"s"s.

d? M"rcac#as por 28).))).

"? C"!as por pa$ar:

B d* c"" por *8).))) para "l (* d" s"p!i"'br".

B d( l"!ra por 5)).))) para "l */ d" oi"'br".

Co i!"rs d"l +)Q EA sado i!"rs bacario d"!"r'i" "l alor d"l al'ac "l d#ad" la "!a.

So(:ción

;(



02Csep

82Cago

97 día

Para d"!"r'iar "l alor d" la "'pr"sa "l d#a d" la "!a d"b"'os d"!"r'iar alor ac!ald" las c"!as por cobrar J las c"!as por pa$ar.

, 1=, e-uede65.000 $ "arael 30dese"tiembre

P= F ∙(1+i)−n

P=65.000 $ ∙(1+0,3)−

(( 41d í a) ∙

( a ño

360d í a ))

P=63.086,51$

;+



-M

1 mes82Cma(

, 2= De" . sito terminofi(o

F = P∙(1+i)n

F =235.000$ ∙(1+0,023333333)6mes

F =269.879,93 $

P= F ∙(1+i)−n

P=269.879,93 $ ∙(1+0,023333333)−3mes

P=251.836,82 $

,t =Totaldelas#uentas "or #obrar

,t =, 1+, 2

,t =63.086,51 $+251.836,82$

;5



82Cago

&.

08 día

,t =314.923,32 $

d 1=, e-ue "or 150.000 $ "arael 21 dese"tiembre

P= F ∙(1+i)−n

P=150.000$ ∙(1+0,3)−((32d í a )∙( a ñ o

360 dí a ))

P=146.524,29 $

d 2= /etra "or 400.000 $ "ara el18 deno%iembre

P= F ∙(1+i)−n

;8



82Cago

&.

@2 día

P=400.000$ ∙(1+0,3)−( (90día )∙( año

360 día))

P=374.605,50 $

Dt =Total delas #uentas "or "a&ar

Dt =d1+d 2

Dt =521.129,79 $

VT =80.000 $+250.000 $+950.000 $+314.923,32 $−521.129,79 $

VT =1.073.793,54 $

EJERCICIO ,.12 HoJ s" co!ra" a d"da por 8).))) co i!"r"s"s al +)QN, J "ci'i"!o" 9 '"s"s J aJ a d"da por /).))) co!ra#da ac" + '"s"s co i!"r"s"s al +(QNS J"ci'i"!o " * ao. VE "ca d"b"rF ac"r pa$o d" *;).))) para cac"lar las d"dasspoi"do " "l r"di'i"!o or'al d"l di"ro "s d"l (.8Q '"salW

So(:ción

;9



0 mes

1 mes

78 mes

7?2:222 ;

(=30 +T

i= (

m

i=0,30

4 =0,075 ET

F = P∙(1+i)n

F =50.000$ ∙(1+0,075)2 trimestre=57.781,25$

(=32 +'

i= (

m=

0,32

2 =0,16 E'

;;



F = P∙(1+i)n

F =80.000$ ∙(1+0,16)2=107.648$

n=? F =170.000$

i=2,5 EV

(1+i1)m1=(1+ i2)

m2

(1+0,025)12/4−1=i2

i=0,076

` I$r"sos T`E$r"sos

57.781,25 $+107.648 $ ∙(1+0,076)−1=170.000 $ ∙ (1+0.076)−(n−2)

15.7743,12 $=170.000$ ∙(1+0,076)−(n−2)

15.7743,12 $

170.000 $ =(1+0,076)(2−n)

log0,9279=2−n log1,076

n=2+1,0215

n=3,0215trimestre∙ 3mes

trimestre=9,0645mes

;/



78 mes

7?2:222 ;

EJERCICIO ,.1/ Hallar "l !i"'po " " d"b" ac"rs" pa$o d" +).)))< para cac"lar dosd"das: a d" *8.)))< co "ci'i"!o " 9 '"s"s J o!ra d" *8.))) co "ci'i"!o " (9'"s"s. Spo$a a !asa d"l +)Q NM.

So(:ción

(=30 +

i= (

m=

0,30

12 =0,025 EV

15.000 $+15.000 $(1+0,025)−20=30.000 $(1+0,025)−(n−6 )

0,805135=(1+0,025)(6−n)

6−n= log 0,805135

log (1+0,025 )

6−n=−8,777716

n=14,777716meses=1año2meses23días 0

EJERCICIO ,.15 R"s"la "l probl"'a a!"rior spoi"do a !asa d"l +) QN,.

So(:ción

;2



02

@

72 75

n

7?2:222;

722:222;@2:222;

>5:572@1;

>2:222;

mes

i=0,3 ETV

(1+i1)m1=(1+i2)

m2

(1+0,3)1=(1+i2)3

(1+0,3)1

3=(1+i2)

i2=0,091392883

15.000$+15.000$(1+0,091392883)−20=30.000 $(1+0,091392883)−(n−6 )

0,586965631=(1+0,091392883)(6−n)

6−n= log 0,586965631

log (1+0,091392883 )

n=12,93171701meses0

EJERCICIO ,.17 S" d"b" pa$ar: /) ))) " + '"s"s< *)) ))) " *) '"s"s J 2) ))) " *8'"s"s J s" a a cac"lar " dos pa$os< "l pri'"ro por *;) ))) " 2 '"s"s< V" "cad"b"rF pa$ar /8 8*).29 para saldar las d"das spoi"do " "l di"ro rid" "l /Q !ri'"s!ralW

So(:ción

/)



i=8 ETV →lle%andoa EV m2=12 1m1=4

i2=(1+i1)m1

m2−1→(1+0.08)4

12−1=0,025985568 EV

x=0,025985568

∑ E&resos=∑ In&resos

80.000$+100.000 $

(1+ x )7 +

90.000$

(1+ x )12 =

170.000$

(1+ x)6 +

85.510,96$

(1+0,25)n−3

83967,551124−21

85510,26 =(1+ x )

3−n

=log0,9819=(3−n)(log1,025985568)

n=3− log0,9819

( log1,025985568)=3−(−0,71 )=n=3,71meses

n=3meses y21dias

EJERCICIO ,.18 E "l d"sarrollo d" proJ"c!o bo "c"sidad d" a i"rsi& iicial d" ;)))) J s" ob!i"ro i$r"sos por 8) ))) " + '"s"s J 58 ))) a los *) '"s"s. Hallar lar"!abilidad ""c!ia '"sal " $""r& "l proJ"c!o.

So(:ción

50.000 $+ 45.000 $

(1+i)7 =70.000 $(1+i)3

50.000 $+ 45.000 $

(1+i)7 −70.000 $(1+i)3=0

/*



i=n√ F

P −1=

10√ 95.000 $

70.000$−1=0,031009237tasa de arran-ue

i

5946,9 x−5=0−946,90

x0 6−5−3443,54

6−3443,54 x=5,21

EJERCICIO ,.,0 -a "'pr"sa !i"" !r"s d"das as#:

Valor Tasa Fecha deDesembolso

Fecha deVencimiento

8:222:222 57= &. 75C21C@> 75C21C@@0:222:222 98= -TV 77C72C@> 75C78C@@1:222:222 92= -MV 25C78C@> 25C78C@@

La "'pr"sa s" d"clara " cocorda!o J " r"i& co ss acr""dor"s r""s!rc!ra ss

pasios co las si$i"!"s "cas J 'o!os:

Pago Fecha?:?22:222 75C21C22?:>22:222 89C77C22>:222:222 72C29C27

Eco!rar la !asa d" r""$ociaci& sado bas" +98.

F 1=$2.000 .000 (1+0.51)1=$3.020.000 i1=0.42

4 =0.105 ETV →a¿base 365días0

i2=(1+i2 )m1

m2−1de11−10−98a15−12−99→430días 0

/(



i2=(1+0.105 )4

365−1=0=0.0010948 EDV

F 2=3.000.000 (1+0.0010948 )430=$ 4.802.702,5890 (=0.70 +V

i=0.4012

=0.033 EV → EDV F 3=$6.000.000(1+0.033)12=$8.892.758,938

*8B)9B22 a *)B)5B)* 998 d#as.

)8B*(B22 a *)B)5B)* 52( d#as.

*8B*(B22 a *)B)5B)* 5/( d#as.

*8B)9B)) a *)B)5B)* (22 d#as.

(5B**B)) a *)B)5B)* *+; d#as.

3.020 .000 (1+ x )665+8.892.758,94 (1+ x )492+4.802.402,59 (1+ x )482+7.700 .000 (1+ x )299+7.800.000 (1+ x )

x=i1=9,15 ∙10−4

ED i2=(1+i2 )m1

m2−1 i2=(1+9.15 ∙10−4 )365

1 −1 i2=39,65 +AV

9I9LIO3RA+ÍA


/+






CAPÍTULO

ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUASY GENERALES

Definición !An:"(id"d& Es a s"ri" d" pa$os i$al"s J cos"c!ios< " s" pa$a o cobra aliicio o al ial d" cada p"riodo d" i!"rs. -a aalidad d"b" c'plir las si$i"!"s

codicio"s:

*. ,odos los pa$os so d" i$al alor.

(. ,odos los pa$os s" ac" a i$al"s i!"ralos d" !i"'po.

+. A !odos los pa$os s" l"s aplica la 'is'a !asa d" i!"rs.

/5



5. El '"ro d" pa$os "s i$al al '"ro d" p"riodos d" i!"rs.

HaJ dos clas"s d" aalidad"s

a? Aalidad "cida.

b? Aalidad a!icipada.

La aalidad "s "cida cado los pa$os s" ac" al ial d" cada p"riodo.

La i$ra +.* "s a s"ri" d" aalidad"s "cidas< Ja " c'pl" co las 5 codicio"s"'"radas a!"rior'"!".

La i$ra +.( o "s a s"ri" d" aalidad"s< Ja " iola la codici& '"ro >5?.

La i$ra +.+ "s a aalidad a!icipada Ja " c'pl" co las codicio"s "'"radasa!"rior'"!".

DEDUCCIÓN DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA SERIE3EOMÉTRICA

-a s"ri" $"o'!rica "s a s"c"cia d" !r'ios " si$" "s!a l"J: "l pri'"r !r'io d" las"ri" "s a J "l s"$do !r'io "s ar < "l !"rc"ro "s "l s"$do 'l!iplicado por r < "s d"cir< ar (<c'plidos" la l"J " !r'io "s "l a!"rior 'l!iplicado por r < "l '"ro r s" lla'a ra%&.

a ar ( ar ( ar + B ar n

* ( + 5 B n

/8



Si s'a'os los !r'ios d" la s"ri" $"o'!rica !""'os

Si 'l!iplica'os la "caci& >+.*? por r

Si a la "caci& >+.(? l" r"s!a'os la "caci& >+.*?

( ) ( ) aar ar ar ar ar aar ar ar ar ar srs nnn −=+++++−+++++=− −*+(5+(......

( ) ( ** −=− nr ar s

s: la s'a d" los !r'ios d" la s"ri" $"o'!rica.

r : ra%&.

n: '"ro d" !r'ios.

a: pri'"r !r'io.

u: l!i'o !r'io.

EJEMPLO .1 -a "'pr"sa d"cid" pa$ar cada ao diid"dos a ss acciois!as d" !al or'a "s" icr"'"!" " /Q cada ao. Si " *229 pa$aro (.)9).)))< calclar:

a? VCF!o pa$aro " *2/9W

b? VCF!o pa$aro " "l ()*)W

/9



c? Calclar la s'a d" diid"dos pa$ados d"l ao *2/) al ao *225.

SOLUCIÓN

a?

Si " cali"r ao s" pa$a /Q 'Fs " "l ao a!"rior

)/<*)/<*)/<) =⇒=+ r x x x

<

los pa$os si$" a s"ri" $"o'!rica.

As'i"do " *229 "s "l l!i'o !r'io "!r" *2/9 J *229

n T *229 Y *2/9 U * T ** !r'ios

( ) S8/88<*;/.285

)/<*

S))).)9).(****

* ===⇒= −−−

n

n

r

uaar u

>Pa$o d"l ao *2/9?

b? n T ()*) Y *229 U * T *8

( ) S/99<9*/.)8).9)/<*S))).)9).( **8*

=== −−nar u

c? As'i"do " uT285.*;/<8/88 >Ao *2/9?

n T *2/9 Y *2/) U* T ;

( ) S+9+(<(25.9)*

)/<*

S8/88<*;/.285*;*

===−−n

r

ua

n T *225 Y *2/) U* T*8

/;



S)8<5*+.+(9.*9*)/<*

*)/<*S+9+(<(25.9)*

*

* *8

=

−−

=

−−

=r

r a s

n

DEDUCCIÓN DEL VALOR +UTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS

Si s" ac" d"p&si!os d" A>? al ial d" cada o d" los n p"riodos< " a c"!a d" aorros " pa$a i ""c!io p"ri&dico "cido< "l alor ac'lado F al ial d" los n p"riodos< s" calcla as#:

Ll"ado a !ro J pla!"ado la "caci& d" alor !""'os

∑ ∑= egresosingresos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ai Ai Ai Ai Ai A F nnn

+++++++++++= −−−

**...*** (+(*

El s"$do 'i"'bro d" la "caci& >+.8? "s a s"ri" $"o'!rica cJo pri'"r !r'io "s A J lara%& "s >*Ui?< "!oc"s s s'a s"rF:

( )

( )

( ) ( )

−+=

−+

−+=

−+−+

=i

i A

i

i A

i

i A s

nnn**

**

**

**

**

//



L"$o

D" la "caci& >+.9?< por d"sp""< s" d"dc" "

DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VENCIDAS

Haci"do "ca ocal " "l 'o'"!o c"ro d" a s"ri" d" aalidad"s "cidas< s" ll"a a pr"s"!" cada a d" las aalidad"s.

Ml!iplicado la "caci& >+./? por >*Ui?

/2



El 'i"'bro d"r"co d" la "caci& >+.2? "s a s"ri" $"o'!rica< Ja " a #A J( )i

r +=

**

Ml!iplicado "l '"rador J "l d"o'iador " la "caci& a!"rior J si'pliicado >*U i? s"!i"" "

-a &r'la "ial"!" 'Fs Fcil d" 'a"ar s" ob!i"" coir!i"do al '"rador >*Ui?n co'o>*Ui?,n.

( )( )

( ) ( )

+−+=+

−+=

−−

i

ii Ai

i

i A P

nn

n**

***

)

D" la "caci& >+.**?< d"sp"ado A s" ob!i""

2)



D" la "caci& >+.*(?< d"sp"ado A s" ob!i""

EJEMPLO ., Hallar "l 'o!o J "l alor pr"s"!" d" () pa$os d" (.))) cada o< spo$a a!asa d"l */Q.

SOLUCIÓN

F TW P TW *eriodo

A S

))).(=

nT() iT)<*/ p"ri&dica "cida

( ) ( )S25<(88.(2+

*/<)

**/<)*S))).(

** ()

=

−+=

−+=

i

i A F

n

( ) ( ) S52<;)8.*)*/<)*/<)**S))).(**

()

=

+−=

+−=

−−

ii A P

n

EJEMPLO . Para la co'pra d" a!o'&il " al" 9.))).)))K s" "i$" a co!a iiciald"l 5)Q J "l r"s!o s" cac"la " +9 co!as '"sal"s< Va cF!o asc"d"rF la co!a si los i!"r"s"sso d"l +<8 ""c!io '"salW

2*



SOLUCIÓN

Co!a iicial T 9.))).))) ).5 T (.5)).)))

P T alor a iaciar T 9.))).))) ).9 T +.9)).)))

n T +9 '"s!es

A SW=

i T )<)+8 EM1

( ) ( ) S22<5((.*;;

)+8<)**

)+8<)S))).9)).+

** +9

=

+−=

+−=

−−ni

i P A

EJEMPLO .4 Si " "l ""'plo +.+ s" or"c" ( co!as "!raordiarias: la pri'"ra d" +8).))) "

"l '"s 8< J la s"$da d" 8)).))) " "l '"s */< VcFl s"rF "l alor d" la co!a ordiariaW

SOLUCIÓN

P T+.9)).))) nT+9 '"s iT)<)+8 EM1

2(



Haci"do "ca ocal " al p!o c"ro< pla!"ado la "caci& d" alor

( ) ( ) ( )

+−++++=

−−−

)+8<)

)+8<)**)+8<)*))).8)))+8<)*))).+8)S))).9)).+

+9*/8

A

!es A

S);<9++.*52=

EJEMPLO .2 D"s"a r"irs" "ac!a'"!" 9).))) '"dia!" d"p&si!os '"sal"s " odo" pa$a "l +9Q CM.

a? VCF!os d"p&si!os d" *.))) d"b" ac"rs"W

b? V6 d"p&si!o adicioal "co co!a'"!" co "l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF los 9).)))W

c? V6 d"p&si!o adicioal "co " '"s d"sps d"l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF los 9).)))W

SOLUCIÓN

a- F T9).))) T)<+9 CM!es

A SW=

nTW

)+.)*(

+9<)==i

EM1

( )

−+=

i

i A F

n**

2+



( ) ** −+=⋅ nii

A

F

( ) ( )ini

A

F ii

A

F n +=

+⋅⇒+=+⋅ *lo$*lo$**

( ) ( ) /+(2();2<+5

)+<)*lo$

*)+<)S))).*

S))).9)lo$

*lo$

*lo$

=+

+⋅

=+

+⋅

=i

i A

F

n

D"b" ac"rs" +5 d"p&si!os co'pl"!os< 'Fs a ca!idad adicioal para co'pl"!ar los9).)))

b? Co +5 d"p&si!os "l alor ac'lado s"r#a:

( )*;98(<;+).8;

)+<)

*)+<)*S))).*

+5

* =

−+= F

El d"p&si!o adicioal TS(;).(S/(<(92.(S*;98(<;+).8;S))).9) ≅=−

c? Co "l d"p&si!o *.))) d"l '"s +5 s" d"b" adicioar

25



( )( ) x++

−+= )+<)*

)+<)

*)+<)*S))).*))).9)

+5

S8+/S2*/*/;/<8+; ≅= x

ANUALIDAD ANTICIPADA

E la aalidad a!icipada los pa$os s" ac" al iicio d" cada p"riodo d" i!"rsK s dia$ra'a d"lo "s "l si$i"!":

DEDUCCIÓN DEL VALOR +UTURO DE UNA SERIE DE ANUALIDADESANTICIPADAS

Para "co!rar "l alor !ro d" las aalidad"s " "l p!o n< a$r"$a'os J r"s!a'os aaalidad " "l p!o n.

28



Pla!"ado la "caci& d" alor " "l p!o n

∑ ∑= egresosingresos

( ) ( )

A F i

i Ai A

nn +=

−+++

***

R"ord"ado J ac!ori%ado:

( )( ) F Ai A

i

i A

nn

=−++

−+*

**

( ) ( ) F ii

i Ai

i A

nn

=⋅

−++

−+

****

( )( ) F i

i

i A

nn

=+

−+*

**

29



Si " la &r'la( ) ni

F P

+=

* r""'pla%a'os la "caci& >+.*8? "co!ra'os

La "caci& >+.*9? s" p"d" r"pr"s"!ar as#:

EJEMPLO ./ - co!ra!o d" arr"da'i"!o por ao "s!abl"c" "l pa$o d" ().))) '"sal"sal pricipio d" cada '"s. S" or"c" cac"lar "l co!ra!o a s iicio< VcF!o s" d"b" pa$arW<spoi"do:

a? ,asa d"l +)Q CM.

b? ,asa ""c!ia d"l +Q '"s a!icipado.

SOLUCIÓN

a? P TW nT*( T)<+) CM!es

A S))).()= )(8<)

*(

+)<)===

!

i

EM1

2;



( )( )

( )( ) S*;<(/5.(*))(8<)*

)(8<)

)(8<)**S))).()*

** *(

=+

+−=+

+−=

−−

ii

i A P

n

b? Co'o la !asa "s ""c!ia '"s a!icipado s" d"b" co"r!ir a '"s "cido< Ja " las !asas" las &r'las d" i!"rs co'p"s!o d"b" s"r "cidas J ""c!ias.

)+)2(;/+8<))+<)*

)+<)

*=

−=

−=

a

a"

i

ii

EM1

( )

( ) S)2(;<*)8.()5)+)2(;/+8<)*)+2(;/+8<)

)+)2(;/+8<)**

))).()

*(

=+

+−=

−

P

EJEMPLO .5 - "ipo d" soido c"s!a 5)).))) al co!ado< p"ro p"d" s"r cac"lado " (5co!as '"sal"s d" ++.)))< cada a ""c!Fdos" la pri'"ra "l d#a d" la "!a. V6 !asa""c!ia '"sal s" "s!F cobradoW

SOLUCIÓN

P T5)).))) nT(5 '"s

!es A

S))).++=

2/



( ) ( )))).+9;

**))).++

** (+

=

+−=

+−=

−−

i

i

i

i A P

n

S" si'pliica la "caci& a!"rior

( )[ ] ii ))).+9;**))).++ (+

=+− −

( ) ii ))).+9;*))).++))).++ (+

=+− −

( ) )))).++*))).++))).+9; (+

=−++ −

ii

Es!" probl"'a s" r"s"l" por !a!"o< dado a la ic&$i!a i alor"s " r"s"la la "caci& pla!"ada< "s!a "caci& "s a ci& d" iK para co'"%ar " alor aproi'ado al "rdad"ros" proc"d" as#:

a? HaJ (+ co!as d" ++.))) cada a< las s'a'os ari!'!ica'"!" J ac"'os dia$ra'a d" lo d" caa< as'i"do " "sa ca!idad >++.))) (+ T ;82.)))? "s!F ""l 'o'"!o (+< "l dia$ra'a "da as#

22



b? Para "co!rar i s" aplica la "caci& >(.+?

)+()2<)*S))).+9;

S))).;82* (+ =−=−= n

P

F i

c? Co alor c"rcao al ob!"ido s" iicia probado la "caci& a r"sol"r< por !a!"o<as!a " s" "c"!r" alor " r"s"la la "caci&

( ) )))).++*))).++))).+9; (+

=−++ −

ii

Definición !Inte$'o("ción& Es "co!rar alor d"scoocido " "s!F "!r" dos alor"sd"scoocidos.

i f >i?)<)5 B5./**<)+)<)8 B+.;89<*5)<)9 B(.*9)<92)<); B*+/<;8

)<);* /+<(; ,abla +.*

*))



( )

( );8<*+/(;</+

;8<*+/)

);<));*<)

);<)

−−−−

=−

− x

( ) +)<);)9(525;8<*+/(;</+

;8<*+/);<));*<));<) =

+

−+= x

Q)9<;);)9<) ⇒= x

EM1

AMORTIACIÓN

Es cac"lar a d"da por co!as p"ri&dicas< i$al"s o d"si$al"sK por lo $""ral " "l alor d" laco!a< par!" d" "lla "s para pa$ar a ca!idad d"l capi!al ad"dado as!a "l 'o'"!o J "l r"s!o "s pa$o d" i!"r"s"s.

Para cooc"r la "olci& d" la d"da $""ral'"!" s" "labora a !abla< lla'ada tabla dea!orti.ación< " '"s!ra p"riodo a p"riodo lo si$i"!":

a? P"riodos o co!as pa$adas

*)*



b? Saldo o capi!al isol!oK "s d"cir< "l capi!al " s" "da d"bi"do d"sps d" pa$ar laco!a.

c? I!"rs pa$ado p"ri&dica'"!".

d? 1alor d" la co!a."? A'or!i%aci& o capi!alK " "s la par!" d" la co!a asi$ada al pa$o d" la d"da.

E!"da'os "s!os cFlclos '"dia!" ""'plo.

EJEMPLO .7 Elaborar a !abla para a'or!i%ar la s'a d" +.))).))) " pa$os !ri'"s!ral"sdra!" *8 '"s"s co a !asa d"l 59Q C,.

SOLUCIÓN

ATW

tri!estre!es

tri!estre!esn 8+

**8 = =

T)<59 C,

**8<)5

59<)===

!

i

E,1

( ) ( )

+(<258./(*

**8<)**

**8<)S))).))).+

** 8

=

+−

=

+−

=−−n

i

i P A $

trimestre

S" d"b" pa$ar 8 co!as i$al"s d" /(*.25(<+( al ial d" cada !ri'"s!r".

Al iali%ar "l pri'"r !ri'"s!r" los cFlclos so los si$i"!"s:

*)(



I!"rs pa$ado d"l pri'"r !ri'"s!r":

( )tri!estretri!estre

Pin I ***8<)

S))).))).+

==

S))).+58* = I

D" la co!a " s" pa$a al ial d"l !ri'"s!r" * >/(*.258<+(?< +58.))) so i!"r"s"s J s"a'or!i%a "l capi!al.

A'or!i%aci& a capi!al TS+(<258.5;9S))).+58S+(<258./(* =−

El capi!al isol!o o "l saldo d"sps d" pa$ar la pri'"ra co!a s" calcla as#:

Saldo T D"da a!"s d"l pa$o d" la co!a Y A'or!i%aci& a capi!al

Saldo TS9/<)85.8(+.(S+(<258.5;9S))).))).+ =−

Para "l s"$do !ri'"s!r" los cFlclos so as#:

( ) S(//(<*8*.(2)***8<)

S9/<85.8(+.( =

== tri!estre

tri!estre Pin I

A'or!i%aci& a capi!al TS)+*/<;25.8+*S(//(<*8*.(2)S+(<258./(* =−

Saldo TS95/<(9).22*.*S)+*/<;25.8+*S9/<)85.8+8.( =−

P"riodo

Saldo >? I!"rs >? Co!a >? A'or!i%aci& >?

) +.))).))) B B B* (.8(+.)85<9/ +58.))) /(*.258<+( 5;9.258<+(( *.22*.(9)<95/ (2).*8*<(//( /(*.258<+( 8+*.;25<)+/+ *.+2/.+*)<+)+ ((/.225<2;58 /(*.258<+( 82(.28)<+588

5 ;+;.*;)<99;/ *9)./)8<9/5/ /(*.258<+( 99*.*+2<9+8(8 )<)(8 /5.;;5<9(9/ /(*.258<+( ;+;.*;)<92+(,abla +.(

CAPITALIACIÓN

*)+



Capi!ali%ar "s r"ir a s'a d" di"ro< d"posi!ado p"ri&dica'"!" a d"!"r'iada ca!idad<"l capi!al ac'lado al ial d" p"riodo< $aa i!"rs para "l pr&i'o< d" "s!a or'a s" ob!i"""l 'o!o d"s"ado al iali%ar "l !i"'po d" capi!ali%aci&.

E!"da'os "s!a or'a d" aorrar< d"sarrollado ""'plo.

EJEMPLO .8 Elaborar a !abla para capi!ali%ar la s'a d" (.))).))) '"dia!" d"p&si!oss"'"s!ral"s dra!" + aos. Spo$a a !asa d"l 5(Q CS.

SOLUCIÓN

ATW

se!estreaño

se!estreañon 9

*

(+ =

=

T)<5( C, F T(.))).)))

(*<)(5(<) ===

! i

ES1

( )

( ) ( )

−+=

−+=⇒

−+=

*(*<)*

(*<)S))).))).(

**

**9n

n

i

i F A

i

i A F

2(<5)8.*29= A $

trimestre

P"riodo

Ac'lado >? I!"rs >? Co!a >? Icr"'"!o >?

* *29.5)8<2( ) *29.5)8<2( *29.5)8<2(

*)5



( 5+5.)8;<)8 5*.(58<(5 *29.5)8<2( (+;.98*<*9+ ;(*.9*8<)) 2*.*8*<22 *29.5)8<2( (/;.88;<2*5 *.)92.89)<); *8*.8+2<*8 *29.5)8<2( +5;.258<);8 *.52).8;+<9) ((5.9);<9* *29.5)8<2( 5(*.)*+<8+9 (.))).))) +*+.)()<59 *29.5)8<2(( 8)2.5(9<+)

,abla +.+

ANUALIDADES DI+ERIDAS

Las aalidad"s is!as as!a aora so a!icipadas o "cidas< la pri'"ra aalidad pa$ada s"r"ali%aba al iicio o al ial d"l pri'"r p"riodo< a aalidad "s di"rida cado "l pri'"r pa$os" ""c!a cado Ja a !rascrrido ci"r!a ca!idad d" p"riodo 'aJor " o.

E!"da'os "s!a 'odalidad co ""'plo.

EJEMPLO .10 Cado s io c'pl" *( aos< padr" ac" d"p&si!o d" x " a idciaco "l ob"!o d" as"$rar ss "s!dios i"rsi!arios< los cal"s iiciarF cado c'pla () aos.Spoi"do " para "sa poca "l alor d" la 'a!r#cla aal " la i"rsidad s"rF d" +)).)))J " p"r'a"c"rF cos!a!" dra!" los s"is aos " dra los "s!dios i"rsi!arios< VcFld"b" s"r "l alor d" xW Spo$a a !asa d"l +)Q.SOLUCIÓN

1e$ *%todo S" ac" "ca ocal " "l ao *2 J " "s!" p!o s" pla!"a la "caci& d" alorK n* T*2 Y *( T ;< n( T (8 Y *2 T 9

∑∑ = egresosingresos

*)8



( ) ( )

+−=+

−

+)<)

+)<)**S))).+))+)<)*

9;

x

;2</+(.;2((;<9 = x

(;<9

S;2</+(.;2(= x

T*(955/<9*)/

E l"$a" si'b&lico x> F X P < +)Q< ;? T +)).)))> P X A< +)Q< 9?

,do *%todo Haci"do "ca ocal " "l ao (8

S" calcla cF!os p"riodos aJ "!r" "l 'o'"!o >ao? (8 J "l 'o'"!o *(

n T (8 Y *( T *+

*)9



S" calcla cF!os p"riodos aJ "!r" "l 'o'"!o (8 J "l 'o'"!o *2

n T (8 Y *2 T 9

S" pla!"a la "caci& d" alor

( ) ( )

−+=+

+)<)

*+)<)*S))).+))+)<)*

9*+

x

S))</)2./(9.+(2<+) = x

S/*(9++2<)((

(2<+)

S))</)2./(9.+ == x

E l"$a" si'b&lico

x> F X P < +)Q< *+? T +)).)))> P X A< +)Q< 9?

E "l ""'plo obs"ra'os " a'bos '!odos da la 'is'a r"sp"s!aK "s!o si$iica " la"ca ocal s"l"ccioada o al!"ra la r"sp"s!a d"l probl"'aK la "ca ocal la "sco$" i"r"s"la "l probl"'a.

ANUALIDADES PERPETUAS

-a aalidad dod" "l '"ro d" co!as i$al"s "s iii!o s" lla'a aalidad p"rp"!aK sdia$ra'a d" lo "s "l si$i"!":

Para "co!rar "l alor pr"s"!" "ial"!" s" sa la &r'la >+.**? J sabi"do "∞→n

< por "s!a ra%& s" d"b" "co!rar "l l#'i!" d" la "pr"si&:

*);



( )

( )

( )

( )

+−+

=

+−+

=∞→∞→ n

n

nn

n

n ii

i A

ii

i A P

*

**li'

*

**li'

La "pr"si& "!r" corc"!"s s" p"d" si'pliicar as#:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )i

i

i

ii

ii

in

n

n

nn

n

+−

=

++

+−

++

*

**

*

*

*

*

*

*

( )ii

i n

n

**

**

li' =+

−

∞→

R""'pla%ado "l l#'i!" pori

*

K "!oc"s

EJEMPLO .11 - ilF!ropo a cr"ado a is!i!ci& d" caridad J d"s"a asi$ar s

cioa'i"!o a p"rp"!idad. S" "s!i'a " "s!a is!i!ci& "c"si!a para s cioa'i"!o*)).)))< al ial d" cada '"s< dra!" "l pri'"r aoK ()).)))< al ial d" cada '"s< dra!" "ls"$do ao J +)).))) al ial d" cada '"s< " or'a id"iida. Spoi"do a !asa d"l +)QCM< allar "l alor d" la do!" >s" d"o'ia dote al alor ico "< "!r"$ado al pricipio<as"$ra "l 'a!"i'i"!o a p"rp"!idad< " "l caso d" las p"rsoas "l 'a!"i'i"!o "s i!alicio?.

SOLUCIÓN

*)/

)



T )<+) CM

)(8<)*(

+)<)==i

EM1

P T A*> P/A< (<8Q< 0$? U A*> P/A< (<8Q< *(? > P/F < (<8Q< *(?U)(8<)

+ A

> P/F < (<8Q< (5?

P T *)).))> P/A< (<8Q< n? U()).)))> P/A< (<8Q< *(? > P/F < (<8Q< *(?

U)(8<)

S))).+))

> P/F < (<8Q< (5?

( ) ( ) ( ) ( ) (5*(

*(*(

)(8<)*)(8<)

S))).+)))(8<)*)(8<))(8<)**S))).())

)(8<))(8<)**S))).*)) −

−−

+++

+−+

+−= P

29<;(5.*/8.2= P

ANUALIDADES 3ENERALES

E al$as si!acio"s los pa$os o aalidad"s s" ac" " p"riodos di"r"!"s a los p"riodos d"capi!ali%aci&K por ""'plo< aorrador p"d" d"posi!ar ca!idad"s d" di"ro i$al"s al ial d"cada '"s " a c"!a bacaria " l" liid" los i!"r"s"s por !ri'"s!r"s "cidos< " "s!asi!aci& los p"riodos d" pa$o J p"riodos d" capi!ali%aci& o coicid"< para r"sol"r probl"'asdod" s" pr"s"!" "s!a si!aci& s" p"d" proc"d"r d" dos 'a"ras:

a? Hac"r a 'odiicaci& al probl"'a ori$ial d" !al or'a " los p"riodos d"capi!ali%aci& coicida co los pa$os.

b? Hac"r a 'odiicaci& d" !al or'a " los pa$os coicida co los p"riodos d"capi!ali%aci&.

E!"da'os los dos '!odos co ""'plo.

EJEMPLO.1, Hallar "l 'o!o d" +) pa$os !ri'"s!ral"s d" (8.))) cada o spoi"do a!asa d"l (5Q CM.

SOLUCIÓN

E "s!" probl"'a los pa$os s" ac" !ri'"s!ral'"!" J la capi!ali%aci& "s '"sal.

*)2



M%todo 1

T)<(5

)(<)*(

(5<)===

!

i

EM1

tri!estre A

S))).(8=

F TW7sca'os a !asa !ri'"s!ral "ial"!" al )<)( EM1. -sado la &r'la

( ) ( ) (*

(* ** !!

ii +=+

( ) ( ) (

(

*(*)(<)*

!i+=+

( ) ( )(5 *(

*)(<)* i+=+

( ) )9*(*<)*)(<)* +

( =−+=i E,1

Aora !""'os pa$os !ri'"s!ral"s J la !asa ""c!ia !ri'"s!ral "cida< co "s!o ac"'os "ldia$ra'a d" lo "ial"!":

( ) ( )S22).)*/.(S/);<2/2.)*/.(

)9*(*<)

*)9*(*<)*S))).(8

** +)

≅=

−+=

−+=

i

i A F

n

M%todo , Cada d"p&si!o !ri'"s!ral s" p"d" co"r!ir " d"p&si!os '"sal"s "ial"!"s.

**)



3i$ra +.(;

( ) ( ) !esi

i F A

S/;<*9/./

*)(<)*

)(<)S))).(8

** ++

=

−+=

−+=

Los +) d"p&si!os !ri'"s!ral"s s" coi"r!" " 2) >+) +? d"p&si!os '"sal"s< "l dia$ra'a d"lo "s "l si$i"!"

( ) ( )S22).)*/.(/);)5<2/2.)*/.(

)(<)

*)(<)*S))).(8

** 2)+

≅=

−+=

−+=

i

i A F

Por los dos '!odos s" cosi$" la 'is'a r"sp"s!a >(.)*/.22)?


***



EJERCICIO .1 -a p"rsoa a a co'prar a 'Fia " al" /)).)))< co "l ob"!o d" pod"r dispo"r d" "sa ca!idad "l *8 d" dici"'br" d" *2/2. Co'i"%a a ac"r d"p&si!os'"sal"s d" R< " odo " pa$a "l +)Q CM. Si "l pri'"r d"p&si!o lo ac" "lK *8 d""br"ro d" *2//< allar "l alor d"l d"p&si!o '"sal.

So(:ción

4T +)Q CM ATW 3T /)).)))

i= (

m=

0.30

12 =0.025 E

A= F [ i

(1+i)n−1 ]

A=800.000 [ 0.025

(1+0.025)23−1 ]=26.157,10251 $

EJERCICIO ., - doc'"!o "s!ipla pa$os !ri'"s!ral"s d" *).)))< iiciado "l pri'"r pa$o"l () d" ""ro d" *2/; J !"r'iado "l () d" lio d" *228. Si s" d"s"a ca'biar "s!" doc'"!o por o!ro " "s!ipl" pa$os !ri'"s!ral"s d" R< co'"%ado "l () d" abril d" *2// J !"r'iado"l () d" lio d" *2/2< allar "l alor d" la co!a. Spo$a a !asa d"l ()Q C,.1ugerencia: El alor d" los doc'"!os d"b" s"r i$al " "l p!o " "scoa co'o "ca ocal.

So(:ción 23#44T ()QC, P1=100.000$ P2= R $

**(



i= (

m=

0.20

4 =0.05 ET

P1=100001−(1+0.05)−35

0.05 =163.741,9429 $

P2= R $ [ (1+0.05 )6−1

0.05 (1+0.05 )6 ]= R $ (5,075692067) 163.741,9429= R$ (5,075692067)

(1+0.25 )6

RT 5*.*;(</;

EJERCICIO . -a p"rsoa s" co'pro'"!" a pa$ar 9).))) '"sal"s< a par!ir d"l / d" lio d"*2// as!a "l / d" dici"'br" d" *2/2< para dar c'pli'i"!o a "s" co!ra!o< s" propo" ac"r d"p&si!os '"sal"s d" R cX< " a c"!a d" aorros " co'o '#i'o l" $ara!i%a "l *.8Q""c!io '"sal. Si "l pri'"r d"p&si!o lo ""c!a "l / d" 'ar%o d" *2/9< VcFl s"rF "l alor d"R< spoi"do " "l l!i'o d"p&si!o lo arF:

a? El / d" dici"'br" d" *2/2. b? El / d" lio d" *2//.

c? El / d" io d" *2//.d? El / d" abril d" *2/;.

So(:ción

iT*.8QEM F 1 ¿ F 2

**+



a.

F 1=60.000[ (1+0.015 )18−1

0.015 ]=1.229.362,543 $

Co'o F 1 ¿ F 2 E!oc"s:

F 2=1.229.362,543

F 2= A [ (1+0.015 )46−1

0.015 ]

1.229.362,543= A [65.56841397 ]

A=[1.229.362,54365.56841397 ]A T */.;52<+2

b.

**5

(+



F 2= A [ (1+0.015 )29−1

0.015 ](1+0.015)17

1.229.362,543= A [ 46,36705858 ]

A=1.229.362,543

46.36705858

A=26.513,70565 $

c.

F 2= A [ (1+0.015 )28−1

0.015 ](1+0.015)18

1.229.362,543= A [ 45,07903825 ]

A=1.229.362,543

45,07903825

A=27.271,26821

d.

**8



F 2= A [ (1+0.015 )14−1

0.015 ](1+0.015)32

1.229.362,543= A [24,88012596 ]

A=1.229.362,543

24,88012596

A=49.411,42762$

EJERCICIO .4-a d"da d" /)).))) a a s"r cac"lado " pa$os !ri'"s!ral"s d" ;/.)))

dra!" !a!o !i"'po co'o "r" "c"sario. Spoi"do a !asa d"l +)Q C,.a? VCF!os pa$os d" ;/.))) d"b" ac"rs"W b? VCo pa$o ial "co " + '"s"s d"sps d"l l!i'o pa$o d" ;/.))) cac"larF lad"daW

So(:ción

PT /)).))) 4T+)Q C,TW

i= (

m=

0,30

4 =0,075 ET

P= A ∙[ 1−(1+i )−n

i ]**9



800.000$=78.000$ [ 1−(1+0,075 )−n

0,075 ]800.000$

78.000 $ =

[1− (1+0,075 )−n

0,075

]0,769230769=[1−(1+0,075 )−n ]

(1,075)−n=0,23076923

−n=

log0,23076923

log1,075

n=20,27549306

800.000$=78.000$ ∙[ 1−(0,075 )−20

0,075 ]+[ x

(1+0,075 )21 ]

x=[800.000$−795.170,326 $

0,218988974 ] x=22.054,41613 $

**;



EJERCICIO .2R"s"la "l probl"'a a!"rior si la !asa "s d"l 5(Q C,. 4s!ii" s r"sp"s!ad"sd" "l p!o d" is!a 'a!"'F!ico J d"sd" "l p!o d" is!a iaci"ro.

So(:ción

4T 5(Q C,PT/)).))) AT;/.))) TW

i= (

m=

0,42

4 =0,105 ET

a. P= A ∙[ (1+i )n−1

i (1+i )n ]800.000$=78.000$ ∙[ (1+0,105 )n−1

0,105 (1+0,105 )n ]1,076923077 (1+0,105 )n=(1,105)n−1

1=(1,105 )n [ 1−1,076923077 ]

[ 1

0 2076923077 ]= (1,105 )n

**/



13

−log¿=n log1,105¿

n=

[ −log13

log1,105

]= E noay solu#ion

EJERCICIO ./ D"s"a r"irs" "ac!a'"!" 9).))) '"dia!" d"p&si!os '"sal"s d" *.)))<" odo " pa$a "l +9Q CM.

a? VCF!os d"p&si!os d" *.))) d"b"rF ac"rs"W b? V6 d"p&si!o adicioal "co co!a'"!" co "l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF 9).)))W

c? V6 d"p&si!o adicioal "co " '"s d"sps d"l l!i'o d"p&si!o d" *.)))co'pl"!arF 9).)))W

So(:ción

3T9).)))AT*.))) T+9Q CM'T*(TW

i= (

m

i=36

12=3 E =0,03 EM

a?

**2



F = A ∙[ (1+i )n−1

i ]

60.000$=1.000$ ∙

[ (1+0,03 )

n

−10,03 ]

60.000 $

1.000 $ =

(1+0,03)n−1

0,03

60 (0,03 )=(1+0,03 )n−1

1,8+1=(1+0,03 )n

2,8=1,03n

n= log (2,8)log (1,03 )

n=34,83292079=34 "a&os

b?

*()



F = A ∙

[ (1+i )n−1

i ]+ 3

60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )34−1

0,03 ]+ 3

60.000 $=57.730,17652 $+ 3

3 =2.269,823483 $

c?

*(*



60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )34−1

0,03 ] ∙ [1+0,03 ]+ 3

60.000$=(57.730,17652 $ ) ∙ (1,03 )+ 3

3 =60.000 $−59.462,08182 $

3 =537,9181844 $

EJERCICIO .5 R"sol"r "l probl"'a a!"rior< iclJ"do d"p&si!o adicioal d" ;.)))< " "l

p"riodo *).So(:ción

a. 60.000$ ∙=1.000$ ∙[ (1+0,03 )n−1

0,03 ]+7.000$ (1+0,03)n−10

0=1.000$ ∙

[ (1+0,03 )

n

−10,03 ]

+7.000$ ∙ (1+0,03 )n−10−60.000$

n09 E

*((



372 C

n=29

b. 60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )29−1

0,03 ]∙ (1,03 )+7.000$ ∙ (1+0,03 )19+ x

x=2056,607428 $

c. 60.000$=1.000$ ∙[ (1+0,03 )29−1

0,03 ]∙ (1,03 )+7.000$ ∙ (1+0,03 )20+ x

x=782$

EJERCICIO .7 Para cac"lar a d"da d" /).)))< co i!"r"s"s al (5Q CM< s" ac" pa$os'"sal"s d" +.))) cada o.

a? VCF!os pa$os d" +.))) d"b" ac"rs"W b? VCo pa$o adicioal< "co co!a'"!" co "l l!i'o pa$o d" +.))) s"cac"larF la d"daW

c? V6 pa$o adicioal< "co '"s d"sps d"l l!i'o pa$o d" +.)))< cac"larF lad"daW

So(:ción4T(5Q CM

*(+



i= (

m=

0,24

12 =0,02 E

A. P= A ∙

[

1−(1−i )−n

i

]80000=3000 1−(1+0.02)−n

0.02

−0.4666=−(1+0.02)−n

log (0.4666 )=−n log (1.02)

n=38.4940295

7. 80.000$=3.000 $ ∙[ (1+0,02 )38−1

0,02 ∙ (1+0,02 )38 ]+ x

(1+0,02 )38

x=1439,08 $

C. 80.000$=3.000 $ ∙

[ (1+0,02 )38−1

0,02 ∙ (1+0,02 )38 ]+

x

(1+0,02 )39

x=1467,86622 $

EJERCICIO .8 R"sol"r "l probl"'a a!"rior spoi"do " s" ac" pa$o adicioal d"*).)))< co la dci'a co!a.So(:ción

iT ).)(

*(5



a. 80000=3000 1−(1+0.02)−n

0.02 +10000(1+0.02)−10

71796.517=3000 1−(1+0.02)−n

0.02

−0.521356553=−(1+0.02)−n

log (0.521356553 )=−n log (1.02)

n=32.89064117

b. 80000=3000 1−(1+0.02)−32

0.02 +10000(1+0.02)−10+ x (1+0.02)−32

x=2622,36 $

c. 80.000$=

[ 1.000

(1+0,02 )10 ]+3.000$ ∙

[1−(1+0,02 )−32

0,02

]+

x

(1+0,02 )33

x=2674,80 $

*(8



.

122:222;

89 mes2 7 8FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

EJERCICIO .10 -a 'aia c"s!a al co!ado 9)).)))< para pro'o"r las "!as< s" or"c"" p"d" s"r "dida " (5 co!as '"sal"s i$al"s< ""c!Fdos" la pri'"ra "l d#a d" la "!a.Si s" car$a i!"rs d"l +Q ""c!io '"sal< calclar "l alor d" cada pa$o.

So(:ción

PT9)).))) alor d" la 'aiaT(5co!as '"sal"sIT).)+ EMATW

P= A ∙[ 1−(1+i )−n

i ] ∙ [1+i ]

600.000$= A ∙[ 1−(1+0,03 )−24

0,03 ] ∙ [1+0,03 ]

600.000$= A ∙ (16,93554212) ∙ (1,03 )

A=[ 600.000$

17,44360839 ] A=34.396,55298 $

*(9



EJERCICIO .11 - odo para "'pl"ados pr"s!a a socio la s'a d" (.))).))) para s"r pa$ado " + aos< '"dia!" co!as '"sal"s ior'"s< co i!"r"s"s sobr" saldos al (5Q CM.Si " "l 'o'"!o d" pa$ar la s"!a co!a< d"cid" pa$ar " or'a a!icipada las co!as ;</ J 2:

a? VCFl d"b" s"r "l alor a cac"lar al "ci'i"!o d" la s"!a co!aW b? VCFl d"b" s"r "l alor d" los i!"r"s"s d"sco!adosW

So(:ción

PT(.))).))) prs!a'o

n=3añ os∗12mes

1a ño =36mes

T(5CM

'T*(

i= (

m=

0,24

12 =0,02 E

P= A [ 1−(1+i )−n

i ]

2.000 .000$= A ∙

[1− (1+0,02 )

−36

0,02 ]

A=2.000.000 $ ∙[ 0,02

1− (1+0,02 )−36 ]

A=78.465,70520 $

*(;



a?

P= A ∙[ 1−(1+i )−n

i ]

P=78.465,6399 $ ∙

[1−(1+0,02 )−3

0,02

] P=226.285,9347 $

El alor a pa$ar "l '"s 9.

Es la aalidad d"l '"s 9 'Fs "l alor pr"s"!" d" las co!as ;</ J 2.

;/.598<9+22 U ((9.(/8<2+5; T +)5.;8*<9+22

b?

IT 3 Y P

IT >+;/.598<9+22?B ((9(/8<2+5;

IT 2**)<2/8))))

*(/



EJERCICIO .1, -a p"rsoa adop!a pla d" aorros d"l odo A7C< " "s!abl"c" d"p&si!os'"sal"s d" *.)))< co'"%ado "l pri'"ro d" "br"ro d" *2/9 as!a "l pri'"ro d" abril d"*2/; J< d"p&si!os '"sal"s d" (.)))< d"sd" "l pri'"ro d" 'aJo d" *2/; as!a "l pri'"ro d"dici"'br" d" *2/;. El capi!al as# r"ido p"r'a"c"rF " "l odo as!a "l pri'"ro d" io d"

*2/9< "ca " la cal l" s"rF "!r"$ado al sscrip!or !o co i!"r"s"s calclados al *(Q CM.El pla a!"rior "s!aba cioado p"r"c!a'"!" s"$ lo proJ"c!ado p"ro< por ra%o"sco'"rcial"s la !a dir"c!ia d"l odo A7C d"cidi& "< a par!ir d"l pri'"ro d" oc!br" d"*2/9< "l odo pa$ara a !odos ss cli"!"s d" aorros "l */Q CM. VCFl s"rF "l capi!al "< "l pri'"ro d" io d" *2//< l" "!r"$arF a la p"rsoa " d"cidi& adop!ar "l plaW

S$"r"cia: *.)))' 9 ⌉¿ *Q (1+0,015)20 U*.)))

' 6 ⌉¿ *.8Q (1+0,015)14

U (.))) ' 8⌉¿ *<8Q (1+0,01)6

So(:ción

F = A ∙[ (1+i)n−1

i ]*(2



F 1=1.000$ ∙[ (1+0,010 )9−1

0,010 ]=9.368,527268 $

F 2

=1.000$ ∙

[ (1+0,015 )6−1

0,015

]=6.229,550930 $

F 3=2.000$ ∙[ (1+0,015 )8−1

0,015 ]=16.865,67821 $

F t = F 1( 1+i )n+ F 2( 1+i )n+ F 3 (1+i )n

t =¿9.368,527268 ∙ (1,015 )20+6.229,550930 ∙ (1,015 )14+16.865,67821 ∙ (1,015 )6

F ¿

F t =38.732,99514 $

EJERCICIO .1 -a 'aia prodc" (.))) idad"s '"sal"s las cal"s d"b" "d"rs" a/) cX. El "s!ado ac!al d" la 'aia "s r"$lar J s o s" r"para podr#a s"rir dra!" 9 '"s"s'Fs J l"$o d"s"carla< p"ro si oJ l" ac"'os a r"paraci& !o!al a cos!o d" /)).)))< s"$ara!i%ar#a " la 'aia podr#a s"rir dra!" ao co!ado a par!ir d" s r"paraci&.

Spoi"do a !asa d"l 5Q ""c!io '"sal< Vs"rF acos"abl" r"pararlaWSo(:ción

*+)



Prodcci&T(.))) dX'"sPr"cioT/) cXAT/)(.)))T*9).)))PT/)).)))iT)<)5EMT9 '"s"s si o s" r"paraT*( '"s"s si s" r"para

Si r"pararla

F = A ∙(1+i )n−1

i

F 1=160.000$ ∙[ (1+0,04 )6−1

0,04 ]=1.061.276,074$

41= F 1∙(1+i)n

41=1.061.276,074 $ ∙ (1+0,04 )6

41=1.342.852,800 $

R"parFdola

*+*



F 2=160.000$ ∙[ (1+0,04 )12−1

0,04 ]=2.404.128,874$

42= F 2−800.000 $ ∙ (1+i )n

42=2.404.128,874 $−800.000 $ ∙ (1+0,04 )12

42=1.123.303,099$

No "s acos"abl" r"parar la 'aia por"K la $aacia cado la 'aia o "s r"parada "s'aJor " la $aacia cado la 'aia "s r"parada ": (*2.852<;)*).

EJERCICIO .14 Elaborar a !abla para a'or!i%ar la s'a d" +.))).))) " pa$os !ri'"s!ral"sdra!" *8 '"s"s co a !asa d"l 59Q C,.

So(:ción

PT+.))).)))T *8 '"s"sT 8 !ri'"s!r"s T 59QC,T)<59C,

*+(



i= (

m=

0,46

4 =11,5 ET

A= P ∙

[

i

1−(1+i )

−n

] A=3.000 .000 $ ∙[ 0,115

1− (1+0,115)−5 ]=821.945,3159 $

Periodo

Saldoinicial ($)

Interés($)

Cuota ($) Amortizacin ($)

Saldo !nal($)

7 0:222:222 095:222 >87:@9507

5@

9?1:@9507

5@

8:580:2591>

9

8 8:580:2591

>9

8@2:7578>

>?

>87:@9507

5@

507:?@928

?8

7:@@7:81215

?

0 7:@@7:8121

5?

88>:@@9@?

55

>87:@9507

5@

5@8:@5209

29

7:0@>:07207

?

9 7:0@>:0720

7?

712:>251>

19

>87:@9507

5@

117:70@18

@5

?0?:7?21>?5

5 ?0?:7?21>

?5

>9:??918@

21

>87:@9507

5@

?0?:7?21>

1>

2

EJERCICIO .12 Elaborar a !abla para capi!ali%ar la s'a d" (.))).))) '"dia!" d"p&si!oss"'"s!ral"s dra!" + aos. Spo$a a !asa d"l 5(Q CS.

So(:ción

T )<5( CS

i=

0,42

2 =0,21 ES1

*++



n=3año( 2semestre

1año )=6 semestre

A=2.000.000 $ ∙[ 0,21

(1+0,21 )6−1 ]A T *29.5)8<2(+5

P"riodo Saldo Iicial I!"rs Co!a Icr"'"!o Saldo 3ial

* )<)) )<)) *29.5)8<2( *29.5)8<2( *29.5)8<2(( *29.5)8<2( 5*.(58<(5 *29.5)8<2( (+;.98*<*; 5+5.)8;<)2+ 5+5.)8;<)2 2*.*8*<22 *29.5)8<2( (/;.88;<2* ;(*.9*8<))

5 ;(*.9*8<)) *8*.8+2<*8 *29.5)8<2( +5;.258<);

*.)92.89)<)/

8

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9

*.52).8;+<9( +*+.)()<59 *29.5)8<2( 8)2.5(9<+/

(.))).)))<))

EJERCICIO .1/ -a p"rsoa d"s"a r"ir /)).))) '"dia!" d"p&si!os '"sal"s d" R cX<dra!" 8 aos " a c"!a " pa$a "l +)Q CM. VCFl "s "l !o!al d" i!"r"s"s $aados as!a "l'"s +)W

So(:ción T )<+ CM

i=0,3

12 =0,025 EV

*+5



n=5año( 12mes

1año )=60mes

A=800.000$ ∙[ 0,025

(1+0,025 )60−1 ]A T 8.//(<;*9;(

P"riodo Saldo Iicial I!"rs Co!a Icr"'"!o Saldo 3ial

* )<)) )<)) 8.//(<;( 8.//(<;( 8.//(<;(( 8.//(<;( *5;<); 8.//(<;( 9.)(2<;/ **.2*(<8)+ **.2*(<8) (2;</* 8.//(<;( 9.*/)<8+ */.)2+<)+5 */.)2+<)+ 58(<++ 8.//(<;( 9.++8<)5 (5.5(/<);8 (5.5(/<); 9*)<;) 8.//(<;( 9.52+<5( +).2(*<529 +).2(*<52 ;;+<)5 8.//(<;( 9.988<;8 +;.8;;<(8; +;.8;;<(8 2+2<5+ 8.//(<;( 9./((<*8 55.+22<+2/ 55.+22<+2 *.*)2<2/ 8.//(<;( 9.22(<;) 8*.+2(<*)

2 8*.+2(<*) *.(/5</) 8.//(<;( ;.*9;<8( 8/.882<9**) 8/.882<9* *.59+<22 8.//(<;( ;.+59<;* 98.2)9<+(** 98.2)9<+( *.95;<99 8.//(<;( ;.8+)<+; ;+.5+9<;)*( ;+.5+9<;) *./+8<2( 8.//(<;( ;.;*/<9+ /*.*88<++*+ /*.*88<++ (.)(/<// 8.//(<;( ;.2**<9) /2.)99<2+*5 /2.)99<2+ (.((9<9; 8.//(<;( /.*)2<+2 2;.*;9<+(*8 2;.*;9<+( (.5(2<5* 8.//(<;( /.+*(<*( *)8.5//<55*9 *)8.5//<55 (.9+;<(* 8.//(<;( /.8*2<2+ **5.))/<+;*; **5.))/<+; (./8)<(* 8.//(<;( /.;+(<2+ *((.;5*<+)*/ *((.;5*<+) +.)9/<8+ 8.//(<;( /.28*<(8 *+*.92(<88

*2 *+*.92(<88 +.(2(<+* 8.//(<;( 2.*;8<)+ *5)./9;<8/() *5)./9;<8/ +.8(*<92 8.//(<;( 2.5)5<5* *8).(;*<2/(* *8).(;*<2/ +.;89</) 8.//(<;( 2.9+2<8( *82.2**<8)(( *82.2**<8) +.22;<;2 8.//(<;( 2.//)<8) *92.;2(<)*(+ *92.;2(<)* 5.(55</) 8.//(<;( *).*(;<8( *;2.2*2<8((5 *;2.2*2<8( 5.52;<22 8.//(<;( *).+/)<;) *2).+))<(+(8 *2).+))<(+ 5.;8;<8* 8.//(<;( *).95)<(( ()).25)<58

*+8



(9 ()).25)<58 8.)(+<8* 8.//(<;( *).2)9<(+ (**./59<9/(; (**./59<9/ 8.(29<*; 8.//(<;( **.*;/<// ((+.)(8<89(/ ((+.)(8<89 8.8;8<95 8.//(<;( **.58/<+9 (+5.5/+<2((2 (+5.5/+<2( 8./9(<*) 8.//(<;( **.;55</* (59.((/<;++) (59.((/<;+ 9.*88<;( 8.//(<;( *(.)+/<5+ (8/.(9;<*;

,o!al I!"r"s"s '"s +) /*.;/8<99

EJERCICIO .15 Para cac"lar a d"da d" (.))).))) co i!"r"s"s al +9Q CM s" ac" pa$os '"sal"s d" R cX< dra!" *8 aos.

a? Calclar "l alor d" la d"da d"sps d" ab"r "co "l pa$o '"ro **)

b? Calclar "l !o!al d" los i!"r"s"s pa$ados as!a "l '"s **)

S$"r"cia:

Para la par!" a?< calcl" "l alor pr"s"!" " "l '"s **) d" los ;) pa$os " al!a por cac"lar.

Para la par!" b?< all" la di"r"cia "!r" "l !o!al pa$ado J "l !o!al a'or!i%ado.

So(:ción

T )<+9 CM

i=0,36

12 =0,03 EV

n=15año(12mes

1año )=180mes

*+9



A=2.000.000 $ ∙[ 0,03

1− (1+0,03 )−180 ]A T 9).(25</+85+

P=60.294,83543 $ ∙

[1−(1+0,03 )−70

0,03

] P=1.755.991,898 $

P"riodo Saldo Iicial I!"rs Co!a Saldo 3ial

* (.))).)))<)) 9).)))<)) 9).(25</5 *.222.;)8<*9

( *.222.;)8<*9 82.22*<*8 9).(25</5 *.222.5)*<5/

+ *.222.5)*<5/ 82.2/(<)5 9).(25</5 *.222.)//<92

5 *.222.)//<92 82.2;(<99 9).(25</5 *.22/.;99<8(

8 *.22/.;99<8( 82.29+<)) 9).(25</5 *.22/.5+5<9/

9 *.22/.5+5<9/ 82.28+<)5 9).(25</5 *.22/.)2(<//

; *.22/.)2(<// 82.25(<;2 9).(25</5 *.22;.;5)</+

/ *.22;.;5)</+ 82.2+(<(+ 9).(25</5 *.22;.+;/<((

2 *.22;.+;/<(( 82.2(*<+8 9).(25</5 *.22;.))5<;5

*) *.22;.))5<;5 82.2*)<*5 9).(25</5 *.229.9()<)5

** *.229.9()<)5 82./2/<9) 9).(25</5 *.229.((+</*

*( *.229.((+</* 82.//9<;* 9).(25</5 *.228./*8<92

*+ *.228./*8<92 82./;5<5; 9).(25</5 *.228.+28<+(

*5 *.228.+28<+( 82./9*</9 9).(25</5 *.225.29(<+8

*8 *.225.29(<+8 82./5/</; 9).(25</5 *.225.8*9<+/

*9 *.225.8*9<+/ 82./+8<52 9).(25</5 *.225.)8;<)5

*; *.225.)8;<)5 82./(*<;* 9).(25</5 *.22+.8/+<2*

*/ *.22+.8/+<2* 82./);<8( 9).(25</5 *.22+.)29<82

*2 *.22+.)29<82 82.;2(<2) 9).(25</5 *.22(.825<99

() *.22(.825<99 82.;;;</5 9).(25</5 *.22(.);;<99

*+;



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(( *.22*.858<*9 82.;59<+8 9).(25</5 *.22).229<9/

(+ *.22).229<9/ 82.;(2<2) 9).(25</5 *.22).5+*<;5

(5 *.22).5+*<;5 82.;*(<28 9).(25</5 *.2/2./52</9

(8 *.2/2./52</9 82.928<8) 9).(25</5 *.2/2.(8)<8(

(9 *.2/2.(8)<8( 82.9;;<8( 9).(25</5 *.2//.9++<()

(; *.2//.9++<() 82.982<)) 9).(25</5 *.2/;.22;<+9

(/ *.2/;.22;<+9 82.9+2<2( 9).(25</5 *.2/;.+5(<55

(2 *.2/;.+5(<55 82.9()<(; 9).(25</5 *.2/9.99;<//

+) *.2/9.99;<// 82.9))<)5 9).(25</5 *.2/8.2;+<)/

+* *.2/8.2;+<)/ 82.8;2<*2 9).(25</5 *.2/8.(8;<55

+( *.2/8.(8;<55 82.88;<;( 9).(25</5 *.2/5.8()<++

++ *.2/5.8()<++ 82.8+8<9* 9).(25</5 *.2/+.;9*<*)

+5 *.2/+.;9*<*) 82.8*(</+ 9).(25</5 *.2/(.2;2<*)

+8 *.2/(.2;2<*) 82.5/2<+; 9).(25</5 *.2/(.*;+<95

+9 *.2/(.*;+<95 82.598<(* 9).(25</5 *.2/*.+55<)*

+; *.2/*.+55<)* 82.55)<+( 9).(25</5 *.2/).5/2<52

+/ *.2/).5/2<52 82.5*5<9/ 9).(25</5 *.2;2.9)2<+5

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5) *.2;/.;)(<;2 82.+9*<)/ 9).(25</5 *.2;;.;92<)5

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55 *.2;5.;29<+( 82.(5+</2 9).(25</5 *.2;+.;58<+;

58 *.2;+.;58<+; 82.(*(<+9 9).(25</5 *.2;(.99(<2)

59 *.2;(.99(<2) 82.*;2</2 9).(25</5 *.2;*.85;<285; *.2;*.85;<28 82.*59<55 9).(25</5 *.2;).+22<88

5/ *.2;).+22<88 82.***<22 9).(25</5 *.292.(*9<;*

52 *.292.(*9<;* 82.);9<8) 9).(25</5 *.29;.22/<+;

8) *.29;.22/<+; 82.)+2<28 9).(25</5 *.299.;5+<52

8* *.299.;5+<52 82.))(<+) 9).(25</5 *.298.58)<29

8( *.298.58)<29 8/.29+<8+ 9).(25</5 *.295.**2<98

8+ *.295.**2<98 8/.2(+<82 9).(25</5 *.29(.;5/<5)

85 *.29(.;5/<5) 8/.//(<58 9).(25</5 *.29*.++9<)(

88 *.29*.++9<)( 8/./5)<)/ 9).(25</5 *.282.//*<(;

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9) *.28+.9*(<8+ 8/.9)/<+/ 9).(25</5 *.28*.2(9<);

9* *.28*.2(9<); 8/.88;<;/ 9).(25</5 *.28).*/2<)(

9( *.28).*/2<)( 8/.8)8<9; 9).(25</5 *.25/.+22</8

9+ *.25/.+22</8 8/.58(<)) 9).(25</5 *.259.88;<)*

*+/



95 *.259.88;<)* 8/.+29<;* 9).(25</5 *.255.98/</2

98 *.255.98/</2 8/.++2<;; 9).(25</5 *.25(.;)+</(

99 *.25(.;)+</( 8/.(/*<** 9).(25</5 *.25).92)<*)

9; *.25).92)<*) 8/.(()<;) 9).(25</5 *.2+/.9*8<29

9/ *.2+/.9*8<29 8/.*8/<5/ 9).(25</5 *.2+9.5;2<9*

92 *.2+9.5;2<9* 8/.)25<+2 9).(25</5 *.2+5.(;2<*9

;) *.2+5.(;2<*9 8/.)(/<+; 9).(25</5 *.2+(.)*(<;)

;* *.2+(.)*(<;) 8;.29)<+/ 9).(25</5 *.2(2.9;/<(8

;( *.2(2.9;/<(8 8;./2)<+8 9).(25</5 *.2(;.(;+<;9

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;5 *.2(5.;2;<*+ 8;.;5+<2* 9).(25</5 *.2((.(59<(*

;8 *.2((.(59<(* 8;.99;<+2 9).(25</5 *.2*2.9*/<;9

;9 *.2*2.9*/<;9 8;.8//<89 9).(25</5 *.2*9.2*(<52

;; *.2*9.2*(<52 8;.8);<+; 9).(25</5 *.2*5.*(8<)+

;/ *.2*5.*(8<)+ 8;.5(+<;8 9).(25</5 *.2**.(8+<28

;2 *.2**.(8+<28 8;.++;<9( 9).(25</5 *.2)/.(29<;+

/) *.2)/.(29<;+ 8;.(5/<2) 9).(25</5 *.2)8.(8)</)

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2* *./92.(/8<)5 89.);/<88 9).(25</5 *./98.)9/<;8

2( *./98.)9/<;8 88.28(<)9 9).(25</5 *./9).;(8<2/

2+ *./9).;(8<2/ 88./(*<;/ 9).(25</5 *./89.(8(<2(

25 *./89.(8(<2( 88.9/;<82 9).(25</5 *./8*.958<9;

28 *./8*.958<9; 88.852<+; 9).(25</5 *./59.2))<(*

29 *./59.2))<(* 88.5);<)* 9).(25</5 *./5(.)*(<+/

2; *./5(.)*(<+/ 88.(9)<+; 9).(25</5 *./+9.2;;<2(

2/ *./+9.2;;<2( 88.*)2<+5 9).(25</5 *./+*.;2(<5(

22 *./+*.;2(<5( 85.28+<;; 9).(25</5 *./(9.58*<+8

*)) *./(9.58*<+8 85.;2+<85 9).(25</5 *./().28)<)9

*)* *./().28)<)9 85.9(/<8) 9).(25</5 *./*8.(/+<;+

*)( *./*8.(/+<;+ 85.58/<8* 9).(25</5 *./)2.55;<5)

*)+ *./)2.55;<5) 85.(/+<5( 9).(25</5 *./)+.5+8<22

*)5 *./)+.5+8<22 85.*)+<)/ 9).(25</5 *.;2;.(55<(+

*)8 *.;2;.(55<(+ 8+.2*;<++ 9).(25</5 *.;2)./99<;+

*)9 *.;2)./99<;+ 8+.;(9<)) 9).(25</5 *.;/5.(2;</2

*+2



*); *.;/5.(2;</2 8+.8(/<25 9).(25</5 *.;;;.8+*<22

*)/ *.;;;.8+*<22 8+.+(8<29 9).(25</5 *.;;).89+<*(

*)2 *.;;).89+<*( 8+.**9</2 9).(25</5 *.;9+.+/8<*/

**) *.;9+.+/8<*/ 8(.2)*<89 9).(25</5 *.;88.22*<2)

Tot"( inte$e#e# *e# 110 /.77.4,58

EJERCICIO .17 S" "c"si!a *.))).))) para r"ali%ar proJ"c!o d" a'pliaci& d" a bod"$a<a co'pa#a A or"c" pr"s!ar "l di"ro< p"ro "i$" " l" s"a pa$ado " 9) co!as '"sal"s"cidas d" +9.*+(<29 cX. La co'pa#a 7 or"c" pr"s!ar "l di"ro< p"ro para " l" s"a pa$ado" 9) pa$os '"sal"s d" *2.))) cX J dos co!as adicioal"s as#: La pri'"ra d" (8).)))< pa$ad"ra al ial d"l '"s *(< la s"$da d" +8.)))< pa$ad"ra al ial d"l '"s (5. Hallar la !asa""c!ia '"sal " cobra cada o< para d"cidir " prs!a'o d"b" !ili%ar.

So(:ción

i=?

T 9) '"s

1.000.000 $=36.132,96 $ ∙ [ 1−(1+i )−60

i ]

1.000.000 $−36.132,96 $ ∙ [1−(1+i )−60

i ]=0

*5)



I!"rpolado i=0.03 EV

* T *(( T (5+ T 9)

1.000.000 $=19.000 $ ∙[ 1−(1+i )−60

i ]+250.000 $ ∙ (1+i )−12+35.000 $ ∙ (1+i )−24

1.000.000 $−19.000$ ∙[ 1−(1+i )−60

i ]−250.000$ ∙ (1+i )−12−35.000$ ∙ (1+i )−24=0

I!"rpolado i=0,0237 EV

-!ili%a 7

*5*

+ Resultado2:28 C851:270?8?@

G 22:29 7>8:591097?

+ Resultado2:28 C?5:7>811751

G 22:20 781:1985785



EJERCICIO .18 VA !asa o'ial< co"r!ibl" '"sal'"!" "s!F si"do a'or!i%ada ad"da d" +)).)))< '"dia!" pa$os '"sal"s d" *).)))< dra!" 5 aosW

So(:cióni=?

(=?

n=4 año∙( 12mes

1año )=48mes

T 5/ '"s

300.000$=10.000$ ∙ [ 1−(1+i )−48

i ]

300.000$−10.000$ ∙ [ 1−(1+i )−48

i ]=0


*5(

+ Resultado

2:28 C1:?077@5?7>G 2

2:20 9?:008@0015



Calclado (=i ∙m=0,02124 ∙12=0,02549,

EJERCICIO .,0 VA !asa o'ial< co"r!ibl" !ri'"s!ral'"!"< "s!F r"idos" capi!al

d" 5)).)))< '"dia!" d"p&si!os !ri'"s!ral"s d" ())))cX dra!" + aosW

So(:cióni=?

(=?

n=3año∙(4 trimestre

1año )=12 trimestre

T *( !ri'"s!r"

400.000 $=20.000$ ∙[ (1+i )12−1

i ]

400.000 $−20.000 $ ∙[ (1+i )12−1

i ]=0

I!"rpolado i=0,08879 ETV

*5+

+ Resultado2:2> 82:95?9?2>

G 22:2@ C8:>790@5@57



Calclado (=i ∙m=0,08879 ∙4=0,3551,T

EJERCICIO .,1 -a "!idad iaci"ra '" propo" " l" d"posi!" '"sal'"!" *).)))dra!" + aos< co'"%ado "l pri'"r d"posi!o "l d#a d" oJ J '" pro'"!" d"ol"r al ial d""s!" !i"'po la s'a d" ;.))).))). V6 !asa ""c!ia '"sal '" a a pa$arW

So(:ción

i=?

n=3año∙(12mes

1año )=36mes

T +9 '"s

7.000.000 $=10.000 $ ∙[ (1+ i)36−1

i ] ∙(1+i)

7.000.000 $−10.000$ ∙[ (1+ i)36−1

i ] ∙(1+i)=0

*55

+ Resultado2:78 7:5?9:2707

G 22:79 C8:285:2?2>0>




EJERCICIO .,, - s"or co'pro a!o'&il< dado a co!a iicial d"l ()Q J "l saldo locac"la co co!as '"sal"s d" +*;.9/2<;/ dra!" + aos. D"sps d" ""c!ar "l pa$o d" laco!a (5< or"c" cac"lar "l saldo d" la d"da d" solo co!ado J l" dic" " s saldo " "s"'o'"!o asci"d" a la s'a d" +.)9).2(/.89.

a? Calclar co ( d"ci'al"s "ac!os la !asa ""c!ia '"sal " l" "s!F cobrado.

b? Calclar la !asa ""c!ia aal "ial"!" " l" cobra.

c? VCFl "s "l cos!o !o!al d"l a!o'&ilW

So(:ción

"& Co'o los pa$os a!"s d"l (5 Ja "s!F pa$ados J "l saldo d" la d"da " (5 "s "l"ial"!" d" lo " s" d"b" " las co!as r"s!a!"s !o'a'os "s!" ac!or.

*58



VP= R(1− (1+i )n

i )→3060928,56=317689,78(1−(1+i )−12

i )

317689,78(1−(1+i )−12

i )−3060928,56=0

Co calcladora ci"!#ica " i!rodci"do la "caci&< arroa alor d" i=0,0355 J

co i!"rpolaci& !o'a'os co'o i!"ralo:

3 1− 3

3 1− 3 2=

5 1−5

5 1−5 2→

0,0354− 3

0,0354−0,0356=

1799,66−0

1799,66−(−1798,083669 )

(0,0354− 3 ) (3597,744 )=1799,66 (0,0354−0,0356 ) (0,0354− 3 ) (3597,744 )=−0,359932

0,0354− 3 =−1∗10−4

3 =0,0354+1∗10−4

→ 3 =0,0355 E =3,55 E

-&

*59



(1+0,0355 )12=(1+ 3 2 )→ 3 2=0,51985 EA=51,985 EA

c&

0,8 P=317689,78

(1−(1,0355 )−36

0,0355 )→0,8 P=6400000,028

P=6400000,028

0,8 =$ 8000000,035

EJERCICIO ., -a p"rsoa "c"si!a co'prar oJ a 'Fia< "l 'od"lo A c"s!a +)).)))K"l 'od"lo 7 c"s!a 8)).)))< "l C ;)).))) J "l 'od"lo D 2)).))). Si la p"rsoa p"d" ac"r +9 pa$os '"sal"s d" 'Fi'o +).))) dra!" + aos< p"ro co'"%ado "l pri'"r pa$o al iald" 9 '"s"s VcFl s"rF "l 'od"lo 'Fs cos!oso " podrF co'prarW Spo$a a !asa d"l +)Q CM.

So(:ción

T )<+) CM

R""'pla%ado " i

i T (

m=

0,30

12 =¿ )<)(8 EM1

E "s!" ""rcicio pod"'os obs"rar " "s a Aalidad Di"rida l"$o para bscar "l 1P s"!o'& la aalidad " T +9 aos J para ll"arlo al pr"s"!" s" !o'a "l T 8 aos

VP=300.000 $ ∙[ 1−(1+0,025 )−36

0,025 ] ∙ (1+0,025 )−5=¿ 9(5.9)/</)8

*5;



EJERCICIO .,4 -a p"rsoa solici!a prs!a'o "l d#a * d" 'ar%o d" *2/2 J pla"a ""c!ar pa$os '"sal"s d" *(.)))< d"sd" "l *d" oc!br" d" *2/2< as!a "l * d" a$os!o d" *22).

Si i!"rs d"l +<8Q ""c!io '"sal< VCFl s"rF "l alor d"l prs!a'oW

So(:ción

iT)<)+8 ""c!io '"sal

E "s!" ""rcicio pod"'os obs"rar " "s a Aalidad Di"rida dod" "l pri'"r pa$o s" ac"" "l '"s ; as!a "l '"s *;< l"$o para bscar "l 1P s" !o'a la aalidad T** '"s"s J parall"arlo al pr"s"!" s" !o'a "l T 9 '"s"s

VP=12000$

[1−(1+0,035 )

−11

0,035 ](1+0,035 )−6=¿ /;./;+<(*)/

El prs!a'o s"rF d" /;./;+<(*)/

EJERCICIO .,2 - s"or d"posi!a "l pri'"ro d" abril d" *2/9 *).)))< " odo " pa$a "l+9Q CS

a? VcF!os r"!iros s"'"s!ral"s d" /.))) podrF ac"r< si "l pri'"r r"!iro lo ac" "l pri'"ro

d" abril d" *2/2W b? VcFl s"rF "l alor d"l r"!iro adicioal " "co p"r#odo d"sps d"l l!i'o pa$o d"/.))) cac"larF "l odoW

So(:ción

*5/



a?

F 1=10.000 $ ∙ (1+0,18)5=22.877,57757 $

P= A ∙[ 1−(1+i )−n

i ]→ Pi

A =1−(1+i)−n

(1+i)−n=1− Pi

A

1

(1+i)n=1− Pi

A

1

(1− Pi

A )=(1+i)n

n=

−log(1−22.877,57757 ∙0,18

8000 )log(1+0,18)

n=4,36869303

RX 5 s"'"s!r"s ( d#a

b?

F =8.000 $∙( (1+0,18 )4−1

0,18 )=41.723,456 $

F =22.877,57757 $∙ ((1+0,18 )4 )=44.354,5386 $

*52



44.354,5386 $−41.723,456 $=2.631,9826 $

2.631,9826$ ∙ (1,18 )=3.104,677468 $

EJERCICIO .,/ Spoi"do a !asa d"l +9Q CM< CFl s"rF "l alor pr"s"!" d":

a? ()).)))< al ial d" cada '"s " or'a id"iida. b? ()).)))< al pricipio d" cada '"s id"iida'"!".

So(:ción

i= (

m=

0,36

12 =0,03

"2= A3

i

=200.000 $

0,03

=6.666.666,667 $

EJERCICIO .,5 - i"rsiois!a d"posi!a oJ *)).))) J +)).)))< " + aosK al ial d"l ao8< co'i"%a a ac"r d"p&si!os aal"s d" 8).)))< dra!" 9 aos< VCF!o di"ro podrF r"!irars"" or'a id"iida< co'"%ado al ial d"l ao *5W -!ilic" a !asa d"l ()Q ""c!io aal.

So(:ción

*8)



i=0,2 EA 100000+300000 (1,2 )−3+50000 [ 1−(1,2)−6

0,2 ](1,2)−4= R

0,2(1,2)−13

R=$757079,6137

EJERCICIO .,7 - $rpo d" b""ac!or"s d"cid" do!ar a ospi!al d" los "ipos d"labora!orio " "c"si!a< s" "s!i'a " "l cos!o d" los "ipos "l d#a pri'"ro d" lio d" *22) s"rFd" 5.))).))) J " "c"si!arF +)).))) !ri'"s!ral'"!"< co'o cos!o d" cioa'i"!o "or'a id"iida< a par!ir d"l pri'"ro d" abril d" *22*< "ca " la cal "!rarF "cioa'i"!o. VCFl d"b" s"r "l alor d" la doaci& " s" a$a "l d#a pri'"ro d" ""ro d"*22) si "l di"ro "s i"r!ido i'"dia!a'"!" " a idciaria " $ara!i%a "l (5Q C,W

So(:ciónLo pri'"ro " aJ " ac"r "s !rabaar co " !ri'"s!r"s.

-!ili%a'os aalidad"s p"rp"!as para bscar "l alor pr"s"!".

*8*



4 T )<(5K 'T 5K i=0,24

4 =0,06

VP=4000.000$

(1+0,06 )2 +

300.000$

0,06 ∗(1+0,06 )−4=¿

;8(.)585<)/

EJERCICIO .,8 -a "'pr"sa pr"!"d" !o'ar a casaBlo!" " r"i"r" la s'a d" (.))).)))aal"s co'o cos!o d" 'a!"i'i"!o J d" +.))).))) cada 5 aos para r"paracio"s adicioal"s.Por o!ra casaBlo!" " l" or"c"< s" r""rirF d" a s'a d" +.))).))) aal"s para'a!"i'i"!o J d" (.8)).))) cada !r"s aos para r"paracio"s adicioal"s. Si la casaBlo!" s"sarF por !i"'po id"iido J spoi"do a !asa d" i!"rs d"l +8Q ""c!io aal< VCFl d" lasdos al!"ra!ias "s 'Fs co"i"!" !o'arW

So(:ciónCaso *:

i=0.35 EAV

Co"r!i'os las co!as d" cada ca!ro aos " co!as '"sal"s "ial"!"s

*8(



A1=[ Fi

(1+i )n−1 ]

A1=[3000000 (0.35 )

(1+0.35 )4−1 ]=452.292,56 $

ATotal= A1+ A2=452.292,56+2.000 .000=2.452.292.56$

P= A

i =

2.452.292.56

0.35 =7.006.550,17 $

C"#o ,

i=0.35 EAV

Co"r!i'os las co!as d" cada + aos " co!as '"sal"s "ial"!"s

*8+



A1=[ Fi

(1+i )n−1 ]

A1=[2.500 .000 (0.35 )

(1+0.35 )3−1 ]=599.161,17 $

ATotal= A1+ A2=599.161,17+3.000.000=3.599.161,17$

P= A

i =3.599.161,17

0.35 =10.283.317,64 $

RX d"b" "sco$"r la casa local *< Ja " $""ra '"os $as!os.

EJERCICIO .0 Co i!"r"s"s al (5Q C,< VCFl d"b" s"r "l alor d" los pa$os s"'"s!ral"s"cidos "< "cos por *) aos< a'or!i%arF a d"da d" *.()).)))W

So(:ción

i=0,24,TV

*85



n=10año=20 semestre

P=1.200 .000$

A=?

i= (

m=

0,24

4

i=0,06 ETV

(1+i1)m1=(1+ i2)

m2

(1+0,06)2=(1+i2)1

(1+0,06)2−1=i2

i2=0,1236 E'V

A= P [ i

1−(1+i)−n ]

A=1.200 .000 $ ∙

[ 0.1236

1−(1+0.1236)−20 ]

A=164.292,9168 $

*88



EJERCICIO .1 R"sol"r "l probl"'a a!"rior si los pa$os so a!icipados.

So(:ción

i=0.24,TV

n=10año=20 semestre

P=1.200 .000 $

A=?

i= (

m=

0,24

4

i=0.,06 ETV

(1+i1)m1=(1+ i2)

m2

(1+0,06)2=(1+i2)1

*89



(1+0,06)2−1=i2

i2=0,1236 E'V

A= P

(1+i )∙[ i

1−(1+i )−n ]

A=1.200 .000$

(1+0,1236) ∙

[ 0,1236

1−(1+0,1236)−20

] A=146.220,1111 $

EJERCICIO ., -a p"rsoa co'pra ar!#clo por 9)).)))< si da a co!a iicial d"l 5)Q Jcac"la "l saldo< " co!as !ri'"s!ral"s "cidas< d" 8).))) cX !a!o !i"'po co'o "r"

"c"sario< J spoi"do i!"r"s"s al +9Q CM< allar "l '"ro d" pa$os d" 8).))) J "l pa$oial " "co !r"s '"s"s d"sps d"l l!i'o pa$o d" 8).)))< cac"larF la d"da.

So(:ción

*8;



6 =36 ,

i=0.36

12 =0,03 EV

(1+0,03 )12=(1+i1 )4

(1+0,03 )3−1=i

i=0,092727 ETV

*8/



P= A(1−(1+ i)−n

i )

360.000=50.000

(1−(1+0,092727 )−n

0,092727 )360.000

50.000 =(1−(1+0,092727 )−n

0,092727 )

7,2(0.092727)=(1−(1+0,092727 )−n )

0,6676344−1=−(1+0,092727 )−n

−0,3323656=−(1+0,092727 )−n

0,3323656= (1+0,092727 )−n

0,3323656= 1

(1,092727 )

n

(1,092727 )n= 1

0,3323656

(1,092727 )n=3,008734959

n log1,092727=log3,008734959

n=log3,008734959

log1,092727 =12,4217901 trimestres

n=12trimestres #om"letos

*82



P= A(1−(1+ i)−n

i )+ x (1+ i)−n

360.000=50.000(1−(1+0,092727 )−12

0,092727 )+ x (1,092727 )−13

360.000=353.169,8291+ x (1,092727 )−13

360.000−353.169,8291

(1,092727 )−13 = x

21.631,33539 $= x

EJERCICIO . Si s" d"posi!a '"sal'"!" la s'a d" *.))) " odo " pa$a "l (;QCM J adicioal'"!"< d"posi!a (.))) cada + '"s"s VCF!o s" abrF ac'lado< al ial d" 8aosW

So(:ción

Pasa'os los pa$os !ri'"s!ral"s a '"sal"s

4 T )<(;K 'T *(K i=0,27

12 =¿ )<)((8K 8 aos T 9) '"s"s

*9)



A2=(2.000 $ )∗[ 0,0225

( (1+0,0225 )3−1) ]=¿98*<//2*85

A1=1.000 $

VF =(1.000$ )

[ (1+0,0225 )

60

−10,0225 ]

+(651,889154$ )

[ (1+0,0225 )

60

−10,0225 ]

=¿ ()88;/<+(5

EJERCICIO .4 - s"or d"s"a co'prar a p&li%a d" s"$ro " $ara!ic" a s "sposa "l pa$od" 5).))) '"sal"s dra!" *) aos J adicioal'"!" 8).))) al ial d" cada ao dra!" "s!"'is'o p"riodo. Si "l pri'"r pa$o s" ""c!a al '"s d"l all"ci'i"!o d"l s"or< allar "l alor d"la p&li%a d" s"$ro spoi"do " la co'pa#a d" s"$ros $ara!i%a "l (5Q CM.

So(:ción

*9*



P T P* U P(

Para P*

i#5<(5X*(

iT )<)(Q

P* T 5).))) ∙

(1+0,02 )120−1

0,02 (1+0,02 )120

P* T *./*5.(*8

Para P(

i # )<(5

P(T 8) ))) ∙ (1+0,24 )10−1

0,24 (1+0,24 )10

P(T *92.)/5

P T *./*5.(*8 U *92.)/5 T *.2/+.(22

*9(



EJERCICIO .2S" d"s"a cac"lar a d"da d" 2)).))) " pa$os '"sal"s d" R dra!" +aos< "l pri'"ro al ial d" '"s< J ad"'Fs s" ""c!ara aboos s"'"s!ral"s "!raordiarios d"a J '"dia "c"s la co!a ordiaria< "l pri'"ro d" "s!os al ial d" 9 '"s"s. Spoi"do a !asad"l +9Q CM. VCFl d"b" s"r "l alor d" las co!as ordiarias J "l d" las co!as "!raordiariasW

So(:ción

i=0,2 EA 100000+300000 (1,2 )−3+50000 [ 1−(1,2)−6

0,2 ](1,2)−4= R

0,2(1,2)−13

R=$757079,6137

EJERCICIO ./ S" co'pra carro " *(.))).))) '"dia!" "l pa$o d" 5/ co!as '"sal"s"cidas d" R cX J co!as !ri'"s!ral"s "cidas d" 5)).))) cX dra!" 5 aos. Si s" cobra a!asa d"l 55Q ""c!io aal< d"!"r'iar "l alor d" R.

So(:ción

*9+



Pasa'os la !asa aal a a !asa '"sal "cida

(1+0.44 )1= (1+i )12

(1+0.44 )1

12−1=i

i=0.03085332 EV

D" i$al 'a"ra pasa'os la !asa aal a a !asa !ri'"sal "cida

(1+0.44 )1= (1+i )4

(1+0.44)1

4−1=i

i=0.095445115 ETV

Calcla'os "l alor pr"s"!" d" las co!as !ri'"s!ral"s " so pa$as a 5)).)))

P= A

[

1−(1+i )−n

i

] P=400000[ 1−(1+0.095445115)−16

0.095445115 ] P=3.216.223,106

*95



L"$o ob!"dr"'os "l alor " s" r"par!irF " las co!as '"sal"s d" R

P=12.000.000−3.216.223,106

P=8.783.776.894

Aora ob!"dr"'os "l alor d" las co!as '"sal"s R

A= P [ i

1−(1+i )−n ]

A=8.783.776 .894

[

0.03085332

1− (1+0.03085332)

−48

] A=353.137,09

EJERCICIO .5 Co a !asa d"l (8Q ""c!io aal< VCFl d"b" s"r "l alor pr"s"!" d" aaalidad iii!a d" 9)).))) al ial d" cada 5 aosW -!ilic" ca'bio d" !asa.

So(:ciónianual=0,25

1#uadrienio=4 años

i#uadrienio=(1+0,25 )4−1=¿ *<55*5)9(8

Co'o "s p"rp"!o B= J "s cada 5 aos s" aplica la si$i"!" or'la

AT 600.000$

VP= 600.000 $

1,44140625=¿ 5*9.(9)<*9(9

*98



EJERCICIO .7 R"s"la "l probl"'a a!"rior 'odiicado los pa$os.

So(:ción

ianual=0,25

A1=(600.000 $)∗

[ 0,25

( (1+0,25 )4−1 ) ]=¿

*)5.)98<)5*

Co'o "s p"rp"!o B= J aora "s cada * aos s" aplica la si$i"!" &r'la para allar "l alor pr"s"!".

*99



VP=104.065,041 $

0,25 =¿ 5*9.(9)<*9+

EJERCICIO .8R""'pla%ar pa$os d" ()).))) "cos cada ( aos por pa$os "ial"!"s cada8 aos spoi"do a !asa d"l +)Q ""c!io aal.

So(:ción

Pasa'os la !asa aal a a !asa biaal

(1+0,30 )1=(1+i )2

i=0,69 E7iV

L"$o calcla'os "l alor pr"s"!"

P=200.000 $

0,69

P=289.855,0725 $

Aora calcla'os los pa$os " s" d"b"r#a r"ali%ar cada 8 aos

*9;



(1+0,30)1=(1+i )5

i=2,71293 E8V

A=289.855,0725 $ ∙2,71293 $

A=786.356,5218 $

EJERCICIO .40 Co a !asa d"l ()Q ""c!io aal< V6 "s 'Fs co"i"!" para ai"rsidad< r"cibir a r"!a p"rp"!a d" /)).))) cada 8 aos co'"%ado "l pri'"r pa$o " "lcar!o ao< o r"cibir ()).))) aal"s d" r"!a p"rp"!a co'"%ado "l pri'"ro d"!ro d" aoW

So(:cióni=0,2 EAV

O'ción 1

Co"r!i'os las co!as cada 8 aos " co!as aal"s.

A=[ Fi

(1+i )n−1 ]=[800.000 (0,2)

(1+0,2 )5−1 ]=107.503,7626 $

*9/



Halla'os "l alor pr"s"!"

P= A

i =

107.503,7626

0,2 (1,2)=654.022,5758 $

O'ción ,

P= A

i =

200.000

0,2 =1.000.000 $

RX: La s"$da opci& $""ra '"or"s diid"dos.

EJERCICIO .41 -a 'Fia ll"$ara al ial d" s ida !il d"!ro d" ( aos< para "sa pocaa "a 'Fia " s" adi"ra cos!ara 2)).))) J s" "s!i'a " la 'aia i"a podrF s"r r"cibida " par!" d" pa$o d" la "a s'a d" ()).))). V6 d"posi!o !ri'"s!ral d"bo ac"r "a c"!a " pa$a "l +)Q CM co "l ob"!o d" ac"r la co'pra " "l 'o'"!o opor!o si "l pri'"r d"posi!o lo a$o al ial d" 9 '"s"sW

So(:ción

*92



T )<+) CM

R""'pla%a'os " i:

iT (

m T0.30

12 T ).)(8 EM1

Pasa'os i EM1 a i E,1:

(1+i2 )m2=(1+i1 )

m1

(1+0.025 )12=(1+i1 )4

(1+0.025 )12/4−1=i1

i1=0.76896625 ETV

D"sp"a'os A d" F:

F T ⌊ (1+i )n−1

i ⌋

AT

F

⌊ (1+i )

n

−1i ⌋ T

700.000

⌊ (1+0.076896625 )

7

−10.076896625 ⌋ T ;2.())</*98

EJERCICIO .4, -a Fbrica s" p"d" co'prar " la s'a d" *.))).)))< la cal prodc" (.)))idad"s '"sal"s d" ci"r!o ar!#clo " podrF s"r "dido dra!" los pri'"ros 9 '"s"s a+) la idad J " 8) la idad los si$i"!"s 9 '"s"s. El i"rsiois!a pi"sa " podrF "d"r

*;)



la Fbrica al ial d" ao " la s'a d" *.()).))). Si "l i"rsiois!a $aa or'al'"!" "!odos ss "$ocios "l 8Q ""c!io '"sal< VL" acos"ar#a s!"d " co'prara la FbricaW

So(:ción*nidadesmensuales=2000 $

1−6mes=30 $

mes

7−12mes=50 $

mes

Valorde sal%amento=1.200.000 $

i=0.05 EV

P In&resos= A [ 1−(1+i )−n

i ]+ A[ 1−(1+i )−n

i ] (1+i )−n+ P (1+i )−n

*;*



P In&resos=60000[ 1− (1+0.05 )−6

0.05 ]+100000 [ 1−(1+0.05 )−6

0.05 ] (1+0.05 )−6+1200000 (1+0.05 )−12

P In&resos=304.541,524+378.755,9569+668.204,9018

P In&resos=1.351.502,383$

P E&resos=1.000 .000$

P In&resos ˃P E&resos si se a#onse(a ya-ue los in&resos ensu %alora#tual su"erana los e&resos 0

EJERCICIO .4 Calclar la !asa " $aa "l i"rsiois!a d"l probl"'a a!"rior.

So(:ción*nidades mensuales=2000 $

1−6mes=30 $

mes

7−12mes=50 $

mes

Valorde sal%amento=1.200 .000$

i=0.05 EV

*;(



60000[ 1−(1+i )−6

i ]+100000[ 1−(1+i )−6

i ] (1+i )−6+1200000 (1+i )−12=1000000

60000[ 1−(1+i )−6

i ]+100000[ 1−(1+i )−6

i ] (1+i )−6+1200000 (1+i )−12−1000000=0

I!"rpola'os

i f!i&)<)*)) 28/9(;<;8/9/+5/)<)()) ;;299/<92;*9()2)<)+)) 9()+9/<82;/++()

)<)5)) 5;/++/<+9*(;9)9)<)8)) +8*8)(<+/(;9;(8)<)9)) (+/)85<98;(2)8()<);)) *+95(*<+25+855*)<)/)) 58((2<*(88)2(8)<)2)) B+9;((<858/(((5

i−0,08

0,09−0,08=

0−45229,12550925

−36722,54582224−45229,12550925

i−0,08

0,01 =0,551899976

i=0,551899976 (0,01 )+0,08

*;+



i=0,085518999=8,551899977 EV

EJERCICIO .44 HoJ pri'"ro d" oi"'br" d" *222 s" !i"" a obli$aci& a la " l" r"s!a */co!as '"sal"s a!icipadas d" /(;.95+cX para !"r'iar d" pa$ars". EI acr""dor d"s"aca'biar la or'a d" pa$o d" s d"da J pac!a r"ali%ar *) pa$os !ri'"s!ral"s "cidos d"(.298.+58<29 cX. VE "ca d"b"rF r"ali%ar "l pri'"r pa$o d" la "a aalidadW -!ilic"a !asa d"l +9<8Q ""c!io aal.

So(:ción

i=0,385 EV

N"a or'a d" iaciaci&

Halla'os a !asa '"sal

(1+i2 )m2=(1+i10 )

m1

*;5



(1+0,385 )1=(1+i10 )12

(1+0,385 )1

12−1=i

i=0,027513368 EV

R""'pla%a'os las co!as !ri'"s!ral"s por '"sal"s "ial"!"s:

A= "i

[1− (1+i )−3 ]

A=2.965.345,46(0,027513368)

[1−(1+0,027513368 )−3

]

=1.043.331,786 $

mes

Co'o so *) !ri'"s!r"s "co!ra'os " !o!al +) co!as por "l 'is'o alor a!"rior.

A

[1−(1+i )

−n

i ](1+i )= A

[ 1−(1+i )

−n

i ] 1(1+i )n

827.643[ 1−(1+0,027513368 )−18

0,027513368 ] (1+0,027513368 )=1.043.331,786[ 1−(1+0,027513368 )−30

0,027513368 ]

(1+0,027

*;8



11.945.907,72= 21.123.032,11

(1,027513368 )n

(1,027513368 )n=21.123.032,11

11.945.907,72

(1,027513368 )n=1,768223278

n log 1,027513368=log1,768223278

n=log1,768223278

log1,027513368

n=21,00000062

n921meses

Co!ados a par!ir d" *BNoB*222< (* '"s"s ll"$a al *BA$os!B())*< " "l cal d"b" ac"rs" "l pri'"r pa$o d" la "a co!a.

9I9LIO3RA+ÍA





*;9



CAPÍTULO 4

GRADIENTES

INTRODUCCIÓN

E al$as ocasio"s dra!" la ida d" proJ"c!o d" i"rsi&< al$os o !odos los pa$os<a'"!a o dis'iJ" d" a 'a"ra ar'&ica< la s"c"cia d" pa$os " si$" "s!a ar'o#a<s" lla'a $radi"!".

Definición !3$"diente) g & Es a s"ri" d" pa$os " c'pl" co las si$i"!"s codicio"s:

*. ,odos los pa$os c'pl" co a l"J d" or'aci&.

(. Los pa$os s" r"ali%a a i$al"s i!"ralos d" !i"'po.

*;;



+. La !asa d" i!"rs " la s"ri" $radi"!" "s la 'is'a

5. El '"ro d" pa$os "s i$al al '"ro d" p"riodos.

Eis!" di"r"!"s s"ri"s d" pa$os " so $radi"!"s< cado "l cr"ci'i"!o p"riodo a p"riodo "s

cos!a!" la s"ri" s" lla'a arit!ética o lineal K aJ o!ra s"ri" d" pa$os " si$" las r"$las d"a s"ri" $"o'!rica J por "s!o s" lla'a geo!étrica.

3RADIENTE ARITMÉTICO

-a s"ri" d" pa$os "s ari!'!ica cado pa$o cali"ra "s 'aJor o '"or " "l a!"rior "a ca!idad cos!a!"< "l dia$ra'a d" lo d" caa< cado g "s posi!io< "s d"cir< "l lo "scr"ci"!"< "s co'o si$":

DEDUCCIÓN DE LA +ÓRMULA DEL VALOR PRESENTE DE UNA SERIEARITMÉTICA CON g POSITIVO

Si obs"ra'os la s"ri" d" la i$ra 5.*< "'os " s" p"d" diidir " dos >(? dia$ra'as d" lod" caa< cJa s'a da co'o r"sl!ado "l dia$ra'a ori$ial

*;/



El alor pr"s"!" P T "s la s'a d" los dos pr"s"!"s > P A J P g ?.

El alor pr"s"!" P A s" "c"!ra '"dia!" la &r'la

( )

( )

( )

+−=

+−+

=−

i

i A

ii

i A P

n

n

n

A

**

*

**

*;2



Ll"ado !odo "l lo al 'o'"!o c"ro

Ml!iplicado la "caci& >5.(? por >*Ui? s" !i"" "

R"s!ado a la "caci& >5.+? la "caci& >5.(? s" !i"" "

( )( ) ( )

( )

( ) n g g i

g n

i

g

i

g

i

g P i P

+−

+++

++

++

=−+*

*...

****

+(

*/)



La "pr"si& " "s!F "!r" corc"!"s " >5.5? "s a s"ri" $"o'!rica co i

a

+

=*

*

J i

r

+

=*

*

.

Co'o

( )

( )

( )

( ) n

n

n

n

n

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ii

i

i

i

i

i

i

i

i

ir

r a1

+−+

=+

+−+

+=

+−

+−

+=

−

−=

*

***

*

**

*

*

*

**

*

**

*

*

*

*

R""'pla%ado la "pr"si& "!r" corc"!"s por 1 J la "caci& >5.5? "da as#:

( )

( ) ( ) nn

n

g i

ng

ii

i g i P

+−

+−+

=**

**

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

+−

+−+

=+

−

+−+

=nn

n

nn

n

g i

n

i

i

i

g

ii

ng

ii

i

i

g P

**

**

**

**

Si cooc"'os "l alor pr"s"!" pod"'os "co!rar las aalidad"s "ial"!"s A g J "l !ro"ial"!" F g

*/*



( )

( )

−++

=**

*n

n

i

ii P A

R""'pla%ado P por P g d" la "caci& >5.8? s" !i"" "

( )

( ) ( )

( )

( )

−++

+−

+−+=

**

*

**

**n

n

nn

n

g i

ii

i

n

i

i

i

g A

( )

( ) ( )

( )

( )

−++

+−

+−+

=**

*

**

**n

n

nn

n

g i

ii

i

n

i

i

i

g A

( ) ( )

−+−=

−+−=

**

*

***

nn g i

n

i g

i

ni

i

g A

El alor !ro " $""ral "s!F dado por la &r'la( ) ni P F += *

< si s" r""'pla%a " la &r'la P por P g " la "caci& >5.8? s" !i"" "

( )

( ) ( ) ( ) n

nn

n

g ii

n

ii

i

i

g F +

+−

+−+

= ***

**

EJEMPLO 4.1 - doc'"!o "i$" ac"r *( pa$os '"sal"s "cidos. Si "l pri'"r pa$o "s d"9.))) J cada o d" los si$i"!"s dis'iJ" " /))< "co!rar

a? VCFl s"rF "l alor d"l l!i'o pa$oW*/(



b? VCFl s"rF "l alor ial d" !odos "llos< spoi"do a !asa d"l +9Q CMW

SOLUCIÓN

nT*( '"s T)<+9 CM

)+<)*(

+9<)

==i

E1M AT9.)))!es

g S/))−=

Es!" probl"'a si$" a s"ri" $radi"!" d"cr"ci"!" co!es

g S/))−=

K s dia$ra'a d" lo "s"l si$i"!":

a? El l!i'o pa$o si$" la &r'la

( ) ( ) ( ) S/)).(S/))**(S))).9**( −=−−+=−+= g n A A

b? - dia$ra'a "ial"!" a la i$ra 5.8 "s "l si$i"!"

*/+



g A F F F −=

( ) ( )

−

−+−

−+= n

i

i

i

g

i

i A F

nn****

( ) ( ) S)9<(992/*()+<)

*)+<)*)+<)

/)))+<)

*)+<)*9)))*(*(

=

−−+−

−+= F

*/5



3RADIENTE ARITMÉTICO CUANDO nF

El alor pr"s"!" d" a s"ri" $radi"!" "s la s'a d" dos pr"s"!"s > P A U P g ?K "co!r"'os "ll#'i!" d" "s!a s'a cado n !i"" a iii!o

g n

An

g An

P P P P ∞→∞→∞→ +=+ li'li'li'

( )

( )

( )i

A

i

i A

ii

i A P

n

nn

n

n A

n=

+

−=

+−+

=∞→∞→∞→

*

**

li'*

**li'li'

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ()

*

*li'*

**

li'**

**

li'li' i

g

ii

g

i

n

ii

i

i

g

i

n

ii

i

i

g

P nnn

n

nnn

n

n g n =

−=

+−+

−+

=

+−+

−+

= ∞→∞→∞→∞→

S'ado los dos l#'i!"s !""'os "

3RADIENTE 3EOMÉTRICO

Al$as "c"s "l lo d" caa ca'bia d" p"riodo a o!ro " porc"!a" + K spo$a'os ""l pa$o al ial d"l pri'"r p"riodo "s 6< "!oc"s "l pa$o " "l s"$do p"riodo "s

( ) + 6 6+ 6 +=+ * J as# sc"sia'"!". 1"a'os cFl"s so los pa$os d"sd" "l pri'"ro as!a "l

l!i'o pa$o.

Pri'"r pa$o: 6

S"$do pa$o:

( ) + 6 6+ 6 +=+ *

,"rc"r pa$o:( ) ( ) ( )( ) ( ) (***** + 6 + + 6 + + 6 + 6 +=++=+++

.

.

.

*/8



.

Esi'o pa$o:( ) n + 6 +*

El dia$ra'a d" lo "s "l si$i"!"

DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE UN 3RADIENTE3EOMÉTRICO

Si ac"'os "ca ocal " "l 'o'"!o c"ro J ll"a'os "l lo posi!io a 'o'"!o c"ro< !""'osla si$i"!" "caci& d" alor

Si la "caci& >5.2? la 'l!iplica'os por >*Ui? !""'os "

El s"$do 'i"'bro d" la "caci& >5.*)? "s a s"ri" $"o'!rica co 6a

= J i

+ r

+

+=

*

*

.

L"$o la s'a d"l s"$do 'i"'bro d" la "caci& >5.*)? "s

−++

−

++

**

*

**

*

i

+

i

+

6

n

.*/9



R"s'i"do la "caci& >5.*)? !""'os "

( ) ( ) ( )

( )ii +

i + 6i P

nn

+

−−+

−++=+

−

***

****

Si + Ti< la "caci& >5.*)? s" si'pliica as#:

( )

*((

*

*

*

*

...*

*

*

*

*

−−

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+=+

nn

+

+

6 +

+

6 +

+

6 +

+

6 6i P

( ) 6 6 6 6 6i P +++++=+ ...*

( ) n6i P =+*

DEDUCCIÓN DEL VALOR +UTURO DE UNA SERIE 3EOMÉTRICA

El alor !ro " $""ral "s!F dado por la &r'la( ) ni P F += *

< si r""'pla%a'os " "lla "lalor P d" la "caci& >5.**?< !""'os "

( ) ( )( )

nnn

ii +

i + 6 F +

−

−++=

−

****

Si'pliicado !""'os "

*/;



E cFlclo di"r"cial s" aplica a r"$la " s" lla'a 2egla de 789*ital " oor al

'a!"'F!ico " la cr"&. S" aplica para "co!rar l#'i!"s " so d" la or'a)

)

o∞∞

<'a!"'F!ica'"!" s" "cia as#:

E4EMPLO: Eco!rar "l l#'i!" d" la si$i"!" "pr"si&*

*li'

;

* −−

→ x

x

x

SOL-CIÓN

Si r""'pla%a'os T* os "da)

)

**

**

**

**;

=−−

=−−

Es!o "s id"!"r'iadoK si d"ria'os "l '"rado J "l d"o'iador d" la "pr"si& ori$ial s"!i"" "

( ) ( ) 9; ;d* x x f x x f =⇒−=

( ) ( ) *d* =⇒−= x g x x g

Pla!"ado la r"$la d" LHepi!al

( ) ;*;

*

;li'

*

*li'

99

)

;

)

===

−

−

→→

x

x

x

x x

Si " la "caci& >5.*+? aplica'os la r"$la d" LHepi!alK "s d"cir< d"riado "l '"rador J "ld"o'iador< as'i"do " + "s ariabl" J s" ac"rca a i cos!a!"

*//



( ) ( )[ ]

( )

( )[ ]( ) *

*

*)*

)***

−−

+=−

−+=

−

−−+= n

nnn

+ 6n + n

6

i + d+

d

i + d+

d

6d+

dF

L"$o

( ) **li'

−

→+= n

i + + 6n F

<

Es!o "s:

( ) **

−

+= n + 6n F

<

Co'o + Ti "!oc"s<

3RADIENTE 3EOMÉTRICO IN+INITO

Cado∞→n

< la "caci& !i"" aplicaci& para la "'isi& d" accio"s. La "caci& >5.**? s" p"d" r"pr"s"!ar as#

−

−

++

= i +

i

+

6 P

n

**

*

< parai + ≠

*/2



E la "pr"si& " "s!F "!r" corc"!"s< "s!di"'os

n

i

+

++*

*

para alor"s d" + :

a? + fi J

∞→n

Si + fi "!oc"s

n

i

+

++*

*

"s 'aJor " * J si∞→n

< "!oc"s

n

i

+

++*

*

!i"d" a

iii!o. Si " la "caci& >5.**? r""'pla%a'os

n

i

+

++*

*

por = s" !i"" "

( )*−∞−

=i +

6 P

o !i"d" a i$ alor

b? + Ti J∞→n

Si + Ti< la "caci& >5.**? s" !rasor'a " la "caci& >5.*(?< "s d"cir<i

n6 P

+=*

J si

∞→n< "!oc"s

∞→+

=i

n6 P

* J o !i"d" a i$ alor.

c? + ̂ i J∞→n

Si + ̂ i "!oc"s

n

i

+

++*

*

"s '"or " * J si∞→n

"!oc"s

n

i

+

++*

*

!i"d" a ). Si

" la "caci& >5.**? r""'pla%a'os

)*

*=

++

n

i

+

< "s!a "caci& "dar#a as#

( ) + i

6

i +

6

i +

6 P

−=

−−

=−−

= *)

R"s'i"do !odas las &r'las d" $radi"!" !""'os:

GRADIEN,E ARI,M0,ICO

*2)



•

( )

( ) ( )

+−

+−+

=nn

n

g i

n

ii

i

i

g P

**

**

•

( )

−

−+= n

i

i

i

g F

n

g

**

•( )

−+−=

**

*n g

i

n

i g A

•(i

g

i

A

P T +=< para

∞→n

GRADIEN,E GEOM0,RICO

•

( ) ( )

−

−++=

−

−

++

=−

i +

i + 6

i +

i

+

6 P nn

n

****

*

*

< para

i + ≠

•i

n6 P

+=*

< para + Ti

•

( ) ( )

−

+−+=i +

i + 6 F

nn**

< parai + ≠

•( ) ** −+= ni 6n F

< parai + =

• Si∞→n

*2*



o

∞= P < para

i + ≥

o

+ i

6 P

−=

< para + ̂ i

EJEMPLO 4., Hallar "l alor pr"s"!" d" *8 pa$os " d"cr"c" li"al'"!" " 5))< si "l pri'"r pa$o "s d" 8.))) J la !asa ""c!ia "s d"l 5Q

SOLUCIÓN

nT*8 g TB5)) AT8.))) iT)<)5 P T TW

g AT P P P −=

( ) ( )

( ) S;5<92;.(;

)5<)*

*8

)5<)

)5.)**

)5<)

S5))

)5<)

)5.)**S))).8

*8

*8*8

=

+−

+−−

+−=

−−

T P

EJEMPLO 4. Co i!"rs ""c!io d"l *)Q< allar "l alor ial d"l si$i"!" lo d" caa

P"riodo * ( + 5 8 9 ; /1alor 9.))) 5.8)) +.))) *.8)) ) B*.8)) B+.))) B5.8))

SOLUCIÓN

Obs"rado la !abla os da'os c"!a " "s a s"ri" $radi"!" ari!'!ico

nT/ g TB*.8)) iT)<*)

*2(



g A F F F −=

( ) ( )S));*<*;);;/

*)<)

**).)*

*)<)

S*8))

*)<)

**).)*S))).9

//

=

−

−+−

−+= F

EJEMPLO 4.4 Hallar "l pri'"r pa$o d" $radi"!" li"al cr"ci"!" " +))< " !"$a 8) pa$osJ " s"a "ial"!" a 8) pa$os " cr"c" " ()Q< co pri'"r pa$o d" *.)))< spo$a a!asa d"l ()Q.

SOLUCIÓN

g T+)) nT8) + T()Q 6T*.))) iT()Q ATW

*2+



( ) ( )

( )

( )

()<)*

*))8)

()<)*

8)

()<)

()<)**

()<)

+))

()<)

()<)**8)

8)8)

+=

+−

+−+

+− −−

A

9999;<999.5*2+58)(<52).;22258)8;9<5 =+ A

22258)8;(<5

2+58)(<52).;9999;.5*999 −= A

S2)</+8.9= A

EJEMPLO 4.2 -a p"rsoa i"r" co'prar a!o'&il< " ac!al'"!" c"s!a 5.))).)))K para !al i< d"cid" "s!abl"c"r odo '"dia!" d"p&si!os '"sal"s cr"ci"!"s " 5Q. Si "l pri'"r d"p&si!o "s d" 9).)))< " s" ac" al ial d" '"s< VcF!o !i"'po l" ll"arF r"ir "ldi"ro "c"sario para la co'pra< si "l a!o'&il sb" d" pr"cio cada '"s *QW Spo$a a!asa d"l 5Q ""c!io '"sal

SOLUCIÓN

5.))).))) >1alor ac!al d"l a!o'&il?

nTW

+ *T5Q >Cr"ci'i"!o '"sal d" los d"p&si!os?

6T9).))) >Pri'"r d"p&si!o?

+ *T*Q >Cr"ci'i"!o '"sal d"l a!o'&il ?

I T5Q EM1 >,asa d" i!"rs " "l '"rcado?

Si pla!"a'os la "olci& d"l pr"cio d"l a!o'&il '"dia!" dia$ra'a d" lo s" !i"" "

*25



Si pla!"a'os la "olci& d" los d"p&si!os '"sal"s '"dia!" o!ro dia$ra'a d" lo s" !i"""

El alor !ro d" los d"p&si!os d"b" s"r sici"!" para co'prar "l a!o'&il " "l !roK "s!osi$iica " "l alor !ro d"l a!o'&il d"b" s"r "ial"!" al ac'lado " "l odoK pla!"ado "s!o '"dia!" a "caci& d" alor !""'os "

( ) ( ) nnn )*<)*))).))).5)5<)*))).9)

* +=+ −

( ) ( ) ))5<*9)*<*5)) * =− −nnn

Es!a "caci& s" r"s"l" por i!"rpolaci&K dado alor"s a n as!a " s" c'pla la "caci&

n ( ) ( ) ))5<*9)*<*5)) * =− −nnn

*) +89<58)*8 +)/<8+;() (+8<(85(8 *(/<5;;(/ 55<**)(2 *(<)(;

(2<8 B5</*8

S" i!"rpola as#:

(2 *(<)(;

x )

(2<8 B5</*/

*28i F (i)

272 250>@09>?7

1282 25007?@278

0



)(;<*(/*/<5

)(;<*()

(28<(2

(2

−−−

=−

− x

( ) +8;<(2)(;<*(/*/<5

)(;<*()(28<(2(2 =

−−

−−+= x

EJEMPLO 4./ - padr" i"r" r"ir a ca!idad '"dia!" d"p&si!os aal"s ior'"sco'"%ado oJ >* d" ""ro d" *2/5? J !"r'iado "l * d" ""ro d" *22)< " odo " pa$a"l (/Q o'ial s"'"s!ral< s ob"!io "s "l d" $ara!i%ar a s io "l "s!dio i"rsi!ario< " s""s!i'a drarF os 9 aos J "'p"%arF "l * d" ""ro d" *22). Ac!al'"!"< la 'a!ricla s"'"s!ralc"s!a +).)))< p"ro a'"!arF !odos los s"'"s!r"s /Q. Calclar "l alor d" los d"p&si!osaal"s.

SOLUCIÓN

T(/Q NS*5<)(

(/<)

==i ES1

( ) ( )(

(**5<)* i+=+

( ) (229<)**5<)* (

( =−+=i EA1

S" bsca "l alor !ro d" los d"p&si!os aal"s a!icipados al ial d"l ao 2*

( )( ) A A F /((82555+2<(((229<)*

(229<)

*(229<)* ;

* =+

−+=

*29



S" bsca "l alor d" la s"ri" $radi"!" co 6T;8.858<*)

( ) ( )*9;+(<))).9)*

*5<))/<)

*5<)*)/<)**)<858.;8

*(*(

** =

−+−+

= P

S" !raslada "l alor !ro F * al 'o'"!o ** J s" i$ala co P **

( ) *9;+(<))).9)**5<)*/((82555+2<(( + =+ − A

+(/(<)*5.+2= A


EJERCICIO 4.1 Hallar "l alor d" @ d"l si$i"!" lo d" caa< co i!"r"s"s al +)Q

*2;



So(:ción

i T )<+

x=( A ∙( (1+i )n−1

i )∙(1+i)n)+( A ∙( (1+i )n−1

i )+ &

i ∙( (1+i )n−1

i −n))+( A ∙(1−(1+i )−n

i )+ &

i ∙ ( 1−(1+i )−n

i −

(1

x=(80$ ∙( (1+0,3 )3−1

0,3 )∙(1+0,3)2)+(100 $∙( (1+0,3 )2−1

0,3 )+ 20 $

0.3∙( (1+0,3 )2−1

0,3−2))+(140 $ ∙(1− (1+0,3

0,3

x=539,448$+250,001$+413,5785884$

x=1.203,0275884 $

EJERCICIO 4., Hallar 3; d"l si$i"!" lo d" caa< co !asa d"l ()Q:

*2/



So(:ción

i=0.2

E=0.5

x=

[ A ∙

(

(1+i )n−1

i

)+

&

i

∙

(

(1+ i)n−1

0,2

−n

)]∙ (1+i )n+ x+ F ∙ (1+i )−n

= D ∙

[ (1+ E )n ∙ (1+i )−n

−1

E−i

]∙ (1+i )−n

x=([100$ ∙( (1+0,2)4−1

0,2 )+ 40$

0,2 ∙( (1+0,2)4−1

0,2 −4)] ∙ (1+i )2)+ x+500$ ∙(1+0,2)−8=100$ ∙[ (1+0,5)

5∙(1+

0,5−0

x=−713,327294$

EJERCICIO 4. Co !asa d" (8Q< allar $X d"l si$i"!" loo d" caa

$eríod

o

7 8 0 9 5 1 ? >

Valor4

;6

8222 8522 0785 0@21:

85

9>>8:

>7

2 X C

52222

*22



So(:ción

i=0.25

50000 (1+0,25 )−8− 3 (1+0,25 )−7−4882,81 (1+0,25 )−5−3906,25 (1+0,25 )−4−3125 (1+0,25 )−3−2500 (1+0

8388,608−0,2097152 3 −1599,9991808−1600−1600−1600=0

388,6088192=0,2097152 3

3 =1853,02

EJERCICIO 4.4 VCF!os pa$os '"sal"s d"b" ac"rs" para cac"lar a d"da d"(.))).)))< co i!"r"s"s d"l +9Q CM< spo$a " la pri'"ra co!a "s d" 8).))) J " laco!a cr"c" " 8)) '"sal'"!"W

So(:ción

i=36 ,

())



i=0,36

12 =0.03 EV

&=500 $

2.000.000,00$=50.000$ ∙[ 1−(1+0,03 )−n

0,03 ]+500 $

0,03 ∙[ (1+0,03 )n−1

0,03 −

n

(1+0,03 )n ]n=96,2886 lo-ue esi&ual a97meses

EJERCICIO 4.2 Co i!"rs ""c!io d"l *5Q allar "l alor ial d" la si$i"!" s"ri":

$eríod

o

7 8 0 9 5 1 ? > @ 72 77 78

Valor4

;6

02

2

52

2

?2

2

@2

2

772

2

702

2

722

2

?2

2

92

2

72

2

C

82

2

C

52

2

So(:ción

()*



Para allar "l alor ial d" la s"ri" d"b"'os allar "l alor ial d" la par!" cr"ci"!" J "l alorial d" la par!" d"cr"ci"!".

Vf =f #re#iente (1+i)n+ f de#re#iente

Vf ={300[ (1.14 )6−1

0.14 ]+ 200

0.14 [ (1.14 )6−1

0.14 ]}(1.14 )6+{1000[ (1.14 )6−1

0.14 ]+(−300

0.14) [ (1.14 )6−1

0.14−6]}

Vf =13.571,13217+3.102,264294

Vf =16.673,39646

EJERCICIO 4./ Co i!"rs ""c!io d"l *)Q allar "l alor pr"s"!" d" la si$i"!" s"ri"!ili%ado $radi"!"s:

$eríod

o

7 8 0 9 5 1 ? >

Valor4

;6

02 95 12 >2 @2 725 785 705

()(









V "1=60 [ 1−(1+0,06 )−4

0,06 ]V "1=207,91

(.

Rn= R1 (1+4 )n−1

4=( Rn

R1 )1

3−1

4=(124,42

72 )1

3−1

4=0,20

V "d=72 [ (1+0,2 )4 (1+0,06 )−4−1

0,2−0,06 ]()9



V "d=330,4

,raslada'os !odo a las "ca ocal " la bicar"'os " *

V "d=207,91+330,42 (1+0,06 )−4+158,7 (1+0,06 )−9+179,16 (1+0,06 )−10+215 (1+0,06 )−11

V "d=776,8692006

EJERCICIO 4.8 Hallar "l alor pr"s"!" d" a s"ri" iii!a d" pa$os si "l pri'"ro al" *.))) Jso cr"ci"!"s " *)Q. Spo$a a !asa ""c!ia d"l /Q.

So(:ción

n=: R=1004=10 i=8

V "=limn→ :

R[ (1+4 )n (1+i )−n−1

4−i ]V "=

R

4−i limn→ :

[ (1+4 )n (1+i )−n−1 ]

V "= R4−i

limn→ : (1+4

1+i )n

−1

V "= 1000

0,1−0,08 limn→ : [( 1+0,11+0,08 )

n

−1]V "=:

EJERCICIO 4.10 VCFl "s "l alor pr"s"!" d" a s"ri" iii!a d" pa$os '"sal"s " cr"c"cada '"s " +.))) J cJo pri'"r pa$o "s d" () ))). Spo$a a !asa d"l (.8Q ""c!io'"salW.

So(:ción

();



n=: R=20000 i=2,5 /=3000

V "= R

i +

/

i2

V "= 2000

0,025+ 3000

0,0252

V "=5600000 $

EJERCICIO 4.11 Para 'a!""r " b" "s!ado a carr"!"ra "r"dal< los ac"dados d" lar"$i& d"s"a "s!abl"c"r odo< para pro""r las r"paracio"s !ras. Es!as s" "s!i'a "*.))).))) para "l pr&i'o aoK !a'bi< s" "s!i'a " s cos!o s" icr"'"!arF !odos los aos" */Q. Hallar "l alor d"l odo< spoi"do i!"rs d"l (/Q ""c!io aal.

So(:ción

4=18=0.18 #re#imienton=:

i=28=0.28 EAV 4<i →V "= R

i−4

R=1000.000 $

V "=1000.000 $

0,28−0.18=10.000.000 $

EJERCICIO 4.1, Hallar "l alor pr"s"!" d" (5 pa$os '"sal"s " cr"c" cada '"s (Q.Spo$a a !asa d"l (Q ""c!io '"sal J " "l pri'"r pa$o "s d" 8 ))).

So(:ción

4=2=0.02#re#imienton=24meses

()/



i=2 =0.02 EV 4=i→V "= R ∙n

1+i

R=5.000 $

V "=5.000$

1+0.02=117.647,0588$

EJERCICIO 4.1 Hallar "l alor pr"s"!" d" $radi"!" iii!o d" pa$os '"sal"s " cr"c" (Q J cJo pri'"r pa$o "s d" /.)))

a? Spo$a a !asa d"l +Q ""c!io '"sal b? Spo$a a !asa d"l *.8Q ""c!io '"sal.

So(:ción

"&

4=2=0.02 EV n=:

i=3=0.03 EV 4< i→V "= R

i−4

R=8.000 $

V "= 8.000 $

0,03−0.02=800.000$

-&

i=1,5 =0.015 EV

4>i→V "=:

EJERCICIO 4.14 VA !asa ""c!ia s" c'pl" las codicio"s 'os!radas " "l si$i"!"dia$ra'aW

So(:ción

()2



( Dn

D1 )

1

n−1−1= E

( 3.317,10 $

5.000$ ) 1

9−1−1= E

E=−0.05

21847,10$+5.000$ ∙ (1+ i)−1=5.000 ∙

( 1−0,05

1+i )1

−0,5−i

∙ (1+i )−1

Co calcladora Eco&'ica Eco!ra'os ":

i=0,0625 Es d"cir 9<(8Q

EJERCICIO 4.12 VA !asa ""c!ia s" c'pl" las codicio"s 'os!radas " "l si$i"!"dia$ra'aW

So(:ción

(*)





i=0,20

Paraallar P E ne#esitamosallar E

E=( Dn

D1 ) 1

n−1−1

E=( 743,01100 ) 1

n−1−1

E=0,2

#omo E=i

P E= nD

1+i 0→

P E=12 ∙100

1+0,2 =1.000

Para el &radiente aritmeti#o:

PT = PA+ P&

PA=400 $ ∙(1 ∙ (1+0,2 )

−5

0,2 )∙ (1+0,2 )−12=134,166821349 $

P&=−50 $

0,2∙ ( (1+0,2 )5−1

0,2 ∙ (1+0,2 )5−

5

(1+0.2 )5 ) ∙ (1+0,2 )−12=−27,5127082052

PT =134,166821349 $−27,5127082052 $

PT =106,654113144

EJERCICIO 4.15 -a "!idad iaci"ra pr"s!a a cli"!" +.))).)))< co i!"rs d"l +5</QCM. El d"dor !i"" pla%o d" *8 aos para a'or!i%ar la d"da< '"dia!" pa$os '"sal"s.Spoi"do " la pri'"ra co!a "s d" *).))) J "c" al ial d"l pri'"r '"s< VCFl d"b" s"r "l porc"!a" d" r"as!" '"sal d" la co!a para cac"lar la d"daW

(*(



7>2

7

2

Mes

0:222:222;

)7/<

72:222;

)8/<

So(:ción

(=34,8 , i=0,34

12 =0,029 EV

E=? n=15año( 12mes

año )=180mes

F 1=3.000 .000$ (1+0.029 )180=515.096.634,1$

In&resos=¿∑ E&resos

∑ ¿

515.096.634,1$−10.000$ [ (1+ E )180−(1+0,029 )180

E−0,029 ]

(*+

i Resultado2:20 7>?:257:>7>>

3 22:29 C0>?:778:9>0>



I!"rpolado i=0.0332 EV

EJERCICIO 4.17 S" or"c" la ad'iis!raci& d" r"s!ara!" dra!" ao J s" $ara!i%a "

co'prara "ac!a'"!" 9.))) al'"r%os '"sal"s dra!" "s" ao< los cal"s s"rF pa$ad"ros" solo co!ado a ra%& d" 8)) cada o< p"ro s alor !o!al s"rF cac"lado al ial d"l aosi i!"r"s"s< la p"rsoa calcla " "l cos!o d" los is'os d" cada al'"r%o s"rF d" ()) loscal"s d"b"rF s"r adiridos J pa$ados al pricipios d" cada '"s J s alor a'"!ara cada '"s 8Q. El cos!o '"sal d" 'ao d" obra s" cosid"ra "s!abl" " (8).))) J ad"'Fs< s"r""rirF a i"rsi& iicial d" *.))).))) para la ad"caci& d"l r"s!ara!". Spoi"do i!"rs '"sal d"l +Q. Calclar cFl s"rF "l alor d" s $aacia:

a? E p"sos d" oJ.

b? E p"sos !ros.So(:ción

iT)<)+EM

GT)<)8

T*( '"s"s

(*5



a Mo!o la "caci& d" alor

P=36.000.000 (1+0,03 )−12−250.000 [ 1−(1,03 )−12

0,03 ]−6.000[200[ (1,05 )12 (1,03 )−12−1

0,05−0,03 ] (1,03 )]−1.000 .00

P=25.249.675,69−2.488 .500−¿ *9.)5*.//2<*/B*.))).)))

P=5.719.286,51 $

b?

F = P (1+i )n

F =5.719.286,51(1+0,03)12=8.154.335,007 $

EJERCICIO 4.18 R"s"la "l probl"'a a!"rior spoi"do " " "l '"s 9 d"b" pa$ar a ss"'pl"ados< ad"'Fs d" s s"ldo< a boiicaci& d" *(8.))) J " "l '"s *( d"b"rF pa$ar adicioal'"!" 5)).))) por pr"s!acio"s social"s.

So(:ción

iT+Q

a? VP T 8.;*2.(/8<8** Y *(8.))) (1−0.03)−6−400.000 (1+0.03 )−12

VP T 8.++5.)5/<)(;

(*8



b? 13T 8.;*2.(/8<8** (1−0.03)12−125.000(1−0.03)6−400.000

13T ;.9)8.);;<)58

iT+Q

a? VP T 8.;*2.(/8<8** Y *(8.))) (1−0.03)−6−400.000 (1+0.03 )−12

VP T 8.++5.)5/<)(;

b? 13T 8.;*2.(/8<8** (1−0.03)12

−125.000(1−0.03)6

−400.000

13T ;.9)8.);;<)58

EJERCICIO 4.,0

R"s"la "l probl"'a 4.17 spoi"do " "l alor d" los al'"r%os s"a pa$ad"ro al ial d"cada '"s.

So(:ción

a

(*9



1alor d"l al'"r%o pa$ado al ial d"l '"s: +))))))

P T A [ 1−(1+i )−n

i ]

P T +.))).))) [ 1−(1+0.03 )−12

0.03 ] P T (2./9(.)**<2/

P T D [ (1+ E )n (1+ i )−n−1

E−i ]

P T *.()).))) [ (1+0.05 )

12

(1+0.03 )−12

−10.05−0.03 ]

P T *8.8;5.952<92

P T A [ 1−(1+i )−n

i ]

P T (8).))) [ 1−(1+0.03 )−12

0.03 ] P T (.5//.8))<22/

(*;



Pt T (2./9(.)**<2/ Y [15.574.649,69 (1.03 )1+2.488.500,998+1.000 .000]

P T *).++*.9(*</(

b VF T *).++*.9(( (1.03 )12

VF T *5.;+).5((

EJERCICIO 4.,1 -a Fbrica !i"" cos!os ios d" 9)).))) '"sal"s J cos!os ariabl"s d"*8) por idad. Dra!" los pri'"ros 9 '"s"s o aJ prodcci& por" "s!" !i"'po s"d"dicara a pr"bas J as!"s. E "l '"s ; s" iiciara la prodcci& co +)) idad"s J cada '"sla prodcci& a'"!ara " ()) idad"s as!a ll"$ar al !op" d" (8)) al '"s. Si s" "sp"ra "d"r la Fbrica al ial d" + aos< calclar "l cos!o !o!al d" la prodcci& " "s!os + aos " p"sos d"oJ. Spo$a a !asa d"l +Q ""c!io '"sal.

So(:ción

P T A [ (1+i )n−1

i ]

P 0T 9))))) [ (1+0.03 )36−1

0.03 ] P 0T +;.298.899<89

(*/



A T >+))?>*8)? T 58.)))

$ T >())?>*8)? T +).)))

iT ).)+

P $T A [ (1+i )n−1

i ] U&

i [ (1+i)n−1

i −n]

P $T 58.))) [ (1+0.03 )12−1

0.03 ] U30.000

0.03 [ (1+0.03)12−1

0.03 −12]

F $T (./+).9;)</2(

P $T (./+).9;)</2( (1+0.03 )18 T 5./*2.)(;<;*(

AT>(8))?>*8)?T+;8.)))

P &T +;8.))) [ (1+0.03 )18−1

0.03 ](*2





Si "l ca'bio ac!al "s d" -S * B 5)) allar "l alor !o!al d" las i'por!acio"s d" la Fbrica ""l !rascrso d" ao.

a? E p"sos d" pricipio d" ao.

b? " p"sos d" ial d"l ao. Spo$a " la Fbrica !rabaa co a !asa d" +Q ""c!io'"sal.

So(:ción

a DT>/)?>())?T *9)))>5))? T 9.5)).)))

ET).)(8

T*('"s"siT).)+

P T D [ (1+ E )n (1+ i )−n−1

E−i ]

P T 6.400 .000

[ (1+0.025 )12 (1+0.03 )−12−1

0.025−0.03

] P T ;(.9)5.()/<*)

;(.9)5.()/<*) (1.03 )1 T ;5.;/(.++5<+5

((*



b?

F T D [ (1+ E )n−(1+i )n

E−i ]

F T 6.400 .000[ (1+0.025)12−(1+0.03 )12

0.025−0.03 ] F T *)+.8*9.(5)<+

*)+.8*9.(5)<+ (1.03 )1 T *)9.9(*.;(;<+

EJERCICIO 4.,4 -a "'pr"sa "s!F pr"parado s pla i"al d" $as!os. La &'ia '"salac!al al" (.))).))) J s" "s!i'a " cada ao "l salario '"sal s" icr"'"!arF " (8Q.VCFl d"b" s"r "l alor d" la proisi& " p"sos d" oJ para "l pr"s"!" i"ioW Spo$a" la "'pr"sa !ili%a a !asa d" i!"rs d"l +8Q EA.

So(:ción

* i"io T 8 aos

iT +8Q EA

(1+i2 )m2=(1+i1 )m1

(((



(1+0.35 )1=(1+i1 )12

(1+0.35 )1/12−1=i1

i1=2.532 E

1alor !ro d"l pri'"r ao:

VF T A [ (1+i )n−1

i ]

VF T (.))).))) [ (1+0.025324 )12−1

0.025324 ] T (;.95*.;))<(;

El si$i"!" ao a'"!a (8Q J as# sc"sia'"!".

Gradi"!" $"o'!rico. + T ).(8 iT).+8 EA AT(;.95*.;))<(; nT8

VF T A [ (1+ E )n−(1+ I )n

E−i ]

VF T (;.95*.;))<(;

[ (1+0.25 )5− (1+0.35 )5

0.25−0.35

] T +28.2)8.++8<(

E alor pr"s"!":

P T VF (1+i )−n

P T 395.905.335,2 (1+0.35)−5

P T //.(2(.(+8<(/

EJERCICIO 4.,2 El baco A7C coc"d" prs!a'o para adirir local co'"rcial por 8.))).))) "l d#a pri'"ro d" oc!br" d" *22(< " las si$i"!"s codicio"s: pla%o *( aos< pa$os'"sal"s cr"ci"!"s " *Q J !asa d"l +9Q o'ial '"sal "cido. El d#a pri'"ro d"a$os!o d" *222 "l d"dor solici!a al baco @Z la r"iaciaci& d" la d"da " " "s"'o'"!o !i"" co!ra#da co "l baco A7C. El "o prs!a'o s" ""c!a " las si$i"!"scodicio"s: co!as '"sal"s cr"ci"!"s " *.(Q !asa +)Q o'ial '"sal "cido< pla%o

((+



*8 aos. VCFl s"rF "l alor d" la co!a " "l pri'"ro d" s"p!i"'br" d" *222 pa$ar#a al bacoA7C " caso d" o ab"r r"iaciaci&W VCFl s"r#a "l alor d" la co!a " " "sa 'is'a"ca pa$ar#a al baco @Z " caso d" r"iaciaci&W

So(:ción

Para "l baco A7C

GT).)*

PT 8.))).)))

T)<+9 NM1

'T*(

T*(aos 12meses

1año =144meses

((5



i= (

m=

0,36

12 =0,03 EV

P= D

[ (1+4 )n (1+i )−n−1

4−i

]5.000.000= D [ (1+0,01 )144 (1+0,03 )−144−1

0,01−0,03 ]5.000.000= D (47,0304168 )

D= 5.000.000

47,0304168=106.314,0518 $

DT*)9.+*5<)8*/ "s "l alor d" la co!a " s" d"b" pa$ar al baco A7C " "l pri'"r pa$o< "sd"cir "l )*B**B2(< co "s!" alor pod"'os d"!"r'iar cFl "s "l alor d" la co!a " d"b" pa$ar "l )*B)2B22 o " la co!a '"ro /+< ll"ado DT*)9.+*5<)8*/ a "l alor !ro d" la co!a /+ p"ro r"s!a'os * Ja " "s" alor " calcl"'os "s la co!a " d"b" pa$ar " la '"ro /+ J "lsaldo d" la d"da "s!ar#a " "l '"s /(< proc"d"'os a calclar:

D 83=¿ P D1 (1+4 )n−1

F ¿

D 83=¿106.314, 0518 (1+0,01)83−1

F ¿

D 83=¿106.314,0518 (1,01 )82

F ¿

D 83=¿240.404,9028 $

F ¿

3D/+T(5).5)5<2)(/ "s "l alor d"l pri'"r pa$o " d"b" ac"rs" "l )*B)2B22 a par!ir d" "s!" pa$od"!"r'ia'os "l saldo d" la d"da as!a "s" 'o'"!o>P ( ?< dod" T*55B/(T9(K"l cal s" ar"iaciar co "l baco @Z bao as codicio"s "sp"c#icas:

((8



P= D [ (1+4 )n (1+i )−n−1

4−i ]

P2=240.404,9028 [ (1+0,01 )62 (1+0,03 )−62−1

0,01−0,03 ] P2=240.404,9028 (35,17525448 )=8.456.303,633$

Co r"iaciaci& d"l baco @Z

A"o $raica (

GT)<)*(

P(T/.589.+)+<9++

T).+)NM1

'T*(

T*8aos 12meses1año =180meses

i= (

m=

0,30

12 =0,025 EV

P= D [ (1+4 )n (1+i )−n−1

4−i ]

8.456.303,633= D [ (1+0,012 )180 (1+0,025 )−180−1

0,012−0,025 ]8.456.303,633= D (69,1917662 )

((9



D=8.456.303,633

69,1917662 =122.215,4614$

CAPÍTULO 2

VALOR PRESENTE NETO (VPN)

INTRODUCCIÓN

Cado s" "s!dia la ac!ibilidad d" proJ"c!o d" i"rsi&< s" d"b" "alar< "s d"cir< '"dir si"s b"o o 'alo i"r!ir di"ro " "l proJ"c!oK "is!" cri!"rios para '"dir la bodad "co&'icad" los proJ"c!os< los "alador"s d" proJ"c!os los lla'a #dic"s a !al"s cri!"rios< los 'Fsco'"s so:

• 1alor Pr"s"!" N"!o >1PN?

((;



• Cos!o Aal -ior'" Eial"!" >CA-E?

• ,asa I!"ra d" R"!oro >,IR?

• R"laci& 7""icio Cos!o >7XC?

VALOR PRESENTE NETO

El alor pr"s"!" "!o d" proJ"c!o d" i"rsi& s" ob!i"" al ll"ar a 'o'"!o c"ro !odos losi$r"sos J "$r"sos d"l proJ"c!oK "s d"cir< cooc"r "l "ial"!" " p"sos d" oJ< d" !odo "l lod" odos d"l proJ"c!o. Ma!"'F!ica'"!" s" d"i" as#:

1alor Pr"s"!" N"!o T 1alor Pr"s"!" d" los I$r"sos B 1alor pr"s"!" d" los "$r"sos

S" d"b" r"cordar " al !rasladar di"ro " la l#"a d" !i"'po< s" r"i"r" a !asa d" i!"rs< Ja" di"ros bicados " di"r"!"s 'o'"!os o s" p"d" s'ar ari!'!ica'"!"K "s d"cir< oso "co&'ica'"!" i$al"sK "l coc"p!o d"l alor d"l di"ro " "l !i"'po "s!F i'"rso " !odad"cisi& iaci"ra.

Al "alar proJ"c!o d" i"rsi& '"dia!" 1PN >i?< s" d"b" pr"cisar lo si$i"!":

*. ,odos los i$r"sos J "$r"sos " apar"c" " "l proJ"c!o.

(. ,""r " c"!a la co"rsi& d" si$osK "s d"cir< cosid"rar "$r"sos co'o "$a!ios "i$r"sos co'o posi!ios.

+. ,""r " c"!a la !asa d" i!"rs o d" opor!idad< cado s" co'para ca!idad"s d"di"ro " apar"c" " 'o'"!os di"r"!"s.

TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD

Si i"rsiois!a $aa a !asa d" i " proJ"c!o di"r"!" al " ac!al'"!" s" l" "s!For"ci"do< a "s!a !asa i s" l" lla'a !asa d" i!"rs d" opor!idadK "s d"cir< la !asa d" i!"rs d"opor!idad "s la 'Fi'a !asa d" i!"rs " "l i"rsiois!a sacriica al i"r!ir " proJ"c!o"sp"c#ico< a# la !asa d" i!"rs d" opor!idad s" si'boli%a co la si$la ,IOK !odo i"rsiois!a!i"" a ,IO d" r""r"cia para '"dir la bodad "co&'ica d" proJ"c!o. La "caci&da'"!al para "co!rar "l 1PN "s la si$i"!":

((/



F : lo "!o d"l 'o'"!o .

i: !asa d" i!"rs ""c!ia p"ri&dica "cida !ili%ada para "l cFlclo.

Ha$a'os arios ""'plos para "!"d"r "l coc"p!o " "ci"rra "l #dic" alor pr"s"!" "!o.

EJEMPLO 2.1 4or$" co'pra "#clo " *.))).)))< " prodc" 5)).))) d" !ilidad"sdra!" cada o d" los pr&i'os dos aosK al ial d" "s!" p"riodo lo "d" " 8)).))). Si la!asa d" i!"rs d" opor!idad d" 4or$" "s d"l ()Q aal< V !a b" "$ocio a r"ali%ado4or$"W

SOLUCIÓN

a? S" dis"a "l dia$ra'a d" lo d" caa< r"sp"!ado la co"ci& d" si$os >I$r"sos posi!ios J "$r"sos "$a!ios?.

b? S" ll"a a 'o'"!o c"ro !odo "l lo d" odos a la !asa d"l ()Q aal

( ) ( ) ( ) ((().)*

))).8))

().)*

))).5))

().)*

))).5))))).))).*().) ++++++−= AVPN

( )( ) (().)*

))).2))

().)*

))).5))))).))).*().)

++

++−= AVPN

( ) S9;<999.5*++<+++.28/))).))).*().) −=+−= AVPN

((2





La al!"ra!ia 7 os idica " si ii"r!" *).))) para r"cibir *(.)))K " cos"c"cia pod"'os air'ar " cado "l alor pr"s"!" "!o "s i$al a c"ro< los di"ros i"r!idos $aa i!"rs "ac!a'"!" i$al al "'pl"ado para "l cFlclo d" 1PN " " "l caso d" 4or$" "s s,IOK s" p"d" d"cir " "l proJ"c!o "s idi"r"!" para 4or$".

La al!"ra!ia C !i"" 1PN i$al a:

1PNT/++

().)*

))).*+))).*) =

++−

El proJ"c!o C cosis!" " i"r!ir *).))) para r"cibir *+.))) " ao< para cooc"r s !asa d"r"di'i"!o s" proc"d" as#:

( )+).)

S))).*)

S))).+

S))).*)

S))).*)))).*+ ==−=io +)Q EA1

Es!o os idica " la !asa d" i!"rs d" los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o "s d"l +)Q< "l 1PN para la al!"ra!ia C "s d" /++K s" coclJ" " si "l 1PN "s posi!io< "s!o idica " "lr"di'i"!o sobr" la i"rsi& "s sp"rior al ()Q " s" !ili%& para calclar "l 1PN.

Pod"'os air'ar "!oc"s " 1PN posi!io si$iica " la !asa d" i!"rs " $aa losdi"ros " "l proJ"c!o "s sp"rior a la !asa d" i!"rs " s" !ili%a para calclarlo >+)Q "ssp"rior al ()Q?.

EJEMPLO 2. Spo$a'os " car!o proJ"c!o "s cosid"rado por 4or$"< "s!" cosis!" "i"r!ir *).)))< para r"cibir d"!ro d" ao **.8)).

SOLUCIÓN

P T*).))) F T**.8)) iT,IOT()Q EA1 1PN >).()?TW

(+*



( )( )

9;<5*9().)*

8)).**))).*)().) −=

++−= 6VPN

Es!" l!i'o proJ"c!o !i"" a !asa d" r"di'i"!o i$al a

( ) *8.)S))).*)S8)).*

S))).*)S))).*)8)).** ==−=i

o *8Q EA1

Es!" proJ"c!o !i"" 1PN >).()? "$a!io J s r"di'i"!o "s d"l *8QK "s!o si$iica " proJ"c!o co 1PN "$a!io rid" a !asa i"rior " la !ili%ada para "l cFlclo >*8Q "si"rior a ()Q?.

Aali%ado los ""'plos 8.( J 8.+< pod"'os air'ar lo si$i"!" co r"sp"c!o al alor pr"s"!""!o.

*. S alor d"p"d" d" la !asa d" i!"rs " s" !ili%a para calclarlo.

(. Si i "s la !asa d" i!"rs " s" !ili%a " "l cFlclo d"l alor pr"s"!" "!o< p"d" ocrrir:

a? 1PN >i? f ). Idica " los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o rid" 'Fs d"l i.

b? 1PN >i? T ). Idica " los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o rid" "ac!a'"!" i.

c? 1PN >i? ^ ). Idica " los di"ros i"r!idos " "l proJ"c!o rid" '"os d"l i.

+. Si ad"'Fs i "s la !asa d" i!"rs d" opor!idad< "!oc"s:

a? 1PN >i? f ). S"ala " "l proJ"c!o "s co"i"!".

b? 1PN >i? T ). Idica " "l proJ"c!o "s idi"r"!".

c? 1PN >i? ^ ). M"s!ra " "l proJ"c!o o "s co"i"!".

ANLISIS MATEMTICO DEL VALOR PRESENTE NETO

La "caci& 8.( lo " os dic" bFsica'"!" "s " !odo "l lo d" odos d" proJ"c!o s"

d"b" ll"ar a 'o'"!o c"roK " o!ras palabras< la "caci& d" alor s" pla!"a " "s!" p!o.GrFica'"!" "s!o s"r#a:

(+(



Si la "caci& >8.+? la 'l!iplica'os por >*Ui?n J r"ord"a'os os "da as#:

− F 0 (1+i )n+ F 1 (1+i )n−1+ F 2 (1+i )n−2− F 3 (1+i )n−3+;+ F ( (1+i )n− (+;+ F n=0 >8.5?

La "caci& 8.5 "s polio'io d" $rado nK "l Fl$"bra dic" " polio'io d" $rado n !i"" nra#c"s< dod" al$as so r"al"s J o!ras co'pl"as.

El '"ro d" ca'bios d" si$o d"!"r'ia "l '"ro d" ra#c"sK "l '"ro d" ra#c"s "s '"or oi$al al '"ro d" ca'bios.

R"cord"'os " la ra#% d" polio'io so los alor"s " p"d" !o'ar la ariabl" J ac" ""l alor d"l polio'io s"a c"roK para "s!ro caso i "s la ariabl".

E!"da'os "s!o co al$os ""'plos:

EJEMPLO 2.4 S" ii"r!" 8)) co la "p"c!a!ia d" r"cibir (9/<2 al ial d" cada o d" lossi$i"!"s ( aos. VCFl "s la !asa i " ac" " "l 1PN s"a c"roW

SOLUCIÓN

El proJ"c!o d" i"rsi& !i"" "l si$i"!" dia$ra'a d" lo:

(++



Si ac"'os "ca ocal " c"ro J pla!"a'os la "caci& d" alor<

( ) (*

2<(9/

*

2<(9/

8)) ii +++=

E >8.8? !""'os polio'io d" $rado (< "l Fl$"bra dic" " p"d" !""r 'Fi'o ( ra#c"sK "sd"cir< ( alor"s dis!i!os " lo a$a i$al a c"ro.

E >8.8? !""'os ca'bio d" si$o< "s!o os idica " "l '"ro d" ra#c"s "s '"or o i$al a*.

Para "co!rar "l alor o los alor"s d" i " sa!isac" >8.8?K "s d"cir< la coi"r!" " c"roKda'os di"r"!"s alor"s a i J "labora'os a !abla.

,abla 8.*

La !abla 8.* os idica " a !asa "!r" "l 5Q J "l8Q ac" al 1PN i$al a c"ro. Si pla!"a'os "l1PN d"l probl"'a:

(+5

i ( )

( )(

*

2<(9/

*

2<(9/8))

ii

i f

+

−

+

−=

)<)* B(2./+2)<)( B((<)/9)<)+ B*5<8+()<)5 B*5<8+()<)8 )<))8)<)9 ;<))*



VP+ (i )=−500+268,9

1+i +

268,9

(1+i)2 >8.9?

Elabora'os a !abla< dFdol" alor"s a i " la "caci& >8.9?

i 1PN >i?)<)* (8</5)<)( ((<)2)<)+ *5<8+)<)5 ;<*;)<)8 B)<))8)<)9 B;

,abla 8.(

I!"rpolado "!r" )<)5 J )<)8

)<)5 ;<*;

; )

)<)8 B)<))8

*;<;))8<)

*;<;)

)5<))8<)

)5<)

−−−

+−

− x

( )

−−−−+=

*;<;))8<)*;<;))5<))8<))5<) x

x T )<)5/2 T 5</2Q "s la !asa " ac" d" 1PN >i? T ).

Graicado los alor"s d"l 1PN >i?

(+8



"#%&'#""&'#&'*#&'#%+#&'

'"

'%

%

"

"%

%

%

3i$ra 8.;

D" la !abla 8.( !a'bi pod"'os coclir " i"rsiois!a " !"$a co'o !asa d" i!"rs d"opor!idad ,IOT8Q "l proJ"c!o "s idi"r"!".

PRO@ECTOS MUTUAMENTE EGCLU@ENTES @ 6UE PRESTAN EL MISMOSERVICIO

Al$as "c"s "l i"rsiois!a !i"" arias al!"ra!ias " d"b" "alar "co&'ica'"!" J"sco$"r a d" "llas. Cado s" pr"s"!a "s!a si!aci& s" dic" " los proJ"c!os so '!a'"!""clJ"!"s< s" "sp"ra " la al!"ra!ia s"l"ccioada s"a la 'Fs co"i"!" d"sd" "l p!o d"

is!a "co&'ico. S" p"d" pr"s"!ar !r"s casos:

a? 6" las al!"ra!ias a "alar !"$a la 'is'a ida !il.

b? 6" las al!"ra!ias a "alar !"$a di"r"!"s idas !il"s.

c? 6" !"$a ida !il iii!a ( )∞→n .

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EGCLU@ENTES CON I3UAL VIDA HTIL

Cado dos o 'Fs proJ"c!os d" i"rsi& !"$a i$al ida !il J s" "s!F "alado co "l#dic" 1PN >i? s" d"b" s"l"ccioar:

*. Si !odos los proJ"c!os a "alar !i"" 1PN posi!ios< s" d"b" s"l"ccioar a"l " !"$a"l 1PN 'aJor.

(+9



(. Si !odos los proJ"c!os a "alar !i"" 1PN "$a!ios< s" d"b" s"l"ccioar "l " s"a'"os "$a!ioK d"b" r"cordars" " 1PN "$a!io s" p"d" i!"rpr"!ar co'o cos!o< por lo !a!o s" d"b" "sco$"r "l " c"s!" '"os.

+. Si al$os proJ"c!os !i"" 1PN posi!ios J o!ros 1PN "$a!ios< d"b" s"l"ccioars" "l

'Fs posi!io.EJEMPLO 2.2 S" d"s"a s"l"ccioar la '"or 'Fia "!r" dos opcioal"s< " pr"s!a "l 'is'os"ricio< cJos cos!os s" discri'ia as#:

MFia A >? MFia 7 >?Cos!o iicial (.8)) +.8))Cos!o aal d" op"raci& 2)) ;))1alor d" sala'"!o ()) +8)1ida !il " aos 8 8

,abla 8.+

La !asa d" i!"rs d" opor!idad "s d"l *)Q aal.

SOLUCIÓN

A'bos proJ"c!os !i"" i$al ida !il<

MFia A

(+;



( ) ( )

( ) S8(<8;/;

*).)*

())

*).)

*).)**2))8)).(*).)

8

8

−=+

+

+−−−=

−

AVPN

MFia 7

( ) ( )

( ) S(+<82+9

*).)*

+8)

*).)

*).)**;))8)).+*).)

8

8

−=+

+

+−−−=

−

<VPN

S" d"b" s"l"ccioar la 'Fia A por" c"s!a '"os< la 'Fia A r"pr"s"!a a salida d"8;/;<8( " p"sos d" oJ J la 'Fia 7 r"pr"s"!a a salida d" 82+9<(+

( ) ( )*).)*).) < A VPN VPN <

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EGCLU@ENTES CON DI+ERENTE VIDAHTIL

El alor pr"s"!" "!o "i$" " "l ori%o!" para "alar dos al!"ra!ias s"a i$alK cado lasidas !il"s so di"r"!"s " los proJ"c!os< s" d"b" "s!diar !odos los proJ"c!os co '"rod" p"riodos " s"a "l '#i'o co' 'l!iplo d" la ida d" cada o d" los proJ"c!os.

EJEMPLO 2./ - labora!orio r"i"r" aisla'i"!o !r'ico " par"d"s J ci"lo rasoK para'a!""r a !"'p"ra!ra cos!a!"< s" r"i"r" "l ailio d" cal"!ador"s J "ipo d" air"acodicioado. Eis!" " "l '"rcado + !ipos d" aisla'i"!o< " c'pl" co las codicio"sr""ridas J< " !odos los casos< prFc!ica'"!" "l alor d" sala'"!o "s loK ad"'Fs s" cooc"la si$i"!" ior'aci&:

Aisla'i"!o A>? 7>? C>?

Cos!o aal 5)).))) 8)).)));)).))

)

Cos!o aal d" op"raci& ().))) ().))) +).)))1ida !il 5 8 +)

Aorro d" ""r$#a al pri'"r ao *)).))) ()).)))+)).))

)

,abla 8.5

(+/



La !aria d" ""r$#a sb" aal'"!" /Q. Si s" "sp"ra cos"rar "l labora!orio por *) aos<V !ipo d" aisla'i"!o d"b" !ili%arW Spo$a a !asa d"l ()Q ""c!ia aal.

SOLUCIÓN

NOTA El dia$ra'a d" lo "s i'por!a!" para "!"d"r "s!" probl"'a.

Co'o " "s!" probl"'a las idas !il"s d" las + al!"ra!ias so di"r"!"s< s" d"b" "co!rar "l'#i'o co' 'l!iplo d" las !r"s opcio"s J !rabaar co "s!" ori%o!".

VP+ A (0,20 )=−400.000− 400.000(1+0,20 )4−

400.000(1+0,20 )8−

20.000

[1−(1+0,20 )

−10

0,20 ]+ 100.0000,20−0,08 [

1−( 1+0,081+0,20 )10

VP+ 7 (0,20 )=−500.000− 500.000

(1+0,20)5−20.000[ 1−(1+0,20)−10

0,20 ]+ 200.000

0,20−0,08 [1−(1+0,08

1+0,20 )10

]=300.747,7

(+2



VP+ , (0,20 )=−700.000−30.000

[1−(1+0,20 )−10

0,20

]+ 300.000

0,20−0,08

[1−

(1+0,08

1+0,20 )

10

]=802.529,73718 $

1PNCf1PN7f1PNA< s" d"b" s"l"ccioar "l aisla'i"!o C.

/)(.8(2<;+f+)).;5;<;)85fB((;.))2<2(

EVALUACIÓN DESPUÉS DE IMPUESTOS

- proJ"c!o p"d" s"r iabl" a!"s d" i'p"s!os J !orars" o iabl" d"sps d" i'p"s!os.

EJEMPLO 2.5 - proJ"c!o d" i"rsi& cosis!" " adirir a 'Fia a cos!o d" 9'illo"s< !"drF a ida !il d" 8 aos J prFc!ica'"!" o !"drF alor d" sala'"!o< la'Fia s"rF d"pr"ciada !o!al'"!" " + aos por par!"s i$al"s< "l "s!dio d" '"rcados idica" los i$r"sos d"l pri'"r ao s"rF aproi'ada'"!" d" + 'illo"s J a'"!arF !odos losaos " +)Q< s" "s!i'a " los cos!os d" prodcci& d"l pri'"r ao s"rF d" /)).))) J cadaao a'"!arF " ()).))). Spoi"do a !asa d" i'p"s!os d"l +/Q aal< d"!"r'iar laiabilidad d"l proJ"c!o co ori%o!" d" pla"aci& d" 8 aos< sabi"do " la !asa d"l

i"rsiois!a "s d"l 5)Q aal.

SOLUCIÓN

El dia$ra'a d" lo "s "l si$i"!":

(5)



D"pr"ciaci& aal añoaño

S))).))).(

+

S))).))).9==

7as" d"l pri'"r ao S))).())S))).))).(S)))./))S))).))).+ =−−=

7as" d"l s"$do ao S))).2))S))).))).(S))).))).*S))).2)).+ =−−=

7as" d"l !"rc"r ao S)))./;).*S))).))).(S))).()).*S))).);).8 =−−=

7as" d"l car!o ao S))).*2*.8S))).5)).*S))).82*.9 =−=

7as" d"l i!o ao S+)).29/.9S))).9)).*S+)).89/./ =−=

Pago de i!*uestos:

Pri'"r ao S))).;9+/.)S))).()) =×=

S"$do ao S))).+5(+/.)S))).2)) =×=

,"rc"r ao S9)).;*)+/.)S)))./;).* =×=

Car!o ao S8/).2;(.*+/.)S))).*2*.8 =×=

6i!o ao S285.95;.(+/.)S+)).29/.9 =×=

Si !abla'os los cFlclos

P"riodo

I$r"sos Cos!o D"pr"ciaci& 7as" I'p"s!o 3NC >3lo N"!o d" Caa?

) B9.))).))) ) ) B9.))).)))* +.))).))) /)).))) (.))).))) ()).))) ;9.))) (.*(5.)))

( +.2)).)))*.))).))

)(.))).))) 2)).))) +5(.))) (.88/.)))

+ 8.);).)))*.()).))

)(.))).)))

*./;).)))

;*).9)) +.*82.5))

5 9.82*.))) *.5)).)))

) 8.*2*.)))

*.2;(.8/) +.(*/.5()

8 /.89/.+))*.9)).))

))

9.29/.+))

(.95;.285 5.+().+59

,abla 8.8

(5*



( )( ) ( ) ( ) ( )

(//.+/85)<)*

+59.+().5

5)<)*

5().(*/.+

5)<)*

5)).*82.+

5)<)*

))).88/.(

5)<)*

))).*(5.())).))).95)<)

85+( −=

++

++

++

++

++−=VPN

El proJ"c!o o "s co"i"!" para "l i"rsiois!a

+LUJO DE CAJA LI9RE DEL INVERSIONISTA

O!ra or'a d" pr"s"!ar "l proJ"c!o "s "s!i'ar "l "s!ado d" r"sl!ados proJ"c!ados. Para "llod"b"'os !ili%ar las si$i"!"s "cacio"s co!abl"s:

-!ilidad br!a T I$r"sos Y E$r"sos

-!ilidad op"ra!ia T -!ilidad br!a Y Gas!os op"racioal"s

-!ilidad a!"s d" i'p"s!os T -!ilidad op"ra!ia U O!ros i$r"sos Y O!ros "$r"sos

-!ilidad d"sps d" i'p"s!os T -!ilidad a!"s d" i'p"s!os Y I'p"s!os

3lo d" caa d"l i"rsiois!a T -!ilidad d"sp"s d" i'p"s!os Y I"rsio"s Y A'or!i%aci& U D"pr"ciaci&

ES,ADO DE RES-L,ADOS PROEC,ADOS

Ao ) * ( + 5 8

I$r"sos +.))).))) +.2)).))) 8.);).))) 9.82*.))) /.89/.+))Cos!o d"

prodcci& >B?/)).))) *.))).))) *.()).))) *.5)).))) *.9)).)))

D"pr"ciaci&>B?

(.))).))) (.))).))) (.))).))) ) )

-!ilidad br!a ()).))) 2)).))) *./;).))) 8.*2*.))) 9.29/.+))Gas!os

op"racioal"s>B?

) ) ) ) )

-!ilidadop"racioal

()).))) 2)).))) *./;).))) 8.*2*.))) 9.29/.+))

Gas!osiaci"ros >B?

) ) ) ) )

-!ilidad a!"sd" i'p"s!os

()).))) 2)).))) *./;).))) 8.*2*.))) 9.29/.+))

I'p"s!os >B? ;9.))) +5(.))) ;*).9)) *.2;(.8/) (.95;.285-!ilidad

d"sps d") *(5.))) 88/.))) *.*82.))) +.(*/.5() 5.+().+59

(5(



i'p"s!osI"rsio"s >B? 9.))).))) ) ) ) ) )A'or!i%aci&

>B?) ) ) ) ) )

D"pr"ciaci&

>U?

) (.))).))) (.))).))) (.))).))) ) )

3lo "!o d"caa

B9.))).))) (.*(5.))) (.88/.))) +.*82.5)). +.(*/.5() 5.+().+59

,IO T 5)Q 1PN T B+/8.(//


EJERCICIO 2.1 El ""c!io d" a Fbrica propo" adirir a pr"sa< cJo cos!o "s d"(.))).)))K "l di"ro "c"sario p"d" s"r adirido '"dia!" prs!a'o d"l baco A7C< "lcal "i$" " l" s"a cac"lado " pa$os '"sal"s ior'"s< dra!" + aos co i!"rs d"l+9Q CM. La pr"sa !i"" a ida !il d" + aos J alor d" sala'"!o d" 5)).)))< s" "sp"ra" la pr"sa prod%ca i$r"sos '"sal"s por /+.))). Si "l i"rsiois!a "sp"ra $aars" a!asa d"l 5(Q CM. VD"b" adirirs" la pr"saW

So(:ción

T + aos T +9 '"s"s.

1ST5)).)))

i=0,36

12 =0,03 EV

TI<=0,42

12 =0,035 EV

(5+



A= (2.000 .000$ ) [ 0,03

1−(1+0,03 )−36 ]=¿2*.9);<8//5

VP+ (0,035 )=−(91.607,5884 $ )[ 1− (1+0,035)−36

0,035 ]+(83.000 $)[ 1−(1+0,035 )−36

0,035 ]+ (400.000 ) (1+0,035

No d"b" adirir la pr"sa.

EJERCICIO 2., - i$"i"ro solici!a a 'Fia cJo cos!o "s d" +.))).)))< s" dispo" d"*.))).))) J "l r"s!o d"b"rF s"r iaciado por baco " pr"s!a "l di"ro al!a!" p"ro pid"

" l" s"a cac"lado " pa$os '"sal"s ior'"s dra!" + aos co i!"rs al +9Q CM. Cos!a 'Fia s" "sp"ra icr"'"!ar los i$r"sos '"sal"s " *8).)))< "l CMO d" la 'Fias" "s!i'a " 5).)))< !"drF a ida !il d" 8 aos J alor d" sala'"!o d" +)).))). Si "ld"o d" la Fbrica s" $aa " !odos ss "$ocios "l 5(Q CM. Vacos"ar#a s!"d la co'praW

So(:ción

D"da T +.))).)))B*.))).)))T (.))).)))

(55



NT +aos T +9 '"s"s

T8aosT 9) '"s"s

CMOT 5).)))

INGRESOST *8).)))

1ST +)).)))

i=0,36

12 =0,03 EV K TI<=

0,42

12 =0,035 EV

A= (2.000 .000$ ) [ 0,03

1−(1+0,03 )−36 ]=¿2*.9);<8//5

VP+ (0,035 )=−(91.607,5884 $ )[ 1− (1+0,035)−36

0,035 ]− (40.000$ )[ 1−(1+0,035 )−60

0,035 ]+(150.000$ )[ 1−(1

(58



No s" acos"a la co'pra por" "l 1PN "s "$a!io lo " si$iica prdidas Y"$r"sosB

EJERCICIO 2. -a Fbrica "s!F cosid"rado la co'pra d" a 'Fia " p"d" s"r

s"'ia!o'F!ica< a!o'F!ica o "l"c!r&ica. Los da!os para cada 'Fia s" "c"!racosi$ados " la si$i"!" !abla:

.islamiento . # D# 922:222 ?22:222 ?52:222

#.O 785:222 82:222 5:222S 72:222 >2:222 022:222 > 9 >

D"cidir cFl 'Fia co'prar sado a !asa d"l +)Q.

So(:ción

MFia A:

VPN=5%&-# −400.000−125.000 [ 1−(1+0,3 )−8

0,3 ]+10.000(1,3)−8

VPN=5%&-# −400.000−365587,7192+1225,894740

VPN=5%&-# −764361,8245

MFia 7:

(59



VPN=5%&?T

3

1,¿¿31,¿¿

−700.000−700.000¿

VPN=5%&-# −700.000−245089,4577−58.494,03507+28.010,22373+9.807,157919

VPN=5%&-# −965.766,111 $

MFia C:

(5;



VP+ (0,3)=−750.000−5000[ 1−(1+0,3 )−8

0,3 ]+800.000(1,3)−8

VP+ (0,3)=−750.000−14.623,50877+36.776,84220

VP+ (0,3)=−727.846,6666 $

S" d"b" "l"$ir la 'Fia C

EJERCICIO 2.4 - ids!rial co'pr& a 'Fia ac" + aos< " 9)).))) J a si$i"do lasis!rccio"s d"l abrica!"< s CAO s" "l"& a (().))). Aora "d"dor l" or"c" o!ra'Fia " "s!F 'Fs d" ac"rdo co ss "c"sidad"sK "s!a "a 'Fia c"s!a 88).))) J l"$ara!i%a " s CAO o s"rF sp"rior a *)).))). - aalo " l" ici"ro a la 'Fia

ac!al " d" *().))) J por "s!a ca!idad aJ o"r!a d" co'pra< Vs"rF acos"abl" "l ca'bio<spoi"do a !asa d"l (/Q< " "l alor d" sala'"!o d" a'bas 'Fias "s prFc!ica'"!"lo J " s" !o'a ori%o!" d" pla"aci& d" *) aosW

So(:ción

VP+ (0,3)=−120.000−220.000 [ 1−(1+0,28 )−10

0,28 ]VP+ (0,3)=−120.000−719.161,6970

VP+ (0,3)=−839.161,6970$

(5/





nT/

iT).(

AT(+).)))

I 1=230.000 [〖1−(1+0,2)〗(−8 )/0,2]=882546,7547 $

nT5iT).(

AT(9).))) g T+).)))

I 2=260.000[ 1−(1+0,2 )−4

0,2 ]+30.000

0,2 [ 1−(1+0,2)−4

0,2 −

4

(1+0,2)4 ] I 2=772029,3210

A n= A+(n−1)&

A5=230.000+(4 )30.000

A5=350.000

(8)



I 3=350.000

0.2 =1.750 .000

nT iii!oiT).( AT*2).))) g T().)))

, 1=190.000

0.2 +

20.000

(0.2)2 =1450.000

VP+ (0.2)=−12.000.000+882546,7547−1450.000+772.029,3210(1.2)−8 = 5.000.000(1.2)−8+1750.00

VP+ (0.2)=−13.354.469,95

b?

, 1=400.000

0.2 =2.000.000

AT 5)).))) g# ;).)))n#*)i#).(

I 1=400.000[ 1−(1+0,2 )−10

0,2 ]+ 70.000

0,2 [ 1−(1+0,2)−10

0,2 −

10

(1+0,2)10 ]

(8*



I 1=2579084,524

A10=400.000+(9)70.000

A10=1.030 .000

I 2=1.030 .000

0.2 =5.150 .000

VPN=5>$-# −20.000.000−2.000.000+2.579.084,524+5.150.000 (1.2)−10

VP+ (0.2)=−18.589.161,72

Co a'bas prop"s!as s" pi"rd"< p"ro la 'Fs co"i"!" "s la prop"s!a g*.

EJERCICIO 2./ -a co'pa#a "s!F cosid"rado la co'pra d" a 'Fia 'aal " c"s!a+).))) J s" "sp"ra " !"$a a ida !il d" *( aos< co alor d" sala'"!o d" +.))). S""sp"ra " los cos!os aal"s d" op"raci& s"a d" 2.))) dra!" los pri'"ros 5 aos p"ro "d"sci"da " 5)) aal"s dra!" los si$i"!"s oco aos. La o!ra al!"ra!ia "s co'prar a'Fia a!o'a!i%ada a cos!o d" 8/.))). Es!a 'Fia solo drar#a 9 aos a casa d" s al!a!"colo$#a J dis"o d"licado. S alor d" sala'"!o s"rF d" *8.))). Por s a!o'a!i%aci& loscos!os d" op"raci& s"rF d" 5.))) al ao. S"l"ccioar la 'Fia sado a !asa d"l ()Q.

So(:ción

• Para la 'Fia 'aal:

S" calcla "l alor pr"s"!" d" los cos!os aal"s d" op"raci& para los pri'"ros 5 aos:(8(



VP=9.000 [ 1−(1+0,2 )−4

0,2 ]=23.298,61111 $

S" calcla "l alor pr"s"!" d" los cos!os aal"s d" op"raci& para los si$i"!"s / aos:

VP=8.600 [ 1−(1+0,2)−8

0,2 ]−400

0,2 [ 1−(1+0,2)−8

0,2 −8 (1+0,2)−8]=29.046,34333 $

Co "s!os alor"s s" ob!i"" "l 1PN as#:

VP+ =−30.000−23.298,61111−29.046,34333 (1+0,2)−4+3.000 (1+0,2)−12

VP+ =−66.969,82987 $

• Para la 'aia a!o'a!i%ada:

S" d"b" !""r " c"!a " las 'aias o !i"" la 'is'a ida !il< por lo " allado "lM.C.M d" 9 J *( J por lo !a!o para calclar "l 1PN s" d"b" ""c!ar los cFlclos co'o si s""s!i"ra adiri"do ( 'Fias.

VP+ =−58.000−58.000 (1+0,2)−6−4.000[ 1− (1+0,2)−12

0,2 ]+15.000 [ (1+0,2 )−6+ (1+0,2)−12]

VP+ =−88.475.13008

S"$ los r"sl!ados arroados s" d"b" "sco$"r la 'aia 'aal.

(8+





(1+0,28 )1=(1+i2 )12

i2=0,02078473

El 'o!o !o!al 'o!iado por los salarios d" los obr"ros al ial d" cada ao "s:

VF =350.000 [ (1+0,02078473 )12−1]

0,02078473=4.715.000,249$

VP+ =−4.715.000,249[ (1+0,25 )8 (1+0,28 )−8−1

0,25−0,28 ]−700.000 [ (1+0,25 )8 (1+0,28 )−8−1

0,25−0,28 ]=−31.193.900,8

La r"co'"daci& "s op!ar por las 'Fias.

EJERCICIO 2.7 D"!"r'iar la '"or al!"ra!ia " !i"" a Fbrica para al'ac"ar s 'a!"ria pri'a J ss prodc!os !"r'iados< si s!a Fbrica solo "sp"rar !rabaar 5 aosK al ial d" loscal"s "!rarF " liidaci&. La Al!"ra!ia A cosis!" " co'prar !"rr"o " ().))).))) Jcos!rir a bod"$a< a cos!o d" 59.))).)))K al ial d" los 5 aos "l !"rr"o co lacos!rcci& podrF s"r "didos " *().))).))). El CAO para "l pri'"r ao< s"rF d" ()).)))J< cada ao si$i"!"< s" icr"'"!arF " *8Q. La Al!"ra!ia 7 cosis!" " !o'ar " alil"r a bod"$a< a cos!o d" *).))).))) por ao a!icipado J< cada ao< "l alor d"l arri"do sb"

()Q. D"!"r'iar la '"or al!"ra!ia< spoi"do " la !asa "s d"l ()Q.So(:ción

• Al!"ra!ia A:

VP+ =120.000 .000(1+0,2 )−4−66.000 .000−{200.000[ (1+0,15 )4 (1+0,2 )−4

−1

0,15−0,20 ]}VP+ =−8.755.774,981$

• Al!"ra!ia 7

(88



VP+ =−10.000.000 (4 ) (1,2)

1,2 =−40.000 .000$

Lo 'Fs r"co'"dabl" "s "l"$ir la al!"ra!ia A.

EJERCICIO 2.8 D"!"r'iar la '"or opci& d"sd" "l p!o d" is!a iaci"ro< "!r" lassi$i"!"s opcio"s co ida !il id"iida: cos!rir p"!" col$a!" a cos!o d"+)).))).))) co cos!o aal d" 'a!"i'i"!o d" +)).)))K cada *) aos< abrF " ac"rl"r"paracio"s 'aJor"s a cos!o d" +.8)).))). La o!ra al!"ra!ia "s cos!rir p"!" "cocr"!o< a cos!o d" (8).))).))) co cos!o aal d" 'a!"i'i"!o d" *)).)))K cada +aos d"b"rF r"pai'"!ars" a cos!o d" (.))).))) J cada *) aos abrF " r"acodicioar las bas"s d"l p"!"< a cos!o d" 8).))).))). Spo$a i!"rs d"l ()Q.

So(:ción

TI<=20 EA

,asa d" i!"r"s para cada + aos

(1+i1)m1=(1+i2)

m2

(1+0.20)3=(1+i2)1

i2=0.728

,asa d" i!"r"s para cada *) aos

(1+i1)m1=(1+i2)

m2

(89



(1+0.20)10=(1+i2)1

i2=5.191736422

Opcio P"!" col$a!"

VP+ =−300000000−300000

0.20 −

3500000

5.191736422

VP+ =−302,174,153 $

Opcio P"!" cocr"!o

(8;



VP+ =−250000000−100000

0.20 >

2000000

0.728

5000000

5.191736422

VP+ =−262,878,009.5 $

S" d"b" op!ar por "l p"!" d" cocr"!o

EJERCICIO 2.10 - ar!#clo !i"" pr"cio d" lis!a d" 2)).))) p"ro p"d" s"r adirido alco!ado co d"sc"!o d"l *)Q o p"d" s"r "dida a pla%os co a co!a iicial d"l 5)Q J"l saldo " *) co!as '"sal"s d" 9+.))). Spoi"do a !asa d"l +.8Q ""c!io '"sal<V6 al!"ra!ia d"b" d"cidirW

So(:ción

D" co!ado

VP+ =900,000 (0.9)=810,000$

VP+ =−360,000−63,000( " /a 23.5 210)

(8/





VP+ (3,5 )=−800.000−3.000 [ 1−(1+0,035)−12

0,035 ]−5.000 [ 1−(1+0,035 )−12

0,035 ](1+0,035)−12+500.000 (1

VP+ (3,5 )=−800.000−28.990,003−31.975,16634+218.978,5669=−641.986,6024 $

E*'(e"do

VP+ (3,5 )=−25.000 [ 1−(1+0,035 )−12

0,035 ]−30.000[ 1−(1+0,035 )−12

0,035 ](1+0,035)−12

VP+ (3,5 )=−241.583,3584−191.850,9981=−433.434,3564 $

R No "s acos"abl" adirir la 'Fia.

EJERCICIO 2.1, Si " "l probl"'a a!"rior s" spo" " la 'Fia !rabaara dra!" ; aos J" " cada ao s" a'"!a "l cos!o '"sal d" 'a!"i'i"!o " (.))) J " al ial d" "s!"!i"'po la 'Fia o !"drF alor d" sala'"!o. VLa d"cisi& a!"rior s" 'a!"dr#a si al"'pl"ado s" l" a'"!a "l s"ldo !odos los aos (8QW

S$"r"cia: El cr"ci'i"!o aal d"l $radi"!" " corr"spod" al 'a!"i'i"!o "s L T (2()+.2(.

(9)



So(:ción

i=0,035 EV

M"?:in"

Ll"a'os los alor"s a !ro d" cada '"s para " s"a aos

F 1= A [ (1+i)n−1

i ]=3000[ (1+0,035)12−1

0,035 ]=43.805,88491 $

F 2= A [(1+i)n−1

i ]=5000[(1+0,035)12−1

0,035 ]=73.009,80819 $

F 3= A [ (1+i)n−1

i ]=7000[ (1+0,035)12−1

0,035 ]=102.213,7315 $

F 4= A

[(1+i)n−1

i

]=9000

[(1+0,035)12−1

0,035

]=131.417,6547 $

F 5= A [ (1+i )n−1

i ]=11000[ (1+0,035 )12−1

0,035 ]=160.621,578 $

(9*



F 6= A [ (1+i )n−1

i ]=13000[ (1+0,035 )12−1

0,035 ]=189.825,5013 $

F 7= A

[(1+i)

n

−1i ]

=15000

[(1+0,035)

12

−10,035 ]

=219.029,4246 $

Ca'bia'os la !asa a aal

(1+i2 )m2=(1+i1 )m1

(1+0,035 )12=(1+i1 )1

(1+0,035)12−1=i

(1+0,035)12−1=i

0,511068657=i

Ll"a'os al pr"s"!" cada a d" las ca!idad"s

VP+ (0,511068657 )=−800000−43.805,88491 (1+0,511068657)−1−73.009,80819 (1+0,511068657)−2−

(9(



VP+ (0,511068657 )=¿ B295+);<+55

E*'(e"do

Halla'os "l pri'"r alor d"l $radi"!" " "l pri'"r ao

F =−25000 (1+0,035 )12

−10,035

=−365.049,041

VP+ (0,511068657 )=−365.049,041 [(1+0,25)7(1+(0,511068657 ))−7−1]

(0,25−(0,511068657 ))

VP+ (0,511068657 )=−1.027.626,255

R si "s r"co'"dabl" adirir la 'Fia< Ja " $""ra< '"or"s cos!os.

EJERCICIO 2.1 -a 'Fia c"s!a *)).)))< !i"" a ida !il d" ao J o !i"" alor d"sala'"!o. -a s"$da 'Fia !i"" cos!o d" 8)).)))< a ida !il d" / aos J alor

(9+



d" sala'"!o d" *)).))). Spoi"do i!"rs d"l ()Q ""c!io aal< d"cida cal co'prar.-s" "l C.C.

So(:ción

Maia A

3i$ra *

Calcla'os "l alor pr"s"!" "!o >1PN? a a !asa d" ()Q>)<(?:

VP+ (0,20 )=−100.000−[100.0000,2 ]=−600.000

Maia 7

3i$ra (

Pri'"ro co"r!i'os la !asa d" i!"rs para oco aos d" ida !il d" la 'aia 7:

(95



(1+0,2)8=(1+i2)1

i=3,2998

Calcla'os 1PN co !asa d" 3,2998 :

VP+ (0,02305187522 )=−500.000−( 500.000

3,2998 )+( 100.000

3,2998 )=−621.218,6891

R"sp"s!a: Es acos"abl" co'prar la pri'"ra 'Fia "s d"cir la 'aia A

EJERCICIO 2.14 - !"rr"o d"b" s"r c"rcado " ala'br" d" pas< cada pos!" d" 'ad"ra c"s!a

5) J !i"" a ida !il d" 5 aosK p"ro< si si"do "os s" l"s ac" !ra!a'i"!o #'ico< s" p"d" prolo$ar la ida !il " + aos 'Fs< VCF!o podrF pa$ars" por "l !ra!a'i"!o spoi"doa !asa d"l (/QW s" C.C.

So(:ción

,asa d" i!"rs a 5 aos T (1+0,28 )4−1=1,6843

,asa d" i!"rs a ; aos T (1+0,28 )7−1=4,6294

1PN* T −40$−( 40 $

1,6843 )=−63,7487$

Para allar "l 1PN( s" !ili%a >5)U? co'o alor para los pos!"s

1PN( T −(40 $+ x $)−( 40 $+ x $

4,6294 )=−63,7487 $

D"sp"ado s" !i"" "

x=12,4244

EJERCICIO 2.12 A a Fbrica " !ili%a ac!al'"!" a 'Fia " al" /)).)))< co aida !il d" 5 aos J alor d" sala'"!o d" *8).))) l" or"c" o!ro 'od"lo d" 'FiacJo cos!o "s d" *.()).)))< co a ida !il d" *) aos J alor d" sala'"!o d" ()).))).VSpoi"do a !asa d"l ((Q d"b" ca'biar d" 'od"loW -s" C.C

(98



So(:ción

Ob!""'os la !asa "ial"!" para 5 aos (1+0,22 )4−1=1,2153

1PN T −800.000$−( 800.000$1,2153 )+(150.000 $

1,2153 )1PN T B*.++5./5;<+9+

Ob!""'os la !asa "ial"!" para *) aos (1+0,22 )10−1=6,3046

1PN T −1.200 .000$−( 1.200.000 $

6,3043 )+( 200.000$

6,3043 )

1PN T B*.+8/.9(*</2+

No d"b" ca'biar d" 'od"lo.

EJERCICIO 2.1/ Si la Fbrica d"l ""'plo a!"rior s" d"cid" a ca'biar d" 'od"lo< VCF!o podrF pa$ar por "l "o 'od"lo< d" or'a !al " s cos!o capi!ali%ado o sp"r" al 'od"lo "!i"" ac!al'"!" " soW

(99





i2=1.2510

−1=8,313225746

VP+ =−200000− 200000

8,313225746=−224.058,0499

Para "l "ipo si'ilar >"ipo (?:

Cos!o >C? T @

R"posici& T C U (8)))1ida !il >k? T / aosSala'"!o >S? T ),asa >i? T (8Q T )<(8

i2=1.258−1=4.960464478

#omo lasma-uinas soni&uales i&ualamoslos VP+ :

(9/



−224.058,0499=− x− x+25.0004.960464478

−224.058,0499=−5,960464478 x−25.0004.960464478

−1.111.431,998=−5,960464478 x−25.000

−1.086.431,998=−5,960464478 x

x=182.273,0429

PodrF pa$ars" */(.(;+<)5(2.

EJERCICIO 2.17 -a Fbrica d"s"a co'prar a 'Fia para s pla!a d" acabados. El"d"dor or"c" dos al!"ra!ias:

a? la 'Fia A< cJo cos!" "s d" 8)).)))< !i"" a ida !il d" + aos J alor d"sala'"!o d" *)).))).

b? La 'Fia 7 cJo cos!o "s d" ;+).)))< ida !il d" 9 aos J alor d" sala'"!od" (8).))).VPor cFl 'Fia d"b" d"cidirs" spoi"do i!"rs d": a? +)Q b? ()QW -s")>)>

So(:ción

Maia A.

(92



i=30=0.30 EA

1,30

(¿¿−3)−500.000 ∙(1.30−3)+100.000(1.30−6)VP+ (0.30 )=−500.000+100.000 ∙¿

VP+ (0.30 )=−661.348,8332$

1,20

(¿¿−3)−500.000 ∙(1.20−3)+100.000(1.20−6)VP+ (0.20 )=−500.000+100.000 ∙¿

VP+ (0.20 )=−697.991,6838 $

Maia 7:

i=30=0.30 EA

1,30

(¿ ¿−6)VP+ (0.30 )=−730.000+250.000 ∙¿

(;)



VP+ (0.30 )=−678.205,9472$

i=20=0.20 EA

1,20(¿ ¿−6)VP+ (0.20 )=−730.000+250.000 ∙¿

VP+ (0.20 )=−646.275,5058 $

A Por la 'Fia " s" d"b" d"cidir "s por la 'aia A7 Por la 'Fia " s" d"b" d"cidir "s por la 'aia b

EJERCICIO 2.18 -a co'pa#a 'i"ra !ili%a ca'io"s para ll"ar "l 'i"ral< d"sd" la 'iaas!a "l p"r!o d" "'bar". Cada ca'i& c"s!a 8.))).)))< !i"" a ida !il d" ( aos J alor d" sala'"!o d" 8))<))). Hacidol"s !ra!a'i"!o a!icorrosio al 'o'"!o d" laco'pra J l"$o al s"$do ao< la ida !il para alar$ars" a 5 aos J !"drF alor d"sala'"!o d" *.))).))). VCF!o podrF pa$ars" por "s!" !ra!a'i"!o< spoi"do i!"rsd"l (/QW -s" )>)

So(:ción

,rasor'a'os las !asas.

(1+0,28 )=(1+i)1

2

i=(1+0,28)2−1

(;*



i=0,6384 E#ada2años

(1+0,28 )=(1+i2)

1

4

i2=(1+0,28)4−1

i2=1,68435453 E #ada4años

VP+ (0,6384 )=−5.000.000−5.000.000

0,6384

+500.000

0,6384

VP+ (0,6384 )=−12.048.872,18

−12.048.872,18=−(5.000.000+ x )− x

0,6384+ 1.000.000

1,68435453−

5.000.000

1,68435453

−4.674.075,273=− x ∙(1+ 10,6384 ) x=

−4.674.075,273

(1+ 1

0,6384 )

x=1.821.246,13

PodrF pa$ars" 1.821.246,13 $ .

EJERCICIO 2.,0 Para prodcir ci"r!o ar!#clo< a Fbrica "c"si!a ac"r a i"rsi& d";.))).))) d" los cal"s (.))).))) d"b"rF s"r iaciados por baco " l" "i$" " s"cac"l" "l prs!a'o " + pa$os aal"s i$al"s< co i!"r"s"s al +/Q. La capacidad 'Fi'a d" laFbrica "s d" ().))) idad"s al ao< p"ro "l pri'"r ao solo "s!arF " capacidad d" prodcir "l5)QK "l s"$do ao "l 8)Q< "l !"rc"r ao "l ;8Q< "l car!o ao "l 2)Q J "l i!o ao "l *))Q.

(;(



Cada ar!#clo p"d" "d"rs" " (.))) dra!" "l pri'"ro J "l s"$do ao J " (.5)) d"l!"rc"r ao " ad"la!". Los cos!os d" prodcci& s"rF: 'a!"ria pri'a *.))) por idad J cadaao a'"!ara *)QK por s"ldos< la o'ia d"l pri'"r ao s"rF d" (.8)).))) J a'"!ara!odos los aos ()Q. La 'aiaria por alor d" 8.))).))) s"rF d"pr"ciada as#: "l pri'"r ao"l 5)QK "l s"$do ao "l +)Q J "l !"rc"r ao "l +)Q. Spoi"do a !asa d" i'p"s!os d"l

+)Q J ori%o!" d" pla"aci& d" 8 aos calclar:

a? El lo "!o d" caa d" cada ao. b? Ealar "l proJ"c!o co a !asa d"l 58Q.

So(:ción

A= P ∙ i

1−(1+i)−n=

2.000.000 $∙(0,38)

1−(1,38)−3 =1.226.809,82 $

."o Saldo ; +ntereses ; #uota ; .mortizaciK

n ;2 8:222:222 C C C7 7:500:7@28 ?12:222 7:881:>2@>

8

911:>2@>8

8 >>>:@@81 5>8:1788? 7:881:>2@>8

199:7@?55

0 2 00?:>7?82 7:881:>2@>

8

>>>:@@818

."o Lnidades $recio

Lnitario ;

+ngresos ; #osto

Lnitario ;

#osto

Materia

$rima ;2 C C

7 >:222 8:222 71:222:222 7:222 >:222:222

8 72:222 8:222 82:222:22

2

7:722 77:222:22

20 75:222 8:922 01:222:22

2

7:872 7>:752:22

29 7>:222 8:922 90:822:22 7:007 80:@5>:22

(;+



2 25 82:222 8:922 9>:222:22

2

7:9197 8@:8>8:22

2

."o Lnidades $recio

Lnitario ;

+ngresos ; #osto

Lnitario ;

#osto

Materia

$rima ;2 C C C C C7 71:222:2

22

>:222:222 8:522:222 8:222:222 ?12:222

8 82:222:2

22

77:222:22

2

02:222:22

2

7:522:222 5>8:1788

?0 01:222:2

22

7>:752:22

2

01:222:22

2

7:522:222 00?>7?87

9 90:822:2

22

80:@5>:22

2

9:082:222 C C

5 9>:222:2

22

8@:8>8:22

2

5:7>9:222 C C

Base ; +mpuesto ; )#*+ ;2 C5:222:2227 8:8?9:222 >88:222 0:957:7@28 0:@7?:0>?? 7:7?5:8710 0:5@?:@?90 78:978:7>8> 0:?80:159> @:8@@:5059 79:@88:222 9:9?1:122 72:995:9225 70:509:222 9:212:822 @:9?0:>22

VP+ =−5.000.000 $+3.451 .190$ ∙(1,45)−1+359.797$ ∙(1,45)−2+9.299.235$ ∙(1,45)−3+10.445.400 $ ∙

VP+ =5.982.793 $

(;5



9I9LIO3RA+ÍA



• 7LAN< LELANDK ,AR6-IN A N,HON. I$"i"r#a Eco&'ica< (da

"dici&.


(;8



CAPÍTULO /

COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)

INTRODUCCIÓN

El Cos!o Aal -ior'" Eial"!"< CA-E< co'o s o'br" lo idica bFsica'"!" cosis!"" r"dcir !odos los i$r"sos J !odos los "$r"sos a a s"ri" d" pa$os cos!a!"s i$al"s J p"ri&dicos.

Nor'al'"!" "l p"riodo d" pa$o "s ao< d" a# "l o'br" d" COS,O AN-AL -NI3ORMEE6-I1ALEN,E< si "'bar$o< p"d" ocrrir " los p"riodos s"a '"s"s o cali"r o!ra clas"d" p"riodo.

La "!aa d"l CA-E sobr" "l #dic" 1PN "s " al co'parar dos al!"ra!ias co idas !il"s

di"r"!"s o "s "c"sario d"!"r'iar !i"'pos i$al"s para las dos al!"ra!ias co'o "s "l casod"l 1PNK Ja " al co'parar las al!"ra!ias por "l CA-E lo " s" coro!a so ss cos!osdra!" p"riodo >ao< '"s< "!c.?.

EJEMPLO /.1 S" a prop"s!o los si$i"!"s cos!os para dos 'Fias p"ladoras d" !o'a!"s "a Fbrica d" cos"ras.

M6UINA A !& M6UINA 9 !&Cos!o iicial (9.))) +9.)))Cos!o aal d" 'a!"i'i"!o /)) +))Cos!o aal d" 'ao d" obra **.))) ;.)))

Cos!os adicioal"s aal"s ) (.9))1alor d" sala'"!o (.))) +.)))1ida !il >Aos? 9 *)

,abla 9.*

Si la !asa '#i'a d" r"!oro r""rida "s d"l *8Q< V 'Fia d"b" s"l"ccioars"W

(;9



SOLUCIÓN

El dia$ra'a d" lo d" caa d" cada al!"ra!ia s" '"s!ra " la i$ra 9.*.

VP+ A=−26000−11800 [ 1−(1+0,15)−6

0,15 ]+2000(1+0,15)−6

VP+ A=−69792,2406

,A*E (A)=-26000[ 0.15

1−(1+0.15)−6 ¿−11800+2000[ 0.15

(1+0.15 )6−1 ]=−18.441,69$

(;;





a? Calcla'os "l alor pr"s"!" d"l $radi"!" ari!'!ico J d"sps lo aali%a'os< !"i"do" c"!a " n "s iii!o.

( ) S55

(8<)

(

(8<)

+((

=+=+=i

g

i

A P g

Millo"s

S**(8<)55** =⋅==⇒= Pi A

i

A P

Millo"s

b? Diidi'os pa$o d" *)) 'illo"s " a s"ri" ior'" d" 8 pa$os al ial d" cadaao.

A2=100 [ 0,25

(1+0,15 )5−1 ]=$12.1846739Millo"s

c? Diidi'os pa$o d" /8) 'illo"s " a s"ri" iii!a d" pa$os.

S8<(*((8<)/8)++ =⋅==⇒= Pi A

i

A P

Millo"s

CA-E >)<(8? TB A* B A( B A+ T B**B*(<*/59;+29B(*(<8 T B(+8<9/ 'illo"s

CA-E >)<(8?P"!" col$a!" T B(+8<9/ 'illo"s

P"!" d" cocr"!o:

(;2





i=20EAV =0.20 EAV ,A<=5.000 .000$

Pri'"ro diidi'os pa$o d" +) 'illo"s " a s"ri" ior'" d" 5 pa$os d" @ al iald" cada ao:

30.000.000$= 3 (1+0.2)4−1

0,2

3 =5.588.673,621$

Diidi'os pa$o d" 9 'illo"s " a s"ri" ior'" d" 8 pa$os d" al ial d" cadaao:

6.000 .000$=5 (1+0.2)5−1

0,2

5 =806.278,2197 $

Aora diidi'os pa$o d" *)) 'illo"s " a s"ri" ior'" d" pa$os d" Z al ial d"cada aoK co'o la draci& d"l proJ"c!o "s id"iida< os "da:

(/*





R"laci& d"l prs!a'o:

Halla'os "l alor d" la co!a a pa$ar a la !asa d"l prs!a'o:

A=[ Pi

1−(1+ i)−n ]= 2.000 .000(0,0275)

1− (1+0,0275 )−36

=88.222,64118 $

Halla'os "l proc"so r"s!a!" a la !asa d"l i"rsiois!a:

VP+ (0,038)=1.645.555,18+42.679,4467-1.715.342,639=−27.108,01264 $

(/+



,*E=−27.108,01264[ 0.038

1−(1+0.038 )−60 ¿=−1.153,143272 $

No d"b" adirirs" la pr"sa.

EJERCICIO /. D"!"r'iar "l "diicio " d"b"rF cos!rirs" si "l "diicio A !"drF cos!o d"8).))).))) J prodcirF os i$r"sos "!os aal"s d" (.))).))) J "l "diicio 7 !"drF cos!o d" 8;.))).))) " i$r"sos "!os aal"s d" (./)).))). E a'bos casos s" "s!i'a a ida!il d" os +) aosK "l alor d"l sala'"!o s"rF prFc!ica'"!" lo J s" r""rirF a i"rsi&adicioal d" 8.))).))) para la co'pra d"l !"rr"o< "l cal podrF s"r "dido al cabo d" +) aos" *.()).))).))). Spo$a " la !asa d"l i"rsiois!a "s d":

a? +9Q b? *(Q.

So(:ción

Ediicio A:

Ediicio 7:

(/5



a? iT)<+9

,A*E (0,36) A=2.000 .000−55.000.000 (0,36 )

1−(1+0,36 )−30 +

1.200.000.000 (0,36)

(1+0,36 )30−1

,A*E(0,36) A=−17.759.357,21$

,A*E (0,36 )7=2.800 .000−62.000.000(0,36 )

1− (1+0,36 )−30 +

1.200 .000.000 (0,36 )

(1+0,36 )30−1

,A*E (0,36)7=−19.479.605,68$

HaJ p"rdidas " a'bos "diicios "!oc"s o s" r"co'i"da cos!rir.

b? iT)<*(

,A*E(0,12) A=2.000.000−55.000.000 (0,12 )

1−(1+0,12 )−30 +

1.200.000.000(0,12)

(1+0,12)30−1

,A*E (0,12 ) A=144.487,8970 $

,A*E (0,12)7=75.482,2947 $

S" acos"a "l "diicio A.(/8





,A*E=−1.296 .720$ [ 0,25

1− (1+0,25 )−3 ¿=−664.303,2787 $

A(te$n"ti;" ,

CoT5 'illo"s< T+ aos< ST; 'illo"s< ,IOT(8Q

A.o CA- ($) Costo seguro /im0uesto

7 85222 922222

8 02222 9222220 0>222 922222

25000(1+0,25)−1=20000

30000(1+0,25)−2=19200

38000(1+0,25)−3=19456

20.000+19.200+19.456=58.656 $

,A*E =- 4.000.000[ 0,25

1−(1+0,25 )−3 ¿−58.656[

0,25

1− (1+0,25 )−3 ¿−400000+7.000.000[

0

(1+0

,A*E = −2.049.180,328−30.049,18033−400.000+1.836.065,574

,A*E=−643.163,9343$

La '"or opci& "s co'prar los "#clos.

(/;



EJERCICIO /.2 D"s"a 'o!ars" a Fbrica " "c"si!a ""r$#a "lc!rica para scioa'i"!o< " la r"$i&< o "s posibl" ob!""r ""r$#a d" la r"d pblica< por lo !a!o "sidisp"sabl" cos!rir s propia pla!a. S" a cosid"rado dos posibilidad"s: la pri'"racosis!" " cos!rir a p""a r"pr"sa " "l al!o d" a 'o!aa< la cal "s ali'"!ada por rioK "l a$a podrF salir d" la r"pr"sa a !ras< d" a !b"r#a " ali'"!ar#a a idad

!rbo$""radora. El cos!o iicial d" s!" proJ"c!o s"r#a d": +)).))).))) para la co'pra d"l!"rr"o J cos!rcci& d" la r"pr"sa< co p"riodo d" ida !il id"iidoK r""rirF ali'pi"%a aal d" 'al"%as J s"di'"!o< a cos!o d" ()).))). Ad"'Fs s" r"i"r" i"r!ir 9).))).))) " la co'pra d" la idad !rbo$""radora< la cal !i"" a ida !il d" *8 aos coalor d" sala'"!o d" *).))).))) J CAO d" *.))).))). La s"$da al!"ra!ia "s laco'pra d" a idad !"r'oB"lc!rica< a cos!o d" ()).))).)))< CAO d" *8.))).)))< aida !il d" *) aos J alor d" sala'"!o d" */.))).))). Spoi"do " la Fbrica !ili%arFa !asa d"l (+Q J " la $""raci& d" ""r$#a "lc!rica d"b" drar por !i"'po id"iido<d"cida la al!"ra!ia " d"b" !o'ar.

So(:ción

A. id$oe(%ct$ic"

10.000.000= A(1+0,23)15−1

0,23

→ A= 10.000.000 $

(1+0,23)15−1

0,23

=107.910,4907 $

(//







a.os $ c3a.os $ 0ea5es $Puentecolgante

: 022:222:

222

022:22

2

0:522:22

2

C 12:222:2

22

Puente

concreto

: 852:222:

222

722:22

2

52:222:2

22

8:222:222 12:222:2

22

P:ente co(<"nte

300.000.000 $= A1

0,2→ A1=60.000.000 $

3.500.000$= A2 ∙(1+0,2)10−1

0,2 → A2=134829,6491 $

,A*E=60.000.000 $−300.000 $−60.000.000−134.829,6491 $

,A*E=−434.830 $

P:ente de conc$eto

(2*





cr"c"rF cada ao (8Q< "l di"ro r"s!a!" podr#a s"r i"r!ido " d"p&si!os a !r'io io "l" pa$ara i!"rs aal d"l (/Q.

Al!"ra!ia (: ,o'ar " arri"do "diicio por "l cal pa$ar#a 8.))).))) co'o cao d"arr"da'i"!o aal p"ro pa$ad"ro por ao a!icipado J "l alor d"l arri"do sbirF !odos losaos () Q. E "l co!ra!o s" "s!ipla " s" podrF ac"r r"paracio"s J r"accio"s por alor d" 5).))).))) J " al cabo d" 5 aos pasara a s"r propi"dad d"l d"o d"l "diicio< ad"'Fs J'i"!ras !a!o< s" podrF sbarr"dar. El i"rsiois!a cr"" " p"d" cobrar por "l arri"do os().))).))) para "l pri'"r ao cobrados por ao a!icipado J " "l icr"'"!o aal s"rF d"lord" d"l ()Q. El r"s!o d"l di"ro podrF s"r i"r!ido " d"p&si!os a !r'io io " las 'is'ascodicio"s d" la al!"ra!ia *. Spoi"do " "l i"rsiois!a "sp"ra ob!""r r"di'i"!od"l 5)Q VCFl d" las dos al!"ra!ias d"b" !o'arW

a? si r"i"rsi&

b? co r"i"rsi& al (/Q d" !oda liid"% " s" pr"s"!" dra!" la ida d"l proJ"c!o.

So(:ción

Al!"ra!ia *:

a)

(2+



50.000.000= A 1−(1+0,40)−4

0,40→ A=27.038.288,29$

P=−10.000.000

0,40−0,25

[ 1−

(

1+0,25

1+0.40 )

4

¿=24.298.794,77$

24.298.794,77= A 1−(1+0,40)−4

0,40 → A=13.139.956,36 $

Para el depósito a término fijo tenemos que:

4.000 .000 (1+0.28 )4=10.737.418,24$ .

105.000.000+10.737.418,24=115.737.418,2 $

115.737.418,2= A(1+0,40)4−1

0,40 → A=16.291.866,3$

,A*E=−27.038.288,29+13.139.956,36+16.291.866,3=−2.393.534,37$

Al!"ra!ia (:

(25



P=(1+0,4 ) 5.000.000 [ (1+0,2 )4 (1+0,4 )−4−1 ]

0,2−0,4 =16.107.871,72

P=(1+0,4 ) 20.000.000 [ (1+0,2 )4 (1+0,4 )−4−1]

0,2−0,4 =64.431.486,88

A= 40.000.000

1−(1+0,4 )−4

0,4

=21.630.630,63

A=16.107.871,72

1−(1+0,4 )−4

0,4

=8.710.582,5

A=64.431.486,38

1−(1+0,4 )−4

0,4

=34.842.342,34

,A*E=34.842.234,34−8.710 .582,5−21.630.630,63=4.501.126,212

EJERCICIO /.7 -a Fbrica "c"si!a adirir a 'Fia para s pla!a d" acabados. P"d"adirir la 'aia A< a cos!o d" +)).)))< !i"" a ida !il d" 5 aos J< al ial d" "s!"!i"'po< podrF "d"rs" " 9).))). El cos!o aal d" op"raci&< " iclJ" co'bs!ibl"lbrica!"s J 'a!"i'i"!o< s" "s!i'a " (8.))). ,a'bi p"d" adirirs" la 'aia 7< a cos!o d" 8)).)))< co a ida !il d" 9 aos< al ial d" los cal"s podrF s"r "dida "*)).))). A los + aos d" so d"b"rF s"r ca'biados los pis!o"s J las bi"las< a cos!o"s!i'ado d" 5).)))K " co'p"saci&< "l cos!o aal d" op"raci& "s ap"as d" solo 8.))).Spoi"do a !asa d"l ()Q< VCFl d"b" adirirs"W

So(:ción

MK?:in" A

(28



TI<=20 EA

,A*E A (0.20 )=−300,000(a/ " 220 2 4)+60,000(a/ f 2 20 2 4)−25,000

,A*E A (0.20 )=−300,000 [ 0.20

1−(1+0.20)−4 ]+60,000[ 0.20

(1+0.20)4−1 ]−25,000

,A*E A (0.20)=−115,886.7362+11,177.34724−25000

,A*E A (0.20)=−129,708 $

año

MK?:in" 9

(29



TI<=20 EA

P=40,000(1+0.20)−3

P=23,148.15 $

Pt =−523,148.15 $

,A*E7 (0.20 )=−523,148.15(a/ " 220 2 6)+100,000 (a/ f 220 26)−5,000

,A*E7

(0.20 )=−

523,148.15

[ 0.20

1−(1+0.20)−6

]+

100,000

[ 0.20

(1+0.20)6−1

]−

5,000

,A*E7 (0.20 )=−157,313.65+10,070.57−5000

(2;



,A*E7 (0.20 )=−152,243.08 $

año

S" d"b" d"cidir por la 'aia A.

EJERCICIO /.8 El "s!ado d"s"a r"ali%ar proJ"c!o d" irri$aci&< co draci& id"iida J a p"dido a la co'pa#a d" i$"i"ros A J 7 " l" pr"s"!" prop"s!as< las cal"s s" '"s!ra "

"l si$i"!" cadro:. B

#+ 02222 12222#.O 9222 522

Si "l "s!ado !ili%a a !asas d"l ((Q< d"!"r'iar: V6 co'pa#a d"b" s"l"ccioars"W

So(:ción

Al!"ra!ia A:

,A*E=−4.000−30.000 (0,22 )=−10.600$

Al!"ra!ia 7:

(2/



,A*E=−500−60.000 (0,22 )=−13.700$

D"b" d"cidirs" por la al!"ra!ia A.

EJERCICIO /.10 Al alcald" d" 'icipio l" a pr"s"!ado dos prop"s!as para "s!abl"c"r "or'a id"iida la a"$aci& por rio. La prop"s!a A cosis!" " dra$ar "l rio para r"'o"r los s"di'"!os ac'ladosK "s!a op"raci& d"b"rF ac"rs" arias "c"s al ao s"$ s"a"c"sario< a cos!o io d" /)).))) pa$ad"ros al ial d" cada aoK ad"'Fs s" ac" "c"saria laadisici& d" a dra$a cJo pr"cio "s d" *).))).)))< pos"" a ida !il d" *) aos J !i"" alor d" sala'"!o d" (.))).))). La prop"s!a 7 "i$" la caali%aci& d"l rio a cos!oiicial d" *8.))).)))K "s!" caal r""rirF d" 'a!"i'i"!o '"or cada ao a cos!o d"5).))) J 'a!"i'i"!o co'pl"!o "l cal iclJ" "l 'a!"i'i"!o '"or cada 5 aos< a cos!o d" (.))).))). Spoi"do " "l $obi"ro !ili%a a !asa d"l (8Q< V6 prop"s!a d"b"

ac"p!arW

So(:ción

P$o':e#t" A

(22



,A*E=−10.000.000[ 0,25

1−(1+0,25 )−10 ¿−800.000+2.000.000[

0,25

(1+0,25 )10−1¿

,A*E =−2.800.725,624−800.000+60145,1248

,A*E=−3.540.580,499 $

P$o':e#t" 9

+))



La $raica a!"rior s" p"d" as!ar d" la si$i"!" or'a

Ca'bia'os la !asa a cada 5 aos

(1+i2 )m2=(1+i1 )m1

(1+0,25 )4=(1+i1)1

(1+0,25 )4−1=i

1,44140625 E #ada4añosV =i

Halla'os alor pr"s"!" d" las aalidad"s

P1= A

i =

1.960 .000

1,44140625=1.359.783,198

S'a'os los alor"s pr"s"!"s

PTotal=15.000 .000+1.359.783,198=16.359.783,2

+)*





La r"laci& b""icioBcos!o

)

<

"s la r"laci& d"l alor pr"s"!" d" los i$r"sos sobr" "l alor pr"s"!" d" los "$r"sos.

La r"laci& b""icioBcos!o

)

<

s" calcla d" la si$i"!" 'a"ra:

*. S" calcla "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos asociados co "l proJ"c!o " c"s!i&.

(. S" calcla "l alor pr"s"!" d" los "$r"sos d"l proJ"c!o.

+. S" "s!abl"c" a r"laci& "!r" "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos J "l alor pr"s"!" d" los"$r"sos< al diidir la pri'"ra ca!idad por la s"$da. El r"sl!ado d" !al diisi& "s lar"laci& b""icioBcos!o.

E !r'ios si'b&licos:

( ) ( )

( )iVP

iVP i

)

<

egresos

ingresos=

D"b"'os obs"rar " la r"laci& b""icioBcos!o "s!F " ci& d" la !asa d" i!"rs " s""'pl"a " "l cFlclo d"l alor pr"s"!" d" los i$r"sos J "$r"sos< d" !al or'a " al calclar "s!"#dic" co prop&si!os d"cisorios< "s "c"sario !ili%ar la !asa d" i!"rs d"l i"rsiois!a.

La r"laci& b""icioBcos!o p"d" as'ir los si$i"!"s alor"s:

( )i)

< f*T*^*

Cado s alor "s sp"rior a la idad< si$iica " "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos "s sp"rior al alor pr"s"!" d" los "$r"sos< "s d"cir< " "l alor pr"s"!" "!o d" !odo "l proJ"c!o "s posi!io J " cos"c"cia "s a!rac!io para "l i"rsiois!a.

Cado la r"laci& )

<

"s i$al a la idad< "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos "s i$al al alor

pr"s"!" d" los "$r"sos. E "s!as circs!acias< "l proJ"c!o "s idi"r"!" para "l i"rsiois!a.

3ial'"!"< cado la r"laci& )

<

"s '"or " la idad< !""'os proJ"c!o dod" "l alor pr"s"!" d" los i$r"sos "s i"rior al alor pr"s"!" d" los "$r"sos< por lo !a!o "l proJ"c!o o "sco"i"!" para "l i"rsiois!a.

La r"laci& b""icioBcos!o $""ral'"!" s" !ili%a para "alar proJ"c!os pblicos o coi"rsio"s iaciadas por or$ais'os i!"racioal"s !al"s co'o "l 7aco I!"ra'"ricao d"

+)+



D"sarrollo >7ID? o "l 3odo Mo"!ario I!"racioal >3MI?. Es!as "!idad"s a "s!abl"cido "!odo "l proJ"c!o iaciado por "llos d"b" !""r " or'a "pl#ci!a los cos!os J los b""icios.

A co!iaci& s" r"ali%arF arios ""'plos

EJEMPLO 5.1 Dos cidad"s A J 7 "s!F idas '"dia!" a i"a carr"!"ra J s" proJ"c!a lacos!rcci& d" a "a " cos!arF os *)) 'illo"s< s!a acor!arF "l ca'io "!r" las doscidad"s< la "a carr"!"ra !ra" co'o cos"c"cia aorro para los "#clos " co'bs!ibl"<ac"i!" J d"s$as!". ,odos "s!os aorros s" "s!i'a " p"d" ll"$ar a al"r os (/ 'illo"s alao. La "a carr"!"ra p"rdica a los co'"rcia!"s d" la r"$i& " a lo lar$o d" los aos a'o!ado r"s!ara!"s< o!"l"s por la r!a d" la i"a carr"!"ra< las prdidas s" a calclado "os *8 'illo"s al ao. -!ili%ado la r"laci& b""icioBcos!o< d"!"r'iar la co"i"cia d"l proJ"c!o !ili%ado

a? -a !asa social d"l +)Q

b? -a !asa social d"l *(Q

A NÁLISIS: Los aorros " !ra" la "a carr"!"ra so $aacias para la co'idad d" la r"$i& Jr"pr"s"!a $as!os o prdidas para los co'"rcia!"s d" la r"$i&:

Aorros o i$r"sos T (/ 'illo"s

Cos!os o "$r"sos T *8 'illo"s

I$r"sos "!os aal"s T (/ 'illo"s B *8 'illo"s T *+ 'illo"s

Co'o "s proJ"c!o d" lar$a draci& s" cosid"ra s ida iii!a( )

∞→n

a?

+)5



VPin&resos (i)= A

i =

13

0,3=43,33

( ) *5+++<)+)*+

*))+<)*+

*))+<)

*+

+<) <==⋅==) <

Co'o*<

)

<

< "l proJ"c!o o "s acos"abl".

b?

7

, (0,12 )=

13

0,12

100 =

13

(0,12)(100)=

13

12=1,083>1

Co'o*>

)

<

< "l proJ"c!o "s acos"abl".

DISCREPANCIAS ENTRE LA RELACIÓN 9ENE+ICIO)COSTO @ EL VALORPRESENTE NETO

Cado s" "s!F "s!diado proJ"c!os '!a'"!" "clJ"!"s para s"l"ccioar o d" "llos< "lord"a'i"!o pr""r"cial d"l 1PN J la r"laci& o coicid"< para "s!os casos s" d"b" r"ali%ar aFlisis icr"'"!al para " a'bos cri!"rios coicida<

+)8

( )*(<)

*+*(<) =ingresosVP



EJEMPLO 5.,- i"rsiois!a !i"" ( al!"ra!ias d" i"rsi& J d"b" "sco$"r a d" "llas< "lsi$i"!" cadro '"s!ra "l lo d" cada a d" las al!"ra!ias. Si la !asa d" i!"rs "s d"l *8Q""c!io aal< VcFl "s la '"or al!"ra!iaW.

AL,ERNA,I1A AAo

I$r"sos

E$r"sos

) )()).))

)* 2).))) )( 2).))) )+ 2).))) )5 2).))) )

,abla ;.*

AL,ERNA,I1A 7Ao

I$r"sos

E$r"sos

) )+)).))

)* ) )( ) )+ ) )5 98).))) )

,abla ;.(

SOLUCIÓN

Si "co!ra'os "l )

<

d" cada a d" las al!"ra!ias

( )

( )

(/8<*))).())

*8<)

*8<)**))).2)

*8<)

5

=

+−

=

−

A)

<

( ) ( )

(+2<*))).+))

*8<)*

))).98)

*8<)

5

=+

= <)

<

Co'o( ) ( )

< A)

<

)

<*8<)*8<) >

< la '"or opci& "s la al!"ra!ia A.

Si ac"'os la co'paraci& sado 1PN< !""'os ":

VP+ A=−200.000+90000 [ 1−(1+0,15 )−4

0,15 ]=56.948,053$

( )( )

9*)<9+2.;**8<)*

))).98)))).+))*8<)

5 =

++−= <VPN

Co'o 1PNA^ 1PN7< "l proJ"c!o 'Fs acos"abl" "s 7.

+)9



1"'os " aJ icosis!"cia "!r" 1PN J )

<

.

Cado "s!o ocrr" aJ "c"sidad d" !ili%ar aFlisis icr"'"!alK "l '!odo "s "l si$i"!":

a? Pri'"ro s" ord"a las al!"ra!ias " ord" cr"ci"!" d" i"rsi& iicial

Ao A 7 7 B A) B()).))) B+)).))) B*)).)))* 2).))) ) B2).)))( 2).))) ) B2).)))+ 2).))) ) B2).)))5 2).))) 98).))) 89).)))

,abla ;.+

b? S" "c"!ra la r"laci& )

<

d"l proJ"c!o 7 Y A

7

, (0,15)=

[ 560.000(1+0.15 )4 ]100.000+90.000[ 1−(1+0.15 )−3

0,15 ]=

320.181,818

305.490,261=1,048>1

L"$o s" s!iica la i"rsi& adicioal d" *)).))) " "l proJ"c!o 7< l"$o 7 "s "l '"or< "s!"aFlisis icr"'"!al coicid" co la d"cisi& !o'ada '"dia!" 1PN.

ANLISIS 9ENE+ICIO)COSTO PARA ALTERNATIVAS MUTUAMENTEEGCLU@ENTES

EJEMPLO 5.

,MAR T *)Q aal

A 7 C DCos!o d" cos!rcci& B()).))) B(;8.))) B*2).))) B+8).)))3lo d" caa aal ((.))) +8.))) *2.8)) 5(.)))1ida >aos? +) +) +) +)

,abla ;.5

+);



a? Pri'"ro s" ord"a las al!"ra!ias " ord" cr"ci"!" d" i"rsi& iicial

C A 7 DCos!o d" cos!rcci& B*2).))) B()).))) B(;8.))) B+8).)))

3lo d" caa aal *2.8)) ((.))) +8.))) 5(.)))1ida >aos? +) +) +) +)

1PNB

9.*;8<*;;.+2(<*( 85.25(<)* 58.2+)<5*

)

<)<2; *<)5 *<() *<*+

,IR 2<9)/9Q*)<55)2

Q*(<++2+Q **<85;/Q

CA-E B989<)9 ;/5<*8 8./(/<(* 5./;(<(9

,IRM 2</;/8Q*)<*++(

Q*)<9922Q

*)<58+)Q

,abla ;.8

b? S" calcla la r"laci& )

<

para cada al!"ra!ia J s" "li'ia las al!"ra!ias co*<

)

<

< ""s!" caso< la al!"ra!ia C< J s" co!ia "l aFlisis co los proJ"c!os r"s!a!"s.

+)/



c? Co'para'os A co 7< "co!ra'os la r"laci& )

<

d"l proJ"c!o 7 Y A.

,IR 7BAT*;<*/58Q f *)Q >,MAR?. Gaa 7

( )

( )

9+<*))).;8

*)<)

*)<)**))).*+

*)<)

+)

=

+−

=

−

− A <)

<

Co'o

( ) A <)

<−*)<)

"s 'aJor " *< "l proJ"c!o 7 d"b" pr""rirs" sobr" A. Por lo !a!o<"li'ia'os A.

d? -!ili%ado a 7 co'o d""sor J al D co'o r"!ador< "co!ra'os la r"laci&)

<

d"l proJ"c!o D Y 7.

+)2



,IR DB7T/<8++(Q ^ *)Q >,MAR?. Gaa 7

( )

( )

*//<)))).;8

*)<)

*)<)**))).;

*)<)

+)

<=

+−

=

−

− < 6)

<

. S" r"ca%a D

Co'o la r"laci&)

<

d"l proJ"c!o D Y 7 "s '"or " * s" d"scar!a D J $aa 7< " "s "l proJ"c!o s"l"ccioado !a'bi por "l cri!"rio 1PN.

NOTA E "s!" ""'plo COINCIDEN 1PN J)

<

< p"ro "s!o "s caso "c"pcioal "l aFlisisd"b" r"ali%ars" " or'a INCREMEN,AL.


EJERCICIO 5.1 E a r"$i& 'J Frida s" "s!F p"sado " la cos!rcci& d" caal"s d"irri$aci& J< d" s!a or'a< abili!ar la %oa para la a$ricl!ra. S" "s!i'a " los caal"s cos!arF8)).))).))) J r""rirF d" (.))).))) aal"s para s 'a!"i'i"!o. Los a$ricl!or"s"s!i'a " podr#a ob!""r b""icios aal"s por /).))).))). -sado la R!"#i%n B!n!&ii''*'< d"!"r'iar la iabilidad d"l proJ"c!o< !o'ado ori%o!" d" pla"aci&iii!o J !ili%ado:

a? !asa d" i!"rs co'p"s!o social d"l *(Q J b? !asa d"l i"rsiois!a d"l (9Q.+*)



So(:ción

A.7

, =

80.000.000$

0.12

500.000.000 $+2.000.000 $

0.12

=666.666.666,7 $

516.666.666,7 $=1,2903

7

, >1

S" d"b" r"ali%ar "l proJ"c!o.

7.7

, =

80.000.000$

0.26

500.000.000 $+2.000.000 $

0.26

=307.692.307,7$

507.692.307,7$ =0,6061 7

, <1

No s" d"b" r"ali%ar "l proJ"c!o.

EJERCICIO 5., R"s"la "l probl"'a a!"rior< !o'ado " c"!a la "a d" los ca'p"sios d"la r"$i& i""s sos!i""< " ss cos!os d" !raspor!" s" "l"ar#a " *).))).))).

So(:cióna *(Q

+**



7

, =

80

0.12−

10

0.12

500+ 2

0.12

=583.3333$

516.6667$=1.129

7

, >1

S" d"b" ll"ar a cabo la r"ali%aci& d"l proJ"c!o

b (9Q

7, =

80

0.26

− 10

0.26500+

2

0.26

=269.2307 $507.6923 $=0.53

7

, <1

No s" d"b" ll"ar a cabo la r"ali%aci& d"l proJ"c!o

EJERCICIO 5. ,"i"do " c"!a los dos probl"'as a!"rior"s spo$a " para "i!ar "la'"!o d" cos!o d" !raspor!" J para ac"rlo 'Fs F$il s" d"cid" " "l proJ"c!o iclJa lacos!rcci& d" p"!"s sobr" los caal"s a cos!o d" ()).))).))) J "l cos!o d"'a!"i'i"!o d" "s!os p"d" s"r d"l ord" d" +.))).))) al ao< los cal"s !"drF a ida !ilid"iida. VE "s!as "as codicio"s "s acos"abl" "l proJ"c!oW.

So(:ción

+*(



;)) MILLONES

Para la !asa d" *(Q

7, =

80

0.12700+

5

0.12

=666.6667$741.6667$=0.8988 7, <1

No "s acos"abl" r"ali%ar "l proJ"c!o.

Para la !asa d"l (9Q

7

, =

80

0.26

700+

5

0.26

=307.6923$

719.230$ =0.4278

7

, <1

No "s acos"abl" r"ali%ar "l proJ"c!o.

EJERCICIO 5.4 -a cidad "c"si!a cos!rir dos par"s d" r"cr"o " pi"sa 'a!""r id"iida'"!"< los par"s p"d" s"r bicados " cali"ra d" los si!ios A< 7 o C. Los da!os"s!i'ados para cada proJ"c!o "pr"sados " 'illo"s d" s" '"s!ra " "l si$i"!" cadro:

Sitios A 6 C#osto inicial 0> 85 95#.O 8 8 0Derecos de entrada por a"o ? ? 72+ngresos anuales para los concesionarios 72 72 82$érdidas anuales en la agricultura > 78 9

+*+



Spoi"do a !asa d" i!"rs d"l ()Q< d"cidir por '"dio d" la r"laci& 7XC " " si!iod"b" cos!rirs".

So(:ción

Los da!os " !""'os so las "!radas J salidas " 'illo"s d" cada si!io J "l i!"rs i T ()Q.,ERRENO A

VPI =7.000 .000$

0,20 +

10.000.000 $

0,20 −

8.000 .000$

0,20 =45.000.000$

VPE=38.000.000$+2.000 .000$

0,20 =48.000 .000$

7, =45.000.000$48.000.000$=¿ )<2+;8

,ERRENO 7

VPI =7.000.000$

0,20 +

10.000.000 $

0,20 −

12.000.000$

0,20 =25.000.000 $

VPE=25.000.000$+2.000 .000$

0,20 =35.000 .000$

7

, =

25.000.000 $

35.000.000 $=¿ )<;*5(/8;*

,ERRENO C

VPI =10.000.000$

0,20 +

20.000.000$

0,20 −

4.000 .000$

0,20 =130.000.000$

VPE=45.000.000$+3.000.000 $

0,20 =60.000 .000$

7

, =

130.000.000 $$

60.000.000$ =¿ (<*999999;

El si!io C d"b" s"r o d" los "sco$idos< los si!ios A J 7 $""ra prdidas.

+*5



EJERCICIO 5.2 El $obi"ro "s!F p"sado " la cos!rcci& d" a idro"lc!ricaK para "llo "s"c"sario adirir los !"rr"os para la cos!rcci& d" la r"pr"sa a cos!o d" 8)) 'illo"s.Ad"'Fs s"rF "c"sario ""c!ar a i"rsi& d" +)) 'illo"s< al ial d"l pri'"r ao< para""c!ar la cos!rcci& d" las obras ciil"s " !"drF a ida !il id"iida. Al ial d"l

s"$do ao< abrF " adirir los "ipos "l"c!ro'"cFicos a cos!o d" ()) 'illo"s< loscal"s !"drF a ida !il d" (* aos J alor d" sala'"!o d" 8) 'illo"sK s cos!o d"op"raci& " "l ao + s"rF d" () 'illo"s J< cada ao si$i"!"< s cos!o s" icr"'"!arF " *'ill&. La idro"lc!rica co'"%arF a $""rar ""r$#a " "l !"rc"r ao< J ss i$r"sos por ac!raci& s" "s!i'a " +)) 'illo"s J< cada ao si$i"!"< a'"!arF " +) 'illo"s as!a "lao *). E "l ao **< s" "s!i'a " 9)) 'illo"s J< cada ao si$i"!"< a'"!arF " 8)'illo"s< as!a "l ao (+.

a? -!ili%ado ori%o!" d" pla"aci& d" (+ aos< a !asa d" i!"rs d"l (8Q J!ili%ado la RELACIÓN 7XC< d"!"r'i" la iabilidad d"l proJ"c!o

b? Spo$a " d"bido a la cos!rcci& d" la r"pr"sa< aJ a dis'ici& " laa$ricl!ra d" aproi'ada'"!" os 5* 'illo"s aal"s.

So(:ción

+*8



a.

S" ll"a la i"rsi& r"ali%ada al ial d"l pri'"r ao a pr"s"!":

300.000.000 (1+0,25 )−1=240.000.000

,a'bi s" !raslada "l cos!o d" los "ipos "l"c!ro'"cFicos a alor pr"s"!":

200.000.000(1+0,25 )−2=128.000.000

Gradi"!" $"o'!rico d" cos!o d" op"raci& ll"ado a pr"s"!":

{20.0000.000[ 1−(1+0,25 )−21

0,25 ]+ 1.000 .000

0,25 [ 1− (1+0,25 )−21

0,25 −21 (1+0,25 )−21]}(1+0,25 )

−2

=60.37

Gradi"!" $"o'!rico d" i$r"sos por ac!raci& " pr"s"!":

{300.000.000[ 1−(1+0,25)−8

0,25 ]+ 30.000.000

0,25 [ 1−(1+0,25)−8

0,25 −8 (1+0,25)−8]}(1+0,25)−2=¿7

+*9



S" ll"a "l alor d" sala'"!o a pr"s"!":

50.000.000 (1+0,25 )−23=295.147,9052

Gradi"!" $"o'!rico d" i$r"sos por ac!raci& a pr"s"!" d"l ao ** al (+:

{600.000.000 [ 1−(1+0,25)−13

0,25 ]+50.000.000

0,25 [ 1−(1+0,25)−13

0,25−13(1+0,25)−13]}(1+0,25)−10=30

7

, =

791.732.158,7+309.360.226,7+295.147,9052240.000.000+128.000.000+60.377.467,54+500.000.000

=1,19

b. S" calcla "l alor pr"s"!" d" la aalidad:

41.000.0001−(1+0,25 )−23

0,25 =163.031.914,9

7

, =

791.732.158,7+309.360.226,+295.147,9052−163.031.914,9

240.000.000+128.000.000+60.377.467,54+500.000.000 =1,01

Coclsi&: "s co"i"!" r"ali%ar "l proJ"c!o.

EJERCICIO 5./ - s"or pi"sa co'prar a 'Fia !""dora co cos!o d" 2)).)))< "lCAO "s d" (8).))) co cr"ci'i"!o aal d"l (+Q< a ida !il d" / aos J alor d"sala'"!o d" +)).))). Los i$r"sos aal"s " $""ra s!a 'Fia s"r#a para "l pri'"r aod" 58).))) J cada ao s" a'"!arF " (+Q. Spoi"do a !asa d"l +8Q< d"!"r'iar si "l proJ"c!o "s b"o.

So(:ción

+*;



VP+ (in&resos )=300.000 (1+0,35 )

−8

+450.000

[ (1+0,23 )8 (1+0,35 )−8−1

0,23−0,35

]VP+ (in&resos )=1.996.446,484$

VP+ (e&resos )=900.000+250.000 [ (1+0,23 )8 (1+0,35 )−8−1

0,23−0,35 ]

VP+ (e&resos )=1.994.029,923

7

, =

VP+ (in&resos)VP+ (e&resos)

=1.996.446,484

1.994.029,923

7

, =1,00121

Dado " "l aFlisis cos!o b""icio >7XC? "s f* "l proJ"c!o "s b"o.

EJERCICIO 5.5 E "l si$i"!" cadro s" '"s!ra los los d" caa d" los proJ"c!os A J 7

. B#osto 8222222 9522222#.O 7592222 7251222

+*/



Co a !asa d"l ()Q d"!"r'iar la '"or al!"ra!ia sado la R"laci& 7XC.

1ugerencia: Puesto ?ue solo se conocen costos es necesario usar el !étodo incre!ental donde

los beneficios ser@n las diferencias en el )A y el costo la diferencia entre los costos de cada

*royecto>

So(:ción

Para "l proJ"c!o A:

7enefi#ios=,A< A−,A< 7=1,540,000 $−1,056,000 $=484,000 $

,ostos=,osto A−,osto 7=2,000,000 $−4,500,000 $=−2,500,000 $

Los cos!os s" coi"r!" " b""icios por " " 7 los cos!os so 'aJor"s " " A J "s!or"pr"s"!a b""icio " "l proJ"c!o.

La di"r"cia d" los cos!os aal"s d" los proJ"c!os s" coi"r!" " "$r"so " la is!acia A Ja" "l CAO d" A "s 'aJor " "l d" 7.

El %"deunaanualidad infinita= R

i

+*2



%"=484,000

0.20 =2,420,000 $

b

#=

2,500,000

2,420,000=1.033

Para "l proJ"c!o 7:

7enefi#ios=,A<7−,A< A=1,056,000 $−1,540,000 $=−484,000$

,ostos=,osto7−,osto A=4,500,000 $−2,000,000 $=2,500,000 $

El %"deunaanualidad infinita= A

i

%"=484,000

0.20 =2,420,000 $

b

#=

2,420,000

2,500,000=0.968

+()



S" "sco$"r#a "l proJ"c!o A

EJERCICIO 5.7 S" proJ"c!a la cos!rcci& d" caal"s para co!rolar las idacio"s casadas por "l d"sborda'i"!o d" rio. Ac!al'"!" los d"sborda'i"!os casa as prdidas

"s!i'adas " -S8 'illo"s los cal"s podrF s"r co!rolados parcial'"!" s"$ "l !a'ao d"los caal"s !al co'o s" apr"cia " "l si$i"!" cadro:

Ciras " 'illo"s d" -S

$e,ue"os Medianos Nrandes#osto 72 75 85#.O 2:7 2:8 2:5

Da"os por

+nundaciones

0 7:1 2:5

Los caal"s s" 'a!"drF por !i"'po id"iido< co a !asa d"l ()Q d"!"r'iar la '"or al!"ra!ia.

S$"r"cia: "l o ac"r ada d"b" cosid"rars" co'o o!ra al!"ra!ia.

So(:ción

C"n"( 'e?:e" ;# N"d"

7enefi#ios=5.000.000 $−3.000.000 $=2.000.000 $

,ostoini#ial=10.000.000 $

P= A

i →10.000.000 $=

A

0,2→ A=2.000 .000$

,A<=100.000 $

7

, =

2.000.000 $

2.100.000 $=0,95 +o #onstruir

C"n"( *edi"n" ;# N"d"

+(*



7enefi#ios=5.000.000 $−1.600.000 $=3.400.000 $


P= Ai →15.000.000 $= A0,2→ A=3.000 .000$

,A<=200.000 $

7

, =

3.400.000 $

3.200.000 $=1,06 'i#onstruir

C"n"( <$"nde ;# N"d"

7enefi#ios=5.000.000 $−500.000 $=4.500 .000$


P= A

i →25.000.000$=

A

0,2→ A=5.000 .000$

,A<=500.000 $

7

, =

4.500 .000$

5.500.000 $=0,818 +o #onstruir

EJERCICIO 5.8 S" "s!F aali%ado la cos!rcci& d" a carr"!"ra al!"ra "!r" las cidad"s A J7. El cos!o d" cos!rcci& "s d" ;) 'il 'illo"s. El cos!o aal d" 'a!"i'i"!o s"rF d" 98'illo"s J cada ao s cos!o cr"c"rF */Q. Al cos!rir la carr"!"ra los ac"dados d" la

r"$i& d"ar#a d" p"rcibir ;) 'illo"s por coc"p!o d" labor"s a$r#colas para "l pri'"r ao J s"cr"" " aal'"!" podr#a a'"!ar ()Q. S" "s!i'a " a par!ir d"l pri'"r ao losr"s!ara!"s J si!ios !r#s!icos " s" cos!rJa al lado d" la carr"!"ra r"cibirF os i$r"sos d";+) 'illo"s " cada ao a'"!ara " @Q. Por o!ra par" los !raspor!ador"s al !ili%ar lacarr"!"ra al!"ra ob!"dr#a aorro " co'bs!ibl"< lla!as< ac"i!"s< d"s$as!" d" ss "#clos<"!c.< " /8) 'illo"s co icr"'"!o aal d"l ()Q. Spoi"do " la carr"!"ra s" d"b"

+((



'a!""r por !i"'po id"iido J sado a !asa d" i!"rs d"l (/Q VCFl s"r#a "l alor d" @ para " la cos!rcci& d" la carr"!"ra al!"ra s"a a!rac!iaW

So(:ción

i=0,28 EAV

7

, =

850millones

(0,28−0,2 ) +

730millones

(0,28− x )

70.000millones+ 65millones

(0,28−0,18 )+70millones

(0,28−0,2 )

=1

10.625 millones+730millones

(0,28− x )71.525millones

=1

+(+



10.625millones+730millones

(0,28− x ) =71.525millones

730 millones(0,28− x )

=71.525 millones−10.625 millones

730millones

(0,28− x ) =60.900millones

730millones=60.900millones (0,28− x )

730millones

60.900 millones=(0,28− x )

730millones

60.900 millones−0,28=− x

−0,268013136=− x

0,268013136= x

+(5





(1+0,2)5(1+i)−5−1

0,20−iVP+ =−15+5¿

jT)

Para la solci& 'aal s" r"i"r" i!"rpolarK s" d"b" iiciar co a !asa i.

Si s'a'os los i$r"sos "!os cosid"rado " o $aa i!"rs " los 8 aos.

F =5+6+7,2+8,64+10,368=37,208

P=15

i=

5

√37,208

15 −1=0,199248029

S" p"d" arracar co a !asa iT).() EA1 J s" iicia la i!"rpolaci&

i (1+0,2)5(1+i )−5−1

0,20−i

f (i)=−15+5¿/2

28

7

50885

20

2

79@78

20

9

2799>

20

5

C27190

,abla /.*

+(9



x−0,34

0,35−0,34=

0−0,1448

−0,1643−0,1448

x=0,34+ (0,35−0,34 )[ 0−0,1448

−0,1643−0,1448 ]=0,3447

TIR=34,47

Co'o la !asa i!"ra d" r"!oro d"l proJ"c!o ,IRT+5<5;Q EA1< "s 'aJor " la !asa " 'a"a"l i"rsiois!a "l proJ"c!o "s acos"abl".

TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO !TMAR&

La !asa '#i'a a!rac!ia d" r"!oro "s la '#i'a !asa " "s!F disp"s!o "l i"rsiois!a aac"p!ar por los di"ros " colo" " proJ"c!o d" i"rsi&K $""ral'"!" "s i$al a la ,IOT,asa d" i!"rs d" opor!idad d"l i"rsiois!a.

INCONSISTENCIAS ENTRE EL VPN @ LA TIR

Cado s" d"b" s"l"ccioar proJ"c!o "!r" arias opcio"s< " al$as ocasio"s "l proJ"c!o

s"l"ccioado abi"do !ili%ado la "rra'i"!a 1PN o coicid" co "l proJ"c!o s"l"ccioado al!ili%ar la "rra'i"!a ,IR< "s d"cir aJ a icosis!"cia "!r" 1PN ,IR< para cociliar laicosis!"cia s" d"b" ac"r a 'odiicaci& a la "rdad"ra r"!abilidad d"l proJ"c!o.E!"da'os "s!a al!"raci& co ""'plo.

EJEMPLO 7., - i"rsiois!a !i"" " s"l"ccioar a al!"ra!ia d" i"rsi& "!r" dos proJ"c!os A J 7K los los "!os d" caa d" los dos proJ"c!os so:

+(;



3i$ra /.( 3i$ra /.+

As'i"do " la !asa d"l i"rsiois!a "s d"l +Q aal< s"l"ccioar o d" los dos proJ"c!os.-!ili%ado 1PN J ,IR co'o "rra'i"!as d" aFlisis.

So(:ción

• -!ili%ado 1PN co'o "rra'i"!a pla!"'os las dos "cacio"s:

VP+ (0,03) A=−116000+100000 ( P/ F 23 21 )+5000( P/ A 23 25)( P/ F 23 21 )

VP+ (0,03) A=3318,97

VP+ (0,03)7=−116000+150000 ( P/ F 23 26 )=9622,64

VP+ (0,03)7>VP+ (0,03) A

9622,64>3318,97

S" d"b" s"l"ccioar "l proJ"c!o 7.

• -!ili%ado la ,IR co'o "rra'i"!a pla!"a'os las dos "cacio"s d" 1PN a a !asa i

d"scoocida " i$ala'os a c"ro "l 1PN.

ProJ"c!o A:

VP+ (i) A=−116000+100000(1+i)−1+5000(1−(1+i )−5)

i (1+i)−1

T)

+(/







,abla /.(

La !abla /.( os idica " "l 1PN J la ,IRM coicid" " la s"l"cci& d"l proJ"c!o 7< "sd"cir s" "li'i& la icosis!"cia.

E la $ra 'aJor#a d" los casos 1PN J ,IRM coicid" " "l ord"a'i"!o< p"ro "is!"al$os casos dod" s" d"b" r"crrir a a aria!" d" la ,IRM. E!"da'os "s!o co ""'plo.

EJEMPLO 7. - i"rsiois!a !i"" " s"l"ccioar a al!"ra!ia d" i"rsi& "!r" dos proJ"c!os d" i"rsi& A J 7K cJos los "!os so los si$i"!"s:

3i$ra /.8

3i$ra /.9

Co a ,IOT 8Q d"!"r'iar cFl "s "l '"or proJ"c!o d" i"rsi&.

So(:ción

• Haci"do "l aFlisis co 1PN:

VP+ A (0,05 )=−20000+3116 ( P/ A 25 210)=4060,93

++*



VP+ 7 (0,05 )=−10000+1628 ( P / A 25 210 )=2570,98

VP+ A (0,05 )>VP+ 7 (0,05)

4060,93>2570,98

S" d"b" s"l"ccioar "l proJ"c!o A s"$ la "rra'i"!a 1PN.

• Haci"do "l aFlisis co ,IR:

ProJ"c!o A

VP+ (i ) A=−20000+3116 ( P / A 2i 2 10)=0

f ( i )=−20000+3116 [1− (1+i )−10

i ]=0

,abla /.+

x−

0,08

0,09−0,08= 0

−908,614

−2,579−908,614

x=0,08+(0,09−0,08 ) [ 0−908,614

−2,579−908,614]

++(

+nterpolando

i Q4i6

22> @2>1

7922@ C85?@



x=0,090

TIR A=9

ProJ"c!o 7

VP+ (i )7=−10000+1628 ( P / A2i 210 )=0

f ( i )=−10000+1628[ 1−(1+i )−10

i ]=0

,abla /.5

x−0,095

0,105−0,095=

0−221,883

−207,950−221,883

x=0,095+(0,105−0,095 )[ −221,883

−207,950−221,883]

x=0,10016

TIR7=10,01

+++

+nterpolando

+ Q 4i6

22@5 887>>0

2725 C82?@52



$ROP&#TOS

#riterio . B S&*&##+O-.

RV$- 9212@0 85?2 .

T+R @ = 7227 = B

,abla /.8

Si$" la icosis!"cia.

Calcl"'os la ,IRM d" los proJ"c!os A J 7.

,IOT 8Q

3i$ra /.;

F =3116 ( F / A 25 210)=39192,71

TIR A=10√39192,71

20000 −1=0,0696

TIR A=6,96

++5



3i$ra /./

F =1628 ( F / A 25 210)=20476,81

TIR 7=10 20476,81

10000

−1=0,0743

TIR 7=7,43

R"s'i"do:

$ROP&#TOS

#riterio . B S&*&##+O-.

RV$- 9212@0 85?2 .

T+R @ = 7227 = B

T+RM 1@1 = ?90 = B

,abla /.9

Co!ia la icosis!"ciaK si co'para'os los dos proJ"c!os A J 7 co r"i"rsi&:

3i$ra /.2

++8



3i$ra /.*)

El proJ"c!o A r"i"r" a i"rsi& adicioal d" *).)))K si s" iir!i"ra " "l proJ"c!o 7< "l

proJ"c!o 7 "ial"!" co la r"i"rsi& d" los *).))) "dar#a as#: F =10000(1+0,05)10=16288,95

I$r"sos " "l p"riodo *)T ()5;9</*U*9(//<28T +9;98<;9

Cos!os Iicial"s " )T*))))U*))))T ())))

3i$ra /.**

TIR7=10√36.765,76

20.000 −1=0,0628

TIR7=0,0628

++9



Co'o la ,IR 7T9<(/Q d"l proJ"c!o co i"rsi& adicioal "s i"rior a la ,IR d"l proJ"c!o A>,IR AT2Q? o "s acos"abl" i"r!ir " 7K l"$o s" s"l"ccioa A.

,odos los ca'bios ""c!ados bscaro la coicid"cia "!r" "l ord"a'i"!o d"l 1PN J ,IR.

TASA DE RETORNO INCREMENTAL TIRI

Cado aJ arios proJ"c!os '!a'"!" "clJ"!"s d" i$al ida !il J d"b" s"l"ccioars" od" "llos s" sa la !asa d" r"!oro icr"'"!al.

EJEMPLO 7.4 S" !i"" los proJ"c!os A< 7 J C "co!rar la '"or al!"ra!ia sado "l '!odod" la !asa d" r"!oro icr"'"!al spoi"do a ,IOT(8Q< co'pr"b" "l r"sl!ado sado1PN. Las i"rsio"s i#cial"s J ss cos!os aal"s d" op"raci& s" '"s!ra " la !abla ad!a:

P2-7&CT- A 6 C+nersiKn inicial 722:222 782:222 772:222#.O a"o 7 72:222 8:222 5:522#.O a"o 8 78:222 0:222 1:222#.O a"o 0 79:222 9:222 ?:222#.O a"o 9 71:222 5:222 >:522

,abla /.;

So(:ción

P$i*e$ '"#o s" ord"a los proJ"c!os d" '"or i"rsi& a 'aJor i"rsi&.

P2-7&CT- A C 6+nersiKn inicial 722:222 772:222 782:222#.O a"o 7 72:222 5:522 8:222

#.O a"o 8 78:222 1:222 0:222#.O a"o 0 79:222 ?:222 9:222#.O a"o 9 71:222 >:522 5:222

,abla /./

++;



Se<:ndo '"#o s" calcla "l proJ"c!o CBA.

P2-7&CT- A C C'A+nersiKn inicial C722:222 C772:222 C72:222#.O a"o 7 C72:222 C5:522 E9:522#.O a"o 8 C78:222 C1:222 E1:222#.O a"o 0 C79:222 C?:222 E?:222#.O a"o 9 C71:222 C>:522 E?:522

,abla /.2

S" "c"!ra la ,IRI d"l proJ"c!o CBA

3i$ra /.*(

4.500+6.000+7.000+7.500=25.000

i=4√ 25.000

10.000−1=0,2574

++/



VP+ (i )=−10.000+4.500 (1+ i)−1+6.000(1+i)−2+7.000(1+i)−3+7.500(1+i )−4

−10.000+4.500(1+i)−1+6.000(1+i )−2+7.000 (1+ i)−3+7.500(1+i)−4=0

I!"rpolado

x−0,44

0,46−0,44 =

0−107,06

−203,13−107,06

x=0,44+ (0,46−0,44 )( 0−107,06−203,13−107,06 )

x=0,4469

TIRI =44,69

Co'o ,IRIT55<92 Q f ,IOT(8 Q s" s!iica i"r!ir adicioal'"!" *).))) " C por" $""raa !asa sp"rior a la ,IOK l"$o s" d"scar!a A J s" pr"i"r" C.

Te$ce$ '"#o s" calcla "l proJ"c!o 7BC.

P2-7&CT- C 6 6'C+nersiKn inicial C772:222 C782:222 C72:222#.O a"o 7 C5:522 C8:222 E0:522#.O a"o 8 C1:222 C0:222 E0:222#.O a"o 0 C?:222 C9:222 E0:222

++2



#.O a"o 9 C>:522 C5:222 E0:522

,abla /.**

3i$ra /.*+

3.500+3.000+3.000+3.500=13.000

i=

4

√13.000

10.000−1=0,678

VP+ (i )=−10.000+3.500(1+i)−1+3.000(1+i)−2+3.000 (1+ i)−3+3.500(1+i)−4

−10.000+3.500 (1+ i)−1+3.000(1+i)−2+3.000(1+i)−3+3.500 (1+ i)−4=0

,abla /.*(

+5)

i F (i)

22? 72720?7722@ 5082>?>277 >?7502278 C780?190



x−0,11

0,12−0,11=

0−87,1530

−123,7643−87,1530

x=0,11+ (0,12−0,11)( 0−87,1530

−123,7643−87,1530 )

x=0,1141

TIRI =11,41

Co'o ,IRIT**<5* Q ^ ,IOT(8 Q o s" s!iica i"r!ir " 7< l"$o s" d"b" s"l"ccioar "l proJ"c!o C.

Si coro!a'os la s"l"cci& sado 1PN

VP+ (0,25 ) A=−100.000−10.000(1+0,25)−1−12.000(1+0,25)−2+14.000(1+0,25)−3+16.000(1+0,25)−

VP+ (0,25 ), =−110.000−5.500 (1+0,25)−1−6.000 (1+0,25)−2+7.000 (1+0,25)−3+8.500 (1+0,25 )−4=−12

VP+ (0,25 )7=−120.000−2.000 (1+0,25)−1−3.000(1+0,25)−2+4.000(1+0,25)−3+5.000(1+0,25)−4=−

S" s"l"ccioa "l proJ"c!o '"os cos!oso< "s d"cir C< "l cri!"rio ,IRI coicid" co "l 1PN.

PRO@ECTOS CON TIR MHLTIPLE

+5*



G""ral'"!" los proJ"c!os !i"" al iicio d" s ida< "$r"so J d"sps i$r"sos< "s!os proJ"c!os r"cib" "l o'br" d" co"cioal"s J al calclar la ,IR !i"" solo a. Cado los proJ"c!os !i"" arios "$r"sos J arios i$r"sos s" l"s lla'a proJ"c!os o co"cioal"s J ""s!os casos "l proJ"c!o !i"" arias !asas ,IR.

Para la r"$la d" los si$os d" D"scar!"s "l proJ"c!o !"drF !a!as !asas ,IR posi!ias co'oca'bios d" si$o !"$a s lo d" caa "!o.

EJEMPLO 7.2 Eco!rar la ,IR d"l proJ"c!o si$i"!":

3i$ra /.*5

,i"" dos ca'bios d" si$os.

,i"" dos !asas posi!ias.

Si la ,IO d"l i"rsiois!a "s d" +)Q J la !asa d" crdi!os bacarios "s d"l (8 Q.

So(:ción

−40.000+100.000(1+i)−2−60.000(1+i)−5=0

,abla /.*+

+5(



x−0,39

0,40−0,39=

0−0,019

−0,014−0,019

x=0,39+(0,40−0,39 )( 0−0,019

−0,014−0,019)

x=0,3559

TIRI =35,59

Es!" proJ"c!o !i"" dos !asas ,IR:

,IRT)Q

,IRT+8<82Q

Co la ,IOT+)Q J la !asa d" crdi!os d"l (8QK s" ll"a a pr"s"!" "l "$r"so d" 9).))) co la!asa d"l (8 Q J a !ro "l i$r"so d" *)).))) "dado "l proJ"c!o "ial"!" as#:

P=60.000(1+0.25)−5=19.660,80

PT =40.000+19.660,80=59.660,80

F =100.000 (1+0.30 )3=219.700

3i$ra /.*8

+5+



TIR =5√ 219.700

59.660,80−1=0,29786

TIR =29,786 .

Co'o ,IRM T (2<;/9Q ^ ,IOT+)Q "l proJ"c!o o "s co"i"!" para "l i"rsiois!a.

EJEMPLO 7./ -a ids!ria p"d" adirir a 'Fia a cos!o d" 9.))).)))< !"drF aida !il d" 8 aos J prFc!ica'"!" o !"drF alor d" sala'"!o< la 'Fia s"rF !o!al'"!"d"spr"ciada " !r"s aos por par!"s i$al"s< "l "s!dio d" '"rcados idica " los i$r"sos d"l pri'"r ao s"rF aproi'ada'"!" d" +.))).))) J a'"!arF !odo los aos " +)Q< por o!ra par!" s" "s!i'a " "l cos!o d" prodcci& d"l pri'"r ao s"rF d" /)).))) J cada aoa'"!arF " ()).))). Spoi"do a !asa i'posi!ia d" +/Q d"!"r'iar la r"!abilidad d"l proJ"c!o sado ori%o!" d" pla"aci& d" 8 aos.

So(:ción

3i$ra /.*9

7ASETINGRESOSBCOS,OSBDEPRECIACIÓN

3NCTINGRESOBCOS,OSBIMP-ES,O

De"re#ia#i.nanual=6.000.000$

3años =2.000.000

$

año

A8-

I9:2&S-S

C-ST-S

D&P2&CIACI;9

6AS& I1P<&ST-

F9C

+55



2 C

1:222:222

2 2 2 2 C

1:222:22

27 0:222:222 >22:22

2

8:222:222 822:22

2

?1:222 8:789:22

2

8 0:@22:222 7:222:222

8:222:222 @22:222

098:222 8:55>:222

0 5:2?2:222 7:822:2

22

8:222:222 7:>?2:2

22

?72:122 0:75@:92

29 1:5@7:222 7:922:2

22

2 5:7@7:2

22

7:@?8:5>2 0:87>:98

25 >:51>:222 7:122:2

22

2 1:@1>:0

22

8:19?:@59 9:082:09

1

,abla /.*5

VP+ (i )=−6000000+2124000(1+i)−1+2558000(1+i)−2+3159400 (1+ i)−3+3218420(1+i)−4+4320346

Por i!"rpolaci& s" "c"!ra:

i=0,3658

R"!abilidad d"l proJ"c!o:

TIR=36,58

ANEGOS

ANEXO +

TA9LA DE DÍAS

>Ao a!ral +98 d#as?

Dí

a

ENE FEB MA

R

ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NO

V

DI

C1 7 08 12 @7 787 758 7>8 870 899 8?9 025 005

2 8 00 17 @8 788 750 7>0 879 895 8?5 021 001

3 0 09 18 @0 780 759 7>9 875 891 8?1 02? 00?

+58



4 9 05 10 @9 789 755 7>5 871 89? 8?? 02> 00>

5 5 01 19 @5 785 751 7>1 87? 89> 8?> 02@ 00@

6 1 0? 15 @1 781 75? 7>? 87> 89@ 8?@ 072 092

7 ? 0> 11 @? 78? 75> 7>> 87@ 852 8>2 077 097

8 > 0@ 1? @> 78> 75@ 7>@ 882 857 8>7 078 098

@ 92 1> @@ 78@ 712 7@2 887 858 8>8 070 090

1! 72 97 1@ 722 702 717 7@7 888 850 8>0 079 09911 77 98 ?2 727 707 718 7@8 880 859 8>9 075 095

12 78 90 ?7 728 708 710 7@0 889 855 8>5 071 091

13 70 99 ?8 720 700 719 7@9 885 851 8>1 07? 09?

14 79 95 ?0 729 709 715 7@5 881 85? 8>? 07> 09>

15 75 91 ?9 725 705 711 7@1 88? 85> 8>> 07@ 09@

16 71 9? ?5 721 701 71? 7@? 88> 85@ 8>@ 082 052

17 7? 9> ?1 72? 70? 71> 7@> 88@ 812 8@2 087 057

18 7> 9@ ?? 72> 70> 71@ 7@@ 802 817 8@7 088 058

1 7@ 52 ?> 72@ 70@ 7?2 822 807 818 8@8 080 050

2! 82 57 ?@ 772 792 7?7 827 808 810 8@0 089 059

21 87 58 >2 777 797 7?8 828 800 819 8@9 085 055

22 88 50 >7 778 798 7?0 820 809 815 8@5 081 051

23 80 59 >8 770 790 7?9 829 805 811 8@1 08? 05?

24 89 55 >0 779 799 7?5 825 801 81? 8@? 08> 05>

25 85 51 >9 775 795 7?1 821 80? 81> 8@> 08@ 05@

26 81 5? >5 771 791 7?? 82? 80> 81@ 8@@ 002 012

27 8? 5> >1 77? 79? 7?> 82> 80@ 8?2 022 007 017

28 8> 5@ >? 77> 79> 7?@ 82@ 892 8?7 027 008 018

2 8@ >> 77@ 79@ 7>2 872 897 8?8 028 000 010

3! 02 >@ 782 752 7>7 877 898 8?0 020 009 019

31 07 @2 757 878 890 029 015

ANEXO

+ORMULAS 9SICAS INTERÉS SIMPLE

*. I = P∙ i ∙ n

(. F = P+ I

+.

F = P∙(1+¿)

5. P= F

1+¿

8. i=1

n∙( F

P−1)

+59



022

?:222

a"os

$ro(ecto D C B

?5:222

B / deQensor

D / retador

Ordinario

."o/012 días

&3acto

4."o 015 o 0116 días

9. n=1

i ∙( F

P−1)

;. D= F ∙d ∙t

/.

VT = F ∙ (1−d ∙ t )

2. Valor neto dela fa#tura= A ∙ (1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯ (1−dn )

*). D= A [1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯(1−dn ) ]

**. d=1−(1−d1 ) ∙ (1−d2 )⋯(1−dn )

*(. Clas"s d" I!"rs si'pl"

ANEXO -

+ORMULAS 9SICAS INTERÉS COMPUESTO

*.( ) ni P F += *

(.( )

( ) n

n i F

i

F P

−+=+

= **

+5;



+.

*−= n

P

F i

5. ( )i

P F n

+

−=

*lo$

lo$lo$

8.!

i =

9.!i ×=

;. Eial"cia "!r" !asasT( ) ( ) (*

(* ** !!

ii +=+

/. R"laci& "!r" ,A J ,1T

( )aa i P Pi P −=− *

2.a

a"

iii−

=*

*)."

"a

i

ii

+=*

**.!

i aa =

*(. Ecacio"s d" alor : ∑∑ = egresosingresos

*+. Eial"cia "!r" !asas

+5/



ANEXO .

FORMULAS B/SICAS0 ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUAS Y GENERALES

*.

*+(...

−+++++= nar ar ar ar a s

(.

−−

=*

*

r

r a s

n

+.*<

*−≠=

−

r ar u n

5.

( )

−+=

i

i A F

n**

8.( )

−+=

** ni

i F A

9.

( )

( )

+−+=n

n

ii

i A P

*

**

;.

( )

+−=

−

i

i A P

n**

/.

( )

( )

++=

n

n

i

ii P A

*

*

2.( )

+−= −n

i

i P A

**

*).

( )( )i

i

i A F

n

+

−+= *

**

**.

( )

( ) ( )i

ii

i A P

n

n

+

+−+= *

*

**

+52



*(.

( )( )i

i

i A P

n

+

+−=

−

***

*+.i

A P =

*5.n=

log 1

[1− "i

A ]

log(1+i)

*8.

*9.

+8)



+12ANEXO 3

17. +ORMULAS 9SICAS 3RADIENTES

*.

g AT P P P +=

(.

( )

( ) ( )

+−

+−+

=nn

n

g i

n

i

i

i

g P

**

**

+.

( )

( )

+−

+−=

−

n

n

g i

n

i

i

i

g P

*

**

5.( )

−+−=

**

*n g

i

n

i g A

8.

( )

−

−+= n

i

i

i

g F

n

g

**

9.(i

g

i

A P

T

+=

;.

( ) ( )

−−−+

=−

i +

i + 6 P

nn***

< para + B i

/.i

n6 P

+=*

< para +#i

2.

( ) ( )

−

+−+=i +

i + 6 F

nn**

< para + B i

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Ingeniería Económica - Hernando Ochoa González